4.3.2 空间两点间的距离公式
练习一
一、 选择题
1、已知点A （4，1，9），B （10，-1，6），C （2，4，3），则ABC 是（ ）
A 等边三角形
B 直角三角形
C 等腰直角三角形
D 等腰三角形
2、 点P （x ，y ，z ）的坐标满足方程（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2=9，则点P 的集合构成的图形为（ ）
A 一个点
B 一条直线
C 一个平面
D 一个球面
3、点M （4，-3，5）到x 轴的距离为（ ）
4、点P （2，3，6
）到原点的距离为（ ）
5、设A(3,3,1),B(1,0,5),C(0,1,0)，则AB 的中点M 到点C 的距离|CM|=( )
A 、
4 B 、532 C 、2 D 、2
6、已知ABC ?的三个顶点坐标分别是A （2，3，1），B （4，1，-2），C （6，3，7），则ABC ?的重心坐标是（ ） A 、7(6,,3)2 B 、（74
,,23） C 、14(8,,4)3 D 、7(2,,1)6
二、填空题
7、若点A （2，1，4）与点P （x ，y ，z ）的距离为5，则x ，y ，z 满足的关系式是---------------------。
8、已知点A 在x 轴上，点B （1，2，0），且A 的坐标是---------------------。
9、一个棱长为1的正方体的对称中心在原点，且每个平面平行于坐标平面，则位于正方体内部或位于正方体边界上的点的坐标应满足的条件是--------------。
10、在长方体ABCD —ABCD 中，已知A （1，2，1），B （1，5，1），D 1（-5，2，7），且每个平行于坐标平面，则长、宽、高及点A 、C 1间的距离分别为-------------------。
11、与A(-1,2,3)，B(0,0,5)两点距离相等的点满足的条件为_____________。
三、解答题
12、求以下两点的距离：
（1）A （1，-2，1），B （3，2，-1）
（2）A （0，0，0），B （-7，3，11）
（3）A （2，1，3），B （3，5，3）
13、已知空间直角坐标系O —xyz 中点（1，1，1）。平面过点A 且与直线OA 垂直，动点P （x ，y ，x ）是平面内的任一点，求点P 的坐标满足的条件。
14、如图所示，BC=4，原点O 是BC 的中点，点A 12，0），点D 在平面yoz 上，且BDC=900， DCB=300。
（1） 求AD 的长度；
（2）求DAC的大小。
15、已知A（1，-2，1），B（2，2，2），点P在z轴上，且PA=PB，求点P的坐标。
答案：
一、选择题
1、C；
2、D；
3、B；
4、B；
5、C；
6、B
二、填空题
7、（x-2）2+（y-1）2+（z-4）2=25
8、（0，0，0）或（2，0，0）
9、|x|1
2
，|y|
1
2
，|z|
1
2
10、3，6，6，9
11、2x-4y+4z-11=0
三、解答题
12、解：（1）d（A，B）
（2）d（A，B）
（3）d（A，B）
13、解：在R t OAP中，|OP|2=|OA|2+|AP|2
∴x2+y2+z2=3+（x-1）2+（y-1）2
+（z-1）2
∴2x+2y+2z-6=0
即x+y+z-3=0为点P的坐标满足的条件。
14、解：（1）由题意得B（0，-2，0），C（0，2，0）设D（0，y，z），则在R t BDC中， DCB=300
∴BD=2，z-y=3
∴y=-1，∴ D（0，-1
又∵A，1
2
，0）
∴AD=
（2）在ACD中，由（1）知
又AC=
∴
∴DAC=-arccos
4
15、解：设P（0，0，z），则
∵ PB=PB
z=3，∴P（0，0，3）
空间两点间的距离公式 教学目标： 1、通过特殊到一般的情况推导出空间两点间的距离公式 2、感受空间两点间距离公式与平面两点间距离公式的联系与区别 教学重点 两点间距离公式的应用 教学难点 利用公式解决空间几何问题 教学过程 一、复习 1、空间点的坐标的特点 2、平面两点间的距离公式P 1(x 1,y 1)，P 2(x 2,y 2) ________________ 线段P 1P 2中点坐标公式______________ 二、新课 1、设P 的坐标是(x,y,z),求|OP| |OP|=___________________________ 2、空间两点P 1(x 1,y 1,z 1)，P 2(x 2,y 2,z 2),求 |P 1P 2| |P 1P 2|=___________________________ 线段P 1P 2中点坐标公式_________________ 例：()()间的距离求空间两点1,0,6523 21--，P ，，P 练习：()()()513432251，，，C ，，，B ，，A ABC 的三个顶点已知? （1）求。ABC 中最短边的边长 ? （2）求边上中线的长度AC
例：试解释()()()365312222=-+++-z y x 的几何意义。 练习：1、已知()1,,222=++z y x z y x M 满足则M 点的轨迹为_________________ 2、求P ??? ? ??66,33,22到原点的距离。 3、()()。a AB a ，B ，，A 的值求设,4,,3,0210= 4、在长方体1111D C B A ABCD -，AD=2，AB=3，AA 1=2，E 为AC 中点，求D 1E 的长。 三、小结
中点坐标公式与两点间的距离公式练习题 1．在数轴上的两点A ，B 分别表示实数m,n ，则AB 的距离AB = 2．在平面直角坐系中， ①A(3,4),D(3,-2)，则=AD ； ②D （3，-2），B （-5，-2），则=BD 。 ③此时=AB 。 3．若()()2211y ,x B ,y ,x A ，则=AB 4：A(x,0)和 B(2,3)的距离为23,求x 的值。 5：已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0)、()0,1B ，??? ? ??23,21C ，试判断三角形的形状。 6：求证:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 7．已知点()y ,x A 到点()3,2B 的距离是5， ①试问满足条件的A 点有多少 ②这样的A 点有何特点他们的全体将构成什么图形 8．求下列两点的距离： ①()()3,2B ,3,1A - ②()()71 B 3,1A ---，， ③()()12B 31 A --，，，
9：已知四边形的四个顶点的坐标分别为：()()3,1B ,2,2A ---，()()4,0D ,3,3C ，试判断这个四边形的形状。 10.求中点坐标： ①已知()()5,4B ,3,2A ，求AB 的中点坐标。 ②已知()()2211y ,x B ,y ,x A ，求AB 的中点坐标。 11.试证3(P ，)8，6(Q ，)2，5(R ，)4三点在同一条直线。 12.己知6(M ，)4-为AB 的中点，且点A 坐标为4(，)6-，试求B 点坐标。 13.设1(-A ，)3-，3(B ，)0，5(C ，)4，则平行四边形ABCD 中，试求D 点坐标。 14.ABC ?中，三边AB ，BC ，CA 的中点坐标为1(-D ，)1，4(E ，)1-，2(-F ，)5，求此ABC ?三顶点的坐标。
版空间直角坐标系空间两点间的距离公式
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4.3空间直角坐标系 4.3.1空间直角坐标系 4.3.2空间两点间的距离公式 1．了解空间直角坐标系的建系方式．(难点) 2．能在空间直角坐标系中求出点的坐标和已知坐标作出点．(重点、易错点) 3．理解空间两点间距离公式的推导过程和方法．(难点) 4．掌握空间两点间的距离公式，能够用空间两点间距离公式解决简单的问题．(重点)
[基础·初探] 教材整理1空间直角坐标系 阅读教材P134～P135“例1”以上部分，完成下列问题．1．空间直角坐标系 定义以空间中两两垂直且相交于一点O的三条直线分别为x轴、y轴、z 轴，这时就说建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴．通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面、yOz平面、zOx平面
画法在平面上画空间直角坐标系Oxyz时，一般使∠xOy＝135°，∠yOz ＝90° 图示 说明本书建立的坐标系都是右手直角坐标系，即在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系 2.空间中一点的坐标 空间一点M的坐标可用有序实数组(x，y，z)来表示，有序实数组(x，y，z)叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标． 判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
第一课时 极坐标系与极坐标系互化作业 一、选择题 1．点P 的直角坐标为(－2，2)，那么它的极坐标可表示为 ( )． A.? ????2，π4 B.? ????2，3π4 C.? ????2，5π4 D.? ????2，7π4 2、点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. 53，-?? ???π B. 543，π?? ??? C. 523，-?? ???π D. ?? ? ??-355π， 3．已知点M 的极坐标是? ????－2，－π6，它关于极轴的对称点坐标是 ( )． A.? ????2，11π6 B.?? ? ??67,2π C.? ????2，－π6 D.? ????－2，－11π6 4、 已知点()0,0,43,2,2,2O B A ?? ? ????? ??--ππ则ABO ?为（ ） A 、正三角形 B 、直角三角形 C 、锐角等腰三角形 D 、直角等腰三角形 二、填空题 5．在极坐标系中，已知点A ? ????1，34π，B ? ?? ??2，π4，则A 、B 两点间的距离为_______． 6．已知点M 的直角坐标为(－3，－33)，若ρ>0，0≤θ<2π，则点M 的极坐标是________． 7．在极坐标系中，已知点P ? ????3，π3，则点P 在－2π≤θ<2π，ρ∈R 时的另外三种极坐标形式为__________ 8．极坐标系中，点A 的极坐标是? ????3，π6，则 (1)点A 关于极轴对称的点是________；(2)点A 关于极点对称的点的极坐标
是________；(3)点A 关于直线θ＝π2的对称点的极坐标是________．(规定ρ>0， θ∈[0，2π)) 三、解答题 9．(1)把点M 的极坐标? ????－5，π6化成直角坐标； (2)把点N 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标． 10．已知A 、B 两点的极坐标分别是? ????2，π3，? ?? ??4，5π6，求A 、B 两点间的距离和△AOB 的面积． 11．已知??? ??π32,5P ，O 为极点，求使'POP ?是正三角形的'P 点坐标。 参考答案： 1~4 B D B D 5、5_ 6、? ?? ??6，43π
§4.3.2空间两点间的距离公式 一、选择题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 1. 点(3,4,5)P 在yoz 平面上的投影点1P 的坐标是（ ） A ．(0，4，5) B ．(３，0，5) C ．(3，4，0) D ．(3，0，0) 2．已知点(1,2,11),(4,2,3),(6,1,4)A B C --，则ABC △ 的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．锐角三角形 3．已知(4,3,1)M -，记M 到x 轴的距离为a ，M 到y 轴的距离为b ，M 到z 轴的距离为c ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．a c b >> C ．c b a >> D ．c b a >> 4. 在平面直角坐标系中，已知两点(4,2),(1,3)M N -，沿x 轴把直角坐标平面折成直二面角后，,M N 两点间的距离为（ ） A ．23 B ．20 C ．12 D ．22 5. 在空间直角坐标系中，已知点(,,)P x y z 满足方程222(2)(1)(3)1x y z -+++-=，则点P 的 轨迹是（ ） A ．球面 B ．球 C ．圆 D ．圆面 二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分） 6. 在空间直角坐标系中，y a =表示___________. 7. 空间直角坐标系中，x 轴上到点(4,1,2)P 的距离为 的点有_________个. 8. 如图，在空间直角坐标系中，有一棱长为a 的正方体 1111ABCD A B C D -，1A C 的中点E 与AB 的中点F 的距 离为_______. 9. 已知平行四边形ABCD 的两个顶点的坐标分别为 (2,3,5)A --和(1,3,2)B -，对角线的交点是(4,1,7)E -，则,C D 的坐标分别为 . 10. 已知球面222 (1)(2)(3)9x y z -+++-=，点(3,2,5)A -，则球面上的点与点A 距离的最大值与最小值分别是 .
【课题】8．1 两点间距离公式及中点公式 【教材阐明】 本人所用教材为江苏教诲出版社，凤凰职教《数学·第二册》。平面解析是用代数办法研究平面几何问题学科，第八章《直线与圆方程》属于平面解析几何学基本知识。它侧重于数形结合办法和形象思维特性，综合了平面几何、代数、三角等知识。 【学情分析】 学生是一年级数控中专班，上课不能长时间集中注意力，计算能力不强，对抽象知识理解能力不强，但是对直观事物可以理解，对新事物也有较强接受能力。 【教学目的】 知识目的： 1. 理解平面直角坐标系中距离公式和中点公式推导过程． 2. 掌握两点间距离公式与中点坐标公式． 能力目的： 用“数形结合”办法，简介两个公式．培养学生解决问题能力与计算能力． 情感目的： 通过观测、对比体会数学对称美和谐美，培养学生思考能力，学会从已有知识出发积极摸索未知世界意识及对待新知识良好情感态度． 【教学重点】 两点间距离公式与线段中点坐标公式运用． 【教学难点】 两点间距离公式理解． 【教学备品】 三角板． 【教学办法】 讨论合伙法 【学时安排】 2学时．(90分钟)
【教学设计】 针对学生状况，本人在教学中引入尽量安排各种实例，多讲详细东西，少说抽象东西，以激发学生学习兴趣。在例题和练习安排上多画图，努力贯彻数形结合思想，让学生逐渐接受和养成画图习惯，用图形来解决问题。这也恰恰和学生自身专业比较符合，学生学过机械制图，数控需要编程，编程又需要对某些曲线方程有充分理解。同步在教学中经惯用分组讨论法，探究发现法，逐渐培养学生协作能力和独立思考能力。 两点间距离公式和中点坐标公式是解析几何基本公式，教材采用“知识回顾”方式给出这两个公式．讲授时可结合刚学过向量坐标和向量模定义解说，但解说重点应放在公式应用上． 【教学过程】 大海中有两个小岛，
空间直角坐标系空间两点间的距离公式班级：____________ 姓名：__________________
C ．(－4,0，－6) D ．(－4,7,0) 解析：点M 关于y 轴对称的点是M ′(－4,7，－6)，点M ′在xOz 平面上的射影的坐标为(－4,0，－ 6)． 答案：C 二、填空题 7．如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，已知A 1(a,0，c )，C (0，b,0)，则点B 1的坐标为________． 解析：由题中图可知，点B 1的横坐标和竖坐标与点A 1的横坐标和竖坐标相 同，点B 1的纵坐标与点C 的纵坐标相同，所以点B 1的坐标为(a ，b ，c )． 答案：(a ，b ，c ) 8．在空间直角坐标系中，点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是________． 解析：空间直角坐标系中关于原点对称的点的坐标互为相反数，故点(4，－1,2)关于原点的对称点的坐标是(－4,1，－2)． 答案：(－4,1，－2) 9．点P (－1,2,0)与点Q (2，－1,0)的距离为________． 解析：∵P (－1,2,0)，Q (2，－1,0)， ∴|PQ |＝(－1－2)2＋[2－(－1)]2＋02＝3 2. 答案：3 2 10．已知点P ????32，52，z 到线段AB 中点的距离为3，其中A (3,5，－7)，B (－2,4,3)，则z ＝________. 解析：由中点坐标公式，得线段AB 中点的坐标为??? ?12，92，－2.又点P 到线段AB 中点的距离为3，所以 ????32－122＋??? ?52－922＋[z －(－2)]2＝3， 解得z ＝0或z ＝－4. 答案：0或－4 三、解答题 11．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BAC ＝90°，|AB |＝|AC |＝|AA 1|＝4，M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，求|MN |. 解析：如右图，以A 为原点，射线AB ，AC ，AA 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则B (4,0,0)，C 1(0,4,4)，A 1(0,0,4)，B 1(4,0,4)，因为M 为BC 1的中点，N 为A 1B 1的中点，所以由空间
《两点间的距离》习题 一、选择题 1、点),(b a 到y 轴的距离是( ) A . a B . ||a C . b D . ||b 2、若x 轴上的点M 到原点及点(5，-3)的距离相等，则M 的坐标是( ) A . (-2，0) B . (1，0) C . )0,23 ( D . )0,5 17( 3、已知两点A )sin ,(cos αα，B )sin ,(cos ββ，则线段AB 的长为( ) A . 2sin 2β α- B . 2sin 2β α- C . 2cos 2β α- D . 2cos 2β α- 4、已知两点P )sin ,(cos αα，Q )2sin ,2(cos αα，则|PQ |的最大值是( ) A . 1 B . 2 C . 2 D . 4 5、设点P (a ，b )，Q (c ，d )是直线y =mx ＋k 上两点，则︱PQ ︱等于( ) A ．︱a －c ︱21m + B ．︱a ＋c ︱21m + C ．︱b －d ︱21m + D ．︱b ＋d ︱21m + 二、填空题 6、已知A (6，0)，B (-2，6)，则|AB |=__________________. 7、已知A (1，3)，B (-2，8)，C (7，5)三点，则?ABC 的形状是_____________. 8、若点Q 与A (0，1)，B (7，2)及x 轴等距离。则点Q 的坐标为__________________. 9、以E (3，-5)，F (2，2)，G (-5，1)为顶点的三角形的外心的坐标是____________. 10、点P )1,1(2m m -+到x 轴的距离小于3且到y 轴的距离不小于1，则m 的取值范围为__________________. 二、答题 11、已知两点A (2，2)，B (5，-2)，试在坐标轴上找点P 使得∠A P B = 90.
2.4. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 课程学习目标 ［课程目标］ 目标重点：空间直角坐标系和点在空间直角坐标系中的坐标及空间两点距离公式.目标难点：确定点在空间直角坐标系中的坐标，以及空间距离公式的推导. ［学法关键］ 1．在平面直角坐标系中，过一点作一条轴的平行线交另一条轴于一点，交点在这个轴上的坐标，就是已知点相应的一个坐标，类似地，在空间直角坐标系中，过一点作两条轴确定的平面的平行平面交另一条轴于一点，交点在这条轴上的坐标就是已知点的一个相应的坐标. 2．通过类比平面内两点间的距离公式来理解空间两点的距离公式 研习点1．空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点O作为原点，过O点作三条两两垂直的数轴，通常用x、y、z表示. 轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合. 这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O－xyz，O叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？ 1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2．在空间直角坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3．如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4．在平面上画空间直角坐标系O－xyz时，一般情况下使∠xOy=135°，∠yOz=90°. 研习点2．空间点的坐标 1．点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz，这样构造的平面同样垂直于x轴，这个平面与x轴的交点记为P x，它在x轴上的坐标为x，这个数x就叫做点P的x坐标；2．点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz，这样构造的平面同样垂直于y轴，这个平面与y轴的交点记为P y，它在y轴上的坐标为y，这个数y就叫做点P的y坐标；3．点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy，这样构造的平面同样垂直于z轴，这个平面与z轴的交点记为P z，它在z轴上的坐标为z，这个数z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P(x，y，z)，其中x，y，z也可称为点P的坐标分量.
19.10平面上两点间的距离公式 一、课本巩固练习 1：（1）求A(-1,3)、B （2，5）两点之间的距离； （2）已知A （0，10），B （a ，-5）两点之间的距离为17，求实数a 的值． 2：已知三角形ABC 的三个顶点13(1,0),(1,0),(,)2A B C -，试判断ABC ?的形状． 3：已知ABC ?的顶点坐标为(1,5),A -(2,1),(4,7)B C --，求BC 边上的中线AM 的长和AM 所在的直线方程． 4．已知ABC ?是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的直角坐标系， 证明：12 AM BC =．
二、基础过关 1.( ) ()A 两点(a,b)与(1,-2)间的距离 ()B 两点(a,b)与(-1,2)间的距离 ()C 两点(a,b)与(1,2)间的距离 ()D 两点(a,b)与(-1,-2)间的距离 2.以A(3,-1), B(1,3)为端点的线段的垂直平分线的方程为 ( ) ()A 2x+y-5=0 ()B 2x+y+6=0 ()C x-2y=0 ()D x-2y-8=0 3. 线段AB 的中点坐标是(-2,3),又点A 的坐标是(2,-1),则点B 的坐标是____________________． 4．已知点(2,3),A -，若点P 在直线70x y --=上，求取最小值． 5: 已知直线1:12 l y x =-，（1）求点(3,4)P 关于l 对称的点Q ；（2）求l 关于点(2,3)对称的直线方程． ． 6：一条光线经过点(2,3)P ,射在直线10x y ++=上，反射后，经过点(1,1)A ，求光线的入射线和反射线所在的直线方程． 7．点(-1,2)关于直线x+y-3=0的对称点的坐 标为( )
坐标公式大集合（两点间距离公式） 安徽省安庆市第四中学八年级（13）班王正宇著 在八年级上册的数学教材中（沪科版），我们学习到了平面直角坐标系这一章,由此,我们引申出一次函数、二次函数、反比例函数等知识，故完全掌握其知识是十分有必要的。今天，我们来说一说坐标公式。了解它是很有必要的哦！ 一、求平行于x与y轴的直线的距离 ①我们在平面直角坐标系中做一条线段AB平行于x轴（AB为任意直线），我们要求出线段AB的长度，可能有些同学会利用数格子的方式求出其长度，方法是对的，但是书写到作业或试卷中就麻烦了，怎么办？针对这种情况，我们先看AB两点的横坐标，会发现一个特点：随意将其相减，会有两个结果，且互为相反数。有因为其长度ab≥0的，故取正数结果。那么，每次计算都要这么麻烦的去转换吗？不用的，我们只要记住一个公式： | Ax－Bx | 即A点横坐标数减去B点横坐标数，当然，有“绝对值”符号老兄的帮助，A、B两点的横坐标数颠倒过来相减也没有关系。 ②同样的，有上面的过程支撑，我想，推出平行于Y轴的线段CD的长度肯定就好求了！！那么，同理，我们就可以得出一个关于求平行于Y轴线段长度的公式哦： | Cy－Dy | 即C点纵坐标减去D点纵坐标，与上面一样，颠倒过来不影响结论。 二、求斜线的长度 这个内容，本人在一些习题集与各个网站的习题精选里时常见到，不过要涉及到八年级下册的内容。但是，这个内容很重要，必须要讲讲，还要了解清楚。 求斜线的长度涉及到勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a²＋b²＝c² 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。即： A 2+ B 2 = C 2 这样一解释，想必大家都清楚了吧！这样，为我们下面推出求斜线长度的公式打下了坚实的基础。
19.10两点的距离公式（课堂配套练习） 1.在平面直角坐标系内，描绘下列各点： A （-3，2）B （-1，-4），C （0，3）D （2，-3），E （5，0）F （3，2）. 2.说出下列每两点间的距离： （1）A 1（-3，0），B 1（2，0），A 1B 1=_____； （2）A 2（-2，0），B 2（-5，0），A 2B 2=_____； （3）C 1（0，2），D 1（0，6），C 1D 2=_____； （4）C 2（0，-1），D 2（0，-7），C 2D 2=_____. X 轴上两点A （x 1，0），B （x 2，0）的距离AB=_________； Y 轴上两点C （0，y 1），D （0，y 2）的距离CD=_________； 3.说出下列每两点间的距离： （1）A （2，-3），B （-3，-3），AB=______； （2）C （-1，-2），D （-1，4），CD=______. 平行于x 轴的直线上的两点A （x 1，y ），B （x 2，y ）的距离AB=______； 平行于y 轴的直线上的两点C （x ，y 1），D （x ，y 2）的距离CD=______.
在直角坐标平面内，任意两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 的距离AB 如何让计算呢？ 例题1已知直角坐标平面内的两点分别为A （3，3），B （6，1）。 （1） 求A 、B 两点的距离； （2） 设点P 在x 轴上，且PA=PB ，求点P 的坐标。 例题2已知直角坐标平面内的△ABC 三个顶点A 、B 、C 的坐标分别为（-1，4）、（-4，-2）、（2，-5），试判断△ABC 的形状。 1.直角坐标平面内的两个点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），那么A 、B 两点的距离，下面表达错误的是（ ） （A ）AB=221221)()(y y x x -+-；（B ）AB=212212)()(y y x x -+-； （C ）AB=221212)()(y y x x -+-；（D ）AB=222211)()(y x y x -+-. 2.（1）在直角坐标平面内，直线x=2与直线x=-3间的距离为_____. （2）在直角坐标平面内，直线y=-5与直线y=-2间的距离为_____.
第13课 两点间距离公式 一、新知探究： 试一试，求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)5,3(),5,3(B A - （3）)7,0(),3,0(-B A （4）)7,5(),3,5(---B A （5）)0,0(),8,6(B A （6）)3,4(),0,0(--B A 总结： 若平面上的有两点111222(,),(,)P x y P x y ， 1、如果1P 、2P 两点在x 轴上或在平行于x 轴的直线上，则两点距离12PP 是 2、如果1P 、2P 两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上，则两点距离12PP 是 3、点1P 到原点的距离是 ，点2P 到原点的距离是 探索二：已知平面上的两点111222(,),(,)P x y P x y ，如何求111222(,),(,)P x y P x y 的距离12PP
例1 已知两点)2,1(-A ，)7,2(B 。 （1）求||AB ；（2）在x 轴上求一点P ，使得||||PB PA =，并求||PA 例2 已知△ABC 的三个顶点是13(1,0),(1,0),(2A B C -，试判断△ABC 的形状。 例3 已知△ABC 的顶点坐标为A （3，2），B （1，0），C （2+3，1－3）， 求AB 边上的中线CM 的长； 练习：
1.22(1)(2)a b ++-( ) ()A 两点(a,b )与(1,-2)间的距离 ()B 两点(a,b )与(-1,2)间的距离 ()C 两点(a,b )与(1,2)间的距离 ()D 两点(a,b )与(-1,-2)间的距离 2.已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1）A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） （3）A （5，10），B （-3，0） （4）A （-3，-1），B （5，7） 3.已知点A （-1，-1），B （b ,5）,且AB =10，求b . 4.已知A 在y 轴上，B （4，-6），且两点间的距离AB =5，求点A 的坐标 5.已知A （a ,-5），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB=17，求a 。 6.已知A （2，1）,B （-1，2）,C （5,y ）,且为等腰三角形，求y 并求底上中线的长度 巩固提高：
湘教版七年级下册数学4.6平行线间的距离同步练习 一、选择题(本大题共8小题) 1. 如图，直线AB∥CD，EF⊥AB于E，交CD于F，直线MN交AB于M，CD于N，EF于O，则直线AB和CD之间的公垂线段是( ) A．线段MN B．线段EF C．线段OE D．线段OF 2.直线AB∥直线CD,两平行线的公垂线可以画出( ) A.一条 B.两条 C.无数条 D.不确定 3. 如图是一个长方形，则图中表示AD与BC之间的公垂线段的有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4. 把直线l沿某一方向平移3cm,得平移后的像为b,则直线l与b之间的距离为( ) A.等于3 cm B.小于3 cm C.大于3 cm D.等于或小于3 cm 5. 如图，a∥b，下列线段的长度是a，b之间的距离的是( ) A．AB B．AE C．EF D．BC 6. 如图设直线a、b、c是三条平行直线。已知a与b的距离为5厘米，b与c的距离为2厘米，则a与c的距离是（）。
A. 7厘米 B. 大于7厘米 C.小于7cm D.无法确定 7.如图,已知l 1∥l 2,AB ∥CD,CE ⊥l 2于点E,FG ⊥l 2于点G,下列说法中不正确的是( ) A.∠ABD=∠CDE B.A,B 两点间的距离就是线段AB 的长度 C.CE=FG D.l 1与l 2之间的距离就是线段CD 的长度 8. 如图，MN //AB ，P ，Q 为直线MN 上的任意两点，三角形PAB 和三角形QAB 的面积的关系是（ ） A. PAB QAB S S >V V B. PAB QAB S S 《空间两点间的距离公式》 本节课为高中必修二第二章第三节第三课时的内容，它是在学生已经学过的平面直角坐标系的基础上的推广。距离是几何中的基本度量，几何问题和一些实际问题经常涉及距离，点又是确定线、面的几何要素之一，所以本节课对学习点线面的距离公式的推导和进一步学习。 【知识与能力目标】 理解空间内两点间的距离公式的推导过程，掌握两点间距离公式及其简单应用，会用坐标法证明一些简单的几何问题。 【过程与方法目标】 通过推导公式发现，由特殊到一般，由空间到平面，由未知到已知的基本解题思想，培养学生观察发现、分析归纳等基本数学思维能力。 【情感态度价值观目标】 培养学生思维的严密性和条理性，同时感受数学的形式美与简洁美，从而激发学生学习兴趣。 【教学重点】 空间两点间的距离公式和它的简单应用。 【教学难点】 空间两点间的距离公式的推导。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、导入部分 我们知道，数轴上两点的距离是两点的坐标之差的绝对值，即d＝|x1－x2|；平面直角坐标系中，两点的距离是（）（），同学们想一下，在空间直角坐标系中，如果已知两点的坐标，如何求它们之间的距离呢？ 二、研探新知，建构概念 1、电子白板投影出上面实例。 2、教师组织学生分组讨论：先让学生分析，师生一起归纳。 （1）长方体的对角线及其长的计算公式 ①连接长方体两个顶点A，C′的线段AC′称为长方体的对角线。(如图) ②如果长方体的长、宽、高分别为a、b、c，那么对角线长. 注意：（①）就推导过程而言，其应用了把空间长度向平面长度转化的思想，即通过构造辅助平面，将空间问题降维到平面中处理。 (②)就公式而言，该公式可概括为：长方体的对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和。 （2）两点间的距离公式 空间两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)间的距离 （）（）（） 注意：①空间中两点间的距离公式是数轴上和平面上两点间距离公式的进一步推广。 （①）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标平面内或与坐标平面平行的平面内时，此公式可转化为平面直角坐标系中的两点间的距离公式； （②）当空间中的任意两点P1，P2落在同一坐标轴上时，则该公式转化为数轴上两点间的距离公式。 ②空间任意一点P(x0，y0，z0)与原点的距离. 三、质疑答辩，发展思维 1、举例：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝3，|AA1|＝2，点M在A1C1上，|MC1|＝2|A1M|，N在D1C上且为D1C中点，求M、N两点间的距离。 两点间的距离公式 【教学目标】 1、 掌握平面内两点的距离公式和中点公式 2、 能熟练应用平面内两点间距离公式和中点公式进行运算 【教学重点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学难点】 平面内两点的距离公式和中点公式的应用 【教学过程】 引入： (如图)在数轴上有两点7,521=-=x x 则x x 2 1= -5 0 7 X 在直角三角形中，怎样求出斜边的长度 在直角坐标系中，已知点P （x,y ）,那么|OP|= x y 平面直已知两点1P P P 21说明 (1) 如果P 1P 2 x x 是x x 1 2- (2) 如果P 1和P 2两点在y 轴上或在平行于y 轴的直线上,两点距离 是y y 1 2- 试一试1：求平面上两点)7,1(),2,6(-B A 间的距离AB . 试一试2：求下列两点间的距离： （1）)0,2(),0,2(B A - （2）)7,0(),3,0(-B A （3）)4,2(),3,2(B A - (4))6,8(),9,5(B A - 试一试3：已知A （a,3），点B 在y 轴上，点B 的纵坐标为10，AB =12，求a 。 线段的中点公式 点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 22 1x x x + =，221y y y +=。 说明公式对于P 1和P 2两点在平面内任意位置都是成立的 试一试3：求下列两点的中点坐标 （1）)13,2(),3,2(B A -（2）)6,18(),9,15(B A - （二）典型例题： 已知三角形的顶点是)2,7(),0,0(B A ，),4,1(-C ，求此三角形两条中线CE 和AD 的长度 （解题过程在书240页） 【自我检测】 1、平面直角坐标系中，已知两点),(111y x P ，),(2 22y x P ，两点距离公式为 2、点),(111y x P ，),(2 22y x P 之间所连线段的中点P 坐标为 3、 已知下列两点，求AB 及两点的中点坐标 （1） A （8，6），B （2，1） （2）A （-2，4）B （-2，-2） 4、 已知A(-4,4),B(8,10)两点，求两点间的距离AB 5、 已知下列两点，求中点坐标： a) A （5，10），B （-3，0）（2）A （-3，-1），B （5，7） 6、 已知点A （-1，-1），B （b,5）,且AB =10，求b. 第13课两点间距离公式 、新知探究: 试一试，求下列两点间的距离： (1)A(—2,0), B(2,0) (2)A(_3,5),B(3,5) (3)A(0,3), B(0, 一7) (4)A(_5,3), B(_5,—7) (5)A(6,8), B(0,0) (6)A(0,0), B(_4,_3) 总结: 若平面上的有两点R区y i), P2(X2”2), 1、如果P、P2两点在X轴上或在平行于X轴的直线上，则两点距离PP2是 ___________________ 2、如果P、P2两点在y轴上或在平行于y轴的直线上，则两点距离PP2是 ___________________ 3、_________________________________________ 点R到原点的距离是_______________________ ，点P2到原点的距离是 _________________________________ 探索二：已知平面上的两点PX, yj F2(X2, y2)，如何求P(X!, yj 昭,处的距离RP? 例1 已知两点A(-1,2)，B(2,、、7)。 (1)求|AB| ；( 2)在X轴上求一点P,使得|PA|=|PB|，并求|PA| 例2 已知△ ABC的三个顶点是A(-1,0), B(1,O),C(2，［3)，试判断△ ABC的形状。 例3 已知△ ABC 的顶点坐标为A( 3，2)，B( 1，0)，C( 2+ ,3，1 - 3 ), 求AB边上的中线CM的长； 练习： 1?式子... (a 1)2(^2)2可以理解为() (A)两点(a,b)与(1,-2)间的距离(B)两点(a,b)与(-1,2)间的距离 (C)两点(a,b)与(1,2)间的距离(D)两点(a,b)与(-1,-2)间的距离 2. 已知下列两点，求AB及两点的中点坐标 (1) A (8, 6), B (2, 1) (2) A (-2 , 4) B (-2, -2) (3) A (5, 10), B (-3, 0) (4) A (-3 , -1 ), B (5, 7) 3. 已知点A (-1, -1), B (b,5)，且AB =10，求b. 5.1.2 垂线 (检测时间50分钟满分100分) 一、选择题:(每小题3分,共18分) 1.如图1所示,下列说法不正确的是( ) A.点B到AC的垂线段是线段AB; B.点C到AB的垂线段是线段AC C.线段AD是点D到BC的垂线段; D.线段BD是点B到AD的垂线段 D C B A D C B A O D C A (1) (2) (3) 2.如图1所示,能表示点到直线(线段)的距离的线段有( ) A.2条 B.3条 C.4条 D.5条 3.下列说法正确的有( ) ①在平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在平面内,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线; ④在平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图2所示,AD⊥BD,BC⊥CD,AB=acm,BC=bcm,则BD的范围是( ) A.大于acm B.小于bcm C.大于acm或小于bcm D.大于bcm且小于acm 5.到直线L的距离等于2cm的点有( ) A.0个 B.1个; C.无数个 D.无法确定 6.点P为直线m外一点,点A,B,C为直线m上三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P到直 线m的距离为( ) A.4cm B.2cm; C.小于2cm D.不大于2cm 二、填空题:(每小题3分,共12分) 1.如图3所示,直线AB与直线CD的位置关系是_______,记作_______,此时,?∠AO D=∠ _______=∠_______=∠_______=90°. 2.过一点有且只有________直线与已知直线垂直. 3.画一条线段或射线的垂线,就是画它们________的垂线. 4.直线外一点到这条直线的_________,叫做点到直线的距离. 三、训练平台:(共15分) 如图所示,直线AB,CD,EF交于点O,OG平分∠BOF,且CD⊥EF,∠AOE=70°,?求∠DOG的度数. §４．３．２ 空间两点间的距离公式 一、教材分析 平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示以原点为圆心,r 为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x ２+y ２+z ２=r ２表示以原点为球心,r 为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二、教学目标 １．知识与技能 使学生掌握空间两点间的距离公式 ２．过程与方法 ３．情态与价值观 通过空间两点间距离公式的推导，使学生经历从易到难，从特殊到一般的认识过程 三、教学重点与难点 教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点：一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 四、课时安排 １课时 先推导特殊情况下空间两点间的距离公式 推导一般情况下的空间两点间的距离公式 五、教学设计 （一）导入新课 思路１．距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢？这就是我们本堂课的主要内容. 思路２．我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x １—x ２|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=212212)()(y y x x -+-.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. （二）推进新课、新知探究、提出问题 １平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是什么？它是如何推导的？ ２设A （x,y,z ）是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？ ３给你一块砖,你如何量出它的对角线长,说明你的依据. ４同学们想,在空间直角坐标系中,你猜想空间两点之间的距离应怎样计算？ ５平面直角坐标系中的方程x ２+y ２=r ２表示什么图形？在空间中方程x ２+y ２+z ２=r ２表示什么图形？ ⑥试根据２３推导两点之间的距离公式. 活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.１学生回忆学过的数学知识,回想当时的推导过程；２解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成我们学习的立体几何知识来解；３首先考虑问题的实际意义,直接度量,显然是不可以的,我们可以转化为立体几何的方法,也就是求长方体的对角线长.４回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；５学生回忆刚刚学过的知识,大胆类比和猜想;⑥利用３的道理,结合空间直角坐标系和立体几何知识,进行推导. 空间直角坐标系与空间两点的距离公式 空间直角坐标系 为了确定空间点的位置，我们在空间中取一点0作为原点，过0点作三条两两垂 直的数轴，通常用x、y、z 表示. 轴的方向通常这样选择：从z 轴的正方向看，x 轴的半轴沿逆时针方向转90 能与y轴的半轴重合.这时，我们在空间建立了一个直角坐标系O —xyz, 0叫做坐标原点. 如何理解空间直角坐标系？1．三条坐标轴两两垂直是建立空间直角坐标系的基础； 2. 在空间直角 坐标系中三条轴两两垂直，轴的方向通常这样选择：从z轴的正方向看，x轴的半轴沿逆时针方向转90°能与y轴的半轴重合； 3. 如果让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的 正方向，那么称这个坐标系为右手直角坐标系，一般情况下，建立的坐标系都是右手直角坐标系； 4. 在平面上画空间直角坐标系O —xyZ时，一般情况下使/ xOy=135°, / yOz=90°. 空间点的坐标 1. 点P的x坐标：过点P作一个平面平行于平面yOz,这样构造的平面同样垂直于x轴, 这个平面与X轴的交点记为P x，它在X轴上的坐标为X，这个数X就叫做点P的x坐标； 2. 点P的y坐标：过点P作一个平面平行于平面xOz,这样构造的平面同样垂直于y轴, 这个平面与y轴的交点记为P y,它在y轴上的坐标为y,这个数y就叫做点P的y坐标； 3. 点P的z坐标：过点P作一个平面平行于平面xOy,这样构造的平面同样垂直于z轴, 这个平面与Z轴的交点记为P z,它在Z轴上的坐标为Z,这个数Z就叫做点P的z坐标； 这样，我们对空间的一个点，定义了一组三个有序数作为它的坐标，记做P （x， y, z）,其中x, y, z也可称为点P的坐标分量. 已知数组（x, y, z），如何作出该点？对于任意三个实数的有序数组（x, y, z）：（1）在坐标轴上分别作出点P x, P y, P z,使它们在x轴、y轴、z轴上的坐标分别是x、y、z； （2）再分别通过这些点作平面平行于平面yOz、xOz、xOy,这三个平面的交点就是 所求的点. 空间点的坐标 1. 在空间直角坐标系中，每两条轴分别确定的平面xOy、yOz、xOz叫做坐标平面; 2. 坐标平面上点的坐标的特征：高中数学北师大版必修二2.3.3【教学设计】《空间两点间的距离公式》
平面内两点间的距离公式
两点距离公式专项练习
人教版5.1.2 垂线同步练习(含答案)
湖北省恩施州巴东一中高中数学人教A版必修二教案：§ 空间两点间的距离公式
空间直角坐标系与空间两点的距离公式
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