客房最优分配模型
摘要：本文要讨论根据一个时段内常客户提出的房间预订要求，以及当前各种价位房源的价格和剩余状况，以酒店收入最大为目标，分别针对常规策略、免费升级策略、和折扣优惠策略三种情况建立整数线性规划模型，此模型先是以每类客房客人入住的天数以及其相对应的价格为切入点，先分别求出两类客房的最优分配模型，然后再由模型二将两类客房合并共同计算出最优分配模型，最后再结合折扣优惠的策略将模型优化建立模型三。运用LINGO软件求解模型，比较三个模型的收入状况，由此可以得出旅行社的客房分配的最优模型。
关键词：整数线性规划模型、LINGO软件、折扣优惠策略。
一、问题重述
一家酒店利用网络系统为常客户开设标准间和商务间两类客房的预订服务，酒店以一周（从星期一到星期日）为一个时段处理这项业务。现在收到旅行社提出的一个一周的预订需求单，见表1和表2。在表1中标以“星期一”那一行数字表示；星期一入住，只预订当天的2间，预订到星期二的20间，预订到星期三的6间，……，一直预订到星期日的7间。其他各行及表2都是类似的。
酒店对旅行社的报价见表3和表4。表中数字的含义与表1和表2相对应，如对于表3，星期一入住，只住当天的每间888元，住到星期二的每间1680元，……，一直住到星期日的每间4973元。从这些数字可以看出，酒店在制定客房的报价时，对居住时间越长的顾客，给予的优惠越大。考虑到周末客房使用率高的统计规律，这两天的价格定位相对较高。这些价格全部对外公布。
现在的任务是，根据表1至表5的信息，以酒店收入最大为目标，针对以下3种不同情况，制订旅行社的客房分配方案。
（1）完全按照客户提出的不同价位客房预订要求制订分配方案，称为常规策略。
（2）在标准间（低价位客房）不够分配、而商务间（高价位客房）有剩余的情况下，将一部分商务间按对标准间的需求进行分配并收费，称为免费升级策略。（3）在首选价位客房无法满足需求、而其他价位客房有剩余的情况下，采用打折优惠的办法鼓励部分顾客改变原来的需求，选择其他价位客房，称为折扣优惠策略。
可以看出，第2，3种策略既可解决房源紧张的状况，又有利于提高酒店的声誉，还可以预见，这两种策略能够为酒店带来比常规策略更多的收入，让我们建立并求解这样一些模型，看看究竟能为酒店创造多大的效益。
二、模型假设
（1）这个酒店只提供标准房和商务房；
（2）无中途退房现象；
（3）假设客房的折扣优惠均为打八折，有80%选择住。
三、符号说明
i j
：从周i住到周j；
d：第i天客房的需求；
ij
p：第i天客房的价格；
ij
x：第i天入住的客房数；
ij
a：第i天客房的客房数；
i
x'：标准间第i天入住的客房数；
ij
ij x ''：商务间转为标准间第i 天入住的客房数；
ij x '''：商务间第i 天入住的客房数；
ij p '：标准间第i 天客房的价格；
ij p ''：商务间第i 天客房的价格；
i a '：标准间第i 天客房的客房数；
i a ''：商务房第i 天客房的客房数。
四、 模型的建立与求解
模型一：常规策略模型
问题的决策变量即分配两类客房从第i 天入住到第j 天的房间数j i x ,。而酒店收入最大为问题解决的目标，问题的约束条件如下：第一个约束条件为两类客房的分配量都不应超出各自的需求量，当然，由于分配量越大收入越大，所以当以收入最大为目标时，分配会尽量满足需求；第二个约束要求在连续若干天入住时，每天分配的房间数都不应超过当天房间的提供量。由以上条件则可得出如下模型： ∑∑===717
1max i j ij ij x p
???????????∈≤++≤+++++≤++==≤Z 7..1,7..1i 7772717227221713121
171211ij ij ij x a x x x a x x x x x a x x x j d x
采用LINGO 软件求解整数线性规划模型一，程序见附录1（标准间）和附录2（商务间），得出结果如下：
总收入为：标准间的收入+商务间的收入，即757903.0+616200.0=1374103.0元。
两类房间的分配方案如下：
模型二：免费升级策略模型
由模型一的思路，再加上商务间转化为标准间所得到的收入，将两类客房结合起来求最大收入，再结合模型一的约束条件可建立以下模型：
])[(max ''''''717
1'''ij ij ij i j ij ij p x p x x ++=∑∑==
???????????????∈=≤+=≤==≤==≤+∑∑∑∑====N x x x n a x x n a x j i d x j i d x x t s ij ij ij n i n j i ij ij n i n j i ij ij ij ij ij ij ''''''17'''''''17''''''''''',,7..1)(7..17..1,7..17..1;7..1..
由软件计算出的结果为：1448613.0元。
两类房间的分配方案如下：
模型三：折扣优惠策略模型
将模型二进行优化，即当商务间转为标准间使用时，出售价格按照商务间的价格加上折扣，设定折扣为打八折，则，可以建立以下模型：
∑∑==++=717
1
''''''''''')%80(max i j ij ij ij ij ij ij p x p x p x ???????????????∈=≤+=≤==≤==≤+∑∑∑∑====N x x x n a x x n a x j i d x j i d x x t s ij ij ij n i n j i ij ij n i n j i ij ij ij ij ij ij ''''''17'''''''17''''''''''',,7..1)%80(7..17..1,7..17..1;7..1%80..
五、 模型分析与优化
应该指出，由上面这些模型得到的分配方案只考虑了客户需求和房间的可供应量这两个约束，而在实际问题中可能还会有其他的条件，比如其他客房有空房而可以填补不足的客房等等
另外，当制订的分配方案不能完全满足客户需求时，客户会改变原来的需求，这就需要反复调整，并且采用各种策略与客户磋商，争取达到双方满意的结果。
参考文献：
[1]周义仓，赫孝良编，《数学建模实验》，西安：西安交通大学出版社，1999。
[2]赫孝良，《数学建模竞赛赛题简析与论文点评》，西安：西安交通大学出版社，2002。
[3]白其峥，《数学建模案例分析主编》，北京：海洋出版社，2000。
[4]寿纪麟，《数学建模-方法与范例》，西安：西安交通大学出版社 1993。
附录1：
Global optimal solution found.
Objective value: 757903.0
Objective bound: 757903.0
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 9
Variable Value Reduced Cost A( 1) 100.0000 0.000000 A( 2) 140.0000 0.000000 A( 3) 160.0000 0.000000
A( 5) 150.0000 0.000000 A( 6) 150.0000 0.000000 A( 7) 150.0000 0.000000 D( 1, 1) 2.000000 0.000000 D( 1, 2) 20.00000 0.000000 D( 1, 3) 6.000000 0.000000 D( 1, 4) 10.00000 0.000000 D( 1, 5) 15.00000 0.000000 D( 1, 6) 18.00000 0.000000 D( 1, 7) 7.000000 0.000000 D( 2, 1) 0.000000 0.000000 D( 2, 2) 5.000000 0.000000 D( 2, 3) 0.000000 0.000000 D( 2, 4) 8.000000 0.000000 D( 2, 5) 10.00000 0.000000 D( 2, 6) 10.00000 0.000000 D( 2, 7) 20.00000 0.000000 D( 3, 1) 0.000000 0.000000 D( 3, 2) 0.000000 0.000000 D( 3, 3) 12.00000 0.000000 D( 3, 4) 17.00000 0.000000 D( 3, 5) 14.00000 0.000000 D( 3, 6) 9.000000 0.000000 D( 3, 7) 30.00000 0.000000 D( 4, 1) 0.000000 0.000000 D( 4, 2) 0.000000 0.000000 D( 4, 3) 0.000000 0.000000 D( 4, 4) 0.000000 0.000000 D( 4, 5) 6.000000 0.000000 D( 4, 6) 15.00000 0.000000 D( 4, 7) 20.00000 0.000000 D( 5, 1) 0.000000 0.000000 D( 5, 2) 0.000000 0.000000 D( 5, 3) 0.000000 0.000000 D( 5, 4) 0.000000 0.000000 D( 5, 5) 30.00000 0.000000 D( 5, 6) 27.00000 0.000000 D( 5, 7) 20.00000 0.000000 D( 6, 1) 0.000000 0.000000 D( 6, 2) 0.000000 0.000000 D( 6, 3) 0.000000 0.000000 D( 6, 4) 0.000000 0.000000 D( 6, 5) 0.000000 0.000000
D( 6, 7) 10.00000 0.000000 D( 7, 1) 0.000000 0.000000 D( 7, 2) 0.000000 0.000000 D( 7, 3) 0.000000 0.000000 D( 7, 4) 0.000000 0.000000 D( 7, 5) 0.000000 0.000000 D( 7, 6) 0.000000 0.000000 D( 7, 7) 22.00000 0.000000 X( 1, 1) 2.000000 -888.0000 X( 1, 2) 20.00000 -1680.000 X( 1, 3) 6.000000 -2530.000 X( 1, 4) 10.00000 -3197.000 X( 1, 5) 15.00000 -3996.000 X( 1, 6) 18.00000 -4795.000 X( 1, 7) 7.000000 -4973.000 X( 2, 1) 0.000000 0.000000 X( 2, 2) 5.000000 -888.0000 X( 2, 3) 0.000000 -1680.000 X( 2, 4) 8.000000 -2530.000 X( 2, 5) 10.00000 -3179.000 X( 2, 6) 10.00000 -3996.000 X( 2, 7) 20.00000 -4262.000 X( 3, 1) 0.000000 0.000000 X( 3, 2) 0.000000 0.000000 X( 3, 3) 12.00000 -888.0000 X( 3, 4) 17.00000 -1680.000 X( 3, 5) 0.000000 -2530.000 X( 3, 6) 0.000000 -3374.000 X( 3, 7) 27.00000 -3552.000 X( 4, 1) 0.000000 0.000000 X( 4, 2) 0.000000 0.000000 X( 4, 3) 0.000000 0.000000 X( 4, 4) 0.000000 -888.0000 X( 4, 5) 3.000000 -1776.000 X( 4, 6) 0.000000 -2664.000 X( 4, 7) 20.00000 -3197.000 X( 5, 1) 0.000000 0.000000 X( 5, 2) 0.000000 0.000000 X( 5, 3) 0.000000 0.000000 X( 5, 4) 0.000000 0.000000 X( 5, 5) 0.000000 -999.0000 X( 5, 6) 0.000000 -1998.000 X( 5, 7) 20.00000 -2697.000
X( 6, 2) 0.000000 0.000000 X( 6, 3) 0.000000 0.000000 X( 6, 4) 0.000000 0.000000 X( 6, 5) 0.000000 0.000000 X( 6, 6) 18.00000 -999.0000 X( 6, 7) 10.00000 -1680.000 X( 7, 1) 0.000000 0.000000 X( 7, 2) 0.000000 0.000000 X( 7, 3) 0.000000 0.000000 X( 7, 4) 0.000000 0.000000 X( 7, 5) 0.000000 0.000000 X( 7, 6) 0.000000 0.000000 X( 7, 7) 22.00000 -888.0000 P( 1, 1) 888.0000 0.000000 P( 1, 2) 1680.000 0.000000 P( 1, 3) 2530.000 0.000000 P( 1, 4) 3197.000 0.000000 P( 1, 5) 3996.000 0.000000 P( 1, 6) 4795.000 0.000000 P( 1, 7) 4973.000 0.000000 P( 2, 1) 0.000000 0.000000 P( 2, 2) 888.0000 0.000000 P( 2, 3) 1680.000 0.000000 P( 2, 4) 2530.000 0.000000 P( 2, 5) 3179.000 0.000000 P( 2, 6) 3996.000 0.000000 P( 2, 7) 4262.000 0.000000 P( 3, 1) 0.000000 0.000000 P( 3, 2) 0.000000 0.000000 P( 3, 3) 888.0000 0.000000 P( 3, 4) 1680.000 0.000000 P( 3, 5) 2530.000 0.000000 P( 3, 6) 3374.000 0.000000 P( 3, 7) 3552.000 0.000000 P( 4, 1) 0.000000 0.000000 P( 4, 2) 0.000000 0.000000 P( 4, 3) 0.000000 0.000000 P( 4, 4) 888.0000 0.000000 P( 4, 5) 1776.000 0.000000 P( 4, 6) 2664.000 0.000000 P( 4, 7) 3197.000 0.000000 P( 5, 1) 0.000000 0.000000 P( 5, 2) 0.000000 0.000000
P( 5, 4) 0.000000 0.000000 P( 5, 5) 999.0000 0.000000 P( 5, 6) 1998.000 0.000000 P( 5, 7) 2697.000 0.000000 P( 6, 1) 0.000000 0.000000 P( 6, 2) 0.000000 0.000000 P( 6, 3) 0.000000 0.000000 P( 6, 4) 0.000000 0.000000 P( 6, 5) 0.000000 0.000000 P( 6, 6) 999.0000 0.000000 P( 6, 7) 1680.000 0.000000 P( 7, 1) 0.000000 0.000000 P( 7, 2) 0.000000 0.000000 P( 7, 3) 0.000000 0.000000 P( 7, 4) 0.000000 0.000000 P( 7, 5) 0.000000 0.000000 P( 7, 6) 0.000000 0.000000 P( 7, 7) 888.0000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 22.00000 0.000000
2 11.00000 0.000000
3 0.000000 0.000000
4 23.00000 0.000000
5 0.000000 0.000000
6 0.000000 0.000000
7 24.00000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 0.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
12 0.000000 0.000000
13 0.000000 0.000000
14 0.000000 0.000000
15 0.000000 0.000000
16 0.000000 0.000000
17 0.000000 0.000000
18 0.000000 0.000000
19 0.000000 0.000000
20 0.000000 0.000000
21 0.000000 0.000000
22 0.000000 0.000000
23 0.000000 0.000000
25 0.000000 0.000000
26 14.00000 0.000000
27 9.000000 0.000000
28 3.000000 0.000000
29 0.000000 0.000000
30 0.000000 0.000000
31 0.000000 0.000000
32 0.000000 0.000000
33 3.000000 0.000000
34 15.00000 0.000000
35 0.000000 0.000000
36 0.000000 0.000000
37 0.000000 0.000000
38 0.000000 0.000000
39 0.000000 0.000000
40 30.00000 0.000000
41 27.00000 0.000000
42 0.000000 0.000000
43 0.000000 0.000000
44 0.000000 0.000000
45 0.000000 0.000000
46 0.000000 0.000000
47 0.000000 0.000000
48 0.000000 0.000000
49 0.000000 0.000000
50 0.000000 0.000000
51 0.000000 0.000000
52 0.000000 0.000000
53 0.000000 0.000000
54 0.000000 0.000000
55 0.000000 0.000000
56 0.000000 0.000000
57 757903.0 1.000000 附录2：
Global optimal solution found.
Objective value: 616200.0
Objective bound: 616200.0
Infeasibilities: 0.000000
Extended solver steps: 0
Total solver iterations: 0
Variable Value Reduced Cost A( 1) 80.00000 0.000000 A( 2) 120.0000 0.000000 A( 3) 120.0000 0.000000 A( 4) 120.0000 0.000000 A( 5) 120.0000 0.000000 A( 6) 120.0000 0.000000
D( 1, 1) 12.00000 0.000000 D( 1, 2) 8.000000 0.000000 D( 1, 3) 6.000000 0.000000 D( 1, 4) 10.00000 0.000000 D( 1, 5) 5.000000 0.000000 D( 1, 6) 4.000000 0.000000 D( 1, 7) 7.000000 0.000000 D( 2, 1) 0.000000 0.000000 D( 2, 2) 9.000000 0.000000 D( 2, 3) 12.00000 0.000000 D( 2, 4) 10.00000 0.000000 D( 2, 5) 9.000000 0.000000 D( 2, 6) 5.000000 0.000000 D( 2, 7) 2.000000 0.000000 D( 3, 1) 0.000000 0.000000 D( 3, 2) 0.000000 0.000000 D( 3, 3) 12.00000 0.000000 D( 3, 4) 7.000000 0.000000 D( 3, 5) 6.000000 0.000000 D( 3, 6) 5.000000 0.000000 D( 3, 7) 2.000000 0.000000 D( 4, 1) 0.000000 0.000000 D( 4, 2) 0.000000 0.000000 D( 4, 3) 0.000000 0.000000 D( 4, 4) 8.000000 0.000000 D( 4, 5) 7.000000 0.000000 D( 4, 6) 5.000000 0.000000 D( 4, 7) 1.000000 0.000000 D( 5, 1) 0.000000 0.000000 D( 5, 2) 0.000000 0.000000 D( 5, 3) 0.000000 0.000000 D( 5, 4) 0.000000 0.000000 D( 5, 5) 5.000000 0.000000 D( 5, 6) 8.000000 0.000000 D( 5, 7) 24.00000 0.000000 D( 6, 1) 0.000000 0.000000 D( 6, 2) 0.000000 0.000000 D( 6, 3) 0.000000 0.000000 D( 6, 4) 0.000000 0.000000 D( 6, 5) 0.000000 0.000000 D( 6, 6) 26.00000 0.000000 D( 6, 7) 18.00000 0.000000 D( 7, 1) 0.000000 0.000000
D( 7, 3) 0.000000 0.000000 D( 7, 4) 0.000000 0.000000 D( 7, 5) 0.000000 0.000000 D( 7, 6) 0.000000 0.000000 D( 7, 7) 0.000000 0.000000 X( 1, 1) 12.00000 -1100.000 X( 1, 2) 8.000000 -2200.000 X( 1, 3) 6.000000 -3000.000 X( 1, 4) 10.00000 -4000.000 X( 1, 5) 5.000000 -5000.000 X( 1, 6) 4.000000 -5800.000 X( 1, 7) 7.000000 -6000.000 X( 2, 1) 0.000000 0.000000 X( 2, 2) 9.000000 -1100.000 X( 2, 3) 12.00000 -2200.000 X( 2, 4) 10.00000 -3000.000 X( 2, 5) 9.000000 -4000.000 X( 2, 6) 5.000000 -5000.000 X( 2, 7) 2.000000 -5800.000 X( 3, 1) 0.000000 0.000000 X( 3, 2) 0.000000 0.000000 X( 3, 3) 12.00000 -1100.000 X( 3, 4) 7.000000 -2200.000 X( 3, 5) 6.000000 -3000.000 X( 3, 6) 5.000000 -4000.000 X( 3, 7) 2.000000 -5000.000 X( 4, 1) 0.000000 0.000000 X( 4, 2) 0.000000 0.000000 X( 4, 3) 0.000000 0.000000 X( 4, 4) 8.000000 -1100.000 X( 4, 5) 7.000000 -2200.000 X( 4, 6) 5.000000 -3300.000 X( 4, 7) 1.000000 -4000.000 X( 5, 1) 0.000000 0.000000 X( 5, 2) 0.000000 0.000000 X( 5, 3) 0.000000 0.000000 X( 5, 4) 0.000000 0.000000 X( 5, 5) 5.000000 -1200.000 X( 5, 6) 8.000000 -2400.000 X( 5, 7) 24.00000 -3300.000 X( 6, 1) 0.000000 0.000000 X( 6, 2) 0.000000 0.000000 X( 6, 3) 0.000000 0.000000
X( 6, 5) 0.000000 0.000000 X( 6, 6) 26.00000 -1200.000 X( 6, 7) 18.00000 -2300.000 X( 7, 1) 0.000000 0.000000 X( 7, 2) 0.000000 0.000000 X( 7, 3) 0.000000 0.000000 X( 7, 4) 0.000000 0.000000 X( 7, 5) 0.000000 0.000000 X( 7, 6) 0.000000 0.000000 X( 7, 7) 0.000000 -1100.000 P( 1, 1) 1100.000 0.000000 P( 1, 2) 2200.000 0.000000 P( 1, 3) 3000.000 0.000000 P( 1, 4) 4000.000 0.000000 P( 1, 5) 5000.000 0.000000 P( 1, 6) 5800.000 0.000000 P( 1, 7) 6000.000 0.000000 P( 2, 1) 0.000000 0.000000
P( 2, 2) 1100.000 0.000000 P( 2, 3) 2200.000 0.000000 P( 2, 4) 3000.000 0.000000 P( 2, 5) 4000.000 0.000000 P( 2, 6) 5000.000 0.000000 P( 2, 7) 5800.000 0.000000 P( 3, 1) 0.000000 0.000000 P( 3, 2) 0.000000 0.000000 P( 3, 3) 1100.000 0.000000 P( 3, 4) 2200.000 0.000000 P( 3, 5) 3000.000 0.000000 P( 3, 6) 4000.000 0.000000 P( 3, 7) 5000.000 0.000000 P( 4, 1) 0.000000 0.000000 P( 4, 2) 0.000000 0.000000 P( 4, 3) 0.000000 0.000000 P( 4, 4) 1100.000 0.000000 P( 4, 5) 2200.000 0.000000 P( 4, 6) 3300.000 0.000000 P( 4, 7) 4000.000 0.000000 P( 5, 1) 0.000000 0.000000 P( 5, 2) 0.000000 0.000000 P( 5, 3) 0.000000 0.000000 P( 5, 4) 0.000000 0.000000
P( 5, 6) 2400.000 0.000000 P( 5, 7) 3300.000 0.000000 P( 6, 1) 0.000000 0.000000 P( 6, 2) 0.000000 0.000000 P( 6, 3) 0.000000 0.000000 P( 6, 4) 0.000000 0.000000 P( 6, 5) 0.000000 0.000000 P( 6, 6) 1200.000 0.000000 P( 6, 7) 2300.000 0.000000 P( 7, 1) 0.000000 0.000000 P( 7, 2) 0.000000 0.000000 P( 7, 3) 0.000000 0.000000 P( 7, 4) 0.000000 0.000000 P( 7, 5) 0.000000 0.000000 P( 7, 6) 0.000000 0.000000 P( 7, 7) 1100.000 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price
1 28.00000 0.000000
2 33.00000 0.000000
3 18.00000 0.000000
4 27.00000 0.000000
5 25.00000 0.000000
6 13.00000 0.000000
7 66.00000 0.000000
8 0.000000 0.000000
9 0.000000 0.000000
10 0.000000 0.000000
11 0.000000 0.000000
12 0.000000 0.000000
13 0.000000 0.000000
14 0.000000 0.000000
15 0.000000 0.000000
16 0.000000 0.000000
17 0.000000 0.000000
18 0.000000 0.000000
19 0.000000 0.000000
20 0.000000 0.000000
21 0.000000 0.000000
22 0.000000 0.000000
23 0.000000 0.000000
24 0.000000 0.000000
25 0.000000 0.000000
27 0.000000 0.000000
28 0.000000 0.000000
29 0.000000 0.000000
30 0.000000 0.000000
31 0.000000 0.000000
32 0.000000 0.000000
33 0.000000 0.000000
34 0.000000 0.000000
35 0.000000 0.000000
36 0.000000 0.000000
37 0.000000 0.000000
38 0.000000 0.000000
39 0.000000 0.000000
40 0.000000 0.000000
41 0.000000 0.000000
42 0.000000 0.000000
43 0.000000 0.000000
44 0.000000 0.000000
45 0.000000 0.000000
46 0.000000 0.000000
47 0.000000 0.000000
48 0.000000 0.000000
49 0.000000 0.000000
50 0.000000 0.000000
51 0.000000 0.000000
52 0.000000 0.000000
53 0.000000 0.000000
54 0.000000 0.000000
55 0.000000 0.000000
56 0.000000 0.000000
57 616200.0 1.000000
附件3：
model:
sets:
w/1..7/:a1,a2;
links(w,w):d1,d2,x1,x2,x3,p1,p2;
endsets
data:
d1=2,20,6,10,15,18,7
0,5,0,8,10,10,20
0,0,12,17,14,9,30
0,0,0,0,6,15,20
0,0,0,0,30,27,20
0,0,0,0,0,18,10
0,0,0,0,0,0,22;
d2=12,8,6,10,5,4,7
0,9,12,10,9,5,2
0,0,12,7,6,5,2
0,0,0,8,7,5,1
0,0,0,0,5,8,24
0,0,0,0,0,26,18
0,0,0,0,0,0,0;
a1=100
140
160
188
150
150
150;
a2=80
120
120
120
120
120
120;
p1=888,1680,2530,3197,3996,4795,4973
0,888,1680,2530,3179,3996,4262
0,0,888,1680,2530,3374,3552
0,0,0,888,1776,2664,3197
0,0,0,0,999,1998,2697
0,0,0,0,0,999,1680
0,0,0,0,0,0,888;
p2=1100,2200,3000,4000,5000,5800,6000
0,1100,2200,3000,4000,5000,5800
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0,0,0,0,1200,2400,3300
0,0,0,0,0,1200,2300
0,0,0,0,0,0,1100;
enddata
@for(links(i,j):(x1(i,j)+x2(i,j))<=d1(i,j));
@for(links(i,j):x3(i,j)<=d2(i,j));
@for(w(i):@sum(links(n,j)|n#le#i#and#j#ge#i:x1(n,j))<=a1(i));
@for(w(i):@sum(links(n,j)|n#le#i#and#j#ge#i:x2(n,j)+x3(n,j))<=a2(i));
max=@sum(links(i,j):(p1(i,j)*(x1(i,j)+(x2(i,j)))+p2*(x3(i,j)))); end
Global optimal solution found.
Objective value: 1448613.
Infeasibilities: 0.000000
Total solver iterations: 58
Variable Value Reduced Cost
A1( 1) 100.0000 0.000000
A1( 2) 140.0000 0.000000
A1( 3) 160.0000 0.000000
A1( 4) 188.0000 0.000000
A1( 5) 150.0000 0.000000
A1( 6) 150.0000 0.000000
A1( 7) 150.0000 0.000000
A2( 1) 80.00000 0.000000
A2( 2) 120.0000 0.000000
A2( 3) 120.0000 0.000000
A2( 4) 120.0000 0.000000
A2( 5) 120.0000 0.000000
A2( 6) 120.0000 0.000000
A2( 7) 120.0000 0.000000
D1( 1, 1) 2.000000 0.000000
D1( 1, 2) 20.00000 0.000000
D1( 1, 3) 6.000000 0.000000
D1( 1, 4) 10.00000 0.000000
D1( 1, 5) 15.00000 0.000000
D1( 1, 6) 18.00000 0.000000
D1( 1, 7) 7.000000 0.000000
D1( 2, 1) 0.000000 0.000000
D1( 2, 2) 5.000000 0.000000
D1( 2, 3) 0.000000 0.000000
D1( 2, 4) 8.000000 0.000000
D1( 2, 5) 10.00000 0.000000
D1( 2, 6) 10.00000 0.000000
D1( 2, 7) 20.00000 0.000000
D1( 3, 1) 0.000000 0.000000
D1( 3, 2) 0.000000 0.000000
D1( 3, 3) 12.00000 0.000000
D1( 3, 4) 17.00000 0.000000
D1( 3, 5) 14.00000 0.000000
数模及模数转换器习题解答
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自我检测题 1.就实质而言，D/Ａ转换器类似于译码器,A/D 转换器类似于编码器。 2.电压比较器相当于１位A/D 转换器。 3．Ａ/D 转换的过程可分为 采样 、保持、量化、编码4个步骤。 ４．就逐次逼近型和双积分型两种A ／D 转换器而言, 双积分型 的抗干扰能力强, 逐次逼近型 的转换速度快。 5.A/Ｄ转换器两个最重要的指标是分辨率和转换速度。 ６．8位D ／A 转换器当输入数字量只有最低位为１时,输出电压为0.02V ,若输入数字量只有最高位为1时,则输出电压为 V 。 Ａ．0.０３9 B ．2.５6 C ．１.２7 D ．都不是 7.D/A 转换器的主要参数有 、转换精度和转换速度。 A ．分辨率 B ．输入电阻 C ．输出电阻 Ｄ．参考电压 8．图T7.８所示R-２Ｒ网络型D/A 转换器的转换公式为 。 R R R I V REF 2R 2R 2R 2R 2R S 3 S 2 S 1 S 0 D 3 D 2 D 1 D 0 R F =R A + -v O i ∑ 图T ７.8 A ．∑ =?- =3 3 REF o 22 i i i D V v ??B ．∑=?- =3 4 REF o 2 232i i i D V v ??C ．∑=?- =3 4 REF o 2 2 i i i D V v ??D ．∑=?= 3 4 REF o 2 2 i i i D V v ９.D/A 转换器可能存在哪几种转换误差?试分析误差的特点及其产生误差的原因。 解:D/A 转换器的转换误差是一个综合性的静态性能指标,通常以偏移误差、增益误差、非线性误差等内容来描述转换误差。 偏移误差是指D/Ａ转换器输出模拟量的实际起始数值与理想起始数值之差。 增益误差是指实际转换特性曲线的斜率与理想特性曲线的斜率的偏差。 D/A 转换器实际的包络线与两端点间的直线比较仍可能存在误差,这种误差称为非线性误差。 1０．比较权电阻型、R -2R 网络型、权电流型等Ｄ/A 转换器的特点,结合制造工
名额公平分配问题 问题的提出 名额分配问题是西方所谓的民主政治问题，美国宪法在第一条第二条款指出：‘众议院议员名额……将根据各州的人口比例分配。。。。。’美国宪法从1788年生效以来200多年间，关于公平和人力的实现宪法中所规定的分配原则，美国的政治家和科学家们展开了激烈的讨论。并提出了多种方法，但没有一种方法能够得到普遍的认可。下面就日常生活中的实际问题，考虑合理的分配方案问题。 设某高校有5个系共2500名学生，各系学生人数见表格。现有25个学生代表名额， 赢如何分配较为合理。 5个系的学生人数 系别一二三四五总和人数11056483622481372500模型假设 1、要将名额尽可能的公平的分配，首先考虑的是公平量化，所谓公平，就是学生 代表的名额占有率都相等，这样，基于名额占有率相等的分配的方案就是最公平的，在 名额占有率不相等时，应要求差距尽可能的小，才能使分配方案更加公平。 2、在计算各个系别的名额分配占有量，这样就确定了公平的分配方案。 3、通常计算的名额占有量是小数，而名额只能整数的分配，这就需要将小数变成 整数，解决小数变整数的问题通常采用四舍五入法。 名额占有率=总名额数÷总人数 名额占有量=名额占有率×学生数 模型建立 模型一名额占有率分配 =1%，即每一百人才有一个名额。根据名额占有率可以算出全校名额占有率=25 2500 分配： 系别一二三四五总和 人数11056483622481372500名额数11.05 6.48 3.62 2.48 1.3725取整11642124 显然看出，这种方法出现了缺陷，分的总名额数多出一个，而这一个又无法可分， 无论是四舍五入法，还是直接取整，分给二，四其中一个必定对另一个不公平。所以需
【关键字】设计、方法、条件、动力、增长、计划、问题、系统、网络、理想、要素、工程、项目、重点、检验、分析、规划、管理、优化、中心 数学建模常用模型方法总结 无约束优化 线性规划连续优化 非线性规划 整数规划离散优化 组合优化 数学规划模型多目标规划 目标规划 动态规划从其他角度分类 网络规划 多层规划等… 运筹学模型 （优化模型） 图论模型存 储论模型排 队论模型博 弈论模型 可靠性理论模型等… 运筹学应用重点:①市场销售②生产计划③库存管理④运输问题⑤财政和会计⑥人事管理⑦设备维修、更新和可靠度、项目选择和评价⑧工程的最佳化设计⑨计算器和讯息系统⑩城市管理 优化模型四要素：①目标函数②决策变量③约束条件 ④求解方法(MATLAB--通用软件LINGO--专业软件) 聚类分析、 主成分分析 因子分析 多元分析模型判别分析 典型相关性分析 对应分析 多维标度法 概率论与数理统计模型 假设检验模型 相关分析 回归分析 方差分析 贝叶斯统计模型 时间序列分析模型 决策树 逻辑回归
传染病模型马尔萨斯人口预测模型微分方程模型人口预 测控制模型 经济增长模型Logistic 人口预测模型 战争模型等等。。 灰色预测模型 回归分析预测模型 预测分析模型差分方程模型 马尔可夫预测模型 时间序列模型 插值拟合模型 神经网络模型 系统动力学模型(SD) 模糊综合评判法模型 数据包络分析 综合评价与决策方法灰色关联度 主成分分析 秩和比综合评价法 理想解读法等 旅行商(TSP)问题模型 背包问题模型车辆路 径问题模型 物流中心选址问题模型 经典NP问题模型路径规划问题模型 着色图问题模型多目 标优化问题模型 车间生产调度问题模型 最优树问题模型二次分 配问题模型 模拟退火算法(SA) 遗传算法(GA) 智能算法 蚁群算法(ACA) (启发式) 常用算法模型神经网络算法 蒙特卡罗算法元 胞自动机算法穷 举搜索算法小波 分析算法 确定性数学模型 三类数学模型随机性数学模型 模糊性数学模型
数学建模活动策划方案（初稿） 一、活动背景 数学建模协会面向全校招新活动圆满完成。为了促进协会会员对数学建模的了解，增强对数学建模的认识，数学建模协会对近期一年时间策划此次活动，希望通过活动，增强新会员对数学建模协会的兴趣和认识度，是新会员对数学建模的活动、工作有一定了解和一个全新的认识。 二、活动目的及意义 为了让同学们对数学建模及竞赛有一个初步的了解，激发广大学子学习数学建模的热情，促进我校大学生课外科技活动的蓬勃开展，提高大学生的创新意识及运用数学知识和计算机技术解决实际问题的能力，推广数学建模精神，让同学们了解数学建模，接近数学建模，喜欢数学建模。活动对培养同学们应用数学知识解决实际问题的兴趣，开拓眼界等都有着十分重要的意义。活动的开展不仅为民院学子提供了一次施展才华和挑战自我的机会，也为学子创造了一个学习实践与思想交流的平台。 三、活动主题 走进数学建模 四、主办单位 社团联合会数学建模协会 五、承办单位
社团联合会数学建模协会 六、活动内容 （一）数学建模知识讲座 （二）新老会员见面交流会 （三）团队娱乐游戏活动 （四）小型数学建模大赛 七、活动步骤 （一）数学建模知识讲座 1、前期准备：邀请相关老师并协调好时间、通知协会会员及兴趣 爱好者 2、中期过程：（1）安排知识讲座时间、地点以及准备相关物品 （2）内容：数学建模思想、数学建模理论 3、后期安排：相关工作人员做工作总结 （二）新老会员见面交流会 1、前期准备：邀请相关人员为交流会做准备、通知协会会员 2、中期过程：安排见面交流会的时间、地点以及准备相关物品 3、后期安排：相关工作人员做工作总结 （三）团队娱乐游戏活动（待定） （四）小型数学建模大赛 1、前期准备：对举行小型数学建模大赛的意义进行宣传，并通知 比赛时间地点、比赛模式，邀请相关老师参与 2、中期过程：由相关老师批阅后进行表彰
7数模及模数转换器习题解答119 自我检测题 1．就实质而言，D/A转换器类似于译码器，A/D转换器类似于编码器。 2．电压比较器相当于1位A/D转换器。 3．A/D转换的过程可分为采样、保持、量化、编码4个步骤。 4．就逐次逼近型和双积分型两种A/D转换器而言，双积分型的抗干扰能力强，逐次逼近型的转换速度快。 5．A/D 6．8位D/A转换器当输入数字量只有最低位为1时，输出电压为0.02V，若输入数字量只有最高位为1时，则输出电压为V。 A．0.039 B．2.56 C．1.27 D．都不是 7．D/A转换器的主要参数有、转换精度和转换速度。 A．分辨率B．输入电阻C．输出电阻D．参考电压 8．图T7.8所示R-2R网络型D/A转换器的转换公式为。 V REF v O 图T7.8 A．∑ = ? - = 3 3 REF o 2 2i i i D V v B．∑ = ? - = 3 4 REF o 2 2 3 2 i i i D V v D．∑ = ? = 3 4 REF o 2 2i i i D V v 9．D/A转换器可能存在哪几种转换误差？试分析误差的特点及其产生误差的原因。 解：D/A转换器的转换误差是一个综合性的静态性能指标，通常以偏移误差、增益误差、非线性误差等内容来描述转换误差。 偏移误差是指D/A转换器输出模拟量的实际起始数值与理想起始数值之差。 增益误差是指实际转换特性曲线的斜率与理想特性曲线的斜率的偏差。 D/A转换器实际的包络线与两端点间的直线比较仍可能存在误差，这种误差称为非线性误差。 10．比较权电阻型、R-2R网络型、权电流型等D/A转换器的特点，结合制造工艺、转换的精度和转换的速度等方面比较。
数 学 建 模 论 文 系部——— 班级—— 组员—— —— ——2010年1月7日
摘要：席位分配是日常生活中经常遇到的问题，对于企业、公司、、学校政府部门都能解决实际的问题。席位可以是代表大会、股东会议、公司企业员工大会、等的具体座位。假设说，有一个学校要召集开一个代表会议，席位只有20个，三个系总共200人，分别是甲系100，乙系60,丙系40.如果你是会议的策划人，你要合理的分配会议厅的20个座位，既要保证每个系部都有人参加，最关键的就是要对个公平都公平，保证三个系部对你所安排的位置没有异议。那么这个问题就要靠数学建模的方法来解决。 关键词： Q值法公平席位
问题的重述：三个系部学生共200名，（甲系100.乙系60，丙系40）代表会议共20席，按比例分配三个系分别为10、6、4席。老情况变为下列情况怎样分配才是最公平的，现因学生转系三系人数为103.63.34. （1）问20席该如何分配。 （2）若增加21席又如何分配。 问题的分析： 一、通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即： 某单位席位分配数= 某单位总人数比例 总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这样最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数学生数100 60 40 200 学生人数比例100/200 60/200 40/200 席位分配10 6 4 20 学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为 系名甲乙丙总数学生数103 63 34 200 学生人数比例103/200 63/200 34/200 按比例分配席位10.3 6.3 3.4 20 按惯例席位分配10 6 4 20 （1）20席应该甲系10席、乙系6席,丙系4席这样分配
课程时间安排数学建模公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]
课程时间安排的优化模型 摘要 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题。解决排课中的问题，既能满足老师授课上机的要求又能满足学生对上机时间的合理安排。让学校、老师和同学的满意。 让老师满意，就是安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节，最好是1-2节面授然后4-5节课上机；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段，上机时间要安排在面授课之后；让学校满意，就是尽量减少因出现问题而不得不为老师调课的次数。根据实际情况在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。并通过matlab实现算法和给出模型的解。 先将123班级课表和20张老师课表转换为0-1变量，有课改为0，没课改为1，组成两个矩阵，然后可用VB编程得到一个新的矩阵，两矩阵中元素都为1时，新的矩阵对应的元素就为1，即老师和班级同时有空时为1。将多目标函数转换为单目标函数，其他的要求可直接在约束条件中满足。然后用lingo软件编程解决（其约束条件和目标函数都可用lingo的语句表示出来） 关键词：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵 lingo VB 1 问题重述 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于
对公平的席位分配问题解法的一点补充 222008314011010 刘欢 08数统一班 为叙述简单，仍然采用书中的例子如下 一．提出问题： 某学校有3个系共200名学生,其中甲系100名,乙系60名,丙系40名。若学生代表会议设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10，6，4个席位。现在丙系有3名学生转入甲系， 3名学生转入乙系，仍按比例分配席位出现了小数，三系同意，在将取得整数的19席位分配完毕后，剩下的1席位参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系，于是三系仍分别占有10，6，4个席位。按比例并参照惯例的席位分配。 由于20个席位的代表会议在表决时可能出现10∶10的局面，会议决定下一届增加1席，按照上述方法重新分配席位，计算结果是甲、乙、丙三系分别应占有11，7，3个席位。显然这个结果对丙系太不公平了，因总席位增加1席，而丙系却由4席减为3席。 请问：如何分配才算是公平？ 二．书中模型 用Q 值法求解如下 设A ，B 两方，人数分别为1p 和2p ，占有席位分别是1n 和2n ，当1122=p n p n 时席位的分配公平。但人数为整数，通常1122≠p n p n 。这时席位分配不公平，且 /p n 较大的一方吃亏。 当1122>p n p n 时，定义 1122 1222 -= (,)A p n p n r n n p n （1） 为对A 的相对不公平值。
当1122
p n p n ，即对A 不公平，当再分配一个席位时，有以下三种情况： (1) 当 22 1>+11p p n n 时，说明即使给A 增加1席，仍然对A 不公平，所以这一席显然应给A 方. (2)当 22 1<+11p p n n 时，说明给A 增加1席后，变为对B 不公平，此时对B 的相对不公平值为 211212 11-1 ++= () (,)B p n r n n p n （3） (3)当 221 >+11p p n n 时，这说明给B 增加1席，将对A 不公平，此时对A 的相对不公平值为 121221 11-1 ++= () (,)A p n r n n p n （4） 因为公平分配席位的原则是使相对不公平值尽可能小，所以如果 121211 +<+(,)(,)B A r n n r n n （5） 则这1席给A 方，反之这1席给B 方. 由(3)(4)可知，(5)等价于 2 1222211< 11++() () p p n n n n （6） 不难证明上述的第(1)种情况 22 1>+11p p n n 也与(6)式等价,于是我们的结论是当(6)式成立时,增加的1席应给A 方,反之给B 方。 若记 2, =1,2 1= +() i i i i p Q i n n
数学建模的基本步骤 一、数学建模题目 1）以社会，经济，管理，环境，自然现象等现代科学中出现的新问题为背景，一般都有一个比较确切的现实问题。 2）给出若干假设条件： 1. 只有过程、规则等定性假设； 2. 给出若干实测或统计数据； 3. 给出若干参数或图形等。 根据问题要求给出问题的优化解决方案或预测结果等。根据问题要求题目一般可分为优化问题、统计问题或者二者结合的统计优化问题，优化问题一般需要对问题进行优化求解找出最优或近似最优方案，统计问题一般具有大量的数据需要处理，寻找一个好的处理方法非常重要。 二、建模思路方法 1、机理分析根据问题的要求、限制条件、规则假设建立规划模型，寻找合适的寻优算法进行求解或利用比例分析、代数方法、微分方程等分析方法从基本物理规律以及给出的资料数据来推导出变量之间函数关系。 2、数据分析法对大量的观测数据进行统计分析，寻求规律建立数学模型，采用的分析方法一般有： 1）. 回归分析法(数理统计方法)-用于对函数f（x）的一组观测值（xi,fi）i=1,2,…,n，确定函数的表达式。 2）. 时序分析法--处理的是动态的时间序列相关数据，又称为过程统计方法。 3）、多元统计分析（聚类分析、判别分析、因子分析、主成分分析、生存数据分析）。 3、计算机仿真（又称统计估计方法）：根据实际问题的要求由计算机产生随机变量对动态行为进行比较逼真的模仿，观察在某种规则限制下的仿真结果（如蒙特卡罗模拟）。 三、模型求解： 模型建好了，模型的求解也是一个重要的方面，一个好的求解算法与一个合
适的求解软件的选择至关重要，常用求解软件有matlab，mathematica，lingo，lindo，spss，sas等数学软件以及c/c++等编程工具。 Lingo、lindo一般用于优化问题的求解，spss，sas一般用于统计问题的求解，matlab，mathematica功能较为综合，分别擅长数值运算与符号运算。 常用算法有：数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法,通常使用spss、sas、Matlab作为工具. 线性规划、整数规划、多元规划、二次规划、动态规划等通常使用Lindo、Lingo,Matlab软件。 图论算法,、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法, 模拟退火法、神经网络、遗传算法。 四、自学能力和查找资料文献的能力： 建模过程中资料的查找也具有相当重要的作用，在现行方案不令人满意或难以进展时，一个合适的资料往往会令人豁然开朗。常用文献资料查找中文网站：CNKI、VIP、万方。 五、论文结构： 0、摘要 1、问题的重述，背景分析 2、问题的分析 3、模型的假设，符号说明 4、模型的建立（局部问题分析，公式推导，基本模型，最终模型等） 5、模型的求解 6、模型检验:模型的结果分析与检验，误差分析 7、模型评价:优缺点，模型的推广与改进 8、参考文献 9、附录 六、需要重视的问题 数学建模的所有工作最终都要通过论文来体现，因此论文的写法至关重要：
竞赛时间的安排 第一天： 上午：确定题目，并查阅文献 下午：开始分析，建立初步模型 晚上：编程，得到初步计算结果 第二天： 上午：得到初步模型的合理结果 下午：开始写论文，并考虑对初步模型的改进 晚上：得到改进的模型的初步结果 第三天： 上午：得到改进模型的合理结果 下午：考虑对前二个模型的进一步优化，得到第三个数学模型，或对前二个模型的正确性等进行验证等 晚上：得到最后结果，完成整篇论文 论文写作要点 论文组成部分: 1. 摘要 2. 问题重述与背景 3. 假设 4. 建模 5. 求解和结论分析 6. 讨论优缺点 7. 模型改进 论文评卷标准 1. 假设的合理性 2. 建模的创造性 3. 结果的正确性 4. 文字清晰程度 （一）摘要 一定要写好（不超过一页纸）。主要写四个方面： 1. 解决什么问题（简明扼要） 2. 采取什么建模方法和算法（引起阅卷老师的注意，不能太粗，也不能太细） 3. 得到什么结果（清楚、生动、公式要简单、必要时可采用小图表） 4. 有什么特色
（二）问题重述 正文（15页左右，某些内容可以放在附录中） 将原问题用数学的语言表达出来 指出需要解决哪些问题，重点解决的问题应着重说明，将读者或评阅者引导到自己的思路中。 （三）假设 根据题目的条件和要求做合理的假设。关键假设不能少，要简明扼要、准确清楚 1. 假设不能太多。要归结出一些重要的假设，一般3~5条，有些不是很重要的假设在论文适当的地方提到 2. 假设要数学化，重视逻辑性要求 3. 设计好符号，使人看起来清楚，前后不要有重复 （四）建模 建模的思路要清晰 注重建模的原始想法，直观的思想往往是重要模型的来源，一定要说清楚 模型要实用、有效，数学表达（或方案）要完整 推导要严密时，公式推导若过长，可放在附录中 一般要求设计2~3个模型（一个简单的、再对模型进行改进，得到第二个模型，就会生动），鼓励创新，但不要离题。 （五）模型求解 （1）模型的定性 线性或非线性 连续、离散或混合 随机或确定 （2）模型求解 建立数学命题要表达规范，论证严密 算法原理、步骤要明确，利用现成的软件应说明 设法算出合理的数学结果或给出模拟 没有现成软件的需自己编程解出问题 （六）结果分析与检验 最终数值结果的正确性或合理性 结果检验，灵敏度分析等 考虑是否需要列出多组数据，或额外数据对数据进行比较、分析，为各种方案的提出提供依据 必要时对问题解答作定性或规律性的讨论
第11章 数模与模数转换器 习题与参考答案 【题11-1】 反相运算放大器如图题11-1所示，其输入电压为10mV ，试计算其输出电压V O 。 图题11-1 解：输出电压为： mV mV V R R V IN F O 10010101 =?=-= 【题11-2】 同相运算放大器如图题11-2所示，其输入电压为10 mV ，试计算其输出电压V O 。 图题11-2 解：mV mV V R R V IN F O 110101111 =?=+=）（ 【题11-3】 图题11-3所示的是权电阻D/A 转换器与其输入数字信号列表，若数字1代表5V ，数字0代表0V ，试计算D/A 转换器输出电压V O 。 11-3 【题11-4】 试计算图题11-4所示电路的输出电压V O 。 图题11-4 解：由图可知，D 3~D 0=0101 因此输出电压为：V V V V O 5625.151650101254 === ）（ 【题11-5】 8位输出电压型R/2R 电阻网络D/A 转换器的参考电压为5V ，若数字输入为，该转换器输出电压V O 是多少？
解：V V V V O 988.21532565100110012 58≈== ）（ 【题11-6】 试计算图题11-6所示电路的输出电压V O 。 图题11-6 解：V V V D D V V n n REF O 5625.1516501012 5~240==-=-=）（）（ 【题11-7】 试分析图题11-7所示电路的工作原理。若是输入电压V IN =，D 3～D 0是多少？ 图题11-7 解：D3=1时，V V V O 6221234== ，D3=0时，V O =0。 D2=1时，V V V O 3221224== ，D2=0时，V O =0。 D1=1时，V V V O 5.1221214== ，D1=0时，V O =0。 D0=1时，V V V O 75.0221204 ==，D0=0时，V O =0 由此可知：输入电压为，D3~D0=1101，这时V O =6V++=，大于输入电压V IN =，比较器输出低电平，使与非门74LS00封锁时钟脉冲CLK ，74LS293停止计数。 【题11-8】 满度电压为5V 的8位D/A 转换器，其台阶电压是多少？分辨率是多少？ 解：台阶电压为mV mV V STEP 5.192/50008== 分辨率为：%39.00039.05000/5.195000/===mV V STEP
题目 赛程安排 摘要 赛程安排在体育活动中举足轻重，在很大程度上影响比赛的结果；本文主要针对最优赛程安排方案建立相应的数学模型，给出最优赛程的安排方案。 对于问题一，要给出一个各队每两场比赛中间都至少相隔一场的赛。因为参赛队伍只有5个，容易操作，所以可以利用排除-假设法可以得到一种满足条件的赛程安排，即,,,,,,,,,AB CD EA BC DE AC BD EC AD BE 。 对于问题二，考虑到各队每两场比赛中间至少相隔一场，我们用逆时针轮转法对比赛队伍进行排序，并根据这种方法，用Matlab 编出相应编程得出不同队伍比赛间隔的上限，再根据数据总结出规律，当N 为偶数时各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为22 N -场，用Matlab 软件验证其准确性。用同样的方 法可知，当N 为奇数时各队每两场比赛中间相隔的场次数的上限为 N 32 -（）。 对于问题三，在达到第二问上限的情况下，可通过轮换模型得到8,9N N ==的赛程安排。N 8=时一种赛程安排如下： (1,2),(3,5),(4,6),(8,7),(1,3),(4,2),(8,5),(7,6),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,8),(7,4),(6,3),(5,2),(1,7),(6,8),(5,4),(2,3),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,5),(2,6),(3,7),(4,8) 9N =时一种赛程安排如下： (1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(1,9),(2,4),(3,6),(5,8),(7,9),(1,4),(2,6),(3,8),(5,9),(1,7),(4,6),(8,2),(9,3),(5,7),(1,6),(4,8),(2,9),(3,7),(1,5),(6,8),(4,9),(2,7),(3,5),(1,8),(6,9),(4,7),(2,5),(1,3),(8,9),(6,7),(4,5),(2,3). 对于问题四，我们可以用每个队的每两场比赛中间间隔的场次数之和SUM 来衡量赛程的公平性。当SUM 不同时，SUM 大的队伍对其比赛结果越有利。当SUM 相同时，用每次间隔场次的标准差来衡量赛程的公平性，其中标准差越小的队对其比赛的结果越有利。当SUM 相同且每次间隔场次的标准差也相同时，两个队比赛时，我们用双方已参加比赛的次数来衡量比赛赛程的优劣，其中在双方比赛时，已参加比赛次数越少，其比赛的结果越有利。 关键词：排除-假设法 逆时针轮转法 Matlab 标准差
公平的席位分配问题 ——数学建模报告 20094865，陈天送 20094862，陈铁忠 20094854，朱海
公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。 符号设定： N ：总席位数 i n ：分配给第i 系席位数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） P ：总人数 i P ：第i 系数 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） i Q ：第i 系Q 值 （1,2,3i =分别为甲，乙，丙系） Z ：目标函数 方法一，比例分配法：即： 某单位席位分配数 = 某单位总人数比例?总席位 如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗？由书上给出的案例，我们可以很清楚的知道该方法是有缺陷的，是不公平的。 方法二，Q 值法： 采用相对标准，定义席位分配的相对不公平标准公式：若 2211n p n p > 则称 1122122221 1-=-n p n p n p n p n p 为对A 的相对不公平值， 记为 ),(21n n r A ，若 2211n p n p < 则称 121121 1 11 22-=-n p n p n p n p n p 为对B 的相对不公平值 ，记为 ),(21n n r B 由定义有对某方的不公平值越小，某方在席位分配中越有利，因此可以用使不公平值尽量小的分配方案来减少分配中的不公平。 确定分配方案： 使用不公平值的大小来确定分配方案，不妨设1 1 n p > 2 2n p ，即对单位A 不公平，再分配一个席 位时，关于11n p ,22n p 的关系可能有 1. 111+n p >22 n p ,说明此一席给A 后,对A 还不公平; 2. 111+n p <22n p ,说明此一席给A 后,对B 还不公平,不公平值为 1)1(11),1(21211111 222 1-?+=++-=+n p p n n p n p n p n n r B 3. 1 1 n p > 1 22+n p ,说明此一席给B 后,对A 不公平,不公平值为
2010年**学院数学建模宣传活动策划书 策划人：杨**、李**等 活动内容：2010年**学院数学建模成果展系列宣传活动 活动时间：2010年12月3日——12月30日（暂定） 举办单位：**数学建模工作室，**数学建模协会 一、活动背景： 全国大学生数学建模竞赛（CUMCM）是由教育部高等教育司和中国工业与应用数学学会主办，目前全国高等学校中规模最大的课外科技活动之一。我校自2003年以来每年都组织参加该项赛事，并且在比赛中取得了优异的成绩。2010全国大学生数学建模竞赛陕西赛区获奖名单在11月19日正式公布。在今年的比赛中，我校取得了可喜可贺的成绩，参赛的20支队伍中共有18支队伍获奖，其中国家奖4个，省级奖14个，参赛队伍获奖率高达90%，在所有同类院校中名列前茅，同时也实现了我校参赛以来本科队国家奖零的突破，具体如下表： 而且我校的两支队伍已报名参加明年二月的数学建模国际赛，目前队员们正在为比赛进行准备，这需要学校给予鼓励和宣传支持。我
校今年无论是获奖队伍的数量还是获奖的等级上都有了很大的提高，在所有同类院校中名列前茅。美中不足的是我校还有很多人对数学建模竞赛一知半解，在每年选拔参赛队员的时候宣传极为费力，同时也可能使许多优秀的同学失去了参加比赛的机会。我校在这样的背境下正适合宣传数学建模系列活动，以使更多的同学接触并了解数学建模比赛，为在以后的全国比赛乃至国际赛取得优秀的成绩打下基础。 二、活动目的： 1.、增强我校学生对数学建模竞赛的认识，吸引更多喜欢数模的优秀大学生加入； 2、为我校的两支团队参加明年数学建模国际赛造势； 3、为**数学建模协会培养挑选一批优秀人才，使**数学建模协会能形成良性循环机制。 三、活动简介： **数学建模协会计划于2010年12月3日—30日举行“2010年**学院数学建模宣传系列活动”，并借助此次活动宣传数学建模，扩大数学建模的影响力。 本次系列活动包含三个子活动 活动一：“2010年**学院数学建模成果展” 活动二：“数学建模国际赛宣传活动” 活动三：“有奖征集，**数学建模协会会徽设计大赛” 四、活动地点及负责人：
第九章：数模和模数转换器 一、单选题 1：想选一个中等速度，价格低廉的A/D转换器，下面符合条件的是（）。 A 逐次逼近型 B 双积分型 C 并联比较型 D 不能确定 2：下面抑制电网公频干扰能力强的A/D转换器是（）。 A 逐次逼近型 B 双积分型 C 并联比较型 D 不能确定 3：不适合对高频信号进行A/D转换的是（）。 A 并联比较型B逐次逼近型 C双积分型D不能确定 4：四位DAC和八位DAC的输出最小电压一样大，那么他们的最大输出电压（）。 A一样大B前者大于后者C后者大于前者D不确定 5：四位权电阻DAC和四位R—2R倒T型DAC在参数一样的条件下最大输出电压（）。A一样大B前者大于后者C后者大于前者 D 不确定 6：四位权电阻DAC和四位R—2R倒T型DAC在参数一样的条件下分辨率（）。 A一样大B前者大于后者C后者大于前者 D 不确定 7：下列A/D转换器类型中，相同转换位数转换速度最高的是（）。 A并联比较型B逐次逼近型 C双积分型D不能确定 8．一个无符号8位数字量输入的DAC，其分辨率为位。 A.1 B.3 C.4 D.8 9．将一个时间上连续变化的模拟量转换为时间上断续（离散）的模拟量的过程称为。 A.采样 B.量化 C.保持 D.编码 10．以下四种转换器，是A/D转换器且转换速度最高。 A.并联比较型 B.逐次逼近型 C.双积分型 D.施密特触发器 二、判断题 1：D/A转换器的建立时间等于数字信号由全零变全1或由全1变全0所需要的时间。（）2：D/A转换器的转换精度等于D/A转换器的分辨率。（） 3：采用四舍五入量化误差分析时，A/D转换过程中最小量化单位与量化误差是相等的。（） 4：在A/D转换过程中量化误差是可以避免的。（） 5：由于R-2R 倒T 型D/A转换器自身的优点，其应用比权电阻DAC广泛。（） 6：倒T型网络D/A转换器由于支路电流不变，所以不需要建立时间。（） 7：A/D转换的分辨率是指输出数字量中只有最低有效位为1时所需的模拟电压输入值。（） 8．权电阻网络D/A转换器的电路简单且便于集成工艺制造，因此被广泛使用。（）
各宿舍分配委员模型 （参考阿） 摘要：学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住 在C 宿舍.学生们要组织一个10人的委员会 （1）. 按比例分配取整数的名额后,剩下的名额按惯例分给小数部分较大者; （2）. §1中的Q 值方法； （3）.d ’Hondt 方法 试用上述办法分配各宿舍的委员数 关键词：比例加惯例 Q 值 d ’Hondt 法 一、问题的重述 学校有1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生们要组织一个10人的委员会，怎样公平合理的分配各宿舍的委员数。再进一步讨论：如果人数增至15人，依照10个的过程检验一下。 二、问题分析 模型1中，先建立一个简单的“比例加惯例模型”简单分析。 在模型2中，再用Q 值法进一步讨论。然后，在模型3中，用书中给出的d ’Hondt 计算后进行比较 三、模型假设 （1）各个宿舍之间是独立的，且人数始终保持不变； （2）几个委员是平等的。 四、模型的建立与求解 先考虑N=10的分配方案， , 432 ,333 ,235321===p p p ∑ ==3 1 . 1000i i p 方法一（按比例分配）
, 35.23 1 11== ∑ =i i p N p q , 33.33 1 22== ∑ =i i p N p q 32 .43 1 33== ∑ =i i p N p q 分配结果为： 4 ,3 ,3321===n n n 方法二（Q 值方法） 9个席位的分配结果（可用按比例分配）为： 4 ,3 ,2321===n n n 第10个席位：计算Q 值为 , 17.92043 2235 2 1=?= Q ,75.92404 3333 2 2=?= Q 2 .93315 4432 2 3=?= Q 3 Q 最大，第10个席位应给C.分配结果为 5 ,3 ,2321===n n n 方法三（d ’Hondt 方法） 此方法的分配结果为：5 ,3 ,2321===n n n 此方法的原理是：记i p 和i n 为各宿舍的人数和席位（i=1,2,3代表A 、B 、C 宿舍）.i i n p 是每席位代表的人数，取,,2,1 =i n 从而得到的i i n p 中选较大者，可 使对所有的,i i i n p 尽量接近. 再考虑15=N 的分配方案，类似地可得名额分配结果.现将3种方法两次分配的结果列表如下： 五，模型的检验、评价与推广 现在当人数为15人时，依照10人时的情况，来检验各个模型的公平性：
课程时间安排的优化模型 摘要 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题。解决排课中的问题，既能满足老师授课上机的要求又能满足学生对上机时间的合理安排。让学校、老师和同学的满意。 让老师满意，就是安排尽量少出现像同一天同一位老师上1-2节，7-8节，最好是1-2节面授然后4-5节课上机；让同学们满意，可从以下几方面考虑，比如，同一班级同一门课程，至少应隔一天上一次，另外对学生感到比较难学的课程尽量安排在最好的时段，上机时间要安排在面授课之后；让学校满意，就是尽量减少因出现问题而不得不为老师调课的次数。根据实际情况在具体模型建立过程中采用了0-1矩阵法，矩阵的乘法等数学方法，建立优化类数学模型来求解有效矩阵，根据有效矩阵初排课表，结合多方面因素建立修正矩阵，对初排课表逐层修改，得出最优排课表。并通过matlab实现算法和给出模型的解。 先将123班级课表和20张老师课表转换为0-1变量，有课改为0，没课改为1，组成两个矩阵，然后可用VB编程得到一个新的矩阵，两矩阵中元素都为1时，新的矩阵对应的元素就为1，即老师和班级同时有空时为1。将多目标函数转换为单目标函数，其他的要求可直接在约束条件中满足。然后用lingo软件编程解决（其约束条件和目标函数都可用lingo的语句表示出来）
关键词：排课问题 0-1矩阵矩阵的乘法优化目标矩阵 lingo VB 1 问题重述 排课是教务运作中的一项重要工作，同时排课问题也是一个复杂的组合优化问题，对此问题的建模和求解，难度都非常大。多数情况下我们只是满足于求解问题的一个可行解，而对此可行解的进一步优化往往通过手工完成，效率很低。目前有很多计算机专家和数学专家都致力于对大规模排课问题的研究，在此我们给出一个规模相对较少，约束相对较少的较为简单的排课问题，请同学们加以解决。 目前，某校的计算机上机课大都安排在计算机学院，计算机学院有5个机房用于学生上机，每个机房大约容纳90人。安排上机的课程共有4门，指导上机的教师共有24人，其中20人为课程的授课教师，见附件1，其他四人为机房的管理人员，依次为陆老师，章老师，张老师和彭老师，其中陆老师负责2个机房。共有123个班级需要上机，详细名单见附件1。教师和学生的上机时间不能和他们的授课课程时间冲突，为此我们给出了各位教师和各个班级学生的课程表，见文件夹附件2。四名管理人员可全天进行上机指导，但只能在自己负责的机房进行. 要求： （1）为了保证授课效果，学院规定每个老师在同一个时间段只能为1个班级进行指导；而同一时段允许有两名教师在同一个机房分别指导一个班级； （2）上机指导老师尽可能指导自己授课班级的学生； （3）周末尽可能不安排上机；其次晚上尽可能不安排上机。 （4）为了减少教师到新校区的次数，上机时间尽可能与其授课时间安排在同一天。 （5）还有其它要求可根据高校教学的情况，酌情给出，给出时要充分考虑教学规律、教学效果和大部分老师、学生的要求。
第2章初等数学建模方法示例 公平的席位分配问题 席位分配在社会活动中经常遇到，如：人大代表或职工学生代表的名额分配和其他物质资料的分配等。通常分配结果的公平与否以每个代表席位所代表的人数相等或接近来衡量。目前沿用的惯例分配方法为按比例分配方法，即：某单位席位分配数 = 某单位总人数比例总席位如果按上述公式参与分配的一些单位席位分配数出现小数,则先按席位分配数的整数分配席位,余下席位按所有参与席位分配单位中小数的大小依次分配之。这种分配方法公平吗下面来看一个学院在分配学生代表席位中遇到的问题： 某学院按有甲乙丙三个系并设20个学生代表席位。它的最初学生人数及学生代表席位为 系名甲乙丙总数 学生数 100 60 40 200 学生人数比例 100/200 60/200 40/200 席位分配 10 6 4 20 后来由于一些原因，出现学生转系情况，各系学生人数及学生代表席位变为： 系名甲乙丙总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200
按比例分配席位 20 按惯例席位分配 10 6 4 20 由于总代表席位为偶数，使得在解决问题的表决中有时出现表决平局现象而达不成一致意见。为改变这一情况，学院决定再增加一个代表席位，总代表席位变为21个。重新按惯例分配席位,有 系名 甲 乙 丙 总数 学生数 103 63 34 200 学生人数比例 103/200 63/200 34/200 按比例分配席位 21 按惯例席位分配 11 7 3 21 这个分配结果出现增加一席后，丙系比增加席位前少一席的情况，这使人觉得席位分配明显不公平。这个结果也说明按惯例分配席位的方法有缺陷，请尝试建立更合理的分配席位方法解决上面代表席位分配中出现的不公平问题。 模型构成 先讨论由两个单位公平分配席位的情况，设 单位 人数 席位数 每席代表人数 单位A 1p 1n 1n 单位B 2p 2n 2n 要公平，应该有=1n 2n ， 但这一般不成立。注意到等式不成立时有 若21n n >，则说明单位A 吃亏(即对单位A 不公平 ) 若21n n <，则说明单位B 吃亏 (即对单位B 不公平 ) 因此可以考虑用算式2 211n p n p p -= 来作为衡量分配不公平程度，不过此公式
【最新整理，下载后即可编辑】 公平席位的分配 系别：机电工程系模具班学号：1号 摘要： 分配问题是日常生活中经常遇到的问题，它涉及到如何将有限的人力或其他资源以“完整的部分”分配到下属部门或各项不同任务中。分配问题涉及的内容十分广泛，例如：大到召开全国人民代表大会，小到某学校召开学生代表大会，均涉及到将代表名额分配到各个下属部门的问题。代表名额的分配（亦称为席位分配问题）是数学在人类政治生活中的一个重要应用，应归属于政治模型。而当代表的人数在总和没有发生变化的情况下，所占比例却发生了变化时，一个如何分配才能使分配公平的问题就摆在了我们的面前。因此，我们要通过建立数学模型来确定一种能够使分配公平的方法来分配 关键字：理想化原则; 整数规划; 席位公平分配
问题的提出： 某学院有3个系共200名学生，其中甲系100人，乙系60人，丙系40人，现要选出20名学生代表组成学生会。 如果按学生人数的比例分配席位，那么甲乙丙系分别占10、6、4个席位，这当然没有什么问题（即公平）。 但是若按学生人数的比例分配的席位数不是整数，就会带来一些麻烦。比如甲系103人，乙系63人，丙系34人，怎么分？ 问题重述 学院的最初人数见下表，此系设20个席位代表。 甲乙丙 总人数 １００６０４０ ２００ 学生人数比例：100/200 60/200 40/200 按比例分配方法：分配人数=学生人数比例初
按比例分配席位：甲乙丙共 10 6 4 20 若出现学生转系情况： 甲乙丙总人数 103 63 34 200 学生人数比例：103/200 63/200 34/200 按例分配方法：比例分配出现最小数时，先按整数分配席位，余下的按小数的大小分配席位 按比例分配席位：甲乙丙 10.815 6.615 3.57 按比例分配席位,丙系却缺少一席的情况,按比例分配席位的方法有缺陷,试建立更合理的分配方法.