题的关键之处．
例2 已知：m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点 为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于 H点，若直线BC把△PCH分成面积之比为2：3的两部分，请 求出P点的坐标． 【分析】（1）解方程求出m，n的值．用待定系数法求出b，c的值． （2）过D作x轴的垂线交x轴于点M，可求出△DMC，梯形BDBO，△BOC的面积，用割补法可求出△BCD的面积． （3）PH与BC的交点设为E点，则点E有两种可能：①EH=3 2 EP，②EH= 2 3 EP． 【解答】（1）解方程x2－6x+5=0， 得x1=5，x2=1． 由m 所以点A，B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=－x2+bx+c， 得 10, 5 b c c -++= ? ? = ? 解这个方程组，得 4, 5 b c =- ? ? = ? 所以抛物线的解析式为y=－x2－4x+5． （2）由y=－x2－4x+5，令y=0，得－x2－4x+5=0． 解这个方程，得x1=－5，x2=1． 所以点C的坐标为（－5，0），由顶点坐标公式计算，得点D（－2，9）．过D作x轴的垂线交x轴于M，如图所示． 则S△DMC=1 2 ×9×（5－2）= 27 2 ． S梯形MDBO=1 2 ×2×（9+5）=14， S△BDC =1 2 ×5×5= 25 2 ． 由于b2－4ac=（－m）2－4×1× 22 2 m+ =3m2+4>0， 所以此函数的图像与x轴有两个不同的交点． 故图像经过A，B两点的二次函数为y=x2－mx－ 22 2 m+ ． （2）将A（－1，0）代入y=x2－mx－ 22 2 m+ ． 得1+m－ 22 2 m+ =0． 整理，得m2－2m=0． 解得m=0或m=2． 当m=0时，y=x2－1．令y=0，得x2－1=0． 解这个方程，得x1=－1，x2=1． 此时，点B的坐标是B（1，0）． 当m=2时，y=x2－2x－3．令y=0，得x2－2x－3=0． 解这个方程，得x1=1，x2=3． 此时，点B的坐标是B（3，0）． （3）当m=0时，二次函数为y=x2－1，此函数的图像开口向上，对称轴为x=0， 所以当x<0时，函数值y随x的增大而减小． 当m=2时，二次函数为y=x2－2x－3=（x－1）2－4，此函数的图像开口向上，对称轴为x=1，所以当x<1时，函数值y随x的增大而减小． 【点评】本题是一道关于二次函数与方程、不等式有关知识的综合题，但它仍然是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系，抓住问题的实质，灵活运用所学知识，这类综合题并不难解决． 课堂习题 一、填空题 1．右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像， 观察图像写出y2≥y1时，x的取值范围_______． 2．已知抛物线y=a2+bx+c经过点A（－2，7），B（6，7），C （3，－8），则该抛物线上纵坐标为－8的另一点的坐标是_______． 3．已知二次函数y=－x2+2x+c2的对称轴和x轴相交于点（m，0），则m的值为______．4．若二次函数y=x2－4x+c的图像与x轴只有1个交点，则c=_______ 5．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点（1，2）与（－1，4），则a+c的值是______．6．甲，乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一十分关键的球，出手点为P，羽毛球飞行的水平 距离s（m）与其距地面高度h（m）之间的关系式为h=－ 1 12 s2+ 2 3 s+ 3 2 ．如下左图所示， 已知球网AB距原点5m，乙（用线段CD表示）扣球的最大高度为9 4 m，设乙的起跳点C 的横坐标为m，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则m的取值范围是______． 7．二次函数y=x2－2x－3与x轴两交点之间的距离为______． 8．杭州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y（元/m2）随楼层数x （楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8），已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如上右图），则6楼房子的价格为_____元/m2． 二、选择题 9．二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，?则下列关系式不正确的是（）A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0 (第9题) (第12题) (第15题) 10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（） A．y1 11．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=2，且经过点P（3，0），则a+b+c的值为（）A．－1 B．0 C．1 D．2 12．如图所示，抛物线的函数表达式是（） A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2 13．抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位 B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位 14．已知二次函数y=x2+bx+3，当x=－1时，y取得最小值，则这个二次函数图像的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 15．抛物线y=ax2+2ax+a2+2的一部分图像如图所示，那么该抛物线在y轴右侧与x轴交点的坐标是（） A．（1 2 ，0）B．（1，0）C．（2，0）D．（3，0） 16．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图像可能是（） 三、解答题 17．如图所示，已知抛物线y=ax2+4ax+t（a>0）交x轴A，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（－1，0） （1）求抛物线的对称轴及点A的坐标； （2）过点C作x轴的平行线交抛物线的对称轴于点P，你能 判断四边形ABCP是什么四边形？并证明你的结论； 18．如图所示，m，n是方程x2－6x+5=0的两个实数根，且m （1）求这个抛物线的解析式； （2）设（1）中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线 的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积； （3）P是线段OC上的一点，过点P作PH⊥x轴，与抛物线交于点H，若直线BC把 △PCH分成面积之比为2：3的两部分，请求出点P的坐标． 19．某地计划开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道，?其截面是抛物线拱形ACB，而且能通过最宽3m，最高3.5m的厢式货车．按规定，?机动车通过隧道时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m．为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道，在图纸上以直线AB为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，求抛物线拱形的表达式，隧道的跨度AB和拱高OC． 20．已知一个二次函数的图像过如图所示三点．（1）求抛物线的对称轴； （2）平行于x轴的直线L的解析式为y=25 4 ，抛物线与 （3）x轴交于A，B两点．在抛物线的对称轴上找点P， （4）使BP的长等于直线L与x轴间的距离．求点P的坐标． 21．如图所示，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图像与x?轴交于A，B两点，其中A点坐标为（－1，0），点C（0，5），D（1，8）在抛物线上，M为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式；（2）求△MCB的面积．
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