高中数学定积分试题
一．选择题（共32小题）
1．＝（）
A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π
2．的值为（）
A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣1
3．|1﹣x2|dx＝（）
A ．B．4C ．D ．
4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）
A ．
B ．C．1D ．
5．计算的值为（）
A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1 6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．已知函数，则定积分的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
8．定积分（x+e x）的值为（）
A．e B．e +C．e ﹣D．e+1
9．定积分（+x）dx＝（）
1
A ．+
B ．
C ．+1
D ．
10．若a ＝（x+1）dx，b ＝cos xdx，c ＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 11．计算：＝（）
A．﹣1B．1C．﹣8D．8
12．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x ）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）
A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0
B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0
C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0
D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜0
14．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024
15．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．8
16．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x ＝围成的封闭图形，则其面积是（）
2
A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e
17．直线y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
18．若函数f（x）＝A sin（ωx ﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）
A．﹣1+B ．C．1﹣D ．
19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）
A ．e2﹣1
B ．e2﹣
C ．e2﹣D．e2﹣
21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．﹣1 22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）
A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m
23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则
3
k的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
25．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B ．C ．D．0
26．如图，阴影部分的面积为（）
A．2B．2﹣C ．D ．
27．由曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）
A ．
B ．
C ．D．8
28．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）
A ．
B ．
C ．D．9
29．一物体在变力F（x）＝5﹣x2（力单位：N，位移单位：m）作用下，沿与F（x）成30°方向作直线运动，则由x＝1运动到x＝2时F（x）作的功为（）
A．1J B ．J C ．J D．2J
30．圆（x﹣a）2+y2＝r2（a，r∈R，且r＞0）的面积等于（）
A ．（a +）dy
B．2（a +）dy
C ．dx
D．2dx
31．由曲线y＝x2﹣4，直线x＝0，x＝4和x轴围成的封闭图形的面积（如图）是（）
4
A ．（x2﹣4）dx
B．|（x2﹣4）dx|
C ．|x2﹣4|dx
D ．（x2﹣4）dx +（x2﹣4）dx
32．某同学用“随机模拟方法”计算曲线y＝lnx与直线x＝e，y＝0所围成的曲边三角形的面积时，用计算机分别产生了10个在区间[1，e]上的均匀随机数x i和10个区间[0，1]上的均匀随机数，其数据如表的前两行．
x 2.50 1.01 1.90 1.22 2.52 2.17 1.89 1.96 1.36 2.22 y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10 lnx0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得这个曲边三角形面积的一个近似值是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
5
二．填空题（共18小题）
33．cos xdx +dx
＝．
34
．计算定积分＝．
35．（e x+2x）dx＝．
36．计算：dx＝．
37．若，则a＝．
38．由曲线y＝﹣x2+2x与直线y＝x围成的封闭图形的面积为．
39．由x的正半轴、y＝x2和x＝4所围成的封闭图形的面积是
40．计算定积分sin xdx＝．
41．定积分＝．
42．的值为．
43．由曲线，直线y＝2x，x＝2所围成的封闭的图形面积为．
44．已知曲线y2＝x与y＝x﹣2的图象所围成的阴影部分面积为．
45．直线x＝0、直线y＝e+1与曲线y＝e x+1围成的图形的面积为．
46．如图是平面直角坐标系下y＝sin x与圆O：x2+y2＝π2图象，在圆O内随机取一点，则此点落在右图中阴影部分的概率是．
47．曲线y＝与直线y＝2x﹣1及x轴所围成的封闭图形的面积为．
6
48．由函数y＝e x，y ＝，x＝e所围成的封闭图形的面积为．
49．直线y＝kx+1与抛物线y＝kx2+1（k≠0）围成的封闭区域的面积为1，则k＝．50．计算2xdx＝．
7
参考答案与试题解析
一．选择题（共32小题）
1．＝（）
A．4+πB．4+2πC．4+4πD．2+π
【分析】对2和分别积分，结合定积分的几何意义求解即可．
【解答】解：＝+，
而表示以原点为圆心，2为半径的上半个圆在[0，2]部分的面积，故＝+＝2x +＝4+π，
故选：A．
【点评】本题考查了定积分的求法，考查了定积分的几何意义，主要考查计算能力，属于基础题．
2．的值为（）
A．e﹣2B．e C．e+1D．e﹣1
【分析】根据定积分的计算方法直接求解即可．
【解答】解：＝（x﹣lnx ）＝（e﹣1）﹣（1﹣0）＝e﹣2，
故选：A．
【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．
3．|1﹣x2|dx＝（）
A ．B．4C ．D ．
【分析】根据函数|1﹣x2|为偶函数，将原式转化为[0，2]上的定积分，再分别转化为[0，1]和[1，2]上分别积分即可．
【解答】解：∵函数|1﹣x2|为偶函数，
∴|1﹣x2|dx＝2＝2+2＝2（x ﹣）|+2（）|＝4．
故选：B．
8
【点评】本题考查了定积分的计算，主要考查计算能力，属于基础题．
4．P（a，b）为函数f（x）＝x2（x＞0）图象上一点，当直线x＝0，y＝b与函数的图象围成区域的面积等于时，a的值为（）
A ．
B ．C．1D ．
【分析】画出图象，利用定积分求出即可．
【解答】解：
＝b ﹣＝，
b＝1，
故b＝1，把b＝1代入f（x）＝x2（x＞0），得a＝1，
故选：C．
【点评】考查定积分的应用，基础题．
5．计算的值为（）
A．ln2+1B．2ln2+1C．3ln2+3D．3ln2+1
【分析】由定积分公式，求解．
【解答】解：，故选：D．
【点评】本题考查定积分，属于基础题．
6．如图，在矩形OABC内随机取一点，则它位于阴影部分的概率为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
9
【分析】利用定积分求出阴影面积，再求出概率．
【解答】解：阴影部分的面积m ＝，
矩形的面积为n＝3，
故阴影部分概率为，
故选：B．
【点评】考查了几何概型和用定积分求面积，基础题．
7．已知函数，则定积分的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】依题意，＝（﹣x+2）dx +，根据定积分的几何意义，表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，计算即可．
【解答】解：依题意，＝（﹣x+2）dx +
其中表示已（3，0）为圆心，以1为半径的上半个圆的面积，如图，
所以＝（﹣x+2）dx +＝（2x ﹣）|+＝，
故选：C．
【点评】本题考查了定积分的计算，定积分的几何意义，属于基础题．
8．定积分（x+e x）的值为（）
10
A．e B．e +C．e ﹣D．e+1
【分析】直接利用定积分的应用求出结果．
【解答】解：＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：利用定积分的关系式的应用求出结果，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
9．定积分（+x）dx＝（）
A ．+
B ．
C ．+1
D ．
【分析】直接利用定积分的运算和几何意义的应用求出结果．
【解答】解：＝＝
．
故选：A．
【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
10．若a ＝（x+1）dx，b ＝cos xdx，c ＝e x dx，则（）A．a＜b＜c B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．c＜a＜b 【分析】直接利用定积分和三角函数的值的应用求出结果．
【解答】解：a ＝（x+1）dx ＝．
b ＝cos xdx ＝，
c ＝e x dx ＝
所以：c＞a＞b
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，定积分的几何意义的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
11．计算：＝（）
A．﹣1B．1C．﹣8D．8
【分析】根据题意，由定积分的计算公式可得＝（x2+2x ），进而计算可得答案．
11
【解答】解：根据题意，＝（x2+2x ）＝（4+4）﹣（4﹣4）＝8；
故选：D．
【点评】本题考查定积分的计算，关键是掌握定积分的计算公式，属于基础题．12．抛物线y＝x2+1和直线y＝x+3所围成的封闭图形的面积是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据题意分析，封闭图形面积即为（x+3）﹣（x2+1）在x＝﹣1到x＝2上定积分的值．
【解答】解：令x+3＝x2+1，
得x1＝﹣1，x2＝2，
则S ＝
＝
＝，
故选：C．
【点评】本题考查定积分的基本定理，涉及定积分的计算，属于基础题．
13．函数f（x）在区间[﹣1，5]上的图象如图所示，g（x ）＝f（t）dt，则下列结论正确的是（）
A．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＞0
B．在区间（﹣1，0）上，g（x）递增且g（x）＜0
C．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＞0
D．在区间（﹣1，0）上，g（x）递减且g（x）＜0
【分析】由定积分，微积分基本定理可得：f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，得解．
【解答】解：如图，g（x ）＝f（t）dt ＝﹣，因为x∈（﹣1，0），
12
所以t∈（﹣1，0），故f（t）＞0，
故f（t）dt表示曲线f（t）与t轴以及直线t＝0和t＝x所围区域面积，
当x 增大时，面积减小，减小，g（x）增大，故g（x）递增且g（x）＜0，
故选：B．
【点评】本题考查了定积分，微积分基本定理，属中档题．
14．设，则二项式展开式的所有项系数和为（）A．1B．32C．243D．1024
【分析】由定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数得a ＝＝﹣cos x＝2，所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，得解
【解答】解：因为a ＝＝﹣cos x＝2，
所以二项式（2x +）5展开式中令x＝1可得：
二项式（2x +）5展开式的所有项系数和为（2+1）5＝243，
故选：C．
【点评】本题考查了定积分、微积分基本定理及二项式展开式的系数，属基础题．15．曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为（）A．1B．3C．6D．8
【分析】联立得交点A（2，4），联立，得交点B（2，﹣4），解得A（2，4），B（2，﹣4），由曲线，以及直线l：x＝2围成的封闭图形面积S，即可判断出正误．
【解答】解：联立得交点A（2，4），
联立，得交点B（2，﹣4），
所以曲线，以及直线l：x＝2所围成封闭图形的面积为：S ＝＝＝2x2＝2×22﹣2×02＝8，
13
故选：D．
【点评】本题主要考查积分的应用，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．16．如图所示阴影部分是由函数y＝e x、y＝sin x、x＝0和x ＝围成的封闭图形，则其面积是（）
A．e+2B．e﹣2C．e D．2﹣e
【分析】直接利用定积分的应用求出结果．
【解答】解：根据封闭图形的组成，
所以：＝＝．故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：定积分的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题型．
17．直线y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可．【解答】解：y＝x与曲线y ＝围成的封闭图形的面积
S ＝＝＝．
14
故选：D．
【点评】本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属基础题．
18．若函数f（x）＝A sin（ωx ﹣）（A＞0，ω＞0）的图象如图所示，则图中的阴影部分的面积为（）
A．﹣1+B ．C．1﹣D ．
【分析】先求出f（x）的解析式，以及对应的零点，积分即可．
【解答】解：依题意A＝1，＝＝π，∴T＝2π，ω＝＝1，∴f（x）＝sin（x ﹣），故当x ＝时，f（x）＝0．
∴阴影面积为＝＝cos（x ﹣）|＝1﹣．
故选：C．
【点评】本题考查了正弦型函数的图象，定积分，主要考查计算能力，属于基础题．19．已知，由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S．如图可以通过计算区域内多个等宽的矩形的面积总和来估算S．所谓“分之弥细，所失弥少”，这就是高中课本中的数列极限的思想．由此可以求出S的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
15
【分析】由题意利用积分法求出由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积．
【解答】解：由题意，令S ＝x2dx ＝x 3＝×（1﹣0）＝，
∴由抛物线y＝x2、x轴以及直线x＝1所围成的曲边区域的面积为S ＝．
故选：B．
【点评】本题考查了定积分的几何意义与应用问题，是基础题．
20．曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形的面积等于（）
A ．e2﹣1
B ．e2﹣
C ．e2﹣D．e2﹣
【分析】先求出曲线与直线的交点，设围成的平面图形面积为S，利用定积分求出S 即可．
【解答】解：由题意，曲线y＝e2x与直线x+y＝1、x﹣1＝0围成的平面图形如图所示
∴S ＝＝（）
＝﹣＝
故选：A．
【点评】本题主要考查定积分求面积．用定积分求面积时，要注意明确被积函数和积分区间，属于基本运算．
21．曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为（）
A ．
B ．
C ．
D ．﹣1
【分析】作出两个曲线的图象，求出它们的交点，由此可得所求面积为函数在区间[0，1]上的定积分的值，再用定积分计算公式加以运算即可得到本题答案．
16
【解答】解：
由，解得或，
则曲线y2＝x与y＝x2所围图形的面积为
S ＝（﹣x2）dx ＝（﹣x3）＝（﹣）﹣0＝，
故选：C．
【点评】本题求两条曲线围成的曲边图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式等知识，属于基础题．
22．汽车以V＝3t+1（单位：m/s）作变速直线运动时，在第1s至第2s间的1s内经过的位移是（）
A．4.5m B．5m C．5.5m D．6m
【分析】根据题意，由定积分定理，可得汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt，计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，汽车在第1s至第2s间的1s内经过的位移S ＝（3t+1）dt ＝（+t ）＝5.5；
故选：C．
【点评】本题考查了微积分基本定理，关键是理解定积分的几何意义．
23．曲线y＝﹣x2﹣x与x轴所围成图形的面积被直线y＝kx分成面积相等的两部分，则k的值为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】先计算出曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积，然后求出曲线y＝﹣x2﹣x与直线y＝kx的交点坐标，然后利用定积分计算直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x围
17
成区域的面积，等于曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成区域的面积的一半，列方程求出k 的值．
【解答】解：曲线y＝﹣x2﹣x与x轴交于（﹣1，0）和原点，
所以，曲线y＝﹣x2﹣x与x轴围成的平面区域的面积为
，
联立，解得或，
即直线y＝kx与曲线y＝﹣x2﹣x交于点（﹣k﹣1，﹣k2﹣k）和坐标原点，
所以，曲线y＝﹣x2﹣x位于直线y＝kx上方区域的面积为
＝
＝，解得，
故选：D．
【点评】本题考察利用定积分计算曲边三角形的面积，关键在于积分函数与积分区间，属于中等题、
24．求曲线y＝x2与y＝x所围成的图形的面积S，正确的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】根据题意，画出图象确定所求区域，结合定积分的几何性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，如图所示，阴影部分为曲线y＝x2与y＝x所围成的图形，其面积S＝S△ABO﹣S曲边梯形ABO ＝（x﹣x2）dx；
故选：A．
【点评】本题考查定积分的几何意义，要注意明确被积函数和积分区间．
18
25．直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积为（）A．1B ．C ．D．0
【分析】先根据题意画出区域，然后然后依据图形得到积分上限为1，积分下限为﹣1的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．
【解答】解：联立方程可得，解得x＝﹣1，0，1，
∴直线y＝﹣x与函数f（x）＝﹣x3围成封闭图形的面积S＝2（x﹣x3）dx＝2（）＝2（﹣）＝，
故选：C．
【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．
26．如图，阴影部分的面积为（）
A．2B．2﹣C ．D ．
【分析】确定积分区间与被积函数，求出原函数，即可求得定积分．
【解答】解：由题意阴影部分的面积等于（3﹣x2﹣2x）dx
＝（3x ﹣x3﹣x2）＝（3﹣﹣1）﹣（﹣9+9﹣9）＝，
故选：C．
19
【点评】本题考查定积分求面积，考查导数知识的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
27．由曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积为（）
A ．
B ．
C ．D．8
【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y＝x2与直线y＝6x围成的封闭图形的面积，即可求得结论．
【解答】解：由解得，
∴曲线y ＝，直线y＝x﹣2及x轴所围成的图形的面积S ＝﹣（x ﹣2）dx ＝﹣（）＝﹣2＝．
故选：A．
【点评】本题考查利用定积分求面积，解题的关键是确定被积区间及被积函数．28．由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是（）
A ．
B ．
C ．D．9
【分析】先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的面积，即可求得结论．
【解答】解：由y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3联立，解得y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3的交点为（﹣3，﹣9）和（1，﹣1）
因此，y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3围成的图形的面积是
S ＝（﹣x2﹣2x+3）dx ＝（﹣x3﹣x2+3x ）＝．
故选：B．
【点评】本题给出y＝﹣x2与直线y＝2x﹣3，求它们围成的图形的面积，着重考查了
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定积分 练习与解析1 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内 1.根据定积分的定义，dx x ?2 02=( ) A. n n i n i 112 1???? ??-∑= B. n n i n i n 1 12 1lim ??? ? ??-∑=∞→ C. n n i n i 2 22 1??? ? ??∑= D. n n i n i n 222 1lim ??? ? ??∑=∞→ 解析：由求定积分的四个步骤：分割，近似代替，求和，取极限.可知选项为D 2、?-+22 )cos (sin π πdx x x 的值为（ ） A 0 B 4 π C 2 D 4 解析：?-+22 )cos (sin π πdx x x =() 22 sin cos ππ- +-x x ?? ? ?????? ??-+??? ??---??? ??+-2sin 2cos 2sin 2cos ππππ=2， 故选C. 3、直线4-=x y 与抛物线x y 22=所围成的图形面积是（ ） A 15 B 16 C 17 D 18 解析：直线4-=x y 与抛物线x y 22=的交点为()().4,8,2,2-结合图像可知面积 ()()[]1812303 1213021248221 4 2 3242=-=?-=---?+= --?y dy y s .此题选取y 为积分变量较容易. 选D. 4.以初速度40m/s 素质向上抛一物体，ts 时刻的速度 21040t v -= ，则此物体达到最高时的高度为（ ） A . m 3160 B. m 380 C. m 340 D. m 320 解析：由 2 1040t v -==0，得物体达到最高时 t =2.高度 () ()m t t dt t h 3160310401040203202= ??? ? ? -=-=? 5.一物体在力()5232+-=x x x F （力单位：N ，位移单位:m ）作用下沿与()x F 相同的方向由m x 5=直线运动到 m x 10=处作的功是（ ）
数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或 0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；
6、常见的导数和定积分运算公式:若() g x均可导（可积），则有： f x，() 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查/() f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如
高中数学~~定积分和微积分基本原理 1、求曲线、直线、坐标轴围成的图形面积 ? [ 高三数学] ? 题型:单选题 由曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为（ ） A. 310 B. 4 C. 3 16 D. 6 问题症结：大概知道解题方向了，但没有解出来，请老师分析 考查知识点： ? 定积分在几何中的应用 ? 用微积分基本定理求定积分值 难度:难 解析过程： 联立方程组,2 ???-==x y x y 得到两曲线的交点坐标为（4，2）， 因此曲线y =x ，直线y =x -2及y 轴所围成的图形的面积为： 3 16)]2([4 = --? dx x x . 答案：C 规律方法： 首先求出曲线y=和直线y=x-2的交点，确定出积分区间和被积函数，然后利用导数和积分的关 系求解． 利用定积分知识求解该区域面积是解题的关键. 高二数学问题 ? [ 高一数学] ? 题型:简答题 曲线y=sinx （0≤x ≤π）与直线y=?围成的封闭图形面积是？ 问题症结：找不到突破口，请老师帮我理一下思路 考查知识点： ? 用定义求定积分值 难度:中 解析过程：
规律方法： 利用定积分的知识求解。 知识点：定积分和微积分基本原理 概述 所属知识点： [导数及其应用] 包含次级知识点： 定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用 知识点总结 本节主要包括定积分的概念、定积分的性质、用定义求定积分值、用微积分基本定理求定积分值、用几何意义求定积分的值、定积分在几何中的应用、定积分在物理中的应用、微积分基本原理的含义、微积分基本原理的应用等知识点。对于定积分和微积分基本原理的理解和掌握一定要通过数形结合理解，不能死记硬背。只有理解了定积分的概念，才能理解定积分的几何意义。
定积分与微积分基本定理习题 一、选择题 1． a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 高中数学定积分知识点Newly compiled on November 23, 2020 数学选修2-2知识点总结 一、导数 1．函数的平均变化率为 = ??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111 212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念:函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率； 函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景（1）切线的斜率；（2）瞬时速度； 5、常见的函数导数 6、常见的导数和定积分运算公式:若()f x ，()g x 均可导（可积），则有： 用导数求函数单调区间的步骤: ①求函数f(x)的导数'() f x ②令'() f x>0,解不等式，得x的范围就是递增区间. ③令'() f x<0,解不等式，得x的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 7.求可导函数f(x)的极值的步骤： (1)确定函数的定义域。 (2) 求函数f(x)的导数'() f x (3)求方程'() f x=0的根 (4) 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表 f x在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大格，检查/() 值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 8.利用导数求函数的最值的步骤:求) f在[]b a,上的最大值与最小值的步骤如下： (x a,上的极值； ⑴求) (x f在[]b ⑵将) f a f b比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小 f的各极值与(),() (x 值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点； 9．求曲边梯形的思想和步骤（“以直代曲”的思想） 10.定积分的性质 根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质： [学习目标] 1.理解定积分的几何意义，会通过定积分求由两条或多条曲线围成的图形的面积.2.掌握利用定积分求曲边梯形面积的几种常见题型及方法.3.通过具体实例了解定积分在物理中的应用，会求变速直线运动的路程和变力做功的问题. 知识点一 定积分在求几何图形面积方面的应用 1.求由一条曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )及y ＝0所围成的平面图形的面积S . (1)如图①，f (x )＞0，??a b f (x )d x ＞0，所以S ＝??a b f (x )d x . (2)如图②，f (x )＜0，??a b f (x )d x ＜0，所以S ＝??????a b f (x )d x ＝－??a b f (x )d x . (3)如图③，当a ≤x ≤c 时，f (x )≤0，??a c f (x )d x ＜0；当c ≤x ≤b 时，f (x )≥0，??a b f (x )d x ＞0.所以 S ＝???? ? ?a c f (x )d x ＋??c b f (x )d x ＝－??a c f (x ) d x ＋? ?c b f (x )d x . 2.求由两条曲线f (x )和g (x )(f (x )＞g (x ))，直线x ＝a ，x ＝b (a ＜b )所围成平面图形的面积S . (1)如图④，当f (x )＞g (x )≥0时，S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . (2)如图⑤，当f (x )＞0，g (x )＜0时，S ＝? ?a b f (x )d x ＋??????a b g (x )d x ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 3.当g (x )＜f (x )≤0时，同理得S ＝??a b [f (x )－g (x )]d x . 思考 (1)怎样利用定积分求不分割型图形的面积？ (2)当f (x )<0时，f (x )与x 轴所围图形的面积怎样表示？ 答案 (1)求由曲线围成的面积，要根据图形，确定积分上下限，用定积分来表示面积，然后计算定积分即可. (2)如图，因为曲边梯形上边界函数为g (x )＝0，下边界函数为f (x )，所以 S ＝??a b (0－f (x ))d x ＝－??a b f (x )d x . 4.利用定积分求平面图形面积的步骤： (1)画出图形：在平面直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； (2)确定图形范围，通过解方程组求出交点的横坐标(或纵坐标)，确定积分上、下限； (3)确定被积函数； (4)写出平面图形面积的定积分表达式； (5)利用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积，写出答案. 知识点二 定积分在物理中的应用 1.在变速直线运动中求路程、位移 路程是位移的绝对值之和，从时刻t ＝a 到时刻t ＝b 数学选修2-2导数及其应用（定积分）知识点必记 1．函数的平均变化率是什么？ 答：平均变化率为 =??=??x f x y x x f x x f x x x f x f ?-?+=--)()()()(111212 注1：其中x ?是自变量的改变量，可正，可负，可零。 注2：函数的平均变化率可以看作是物体运动的平均速度。 2、导函数的概念是什么？ 答：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =x x f x x f x y x x ?-?+=??→?→?)()(lim lim 0000. 3.平均变化率和导数的几何意义是什么？ 答：函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 4导数的背景是什么？ 答：（1）切线的斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。 5、常见的函数导数和积分公式有哪些？ 函数 导函数 不定积分 y c = 'y =0 ———————— n y x =()*n N ∈ 1'n y nx -= 1 1n n x x dx n +=+? x y a =()0,1a a >≠ 'ln x y a a = ln x x a a dx a =? x y e = 'x y e = x x e dx e =? log a y x =()0,1,0a a x >≠> 1 'ln y x a = ———————— ln y x = 1'y x = 1 ln dx x x =? sin y x = 'cos y x = cos sin xdx x =? cos y x = 'sin y x =- sin cos xdx x =-? 6、常见的导数和定积分运算公式有哪些？ 高中定积分知识点总结 【篇一：高中定积分知识点总结】 数学选修2-2知识点总结注1：其中?x是自变量的改变量，可正，可负，可零。 2、导函数的概念:函数y?f(x)在x?x0处的瞬时变化率是lim x0处可导，并把这个极限叫做在x0处的导数，记作f (x0)或 3.函数的平均变化率的几何意义是割线的斜率；函数的导数的几何意义是切线的斜率。 6、常见的导数和定积分运算公式:若f?x?，g?x?均可导（可积），则有：用导数求函数单调区间的步骤:求函数 f(x)的导数 f (x) 令f (x)0,解不等式，得x的范围就是递增区间. 令f (x) 0,解不等式，得x 的范围，就是递减区间； [注]：求单调区间之前一定要先看原函数的定义域。 求函数f(x)的导数 f (x) (3)求方程 f (x)=0 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f/(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值 f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。[注]：实际问题的开区间唯一极值点就是所求的最值点；根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质 11定积分的取值情况:定积分的值可能取正值，也可能取负值，还可能是0. 轴上方时，定积分的值取正值，且等于x 轴上方的图形面积；轴下方时，定积分的值取负值，且等于x 轴上方图形面积的相反数； 12．物理中常用的微积分知识（1）速度的导数为加速度。（2）力的积分为功。 13.归纳推理的定义：从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 ．．．．．．．归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理。归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。 归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。 第 1 页 定 积 分 一、定积分的概念 1、曲边梯形的面积 分割→近似取代→求和→求极限 说明：（1）常用的求和公式 )12)(1(61...3212222++=++++n n n n 223333)1(4 1...321+=++++n n n （2）在定积分理论中，这种分割是任意的，只要保证每个区间的长度都向于0.在这里“等分”与“任意分割”等价的。 2、定积分的概念 一般地，设函数()f x 在区间[,]a b 上连续，用分点 0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<= 将区间[,]a b 等分成n 个小区间，每个小区间长度为x ?（b a x n -?= ），在每个小区间[]1,i i x x -上取一点()1,2,,i i n ξ= ，作和式：11()()n n n i i i i b a S f x f n ξξ==-=?=∑∑ 如果x ?无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分。记为：()b a S f x dx =? 其中()f x 成为被积函数，x 叫做积分变量，[,]a b 为积分区间，b 积分上限，a 积分下限。 3、定积分的几何意义 从几何上看，如果在区间[]b a ,上函数 )(x f 连续且恒有0)(≥x f 。那么定积分?b a dx x f )(表示由直线a x = b x =,)(b a <，0=y 和曲线)(x f y =所围成的曲边梯形 的面积。 4.性质1 、 ??=b a b a dx x f k dx x kf )()( （其中k 是不为0的常数） （定积分的线性性质） 性质2、 1212[()()]()()b b b a a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±??? （定积分的线性性质） 性质3 、 ()()()() b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+< 定积分综合练习 一、选择题： 1．将和式的极限)0(.......321lim 1>+++++∞→p n n P p p p p n 表示成定积分 （ ） A ．dx x ?1 01 B ． dx x p ? 1 C ．dx x p ?1 0)1( D ．dx n x p ?1 0)( 2．下列等于1的积分是 （ ） A ． dx x ? 1 B ．dx x ?+10 )1( C ．dx ? 1 01 D ．dx ?1 021 3．dx x |4|1 02 ? -= （ ） A ． 321 B ．322 C ． 3 23 D ． 3 25 4．已知自由落体运动的速率gt v =，则落体运动从0=t 到0t t =所走的路程为 （ ） A ．3 2 0gt B ．2 0gt C ．2 2 0gt D ．6 2 0gt 5．曲线]2 3,0[,cos π∈=x x y 与坐标周围成的面积 （ ） A ．4 B ．2 C ．2 5 D ．3 6．dx e e x x ? -+1 )(= （ ） A ．e e 1 + B ．2e C ． e 2 D ．e e 1- 7．求由1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积时，若选择ｘ为积分变量，则积分区间为（ ） A ．［0，2e ］ B ．［0，2］ C ．［1，2］ D ．［0，1］ 8．由直线1,+-==x y x y ，及ｘ轴围成平面图形的面积为 （ ） A ．()[]dy y y ?--101 B ．()[]dx x x ?-+-2101 C ．()[]dy y y ?--210 1 D ．()[]dx x x ? +--1 01 9．如果1N 力能拉长弹簧1cm ，为将弹簧拉长6cm ，所耗费的功是 （ ） A ．0.18 B ．0.26 C ．0.12 D ．0.28 10．将边长为1米的正方形薄片垂直放于比彼一时为ρ的液体中，使其上距液面距离为2米，则该正方形薄片 所受液压力为 （ ） A ．? 3 2 dx x ρ B ． ()?+2 1 2dx x ρ C ．? 1 dx x ρ D ．()? +32 1dx x ρ 二、填空题： 12．曲线1,0,2===y x x y ，所围成的图形的面积可用定积分表示为 ． 13．由x y cos =及x 轴围成的介于0与2π之间的平面图形的面积，利用定积分应表达为 ． 14．按万有引力定律，两质点间的吸引力2 2 1r m m k F =，ｋ为常数，21,m m 为两质点的质量，ｒ为两点间距离，若两质点起始距离为ａ，质点1m 沿直线移动至离2m 的距离为ｂ处，试求所作之功（ｂ＞a ） ． 专题三：定积分 高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 一、选择题 1．(2010·山东日照模考)a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a 专题三：定积分 高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题 班级：__________ 姓名：__________ 学号：__________ 一、选择题 1．(2010·山东日照模考)a ＝??02x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是( ) A ．a （一）.关于原函数与不定积分概念的几点说明 1. 原函数与不定积分是两个不同的概念，它们之间有着密切的联系。对于定义在某个区间上的函数f（x），若存在函数F（x），使得该区间上的每一点x处都有 F/（x）=f（x），则称F（x）是f（x）在该区间上的原函数。而表达式F（x）+C（C为任意常数）称为f（x）的不定积分。 2. f（x）的原来函数若存在，则原函数有无限多，但任意两个原函数之间相差某个常数。因此求f（x）的不定积分∫f（x）dx时，只需求出f（x）的一个原函数F（x），再加上一个任意常数C即可，即∫f（x）dx = F（x）+C。 3. 原函数F（x）与不定积分∫f（x）dx是个体与全体的关系，F（x）只是f（x）的某个原函数，而∫f（x）dx是f（x）的全部原函数，因此一个原函数只是加上任意常数C后，即F（x）+C才能成为f（x）的不定积分。例如x2 + 1，x2-3，x2+12都是2x的原函数，但都不是2x的不定积分，只有x2 + C才是2x的不定积分（其中C是任意常数）。 4. f（x）的不定积分∫f（x）dx中隐含着积分常C，因此计算过程中当不定积分号消失后一定要加上一个任意的常数C。 5. 原函数存在的条件：如果函数f（x）在某区间上连续，则在此区间上f（x）的原函数一定存在。由于初等函数在其定义域区间上都是连续的，所以初等函数在其定义区间上都有原函数，值得注意的是，有些初等函数的原函数很难求出来，甚至不能表为初等函数，例如下列不定积分 ∫ dx ∫ 都不能“积”出来，但它们的原函数还是存在的。 （二）换元积分法的几点说明 换元积分法是把原来的被积表达式做适当的换元，使之化为适合基本积分公式表中的某一形式，再求不定积分的方法。 1. 第一换元积分法（凑微分法）： 根据一阶微分形式的不变性，若 dF（u）=f（u）du 则 dF（u（x））=f（u）du 利用不定积分与微分的互逆关系，可以把它转化为不定积分的换元公式： ∫f[u（x）]du（x）= ∫f（u）du （令u = u（x）） = F（u）+ C （求积分） = F（u（x））+ C （令 u = u（x）） 在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。 2. 第二换元积分法：令x=φ（x），常用于被积函数含 或等形式。 3. 同一个不定积分，往往可用多种换元方法求解，这时所得结果在形式可能不一致，但实质上仅相差一常数，这可通过对积分结果进行导运算来验证。 高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解 一、选择题 1．(2010·山东日照模考)a ＝??0 2x d x ，b ＝??02e x d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 的大小关系是 ( ) A ．a 高中数学定积分知识点
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