正多边形和圆知识点
学习要求：
了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆内接正多边形的方法，能熟练地进行正三角形、正方形、正六边形有关的计算.
内容分析：
1．正多边形的定义：
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。
2．正多边形与圆的有关定理
把圆分成n(n≥3)等份：
(1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；
(2)经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形；
(3)任何正多边形都有一个外接圆与一个内切圆，这两个圆是同心圆。
注意：①依据正多边形与圆的有关定理(1)、(2)，只要能将一个圆分成n(n≥3)等份，就可以得到这个圆的内接正n边形及外切正n边形，想一想，你能否利用直尺和圆规作已知圆的内接(或外切)正三角形、正方形、正六边形、正十二边形；
②如何证明任何一个正多边形A1A2A3……A n-1A n都有一个外接圆呢？
我们可过A1、A2、A3三点作一个⊙O，分别连结OA1、OA2、OA3，OA4，通过证明△OA1A2≌△OA3A4，得到OA4=OA3=OA2=OA1.
从而点A4在⊙O上，同理可证A5、A6……A n-1、A n其余各点也都在⊙O上，则可推出此正多边形有一个外接圆。
想一想，在此基础上如何证明⊙O的圆心O点也是其内切圆的圆心呢？
3. 正多边形的其它性质
(1)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n
边形的中心，边数为
偶数的正多边形还是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
(2)边数相同的正多边形相似。
4. 正多边形的有关计算
正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。
正n边形的有关计算公式
(1)
(2)
(3)
注意：①同一个圆的内接正n边形和外切正n边形是相似形，相似比是圆的内接正n 边形边心距与它的半径之比。这样，同一个正n边形的内切圆和外接圆的相似比
②常用辅助线：连半径，作边心距，由正多边形的半径、边心距和边长构成的直角三角形集中反映了正多边形各元素间的关系，是解计算问题的基本图形，并且正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。
例题分析：
1．圆内接正六边形的周长为24，则该圆的内接正三角形的周长为（）A．12 B．6 C．12D．6
解：由题意知正六边形的边长为4，故其外接圆半径也为4，
如图，O为正△ABC的中心，
连接OA，则∠OAB=30°，OA=4，作OD⊥AB于D，则AD=OA·cos30°=2，
∴AB=4，周长为12，
∴选C．
2．若一个正三角形的周长与一个正六边形的周长相等，试求这个正三角形与这个正六边形的面积之比。
解：设正三角形的边长为a，正六边形的边长为b。
则6b=3a，即
∵正三角形的面积
正六边形的面积
答：这个正三角形与这个正六边形的面积比为2：3。
3．如图，是两个相同的正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．求重叠部分面积与阴影部分面积之比.
分析：本题是一道与正六边形有关的计算题.两个正六边形，要求重叠部分面积与阴影部分面积之比，只要找到重叠部分面积、阴影部分面积与正六边形ABCDEF面积的关系即可解决问题.
解：如图，连结OA、OB、OC，设OA′交AB于K，OE′交CD于H，
因为∠AOK=∠AOC-∠KOC=120°-∠KOC，
∠COH=120°-∠KOC，
所以∠AOK=∠COH，
又∠OAK=∠OCH=60°，OA=OC，
所以△AOK≌△COH，
所以S五边形OKBCH=S四边形ABCO=2S△OBC，
所以S阴影=S正六边形ABCDEF-S五边形OKBCH=6S△OBC-2S△OBC=4S△OBC.
S五边形OKBCH：S阴影=.
即重叠部分面积与阴影部分面积之比.
【总结】本题通过利用正六边形的有关性质，构造全等三角形，将不规则图形的面积用同一个三角形的面积表示出来体现了一种数学思想——转化思想。这也是解决正多边形有关问题常用到的数学思想。
4. 已知：如图，正五边形ABCDE的对角线AC、BE相交于M。
求证：BE·BM=EM2。
分析：应将共线的BE、BM、EM之间的数量关系的证明问题，转化为不共线的三条线段之间的关系由于AB=AE=EM，可将结论改证为AB2=BM·BE，即证△ABM∽△BEA.
证明：由正五边形的性质，不难得出∠EAB=108°，∠AEB=∠ABE=∠MAB=36°
从而∠EAM=∠EMA=72°，∠AMB=108°
∴EM=EA=AB
在△ABM和△BEA中
∴△ABM∽△BEA
而EM=AB ∴BE·BM=EM2
想一想：EM2=BE·BM这个结论说明了什么？
(提示：正五边形对角线的交点是对角线的黄金分割点。)
5．(1)已知：如图1，是⊙的内接正三角形，点为弧BC上一动点，求证：
(2)如图2，四边形是⊙的内接正方形，点为弧BC上一动点，
求证:
(3)如图3，六边形是⊙的内接正六边形，点为弧BC上一动点，请探究
三者之间有何数量关系，并给予证明.
图1 图2 图3 证明：（1）在AP上截取AM=CP ，连结BM
∵AB=BC ，∠BAP=∠BCP ，
∴△ABM≌△CBP
∴BM=BP ，∠ABM=∠CBP
∴∠MBP=∠MBC+∠CBP=∠ABM+∠MBC=∠ABC=60°
∴△MBP为等边三角形
∴MP=BP
∴
（2）同（1）得，△ABM≌△CBP
∴BM=BP ，∠ABM=∠CBP
∴∠MBP=∠MBC+∠CBP=∠ABM+∠MBC=∠ABC=90°
∴△MBP为等腰直角三角形
∴PM=PB
∴
（3）.
中考语文必背古诗文 50 篇 1、孔子语录（《论语十则》） 子曰：“学而时习之，不亦说乎？有朋自远方来，不亦乐乎？人不知而不愠，不亦君子乎？” 子曰：“温故而知新，可以为师矣。” 子曰：“学而不思则罔，思而不学则殆。” 子曰：“由，诲女知之乎？知之为知之，不知为不知，是知也。” 子贡问曰：“孔文子何以谓之‘文’也？”子曰：“敏而好学，不耻下问，是以谓之‘文’也。” 子曰：“默而识之，学而不厌，诲人不倦，何有于我哉？” 子曰：“三人行，必有我师焉。择其善者而从之，其不善者而改之。” 子曰：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。” 子在川上曰：“逝者如斯夫，不舍昼夜。” 子曰：“吾尝终日不食，终夜不寝，以思，无益，不如学也。” 2、鱼我所欲也（《孟子·告子上》） 鱼，我所欲也，熊掌，亦我所欲也，二者不可得兼，舍鱼而取熊掌者也。生，亦我所欲也，义，亦我所欲也，二者不可得兼，舍生而取义者也。生亦我所欲，所欲有甚于生者，故不为苟得也。死亦我所恶，所恶有甚于死者，故患有所不辟也。如使人之所欲莫甚于生，则凡可以得生者何不用也。使人之所恶莫甚于死者，则凡可以辟患者何不为也！由是则生而有不用也，由是则可以辟患而有不为也。是故所欲有甚于生者，所恶有甚于死者。非独贤者有是心也，人皆有之，贤者能勿丧耳。 一箪食，一豆羹，得之则生，弗得则死。呼尔而与之，行道之人弗受；蹴尔而与之，乞人不屑也。 万钟则不辩礼义而受之，万钟于我何加焉！为宫室之美，妻妾之奉，所识穷乏者得我与？乡为身死而不受，今为宫室之美为之；乡为身死而不受，今为妻妾之奉
为之；乡为身死而不受，今为所识穷乏者得我而为之；是亦不可以已乎？此之谓失其本心。 3、生于忧患，死于安乐（《孟子·告子下》） 舜发于畎亩之中，傅说举于版筑之间，胶鬲举于鱼盐之中，管夷吾举于士，孙叔敖举于海，百里奚举于市。 故天将降大任于是人也，必先苦其心志，劳其筋骨，饿其体肤，空乏其身，行拂乱其所为，所以动心忍性，曾益其所不能。 人恒过，然后能改；困于心，衡于虑，而后作；征于色，发于声，而后喻。入则无法家拂士，出则无敌国外患者，国恒亡。然后知生于忧患而死于安乐也。 4、曹刿论战（《左传》） 十年春，齐师伐我。公将战。曹刿请见。其乡人曰：“肉食者谋之，又何间焉？”刿曰：“肉食者鄙，未能远谋。”乃入见。问：“何以战？”公曰：“衣食所安，弗敢专也，必以分人。”对曰：“小惠未徧，民弗从也。”公曰：“牺牲玉帛，弗敢加也，必以信。”对曰：“小信未孚，神弗福也。”公曰：“小大之狱，虽不能察，必以情。”对曰：“忠之属也。可以一战。战则请从。” 公与之乘。战于长勺。公将鼓之。刿曰：“未可。”齐人三鼓。刿曰：“可矣。”齐师败绩。公将驰之。刿曰：“未可。”下视其辙，登轼而望之，曰：“可矣。”遂逐齐师。 既克，公问其故。对曰：“夫战，勇气也。一鼓作气，再而衰，三而竭。彼竭我盈，故克之。夫大国，难测也，惧有伏焉。吾视其辙乱，望其旗靡，故逐之。” 5、邹忌讽齐王纳谏（《战国策》） 邹忌修八尺有余，而形貌昳丽。朝服衣冠，窥镜，谓其妻曰：“我孰与城北徐公美？”其妻曰：“君美甚，徐公何能及公也！”城北徐公，齐国之美丽者也。忌不自信，而复问其妾曰：“吾孰与徐公美？”妾曰：“徐公何能及君也？”旦日，客从外来，与坐谈，问之客曰：“吾与徐公孰美？”客曰：“徐公不若君之美也！”明日，徐公来，孰视之，自以为不如；窥镜而自视，又弗如远甚。暮寝而思之，
直角三角形边角关系知识点考点总结 考点一、直角三角形的性质 （3~5分） 1、直角三角形的两个锐角互余 可表示如下：∠C=90°?∠A+∠B=90° 2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ∠A=30° 可表示如下： ?BC=2 1 AB ∠C=90° 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ∠ACB=90° 可表示如下： ?CD=2 1 AB=BD=AD D 为AB 的中点 4、勾股定理 直角三角形两直角边a ，b 的平方和等于斜边c 的平方，即222c b a =+ 5、摄影定理 在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项 ∠ACB=90° BD AD CD ?=2 ? AB AD AC ?=2 CD ⊥AB AB BD BC ?=2 6、常用关系式 由三角形面积公式可得： AB ?CD=AC ?BC
考点二、直角三角形的判定 （3~5分） 1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。 2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 3、勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a ，b ，c 有关系222c b a =+，那么这个三角形是直角三角形。 考点三、锐角三角函数的概念 （3~8分） 1、如图，在△ABC 中，∠C=90° ①锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记为sinA ，即 c a sin =∠= 斜边的对边A A ②锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记为cosA ，即 c b cos =∠= 斜边的邻边A A ③锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记为tanA ，即b a tan =∠∠= 的邻边的对边A A A ④锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记为cotA ，即a b cot =∠∠=的对边的邻边A A A 2、锐角三角函数的概念 锐角A 的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A 的锐角三角函数 3、一些特殊角的三角函数值 三角函数 0° 30° 45° 60° 90° sinα 0 21 22 2 3 1 cos α 1 2 3 2 2 21 0 tan α 0 3 3 1 3 不存在 cot α 不存在 3 1 3 3
第十一章三角形知识点归纳 考点一:三角形的三边关系 1、三角形两边的和 第三边 2、三角形两边的差 第三边 3、判断三边能组成三角形的方法：最小两数之和大于第三边 4、已知三角形两边的长度为a 和b ，则第三边的取值范围是 两边之差＜第三边＜两边之和 例：下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A.5,6,10 B.5,6,11 C.3,4,8 D.4,4,8 例：已知三角形的两边分别是7和12，则第三边长得取值范围为（ ） 考点二：5、三角形具有 性，四边形具有 性 例：下列图形具有稳定性的是（ ） A.正方形 B.矩形 C.平行四边形 D.直角三角形 考点三： 1. 三角形的高 从△ABC 的顶点向它的对边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ， 那么线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的高。 注：三角形面积=底×底边上的高 例：AD 是△ABC 的高，∠ADB=∠ADC= 例：AD 是△ABC 的高，AD=3，BC=5,则△ABC 的面积是 2. 三角形的中线 连接△ABC 的顶点A 和它所对的对边BC 的中点D ， 所得的线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线。 几何语言： AD 是△ABC 的中线 BD=CD=2 1BC 注：三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形
D 例：AD 是△ABC 的中线 ，BD=3，则CD= ，BC= ， 若△ABC 的面积是18，则△ABD 的面积等于 。 3. 三角形的角平分线 ∠A 的平分线与对边BC 交于点D ，那么线段AD 叫做三角形的角平分线。 几何语言： AD 是△ABC 的角平分线 ∴∠BAD=∠CAD=2 1∠BAC 例：AD 是△ABC 的角平分线，∠BAC=70度，则∠BAD= ,∠CAD= 考点四：三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 几何语言：∠A+∠B+∠C= 例：在△ABC 中，∠B=45度，∠C=55度，则∠A= 考点五：三角形的外角 1、定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 2. 性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 几何语言： ∠ACD 是△ABC 的外角 ∴∠ACD=∠A+∠B 例：如图，已知∠ACD=120度，∠B=50度，则∠A= 考点六：n 边形的内角和公式等于 例：计算五边形的内角和是 例：一个多边形的内角和是720度，则这个多边形的边数是 考点七：多边形的外角和等于 例：十二边形的外角和等于 例：正多边形的每个外角的度数都是40度，则这个正多边形的边数是
A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠ C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BC BD =AC AD = 中考语文必背古诗文50篇 1、《论语》十则 2、鱼我所欲也《孟子》 3、生于忧患，死于安乐《孟子》 4.曹刿论战《左传》 5、邹忌讽齐王纳谏《战国策》 6、出师表诸葛亮 7、桃花源记陶渊明 8、三峡郦道元 9、马说韩愈 10、陋室铭刘禹锡 11、小石潭记柳宗元 12、岳阳楼记范仲淹 13、醉翁亭记欧阳修 14、爱莲说周敦颐 15、记承天寺夜游苏轼 16、送东阳马生序宋濂 17、关雎《诗经》 18、观沧海(东临碣石)曹操 19、蒹葭(蒹葭苍苍)诗经 20、饮酒(结庐在人境)陶潜 21、送杜少府之任蜀州(城阙辅三秦)王勃 22、次北固山下(客路青山外)王湾 23、使至塞上(单车欲问边)王维 24、闻王昌龄左迁龙标遥有此寄(杨花落尽子规啼)李白` 25、行路难(金樽清酒斗十千)李白] 26、望岳(岱宗夫如何)杜甫 27、春望(国破山河在)杜甫! 28、茅屋为秋风所破歌(八月秋高风怒号)杜甫 29、白雪歌送武判官归京(北风卷地白草折)岑参 30、早春呈水部张十八员外(天街小雨润如酥)韩愈, 31、酬乐天扬州初逢席上见赠(巴山楚水凄凉地)刘禹锡 32、观刈麦(田家少闲月)白居易 33、钱塘湖春行(孤山寺北贾亭西)白居易 34、雁门太守行(黑云压城城欲摧)李贺 35、赤壁(折戟沉沙铁未销)杜牧 36、泊秦淮(烟笼寒水月笼沙)杜牧 37、夜雨寄北(君问归期未有期)李商隐 38、无题(相见时难别亦难)李商隐 39、相见欢(无言独上西楼)李煜 40、渔家傲(塞下秋来风景异)范仲淹 41、浣溪沙(一曲新词酒一杯)晏殊 42、登飞来峰(飞来峰上千寻塔)王安石 43、江城子(老夫聊发少年狂)苏轼 44、水调歌头(明月几时有)苏轼 45、游山西村(莫笑农家腊酒浑)陆游 46、破阵子(醉里挑灯看剑)辛弃疾U 47、过零丁洋(辛苦遭逢起一经)文天祥] 48、天净沙?秋思(枯藤老树昏鸦)马致远 49、山坡羊?潼关怀古(峰峦如聚)张养浩 50、己亥杂诗(浩荡离愁白日斜)龚自珍 三角形的定义 三角形是多边形中边数最少的一种。它的定义是：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 三条线段不在同一条直线上的条件，如果三条线段在同一条直线上，我们认为三角形就不存在。另外三条线段必须首尾顺次相接，这说明三角形这个图形一定是封闭的。三角形中有三条边，三个角，三个顶点。 三角形中的主要线段 三角形中的主要线段有：三角形的角平分线、中线和高线。 这三条线段必须在理解和掌握它的定义的基础上，通过作图加以熟练掌握。并且对这三条线段必须明确三点： （1）三角形的角平分线、中线、高线均是线段，不是直线，也不是射线。 （2）三角形的角平分线、中线、高线都有三条，角平分线、中线，都在三角形内部。而三角形的高线在当△ABC是锐角三角形时，三条高都是在三角形内部，钝角三角形的高线中有两个垂足落在边的延长线上，这两条高在三角形的外部，直角三角形中有两条高恰好是它的两条直角边。 （3）在画三角形的三条角平分线、中线、高时可发现它们都交于一点。在以后我们可以给出具体证明。今后我们把三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，三条中线的交点叫做三角形的重心，三条高的交点叫做三角形的垂心。 三角形的按边分类 三角形的三条边，有的各不相等，有的有两条边相等，有的三条边都相等。所以三角形按的相等关系分类如下： 等边三角形是等腰三角形的一种特例。 判定三条边能否构成三角形的依据 △ABC的三边长分别是a、b、c，根据公理“连接两点的所有线中，线段最短”。可知： △③a+b＞c，①a+c＞b，②b+c＞a △定理：三角形任意两边的和大于第三边。 △由②、③得b―a＜c，且b―a＞―c △故|a―b|＜c，同理可得|b―c|＜a，|a―c|＜b。 从而得到推论： 三角形任意两边的差小于第三边。 上述定理和推论实际上是一个问题的两种叙述方法，定理包含了推论，推论也可以代替定理。另外，定理和推论是判定三条线段能否构成三角形的依据。如：三条线段的长分别是5、4、3便能构成三角形，而三条线段的长度分别是5、3、1，就不能构成三角形。 判定三条边能否构成三角形 对于某一条边来说，如一边a，只要满足|b-c|＜a＜b+c，则可构成三角形。这是因为|b-c|＜a，即b-c＜a，且b-c＞-a.也就是a+c＞b且a+b＞c，再加上b+c＞a，便满足任意两边之和大于第三边的条件。反过来，只要a、b、c三条线段满足能构成三角形的条件，则一定有|b-c|＜a＜b+c。 在特殊情况下，如果已知线段a最大，只要满足b+c>a就可判定a、b、c三条线段能够构成三角形。同时如果已知线段a最小，只要满足|b-c|＜a，就能判定三条线段a、b、c构成三角形。 证明三角形的内角和定理 除了课本上给出的证明方法外还有多种证法，这里再介绍两种证法的思路： 方法1 如图，过顶点A作DE‖BC， 三角形 由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连）叫做三角形。 从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，这条对边叫做三角形的底。 三角形具有稳定性 三角形内角和是180° 组成三角形的两个条件： 三角形任意两边之和大于第三边 三角形任意两边之差小于第三边 三角形分类 按角来分 锐角（0° 锐角三角形的三条高（三条虚线） 直角三角形的三条高（一条虚线加两条直角边） 钝角三角形的三条高（三条虚线） 按边分 底 直角边 C B A 直角边C B A C B A 底 边 等边三角形（三条边都相等，每个角都是60°） 等腰三角形（两条边相等，两个底角相等） ※已知三角形两条边各长a、b（a>=b），求第三边长度c的范围 方法：a-b 个性化辅导教案 正多边形和圆 知识梳理: 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一 个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形的一个中心角的度数为： 型 正多边形的中心角 与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为自然数)： (1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。 接圆的圆心。 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 (1)用量角器等分圆周。 8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份: ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 学生姓名: 授课教师: 所授科目: 学生年 级： 上课时间：2016年 月 分至 时 分共 小时 教学重难点 教学标题 正n 边形每一个内角的度数为: n 2 180 180 °。 ⑵ 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形, 对称中心是正多边形的中心, 即外 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形：d 1 —r (2)圆内接正四边形: 2 (设圆内接正多边形的半径为 d 丘 d ——r r ,边心距为d) (3)圆内接正六边形: 43 —r 2 6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系: (1)圆内接正三角形：x (2)圆内接正四边形: (3)圆内接正六边形: x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为 R 的正n 边形，只要把半径为 R (2)用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。 (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形; n 边形。 2011年中考必背古诗文50篇（经典版）一、诗词曲34首 1、观沧海曹操（七上） 东临碣石，以观沧海。 水何澹澹，山岛竦峙。 树木丛生，百草丰茂。 秋风萧瑟，洪波涌起。 日月之行，若出其中； 星汉灿烂，若出其里。 幸甚至哉，歌以咏志。 易错字词：碣沧澹竦峙萧瑟咏 2、次北固山下王湾（七上） 客路青山外，行舟绿水前。 潮平两岸阔，风正一帆悬。 海日生残夜，江春入旧年。 乡书何处达？归雁洛阳边。 易错字词：悬雁 3、钱塘湖春行白居易（七上） 孤山寺北贾亭西，水面初平云脚低。 几处早莺争暖树，谁家新燕啄春泥。 乱花渐欲迷人眼，浅草才能没马蹄。 最爱湖东行不足，绿杨阴里白沙堤。 易错字词：莺燕啄蹄堤 4、天净沙·秋思马致远（七上） 枯藤老树昏鸦，小桥流水人家，古道西风瘦马。夕阳西下，断肠人在天涯。 易错字词：藤鸦涯 5、闻王昌龄左迁龙标遥有此寄李白（七上） 杨花落尽子规啼，闻道龙标过五溪。 我寄愁心与明月，随风直到夜郎西！ 易错字词：溪郎 6、夜雨寄北李商隐（七上） 君问归期未有期，巴山夜雨涨秋池。 何当共剪西窗烛，却话巴山夜雨时。 易错字词：涨烛 7、泊秦淮杜牧（七上） 烟笼寒水月笼沙，夜泊秦淮近酒家。 商女不知亡国恨，隔江犹唱后庭花。 易错字词：笼淮庭 8、浣溪沙晏殊（七上） 一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台。夕阳西下几时回？无可奈何花落去，似曾相识燕归来。小园香径独徘徊。易错字词：燕径徘徊 9、望岳杜甫（八上） 岱宗夫如何？齐鲁青未了。造化钟神秀，阴阳割昏晓。 荡胸生曾云，决眦入归鸟。 会当凌绝顶，一览众山小。 易错字词：岱钟曾云决眦凌览 10、春望杜甫（八上） 国破山河在，城春草木深。 感时花溅泪，恨别鸟惊心。 烽火连三月，家书抵万金。 白头搔更短，浑欲不胜簪。 易错字词：深溅烽火抵搔簪 11、使至塞上王维（八上） 单车欲问边，属国过居延。 征蓬出汉塞，归雁入胡天。 大漠孤烟直，长河落日圆。 萧关逢候骑，都护在燕然。 易错字词：居延蓬萧关候骑 12、游山西村陆游（八上） 莫笑农家腊酒浑，丰年留客足鸡豚。 山重水复疑无路，柳暗花明又一村。 箫鼓追随春社近，衣冠简朴古风存。 从今若许闲乘月，拄杖无时夜叩门。 易错字词：腊酒鸡豚箫鼓简朴拄杖叩13、酬乐天扬州初逢席上见赠刘禹锡（八下） 巴山楚水凄凉地，二十三年弃置身。 怀旧空吟闻笛赋，到乡翻似烂柯人。 沉舟侧畔千帆过，病树前头万木春。 今日听君歌一曲，暂凭杯酒长精神。 易错字词：凄柯畔 14、赤壁杜牧（八下） 折戟沉沙铁未销，自将磨洗认前朝。 东风不与周郎便，铜雀春深锁二乔。 易错字词：戟销磨郎乔 15、过零丁洋文天祥（八下） 辛苦遭逢起一经，干戈寥落四周星。 山河破碎风飘絮，身世浮沉雨打萍。 惶恐滩头说惶恐，零丁洋里叹零丁。 人生自古谁无死？留取丹心照汗青。 易错字词：寥惶恐滩零丁 16、水调歌头苏轼（八下） （丙辰中秋，欢饮达旦，大醉，作此篇，兼怀子由。）明月几时有？把酒问青天。不知天上宫阙，今夕是何年。我欲乘风归去，又恐琼楼玉宇，高处不胜寒。起舞弄清 1 / 111 / 111 / 111 D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC ，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC=12 BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 21D C B A D C B A （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 2.AD ⊥BC 于D. 3.∠ADB=∠ADC=90°. 注意：①三角形的高是线段； ②锐角三角形三条高全在三角形的内部，直角三角形有两条高是边，钝角三角形有两条高在形外； ③三角形三条高所在直线交于一点． ⒋ 在画三角形的三条角平分线，三条中线，三条高时应注意： (1)如图3，三角形三条角平分线交于一点，交点都在三角形内部. (2)如图4，三角形的三条中线交点一点，交点都在三角形内部. 2020年人教版九年级数学上册 24.3《正多边形和圆》随堂练习 基础题 知识点1 认识正多边形 1．下面图形中，是正多边形的是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是( ) A．240° B．120° C．60° D．30° 3．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为． 4．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ． 知识点2 与正多边形有关的计算 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( ) A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3 6．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 7．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( ) A. 2 B．2 2 C. 2 2 D．1 8．边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是． 9．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为( )． 10．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 (结果保留根号)． 知识点3 画正多边形 11．如图， 甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法，可判断( ) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 12．图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形． 如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)． 中档题 13．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( ) A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r 14．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( ) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 初中必背古诗文50篇（首） 古诗部分 1、关雎《诗经》 关关雎鸠，在河之洲。窈窕淑女，君子好逑。 求之不得，寤寐思服。悠哉悠哉，辗转反侧。 参差荇菜，左右采之。窈窕淑女，琴瑟友之。 参差荇菜，左右芼之。窈窕淑女，钟鼓乐之。 2、蒹葭《诗经》 蒹葭苍苍，白露为霜。所谓伊人，在水一方， 溯洄从之，道阻且长。溯游从之，宛在水中央。 蒹葭萋萋，白露未晞。所谓伊人，在水之湄。 溯洄从之，道阻且跻[ji]。溯游从之，宛在水中坻[chi]。蒹葭采采，白露未已。所谓伊人，在水之涘[si]。 溯洄从之，道阻且右。溯游从之，宛在水中沚[zhi]。 3、观沧海曹操 东临碣石，以观沧海。水何澹澹，山岛竦峙。 树木丛生，百草丰茂。秋风萧瑟，洪波涌起。 日月之行，若出其中；星汉灿烂，若出其里。 幸甚至哉，歌以咏志。 4、饮酒陶渊明 结庐在人境，而无车马喧。 问君何能尔，心远地自偏。 采菊东篱下, 悠然见南山。 山气日夕佳, 飞鸟相与还。 此中有真意, 欲辨已忘言。 5、送杜少府之任蜀州王勃 城阙辅三秦，风烟望五津。 与君离别意，同是宦游人。 海内存知己，天涯若比邻。 无为在岐路，儿女共沾巾。 6、次北固山下王湾 客路青山外，行舟绿水前。 潮平两岸阔，风正一帆悬。 海日生残夜，江春入旧年。 乡书何处达，归雁洛阳边。 7、使至塞上王维 单车欲问边，属国过居延。 征蓬出汉塞，归雁入胡天。 大漠孤烟直，长河落日圆。 萧关逢候骑，都护在燕然。 8、闻王昌龄左迁龙标遥有此寄李白 扬州花落子规啼，闻道龙标过五溪。 我寄愁心与明月，随君直到夜郎西。 9、行路难李白其一 金樽清酒斗十千。玉盘珍羞直万钱。 停杯投箸不能食。拔剑四顾心茫然。 欲渡黄河冰塞川。将登太行雪满山。(满山一作暗天 ) 闲来垂钓碧溪上。(碧一作坐 )忽复乘舟梦日边。 行路难。行路难。多歧路。今安在。 长风破浪会有时。直挂云帆济沧海。 其二 大道如青天。我独不得出。 羞逐长安社中儿。赤鸡白狗赌梨栗。（狗一作雉 ) 弹剑作歌奏苦声。曳裾王门不称情。 淮阴市井笑韩信。汉朝公卿忌贾生。 君不见昔时燕家重郭隗。拥彗折节无嫌猜。(节一作腰 ) 剧辛乐毅感恩分，输肝剖胆效英才。 昭王白骨萦蔓草。蔓一作烂 ) 谁人更扫黄金台。行路难。归去来。 其三 有耳莫洗颍川水。有口莫食首阳蕨。 含光混世贵无名。何用孤高比云月。 吾观自古贤达人。功成不退皆殒身。 子胥既弃吴江上。屈原终投湘水滨。 陆机雄才岂自保。(雄才一作才多) 李斯税驾苦不早。 华亭鹤唳讵可闻。上蔡苍鹰何足道。 君不见吴中张翰称达生。(称一作真 ) D C B A 中考三角形知识点复习归纳总结 ⒈ 三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边，三个内角，三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点， 三角形ABC 用符号表示为△ABC，三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示，AC 可用b 表示，BC 可用a 表示. ⒉ 三角形的分类： (1)按边分类： (2)按角分类： ⒊ 三角形的主要线段的定义： （1）三角形的中线 三角形中，连结一个顶点和它对边中点的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 21D C B A D C B A 2.BD=DC=12 BC. 注意：①三角形的中线是线段； ②三角形三条中线全在三角形的内部； ③三角形三条中线交于三角形内部一点； ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形． （2）三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角顶点与交点之间的线段 表示法：1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2=12 ∠BAC. 注意：①三角形的角平分线是线段； ②三角形三条角平分线全在三角形的内部； ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点； ④用量角器画三角形的角平分线． （3）三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 表示法：1.AD 是△ABC 的BC 上的高线. 有关三角形知识点总结 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 三角形知识点汇总 1、三角形 一、三角形三边的关系 1、三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边。（判断三条线段能否组成三角形的依据） 2、已知三角形两边的长度分别为a，b，求第三边长度的范围：|a－b|＜c＜a＋b 3、给出等腰三角形的两边长度，要求等腰三角形的底边和腰的长（提示：一定要记得分类讨论） 方法：因为不知道这两边哪条边是底边，哪条边是腰，所以要分类讨论，讨论完后要写“综上”，将上面讨论的结果做个总结。 二、三角形的高、中线、角平分线 1、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角 形的高.（90°角和互余关系） 锐角三角形锐角三角形的三条高都在三角形的内部，三条高的交点也在三角形内部. 直角三角形直角三角形的三条高交于直角顶点. 钝角三角形钝角三角形有两条高落在三角形外部，一条在三角形内部，三条高所在直线交于三角形外一点。 2 、三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线.三角形的三 条中线交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 3、三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是条射线。 4、方法利用：求三角形中未知的高或者底边的长度，可利用“等积法”将三角形的面积用两种方式表达，求其中未知的高或者底边的长度 三、三角形具有稳定性 1. 三角形具有稳定性 2. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 四、与三角形有关的角 1. 三角形的内角和定理：三角形的内角和为180°，与三角形的形状无关。 圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 中考必背的古诗词 1观沧海曹操 东临碣石，以观沧海。 水何澹澹，山岛竦峙。 树木丛生，百草丰茂。 秋风萧瑟，洪波涌起。 日月之行，若出其中； 星汉灿烂，若出其里。 幸甚至哉，歌以咏志。 2次北固山下王湾 客路青山下，行舟绿水前。潮平两岸阔，风正一帆悬。海日生残夜，江春入旧年。乡书何处达，归雁洛阳边。 3钱塘湖春行白居易 孤山寺北贾亭西， 水面初平云脚低。 几处早莺争暖树， 谁家新燕啄春泥。 乱花渐欲迷人眼， 浅草才能没马蹄。 最爱湖东行不足， 绿杨阴里白沙堤。 4西江月辛弃疾 明月别枝惊鹊， 清风半夜鸣蝉。 稻花香里说丰年， 听取蛙声一片。 七八个星天外， 两三点雨山前。 旧时茅店社林边， 路转溪头忽见。 5天净沙·秋思马致远 枯藤老树昏鸦， 小桥流水人家， 古道西风瘦马。 夕阳西下， 断肠人在天涯。6龟虽寿曹操 神龟虽寿，猷有竟时。 腾蛇乘雾，终为土灰。 老骥伏枥，志在千里； 烈士暮年，壮心不已。 盈缩之期，不但在天； 养怡之福，可得永年。 幸甚至哉！歌以咏志。 7过故人庄孟浩然 故人具鸡黍，邀我至田家。 绿树村边合，青山郭外斜。 开轩面场圃，把酒话桑麻。 待到重阳日，还来就菊花。 8题破山寺后禅院常建 清晨入古寺，初日照高林。 竹径通幽处，禅房花木深。 山光悦鸟性，潭影空人心。 万籁此俱寂，但余钟磬声。 9闻王昌龄左迁龙标遥有此寄李白 杨花落尽子规啼， 闻道龙标过五溪。 我寄愁心与明月， 随风直到夜郎西。 10夜雨寄北李商隐 君问归期未有期， 巴山夜雨涨秋池。 何当共剪西窗烛， 却话巴山夜雨时？ 11泊秦淮杜牧 烟笼寒水月笼沙，夜泊秦淮近酒家。 商女不知亡国恨，隔江犹唱后庭花。 12浣溪沙晏殊 一曲新词酒一杯，去年天气旧亭台， 夕阳西下几时回？ 无可奈何花落去，似曾相识燕归来， . A一、三角形内角和定理 一、选择题 40°120°BCD1.如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A等于（）A．60°B．70°C．80°D．90° 2.将一副三角板按图中的方式叠放，则角等于（）A．75B．60C．45D．30 3.如图，直线m∥n，∠1=55，∠2=45，则∠3的度数为（） A．80B．90C．100D．110 【解析】选C.如图，由三角形的外角性质得 000 4125545100， 由m∥n，得34 0 100 5.（2009·新疆中考）如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130°，250°， 则3的度数等于（） A．50°B．30°C．20°D．15° 【解析】选C在原图上标注角4，所以∠4=∠2，因为∠2=50°，所以∠4=50°，又因为∠1=30°， 所以∠3=20°； 6.（2009·朝阳中考）如图，已知AB∥CD,若∠A=20°，∠E=35°，则∠C等于（）. A.20° B.35° C.45° D.55° 【解析】选D因为∠A=20°，∠E=35°，所以∠EFB＝55o，又因为AB∥CD,所以∠C＝∠EFB＝55o； 7.（2009·呼和浩特中考）已知△ABC的一个外角为50°，则△ABC一定是（） A．锐角三角形B．钝角三角形 C．直角三角形D．钝角三角形或锐角三角形 . . 【解析】选B因为△ABC的一个外角为50°，所以与△ABC的此外角相邻的内角等于130°，所以此三角形为钝角三角形. 4.（2008·聊城中考）如图，1100，2145，那么3（） 6 A．55°B．65°C．75°D．85° 答案：选B 二、填空题 oo 5.（2009·常德中考）如图，已知AE//BD，∠1=130，∠2=30，则∠C=． 【解析】由AE//BD得∠AEC=∠2=30o，∴∠C=180°-∠1-∠AEC=180°-130 o，∴∠C=180°-∠1- ∠AEC=180°-130 o- 30o=20o o答案： 20 6.（2009·邵阳中考）如图，AB//CD,直线EF与AB、CD分别相交于E、F两点，EP平分∠AEF,过点F作FP⊥EP,垂足为P，若∠PEF=30 0, 则∠PFC=__________。 0 【解析】由EP平分 ∠AEF,∠PEF=30 0 得∠AEF=60 0 ，由AB//CD得∠EFC=120 0 ，由FP⊥EP得 ∠P=90 ， ∴∠PFE=180 0-900-300=600，∴∠PFC=1200-600=600. 答案：60° 7.（2008·长沙中考）△ABC中，∠A=55，∠B=25，则∠C=. 答案：100° 8.（2008·赤峰中考）如图，是一块三角形木板的残余部分，量得A100，B40，这块三角形木板另外一个角是度． 全等三角形 一、知识框架： 二、知识概念： 1.基本定义： ⑴全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形. ⑵全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. （注意对应的顶点写在对应的位置上） ⑶对应顶点：全等三角形中互相重合的顶点叫做对应顶点. ⑷对应边：全等三角形中互相重合的边叫做对应边. ⑸对应角：全等三角形中互相重合的角叫做对应角. 夹边就是三角形中相邻两角的公共边，夹角就是三角形中有公共端点的两边所成的角。 两个三角形的形状、大小、都一样时，其中一个可以经过平移、旋转、对称等运动（或称变换）使之与另一个重合,一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形的性质和表示 性质： （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 表示： 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC 全等于三角形DEF”。 注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的判定定理： ⑴边边边（SSS）：三边对应相等的两个三角形全等. ⑵边角边（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等. ⑶角边角（ASA）：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等. ⑷角角边（AAS）：两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. ⑸斜边、直角边（HL）：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等. （只适用于两个直角三角形） 4、学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；（3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”5、全等变换 只改变图形的位置，二不改变其形状大小的图形变换叫做全等变换。 全等变换包括一下三种： （1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。 （2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。 （3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。 6.证明两三角形全等或利用它证明线段或角的相等的基本方法步骤：①、确定已知条件（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平分线、中线、高、等腰三角形、等所隐含的边角关系），②、回顾三角形判定，搞清我们还需要什么，③、正确地书写证明格式(顺序和对应关系从已知推导出要证明的问题). 7.角平分线： ⑴画法：（课本48页，必须要掌握） ⑵性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等. （在做题时，只要满足条件就可以直接运用定理） ⑶性质定理的逆定理：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上. 7.证明命题基本方法： ⑴明确命题中的已知和求（包括隐含条件，如公共边、公共角、对顶角、角平 分线、中线、高、等腰三角形等所隐含的边角关系） ⑵根据题意，画出图形，并用数字符号表示已知和求证. ⑶经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程.最新2019中考语文 必背古诗文50篇
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