即13≤a <1. 4. [2012·山东济宁一模]定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上递增，f (13)＝0，则满足f (log
1
8x )>0的x 的取值范围是( )
A. (0，＋∞)
B. (0，1
2)∪(2，＋∞)
C. (0，18)∪(1
2，2)
D. (0，1
2
)
答案：B
解析：由f (x )＝f (－x )＝f (|x |)得 f (|log 18x |)>f (13)，于是|log 18x |>13，
解得选B.
5. [2012·广东省江门市调研]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x ·2x ，则当x >0时，f (x )等于( )
A. x ·2－
x
B. －x ·2x
C. －x ·2－
x
D. x ·log 2x
答案：A
解析：∵x >0，∴－x <0，
∴f (x )＝－f (－x )＝－(－x )·2－
x ＝x ·2－
x .
6. [2011·湖南]已知函数f (x )＝e x －1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若有f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )
A. [2－2，2＋2]
B. (2－2，2＋2)
C. [1,3]
D. (1,3)
答案：B
解析：根据条件可得e a －1＝－b 2＋4b －3， ∵e a >0，
∴－b 2＋4b －2>0， 即b 2－4b ＋2<0， ∴2－2
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. [2012·浙江省金华十校高考模拟]已知函数f (x )为奇函数，函数f (x ＋1)为偶函数，f (1)＝1，则f (3)＝__________.
答案：－1
解析：法一：根据条件可得f (3)＝f (2＋1)＝f (－2＋1)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.
法二：使用特殊值法，寻求函数模型，令f (x )＝sin π2x ，则f (x ＋1)＝sin (π2x ＋π2)＝cos π2x ，
满足以上条件，所以f (3)＝sin
3π
2
＝－1.
8. 若在区间[12，2]上，函数f (x )＝x 2＋px ＋q 与g (x )＝x ＋1
x 在同一点取得相同的最小值，
则f (x )在该区间上的最大值是________.
答案：3
解析：对于g (x )＝x ＋1
x 在x ＝1时，g (x )的最小值为2，
则f (x )在x ＝1时取最小值2， ∴－p
2＝1，4q －p 24＝2.
∴p ＝－2，q ＝3. ∴f (x )＝x 2－2x ＋3，
∴f (x )在该区间上的最大值为3.
9. [2012·安徽省淮南市第一次模拟]已知函数f (x )＝?
????
e －
x
－2，(x ≤0)
2ax －1，(x >0)(a 是常数且a >0).对
于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在[1
2，
＋∞)上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1＋x 22).其中正确命题的序号是__________.
答案：①③④
解析：如图，①正确；函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；
若f (x )>0在[12，＋∞)上恒成立，则2a ×1
2
－1>0，a >1，③正确；
由图像可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f (x 1＋x 22)2成立，
④正确.
三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10. 已知函数f (x )＝ax ＋b 1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f (12)＝2
5. (1)求函数f (x )的解析式；
(2)用定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )<0.
解：(1)依题意得????
?
f (0)＝0f (12)＝2
5，即?????
b ＝0
a 2＋
b 1＋14
＝2
5，得?????
a ＝1
b ＝0
，
∴f (x )＝x
1＋x 2
(－1(2)设－1x 11＋x 21－x 2
1＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 2
1)(1＋x 22)
. ∵－10,1＋x 2
2>0，
又∵－10，∴f (x 1)－f (x 2)<0， ∴f (x )在(－1,1)上是增函数.
(3)f (t －1)＋f (t )<0，即f (t －1)<－f (t )＝f (－t )，
∵f (x )在(－1,1)上是增函数，∴－1∴不等式的解集为{t |02
}.
11. [2012·南昌调研]设函数f (x )＝tx 2＋2t 2x ＋t －1(t ∈R ，t >0). (1)求f (x )的最小值s (t )；
(2)若s (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)时恒成立，求实数m 的取值范围. 解：(1)∵f (x )＝t (x ＋t )2－t 3＋t －1(t ∈R ，t >0)， ∴当x ＝－t 时，f (x )取得最小值f (－t )＝－t 3＋t －1. 即s (t )＝－t 3＋t －1.
(2)令h (t )＝s (t )－(－2t ＋m )＝－t 3＋3t －1－m . 由h ′(t )＝－3t 2＋3＝0，得t ＝1或t ＝－1(舍去). 则有
∴h (t )在(0,2)∴s (t )<－2t ＋m 对t ∈(0,2)时恒成立等价于h (t )<0恒成立，即1－m <0，∴m >1. 12. 已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )满足：①?x ，y ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (x ·y )＝f (x )＋f (y )；②当x >1时，f (x )>0，且f (2)＝1.
(1)试判断函数f (x )的奇偶性；
(2)判断函数f (x )在(0，＋∞)上的单调性； (3)求函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；
(4)求不等式f (3x －2)＋f (x )≥4的解集.
解：(1)令x ＝y ＝1，则f (1×1)＝f (1)＋f (1)，得f (1)＝0； 再令x ＝y ＝－1，则f [(－1)·(－1)]＝f (－1)＋f (－1)，得f (－1)＝0. 对于条件f (x ·y )＝f (x )＋f (y )，令y ＝－1， 则f (－x )＝f (x )＋f (－1)，所以f (－x )＝f (x ).
又函数f (x )的定义域关于原点对称，所以函数f (x )为偶函数. (2)任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1x 1>1.
又∵当x >1时，f (x )>0，∴f (x 2
x 1
)>0.而f (x 2)＝
f (x 1·x 2x 1)＝f (x 1)＋f (x 2
x 1
)>f (x 1)，∴函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数.
(3)∵f (4)＝f (2×2)＝f (2)＋f (2)，又f (2)＝1，∴f (4)＝2.又由(1)(2)知函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数且在(0,4]上是增函数，∴函数f (x )在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f (4)＝f (－4)＝2.
(4)∵f (3x －2)＋f (x )＝f [x (3x －2)]，4＝2＋2＝f (4)＋f (4)＝f (16)，∴原不等式等价于f [x (3x －2)]≥f (16)，又函数f (x )为偶函数，且函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又等价于|x (3x －2)|≥16，即x (3x －2)≥16或x (3x －2)≤－16，解得x ≥8
3或x ≤－2.∴不等式f (3x －
2)＋f (x )≥4的解集为{x |x ≤－2或x ≥8
3
}.
