广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一上学期月考数学试卷
一、选择题
1．（3分）下列命题中正确的是（）
A．||=||?=B．||＞||?＞
C．=?D．单位向量都相等
2．（3分）设、是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是
（）
A．与﹣B．+与﹣3
C．﹣2与﹣3+6D．2+3与﹣2
3．（3分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π+α）=（）
A．﹣B．﹣C．D．
4．（3分）sin（x+27°）cos（18°﹣x）+sin（18°﹣x）cos（x+27°）=（）
A．B．C．D．
5．（3分）如图，已知，，，用，表示，则=（）
A．B．C．D．
6．（3分）若O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC
的形状是（）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
7．（3分）如果不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0（a，c∈R）的解集为{x|﹣2＜x＜1}，那么函数y=f （﹣x）的大致图象是（）
A．B．C．D．
8．（3分）同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在
上是增函数”的一个函数是（）
A．B． C．
D．
9．（3分）在△ABC中，D为BC边的中点，AD=1，点P在线段AD上，则
的最小值为（）
A．﹣1 B．1C．D．
10．（3分）已知向量=（a，b），=（c，d），=（x，y），定义新运算*=（ac+bd，ad+bc），其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如果对于任意向量都有*=成立，那么向量为
（）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）
二、填空题
11．（3分）cos600°的值为．
12．（3分）O，N，P在△ABC所在平面内，且||=||=||，++=，且
?=?=?，则点O，N，P依次是△ABC的心、心、心（请按顺序填写）．13．（3分）函数f（x）=（）|cosx|在上的单调减区间为．
14．（3分）关于平面向量、、，有下列三个命题：
①若?=?，则=
②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3
③非零向量和满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为60°．
④若=（λ，﹣2），=（﹣3，5），且与的夹角是钝角，则λ的取值范围是λ∈（﹣，+∞）其中正确命题的序号为．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）向量=（sinx，cosx），=（2，1），
（1）若∥，求sin2x﹣sinxcosx的值
（2）若⊥，求sinx的值．
16．（12分）已知平面向量=，=，||=4，||=3，∠BAC=β，（2﹣3）?（2+）
=61
（1）求β的大小；
（2）求||．
17．（14分）已知函数f（x）=2sin（x+）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．
18．（14分）据市场调查，某种商品出厂价按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；
该商品每件售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）=f（x﹣2）+2．
（1）分别写出每件该商品的出厂价函数f（x），售价函数g（x）的解析式；
（2）问：哪几个月能盈利？
19．（14分）已知函数f（x）=cos2x+1，g（x）=sinx
（1）求h（x）=，x∈（0，）的值域
（2）若x∈时，h（x）=f（x）﹣2m2g（x）的最小值为，求实数m的值．
20．（14分）已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，则向量、、满足：
=λ+μ，其中λ+μ=1．
（1）若A、B、C三点共线且有成立．记y=f （x），求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对任意，不等式|a﹣lnx|﹣ln＞0恒成立，求实数a的取值范围．
广东省汕头市金山中学2014-2015学年高一上学期月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题
1．（3分）下列命题中正确的是（）
A．||=||?=B．||＞||?＞
C．=?D．单位向量都相等
考点：命题的真假判断与应用；向量的模．
专题：平面向量及应用．
分析：根据向量的有关概念和运算进行判断即可．
解答：解：A．向量长度相等，但方向不一定相同，所以A错误．
B．向量的长度可以比较大小，但向量无法比较大小，所以B错误．
C．若向量相等，则两向量的方向相同，所以对应的向量是共线的，所以C正确．
D．单位向量的长度相等，但方向不一定相同，所以D错误．
故选C．
点评：本题主要考查向量的有关概念的判断，判断向量要从长度和方向两个方面进行判断．
2．（3分）设、是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）
A．与﹣B．+与﹣3
C．﹣2与﹣3+6D．2+3与﹣2
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：判断向量是否共线，即可判断向量是否作为基底．
解答：解：、是平面内所有向量的一组基底，
与﹣，不共线，可以作为基底，
+与﹣3，不共线，可以作为基底，
﹣2与﹣3+6共线，不可以作为基底，
2+3与﹣2，不共线，可以作为基底，
故选：C．
点评：本题考查向量是否共线，共线向量的基本定理的应用，基本知识的考查．
3．（3分）若cos（2π﹣α）=，且α∈（﹣，0），则sin（π+α）=（）
A．﹣B．﹣C．D．
考点：运用诱导公式化简求值；同角三角函数间的基本关系．
专题：计算题．
分析：根据诱导公式cos（2π﹣α）=cosα=，且sin（π+α）=﹣sinα，再根据同角三角函数基本关系式计算即可．
解答：解：cos（2π﹣α）=cosα=，，∵α∈（﹣，0），∴sinα=﹣
==，
sin（π+α）=﹣sinα=﹣（）=
故选C
点评：本题考查同角三角函数基本关系式，诱导公式的简单直接应用，属于基础题．4．（3分）sin（x+27°）cos（18°﹣x）+sin（18°﹣x）cos（x+27°）=（）
A．B．C．D．
考点：两角和与差的正弦函数．
专题：计算题．
分析：把x+27°看作α，18°﹣x看作β，则原式变为sinαcosβ+cosαsinβ，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出原式的值．
解答：解：原式=sin=sin45°=．
故选D
点评：此题考查学生灵活运用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．
5．（3分）如图，已知，，，用，表示，则=（）
A．B．C．D．
考点：向量在几何中的应用；向量的加法及其几何意义．
专题：计算题．
分析：题中由，由向量的减法法则：代入上式计算
可以得出结果．
解答：解：如图，
，
且．
即：，
所以
故选B．
点评：本题为向量的加，减运算的简单应用，结合图形容易得出答案．
6．（3分）若O是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABC
的形状是（）
A．等边三角形B．等腰三角形
C．等腰直角三角形D．直角三角形
考点：三角形的形状判断．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：由向量的减法法则，将题中等式化简得=，进而得到
=，由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形，得到△ABC是直角三角形．
解答：解：∵，，
∴，即=
∵，∴=，
由此可得以AB、AC为邻边的平行四边形为矩形
∴∠BAC=90°，得△ABC的形状是直角三角形．
故选：D
点评：本题给出向量等式，判断三角形ABC的形状，着重考查了平面向量的加法、减法法则和三角形的形状判断等知识，属于中档题．
7．（3分）如果不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0（a，c∈R）的解集为{x|﹣2＜x＜1}，那么函数y=f （﹣x）的大致图象是（）
A．B．C．D．
考点：二次函数的图象．
专题：常规题型．
分析：首先根据不等式的解集与一元二次方程系数的关系，求出a和c，然后写出f（x）的解析式，最后求出f（﹣x）的解析式，就可以得出函数的图象．
解答：解：∵不等式f（x）=ax2﹣x﹣c＞0（a，c∈R）的解集为{x|﹣2＜x＜1}
∴﹣2+1=﹣2×1=
∴a=﹣1 c=﹣2
∴f（x）=﹣x2﹣x+2
∴f（﹣x）=﹣x2+x+2
故选C．
点评：本题主要考查了二次函数的图象，也涉及到了不等式与一元二次方程、二次函数的关系，相对比较容易．
8．（3分）同时具有性质“①最小正周期是π，②图象关于直线对称；③在
上是增函数”的一个函数是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
考点： 三角函数的周期性及其求法；正弦函数的单调性；正弦函数的对称性． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 首先此类题目考虑用排除法，根据周期可以排除A ，根据对称性可排除B ，根据对称轴取最值排除D ．即可得到答案C 正确．
解答： 解：首先由最小正周期是π，可以排除A ；
又因为，不是最值，可以排除排除D ；
B 中，当x ∈
时，0≤2x+
≤π，单调递减，所以排除B ；
因此C 正确． 故选C ．
点评： 此题主要考查函数的周期性，对称轴，单调区间的应用，在三角函数的学习中，对于三角函数的性质非常重要，要注意记忆和理解，在应用中也极其广泛，值得注意．
9．（3分）在△ABC 中，D 为BC 边的中点，AD=1，点P 在线段AD 上，则的最小值为（）
A ． ﹣1
B ． 1
C ．
D ．
考点： 向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算． 专题： 计算题；平面向量及应用．
分析： 设出|AP|，利用D 为BC 边的中点，AD=1，表示出，然后通过数量积求出表
达式的最小值．
解答： 解：在△ABC 中，D 为BC 边的中点，AD=1，点P 在线段AD 上， 设|AP|=t ，t ∈（0，1）， 则|PD|=1﹣t ，
=2
，
=2|
|?||cos π=﹣2t （1﹣t ）=2t 2﹣2t=2（t ﹣）2
﹣，
因为t ∈（0，1），
所以2（t ﹣）2
﹣的最小值为﹣．
的最小值为．
故选D．
点评：本题考查向量在几何中的应用，向量的数量积的应用，考查计算能力，利用几何图形关系表示是解题的关键．
10．（3分）已知向量=（a，b），=（c，d），=（x，y），定义新运算*=（ac+bd，ad+bc），其中等式右边是通常的加法和乘法运算，如果对于任意向量都有*=成立，那么向量为
（）
A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）
考点：平面向量数量积的运算．
专题：平面向量及应用．
分析：由条件利用新定义可得对任意a、b都成立，可得，由此求得向量的坐标．
解答：解：因为*=，（a，b）*（x，y）=（ax+by，ay+bx）=（a，b），
∴，即．由于对于任意，即对任意a、b都有（a，b）*（x，y）=（a，b）成立，
所以，即，∴=（1，0），
故选：A．
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，恒成立问题，属于基础题．
二、填空题
11．（3分）cos600°的值为﹣．
考点：运用诱导公式化简求值．
专题：计算题；三角函数的求值．
分析：利用余弦函数的诱导公式cos（k?360°﹣α）=cosα即可求得cos600°的值．
解答：解：cos600°=cos（720°﹣120°）=cos（2×360°﹣120°）=cos（﹣120°）=cos120°=﹣，故答案为：﹣．
点评：本题考查运用诱导公式化简求值，考查运算求解能力，属于基础题．
12．（3分）O，N，P在△ABC所在平面内，且||=||=||，++=，且
?=?=?，则点O，N，P依次是△ABC的外心、重心、垂心（请按顺序填写）．
考点：三角形五心．
专题：综合题；平面向量及应用．
分析：根据三角形外接圆的性质，结合||=||=||，可得O为△ABC的外心；根据向量加法的平行四边形法则和向量共线定理，可证出N为△ABC的三条中线的交点，得N为△ABC 的重心；根据向量数量积的运算性质与向量减法法则，结合?=?，证出，
点P在AC边上的高所在直线上．同理可得点P也在AB、BC边上的高所在直线上，因此，P 是△ABC三条高所在直线的交点，即得P为△ABC的垂心．
解答：解：①若||=||=||，则点O到A、B、C三点的距离相等，
∴O为△ABC的外接圆的圆心，即外心；
②若++=，则+=﹣，
以NA、NB为邻边作平行四边形NAGB，
可得GN、AB的交点E为AB的中点，且E、N、C三点共线．
因此，CE为△ABC的中线．同理可得BN、AN也在△ABC的中线上．
∴点N为△ABC的三条中线的交点，可得N为△ABC的重心；
③若?=?，
可得（﹣）?=0，
∴=0，可得，点P在AC边上的高所在直线上．
同理可得点P也在AB、BC边上的高所在直线上．
因此，P是△ABC三条高所在直线的交点，即得P为△ABC的垂心．
综上所述，点O、N、P依次是△ABC的外心、重心、垂心．
故答案为：外心、重心、垂心
点评：本题给出三角形中的点满足的向量式，求该点是三角形“五心”中的哪一个．着重考查了向量的加法、减法法则和向量数量积的运算性质等知识，考查了向量在几何中的应用，属于中档题．
13．（3分）函数f（x）=（）|cosx|在上的单调减区间为，．
考点：复合三角函数的单调性．
专题：三角函数的图像与性质．
分析：分解函数：令t=|cosx|，y=（）t，由y=（）t在R上单调递减，故只要考查函数t=|cosx|的单调递增区间，然后由复合函数的单调性可求f（x）=（）|cosx|在上的单调递减区间．
解答：解：令t=|cosx|，y=（）t，
由于y=（）t在R上单调递减，
函数t=|cosx|在（k∈Z）上单调递减，在上单调递增，
由复合函数的单调性可知，函数f（x）=（）|cosx|的单调减区间为（k∈Z），
故函数f（x）=（）|cosx|在上的单调减区间为与．
故答案为：，．
点评：本题考查复合函数的单调性，指数函数及三角函数的单调性，是中档题．
14．（3分）关于平面向量、、，有下列三个命题：
①若?=?，则=
②若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则k=﹣3
③非零向量和满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为60°．
④若=（λ，﹣2），=（﹣3，5），且与的夹角是钝角，则λ的取值范围是λ∈（﹣，+∞）其中正确命题的序号为②．（写出所有正确命题的序号）
考点：命题的真假判断与应用．
专题：平面向量及应用．
分析：①，利用向量的运算性质，可得⊥（﹣），从而可判断①；
②，利用向量共线的坐标运算可求得k=﹣3，可判断②；
③，设非零向量和的夹角为θ，依题意，可求得θ=60°，而+的方向与、的角平分线位于同一直线上，则与+的夹角为30°，可判断③；
④，依题意，知﹣3λ﹣10＜0且﹣3λ﹣10≠﹣1，求得λ的取值范围是λ∈（﹣，﹣3）∪（﹣3，+∞），可判断④．
解答：解：对于①，若?=?，则?（﹣）=0，即⊥（﹣），故①错误；
对于②，若=（1，k），=（﹣2，6），∥，则1×6﹣k×（﹣2）=0，解得k=﹣3，故②正确；
对于③，设非零向量和的夹角为θ，
则丨﹣丨2=2+2﹣2||||cosθ，
由于||=||=|﹣|，可得cosθ=，故θ=60°
+的方向与、的角平分线位于同一直线上，
则与+的夹角为30°，故③错误；
对于④，若=（λ，﹣2），=（﹣3，5），且与的夹角是钝角，则﹣3λ﹣10＜0且﹣3λ﹣10≠﹣1，
解得：λ的取值范围是λ∈（﹣，﹣3）∪（﹣3，+∞），故④错误．
故答案为：②．
点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查平面向量的数量积及平面向量的加减运算，考查分析、运算及求解能力，属于中档题．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（12分）向量=（sinx，cosx），=（2，1），
（1）若∥，求sin2x﹣sinxcosx的值
（2）若⊥，求sinx的值．
考点：平面向量数量积的运算；平行向量与共线向量．
专题：三角函数的求值；平面向量及应用．
分析：（1）通过向量的平行，求出正弦函数与余弦函数的关系，利用“1”的代换，化简表达式为正切函数的形式，即可求出结果．
（2）通过向量的垂直，结合平方关系式，即可求出所求结果．
解答：解：（1）由∥得sinx﹣2cosx=0 …（3分）
tanx=…（4分）
sin2x﹣sinxcosx=…（6分）
=…（7分）
（2）2sinx+cosx=0…（10分）
且sin2x+cos2x=1
解得sinx=…（12分）．
点评：本题考查向量共线以及向量垂直，三角函数的化简求值，考查计算能力．
16．（12分）已知平面向量=，=，||=4，||=3，∠BAC=β，（2﹣3）?（2+）
=61
（1）求β的大小；
（2）求||．
考点：平面向量数量积的运算．
专题：计算题；平面向量及应用．
分析：（1）运用向量的平方即为模的平方，结合向量的夹角公式，计算即可得到夹角；（2）运用向量的三角形法则和向量的平方即为模的平方，计算即可得到．
解答：解：（1）由于（2﹣3）?（2+）=61，
展开得4﹣4﹣3=61，
由于||=4，||=3，则4×16﹣4﹣3×9=61，
=﹣6，
cosβ===﹣
由0≤β≤π，则；
（2）||=|﹣|==
==
=．
点评：本题考查向量的数量积的夹角公式和向量的性质：向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．
17．（14分）已知函数f（x）=2sin（x+）．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若将f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，求函数g（x）在区间上的最小值．
考点：三角函数的最值；三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的求值．
分析：（1）直接利用正弦函数的周期的求法公式，求解f（x）的最小正周期；
（2）通过三角函数的图象的变换求出函数的解析式，通过角的范围，求解函数g（x）在区间上的最小值．
解答：解：（1）f（x）的最小正周期为=6π．…（3分）
（2）∵若将f（x）的图象上的点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到，再将f（x）的图象向右平移个单位，得到函数
=的图象，…（8分）
∵时，…（9分）
∴当时，即时…（11分），
g（x）取得最大值2 …（12分）
点评：本题考查三角函数的周期的求法，三角函数的图象的变换，三角函数的最值的求法，考查计算能力．
18．（14分）据市场调查，某种商品出厂价按月呈f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价8千元，7月份价格最低为4千元；
该商品每件售价为g（x）（x为月份），且满足g（x）=f（x﹣2）+2．
（1）分别写出每件该商品的出厂价函数f（x），售价函数g（x）的解析式；
（2）问：哪几个月能盈利？
考点：根据实际问题选择函数类型．
专题：函数的性质及应用；三角函数的求值．
分析：（1）利用函数的最值、周期、求出函数的相位初相，得到售价函数g（x）的解析式；（2）将x=1，2，…，12代入f（x），g（x）求出数值比较知，当x=4，5，6，7，8，12时，g （x）＞f（x）．
解答：解：（1）f（x）=Asin（ωx+?）+B（A＞0，ω＞0）．
由题意可得A+B=8，﹣A+B=4，T=8，∴A=2，B=6，ω=．…（3分）
∵当x=3时，f（x）取得最大值8．即2sin（+φ）+6=8，
∴φ=2kπ﹣，k∈Z，
不防令φ=﹣，…（5分）
所以f（x）=2sin（x﹣）+6（1≤x≤12，x为正整数），…（6分）
g（x）=f（x﹣2）+2=2sin（x﹣）+8（1≤x≤12，x为正整数）．…（8分）
（2）将x=1，2，…，12代入f（x），g（x）求出数值比较知，
当x=4，5，6，7，8，12时，g（x）＞f（x），
故4，5，6，7，8，12月能赢利．…（14分）
点评：本题考查函数的模型的选择与应用，三角函数的最值的求法，考查分析问题解决问题的能力．
19．（14分）已知函数f（x）=cos2x+1，g（x）=sinx
（1）求h（x）=，x∈（0，）的值域
（2）若x∈时，h（x）=f（x）﹣2m2g（x）的最小值为，求实数m的值．
考点：三角函数的最值．
专题：三角函数的求值．
分析：（1）表示出h（x）=，利用正弦函数的值域，结合二次函数求解x∈（0，
）的值域
（2）若x∈时，化简h（x）=f（x）﹣2m2g（x）的表达式，通过函数的最小值为，即可求实数m的值．
解答：解：（1）h（x）====…（3
分）
设，∵…（4分）．
h（t）=t2﹣t在（2，+∞）为递增函数，
故h（t）＞22﹣2=2…（6分）
所以h（x）的值域为（2，+∞）…（8分）
（2）I（x）=cos2x+1﹣2m2sinx
=﹣sin2x﹣2m2sinx+2
=﹣（sinx+m2）2+m4+2 …（10分）
又则sinx∈
当0≤时，I（x）的最小值．
∴，∴…（12分）
当时，I（x）的最小值．∴m无解
综上，…（14分）
点评：本题看三角函数的化简求值函数的最值的求法，考查计算能力．
20．（14分）已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，则向量、、满足：
=λ+μ，其中λ+μ=1．
（1）若A、B、C三点共线且有成立．记y=f （x），求函数y=f（x）的解析式；
（2）若对任意，不等式|a﹣lnx|﹣ln＞0恒成立，求实数a的取值范围．
考点：平面向量数量积的运算；函数恒成立问题．
专题：平面向量及应用．
分析：（1）由条件求得，根据A、B、C在同一条直线上，可得，由此求得函数y=f（x）的解析式．
（2）原不等式，即，或，利用单调性求出的最小值和的最大值，
即可求得实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵，
∴，（1分）
又∵A、B、C在同一条直线上，∴…（2分），
，即，…（5分）
（2）∵，
∴原不等式为，
得，或，…（8分）
设，，…（10分）
依题意知a＜g（x）或a＞h（x）在上恒成立，∵g（x）与h（x）在上都是增函数，…（12分）
∴要使不等式①成立，当且仅当或，
即，或，…（14分）
点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，函数的恒成立问题，属于中档题．