一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，已知△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E，过点E作EG⊥AC于G，交BC的延长线于F．
（1）求证：AE=BE；
（2）求证：FE是⊙O的切线；
（3）若FE=4，FC=2，求⊙O的半径及CG的长．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.
【解析】（1）证明：连接CE，如图1所示：
∵BC是直径，∴∠BEC=90°，∴CE⊥AB；
又∵AC=BC，∴AE=BE．
（2）证明：连接OE，如图2所示：
∵BE=AE，OB=OC，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，AC=2OE=6．
又∵EG⊥AC，∴FE⊥OE，∴FE是⊙O的切线．
（3）解：∵EF是⊙O的切线，∴FE2=FC?FB．
设FC=x，则有2FB=16，∴FB=8，∴BC=FB﹣FC=8﹣2=6，∴OB=OC=3，即⊙O的半径为3；∴OE=3．
∵OE∥AC，∴△FCG∽△FOE，∴，即，解得：CG=．
点睛：本题利用了等腰三角形三线合一定理，三角形中位线的判定，切割线定理，以及勾股定理，还有平行线分线段成比例定理，切线的判定等知识．
2．已知：如图，在矩形ABCD中，点O在对角线BD上，以OD的长为半径的⊙O与AD，BD分别交于点E、点F，且∠ABE=∠DBC．
（1）判断直线BE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若sin∠ABE=
3
3
，CD=2，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线BE 与⊙O 相切，证明见解析；（2）⊙O 的半径为32
． 【解析】
分析：（1）连接OE ，根据矩形的性质，可证∠BEO =90°，即可得出直线BE 与⊙O 相切； （2）连接EF ，先根据已知条件得出BD 的值，再在△BEO 中，利用勾股定理推知BE 的长，设出⊙O 的半径为r ，利用切线的性质，用勾股定理列出等式解之即可得出r 的值． 详解：（1）直线BE 与⊙O 相切．理由如下：
连接OE ，在矩形ABCD 中，AD ∥BC ，∴∠ADB =∠DBC ． ∵OD =OE ，∴∠OED =∠ODE ． 又∵∠ABE =∠DBC ，∴∠ABE =∠OED ， ∵矩形ABDC ，∠A =90°，∴∠ABE +∠AEB =90°，
∴∠OED +∠AEB =90°，∴∠BEO =90°，∴直线BE 与⊙O 相切；
（2）连接EF ，方法1：
∵四边形ABCD 是矩形，CD =2，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =33
sin ABE ∠= ∴23DC
BD sin CBD
∠=
=
在Rt △AEB 中，∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴2222
DC AE AE
AE BC AB ，，==∴=， 由勾股定理求得6BE =
在Rt △BEO 中，∠BEO =90°，EO 2+EB 2=OB 2．
设⊙O 的半径为r ，则222
623r r +=（）（）
，∴r 3
， 方法2：∵DF 是⊙O 的直径，∴∠DEF =90°． ∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，AB =CD =2． ∵∠ABE =∠DBC ，∴sin ∠CBD =3
3
sin ABE ∠=． 设3DC x BD x ==
，，则2BC x =．
∵CD =2，∴22BC =． ∵tan ∠CBD =tan ∠ABE ，∴
2222
DC AE AE
AE BC AB ，，==∴=，
∴E为AD中点．
∵DF为直径，∠FED=90°，∴EF∥AB，∴
1
3
2
DF BD
==，∴⊙O的半径为3．
点睛：本题综合考查了切线的性质、勾股定理以及三角函数的应用等知识点，具有较强的综合性，有一定的难度．
3．等腰Rt△ABC和⊙O如图放置，已知AB=BC=1，∠ABC=90°，⊙O的半径为1，圆心O 与直线AB的距离为5．
（1）若△ABC以每秒2个单位的速度向右移动，⊙O不动，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（2）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，则经过多少时间△ABC的边与圆第一次相切？
（3）若两个图形同时向右移动，△ABC的速度为每秒2个单位，⊙O的速度为每秒1个单位，同时△ABC的边长AB、BC都以每秒0.5个单位沿BA、BC方向增大．△ABC的边与圆第一次相切时，点B运动了多少距离？
【答案】（1）52
2
；（2）52；（3）
2042
3
-
【解析】
分析：（1）分析易得，第一次相切时，与斜边相切，假设此时，△ABC移至△A′B′C′处，A′C′与⊙O切于点E，连OE并延长，交B′C′于F．由切线长定理易得CC′的长，进而由三角形运动的速度可得答案；
（2）设运动的时间为t秒，根据题意得：CC′=2t，DD′=t，则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t-2t=4-t，由第（1）的结论列式得出结果；
（3）求出相切的时间，进而得出B点移动的距离．
详解：（1）假设第一次相切时，△ABC移至△A′B′C′处，
如图1，A′C′与⊙O切于点E，连接OE并延长，交B′C′于F，
设⊙O 与直线l 切于点D ，连接OD ，则OE ⊥A′C′，OD ⊥直线l ， 由切线长定理可知C′E=C′D ， 设C′D=x ，则C′E=x ， ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠A=∠ACB=45°， ∴∠A′C′B′=∠ACB=45°， ∴△EFC′是等腰直角三角形， ∴C′F=2x ，∠OFD=45°， ∴△OFD 也是等腰直角三角形， ∴OD=DF ， ∴
2x+x=1，则x=2-1，
∴CC′=BD -BC-C′D=5-1-（2-1）=5-2， ∴点C 运动的时间为52
-； 则经过
52
-秒，△ABC 的边与圆第一次相切； （2）如图2，设经过t 秒△ABC 的边与圆第一次相切，△ABC 移至△A′B′C′处，⊙O 与BC 所在直线的切点D 移至D′处，
A′C′与⊙O 切于点E ，连OE 并延长，交B′C′于F ， ∵CC′=2t ，DD′=t ，
∴C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2t=4-t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-t ， 由（1）得：2-1， 解得：2，
答：经过2秒△ABC 的边与圆第一次相切；
（3）由（2）得CC′=（2+0.5）t=2.5t ，DD′=t ， 则C′D′=CD+DD′-CC′=4+t -2.5t=4-1.5t ， 由切线长定理得C′E=C′D′=4-1.5t ， 由（1）得：4-1.5t=2-1， 解得：t=
1022
3
-， ∴点B 运动的距离为2×
10223-=2042
3
-．
点睛：本题要求学生熟练掌握圆与直线的位置关系，并结合动点问题进行综合分析，比较复杂，难度较大，考查了学生数形结合的分析能力．
4．函数是描述客观世界运动变化的重要模型，理解函数的本质是重要的任务。 （1）如图1，在平面直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标分别为A （6，0）、B （0，2），点C （x ，y ）在线段AB 上，计算（x+y ）的最大值。小明的想法是：这里有两个变量x 、y ，若最大值存在，设最大值为m ，则有函数关系式y=-x+m ，由一次函数的图像可知，当该直线与y 轴交点最高时，就是m 的最大值，（x+y ）的最大值为 ； （2）请你用（1）中小明的想法解决下面问题：
如图2，以（1）中的AB 为斜边在右上方作Rt △ABM.设点M 坐标为（x ，y ），求（x+y ）的最大值是多少？
【答案】（1）6（2）5 【解析】
分析：（1）根据一次函数的性质即可得到结论；
（2）根据以AB 为斜边在右上方作Rt △ABC ，可知点C 在以AB 为直径的⊙D 上运动，根据点C 坐标为（x ，y ），可构造新的函数x +y =m ，则函数与y 轴交点最高处即为x +y 的最大值，此时，直线y =﹣x +m 与⊙D 相切，再根据圆心点D 的坐标，可得C 的坐标为
（3+5，1+5），代入直线y=﹣x+m，可得m=4+25，即可得出x+y的最大值为
4+25．
详解：（1）6；
（2）由题可得，点C在以AB为直径的⊙D上运动，点C坐标为（x，y），可构造新的函数x+y=m，则函数与y轴交点最高处即为x+y的最大值，此时，直线y=﹣x+m与⊙D相切，交x轴与E，如图所示，连接OD，CD．
∵A（6，0）、B（0，2），∴D（3，1），∴OD=22
=10，∴CD=10．
13
根据CD⊥EF可得，C、D之间水平方向的距离为5，铅垂方向的距离为5，∴C
（3+5，1+5），代入直线y=﹣x+m，可得：1+5=﹣（3+5）+m，解得：
m=4+25，∴x+y的最大值为4+25．故答案为：4+25．
点睛：本题主要考查了切线的性质，待定系数法求一次函数解析式以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是构造一次函数图象，根据圆的切线垂直于经过切点的半径进行求解．
5．如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P 出发沿线段PA以2c m/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1c m/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t （s）（0＜t＜20）．
（1）当点H落在AC边上时，求t的值；
（2）设正方形EFGH与△ABC重叠部分的面积为S．①试求S关于t的函数表达式；②以
点C为圆心，
1
2
t为半径作⊙C，当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值．
【答案】（1）t=2s或10s；（2）①S=
2
2 2 9?
(02)
7
5050(210)
2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
?<≤
?
?
-+-<≤
?
?
-+<<
??
；②100cm2．
【解析】
试题分析：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2；如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10；
（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2．b、如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN．c、如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN．d、如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH．分别计算即可；
②分两种情形分别列出方程即可解决问题．
试题解析：解：（1）如图1中，当0＜t≤5时，由题意得：AE=EH=EF，即10﹣2t=3t，t=2
如图2中，当5＜t＜20时，AE=HE，2t﹣10=10﹣（2t﹣10）+t，t=10．
综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上．
（2）①如图3中，当0＜t≤2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2
如图4中，当2＜t≤5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2﹣1
2
（5t﹣10）2=﹣
7
2
t2+50t﹣50．
如图5中，当5＜t＜10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20﹣t）2﹣1
2
（30﹣3t）2=﹣
7
2
t2+50t﹣50．
如图6中，当10＜t＜20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20﹣t）2=t2﹣40t+400．
综上所述：S=
2
2
2
9?(02)
7
5050(2
10)
2
40400?(1020)
t t
t t t
t t t
?<≤
?
?
-+-<≤
?
?
-+<<
??
．
②如图7中，当0＜t≤5时，
1
2
t+3t=15，解得：t=
30
7
，此时S=100cm2，当5＜t＜20时，1
2
t+20﹣t=15，解得：t=10，此时S=100．
综上所述：当⊙C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2
点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题．
6．已知：如图1，∠ACG=90°，AC=2，点B为CG边上的一个动点，连接AB，将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到△ADB，过点D作DF⊥CG于点F．
（1）当
23
时，判断直线FD与以AB为直径的⊙O的位置关系，并加以证明；（2）如图2，点B在CG上向点C运动，直线FD与以AB为直径的⊙O交于D、H两点，连接AH，当∠CAB=∠BAD=∠DAH时，求BC的长．
【答案】（1）直线FD与以AB为直径的⊙O相切，理由见解析；（2）222
.【解析】
试题分析：（1）根据已知及切线的判定证明得，直线FD与以AB为直径的⊙O相切；（2）根据圆内接四边形的性质及直角三角形的性质进行分析，从而求得BC的长．
试题解析：
（1）判断：直线FD与以AB为直径的⊙O相切．
证明：如图，
作以AB为直径的⊙O；
∵△ADB是将△ACB沿AB边所在的直线翻折得到的，
∴△ADB≌△ACB，
∴∠ADB=∠ACB=90°．
∵O为AB的中点，连接DO，
∴OD=OB=AB，
∴点D在⊙O上．
在Rt△ACB中，BC=，AC=2；
∴tan∠CAB==，
∴∠CAB=∠BAD=30°，
∴∠ABC=∠ABD=60°，
∴△BOD是等边三角形．
∴∠BOD=60°．
∴∠ABC=∠BOD，
∴FC∥DO．
∵DF⊥CG，
∴∠ODF=∠BFD=90°，
∴OD⊥FD，
∴FD为⊙O的切线．
（2）延长AD交CG于点E，
同（1）中的方法，可证点C在⊙O上；
∴四边形ADBC是圆内接四边形．
∴∠FBD=∠1+∠2．
同理∠FDB=∠2+∠3．
∵∠1=∠2=∠3，
∴∠FBD=∠FDB，
又∠DFB=90°．
∴EC=AC=2．
设BC=x，则BD=BC=x，
∵∠EDB=90°，
∴EB=x ．
∵EB+BC=EC，
∴x+x=2，
解得x=2﹣2，
∴BC=2﹣2．
7．如图，△ABC是⊙O的内接三角形，点D，E在⊙O上，连接AE，DE，CD，BE，CE，∠EAC+∠BAE=180°，AB CD
．
（1）判断BE与CE之间的数量关系，并说明理由；
（2）求证：△ABE≌△DCE；
（3）若∠EAC=60°，BC=8，求⊙O的半径．
【答案】（1）BE=CE，理由见解析；（2）证明见解析；（3）83
3
．
【解析】
分析：（1）由A、B、C、E四点共圆的性质得：∠BCE+∠BAE=180°，则∠BCE=∠EAC，所以BE CE，则弦相等；（2）根据SSS证明△ABE≌△DCE；
（3）作BC和BE两弦的弦心距，证明Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），则∠OBH=30°，设OH=x，则OB=2x，根据勾股定理列方程求出x的值，可得半径的长．
本题解析：
（1）解：BE=CE，
理由：∵∠EAC+∠BAE=180°，∠BCE+∠BAE=180°，
∴∠BCE=∠EAC，
∴BE CE，
∴BE=CE；
（2）证明：∵AB CD
=，∴AB=CD，
∵BE CE，AE ED
=，∴AE=ED，
由（1）得：BE=CE，
在△ABE和△DCE中，
∵
AE DE AB CD BE CE
=
?
?
=
?
?=
?
，
∴△ABE≌△DCE（SSS）；
（3）解：如图，∵过O作OG⊥BE于G，OH⊥BC于H，
∴BH=1
2BC=
1
2
×8=4，BG=
1
2
BE，
∵BE=CE，∠EBC=∠EAC=60°，
∴△BEC是等边三角形，∴BE=BC，∴BH=BG，∵OB=OB，∴Rt△GBO≌Rt△HBO（HL），
∴∠OBH=∠GBO=1
2
∠EBC=30°，
设OH=x，则OB=2x，
由勾股定理得：（2x）2=x2+42，
43
∴OB=2x=83
3，∴⊙O的半径为
83
3
．
点睛：本题是圆的综合题，考查了四点共圆的性质、三角形全等的性质和判定、勾股定理、直角三角形30°的性质，难度适中，第一问还可以利用三角形全等得出对应边相等的结论；第三问作辅助线，利用勾股定理列方程是关键.
8．如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的⊙O与AD、AC分别交于点E、F，且∠ACB＝∠DCE．
（1）判断直线CE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若AB＝2，BC＝2，求⊙O的半径．
【答案】（1）直线CE与⊙O相切，理由见解析；（2）⊙O
6
【解析】
【分析】
（1）首先连接OE，由OE=OA与四边形ABCD是矩形，易求得∠DEC+∠OEA=90°，即
OE⊥EC，即可证得直线CE与⊙O的位置关系是相切；
（2）首先易证得△CDE∽△CBA，然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得DE的长，又由勾股定理即可求得AC的长，然后设OA为x，即可得方程
222
3)6)
x x
-=，解此方程即可求得⊙O的半径．
【详解】
解：（1）直线CE与⊙O相切．…
理由：连接OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠BAD＝90°，BC∥AD，CD＝AB，
∴∠DCE+∠DEC＝90°，∠ACB＝∠DAC，
又∠DCE＝∠ACB，
∴∠DEC +∠DAC ＝90°， ∵OE ＝OA ， ∴∠OEA ＝∠DAC ， ∴∠DEC +∠OEA ＝90°， ∴∠OEC ＝90°， ∴OE ⊥EC ， ∵OE 为圆O 半径， ∴直线CE 与⊙O 相切；…
（2）∵∠B ＝∠D ，∠DCE ＝∠ACB ， ∴△CDE ∽△CBA ， ∴
BC AB
DC DE
=， 又CD ＝AB ＝2，BC ＝2， ∴DE ＝1
根据勾股定理得EC ＝3， 又226AC AB BC =
+=，…
设OA 为x ，则222(3)(6)x x +=-， 解得6x =
， ∴⊙O 的半径为
64
．
【点睛】
此题考查了切线的判定与性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．
9．如图，在中，，以
为直径作
，交边于点，交
边于点，过
点作
的切线
，交
的延长线于点，交
于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的半径．
【答案】（1）证明见解析；
（2）4．
【解析】
试题分析：（1）连接AD，根据等腰三角形三线合一即可证明．
（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD，由△FOD∽△FAE，得列出方程即可解决问题．
试题解析：（1）连接AD，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，
∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=DC．
（2）设⊙O的半径为R，则FO=4+R，FA=4+2R，OD=R，连接OD、
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵OB=OD，
∴∠ABC=∠ODB，
∴∠ODB=∠C，
∴OD∥AC，
∴△FOD∽△FAE，
∴，
∴，
整理得R2﹣R﹣12=0，
∴R=4或（﹣3舍弃）．
∴⊙O的半径为4．
考点：切线的性质、等腰三角形的性质等知识．
10．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠DAB＝120°，BC＝CD，AD＝4，AC＝7，求AB的长度．
【答案】AB＝3．
【解析】
【分析】
作DE⊥AC，BF⊥AC，根据弦、弧、圆周角、圆心角的关系，求得BC CD
=，进而得到∠DAC＝∠CAB＝60°，在Rt△ADE中，根据60°锐角三角函数值，可求得DE＝23，AE＝2，再由Rt△DEC中，根据勾股定理求出DC的长，在△BFC和△ABF中，利用60°角的锐角三角函数值及勾股定理求出AF的长，然后根据求出的两个结果，由AB＝2AF，分类讨论求出AB的长即可.
【详解】
作DE⊥AC，BF⊥AC，
∵BC＝CD，
∴BC CD
=，
∴∠CAB＝∠DAC，
∵∠DAB＝120°，
∴∠DAC＝∠CAB＝60°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEA ＝∠DEC ＝90°， ∴sin60°＝
4DE ，cos60°＝4
AE
， ∴DE ＝
AE ＝2， ∵AC ＝7， ∴CE ＝5，
∴DC
=
∴BC ，
∵BF ⊥AC ，
∴∠BFA ＝∠BFC ＝90°， ∴tan60°＝
BF
AF
，BF 2+CF 2＝BC 2， ∴BF
，
∴
()2
2
2
7AF +-=
，
∴AF ＝2或AF ＝32
， ∵cos60°＝
AF
AB
， ∴AB ＝2AF ，
当AF ＝2时，AB ＝2AF ＝4， ∴AB ＝AD ， ∵DC ＝BC ，AC ＝AC ， ∴△ADC ≌△ABC （SSS ）， ∴∠ADC ＝∠ABC ， ∵ABCD 是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠ABC ＝180°， ∴∠ADC ＝∠ABC ＝90°，
但AC 2＝49，2
222453AD DC +=+=，
AC 2≠AD 2+DC 2，
∴AB ＝4（不合题意，舍去），
当AF ＝
3
2
时，AB ＝2AF ＝3， ∴AB ＝3． 【点睛】
此题主要考查了圆的相关性质和直角三角形的性质，解题关键是构造直角三角形模型，利用直角三角形的性质解题.