动点与函数图像
10．如图，M是边长为4的正方形AD边的中点，动点P自A点起，由A B C D
→→→匀速运动，直线MP扫过正方形所形成面积为,y点P运动的路程为,x则表示y与x的函数关系的图象为( )
9．如图，直线l是菱形ABCD和矩形EFGH的对称轴，C点在EF边
上，若菱形ABCD沿直线l从左向右匀速运动，运动到C在GH边上为
止,在整个运动的过程中,菱形与矩形重叠部分的面积（S）与运动的路程
（x）之间的函数关系的图象大致是（）
A B C D
10.如图，矩形ABCD中，1
AB=cm，2
AD=cm，M是BC的中点，点P在矩形的边长沿
A D C M
→→→运动，速度为2cm/s，点Q在矩形的边上沿A B M
→→运动，速度为1cm/s，若P Q
、两点同时出发，则APQ
?的面积y(cm2)与运动时间t(s)之间的函数关系用图象表示大致是下图中的( )
O
S
X
2 4 O
S
X
2 4 O
S
X
2 4 O
S
X
2 4
（第9题图）
2
4 4
G
C
F
B
A
【单点训练】动点问题的函数图象
参考答案与试题解析
一、选择题（共30小题）
1．已知：如图1，点G是BC的中点，点H在AF上，动点P以每秒2cm的速度沿图1的边线运动，运
动路径为：G→C→D→E→F→H，相应的△ABP的面积y（cm2）关于运动时间t（s）的函数图象如图2，
若AB=6cm，则下列四个结论中正确的个数有（）
①图1中的BC长是8cm；②图2中的M点表示第4秒时y的值为24；③图1中的CD长是4cm；
④图1中的DE长是3cm；⑤图2中的Q点表示第8秒时y的值为33；⑥图2中的N点表示第12秒时y
的值为18cm2．
A．3个B．4个C．5个D．6个
考点：动点问题的函数图象。
分析：①根据题意得：动点P在GC上运动的时间是2秒，又由动点的速度，可得GC和BC的长；
②③由（1）可得BC的长，又由AB=6cm，可以计算出△ABP的面积，计算可得a的值；
④根据题意得：动点P在DE上运动的时间是3秒，又由动点的速度，可得DE长；
⑤根据图2中的Q点表示第8秒时，表示点P到达H点，即可得出y的值；
⑥根据图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，即可得出△ABP的面积；
解答：解：①根据函数图象可以知：从0到2，y随x的增大而增大，经过了2秒，P运动了4cm，因而CG=4cm，BC=8cm；
②③P在CD段时，底边AB不变，高不变，因而面积不变，由图象可知CD=4cm，面积y=×6×8=24cm2；
④根据函数图象可以知：经过了3秒，P运动了6cm，因而DE=6cm；
⑤图2中的Q点表示第8秒时，表示点P到达F点，即可求出是y的值为36cm2．
⑥图2中的N点表示第12秒时，表示点P到达H点，△ABP的面积是18cm2．
则四个结论正确；
故选B．
点评：此题考查了动点问题的函数图象，要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
2．如图1，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC→CD运动至点D停止．设点P运动的路程
为x，△APB的面积为y，如果y关于x的函数图象如图2所示，则△BCD的面积是（）
A．16 B．15 C．11 D．5
考点：动点问题的函数图象。
分析：根据函数图象横纵坐标表示的意义以及几何图形的特点分析即可．
解答：解：动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿BC，CD的顺序运动，则△ABP面积y在AB段随x 的增大而增大；
在CD段，△ABP的底边不变，高不变，因而面积y不变化．由图2可以得到：BC=5，CD=6，△BCD的面积是×5×6=15．
故选B．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
3．（2012?嘉兴）如图，正方形ABCD的边长为a，动点P从点A出发，沿折线A→B→D→C→A的路径
运动，回到点A时运动停止．设点P运动的路程长为长为x，AP长为y，则y
关于x的函数图象大致是
（）
A．B．C ．D．
考点：动点问题的函数图象。
分析：根据题意设出点P运动的路程x与点P到点A的距离y的函数关系式，然后对x从0到2a+2a时分别进行分析，并写出分段函数，结合图象得出答案．
解答：解：设动点P按沿折线A→B→D→C→A的路径运动，
∵正方形ABCD的边长为a，
∴BD=a，
则当0≤x＜a时，y=x，
当a≤x＜（1+）a时，y=，
当a（1+）≤x ＜a（2+）时，y=，
当a（2+）≤x≤a（2+2）时，y=a（2+2）﹣x，
结合函数解析式可以得出第2，3段函数解析式不同，得出A选项一定错误，
根据当a≤x＜（1+）a时，函数图象被P在BD中点时，分为对称的两部分，故B选项错误，
再利用第4段函数为一次函数得出，故C选项一定错误，
故只有D符合要求，
故选：D．
点评：此题主要考查了动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．
4．（2012?绥化）如图，点A、B、C、D为⊙O的四等分点，动点P从圆心O出发，沿OC﹣﹣DO的
路线做匀速运动，设运动的时间为t秒，∠APB
的度数为y度，则下列图象中表示y（度）与t（秒）之间
函数关系最恰当的是（）
A．B ．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
分析：
根据动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小，当P在上运动时，∠APB不变，当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大，即可得出答案．
解答：解：当动点P在OC上运动时，∠APB逐渐减小；
当P在上运动时，∠APB不变；
当P在DO上运动时，∠APB逐渐增大．
故选C．
点评：本题主要考查了动点问题的函数图象，用到的知识点是圆周角、圆内的角及函数图象认识的问题．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
5．（2010?宜昌）如图，在圆心角为90°的扇形MNK中，动点P从点M出发，沿MN??KM运动，最
后回到点M的位置．设点P运动的路程为
x，P与M两点之间的距离为y，其图象可能是（）
A．B ．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
分析：分三段讨论，MN段，P匀速运动；NK段，距离不变，为一定值；KM段，距离匀速减少；由此可判断出函数图象．
解答：解：此运动过程可分为三段MN段，P匀速运动；NK段，距离不变，为一定值；KM段，距离匀速减少；
且MN段KM段，运动时间相等，由此看出选项B的函数图象符合题意．
故选B．
点评：本题考查了函数图象和实际结合的问题，同学们需注意正确分析过程．
6．如图，矩形ABCD中，AB=1，BC=2，点P从点B出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，设点P走
过的路程为x，
△ABP的面积为S，能正确反映S与x 之间函数关系的图象是（）
考点：动点问题的函数图象。
专题：动点型。
分析：要找出准确反映s与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中s随x变化的情况．
解答：解：由题意知，点P从点B 出发，沿B→C→D向终点D匀速运动，则
当0＜x≤2，s=，
当2＜x≤3，s=1，
由以上分析可知，这个分段函数的图象开始直线一部分，最后为水平直线的一部分．
故选C．
点评：本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识和等腰直角三角形，具有很强的综合性．
7．五一小明去找小亮玩球，已知他的家在A点，小亮的家在D点，由于A点向D点的道路还未通车，于
是他只好从家出发，乘车沿A?B?C?D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时
间t的变化关系用图象表示正确的是（）
A．B ．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
分析：理解函数图象的横轴和纵轴表示的量．
解答：解：由图中可以看出点P原来是A处，∴△APD的面积S一开始为0，排除C；
随之增大，当点P在BC上时，△APD的面积随着时间的增多，而没有变化，排除A；
因为BD＞AB，所以后来所用的时间应多于前面所用的时间．
故选B．
点评：根据实际情况来判断函数图象．
8．如图，四边形ABCD为正方形，若AB=4，E是AD边上一点（点E与点A、D不重合），BE的中垂线
S与x的大致图象是（）
交AB于M，交DC于N，设AE=x，则图中阴影部分的面积
考点：动点问题的函数图象。
专题：计算题。
分析：根据ABCD是正方形，可以证明BE=MN，阴影部分的面积等于正方形ABCD的面积减去四边形MBNE的面积，得到S关于x的二次函数，然后确定函数的大致图形．
解答：
解：在△ABE中，BE==，
∵ABCD是正方形，
∴BE=MN，
∴S四边形MBNE =BE?MN=x2+8，
∴阴影部分的面积S=16﹣（x2+8）=﹣x2+8．
根据二次函数的图形和性质，这个函数的图形是开口向下，对称轴是Y轴，顶点是（0，8），自变量的取值范围是0＜x＜4．
故选C．
点评：本题考查的是动点问题的函数图象，先根据正方形的性质得到BE=MN，然后表示出S关于x的二次函数，确定二次函数的大致图象．
9．矩形ABCD中，BC=4，AB=2，P是线段BC边上一动点，Q在PC或其延长线上，且BP=PQ，以PQ
为一边作正方形PQRS，若BP=x，正方形PQRS与矩形ABCD
重叠部份的面积为y，则y与x的函数的大
致图象是（）
A ．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：分段函数。
分析：根据题意，若BP=x，则PC=4﹣x；分BP＜PC，即x＜2时与BP＞PC，即x＞2时两种情况分析，可得答案．
解答：解：根据题意，BP=x，则PC=4﹣x；
当BP＜PC，即x＜2时，重合部分在正方形PQRS得外部，则S重叠=x2，
当BP＞PC，即x＞2时，重合部分在正方形PQRS得内部，则S重叠=2（4﹣x），
分析可得D符合两段得方程；
故选D．
点评：解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段得变化情况，进而得到整体得变化情况．
10．如图1，动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿B?C?D?A的顺序运动，得到以点P移动
的路程x为自变量，
△ABP面积y为函数的图象，如图2，则梯形ABCD的面积是（）
A．104 B．120 C．80 D．112
考点：动点问题的函数图象。
专题：动点型。
分析：理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
解答：解：动点P从直角梯形ABCD的直角顶点B出发，沿B→C→D→A的顺序运动，则△ABP面积y在AB 段随x的增大而增大；
在CD段，△ABP的底边不变，高不变，因而面积y不变化；
在DA段，底边AB不变，高减小，因而面积减小．
由图2可以得到：BC=8，CD=10，DA=10；因而过点D
作DE⊥AB于E点，则DE=BC=8，AE=6；则
AB=AE+CD=6+10=16，
则梯形ABCD 的面积是（10+16）×8=104．
故选A．
点评：正确理解函数图象横纵坐标表示的意义．
11．（2010?厦门）如图，正方形ABCD的边长为2，动点P从C出发，在正方形的边上沿着C?B?A的方
向运动（点P与A不重合）．设P的运动路程为x，则下列图象中△ADP的面积y关于x的函数关系（）A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：几何动点问题。
分析：△ADP的面积可分为两部分讨论，由C运动到B时，面积不变；由B运动到A时，面积逐渐减小，因此对应的函数应为分段函数．
解答：
解：当P点由C运动到B点时，即0≤x≤2时，y==2
当P点由B运动到A点时（点P与A不重合），即2＜x＜4时，y==4﹣x
∴y关于x的函数关系
注：图象不包含x=4这个点．
故选C．
点评：本题考查了动点函数图象问题，在图象中应注意自变量的取值范围．
12．如图，点P是定线段OA上的动点，点P从O点出发，沿线段OA运动至点A后，再立即按原路返
回至点O停止，点P在运动过程中速度大小不变，以点O为圆心，线段OP长为半径作圆，则该圆的周长
l与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（）
A ．
B ．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：动点型。
分析：根据题意，分点P从O点出发，沿线段OA运动至点A时，与点P按原路返回至点O，两种情况分析，可得两段都是线段，分析可得答案．
解答：解：设OP=x，
当点P从O点出发，沿线段OA运动至点A时，OP匀速增大，即OP=x为圆的半径，则根据圆的周长公式，可得l=2πx；
当点P按原路返回至点O，OP开始匀速减小，设OP=x，则圆的半径为x﹣OA，则根据圆的周长公式，可得l=2π（x﹣OA）
分析可得B符合，
故选B．
点评：解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段的变化情况，进而得到整体的变化情况．
13．（2007?泰安）如图，四边形ABCD是边长为2cm的正方形，动点P在ABCD的边上沿A﹣B﹣C﹣D
的路径以1cm/s的速度运动（点P不与A，D重合）．在这个运动过程中，△APD的面积S（cm）2随时间
t（s）的变化关系用图象表示，正确的为（）
A．B ．C ．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：动点型。
分析：本题考查动点函数图象的问题．
解答：解：点P在AB上运动时，△APD的面积S将随着时间的增多而不断增大，排除C．
点P在BC上运动时，△APD的面积S将随着时间的增多而不再变化，应排除A，C．
故选B．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解．
14．如图，等边三角形ABC的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上沿AB方向以
1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N
分别作AB边的垂线，与△ABC 的其它边交于P、Q两点．线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的
面积为S，运动的时间为t．则大致反映S与t变化关系的图象是（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
分析：利用直角梯形的面积公式，由MN=1不变，可知四边形MNQP的面积随（PM+QN）的变化而变化，找到特殊点过点C作CG⊥AB，可分析得出四边形MNQP的面积变化情况．
解答：解：过点C作CG⊥AB，
∵MN=1，四边形MNQP为直角梯形，
∴四边形MNQP的面积为S=MN×（PM+QN），
∴N点从A到G点四边形MNQP的面积为S=MN×（PM+QN）中，PM，QN都在增大，所以面积也增大；
当QN=CG时，QN开始减小，但PM仍然增大，且PM+QN不变，
∴四边形MNQP的面积不发生变化，
当PM＜CG时，PM+QN开始减小，
∴四边形MNQP的面积减小，
∴符合要求的只有A．
故选A．
点评：此题主要考查了直角梯形的面积求法，以及动点函数的应用，由动点找特殊点，是解决问题的关键．
15．（2010?綦江县）如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P从起点B出发，沿BC、CD逆时针方
向向终点D匀速运动．设点P所走过路程为x，则线段AP、AD与矩形的边所围成的图形面积为y，则下
列图象中能大致反映y与x函数关系的是（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：几何动点问题；分类讨论。
分析：本题需分两段讨论，即点P在BC段和CD段，按照面积公式分别列出面积y与x的函数关系．解答：
解：当点P由B运动到C时，即0≤x≤3时，所围成的面积为梯形，=12﹣2x 当点P由C运动到D时，即3＜x≤7时，所围成的面积为三角形，
∴y关于x的函数关系
所以，函数关系式对应A中的函数图象．
故选A．
点评：此题为运用动点求面积随动点的变化并反映在函数图象上，但需注意自变量的取值范围．
16．如图，一艘旅游船从码头A驶向景点C，途经景点B、D，它先从码头A沿以D为圆心的弧AB行驶
到景点B，然后从B沿直径BC行驶到⊙D上的景点C
．假如旅游船在整个行驶过程中保持匀速，则下面各图中能反映旅游船与景点D的距离随时间变化的图象大致是（）
A．B ．C ．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：应用题。
分析：根据题意，旅游船先从码头A沿以D为圆心的弧AB行驶到景点B ，然后从B沿直径BC行驶到⊙D上的景点C，分析与D的距离变化可得答案．
解答：解：根据题意，旅游船先从码头A沿以D为圆心的弧AB行驶到景点B，此段时间到D的距离不变，然后从B沿直径BC行驶到⊙D上的景点C，此段时间到D的距离先减小为0，再逐渐增大与最开始时到D 的距离相等；
分析可得B符合，
故选B．
点评：此题主要考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是读懂图意，明确横轴与纵轴的意义．
17．（2010?十堰）如图，点C，D是以线段AB为公共弦的两条圆弧的中点，AB=4，点E，F分别是线段
CD，AB上的动点，设AF=x，AE2﹣FE2=y，则能表示y与x的函数关系的图象是（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：几何图形问题。
分析：延长CE交AB
于G，△AEG和△FEG都是直角三角形，运用勾股定理列出y与x的函数关系式即可判断出函数图象．
解答：解：如右图所示，延长CE交AB于G．设AF=x，AE2﹣FE2=y；
∵△AEG和△FEG都是直角三角形
∴由勾股定理得：AE2=AG2+GE2，FE2=FG2+EG2，
∴AE2﹣FE2=AG2﹣FG2，即y=22﹣（2﹣x）2=﹣x2+4x，
这个函数是一个二次函数，抛物线的开口向下，对称轴为x=2，与x轴的两个交点坐标分别是（0，0），（4，0），顶点为（2，4），自变量0＜x＜4．
所以C选项中的函数图象与之对应．
故选C．
点评：本题为几何与函数相结合的题型，同学们应注意运用勾股定理的重要性，它就是解决此题的关键．
18．如图，⊙O上有两定点A与B，若动点P点从点B出发在圆上匀速运动一周，那么弦AP的长度d与
时间t的关系可能是下列图形中的（）
A．①或④B．①或③C．②或③D．②或④
考点：动点问题的函数图象。
专题：动点型。
分析：根据实际情况来分情况判断函数图象．
解答：解：点P顺时针旋转时，AP长度慢慢增大；当A，O，P在一条直线上时，AP为圆O的直径，此时最大；
继续旋转，当P，0，B在一条直线上时，AP和一开始的位置相同；
当和点A重合时，距离为0；
继续旋转，回到点B，AP长也回到原来的长度．①对；同理，逆时针旋转时，有3次AP长是相等的，最后回到原来的位置，③对．
故选B．
点评：要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
19．（2005?兰州）四边形ABCD为直角梯形，CD∥AB，CB
⊥AB且CD=BC=AB ，若直线L⊥AB，直线
L截这个梯形所得的位于此直线左方的图形面积为y，点A 到直线L的距离为x，则y与x关系的大致图
象为（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
分析：
经过点D作DE垂直于AB ，垂足为E，可证得四边形DEBC为正方形，再由CD=BC=AB，可得出三角形ADE为等腰直角三角形，由此得出∠A=45°，由此求得直线l运动到D点时，函数解析式为y=x2，当直线l运动由D点运动到C点时，函数解析式为y=BC（2x﹣BC），BC为常数，因此为一次函数，由此解决问题．
解答：解：如图，点D作DE垂直于AB，垂足为E，∵CD∥AB，CB⊥AB且CD=BC=AB，
∴四边形DEBC为正方形，
∴DC=EB ，
∴AE=DE，
∴△ADE为等腰直角三角形，
∴∠A=45°；
点A到直线L的距离为x，直线左方的图形面积为y，
直线l运动到D点时，函数解析式为y=x2，
当直线
l运动由D点运动到C点时，函数解析式为y=BC（2x﹣BC），BC为常数，因此为一次函数，
因此符合y与x关系的大致图象只有C．
故选C．
点评：此题主要考查正方形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，三角形的面积，梯形的面积以及动点分段函数图象的描述问题．
20．如图，BC是⊙
D的直径，A为圆上一点．点P从点A 出发，沿运动到B点，然后从B点沿BC运
动到C点．假如点P在整个运动过程中保持匀速，则下面各图中，能反映点P 与点D的距离随时间变化
的图象大致是（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：动点型。
分析：此题可分段讨论，AB段，P与D点距离不变；B到D点，距离匀速减小；D到C点，距离匀速增大；由此可判断出函数图象．
解答：解：此题可分段讨论AB段，P与D点距离不变；B 到D点，距离匀速减小；D到C点，距离匀速增大；
且在运动到D点时，距离减小到0．因此选项B中的函数图象符合题意．
故选B．
点评：本题考查了函数图象与实际结合的问题，另外还考查了分类讨论的思想．
21．在?ABCD中，对角线AC=4，BD=6，P是线段BD上一动点，过P作EF∥AC，与?ABCD的两边分
别交于E、F．设BP=x，EF=y，则反映y与x之间关系的图象是（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
分析：根据题意，设AC、BD交于点O，分2个阶段，①P在BO之间，即x≤3时，②P在OD之间，即x≥3时，根据平行线的性质，可得y与x的关系，分析选项，可得答案．
解答：解：根据题意，设AC、BD交于点O，
分
2个阶段，①P在BO之间，即x≤3时，根据平行线的性质，可得=，化简可得y=x；
②P在OD之间，即x≥3时，根据平行线的性质，可得=，化简可得y=﹣x+9；
分析可得，C符合两个阶段的描述；
故选C．
点评：解决此类问题，注意将过程分成几个阶段，依次分析各个阶段的变化情况，进而综合可得整体的变化情况．
22．（2010?烟台）如图，AB为半圆的直径，点P为AB上一动点，动点P从点A出发，沿AB匀速运动
到点B，运动时间为t，分别以AP与PB为直径做半圆，则图中阴影部分的面积S与时间t之间的函数图
象大致为（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：几何图形问题。
分析：按等量关系“阴影面积=以AB为直径的半圆面积﹣以AP为直径的半圆面积﹣以PB为直径的半圆面积”列出
函数关系式，然后再判断函数图象．
解答：解：设P点运动速度为v（常量），AB=a（常量），则AP=vt，PB=a﹣vt；
则阴影面积S===﹣
+t
由函数关系式可以看出，D的函数图象符合题意．
故选D．
点评：本题考查的是面积随动点匀速运动时变化的关系，关键是列出函数关系式，再与函数图象对照．
23．如图，平面直角坐标系中，在边长为1的菱形ABCD的边上有一动点P从点A出发沿A→B→C→D→A 匀速运动一周，则点P的纵坐标y与点P走过的路程S之间的函数关系用图象表示大致是（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：动点型。
分析：要找出准确反映y与x之间对应关系的图象，需分析在不同阶段中y随x变化的情况．
解答：解：由题意知当从A→B→C时，纵坐标从2到1.5然后到1，
当从C→D→A时，纵坐标从1到1.5然后到2，
故选A．
点评：本题以动态的形式考查了分类讨论的思想，函数的知识，具有很强的综合性．
24．如图，已知Rt△ABC中，∠BAC=90°，BC=13，AB=12
，E是BC边上一点，过点E作DE⊥BC交AC所在直线于点D，若BE=x，△DCE的面积为y，则y与x的函数图象大致是（）
A．B ．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：几何图形问题。
分析：本题考查动点问题的函数图象问题，注意运用排除法．
解答：解：BE=x，则x一定是一个非负数，因而选项A，B一定错误．
并且当x=0时，△DCE的面积y应该最大．
故选D．
点评：注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
25．（2006?滨州）如图（单位：m），直角梯形ABCD以2m/s的速度沿直线l向正方形CEFG方向移动，
直到AB与FE重合，直角梯形ABCD
与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间t 的函数图象可能
是（）
A ．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
分析：要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．
解答：解：根据几何图形可知直角梯形的面积为75，当直角梯形ABCD以2m/s的速度沿直线l向正方形CEFG方向移动，直到AB与FE重合，直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠部分的面积S关于移动时间t的变化规律是逐渐增大，直至75平方米，然后逐渐减小到0，2段都是平滑曲线．并且在直角梯形ABCD与正方形CEFG重叠时，重叠部分的面积是t的二次函数，因而是抛物线．
故选C．
点评：主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．
26．如图，A、B、C、D为⊙O的四等分点，若动点P从点C出发，沿C?D?O?C路线作匀速运动，设
运动时间为t，∠APB的度数为y，则y与t之间函数关系的大致图象是（）
A ．
B ．
C ．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：几何图形问题。
分析：根据题意，此题需分三段看y与t的函数关系，CD段，弧AB对应的圆周角y是圆心角∠AOB的一半，不变，DO段和OC段，y随P点的运动而改变．
解答：解：∵A、B、C、D为⊙O的四等分点，∴∠AOB=90°
当P点由C运动到D点时，∠APB=∠AOB=45°，即y=45°
当P点由D运动到O点时，∠APB的变化由45°到90°，即y的变化范围由45°增大到90°
当P点由O运动到C点时，∠APB的变化由90°到45°，即y的变化范围由90°减小到45°
由此可看出C选项对应的函数图象符合题意．
故选C．
点评：本题通过大致分析角度的变化从选项中得出答案，这不失为做选择题的一个技巧．
27．（2006?泉州）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC的长为常数，点P从起点C出发，沿CB
向终点B运动，设点P所走过路程CP的长为x，△APB的面积为y，则下列图象能大致反映y
与x之间
的函数关系的是（）
A．B ．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：动点型。
分析：解决本题的关键是读懂图意，表示出y与x的关系式，从而判断图象的形状．
解答：
解：设BC的长度为常数k，则y=×2×k﹣×2×x=k﹣x．那么此函数为一次函数，因为x的系数小于0，所以应是减函数．
故选C．
点评：可设出所需量为一个常数，表示出y与x 的函数关系，再求解．
28．（2008?安顺）如图，边长为1的正三角形和边长为2的正方形在同一水平线上，正三角形沿水平线自
左向右匀速穿过正方形．下图反映了这个运动的全过程，设正三角形的运动时间为t，正三角形与正方形
的重叠部分面积为s，则s与t的函数图象大致为（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
专题：图表型。
分析：要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
解答：解：分析题意和图象可知：正三角形与正方形的重叠部分面积变化过程是变大﹣﹣不变﹣﹣变小．故选B．
点评：考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的作图能力．
29．如图，腰长为1和2的两个等腰直角三角形，其一腰在同一水平线上，小等腰直角三角形沿该水平线
自左向右匀速穿过大等腰直角三角形，设穿过的时间为x，大等腰三角形内减去小等腰直角三角形部分的
面积为y（各个图中的阴影部分），则y与x的大致图象为（）
A．B．C．D．
考点：动点问题的函数图象。
分析：本题应看清横轴和纵轴表示的量．
解答：解：由图中可知：原来阴影部分的面积是整个大等腰三角形的面积，随着小等腰三角形的穿行，阴影部分的面积也就是y，将变小，排除C．
当完全进入大等腰三角形后，阴影部分的面积将在一段时间内不再变化．
故选D．
点评：本题考查了动点问题的函数图象，注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．
动点问题的函数图象选择方法 近几年中考试题中对动点问题的函数图象考察地很频繁，一般都作为选择题最后一道呈现。解答此类题目的一般过程为：读懂题意，牢牢抓住横轴和纵轴所表示的意义，在模拟运动过程中找到分界点，确定不同时间段并分析题意建立相对应函数模型，列出对应函数关系式，由函数关系式选择图象。但在实际的做题过程中，由于是选择题，我们可以选择不同的方法快速，准确地选出答案。 一．列函数关系式法 例1.（2014年河南第8.题）如图，在Rt △ABC 中，∠C=900，AC=1cm ，BC=2cm ，点P 从A 出发，以1cm/s 的速沿折线 AC CB BA 运动，最终回到A 点。设点P 的运动时间为x （s ），线段AP 的长度为y （cm ），则能反映y 与x 之间函数关系的图象大致是 （ ） 解析：由P 点运动过程AC CB BA 知，分为三个阶段，第一阶段AC 段， y=x(0≤x ≤1),第二阶段CB 段，y=2(1)1x -+(1≤x ≤3),这是一个在定义域内的增函数，但不 是一次函数。第三阶段BA 段，y=5+3-x(3≤x ≤5+3),所以本题选A 。 定评：分析不同阶段的运动过程，利用学习过的知识，建立函数模型，列出函数关系式，由关系式找出对应阶段的图象。这种方法要求高，没有较强的分析能力和数学素养关系式列不出来，当然这种方法耗时较多。 二．分析淘汰法 例2. （2014年兰州第15题）如图，在平面直角坐标系中，四边形OBCD 是边长为4的正方形，平行于对角线BD 的直线l 从O 出发，沿x 轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，运动到直线l 与正方形没有交点为止．设直线l 扫过正方形OBCD 的面积为S ，直线l 运动的时间为t （秒），下列能反映S 与t 之间函数关系的图象是（ ） 解析：由l 运动 的过程，分为两个阶段，第一阶段从O 到BD,的过程中，X 轴，Y 轴方向上都在增加，而要表示面积这两个方向上都能用上，所以这必然为开口向上增大的二次函数模式，选择增长的曲线段。第二阶段从BD 到C 的过程，面积在DC,BC 两条边上增大，而此时面积的表示与这两边没有直接的联系，但可以断定是一个增长的二次函数模式，所以本题选D. 点评：分析运动过程，大体与学习过的正比列函数，一次函数，反比例函数，二次函数A ． B ． C ． D ．
二次函数的动点问题 1.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求正方形ABCD 的边长． （2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度． （3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ =o ∠的点P 有 个． （抛物线()2 0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ??? ，．
[解] （1）作BF y ⊥轴于F ． ()()01084A B Q ，，，， 86FB FA ∴==，． 10AB ∴=． （2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒． 又1010101AB =÷=Q ，． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位． （3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥． GA AP FA AB ∴ =，即610 GA t =． 35GA t ∴=． 3 105OG t ∴=-． 4OQ t =+Q ， ()113410225S OQ OG t t ? ?∴= ??=+- ?? ?．
动点问题与函数图象 1、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A 出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y 关于x的函数图象大致为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【解析】∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1． ∴当点M位于点A处时，x=0，y=1． ①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C． 故选B． 2、如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直 线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面 积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】分三段考虑，①当直线 l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC 段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案． 【解析】①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快； ②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A选项的图象符合． 故选A． A. … B.
3、如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而 成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图像大致是 【解析】注入水的体积增加的速度随着高度x的变化情况是：由慢到快→匀速增长→由快到慢，由慢到快的图象是越来越陡，由快到慢的图象是越来越平缓，所以选A。 4、如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C． 随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D． 故选A． 5、．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t 秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是
函数解题思路方法总结： ⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c的符号，或由二次函数中a,b,c的符号判断 图象的位置，要数形结合； ⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2+bx+c﹙a≠0﹚本身就是所含字母x的二次函数；下面以a＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 动点问题题型方法归纳总结 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标． 注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P 坐标----①C 为顶点时，以C 为圆心CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，②M 为顶点时，以M 为圆心MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P ，③P 为顶点时，线段MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P 。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 共同点：
动点问题的函数图像复习指要 【典例分析】 例1(2014?贵阳,第9题,3分)如图,三棱柱的体积为10,其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止,过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分,它们的体积分别为 ) x、y,则下列能表示y与x之间函数关系的大致图象就是( 考点: 动点问题的函数图象. 分析:根据截成的两个部分的体积之与等于三棱柱的体积列式表示出y与x的函数关系式,再根据一次函数的图象解答. 解答:解:∵过P点作与底面平行的平面将这个三棱柱截成两个部分的体积分别为x、y, ∴x+y=10, ∴y=﹣x+10(0≤x≤10), 纵观各选项,只有A选项图象符合. 故选A. 点评:本题考查了动点问题的函数图象,比较简单,理解分成两个部分的体积的与等于三棱柱的体积就是解题的关键. 例2 (2014年?河南省,第8题,3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1cm,BC=2cm,点P从点A出发,以1cm/s的速度沿折线AC→CB→BA运动,最终回到点A,设点P的运动时间为x(s), ) 线段AP的长度为y(cm),则能够反映y与x之间函数关系的图象大致就是(
A. B. C. D. 考点:动点问题的函数图象. 分析:这就是分段函数:①点P在AC边上时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分; ②点P在边BC上时,利用勾股定理求得y与x的函数关系式,根据关系式选择图象; ③点P在边AB上时,利用线段间的与差关系求得y与x的函数关系式,由关系式选择图象. 解答:解:①当点P在AC边上,即0≤x≤1时,y=x,它的图象就是一次函数图象的一部分.故C 错误; ②点P在边BC上,即1＜x≤3时,根据勾股定理得AP=,即y=, 则其函数图象就是y随x的增大而增大,且不就是线段.故B、D错误; ③点P在边AB上,即3＜x≤3+时,y=+3﹣x=﹣x+3+,其函数图象就是直线的一部分. 综上所述,A选项符合题意. 故选:A. 点评:本题考查了动点问题的函数图象.此题涉及到了函数y=的图象问题,在初中阶段没有学到该函数图象,所以只要采取排除法进行解题. 例3(2014?广西桂林,第12题,3分)如图1,在等腰梯 形ABCD中,∠B=60°,PQ同时从B出发,以每秒 1单位长度分别沿BADC与BCD方向运动至相遇 时停止,设运动时间为t(秒),△BPQ的面积为S(平 房单位),S与t的函数图象如图2所示,则下列结论 错误的就是( ) A.当t=4秒时,S=43 B.AD=4 C.当4≤t≤8时,S=23t D.当t=9秒时,BP平分梯形ABCD的面积 考点:动点问题的函数图象. 分析:根据等腰梯形的性质及动点函数图象的性质,综合判断可得答案. 解答:解:由答图2所示,动点运动过程分为三个阶段: (1)OE段,函数图象为抛物线,运动图形如答图1﹣1所示. 此时点P在线段AB上、点Q在线段BC上运动.
题型一 动点问题的函数图像 (10年3考) 【题型解读】近10年考查3次，考查类型及频次：①判断函数图象考查1次；②分析函数图象考查2次. 类型一 判断函数图像 (2014.8) 1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O 的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( ) 第1题图 2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( ) 第2题图 3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x (k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )
第3题图 4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()
3.如图，A、B是反比例函数y＝(k＞0)在第一象限图象上的两点，动点P从坐标原点O出发，沿图中 题型一动点问题的函数图像 类型一判断函数图像 (2014.8) ︵ 1.如图，AB是半圆O的直径，点P从点O出发，沿OA→AB→BO的路径运动一周，设点P到点O 的距离为s，运动时间为t，则下列图象能大致地反映s与t之间的关系的是() 第1题图 2.如图，在△Rt ABC中，AC＝BC＝4cm，点D是AB的中点，点F是BC的中点，动点E从点C出发，沿CD→DA以1cm/s的速度运动至点A，设点E运动的时间为x△s，EFC的面积为y cm2(当E，F，C 三点共线时，设y＝0)，则y与x之间的函数关系的大致图象是() 第2题图 k x 箭头所指方向匀速运动，即点P先在线段OA上运动，然后在双曲线上由A到B运动，最后在线段BO上运动，最终回到点O.过点P作PM⊥x轴，垂足为点△M，设POM的面积为S，点P运动时间为t，则S关于t的函数图象大致为()
第3题图 4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止△.设APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6.(2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为△x，CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()
题型一 动点问题的函数图像 类型一 判断函数图像 (2014.8) 1. 如图，AB 是半圆O 的直径，点P 从点O 出发，沿OA →AB ︵→BO 的路径运动一周，设点P 到点O 的距离为s ，运动时间为t ，则下列图象能大致地反映s 与t 之间的关系的是( ) 第1题图 2. 如图，在Rt △ABC 中，AC ＝BC ＝4 cm ，点D 是AB 的中点，点F 是BC 的中点，动点E 从点C 出发，沿CD →DA 以1 cm/s 的速度运动至点A ，设点E 运动的时间为x s ，△EFC 的面积为y cm 2(当E ，F ，C 三点共线时，设y ＝0)，则y 与x 之间的函数关系的大致图象是( ) 第2题图 3.如图，A 、B 是反比例函数y ＝k x (k ＞0)在第一象限图象上的两点，动点P 从坐标原点O 出发，沿图中 箭头所指方向匀速运动，即点P 先在线段OA 上运动，然后在双曲线上由A 到B 运动，最后在线段BO 上运动，最终回到点O .过点P 作PM ⊥x 轴，垂足为点M ，设△POM 的面积为S ，点P 运动时间为t ，则S 关于t 的函数图象大致为( )
第3题图 4.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线BA→AC运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线AC→CD运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止.设△APQ的面积为y，运动时间为x秒，则下列图象能大致反映y与x之间函数关系的是() 第4题图 5.如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点M为线段AC上一个动点，过点M作EF∥BD 交AD(或DC)于点E，交AB(或BC)于点F，已知AC＝5，设AM＝x，EF＝y，则y关于x的函数图象大致为() 第5题图 6. (2019衢州)如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB的中点，点P从点E出发，沿E→A→D→C 移动至终点C，设点P经过的路径长为x，△CPE的面积为y，则下列图象能大致反映y与x函数关系的是()
专题——动点问题的函数图象 【预热训练】（限时5分钟） 1、某人匀速跑步到公园，在公园里某处停留了一段时间，再沿原路匀速步行回家，此人离家的距离y与时间x的关系的大致图像是（） 2、小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为________km. 3、如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG 的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数表达式是__________________________. 【考题重现】 1、（2015年广东中考第10题）如图，已知正△ABC的边长为2，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，则y关于x的函数图象大致是（） 2、（2016年广东中考第10题）如图，在正方形ABCD中，点P从点A出发，沿着正方形的边顺时针方向运动一周，则△APC的面积y与点P运动的路程x之间的函数关系图象大致是（） 【专题专练】 1、如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点P从A点出发，沿A→B→C的方向在AB和BC上运动.记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数大致图象是（）
2、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E是BC上的一个动点，AE⊥EF，EF交DC于点F，设BE＝x，FC＝y，则当点E从点B运动到点C时，y关于x的函数图象是（） A. B. C. D. 3、如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P做PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反应y与x函数关系的图象是（） 4、如图，在等边△ABC中，点O是中心，点P从点A出发，沿着等边三角形的顺时针方向运动一周，则△APO的面积y与点P运动的路程x之间形成的函数关系的图象大致是（） 5、如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，动点E从B点出发，沿B→C→D→A运动至A点停止，设运动的路程为x，△ABE的面积为y，则y与x的函数关系用图象表示正确的是（） A. B. C. D. 【拓展提高】 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，CD⊥AB于点D.点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止.设运动时间为t秒. （1）求线段CD的长； （2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，是的S△CPQ:S△ABC＝9:100？若存在，求出t的值；若不存在，则说明理由； （3）是否存在某一时刻t，使得△CPQ为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的t的值；若不存在，则说明理由.
动点问题得函数图像复习指要 【典例分析】 例1（2014?贵阳，第9题，3分）如图，三棱柱得体积为10，其侧棱AB上有一个点P从点A开始运动到点B停止，过P点作与底面平行得平面将这个三棱柱截成两个部分，它们得体积分别为x、y，则下列能表示y与x之间函数关系得大致图象就是（） A．B．C．D． 考点：动点问题得函数图象． 分析：根据截成得两个部分得体积之与等于三棱柱得体积列式表示出y与x得函数关系式，再根据一次函数得图象解答． 解答：解：∵过P点作与底面平行得平面将这个三棱柱截成两个部分得体积分别为x、y，∴x+y=10， ∴y=﹣x+10（0≤x≤10）， 纵观各选项，只有A选项图象符合． 故选A． 点评：本题考查了动点问题得函数图象，比较简单，理解分成两个部分得体积得与等于三棱柱得体积就是解题得关键． 例2 （2014年?河南省，第8题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1cm，BC=2cm，点P从点A出发，以1cm/s得速度沿折线AC→CB→BA运动，最终回到点A，设点P得运动时间为x（s），线段AP得长度为y（cm），则能够反映y与x之间函数关系得图象大致就是（）
A．B． C．D． 考点：动点问题得函数图象． 分析：这就是分段函数：①点P在AC边上时，y=x，它得图象就是一次函数图象得一部分； ②点P在边BC上时，利用勾股定理求得y与x得函数关系式，根据关系式选择图象； ③点P在边AB上时，利用线段间得与差关系求得y与x得函数关系式，由关系式选择图象． 解答：解：①当点P在AC边上，即0≤x≤1时，y=x，它得图象就是一次函数图象得一部分．故C错误； ②点P在边BC上，即1＜x≤3时，根据勾股定理得AP=，即y=， 则其函数图象就是y随x得增大而增大，且不就是线段．故B、D错误； ③点P在边AB上，即3＜x≤3+时，y=+3﹣x=﹣x+3+，其函数图象就是直线得一部分． 综上所述，A选项符合题意． 故选：A． 点评：本题考查了动点问题得函数图象．此题涉及到了函数y=得图象问题，在初中阶段没有学到该函数图象，所以只要采取排除法进行解题． 例3（2014?广西桂林，第12题，3分）如图1， 在等腰梯形ABCD中，∠B=60°，PQ同时从B 出发，以每秒1单位长度分别沿BADC与BCD 方向运动至相遇时停止，设运动时间为t（秒）， △BPQ得面积为S（平房单位），S与t得函数图 象如图2所示，则下列结论错误得就是（） A．当t=4秒时，S=43 B．AD=4 C．当4≤t≤8时，S=23t D．当t=9秒时，BP平分梯形ABCD得面积 考点：动点问题得函数图象． 分析：根据等腰梯形得性质及动点函数图象得性质，综合判断可得答案． 解答：解：由答图2所示，动点运动过程分为三个阶段：
轻松解决动点问题与函数图象
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动点问题与函数图象（刘老师在线） 1、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点Ａ出发,沿Ａ→B→C的方向运动，到达点Ｃ时停止．设点M运动的路程为ｘ，MN２=y，则ｙ关于x的函数图象大致为（） A B C Ｄ 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】注意分析y随ｘ的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【解析】∵等边三角形AＢC的边长为3,N为AC的三等分点，∴ＡＮ=1. ∴当点M位于点A处时,x=0，y=１. ①当动点Ｍ从A点出发到AM=1的过程中，y随ｘ的增大而减小,故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6,y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等.故排除A、C. 故选B． 2、如右图所示,已知等腰梯形ABCＤ,AD∥BC，若动直 线l垂直于ＢC,且向右平移，设扫过的阴影部分的面 积为Ｓ,ＢP为x，则Ｓ关于x的函数图象大致是 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】分三段考虑,①当直线l经过BＡ段时,②直线l经过AＤ段时，③直线l经过DC段时,分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案． 【解析】①当直线ｌ经过BA段时,阴影部分的面积越来越大,并且增大的速度越来越快; ②直线ｌ经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l经过DC段时,阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小; 结合选项可得,A选项的图象符合． x B y P A D C l x s A. … x s B. x s C. x s D .
初二数学“动点问题”分析 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查。 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。 在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等． 一、建立动点问题的函数解析式 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢? 1.应用勾股定理建立函数解析式。 2.应用比例式建立函数解析式。 3.应用求图形面积的方法建立函数关系式。 二、动态几何型压轴题 动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 （一）以动态几何为主线的压轴题。 1.点动问题。 2.线动问题。 3.面动问题。 （二）解决动态几何问题的常见方法有: 1.特殊探路，一般推证。 2.动手实践，操作确认。 3.建立联系，计算说明。 （三）本大类习题的共性： 1．代数、几何的高度综合（数形结合）；着力于数学本质及核心内容的考查;四大数学思想：数学结合、分类讨论、方程、函数． 2．以形为载体，研究数量关系；通过设、表、列获得函数关系式；研究特殊情况下的函数值。 三、双动点问题 点动、线动、形动构成的问题称之为动态几何问题. 它主要以几何图形为载体，运动变化为主线，集多个知识点为一体，集多种解题思想于一题. 这类题综合性强，能力要求高，它能全面的考查学生的实践操作能力，空间想象能力以及分析问题和解决问题的能力. 其中以灵活多变而著称的双动点问题更成为中考试题的热点， 1.以双动点为载体，探求函数图象问题。 2.以双动点为载体，探求结论开放性问题。 3.以双动点为载体，探求存在性问题。 4.以双动点为载体，探求函数最值问题。 双动点问题的动态问题是近几年来中考数学的热点题型.这类试题信息量大,对同学们获取信息和处理信息的能力要求较高;解题时需要用运动和变化的眼光去观察和研究问题,挖掘运动、变化的全过程,并特别关注运动与变化中的不变量、不变关系或特殊关系,动中取静,静中求动。 四：函数中因动点产生的相似三角形问题五：以圆为载体的动点问题 动点问题是初中数学的一个难点，中考经常考察，有一类动点问题，题中未说到圆，却与圆有关，只要巧妙地构造圆，以圆为载体，利用圆的有关性质，问题便会迎刃而解；此类问题方法巧妙，耐人寻味。
中考函数图像专项练习练习题 1、如图，韩老师早晨出门散步时离家的距离（y ）与时间（x ）之间的函数图象．若用黑点表示韩老师家的位置，则韩老师 散步行走的路线可能是（） A．B．C．D． 2、如图，AB为⊙O的直径．一动点P从点O出发，沿⊙O的上半圆形O→A→B→O路径匀速运动；另一动点Q从点O出发，沿⊙O的下半圆形O→B→A→O路径以与点P相同的速度匀速运动．两动点同时出发，当第一次相遇即停止运动．在点P、Q运动的过程中，连接PQ．设线段PQ的长为y，运动时间为x，则y关于x的函数关系式的大致图象是（） A．B．C． D． 3、（2010?莆田质检）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的周长c与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（） A．B．C．D． 4、如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回．点P在运动过程中速度大小不变．则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大致为（） A．B．C．D． 5、（2012?庆阳）如图，点A、B、C、D、E、F为圆O的六等分点，动点P从圆心O出发，沿O-C-D-O的路线作匀速运动．设运动时间为x秒，∠APF的度数为y度，则下列图象中表示y与x之间函数关系最恰当的是（）A．B．C．D． 6、如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm的速度运动，同时动点N自A点出发沿折 线AD—DC—CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止，设△AMN的面积为y（cm2），运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间的函数关系的是（） A．B．C．D． 7、如图，在△ABC中，∠A=30°，AB=8，AC=6，点N从B出发，以每秒2个单位的速度沿线段BA向A运动，同时点M从A 出发，以同样的速度沿线段AC向C运动．当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．下面能反映△AMN的面积y与运动时间x（秒）之间的关系的图象是（） A．B．C．D． 8、（2013?雨花台区一模）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），现将△PCD沿直线PD折叠，使点C落到点C′处；作∠BPC′的角平分线交AB于点E．设BP=x，BE=y，则下列图象中，能表示y与x 的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D． 9、（2013?三明）如图，在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，动点Q从点D出发，沿DC方 向匀速运动到终点C，动点P从点C出发，沿CB方向匀速运动到终点B．已知P，Q两点同时出发， 并同时到达终点，连接OP，OQ．设运动时间为t，四边形OPCQ的面积为S，那么下列图象能大致 刻画S与t之间的关系的是（） N M D C B A
详细信息 如图①，在矩形ABCD中，点P从点B出发沿BC、CD、DA运动至点A停止，设P运动的路程为x，△ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图②，则梯形ORMN的面积为（） A．65 B．60 C．40 D．20 根据图②中y与x的变化关系得出梯形的高，以及梯形的上底和下底，进而求出面积即可． 【解析】 设P运动的路程为x，△ABP的面积为y， 当x=3时，y取到最大，当x=8时，y开始减小，则CD=5， 故AB=5，BC=3， 则S△ABC=×3×5=， 即R，M的纵坐标为：， ∵EO=3，则TN=3， ∴NO=11，RM=8-3=5， ∴梯形ORMN的面积为：（5+11）×=60． 故选：B．
（1）图甲中BC的长度是． （2）图乙中A所表示的数是． （3）图甲中的图形面积是． （4）图乙中B所表示的数是． 详细信息 已知动点P以每秒v厘米的速度沿图甲的边框（边框拐角处都相互垂直）按从B→C→D→E→F→A的路径匀速移动，相应的△PAB的面积S关于时间t的函数图象如图乙．若AB=6cm．根据图象信息回答下列问题： （1）线段BC=______cm，v=______． （2）线段CD=______cm，线段DE=______cm． （3）图乙中a的值是______，b的值是______． 详细信息 如图1，在矩形MNPQ中，动点R从点N出发，沿NP、PQ、QM运动至点M处停止，设点R运动的路程为x，△MNR的面积为y，如果y是关于x的函数图象如图2所示，则当x=9.5时，点R运动到（） A．线段PQ的中点处 B．线段QM的中点处 C．P处 D．M处
APCD 的面积等于 动点问题专题练习 1、如图，已知在平面直角坐标系中，直线 I : y= X-2分别交两坐标轴于A 、B 两点， M 是线段AB 上一个动点，设M 的横坐标为X ,三角形OMB 的面积为 S; （1） 写出S 与x 的函数关系式，并画出函数图象； （2） 若厶OMB 的面积为3,求点M 的坐标； （3） 当厶OMB 是以OB 为底的等腰三角形时，求它的面积。 2、在边长为2的正方形ABCD 的边BC 上，点P 从B 点运动到C 点，设PB=x 四 边形APCD 的面积为y , （1）写出y 与自变量x 的函数关系式，并画出它的图象。 精品文档 四边形
3、如图，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿BC CD DA运动至点A停止， 设点P运动的路程为x，A ABP的面积为y，如果y关于x的函数图象如图所示， （1）求厶ABC的面积。 （2）求Y关于x的函数解析式。 D C A B 4、如图①在梯形ABC中，AD// BC / A=60°,动点P从A点出发，以1cm/s的速度沿着LB-C^D的方向不停移动，直到点P到达点D后才停止?已知APAD 的面积S （单位：cm2与点P移动的时间（单位：s）的函数如图②所示，则点P 从开始移动到停止移动一共用了多少秒（结果保留根号）
5、如图，A B分别是x轴上位于原点左右两侧的点，点P（2,p）在第一象限，直线PA交y轴于点C（0,2）,直线PB交y轴于点D, S A A0P=6. （1）求厶COP勺面积 （2）求点A的坐标及P的值 （3）若SAAOP=SBOP求直线BD的函数解析式
函数解题思路方法总结： ⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； ⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合； ⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系： 二、 抛物线上动点 5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。 第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。 ①特殊四边形为背景； ②点动带线动得出动三角形； ③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式； ⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。 二次函数的动态问题（动点）
动点问题与函数图象（刘老师在线） 1、如图，等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，三角形边上的动点M从点A 出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，MN2=y，则y 关于x的函数图象大致为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决． 【解析】∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1． ∴当点M位于点A处时，x=0，y=1． ①当动点M从A点出发到AM=1的过程中，y随x的增大而减小，故排除D； ②当动点M到达C点时，x=6，y=3﹣1=2，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C． 故选B． 2、如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直 线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面 积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是 【知识点】动点问题的函数图象 【分析】分三段考虑， ①当直线l经过BA段时，②直线l经过AD段时，③直线l经过DC段时，分别观察出面积变化的情况，然后结合选项即可得出答案． 【解析】①当直线l经过BA段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越快； ②直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度保持不变； ③直线l经过DC段时，阴影部分的面积越来越大，并且增大的速度越来越小； 结合选项可得，A选项的图象符合． 故选A． A. … B.
3、如右图，已知某容器是由上下两个相同的圆锥和中间一个与圆锥同底等高的圆柱组合而 成，若往此容器中注水，设注入水的体积为y，高度为x，则y关于x的函数图像大致是 【解析】注入水的体积增加的速度随着高度x的变化情况是：由慢到快→匀速增长→由快到慢，由慢到快的图象是越来越陡，由快到慢的图象是越来越平缓，所以选A。 4、如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（） A B C D 【知识点】动点问题的函数图象 【解析】由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C． 随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D． 故选A． 5、．如图9，梯形ABCD中，AB∥DC，DE⊥AB，CF⊥AB，且AE = EF = FB = 5，DE = 12，动点P从点A出发，沿折线AD-DC-CB以每秒1个单位长的速度运动到点B停止.设运动时间为t 秒，y = S△EPF，则y与t的函数图象大致是
函数图像与动点问题 一．选择题（共10小题） 1．如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=6厘米，BC=12厘米，点P、Q 同时从顶点A出发，点P沿A→B→C→Ｄ方向以2厘米/秒的速度前进，点Q沿A→Ｄ方向以1厘米/秒的速度前进，当Q到达点D时，两个点随之停止运动．设运动时间为x秒，P、Q经过的路径与线段PQ围成的图形的面积为y（cm2），则y与x的函数图象大致是（） A．B．C．D． 2．如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y（元）与通话时间x（元）之间的关系，则下列结论中正确的有（） （1）若通话时间少于120分，则A方案比B方案便宜20元； （2）若通话时间超过200分，则B方案比A方案便宜12元； （3）若通讯费用为60元，则B方案比A方案的通话时间多； （4）若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，已知点F的坐标为（3，0），点A、B分别是某函数图象与x轴、y轴的交点，点P是此图象上的一动点，设点P的横坐标为x，PF的长为d，且d与x之间满足关系：d=5﹣x（0≤x≤5），则结论：①AF=2；②BF=5；③OA=5；
④OB=3，正确结论的序号是（） A．①②③B．①③C．①②④D．③④ 4．如图是小明在物理实验课上用量筒和水测量铁块A的体积实验，小明在匀速向上将铁块提起，直至铁块完全露出水面一定高度的过程中，则下图能反映液面高度h与铁块被提起的时间t之间的函数关系的大致图象是（） A．B．C．D． 5．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD在第一象限，直线y=﹣x 从原点出发沿x轴正方向平移，被平行四边形ABCD截得的线段EF的长度l与平移的距离m的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（） A．B．4 C．6 D．8 6．函数y=的图象为（） A．B．C．D．