第八章 多元函数积分学
基 本 课 题 ：8. 1 二重积分的概念与性质 目 的 要 求 ：理解二重积分的概念与性质 重 点 ：二重积分的性质 难 点 ：8. 1 二重积分的概念
教 学 方 法 ： 讲授与讨论结合
教 学 手 段 ： 电子课件、黑板 教 参 ：《高等数学》(人大理工类本科教材) 教学环节及组织： 复习并引入新课
一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积
设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积.
首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域：
?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为 高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 ： f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和：i i i n
i f V σηξ?≈=∑),(1.
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n
i f V σηξλ?==→∑),(lim 1
0.
其中λ是个小区域的直径中的最大值.
定义 设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小
闭区域
?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .
其中?σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个?σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和
i i i n
i f σηξ?=∑),(1
.
如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作σd y x f D
??),(, 即
i i i n
i D
f d y x f σηξσλ?==→∑??),(lim ),(1
0. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和.
直角坐标系中的面积元素:
如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域?σi 的边长为?x i 和?y i , 则?σi =?x i ?y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作
dxdy y x f D
??),(
其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素.
二重积分的存在性: 当f (x , y )在闭区域D 上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f (x , y )在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续, 所以f (x , y )在D 上的二重积分都是存在的.
二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的.
二. 二重积分的性质 性质1 设c 1、c 2为常数, 则
σσσd y x g c d y x f c d y x g c y x f c D
D
D
??????+=+),(),()],(),([2121.
性质2如果闭区域D 被有限条曲线分为有限个部分闭区域, 则在D 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和. 例如D 分为两个闭区域D 1与D 2, 则
σσσd y x f d y x f d y x f D D D
??????+=2
1
),(),(),(.
性质3
σσσ==?????D
D
d d 1(σ为D 的面积).
性质4 如果在D 上, f (x , y )≤g (x , y ), 则有不等式
σσd y x g d y x f D
D
????≤),(),(.
特殊地
σσd y x f d y x f D
D
????≤|),(||),(|.
性质5 设M 、m 分别是f (x , y )在闭区域D 上的最大值和最小值, σ为D 的面积, 则有
σσσM d y x f m D
≤≤??),(.
性质6(二重积分的中值定理) 设函数f (x , y )在闭区域D 上连续, σ 为D 的面积, 则在D 上至少存在一点(ξ, η)使得
σηξσ),(),(f d y x f D
=??.
三、小结：二重积分的概念、几何意义、性质 四、作业：P158；1、2、4、5、7
五、课后记载：
基 本 课 题 ：8. 2 二重积分的计算法 目 的 要 求 ：掌握二重积分的计算法
重 点 ：直角坐标系下的二重积分的计算法 难 点 ：极坐标系下的二重积分的计算法
教 学 方 法 ： 讲授与讨论结合
教 学 手 段 ： 电子课件、黑板 教 参 ：《高等数学》(人大理工类本科教材) 教学环节及组织： 复习并引入新课
一、利用直角坐标计算二重积分
X --型区域:
D : ?1(x )≤y ≤?2(x ), a ≤x ≤b . Y --型区域:
D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d . 混合型区域:
设f (x , y )≥0, D ={(x , y )| ?1(x )≤y ≤?2(x ), a ≤x ≤b }.
此时二重积分σd y x f D
??),(在几何上表示以曲面z =f (x , y )为顶, 以区域D 为底的
曲顶柱体的体积.
对于x 0∈[a , b ], 曲顶柱体在x =x 0的截面面积为以区间[?1(x 0), ?2(x 0)]为底、以曲线z =f (x 0, y )为曲边的曲边梯形, 所以这截面的面积为
?
=)
()
(000201),()(x x dy y x f x A ??.
根据平行截面面积为已知的立体体积的方法, 得曲顶柱体体积为
?=b
a
dx x A V )(dx dy y x f b a x x ??
=]),([)
()
(21??.
即 V =dx dy y x f d y x f b a x x D
??
??=]),([),()
()
(21??σ.
可记为
??
??=b
a
x x D
dy y x f dx d y x f )
()
(21),(),(??σ.
类似地, 如果区域D 为Y --型区域:
D : ψ1(x )≤y ≤ψ2(x ), c ≤y ≤d ,
则有
??
??=d
c
y y D
dx y x f dy d y x f )
()
(21),(),(ψψσ.
例1. 计算σd xy D
??, 其中D 是由直线y =1、x =2及y =x 所围成的闭区域. 解: 画出区域D .
解法1. 可把D 看成是X --型区域: 1≤x ≤2, 1≤y ≤x . 于是
????=211][x D
dx xydy d xy σ??-=?=2132
112)(21]2[dx x x dx y x x 8
9]24[212124=-=x x . 注: 积分还可以写成??????==21
1
21
1
x
x D
ydy xdx xydy dx d xy σ.
解法2. 也可把D 看成是Y --型区域: 1≤y ≤2, y ≤x ≤2 . 于是
????=212][y D
dy xydx d xy σ??-=?=2132
122)22(]2[dy y y dy x y y 89
]8[2142=-=y y .
例2. 计算σd y x y D
??-+221, 其中D 是由直线y =1、x =-1及y =x 所围成的闭区
域.
解 画出区域D , 可把D 看成是X --型区域: -1≤x ≤1, x ≤y ≤1. 于是
????-+=-+-1
2
2112
211x D
dy y x y dx d y x y σ??----=-+-=113111
23
22)1|(|31])1[(31dx x dx y x x
2
1)1(321
03=--=?dx x .
也可D 看成是Y --型区域：-1≤y ≤1, -1≤x ?? ??---+=-+11 1 222211y D dx y x ydy d y x y σ. 例3 计算σd xy D ??, 其中D 是由直线y =x -2及抛物线y 2=x 所围成的闭区域. 解 积分区域可以表示为D =D 1+D 2, 其中x y x x D ≤≤-≤≤ ,10 :1; x y x D ≤≤≤≤2 ,41 :2. 于是 ?? ????-- +=41 2 10x x x x D xydy dx xydy dx d xy σ. 积分区域也可以表示为D : -1≤y ≤2, y 2≤x ≤y +2. 于是 ????-+=2 12 2 y y D xydx dy d xy σ?-+=2 12 22]2[dy y x y y ?--+=21 52])2([21dy y y y 8 55]62344[212 16 234=-++=-y y y y . 讨论积分次序的选择. 例4 求两个底圆半径都等于ρ的直交圆柱面所围成的立体的体积. 解 设这两个圆柱面的方程分别为 x 2+y 2=ρ 2及x 2+z 2=ρ 2. 利用立体关于坐标平面的对称性, 只要算出它在第一卦限部分的体积V 1, 然后再乘以8就行了. 第一卦限部分是以D ={(x , y )| 0≤y ≤22x R -, 0≤x ≤ρ}为底, 以22x R z -=顶的曲顶柱体. 于是 σd x R V D ??-=2 2 8?? --=R x R dy x R dx 00 222 28?--=R x R dx y x R 0 0222 2 ][8 30223 16)(8R dx x R R =-=?. 二. 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分, 积分区域D 的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便, 且被积函数用极坐标变量ρ 、θ 表达比较简单. 这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分σd y x f D ??),(. 按二重积分的定义i n i i i D f d y x f σηξσλ?=∑??=→1 ),(lim ),(. 下面我们来研究这个和的极限在极坐标系中的形式. 以从极点O 出发的一族射线及以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D 分为n 个小闭区域, 小闭区域的面积为: i i i i i i θρθρρσ???-???+=?2221)(21i i i i θρρρ????+=)2(21 i i i i i θρρρρ?????++=2) (i i i θρρ??=, 其中i ρ表示相邻两圆弧的半径的平均值. 在?σi 内取点) , (i i θρ, 设其直角坐标为(ξ i , η i ), 则有 i i i θρξcos =, i i i θρηsin =. 于是 i i n i i i i i i i n i i i f f θρρθρθρσηξλλ??=?∑∑=→=→1 10 )sin ,cos (lim ),(lim , 即 θρρθρθ ρσd d f d y x f D D )s i n ,c o s (),(????=. 若积分区域D 可表示为 ? 1(θ)≤ρ≤? 2(θ), α≤θ≤β, 则 ρρθρθρθθρρθρθρθ?θ?β αd f d d d f D ????=) () (21 )sin ,cos ()sin ,cos (. 讨论:如何确定积分限? ρρθρθρθθρρθρθρθ?βαd f d d d f D ? ???=) (0 )sin ,cos ()sin ,cos ( ρρθρθρθθρρθρθρθ?π d f d d d f D ? ???=) (0 20 )sin ,cos ()sin ,cos (. 例5. 计算??--D y x dxdy e 2 2 , 其中D 是由中心在原点、半径为a 的圆周所围成的 闭区域. 解 在极坐标系中, 闭区域D 可表示为 0≤ρ≤a , 0≤θ ≤2π . 于是 ????---=D D y x d d e dxdy e θρρρ2 2 2 θθρρπ ρπρd e d d e a a 020200]21[ ][2 2 ???---== )1()1(2 12220a a e d e ---=-=?πθπ. 注: 此处积分??--D y x dxdy e 2 2 也常写成 ?? ≤+--2 222 2 a y x y x dxdy e . 利用 )1(2 2 222 2 a a y x y x e dxdy e -≤+---=??π计算广义积分dx e x 2 -+∞ ?: 设D 1={(x , y )|x 2+y 2≤R 2, x ≥0, y ≥0}, D 2={(x , y )|x 2+y 2≤2R 2, x ≥0, y ≥0}, S ={(x , y )|0≤x ≤R , 0≤y ≤R }. 显然D 1?S ?D 2. 由于02 2 >--y x e , 从则在这些闭区域上的二重积分之间有不等式 ??????------<<2 2 2 2 2 1 2 2 D y x S y x D y x dxdy e dxdy e dxdy e . 因为 20 )(2 2 2 2 2?????-----=?=R x R y R x S y x dx e dy e dx e dxdy e , 又应用上面已得的结果有 )1(4 2 1 2 2 R D y x e d x d y e ----=??π, )1(4 2 2 2 2 2R D y x e dxdy e ----=??π, 于是上面的不等式可写成)1(4 )()1(42 22 220R R x R e dx e e ----<<-?ππ. 令R →+∞, 上式两端趋于同一极限4 π, 从而22 0 π=-∞+?dx e x . 例6 求球体x 2+y 2+z 2≤4a 2被圆柱面x 2+y 2=2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分） 立体的体积. 解 由对称性, 立体体积为第一卦限部分的四倍. ??--=D dxdy y x a V 22244, 其中D 为半圆周22x ax y -=及x 轴所围成的闭区域. 在极坐标系中D 可表示为 0≤ρ≤2a cos θ , 2 0πθ≤≤. 于是 ?? ??-=-=20 cos 20 22224444π θ ρρρθθρρρa D d a d d d a V )3 22(332)sin 1(33222032-=-=?πθθπ a d a . 三、小结：积分的确定，直角坐标系下的二重积分与坐标系下的二重积分的解题步骤 四、作业：P158；1、2、4、5、 五、课后记载： 基本课题：8。3 重积分的应用 目的要求：了解重积分的应用 重点：重积分在几何上的应用 难点：重积分在物理上的应用 教学方法：讲授与讨论结合 教学手段：电子课件、黑板 教参：《高等数学》(人大理工类本科教材) 教学环节及组织： 复习并引入新课 一元素法的推广: 有许多求总量的问题可以用定积分的元素法来处理.这种元素法也可推广到二重积分的应用中.如果所要计算的某个量U对于闭区域D具有可加性(就是说,当闭区域D分成许多小闭区域时,所求量U相应地分成许多部分量,且U等于部分量之和),并且在闭区域D内任取一个直径很小的闭区域dσ时,相应的部分量可近似地表示为f(x,y)dσ的形式,其中(x,y)在dσ内,则称f(x,y)dσ为所求量U的元素,记为dU,以它为被积表达式,在闭区域D上积分: ??= D d y x f Uσ ) ,(, 这就是所求量的积分表达式. 一、曲面的面积 设曲面S由方程z=f(x,y)给出,D为曲面S在xOy面上的投影区域,函数f(x,y)在D上具有连续偏导数f x(x,y)和f y(x,y).现求曲面的面积A. 在区域D内任取一点P(x,y),并在区域D内取一包含点P(x,y)的小闭区域dσ,其面积也记为dσ.在曲面S上点M(x,y,f(x,y))处做曲面S的切平面T,再做以小区 域d σ的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面. 将含于柱面内的小块切平面的面积作为含于柱面内的小块曲面面积的近似值, 记为dA . 又设切平面T 的法向量与z 轴所成的角为γ , 则 σγσd y x f y x f d dA y x ),(),(1cos 22++==, 这就是曲面S 的面积元素. 于是曲面S 的面积为 σd y x f y x f A y x D ),(),(122++=??, 或 d x d y y z x z A D 22)()(1??+??+=??. 设dA 为曲面S 上点M 处的面积元素, dA 在xOy 面上的投影为小闭区域d σ, M 在xOy 面上的投影为点P (x , y ), 因为曲面上点M 处的法向量为n =(-f x , -f y , 1), 所以 σσd y x f y x f d dA y x ),(),(1||22++==n . 提示: dA 与xOy 面的夹角为(n ,^ k ), dA cos(n ,^ k )=d σ, n ?k =|n |cos(n ,^ k )=1, cos(n ,^ k )=|n |-1. 讨论: 若曲面方程为x =g (y , z )或y =h (z , x ), 则曲面的面积如何求？ d y d z z x y x A yz D ????+??+=22)()(1, 或 d z d x x y z y A zx D ????+??+=2 2)()( 1. 其中D yz 是曲面在yOz 面上的投影区域, D zx 是曲面在zOx 面上的投影区域. 例1 求半径为R 的球的表面积. 解 上半球面方程为222y x R z --=, x 2+y 2≤R 2. 因为z 对x 和对y 的偏导数在D : x 2+y 2≤R 2上无界, 所以上半球面面积不能直接求出. 因此先求在区域D 1: x 2+y 2≤a 2 (a d x d y y x R R a y x 2 222 22 --? ?≤+??-=πθ20022a r R r d r d R )(222a R R R --=π. 于是上半球面面积为2222)(2lim R a R R R R a ππ=--→. 整个球面面积为 A =2A 1=4πR 2. 提示: 222y x R x x z ---=??, 222y x R y y z ---=??, 22222)()(1y x R R y z x z --=??+??+. 解 球面的面积A 为上半球面面积的两倍. 上半球面的方程为222y x R z --=, 而 222y x R x x z ---=??, 222y x R y y z ---=??, 所以 22)()(12 2 22 y z x z A R y x ??+??+=? ?≤+ d x d y y x R R R y x 2222 22 2 --=? ?≤+??-=πρρρθ200222R R d d R 20 22 4 4R R R R πρπ=--=. 例2设有一颗地球同步轨道通讯卫星, 距地面的高度为h =36000km , 运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R =6400km). 解 取地心为坐标原点, 地心到通讯卫星中心的连线为z 轴, 建立坐标系. 通讯卫星覆盖的曲面∑是上半球面被半顶角为α的圆锥面所截得的部分. ∑的方程为 222y x R z --=, x 2+y 2≤R 2sin 2α. 于是通讯卫星的覆盖面积为 ????--=??+??+=xy xy D D dxdy y x R R dxdy y z x z A 22222)()(1. 其中D xy ={(x , y )| x 2+y 2≤R 2sin 2α}是曲面∑在xOy 面上的投影区域. 利用极坐标, 得 )c o s 1(222s i n 022s i n 0 2220απρρ ρπρρρθααπ -=-=-=?? ?R d R R d R R d A R R . 由于h R R +=αcos , 代入上式得 h R h R h R R R A +=+-=222)1(2ππ. 由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为 %5.4210)4.636(21036)(246 6 2≈?+?=+=h R h R A π. 由以上结果可知, 卫星覆盖了全球三分之一以上的面积, 故使用三颗相隔π 3 2角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面. 二、质心 设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为ρ(x , y ), 假定μ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片的质心坐标. 在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为 dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ. 平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为 ??=D x d y x y M σμ),(, ??=D y d y x x M σμ),(. 设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有 y M M x =?, x M M y =? . 于是 ????==D D y d y x d y x x M M x σμσμ),(),(, ?? ??==D D x d y x d y x y M M y σμσμ),(),(. 在闭区域D 上任取包含点P (x , y )小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则 平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩元素分别为 dM x =y μ(x , y )d σ, dM y =x μ(x , y )d σ. 平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩分别为 ??=D x d y x y M σμ),(, ??=D y d y x x M σμ),(. 设平面薄片的质心坐标为) ,(y x , 平面薄片的质量为M , 则有 y M M x =?, x M M y =? . 于是 ????== D D y d y x d y x x M M x σ μσ μ),(),(, ????== D D x d y x d y x y M M y σ μσ μ),(),(. 提示: 将P (x , y )点处的面积元素d σ看成是包含点P 的直径得小的闭区域. D 上任取一点P (x , y ), 及包含的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对x 轴和对y 轴的力矩(仅考虑大小)元素分别为 讨论: 如果平面薄片是均匀的, 即面密度是常数, 则平面薄片的质心(称为形心)如何求？ 求平面图形的形心公式为 ????= D D d xd x σ σ , ????= D D d yd y σ σ . 例3 求位于两圆ρ=2sin θ 和ρ=4sin θ 之间的均匀薄片的质心. 解 因为闭区域D 对称于y 轴, 所以质心) ,(y x C 必位于y 轴上, 于是0=x . 因为 ????=D D d d yd θρθρσsin 2πρρθθθ θ π7sin sin 4sin 220==? ?d d , πππσ31222=?-?=??d D , 所以3 737=== ????ππσσ D D d yd y . 所求形心是)3 7 ,0(C . 类似地, 占有空间闭区域Ω、在点(x , y , z )处的密度为ρ(x , y , z )(假宽ρ(x , y , z )在Ω上连续)的物体的质心坐标是 ???Ω =dv z y x x M x ),,(1 ρ, ???Ω =dv z y x y M y ),,(1ρ, ??? Ω =dv z y x z M z ),,(1ρ, 其中???Ω =dv z y x M ),,(ρ. 例4 求均匀半球体的质心. 解 取半球体的对称轴为z 轴, 原点取在球心上, 又设球半径为a , 则半球体所占空间闭区可表示为 Ω={(x , y , z )| x 2+y 2+z 2≤a 2, z ≥0} 显然, 质心在z 轴上, 故0==y x . ??? ?????? ??? Ω ΩΩ Ω = = dv zdv dv dv z z ρρ83a =. 故质心为)8 3 ,0 ,0(a . 提示: Ω: 0≤r ≤a , 20π?≤≤, 0≤θ≤2π. ?? ? ???=Ω a dr r d d dv 0 2 2020sin ?θ?π π ? ?? =a dr r d d 0 22020sin ππ θ??3 23 a π=, ???????=Ω a dr r r d d dv z 0220 20sin cos ??θ?π π ???=a dr r d d 03200 2sin 21ππ θ??42214a ??=π. 三、转动惯量 设有一平面薄片, 占有xOy 面上的闭区域D , 在点P (x , y )处的面密度为μ(x , y ), 假定ρ(x , y )在D 上连续. 现在要求该薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量. 在闭区域D 上任取一点P (x , y ), 及包含点P (x , y )的一直径很小的闭区域d σ(其面积也记为d σ), 则平面薄片对于x 轴的转动惯量和y 轴的转动惯量的元素分别为 dI x =y 2μ(x , y )d σ , dI y =x 2μ(x , y )d σ . 第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件 第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。 《高等数学》单元自测题答案 第八章 多元函数微分学 一． 填空题 1.3ln 3xy y ； 2.503-； 3.y x z y ++-； 4.x x e e cos ； 5.dy dx 3 131 +； 二． 选择题 2.D ； 4.D ； 三.解答题 1.解 2 2 222222222211 )221(1y x y x y x x y x x y x x y x x x z +=+++++=++++=??, 22222222221y x x y x y y x y y x x y z +++= +++=??. 2. 解 22222)(11y x y x y x y x z +-=-+=??, 2 22 2111y x x x x y y z +=+=??, 22222222)(2)(2y x xy y x x y x z +=+?--=??, 22222222)(2)(2y x xy y x y x y z +-=+?-=??, 2 22 2 22222222) ()(2)(y x x y y x y y y x x y z y x z +-=+?++-=???=???. 3. 解 设z z y x z y x F 4),,(222-++=,有 2422''-- =--=-=??z x z x F F x z z x . 5. 解 '22'1f x y yf x z -=??, )1(1)1(''22' '212'22''12''11'12f x xf x y f x f x xf y f y x z +--++=??? =''223 ' '11'22'11f x y xyf f x f -+- . 6. 解 令?????=+-==-+=,063, 09632 '2 'y y f x x f y x 得驻点 (1,0), (1,2), (-3,0), (-3,2) 又 66' '+=x f xx , 0''=xy f , 66''+-=y f yy , 在点(1,0)处,0722>=-B AC ,012>=A ,所以5)0,1(-=f 为极小值; 在点(1,2)处,0722<-=-B AC , ,所以)2,1(f 不是极值; 在点(-3,0)处,0722<-=-B AC , 所以)0,3(-f 不是极值; 在点(-3,2)处,0722>=-B AC ,012<-=A ,所以31)2,3(=-f 为极大值. 8. 解 设长,宽,高为 z y x ,,,由题设 xy V z = ,水箱的表面积 )11(2)(2),(y x V xy z y x xy y x S S ++=++==, 问题成为求 ),(y x S 在区域 0,0:>>y x D 的最小值问题.令 ??? ????=-==-=,02,022' 2' y V x S x V y S y x 得D 内唯一驻点3002V y x ==,由问题实际意义知 ),(y x S 在D 内的最小值一定存在,因此可断定),(00y x S 就是最小值,此时 3 33 04 22V V V V z =?=. 多元函数微分学复习题及 答案 Last revision on 21 December 2020 第八章 多元函数微分法及其应用复习题及解答 一、选择题 1.极限lim x y x y x y →→+00 242 = （ B ） (A)等于0； (B)不存在； (C)等于 12； (D)存在且不等于0或12 （提示：令22y k x =） 2、设函数f x y x y y x xy xy (,)sin sin =+≠=?????11000，则极限lim (,)x y f x y →→0 = （ C ） (A)不存在； (B)等于1； (C)等于0； (D)等于2 （提示：有界函数与无穷小的乘积仍为无穷小） 3、设函数f x y xy x y x y x y (,)=++≠+=???? ?22 2222000，则(,)f x y （ A ） (A) 处处连续； (B) 处处有极限，但不连续； (C) 仅在（0,0）点连续； (D) 除（0,0）点外处处连续 （提示：①在220x y +≠，(,)f x y 处处连续；②在0,0x y →→ ，令y kx = ，2000(0,0)x x y f →→→=== ，故在220x y +=，函数亦连续。所以， (,)f x y 在整个定义域内处处连续。） 4、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处具有偏导数是它在该点存在全微分的 （ A ） (A)必要而非充分条件； (B)充分而非必要条件； (C)充分必要条件； (D)既非充分又非必要条件 5、设u y x =arctan ，则??u x = （ B ） (A) x x y 22+； (B) -+y x y 22； (C) y x y 22+ ； (D) -+x x y 22 `第八章多元函数微分学 8.1基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 8.2基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念 ①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于 这一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24 (,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， 第十章 多元函数积分学（Ⅰ） 一元函数积分学中，曾经用和式的极限来定义一元函数()f x 在区间[a,b]上的定积分，并且已经建立了定积分理论，本章我们将推广到多元函数，建立多元函数积分学理论。 第一节 二重积分 教学目的： 1、熟悉二重积分的概念； 2、了解二重积分的性质和几何意义，知道二重积分的中值定理； 3、掌握二重积分的（直角坐标、极坐标）计算方法； 4、能根据积分区域和被积函数正确选择积分顺序 教学重点： 1、二重积分的性质和几何意义； 2、二重积分在直角坐标系下的计算 教学难点： 1、二重积分的计算； 2、二重积分计算中的定限问题 教学容： 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n .分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和 i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1 . 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值. 第八章.多元函数积分学 在不同的问题当中，可以对多元函数的积分进行不同的定义，因此，我们需要在不同的问题背景当中来定义不同的积分概念。 二重积分。 二重积分实际上就是对二元函数求定积分，在实际问题当中，需要对二元函数进行求和计算，或者直观地说，涉及到体积的计算与具有在二维区域上的分布的物理量的计算，就需要运用二重积分的概念来进行。 因此我们对二重积分的定义，与对单变量函数的定积分的定义是完全类似的，只是这里的积分区域不是一维的，而是二维平面上的区域。这样通过把积分区域任意划分成只有公共边界的子区域，然后在每一个子区域当中任意取一点，取这点的函数值与该子区域的面积之积，再把所有的这样的乘积加起来，得到一个和式，接下来，就是我们已经很熟悉的极限过程，即使得所有子区域当中面积最大者的面积趋向于0，也就是使得子区域的数目趋向于无穷大，看和式是否存在极限，以及可能的话，这个极限是多少。这就是关于二重积分的可积性问题与二重积分的计算问题。 关于可积性的问题有下面一个简单的定理： 如果函数在一个有界闭区域上有定义并且连续，则这个函数必定在这个区域上可积。 从上面的二重积分概念的说明，可以得到与单变量函数的定积分相类似的几何说明，即被积函数所描述的曲面与其在自变量平面上的积分区域上的投影之间所夹的空间的体积。基于这样的理解，可以很容易得到如下的二重积分的性质。 （1）??+??=??+D D D gdx j fdx i dx jg if )(， 其中i ，j 为任意常数。这是二重积分的线性性质； （2），??+??=??D D fdx fdx fdx D 21 其中D D D =?21。 （3）如果在区域D 上有 ),(),(y x g y x f ≤， 则有 ??≤??D D gdx fdx ； 而对于D 上的可积函数f ，存在任意上界M 和任意下界m ，则有 MD fdx mD D ≤??≤ 其中D 为区域D 的面积。 （4）设函数f 为有界连通闭区域D 上的连续函数，则一定在这个区域上存在一点（a ，b ），使得 D b a f fdx D ),(=??； 这个性质还可以推广到比较一般的形式： 设函数g 为D 上的非负值连续函数，f 在D 上可积，则存在一个介于f 在D 上的上界 第八章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数的基本概念 教学目的：学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念，掌握多元函数的连续性定理，能够判断多元函数的连续性，能够求出连续函数在连续点的极限。教学重点：多元函数概念和极限，多元函数的连续性定理。 教学难点：计算多元函数的极限。 教学内容： 一、区域 1.邻域 设P o（x°,y。）是xoy平面上的一个点，是某一正数。与点P o（X o，y°）距离小于：的 点p（x,y）的全体，称为点p的「?邻域，记为U（P0,、），即 U（P°,、）= ｛P PPo < ｝， 也就是 U （P o,、）= ｛（X, y）丨..（X -X。）2（y - y o）2、｝。 在几何上，U（P o「J就是xoy平面上以点p o（x o,y。）为中心、：-0为半径的圆内部 的点P（x,y）的全体。 2.区域 设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点。如果存在点P的某一邻域U（P） E， 则称P为E的内点。显然，E的内点属于E。 如果E的点都是内点，则称E为开集。例如，集合E, =｛（x, y）1 vx2+ y2￡4｝中每个点都是E,的内点，因此E,为开集。 如果点P的任一邻域内既有属于E的点，也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E ），则称P为E的边界点。E的边界点的全体称为E的边界。例如上例中，E ,的边界是圆周x2 y2 = 1和x2 y2=4o 设D是点集。如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于 D，则称点集D是连通的。 连通的开集称为区域或开区域。例如，｛(x, y) x + y a 0｝及｛( x, y)d 第八章多元函数微分法及其应用 （讲授法18学时） 上册研究了一元函数微分法，利用这些知识，我们可以求直线上质点运动的速度和加速度，也可以求曲线的切线的斜率，可以判断函数的单调性和极值、最值等，但这远远不够，因为一元函数只是研究了由一个因素确定的事物。一般地说，研究自然现象总离不开时间和空间，确定空间的点需要三个坐标，所以一般的物理量常常依赖于四个变量，在有些问题中还需要考虑更多的变量，这样就有必要研究多元函数的微分学。 多元函数微分学是一元函数的微分学的推广，所以多元函数微分学与一元函数微分学有许多相似的地方，但也有许多不同的地方，学生在学习这部分内容时，应特别注意它们的不同之处。 一、教学目标与基本要求 1、理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性，了解全微分在近似计算中的应用。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 二、教学内容及学时分配： 第一节多元函数的基本概念2课时 第二节偏导数2学时 第三节全微分2学时 第四节多元复合函数的求导法则2学时 第五节隐函数的求导公式2学时 第六节多元函数微分学的几何应用2学时 第七节方向导数与梯度2学时 第八节多元函数的极值及其求法2学时 三、教学内容的重点及难点： 重点： 1．多元函数的极限与连续； 2．偏导数的定义；全微分的定义 3．多元复合函数的求导法则；隐函数的求导法则 4．方向导数与梯度的定义 5．多元函数的极值与最值的求法 难点： 1．多元函数微分学的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、偏导数的连续性之间的关系； 2．多元复合函数的求导法则中，抽象函数的高阶导数； 3．由方程组确定的隐函数的求导法则； 4．梯度的模及方向的意义； 5．条件极值的求法 . 第八章 多元函数微分法及其应用 第 一 节 作 业 一、填空题： . sin lim .4. )](),([,sin )(,cos )(,),(.3arccos ),,(.21)1ln(.102 2 2 2 322= ===-=+=+++-+-=→→x xy x x f x x x x y x y x f y x z z y x f y x x y x z a y x ψ?ψ?则设的定义域为 函数的定义域为函数 二、选择题（单选）： 1. 函数 y x sin sin 1 的所有间断点是: (A) x=y=2n π（n=1,2,3,…）； (B) x=y=n π(n=1,2,3,…)； (C) x=y=m π(m=0,±1，±2，…)； (D) x=n π,y=m π(n=0,±1，±2，…，m=0,±1,±2,…)。 答：（ ） 2. 函数?? ???=+≠+++=0,20,(2sin ),(22222 22 2y x y x y x y x y x f 在点（0，0）处： （A ）无定义； （B ）无极限； （C ）有极限但不连续； （D ）连续。 答：（ ） . 三、求.4 2lim 0xy xy a y x +-→→ 四、证明极限2222 20 0)(lim y x y x y x y x -+→→不存在。 第 二 节 作 业 一、填空题： . )1,(,arcsin )1(),(.2. )1,0(,0,0 ),sin(1),(.122 =-+== ?????=≠=x f y x y x y x f f xy x xy y x xy y x f x x 则设则设 二、选择题（单选）： . 4 2)(;)(2)(;4ln 2)()(;4ln 2 )(:,22 2 2 2 2 2y x y x y x y y x y D e y x y C y y x B y A z z ++++?+?+??=等于则设 答：（ ） 三、试解下列各题： .,arctan .2. ,,tan ln .12y x z x y z y z x z y x z ???=????=求设求设 四、验证.2 2222222 2 2 r z r y r x r z y x r =??+??+??++=满足 第 三 节 作 业 一、填空题： 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1、()y x,f z =，定义域为平面上某一个平面域 几何上()y x,f z =为空间一张曲面。 2、二元函数极限 P186 例1、讨论函数 ()()()0,00 y x 0y x 0x y y 4x y x,f 222222 44 2在=+≠+?????+=极限是否存在。 解：()()()01K x x 4K lim x x K x K 4x lim x y y 4x lim 24222022444 42022442y x 0 2=+=+?=+→→=→x x x 而 ()4y y y 4y lim 244442y x 0 x =+?=→ ∴ () y x f 在(0,0)极限不存在. 3、连续 P187 第二节 偏导数 定义：()()00y ,x y x,f z 在点=处对x 的偏导数， 记作：()0010y y 0x x x 0y y 0x x 0y y 0x x y ,x f ,z ,x f , x z ''????====== 即： ()()()x y ,x f y x,x f lim y ,x f 00000x 00x ?-?+='→? 同理：()()()y y ,x f y y ,x f lim y ,x f 00000y 00y ?-?+='→? ()00y x y ,x f ,f 在''存在，称()()00y ,x y x,f z 在=可导。 例1、y z ,x z ,x z y ????=求 解：lnx x y z ,yx x z y 1y =??=??- 例2、P188，例5，6 第八章 多元函数微分法及其应用 第一节 多元函数的基本概念 1、 平面点集、n 维空间、多元函数的概念，这些你如果不知道就看看。我下面的资料是从P7开始 的。 2、 在数轴上（一维空间），当0x x →时，只有两种趋近方式：一是x 从左边趋近于0x ，即0x x - →； 二是x 从右边趋近于0x ，即0x x + →。在平面直角坐标系中（二维空间），点(,)x y 趋近于点 00(,)x y 时，即00(,)(,)x y x y →的方式有无穷多种，例如，当(,)(0,0)x y →时，点(,)x y 既可 以沿x 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (,0)x f x + →，也可以沿x 负半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (,0)x f x - →；点(,)x y 既可以沿y 正半轴趋于点(0,0)——这时(,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (0,)y f y + →，也可以沿y 负半轴趋于点(0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可写成0 lim (0,)y f y - →；同时点(,)x y 也可以沿直线3y x =趋于点(0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可以写成0 lim (,3)x f x x →；也可以沿正弦函数图象sin y x =趋于点 (0,0)——这时 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →便可以写成0 lim (,sin )x f x x →。我们应该意识到，点(,)x y 还可以 沿着一些不规则的路径趋于点(0,0)。这里说了这么多，就是要让你明白P7第二段中的“这里 0P P →表示点P 以任何方式趋于点0P ”这句话的涵义。 3、 对于多元函数的极限，特别是二元函数的极限，只需要了解它的定义，并且会求简单的二元函 数的极限，如本节例5、7、8这些题型。考研中，二元函数的极限的计算应该不会考到，重点是一元函数的极限的计算题。但是要会判断 (,)(0,0) lim (,)x y f x y A →≠这类题型，就是通过找一条特 殊路径求出它的极限不等于A 。如P8页给出的那个例题： 22 22 22,00,0 (,){ xy x y x y x y f x y +≠++== 4、 了解多元函数（二元函数）连续性的定义，后面的间断点、最大值最小值定理、介值定理看看 就行了。 5、 习题8——1第 6、7题，结合答案看看就行了。 第十章 重 积 分 第一节 二重积分的概念与性质 习题A 一．填空与选择 1．比较()2 1D I x y d σ=+??，()3 2D I x y d σ=+??大小 (1)若D 由x 轴，y 轴与直线1=+y x 围成，则在D 上 (2) 若D 由22 (2)(1)2x y -+-=围成，则在D 上 2．设??=I D d y x f ,),(σ若(),1f x y x y =++，区域D 为01x ≤≤，02y ≤≤,则在D 上该积分的估计值为 ． 3．设平面区域D 由直线0=x ，0=y ，2 1 = +y x ，1=+y x 围成，若 ()7 1ln D I x y dxdy =+??????，()7 2D I x y dxdy =+??，()7 3sin D I x y dxdy =+? ????? 则1I ，2I ，3I 之间的关系是___________ ． （A ）321I I I <<； （B ）123I I I <<； （C ）231I I I <<； （D ）213I I I <<． 二． 设),(y x f 在闭区域2 2 22:1x y D a b +≤上连续，求证：00 (,)lim (0,0)D a b f x y d f ab σ π++ →→=?? 习题B 判断 ??≤+≤+1 22 )ln(y x r dxdy y x 的符号. 第二节 二重积分的计算法 （一）利用直角坐标计算二重积分 习题A 一．填空与选择 1．交换积分次序._____________________),(10 =?? y y dx y x f dy 2 ．交换积分次序222220 2 (,)(,)x I dx f x y dy dx f x y dy =+=?? ? ? 若(),f x y xy =，则I = ． 3．_______________2 2 2 =??-x y dy e dx ，1 0sin y x dy dx x ?___________=． 4．交换二次积分??10 x x 2dx f(x,y)dy 的积分次序，它等于( )． (A) ?? 10 y y 2 dy f(x,y)dx (B) ?? 1 y y 2dy f(x,y)dx (C) ??10 x x 2dy f(x,y)dx (D) ??1 y y 2 dx f(x,y)dy 第八章多元函数微分法及其应用 一、内容提要 多元函数微分法是一元两数微分法的推广，有许多相似之处，学习时应 注意对比，搞清界同. 1. 基本概念与定理 设函数U = f(P),点P 可以是1,2,3,…丿维的.当n>2时,称此函数为多 ① 二元函数z = /(X, y)在儿何上表示空间一张曲面. ② 二元函数z = /(x,y)在点心(巾,儿)处的极限、连续、偏导数、全 微分的定义及关系. 极限 lim f(x,y) = A ： V^>0,3t> >0,当 X->X0 .v->yo ()< p = J(_r_x ())2 +(y _y ())2 < 6时，有 I f(x, y) - A \ 定积分 曲面积分 开曲面 闭合曲面Ⅰ型曲面积分Ⅱ型曲面积分曲线积分 开曲线 闭合曲线Ⅰ型曲线积分Ⅱ型曲线积分 第 1 页 重积分 三重积分 二重积分 累次积分 三次积分 二次积分 多元函数积分学计算方法总结 第 2 页 第 3 页 多元函数积分学计算方法总结 .................................. 错误!未定义书签。 累次积分 (4) ★A1[积分限是常数的二次积分??d c b a y y x f x d ),(d ] (4) ★A2 [积分限含函数的二次积分? ?) () (d ),(d x D x C b a y y x f x ] (4) 重积分: (5) ★B1 [积分区域为矩形的二重积分??Λ y x y x f d d ),(] .......................... 5 ★B2 [积分区域为平面区域的二重积分(,)d d f x y x y Λ ??] ..................... 5 ★B3 [积分区域为无孔洞的立体区域的三重积分 ???Ω z y x z y x f d d d ),,(] ..................................................... 6 ★B4 [收敛的广义重积分] .............................................. 6 曲线积分: (6) ★C1 [I 型曲线积分?L s z y x f d ),,(] (6) ★C2 [II 型曲线积分?++L z R y Q x P d d d ] (7) ★C3 [全微分式II 型曲线积分?d d d AB P x Q y R z ++?] (7) ★C4 [平面闭曲线的II 型曲线积分d d L P x Q y +?] (7) ★C5 [平面非闭合曲线的II 型曲线积分d d L P x Q y +?] .............曲面积分: ......................................................★D1 [I 型曲面积分(,,)d S f x y z S ??] .............................★D2 [直角坐标系的II 型曲面积分d d d d d d S P y z Q z x R x y ++??] ......★D3 [向量式的II 型曲面积分d S ??F S ] ..........................★D4 [闭曲面情形的曲面积分] ................................. ★D5 [开曲面情形的曲面积分] .................................★D6 [循环常数] ............................................. 高等数学下册复习提纲 第八章 多元函数微分学 本章知识点(按历年考试出现次数从高到低排列): 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 函数定义域求法（☆） 1. 多元复合函数高阶导数 例 设),,cos ,(sin y x e y x f z +=其中f 具有二阶连续偏导数，求x y z x z ?????2及. 解 y x e f x f x z +?'+?'=??31cos ， y x y x y x y x e e f y f f e x e f y f y x z x y z ++++?''+-?''+'+?''+-?''=???=???])sin ([cos ])sin ([333231312 22析 1）明确函数的结构(树形图) 这里y x e w y v x u +===,cos ,sin ，那么复合之后z 是关于y x ,的二元函数.根据结构 图，可以知道：对x 的导数，有几条线通到“树梢”上的x ，结果中就应该有几项，而每一 项都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是，“按线相乘，分线相加”. 2）31,f f ''是),cos ,(sin ),,cos ,(sin 31y x y x e y x f e y x f ++''的简写形式，它们与z 的结构 相同，仍然是y x e y x +,cos ,sin 的函数.所以1f '对y 求导数为 z u v w x x y y 第八章 多元函数积分学 基 本 课 题 ：8. 1 二重积分的概念与性质 目 的 要 求 ：理解二重积分的概念与性质 重 点 ：二重积分的性质 难 点 ：8. 1 二重积分的概念 教 学 方 法 ： 讲授与讨论结合 教 学 手 段 ： 电子课件、黑板 教 参 ：《高等数学》(人大理工类本科教材) 教学环节及组织： 复习并引入新课 一、二重积分的概念 1. 曲顶柱体的体积 设有一立体, 它的底是xOy 面上的闭区域D , 它的侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面, 它的顶是曲面z =f (x , y ), 这里f (x , y )≥0且在D 上连续. 这种立体叫做曲顶柱体. 现在我们来讨论如何计算曲顶柱体的体积. 首先, 用一组曲线网把D 分成n 个小区域： ?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n . 分别以这些小闭区域的边界曲线为准线, 作母线平行于z 轴的柱面, 这些柱面把原来的曲顶柱体分为n 个细曲顶柱体. 在每个?σ i 中任取一点(ξ i , η i ), 以f (ξ i , η i )为 高而底为?σ i 的平顶柱体的体积为 ： f (ξ i , η i ) ?σi (i =1, 2, ? ? ? , n ). 这个平顶柱体体积之和：i i i n i f V σηξ?≈=∑),(1. 可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值. 为求得曲顶柱体体积的精确值, 将分割加密, 只需取极限, 即 i i i n i f V σηξλ?==→∑),(lim 1 0. 其中λ是个小区域的直径中的最大值. 定义 设f (x , y )是有界闭区域D 上的有界函数. 将闭区域D 任意分成n 个小 闭区域 ?σ 1, ?σ 2, ? ? ? , ?σ n . 其中?σ i 表示第i 个小区域, 也表示它的面积. 在每个?σ i 上任取一点(ξ i , ηi ), 作和 i i i n i f σηξ?=∑),(1 . 如果当各小闭区域的直径中的最大值λ趋于零时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f (x , y )在闭区域D 上的二重积分, 记作σd y x f D ??),(, 即 i i i n i D f d y x f σηξσλ?==→∑??),(lim ),(1 0. f (x , y )被积函数, f (x , y )d σ被积表达式, d σ面积元素, x , y 积分变量, D 积分区域, 积分和. 直角坐标系中的面积元素: 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分D , 那么除了包含边界点的一些小闭区域外, 其余的小闭区域都是矩形闭区域. 设矩形闭区域?σi 的边长为?x i 和?y i , 则?σi =?x i ?y i , 因此在直角坐标系中, 有时也把面积元素d σ 记作dxdy , 而把二重积分记作 dxdy y x f D ??),( 其中dxdy 叫做直角坐标系中的面积元素. 二重积分的存在性: 当f (x , y )在闭区域D 上连续时, 积分和的极限是存在的, 也就是说函数f (x , y )在D 上的二重积分必定存在. 我们总假定函数f (x , y )在闭区域D 上连续, 所以f (x , y )在D 上的二重积分都是存在的. 二重积分的几何意义: 如果f (x , y )≥0, 被积函数f (x , y )可解释为曲顶柱体的在点(x , y )处的竖坐标, 所以二重积分的几何意义就是柱体的体积. 如果f (x , y )是负的, 柱体就在xOy 面的下方, 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积, 但二重积分的值是负的. 多元函数积分学总结 多元函数积分学是一元函数积分学的拓展与延伸，包括二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。 几何意义：曲顶柱体的体积 性质：线性性质、可加性、单调性、估值性质、中值定理 计算方式：x 型、y 型、极坐标（2 2 y x +） 常见计算类型： ① 选择积分顺序：能积分、少分块 ② 交换积分顺序：确定积分区域→交换积分顺序→开始积分 ③ 利用对称性简化计算：要兼备被积函数和积分区域两个方面，不可误用。 ④ 极坐标系下的二重积分的定限：极点在积分区域内（特殊：与x 轴相切、与y 轴相切）、极点不在积分区域内 ⑤ 其他：利用几何意义、含绝对值时先去绝对值、分段函数、概率积分 了解“积不出来函数”：dx x ?)cos(2、dx e x ? -2 、dx x ? ln 1、dx x x ?sin 概率积分例题展示 证明 2 2 π = ? ∞ +-dx e x 证：令=)(x f 2 x e - ① 易证)()(x f x f -=?)(x f 为偶函数? 2 12 = ? +∞ -dx e x dx e x 2 ? +∞ ∞ -- （奇偶对称性、轮换对称性、周期性→简化计算） ② 已知dx e x ? -2 为“积不出来函数”，所以改变我们所求目标函数dx e x 2 ?+∞ ∞ --的形式 令= w dx e x 2 ? +∞ - 4 1 2 =w ? dx e x 2 ? +∞ ∞ -- 4 1= dxdx e x x ? ?+∞ ∞ -+-+∞ ∞ -) (22 （了解“积不出来函数”，增强目标意识，适当转化目标函数形式） ③ 令其中一个x 变成y ，构造2 2 y x + 2 w 4 1 = dxdy e y x ? ?+∞ ∞ -+-+∞∞ -) (22 ④ 将θcos r x =，θsin r y =带入上一步的2 w 易得),0(+∞∈r ，)2,0(π∈θ 2 w =θdrd e r r ? ?-+∞ ?π 20 2 41 = ?? +∞ -?π20 2 θd dr e r r 20 2 12 1 2dr e r ?=? +∞ -π 2021212 lim dr e b r b ?=?-+∞ →π )1(2121 2lim --=-+∞ →b b e π π4 1==?w 2π 即220π=?∞+-dx e x 成立 （极坐标系?直角坐标系，选择合适的积分次序将二重积分?二次积分，了解广义定积分） （此类积分为概率积分 b dt e b dx e t bx π 2110 2 2 ? ? ∞ +-∞ +-= = ）(完整版)多元函数微分法及其应用期末复习题高等数学下册(上海电机学院)
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0 Ay 二阶偏导数. 类似,可定义三阶以上的偏导数. _ 可微 若全增量A< = f(x 0 + 心,y ()+ Ay) - f(x 0,y 0)町表示为 Az = AAx + BAy + o(p),其中 q 二 J (心尸 +(2\)护， 则称z = f (x, y)在点P 0(x 0,y 0)可微.而AAx + BAy 为函数z = f (x, y)在点 P ()(w )，y ())的全微分，记 作 dA. . =AAx + B^y 定理1若函数z = /(x,y)的二阶混合偏导数f xy (x,y)及 /vx (x,y)在区域D 内连续，贝I 」在该区域内(x, y) = /VA .(x,y) ? 偏导 高阶偏导 —阶偏导数f x (x, y), fy (x, y)的偏导数，称为函数f (x, y)的 a? = /.u-UoO=￡ dydx 空、 dx )多元函数积分学共9页
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