最优捕鱼策略
摘要
为了保护人类赖以生存的自然环境，可再生资源（如渔业、林业资源等）的开发必须适度。而在社会经济生活中,我们要使商业活动在一段时期内达到最大收益,因此我们要合理的开发资源，这时,我们不仅要考虑商业活动的当前经济效益,还要考虑生态效益及由此产生的对整体经济效益的影响。本文就是对渔业这类可再生资源的开发问题进行研究，利用相关的数学软件进行求解。
对于问题一，我们考虑渔场生产过程中的各年龄组鱼群数量的制约因素，将其分为两大类，第1,2龄鱼群为一类，该鱼群数量变化在一年内只受自然死亡率制约，写出鱼群数量满足的微分方程；第3,4龄鱼群为一类，其数量变化在前8个月受捕捞强度和自然死亡率影响，后4个月只受自然死亡率的制约，分阶段写出写出鱼群数量满足的微分方程；根据微分方程，求出在某时刻各鱼群的数量表达式（类似于人口增长模型）。因为捕捞是连续的，所以任意一个时刻的捕捞量为捕捞强度乘以鱼群的数量，又捕捞只在前8个月进行，则年捕捞量为前8个月各时刻鱼群数量的积分。
最后建立年总捕捞量的函数与生产过程中满足的关系式，转化为非线性规划模型，利用lingo和matlab 软件分别求解。
对于问题二，题中已给出各年龄组鱼群的初始值，我们利用问题一中所得到的迭代方程，可迭代地求出第i年初各年龄组鱼群的数量；再根据问题一中的捕捞量表达式，可写出5年的捕捞总量表达式，以5年捕捞总量最大为前提，利用matlab软件求解出此时的捕捞强度，然后再验证在此捕捞强度下会不会使5年后鱼群的生产能力有太大的破坏。
最后，我们得出以下结论：可持续捕获条件下，捕捞强度为17.36292时，达到最大捕捞总质量11
?g； 5年后鱼群的生产能力不会有太大的破3.88707610
坏条件下，捕捞强度为()
k∈，达到最大最大捕捞
17.5,17.8
总质量12
?
1.605610
关键词：渔业最大收益捕捞策略生产能力生长率 lingo matlab
一．问题重述
生态学表明，对可再生资源的开发策略应在事先可持续收获的前提下追求最大经济效益，考虑具有4个年龄组：1龄鱼，……，4龄鱼的某种鱼。该鱼类在每年后4个月季节性集中产卵繁殖。而按规定，捕捞作业只允许在前8个月进行，每年投入的捕捞能力固定不变，单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例称为捕捞强度系数。使用只能捕捞3，4龄鱼的13mm 网眼的拉网，其两个捕捞强度系数比为0.42：1。渔业上称这种方式为固定努力量捕捞。
该鱼群本身有如下数据：
各年龄组鱼的自然死亡率为0.8（1/年），其平均质量分别为5.07，11.55，17.86，22.99（单位：g ）；1，2龄鱼不产卵，平均每条4龄鱼产卵量为510109.1?（个），3龄鱼为其一半；卵孵化的成活率为)1022.1(1022.11111n +??（n 为产卵总量）；
有如下问题需要解决：
1.1． 问题一就是在实现可持续捕获(即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变)的前提下，用固定努力量的捕捞方式，确定捕捞策略以得到最大捕捞总质量。
1.2．问题二就是给出了承包时各年龄组鱼群的数量，要求5年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏，在用固定努力量的捕捞方式的前提下，确定捕捞策略，求出最大捕捞总质量。
综上所述，原问题实质上是给出了各年龄组鱼群之间数量的变化规律，并给出了它们的自然死亡率及捕捞和产卵的时间分布，并固定3、4龄鱼捕捞能力的比值，要求选择一定的捕捞能力系数，使得各年龄组鱼的数量在各年开始的第一天条数不变（第一问），5年后鱼群的生产能力不会有太大的破坏（第二问），并在此条件下，求到最大捕获量。
二．符号说明
孵化存活率
龄鱼年产卵量龄鱼年产卵量
龄鱼捕捞强度系数
龄鱼捕捞强度系数
年捕捞量
年产卵数量
自然死亡率
龄鱼的条数，每年初龄鱼的条数，时刻在间隔时间
时间
年份
:4:3:5.04:3::::4
,3,2,1:)0(4
,3,2,1:)(:::43εm m k k f n r i i x i i t t x t t T i i ==?
三．模型假设
1．这种鱼在一年内的任何时间都会发生自然死亡，即死亡是一个连续的过程。
2．捕捞也是一个连续的过程，不是在某一时刻突然发生。
3．1、2龄鱼体形太小，不能被捕。
4．3、4龄鱼在一年中的后4个月的第一天集中一次产卵
5．i 龄鱼到来年分别长一岁成为i+1龄鱼，i=1，2，3，其中上一年存活下来的4龄鱼仍是4龄鱼
四．模型的建立与求解
4.1．问题分析
4.1.1. 对题中一些术语的解释：
● 对自然死亡率的理解：
本题中给出的鱼的自然死亡率是指平均死亡率，即单位时间鱼群死亡数量与现有鱼群数量的比例系数，它与环境等其它外在因素无关；这是一个有量纲的量，它既不是简单的百分率又不是简单的变化速率，实际上它是百分比率的变化率。它应该理解为以每年死亡80%的速率减少，并不是在一年内恰好死亡80%。另一方面，鱼群的数量是连续变化的，且1，2龄鱼在全年及3，4龄鱼在后4个月的数量只与死亡率有关。由此可知，各龄鱼的变化满足：
()1,2,3,4;i )(=-=，t rx dt
t dx i i )1( ● 对捕捞强度系数的理解：
捕捞强度系数是单位时间内捕捞量与各年龄组鱼群条数的比例系数，单位时间4龄鱼捕捞量与4龄鱼群总数成正比，捕捞强度系数是一定的，且只在捕捞期内（即每年的前8个月）捕捞3，4龄鱼。所以，捕捞强度系数k 影响了3，4龄鱼在捕捞期内的数量变化：
,42.0,34k k k k ==则设
则有 4,3),()()(=+-=i t x k r dt
t dx i i )2( 对卵的成活率的理解：
1，2龄鱼不产卵，3，4龄鱼在每年的后四个月产卵，我们假设了在9月初一次产卵，因此可将每年的产卵量n 表示为：
?????
?+??=)32()32(5.010109.1435x x n )3( 龄鱼的数量为：，所以每年初题中有成活率为：11022.11022.11111
n
+?? ()n n x +??=111111022.11022.1*0 )4(
4.1.2. 问题一分析：
对于问题一，要实现可持续捕获，即每年开始捕捞时渔场中各年龄组鱼群条数不变，因此我们要算出每年初各龄鱼组的数量。
4.1.1中已对自然死亡率，捕捞强度系数和卵成活率作出了解释，即1，2龄鱼仅受自然死亡率的影响；而3，4龄鱼不仅受自然死亡率的影响，还受捕捞强度系数的影响；因为该种鱼的最高寿命为4，所以在后四月中4龄鱼都不存活；，而对于1龄鱼的数量，是3，4龄鱼在前年的后4年产卵所存活下来的数量；对于捕捞量，题中规定只在1到8月才能捕捞，而且1，2龄鱼不被捕捞，所以主要来源于对3，4龄鱼的捕捞。根据这些关系可列出一系列的方程，其中捕捞量作为目标函数，其他的作为约束条件，建立一个非线性规划模型，再然后用lingo 软件和matlab 软件进行求解。
4.1.3. 问题二分析：
对于问题二，合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏，又要使总收益最高，这就有可能发生满足了前者满足不了后者之类的情况。我们处理方法是先确定一个策略使其收益最高，再检验此捕鱼策略是否能保证5年后鱼群的生产能力不受到太大的破坏，若它让鱼群的生产能力受到了严重破坏，我们再求另外一种策略。但从理论分析可知，5年后将在鱼群尽可能接近可持续鱼群的情况下来使捕捞量达到最大。对于破坏大小，我们采用1龄鱼群数量变化率来衡量，即以第六年初1龄鱼群数量的变化量与承包时鱼群数量初值之比表示，因为2，3，4龄鱼群的数量在很大程度上受承包初1龄鱼影响，根据关系，可以知道5年后2，3，4龄鱼群的数量肯定会有较大变化。只要该比值小于5%，我们就认为鱼群的生产能力没有受到太大破坏。
题中已经给了我们各年龄组的初始值，而问题一中也已得出一组迭代方程，
我们利用这些迭代方程，求出各年的鱼量分布；同样可以根据问题一中捕捞量的表达式求出5年的总捕捞量，以此来确定我们的最优捕捞策略。再然后我们通过验证来确定其5年后鱼群的生产能力有没有受到太大破坏。
4.2．模型建立
4.2.1 问题一模型
1．由4.1.1中对自然死亡率的理解中的（1）式，可知1，2龄鱼的生长只受自然死亡率的影响，由此可知1，2龄鱼的生长的微分方程满足方程（1）：
4,3,2,1,=-=i rxi dt
dxi 龄鱼的数量为每年年初可得：i ,)(00x e x t x rt i -= )5( T 年的i 龄鱼在T+1年变为i+1龄鱼，
)()1(1T x e T x i r i -+=+则有： )6(
2．而对于3，4龄鱼的生长，在前八个月，他们的生长不仅受自然生长率的影响，还受捕捞强度系数的影响，而后四个月仅受自然生长率的影响。
我们以一年为一个时间单位，则这一时间单位可以分为两个阶段，见图（1）：
图（1）
因此，
○
1. 前八个月3、4龄鱼生长的微分方程满足： 4,3)(=+-=i x k r dt dx i i i )7(
龄鱼的数量为每年年初，可得：i )(0)(0x e x t x t k r i i +-= )8( 由于每年的捕捞只在1到8月进行，并且只能捕到3，4龄鱼，所以任意一个时刻的捕捞量为)(t x k i i ，则年捕捞量为：
?
+--+=320)(320)1()(r k i i i i i e x r k k dt t x k )9( ○2. 后四个月3、4龄鱼生长的微分方程满足方程（1）：
4,3,2,1,=-=i rxi dt
dxi 龄鱼的数量为每年年初可得：i ,)(00x e x t x rt i -= )10(
)(324)42.0(3235.0k r k r e mx e
mx n +-+-+=其中产卵量 )11(
n +=111110*22.110*22.1ε又孵化存活率 (12)
所以年初1龄鱼的总量)()1(1T n T x ε=+ )13( 3．根据以上分析，我们可以建立非线性规划模型： 目标函数：??+=320320
4433)(99.22)(86.17max dt t x k dt t x k )14(
约束条件：
???
????????-====+=+-+---+-+-)1(5.0)32()342.0*32(42321)(324)42.0(323r k r k r r r k r k e e n x ne x ne
x n x e mx e
mx n εεεε
4.2.2问题二模型
针对渔业公司的5年捕捞计划，我们利用已得到的迭代方程在已知各个年龄组的鱼的初始值的前提下，可迭代求出各龄鱼群第i 年的鱼量的分布的函数。 整个生存过程满足的关系式为?????????????=+=+=+=+++?+?=++=++-+---+-+-4
3)
3/2(4)3/2(34
2312111113
/2)(43/2)(342.0)()()1()()1()()1()1(1022.1)
1(1022.1)1()()(2/)1(4333k k e t x e t x t x t x e t x t x e t x t n t n t x e t mx e t x m t n r k r k r r r k r k
同时写出目标函数：
3455()2/3()2/334341134max (())17.86(1)(()22.99(1)(15)
k r k r t t k k x t e x t e k r k r -++===?-+??-++∑∑
4.3．模型求解
4.3.1问题一求解
4.3.1.1由4.2.1中的3，我们可将目标函数和约束条件转化为：
目标函数为：