第三章 不等式
第一课时 3.1 不等关系与不等式（一）
教学要求：了解现实世界和日常生活中存在着的不等关系；会从实际问题中找出不等关系，并能列出不等式与不等式组. 教学重点：从实际问题中找出不等关系. 教学难点：正确理解现实生活中存在的不等关系. 教学过程： 一、复习准备：
1、提问：你能回顾一下以前所学的不等关系吗？
2、讨论：除了书上列举的现实生活中的不等关系，你还能列举出你周围日常生活中的不等关 系吗？
3、用不等式表示，某地规定本地最底生活保障金不底于300元； 二、讲授新课：
1、教学用不等式表示不等关系
① 在现实生活中，存在着许许多多的不等关系，在数学中，我们用不等式来表示这样的不等关系.
② 举例：例如：限速40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v 不超过40km/h ，写成不等式就是v ≤40. ③ 文字语言与数学符号之间的转换.
④ 实数的运算性质与大小顺序之间的关系
对于任意两个实数a,b,如果a>b,那么a-b 是正数;如a (1)0;(2)0;(3)0 a b a b a b a b a b a b >?->=?-= ①出示例1：日常生活中，在一杯含有a 克糖的b 克糖水中，再加入m 克糖，则这杯糖 水变甜了，请根据这一事实提炼出一道不等式。 （浓度＝溶质 溶液 ） ②出示例2：某种杂志以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本。据市场调查，若单价每提高0.1元，销量就相应地减少2000本。若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入还不底于20万元呢？ （教师示范→学生板演→小结） 3、小结：文字语言与数学语言之间的转换，实数的运算性质与大小顺序之间的关系. 三、巩固练习： １.某电脑拥护计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要至少要买３片和２盒，请将购买软件和磁盘所满足的不等关系用不等式表示出来。 ２. 练习：教材P83 1、2题. 作业：课本P87 3题；P91第10题 ３.１不等关系与不等式（二） 教学要求：了解不等式与不等式组的实际背景；掌握常用不等式的基本基本性质；会将一些基本性质结合起来应用. 教学重点：理解不等式的性质及其证明. 教学难点：从实际的不等关系中抽象出具体的不等式. 教学过程： 一、复习准备： 1. 提问：实数的运算性质与大小顺序之间的关系 2. 设点Ａ与平面?之间的距离为d ，Ｂ为平面?上任意一点，则点Ａ与平面?的距离小于或等于Ａ，Ｂ两点间的距离，请将上述不等关系写成不等式. 二、讲授新课： 1、教学“作差法”比较两个实数的大小和常用的不等式的基本性质 ① 用“作差法”比较两个实数大小的关键是判断差的正负，常采用配方、因式分解、 有理化等方法.常用的结论有22 00x x ≥-≤≥≤， ，|x|0，-|x|0等. ② “作差法”的一般步骤是： ①作差；②变形；③判断符号；④得出结论. ③常用的不等式的基本性质 (1),(2)(3),0(4),0a b b c a c a b a c b c a b c ac bc a b c ac bc >>?>>?+>+>>?>> 2、教学例题： ① 出示例1：已知0,0,a b c >><求证：c c a b > （教师讲思路→学生板演→小结方法） ② 出示例2.：比较(3)(5)(2)(4)a a a a +-+-与的大小. (比较两个数的大小，基本方法是作差，对差的正、负或零做出判断，得出结论) 方法提炼 比较大小的方法 1．作差法 其一般步骤是：(1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方和式．当两个式子都为正数时， 有时也可以先平方再作差． 2．作商法 其一般步骤是：(1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论． 3．特例法 若是选择题还可以用特殊值法比较大小，若是解答题，也可以用特殊值法探路． 4．注意：a >b ?1a <1b 和a >b ?a n >b n (n ∈N ，且n >1)成立的条件． ③ 1.变式训练：已知2242 0(1)1a a a a ≠+++，比较与的大小 2．比较大小：a a b b __________a b b a (a >0，b >0且a ≠b ) ④ 出示例3：已知1260,1536,a a b a b b <<<<-求及的取值范围. (确定取值范围→利用不等式的性质求解) ⑤ 变式训练：已知31,40,a b c -<<-<<求（a-b).c 的取值范围. 三、 巩固练习： ①.比较2 33x x +与的大小，其中x R ∈. ②.比较当0a ?时，2222 (1)(1)(1)(1)a a a a a a ++-+++-+与的大小. ③.（2001.济南）设实数,,a b c 满足2 2 643,44,,,b c a a c b a a a b c +=-+-=-+则的大小关系是_____________. 4. 已知22111 0,1,1,,211a A a B a C D a a - <<=+=-== +-，试将,,,A B C D 按大小顺序排列 5. 已知2 2 π π αβ- ≤<≤ ，求 2 αβ -的范围 §2.1 一元二次不等式的解法（1） 教学目标 （一）教学知识点 1．一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系. 2．一元二次不等式的解法. （二）能力训练要求 1．通过由图象找解集的方法提高学生逻辑思维能力，渗透数形结合思想. 2．提高运算（变形）能力. （三）德育渗透目标 渗透由具体到抽象思想. 教学重点 一元二次不等式解法 教学难点 一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间关系. 数形结合思想渗透. 教学方法 发现式教学法 通过“三个二次”关系的寻求，得到一元二次不等式的解. 教学过程 Ⅰ创设情景 汽车在行驶过程中…… 解：由题意可得要确定哪一辆车违章了,只需分别解出不等式0.01x2+0.1x ≤12和0.005x2+0.05x>10，确认甲、乙两车的行驶速度，就可以判断出哪一辆车违章超速行驶。 像上面的形如 ax 2 +bx+c>0( ≥ 0) 或 ax 2 +bx+c<0( ≤ 0) 的不等式（其中 a ≠ 0 ），叫做 一元二次不等式 复习： ①解一元一次不等式时应具备的知识： 不等式的性质： 1）若d a >则c d c a +>+ 2）若d a >且0>c 则dc ac > 3）若d a >且0 ②还有一种数学方法可以解不等式——数形结合法，它在解不等式中起着非常优越的作用！ Ⅱ讲授新课 1．先看解一元二次不等式中的数形结合 例：解不等式072>-x 和072<-x . ① 方程072=-x 2 7 =x ②作函数72-=x y 的图象 ③解不等式072>-x ? 27>x 072<-x ? 2 7 2．利用数形结合解一元二次不等式 解不等式062>--x x 和062<--x x ①解方程062=--x x ，21=x ，32=x ②作函数62 --=x x y 的图象 ③解不等式062>--x x ? 3>x 或2- 3．思考交流 （1）总结一元二次不等式的解法（a 0>） （2）解不等式0.01x2+0.1x ≤12和0.005x2+0.05x>10并指出哪一辆车违章？ 4．练习 ①已知函数c bx x y ++=2 的图象与x 轴的交点横坐标为1-和2，则当2>x 或 1- ②若方程02=++n mx x 无实数根，则不等式02>++n mx x 的解集是 R ③已知不等式022>++bx ax 的解是3 1 21<<- x ，则=a -12 =b -2 ④若不等式0)3(2 <+++a ax x 的解集是φ，则实数a 的取值范围是 62≤≤-a . ⑤若x 满足015442≤--x x ，化简=--+-31682 x x x 1 2、教学例题： ① 出示例1：求不等式244150x x --≤的解集. （解方程 → 给出图象 →学生板演） ② 变式训练：求不等式244150x x -->的解集. ③ 变式训练：求不等式244150x x -+->的解集. ④ 出示例2：求不等式223x x -+< （方程的解→函数草图→观察得解） ⑤ 出示例3：已知220ax x c ++>的解集为11 32 x - <<，试求,a c 的值，并解不等式220cx x a -+-> （将一元二次不等式的解集与方程根的关系联系起来） ⑥ 变式训练：已知不等式20ax bx c ++>的解集为(,)αβ，且0αβ<<，求不等式 20cx bx a ++<的解集. 3、小结：不等式2 0(0)ax bx a ++>≠的解集情况，解一元二次不等式的三步曲. 三、巩固练习： 1、求不等式2610x x --≤的解集. 2、不等式22ax bx ++>的解集是}11|23 x x ? -< ，则a b +的值是_________ 3、作业： 3.2 一元二次不等式及其解法（二） 含参不等式的解法举例 一，含参数的一元二次不等式的解法： 例1：解关于的x 不等式2 (1)410()m x x m R +-+≤∈ 解：11,|;4m x x ??=-≥???? 当时原不等式的解集为 ?? ? ? ??+-+≤≤+--<<-?? ????+-+≤+--≥- 34014)1(12m m x m m x m m m x m m x x m m x x m m 原不等式的解集为时当或时，原不等式的解集为则当－（＝的判别式时，当 当m=3时，原不等式的解集为? ????? = 21|x x ； 当m>3时, 原不等式的解集为?。 小结：⑴解含参数的一元二次不等式可先分解因式再讨论求解，若不易分解，也可对判别式分类讨论。⑵利用函数图象必须明确：①图象开口方向，②判别式确定解的存在范围，③两根大小。⑶二次项的取值（如取0、取正值、取负值）对不等式实际解的影响。 牛刀小试：解关于x 的不等式)0(,04)1(22 >>++-a x a ax 二，含参数的分式不等式的解法： 例2：解关于x 的不等式 02 1 2>---x x ax 分析：解此分式不等式先要等价转化为整式不等式，再对ax-1中的a 进行分类讨论求解，还需用到序轴标根法。 解：原不等式等价于0)1)(2)(1(>+--x x ax 当a =0时，原不等式等价于0)1)(2(<+-x x 解得21<<-x ，此时原不等式得解集为{x|21<<-x }； 当a >0时, 原不等式等价于0)1)(2)(1 (>+-- x x a x , 则：当,21 时=a 原不等式的解集为{}21|≠->x x x 且； 当0<,21时 ?????<<->211|x a x x 或； 当,21时>a 原不等式的解集为? ???? ?><<-211|x a x x 或； 当a <0时, 原不等式等价于0)1)(2)(1 (<+-- x x a x ， 则当1-=a 时, 原不等式的解集为{}12|-≠ ?????<<-<211|x a x x 或； 小结：⑴本题在分类讨论中容易忽略a =0的情况以及对 a 1 ，-1和2的大小进行比较再结合系轴标根法写出各种情况下的解集。⑵解含参数不等式时，一要考虑参数总的取值范围，二要用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏，三要使划分后的不等式的解集的表达式是确定的。⑶对任何分式不等式都是通过移项、通分等一系列手段，把不等号一边化为0，再转化为乘积不等式来解决。 牛刀小试：解关于x 的不等式 )1(,12 ) 1(≠>--a x x a 三，含参数的绝对值不等式的解法： 例3：解关于x 的不等式)0,0(,|2|>>≥-b a bx ax 分析：解绝对值不等式的思路是去掉绝对值符号，本题要用到同解变形)()()()()(|)(|x g x f x g x f x g x f ≥-≤?≥或，首先将原不等式化为不含绝对值符号的不等式，然后就a 、b 两个参数间的大小关系分类讨论求解。 解：2)(2)(22|2|≥-≤+?≥--≤-?≥-x b a x b a bx ax bx ax bx ax 或或 当0>>b a 时，2)(2)(≥-≤+x b a x b a 或b a x b a x -≥ +≤?2 2或 此时原不等式的解集为???? ??-≥+≤b a x b a x x 22|或； 当0>=b a 时，由无解而得2)(,2 2)(≥-+≤ ≤+x b a b a x x b a ， 此时原不等式的解集为???? ??+≤b a x x 2|； 当b a <<0时，2)(2)(≥-≤+x b a x b a 或b a x b a x b a x +≤ ?-≤+≤?2 22或 此时此时原不等式的解集为?? ?? ??+≤b a x x 2|； 综上所述，当0>>b a 时，原不等式的解集为???? ??-≥+≤b a x b a x x 22|或；当0>≥a b 时，原不等式的解集为???? ??+≤b a x x 2|。 小结：去掉绝对值符号的方法有①定义法：) 0()0({||≥<-=a a a a a ②平方法：?≤|)(||)(|x g x f )()(22x g x f ≤③利用同解变形：);0(,||);0(,||>>-><<-? 牛刀小试：（20XX 年辽宁省高考题）解关于x 的不等式)(,01|1|R a a x ∈>++- 思路点拨：⑴将原不等式化为a x ->-1|1|然后对a 进行分类讨论求解。⑵要注意 的解集为时a x a <≤||,0空集;; ||0;0||0R a x a x a x a 的解集为时，的解时，><≠>=⑶抓住绝对值的意义，在解题过程中谨防发生非等价变形造成的错误。具体解答请同学们自己完成。 三、巩固练习： 1、若01a <<，则不等式1 ()()0a x x a -->的解是___________ 2、解关于x 的不等式：2 (1)10ax a x -++< 3.设不等式x 2 －2ax +a +2≤0的解集为M ，如果M ［1，4］，求实数a 的取值范围 4.解关于。 ?)0(1 1 )1(2>>+-+a x ax x a x 的不等式 一元二次不等式的解法的应用（一） 【例1】 解不等式：（x-2）2(x-3)3(x+1)＜ 0. 解：①检查各因式中x 的符号均正； ②求得相应方程的根为-1，2，3（注意：2是二重根，3是三重根）； ③在数轴上表示各根并穿线，每个根穿一次（自右上方开始），如下图： ④原不等式的解集为{x|-1＜x ＜2或2＜x ＜3}. 说明：∵3是三重根，∴在C 处穿三次，2是二重根. ∴在B 处穿两次，结果相当于没穿.由此看出，当左侧f(x)有相同因式(x-x 1)n ，n 为奇数时，曲线在x 1点处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在x 1点处不穿过数轴，不妨归纳为“奇穿偶不穿”. 【练习1】 解不等式：(x-3)(x+1)(x 2+4x+4)≤0. 【例2】 解不等式： 07 3 ＜+-x x . 解法一：化为两个不等式组来解 . ∵073 ＜+-x x ????+-0703＜＞x x 0或?? ??+-0703＞＜x x x ∈?或-7＜x ＜3-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}. 解法二：化为二次不等式来解. ∵ 073 ＜+-x x ?? ??≠++-070)7)(3(x x x ＜?-7＜x ＜3，∴原不等式的解集是{x|-7＜x ＜3}. 点评：若本题带“=”，即(x-3)(x+7)≤0，则不等式解集中应注意x≠-7的条件，解集应是{x|-7＜x≤3}. 【例3】 解不等式：03 22 32 2≤--+-x x x x . 解法一：化为不等式组来解(较繁). 解法二：∵0322322≤--+-x x x x ???????≠--≤--+-0 320 )32)(23(222x x x x x x ?? ?≠+-≤+---, 0)1)(3(, 0)1)(3)(2)(1(x x x x x x ∴原不等式的解集为{x|-1＜x≤1或2≤x ＜3}. 练习：解不等式 25 3 ＞+-x x . 答案：{x|-13＜x ＜ -5}. 课堂小结 1.关于一元二次不等式的实际应用题，要注意其实际意义 . 2.求解一般的高次不等式的解法 . 特殊的高次不等式即右边化为0，左边可分解为一次或二次式的因式的形式不等式，一般用区间法解，注意：①左边各因式中x 的系数化为“+”，若有因式为二次的（不能再分解了）二次项系数也化为“+”，再按我们总结的规律做；②注意边界点（数轴上表示时是“。”还是“ .”）. 3. 分式不等式，切忌去分母，一律移项通分化为 0)()(＞x g x f (或0) () (＜x g x f 的形式，转化为???≠0)(,0)()(x g x g x f ＞，（或?? ?≠0 )(, 0)()(x g x g x f ＜，即转化为一次、二次或特殊高次不等式形式. （2010全国卷2理）不等式 的解集为 （A ） （B ） （C ） （D ） 【答案】C （2010江西理）不等式 的解集是（ ） A. B. C. D. 26 01 x x x ---＞{}2,3x x x -＜或＞{} 213x x x -＜，或＜＜{}213x x x -＜＜，或＞{} 2113x x x -＜＜，或＜＜22 x x x x -->(02)，(0)-∞，(2)+∞，(0)∞?+∞（-，0）， 一元二次不等式的解法的应用（二） 【例1】 已知关于x 的方程2x 2+4mx+3m-1=0有两个负数根，求实数m 的取值范围 . 探路:列出方程有两个负根的等价条件（不等式组），然后解不等式组. 解:已知方程有两个负根的等价条件是 ???? ? ???-=-=+≥-?-=?0 2130 20)13(24)421212＞＜（m x x m x x m m ???? ? ??? ≥+-310 01322＞ ＞m m m m ???? ??? ? ≥≤31 12 1＞或m m m 31＜m≤21或 m≥1. ∴m 的取值范围是（ 31,2 1 ]∪ [1，＋∞）. 点评:1.方程有两个负根包含两个负根相等的情形，故Δ≥0，因此列成Δ＞0是错误的.又若只列成Δ≥0也是错误的，Δ≥0只能保证方程有实根，而不能保证有两个负根，所以还要联立x 1x 2＞0,x 1+x 2＜0的条件. 2.利用不等式讨论方程的根的情况，是不等式的重要应用 . 【例2】 已知A ={x|x 2-3x+2≤0}，B ={x|x 2-(a +1)x+a ≤0}. （1）若B ?A ，求a 的取值范围； （2）若A ∩B 是单元素集合，求a 的取值范围. 探路:先解不等式化简集合A 和B ，再利用数轴表示两个集合的关系，求a 的取值范围. 解:解不等式x 2-3x+2≤0得A = [1，2]；而B ={x|(x-1)(x-a )≤0}. （1）若B ?A ，如图（1），得a 的取值范围是1≤a ＜ 2. （1） （2）若A ∩B 是单元素集合，如图（2），A ∩B 只能是集合{1}， （2） ∴a 的取值范围是a ≤1. 【例3】 关于x 的不等式a x 2+b x+c ＜0的解集为{x|x ＜-2或x ＞2 1 －}，求关于x 的不等式a x 2-b x+c ＞0的解集 . 由题设a ＜0且25-=-a b ，1=a c ， 从而a x 2-b x+c ＞0可以变形为02＜a c x a b x +-，即x 2-25 x+1＜0.∴21＜x ＜2.∴原不等式的解集为{x|2 1 ＜x ＜2}. 引申：已知关于x 的二次不等式a x 2+(a -1)x+a -1＜0的解集为R ，求a 的取值范围. 练习：已知不等式(a 2-1)x 2-(a -1)x-1＜0的解集为R ，求实数a 的取值范围. 3.2 一元二次不等式及其解法（练习课） 教学要求：掌握一元二次不等式的解法；能借助二次函数的图象及一元二次方程解决相应的不等式问题. 教学重点：应用性问题. 教学难点：综合应用. 教学过程： 一、复习准备： 1、提问：实数比较大小的方法？ 2、讨论：不等式的性质有哪些？ 二、基础练习： 1.一元二次不等式的解法. ① 解不等式22370x x -++≥ ② 不等式(1)(2)0x x --≥的解集_______________ 2.实数比较大小的方法． ① 比较2 33x x +与的大小，其中x R ∈． ② 设x R ∈，比较 1 11x x -+与 的大小. 3.不等式性质的应用. ① 如果a R ∈，且20a a +<，那么2 2 ,,,a a a a --的大小关系是___________________ ② 已知1260,1536a b <<<<，则a a b b -及的取值范围分别是__________________ ③ 已知,a b c d ><，求证a c b d ->- 三、巩固练习 1. 较大小：比较6 4 2 1x x x ++与的大小，其中x R ∈ 2．若01a <<．则不等式1()()0a x x a -->的解是______________ 3．不等式||(13)0x x ->的解集是__________________ 4．若0a b >>，则()()0a bx ax b --≤的解集是___________________ 5. 已知22111 0,1,1,,211a A a B a C D a a - <<=+=-== +-，试将,,,A B C D 按大小顺序排列 6. 已知2 2 π π αβ- ≤<≤ ，求 2 αβ -的范围 *7.解关于x 的不等式2 2(1)40ax a x -++> *8 如果方程2 2 (1)20x m x m +-+-=的两个不等实根均大于1，求实数m 的取值范围 9. 若二次函数()y f x =的图象经过原点，且1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，求(2)f -的取值范围. 课后作业 教材P91 B 1、2、3、4 3.1基本不等式（一） 教学要求：通推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等； 教学重点： 2 a b +≤的证 明过程； 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： 一、复习准备： 1. 回顾：二元一次不等式（组）与简单的线形规划问题。 2. 提问：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？ 二、讲授新课： 1. 教学：基本不等式 2 a b +≤ ①探究：图形中的不等关系，将图中的“风车”抽象成 如图，在正方形ABCD 中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab ，正方形的面积为22a b +。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：222a b ab +≥。当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b 时，正方形EFGH 缩为一个点，这时有222a b ab +=。（教师提问→学生思考→师生总结） ②思考：证明一般的，如果)""(2R,,2 2 号时取当且仅当那么==≥+∈b a ab b a b a ③基本不等式：如果a>0,b>0,我们用分别代替a 、b ，可得a b +≥， (a>0,b>0)2 a b +≤ 2 a b +≤： 用分析法证明：要证 2 a b +≥(1)， 只要证 a+b ≥ (2)， 要证（2） ，只要证 a+b- ≥0（3）要证（3）， 只要证（ - ）2 （4）， 显然，（4）是成立的。当且仅当a=b 时，（4）中的等号成立。 ⑤练习：已知x 、y 都是正数，求证：(1)y x x y +≥2；(2)（x ＋y ）（x 2＋y 2）（x 3＋y 3） ≥８x 3y 3 . ⑥探究：课本第110页的“探究”：（结论：如果把 2 b a +看作是正数a 、 b 的等差中项，ab 看作是正数a 、b 的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小 于它们的等比中项.） 探究:如图，AB 是圆的直径，点C 是AB 上一点，A C=a ,B C=b .过点C 作垂直于AB 的弦DD′， 连结A D 、B D.你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ ab CD = ab 表示半弦长， 2 b a +表示半径长由半径大于半弦可得 2 b a a b +≤ 当且仅当点C 与圆心重合，即当a =b 时可取等号 布置作业 活动与探究：已知a 、b 都是正数，试探索b a 112 +,ab ,2b a +,222 b a +的大小关系， 并证明你的结论 分析：（方法一）由特殊到一般，用特殊值代入，先得到表达式的大小关系，再由不等式及实数的性质证明 （方法二）创设几何直观情景.设A C=a ,B C=b ，用a 、b 表示线段ＣＥ、ＯＥ、ＣＤ、ＤＦ的长度，由ＣＥ＞ＯＥ＞ＣＤ＞ＤＦ可得. 2. 小结：①两正数a 、b 的算术平均数与几何平均数成立的条件。②理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵。 三、巩固练习： 1. 练习：教材114页练习的第1题。 2. 作业：教材114页习题[A]组的第1题. 3.2基本不等式与最大（小）值 教学目标: 2 a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值；能够解决一些简单的实际问题； 重点难点:1. 2a b +≤ 的应用 2. 2 a b +≤求最大值、最小值。 教学过程: 一、情境引入，提出问题 1 、基本不等式及其等号成立的条件2 a b +≥，222a b ab +≥ 2、若0x >，求1 y x x =+ 的最小值； “模块一”中可以利用函数的单调性得出解答，但利用基本不等式更方便； 二、讲授新课 1、思考、讨论下列问题 （1）长为16cm 的细铁丝围成的矩形中，面积最大有多大？ （2）面积为162cm 的矩形中，周长最小为多少？ 2、抽象概括 （1）长为16cm 的细铁丝围成的矩形中，边长为4cm 的正方形面积最大；面积为162cm 的矩形中，边长为4cm 的正方形周长最小； （2）当x y 、都为正数时，有下列结论： 若x y s +=（定值）时，则当x y =时，积xy 取得最大值，且最大值为2 4 s ； 若xy p =（定值）时，则当x y =时，和x y +取得最小值， 且最小值为。 （3）“一正、二定、三相等” 三、范例及思考 例1求出函数x x y -+=33的最小值 已知2 3 0< 例2 设x y 、为正数，且2520x y +=，求lg lg u x y =+的最大值。 Ex:1.下列函数中，最小值为2的是（ ） （Ａ）x x y 1 + = (Ｂ)x x y 2 2 1 + = （Ｃ）2 1 22 2 ++ += x x y （Ｄ）x x y sin 1sin + = 2、设0 3、若x>0,y>0且 18 2=+y x 则xy 有最_______值其大小为_____________ 四、典例分析，变式训练 例1、已知45 4124-+-=x x y 的最大值 变式、已知x x x f 312 )(+= (1)若0>x 求)(x f 的最小值（2）若0 例2、设20< 变式、已知2 3 0< 81≥xy (2)求y x 1 1+的最小值。 变式、已知R y x + ∈ ,且 19 1=+y x 求y x +的最小值。 例4、已知2>x ，求函数2 12)(2 -+-= x x x f x 的值域。 例5、、求 1 32 2 ++= x x y 的最小值。 五、课堂小结 1、和一定时，积最大；积一定时，和最小；“一正、二定、三相等” 2、解应用题时，要审题、列函数式、合理准确地利用基本不等式解决问题。 六、课外训练 1、已知0 2、设x,y 是满足2x+y=20的正数，则lgx+lgy 的最大值是（ ） A: 50 B: 20 C: 1+lg5 D: 1 3、设x,y 且x+y=5则 33 y x +的最小值是（ ） 4、设a,b,c 为正数，则)1 1)( (c b a c b a ++++的最小值为___________________。 5、若正数a,b 满足ab=a+b+3,则ab 的取值范围是_____________________。 6、求证： ac bc ab c b a ++≥++2 22 ),,(R c b a ∈ 3.３基本不等式（三） 教学要求 2 a b +≤；会应用此不等式求某些函数的最值； 能够解决一些简单的实际问题 教学重点 2 a b +≤的应用 教学难点 2 a b +≤求最大值、最小值。 教学过程： 一、复习准备： 1. 讨论：重要不等式？基本不等式？ 2. 提问：ab b a ab b a ≥+≥+2 222和成立的条件？ 二、讲授新课： 1. 教学：最大值、最小值。 ① 出示例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m 2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？（2）段长为36 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少? 分析：根据题意：→如何设长、宽？ 应用什么知识？ 怎样应用？ → 学生讲述解答过程。 → 小结：解决应用问题，首先读懂题意，思考用什么方法去解决。 ②练习：用绳子围成一块矩形场地，若绳长为20米，则围成最大矩形的面积是 ；若要围出一块100米2 的场地，则绳子最短为 。 ③出示例2：某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3,深为3m ，如果池底每1m 2的造价为150元，池壁每1m 2的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？ 分析：→如何由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式？→如何求函数的最值，用到了什么定理？→师生共同解答。→小结：应注意数学语言的应用即函数解析式的建立和注意不等式性质的适用条件。 ④练习：建造一个容积为18立方米，深为2米的长方体有盖水池。如果池底和池壁每平方米的造价分别是200元和150元，那么如何建造，池的造价最低，为多少？ 2. 小结：用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； 第三章不等式 定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子。 3-1 不等式的最基本性质 ①对称性：如果x＞y，那么y＜x；如果y＜x，那么x＞y； ②传递性：如果x＞y，y＞z；那么x＞z； ③加法性质；如果x＞y，而z为任意实数，那么x＋z＞y ＋z； ④乘法性质：如果x＞y，z＞0，那么xz＞yz；如果x＞y，z＜0，那么xz＜yz;（符号法则） 3-2 不等式的同解原理 ①不等式F（x）＜G（x）与不等式G（x）＞F（x）同解。 ②如果不等式F （x ） ＜ G （x ）的定义域被解析式H （ x ）的定义域所包含，那么不等式 F （x ）＜G （x ）与不等式F （x ）＋H （x ）＜G （x ）＋H （x ）同解。 ③如果不等式F （x ）＜G （x ） 的定义域被解析式H （x ）的定义域所包含，并且H （x ）＞0，那么不等式F(x)＜G （x ）与不等式H （x ）F （x ）＜H （ x ）G （x ） 同解；如果H （x ）＜0，那么不等式F （x ）＜G （x ）与不等式H (x)F （x ）＞H （x ）G （x ）同解。 ④不等式F （x ）G （x ）＞0与不等式 0)x (G 0)x (F >>或0)x (G 0)x (F <<同解 不等式解集表示方式 F(x)>0的解集为x 大于大的或x 小于小的 F(x)<0的解集为x 大于小的或x 小于大的 3-3 重要不等式 3-3-1 均值不等式 1、调和平均数： )a 1...a 1a 1(n H n 21n +++= 2、几何平均数： n 1 n 21n )a ...a a (G = 3、算术平均数： n )a a a (A n 21n +++= 4、平方平均数： n )a ...a a (Q 2n 2221n +++= 这四种平均数满足Hn ≤Gn ≤An ≤Qn a1、a2、… 、an ∈R +，当且仅当a1=a2= … =an 时取“=”号 3-3-1-1均值不等式的变形 (1)对正实数a,b ，有2ab b a 22≥+ (当且仅当a=b 时 取“=”号) 第三节：均值不等式 1.★★若正数a b c ，，满足24288c bc ac ab ＋＋＋＝，则2a b c ＋＋的最小值为 A. 3 B.23C.2 D.2 2 答案：D 2. ★★(2014 河北唐山二模文)若实数a b c ，，满足2228a b c ＋＋＝，则a b c ＋ ＋的最大值为 A.9 B.23 C.3 2 D.2 答案：D 3. ★★(2014 河北衡水四调理)已知,,,ABC A B C ?∠∠∠中的对边分别为,,a b c ,若 1, 2 2a cosC c b =+=,则ABC ?的周长的取值范围是__________. 答案：](32， 4. ★ (2014 河北衡水三调理)已知,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a c b >> 答案：C 5.★★( 2014 河北衡水三调理)已知各项均为正数的等比数列满足, 若存在两项 的最小值为 （ ） A ． B ． C ． D ．9 答案：A 6. ★★(2014 河北衡水三调文)已知0,0,lg 2lg8lg 2x y x y >>+=，则113x y +的最小值是. 答案：4 7. ★★(2014 河北衡水四调文)函数2()2l n f x x x b x a =+-+(0,)b a R >∈在点{}n a 7652a a a =+,m n a a 114 4,a m n =+则3 2 539 4 (),()b f b 处的切线斜率的最小值 是（ ） A.2 1 答案：A 8. ★★(2014 河北冀州中学月考文)若正实数满足 恒成立，则 的最大值为. 答案：1 9. ★★★(2012 山西襄汾中学高考练兵理)设x 、y 满足约束条件，若目 标函数(00)z ax by a b =+>>其中，的最大值为3，则+的最小值为 A ．3 B ．1 C ．2 D ．4 答案：A 10. ★★★(2014 河南郑州2014第一次质量预测理)已知,a b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ?=?= ，则对任意的正实数t ，1||c ta b t ++ 的最小值是（ ） A ．2 B ．．4 D ．答案：B 11. ★★(2014 河南中原名校期中联考理)已知00x y ＞，＞，若222y x m m x y 8＋＞＋恒成立，则实数m 的取值范围是 A ．42m m ≥≤或－ B ．24m m ≥≤或－ C ．24m －＜＜ D ．42m －＜＜ 答案：D 12. ★(2013 河南许昌市期中理)若实数x y ，满足221x y xy ++=，则x y +的最大值是 ． 答案： ,x y 2x y +=M ≥M 23023400x y x y y -+≥?? -+≤??≥? 1a 2 b 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 不等式证明基本方法 例1 ：求证：221a b a b ab ++≥+- 分析：比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法，常用作差法和作商法，此题用作差法较为简便。 证明：221()a b a b ab ++-+- 2221[()(1)(1)]02 a b a b =-+-+-≥ 评注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论 2．作差后的变形常用方法有因式分解、配方、通分、有理化等，应注意结合式子的形式，适当选 用。 例2：设c b a >>，求证：b a a c c b ab ca bc 2 22222++<++ 分析：从不等式两边形式看，作差后可进行因式分解。 证明：)(222222b a a c c b ab ca bc ++-++ =)()()(a b ab c a ca b c bc -+-+- =)()]()[()(a b ab c b b a ca b c bc -+-+-+- =))()((a c c b b a --- c b a >>Θ，则,0,0,0<->->-a c c b b a ∴0))()((<---a c c b b a 故原不等式成立 评注：三元因式分解因式，可以排列成一个元的降幂形式： =++-++)(222222b a a c c b ab ca bc )())(()(2a b ab b a b a c a b c -++-+-，这样容易发现规律。 例3 ：已知,,a b R +∈求证：11()()2()n n n n a b a b a b ++++≤+ 证明：11()()2()n n n n a b a b a b ++++-+ 11n n n n a b ab a b ++=+-- ()()n n a b a b a b =-+- ()()n n a b b a =-- 弹性学制数学讲义 不等式（4课时） ★知识梳理 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b ab +≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： 2a b a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、 三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 33a b c abc ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）. ④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a 均值不等式 1.均值不等式 知识点1: 二元均值不等式可以推广到n 元，即： 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数，则 12n a a a n ++ + ≥1 23 a a a a n === =）. 如何证明? 知识点2: 设,,, 123 a a a a n 为n 个非负实数 ,n Q , 12n n a a a A n ++ += , n G =, 12 111n n n H a a a = ++,则n n n n Q A G H ≥≥≥(等号成立当且仅当 123a a a a n ====) 更一般的平均值的定义: 设正数(1,2,3...)i a i n =,则α的幂平均值=1 1 ( )n i i a n α α =∑,特 别的,我们有: lim ()n f G αα→=，1 1 ()( )n i i a f n α α α==∑为关于α的增函数. 知识点3:重要结论 (1)2 22,,,.a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (2) ()2 ,,,3().a b c R a b c ab bc ac ∈++≥++ (3) 2222,,,3()().a b c R a b c a b c ∈++≥++ (4) 2,,,()3().a b c R ab bc ca abc a b c ∈++≥++ (5) ,,,()()()()().a b c R a b b c a c abc a b c ab cb ac ∈++++=++++ (6) 222;2a a a b b a b b -≥-+≥(a,b,c>0) (7) 2222221 ()()3 a b b c c a a b c a b c ++≤++++(a,b,c>0) (8)正实数(1,2,3...)i a i n =,则 21 1 1 n n i i i i a n a ==?≥∑∑ (当且仅当12...n a a a ===); (9) 222222222222()()()()()a b b c c a ab bc ca a b c a bc b ca c ab ++++=++++ 知识点4:加权平均值不等式 已知 12+...1(0,1,2.,,,) n i w w w w i n +=>=，则对任意正实数 12112212........n w w w n n n w a w a w a a a a +++≥. 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 第二讲 解不等式（一） 一、知识梳理 （一）考点目标定位 高考中解不等式主要涉及到一元一次不等式（组）、一元二次不等式（组）、分式不等式（组）、绝对值不等式（组）、指数不等式（组）、对数不等式（组）、三角不等式（组）以及含参数的不等式等。其中尤以一元二次不等式、分式不等式、对数不等式、三角不等式为热门。 解不等式在高考中的题型主要是在综合题中作为解题的一个步骤有所涉及，在填空题中和集合结合为简单题型。 （二）复习方略指南 熟悉各种不等式的解题方法，特别是要注意分式不等式、对数不等式和三角不等式的定义域情况以及一元二次不等式的判别式情况。 二、知识回顾 1、不等式|2x 2－1|≤1的解集为 {x |－1≤x ≤1} 2、已知全集U R =，集合{}240M x x =-≤，则U M e= {} ()()+∞-∞--<>,22,22 或或x x x 3、不等式09 311421 2≥-x x 的解集为______(,3][2,)-∞-+∞_________ 4、不等式3 2-+x x x ）（＜0的解集为 ()(),20,3-∞- 5、不等式()210ax ab x b +++>的解集为{}12x x <<，则a b +=___－ 23或－3____. 解析：∵ax 2+（ab +1）x +b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}， ∴???? ?????==+-<.2310a b a ab a ，，解得?????-=-=121b a ，或???-=-=.21b a ， ∴a +b =－23或－3. 6、不等式||52||1 x x ->-+的解集是 (1)(1-???，， ． 三、典型例题 例1、解不等式：()R a x a ax ∈+<+2 1 解：原不等式化为()112-<-a x a 当1,1+<>a x a 有时； 当11+>-x x 解一：原不等式可化为??????<<-?∈<<-?∈-<-222223022x R x x R x x 均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 浅谈高中数学不等式的证明方法 姜堰市罗塘高级中学 李鑫 摘要：不等式是中学数学的重要知识，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解。 关键字：比较法，分析法，综合法，反证法，放缩法，数学归纳法，换元法，均值不等式，柯西不等式，导数法 不等式在中学数学中占有重要地位，因此在历年高考中颇为重视。由于不等式的形式各异, 所以证明没有固定的程序可循，技巧多样，方法灵活，因此有关不等式的证明是中学数学的难点之一。本文从不等式的各个方面进行讲解和研究。 一．比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法。 例1 已知：0>a ，0>b ，求证：ab b a ≥+2. 分析：两个多项式的大小比较可用作差法 证明 02 )(2222 ≥-=-+=-+b a ab b a ab b a ， 故得 ab b a ≥+2 . 例2 设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >. 分析：对于含有幂指数类的用作商法 证明 因为 0>>b a ， 所以 1>b a ，0>- b a . 而 1>??? ??=-b a a b b a b a b a b a ， 故 a b b a b a b a > 二．分析法 从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立，这种方法叫做分析法。 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 高中数学不等式的几种常见证明方法 摘 要：不等式是中学数学的重要知识，考察学生对不等式理论熟练掌握的程度也是衡量学生数学水平的重要方面，同时，不等式也是高中数学的基础，因此，在每年的数学高考题中，有关不等式的相关题目都有所出现，本文介绍了几种不等式的证明方法，并举例进一步加强对各种不等式的理解. 关键字：不等式；数学归纳法；均值；柯西不等式 一、比较法 所谓比较法，就是通过两个实数a 与b 的差或商的符号（范围）确定a 与b 大小关系的方法，即通过“0a b ->，0a b -=，0a b -<；或1a b >，1a b =，1a b <”来确定a ，b 大小关系的方法，前者为作差法，后者为作商法. 例 1 设,x y R ∈，求证：224224x y x y ++≥+. 证明： 224224x y x y ++-- ＝2221441x x y y -++-+ ＝22(1)(21)x y -+- 因为 2(1)0x -≥， 2(21)0y -≥ ∴ 22(1)(21)0x y -+-≥ ∴2242240x y x y ++--≥ ∴224224x y x y ++≥+ 例 2 已知：a ＞b ＞c ＞0, 求证：222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++??. 证明：222a b c b c a c b c a b c a b c +++????＝222a b c b a c c b c a b c ------?? ＞222a b c b a c c b c c c c ------?? ＝0c ＝1 222a b c b c a c b c a b c a b c +++??∴??＞1 ∴222a b c a b c ??＞b c a c b c a b c +++?? 二、分析法 分析法：从求证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，把证明这个不等式的问题转化为证明这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以判定所证的不等式成立. 例 3 求证3< 证明： 960+>> 5456<成立∴原不等式成立运用分析法时，需积累一些解题经验，总结一些常规思路，这样可以克服无目的的乱写，从而加强针对性，较快地探明解题的途径. 三、综合法 从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法. 例 4 已知,a b R +∈，1a b +=，求证：221125()()2 a b a b +++≥ 证明：∵ 1a b += ∴ 1=22222()22()a b a b ab a b +=++≤+ ∴ 221 2 a b +≥ 不等式的基本知识 一、解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则 不等式的解的各种情况如下表： 0>? 0=? 0a ）的图象 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 c bx ax y ++=2 一元二次方程 ()的根 00 2 >=++a c bx ax 有两相异实根 )(,2121x x x x < 有两相等实根 a b x x 221- == 无实根 的解集)0(02>>++a c bx ax {}2 1 x x x x x ><或 ???? ??-≠a b x x 2 R 的解集 )0(02><++a c bx ax {}21 x x x x << ? ? 2、标根法：其步骤是： 1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正； 2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回； 3）根据曲线显现()f x 的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0() ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥??≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < 二、线性规划 1、用二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法 由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数： 关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数． ③线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解： 满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域． 使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数； 2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； 3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解(完整版)高中数学不等式归纳讲解
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