自贡市普高2010级第三次诊断性考试
数学试卷（文史类）
审核：王斌
本试卷分第I 卷（1-2页，选择题）和第II 卷（3-8页，非选择题）两部分，共150分。考试结束后，将第II 卷和答题卡一并交回，第一卷考生保留。
第I 卷（选择题，共60分）
注意事项： 1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。 3．本试卷共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
参考公式： 如果事件A 、B 互斥那么 球的表面积公式
()()()P A B P A P B +=+
24S R π=
如果事件A 、B 相互独立，那么
其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ?=?
球的体积公式
如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 34
3
V R π=
那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率
其中R 表示球的半径
()(1)k k
n k n n P k C p p -=-
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．
是符合题目要求的。 1．设,{|0},{|1}U R A x x B x x ==>=>，则U A C B 等于
A ．{|01}x x ≤<
B ．{|01}x x <≤
C ．{|0}x x <
D ．{|1}x x >
2．函数0)y x =≤的反函数是
A ．2
(0)y x x =-≥ B ．2(0)y x x =≤ C ．2(0)y x x =≥ D ．2
(0)y x x =-≤
3．函数(4)y x =-的定义域为
A ．{|0}x x ≥
B ．{|0x x ≥且4}x ≠
C ．{|1}x x ≥
D ．{|1x x ≥且4}x ≠
4．若sin cos 0αα+<，tan 0α>，则α的终边在高☆考♂资♀源€网 ☆
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
5．过曲线3
2y x x =+-上一点P 0处的切线平行于直线4y x =则点P 0的一个坐标是
A ．(0,-2)
B ．(1,1)
C ．(1,4)
D ．(-1,-4)
6．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上
存在一点P ，使1||||OP OF =（O 为原点），且12|||PF PF =，则双曲线的离心率为
A ．
1
2
B 1
C 1
D ．
1
2
7．过空间一定点P 的直线中，与长方体1111ABCD A B C D -的12条棱所在直线成等角的直线共有高☆考♂资♀源€网 ☆
A ．0条
B ．1条
C ．4条
D ．无数条
8．将函数()f x 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，同时将纵坐标缩小到原来的1
2
倍，得到函数cos()6
y x π
=-
的图象，另一方面函数()f x 的图象也可以由函数
2cos 1y x =+的图象按向量c 平移得到，则c 可以是
A ．(
,1)6
π-
B ．(
,1)12
π
C ．(
,1)6
π D ．(
,1)12
π
-
9．如图1，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个位于同行或同列的概率是
A ．
1314
B ．
47
C ．
37
D ．
114
10．已知有穷数列{}n a (1,2,3,6)n =???满足{1,2,3,10}n a ∈???，且当(,1,2,6)i j i j ≠=???时
i j a a ≠。若123a a a >>，456a a a <<，则符合条件的数列{}n a 的个数是
A ．3
3
107C C
B ．33
1010C C
C ．33
107A A
D ．63
106C A
11．已知椭圆C ：2212
x y +=的右焦点为F ，右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交椭圆C 于B ，
若3FA FB =，则||AF 等于
A ．2
B
C
D ．3
12．如图2，有一直角墙角，两边的长度尺足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是(12)am o a <<、4m ，不考虑树的粗细，现在
想用16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为S ，若将这棵树围在花圃内，则函数()S f a =（单位2
m ）的图象大致是
自贡市普高2010级第三次诊断性考试
数学试卷（文史类）
第II 卷（非选择题 共90分）
注意事项： 1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷中。 2．答题前密封线内的项目填写清楚。 3．本卷共10小题，共90分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上。 13．若2
*31(2)()n x n N x
-
∈展开式中含有常数项，则n 的最小值是 。高☆考♂资♀源€网 ☆
14．设实数x 、y 满足20,
250,20,
x y x y y --≤??
+-≥??-≤?
则22x y u xy +=的取值范围是 。
15．如图3，A 、B 、C 是球面上三点，且AB=2cm ，BC=4cm ，∠ABC=60°，若球心O 到截面ABC
的距离为，则该球的表面积为 。 16．有下列命题： ①a b >是2
2
a b >的充分不必要条件； ②2221
()2OP OQ OP OQ PQ ?=
+-；
③已知()f x 的最大值为M ，最小值是m ，其值域是[,]m M ；
④有3种不同型号的产品A 、B 、C ，其数量之比依次为2:3:4，现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，样本中A 型号产品有10件，则90n =。 其中错误命题的序号为 （要求填写所有错误命题的序号）。
三、解答题：共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤。 17．（本小题满分12分） 如图4，已知△ABC 中，||1AC =，∠ABC=120°，∠BAC=θ，记()f AB BC θ=?。
（I ）求()f θ关于θ的表达式； （II ）求()f θ的值域。
高☆考♂资♀源€网 ☆
18．（本小题满分12分）
一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数 其中A 的各位数字中，11a =，(2,3,4,5)k a k =出现0的概率为1
3
，(2,3,4,5)k a k =出现1的概率为
2
3
，记12345a a a a a ξ=++++（例如：A=10001，其中151a a ==，2340a a a ===，且2ξ=）。当启动仪器一次时，
（I ）求3ξ=的概率
（II ）求当ξ为何值时，其概率最大。
高☆考♂资♀源€网 ☆
19．（本小题满分12分） 如图5，在四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，∠ABC=∠BCD=90°，
PA=PD=DC=BC=1
2
AB ，E 是BP 的中点。 （I ）求证：EC//平面APD ；
（II ）求BP 与平面ABCD 所成角的正切值； （III ）求二面角P-AB-D 的大小。
20．（本小题满分12分）高☆考♂资♀源€网 ☆
已知等差数列{}n a 为递增数列，前n 项和为n S ，*
n N ∈，且35S a =，1a 与5S 的等比
中项为5。 （I ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）数列{}n b 满足m n b pn a =-，且{}n b 的前n 项和为n T ，*n N ∈，若对任意*
n N
∈都有6n T T ≤，求实数p 的取值范围。 21．（本小题满分12分）高☆考♂资♀源€网 ☆
已知圆C 过定点F 1
(,0)4-，且与直线1
4
x =
相切，圆心C 的轨迹为E ，曲线E 与直线l ：(1)()y k x k R =+∈相交于A 、B 两点。
（I ）求曲线E 的方程；
（II ）当△OAB k 的值；
（III ）在曲线E 上是否存在与k 的取值无关的定点M ，使得MA ⊥MB ？若存在，求出所有符合条件的定点M ；若不存在，请说明理由。
22．（本小题满分14分）
高☆考♂资♀源€网 ☆
已知函数3
21()()3
f x x x ax a a R =
-+-∈。
（I ）当3a =-时，求函数()f x 的极值；
f x的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围。（II）若函数()
自贡市普高2010级第三次诊断性考试数学试卷
参考答案及评分意见
一、选择题：（每小题5分，共60分） BADCD CCDAA BC
二、填空题：（每小题4分，共16分）
（文）13、5；14、[5，20]；15、482
cm π 16、①③④。高☆考♂资♀源€网 ☆
三、解答题：（每小题10分，共60分） 17、解：（Ⅰ），由正弦定理有：
?
=
120sin 1
sin ||θBC ＝)60sin(||θ-?AB …………(2分) ∴ θs i n 120s i n 1||?=
BC , ?
-?=
120sin )
60sin(||θAB …………(4分)
∴ )(θf 2
1
)60sin(sin 3
4
)0(?-??=?=θθBC AB f
＝
θθθsin )sin 2
1
cos 23(32-＝ )22cos 12sin
23(31θθ-- ＝6
1)6
2sin(3
1
-+π
θ )3
0(π
θ<
< …………(8分)
(Ⅱ) 3
0πθ<
< =>
6
56
26
π
π
θπ
<
+
<, ∴
1
)62sin(21≤+<π
θ ∴ ]6
1,0()(∈θf ………（12分） 18、（文）解：（Ⅰ）由题意得：27
8)32()31()3(2
224
===C P ξ …………(3分) （Ⅱ）811)31()1(4
04
===C P ξ
…………(5分) 81
8)32()31()2(314
===C P ξ …………(7分) 8124)32()31()3(2
224
===C P ξ 8132)32)(31()4(334
===C P ξ …………(9分) 8116)32()5(444===C P ξ
…………(11分)
4=ξ的概率最大，
最大值为81
32
…………(12分) 19、解：解法一(Ⅰ) 如图，取PA 的中点为F ，连结EF 、FD 。 ∵ E 是BP 的中点 ∵ EF ∥AB 且EF ＝
21AB, 又 ∵DC ∥AB, DC=2
1
AB ∴ EF ∥DC ，∴ 四边形EFDC 是平行四边形，故得EC ∥FD.
又∵ EC 平面PAD,FD ?平面PAD ∴ EC ∥平面ADE ……(4分)
(Ⅱ) 取AD 中点H ，连结PH ，因为PA ＝PD ， 所以PH ⊥AD,
∵平面PAD ⊥平面ABCD 于AD, ∴PH ⊥面ABCD ∴HB 是PB 在平面ABCD 内的射影，
∴∠PBH 是PB 与平面ABCD 所成角 ………(6分)
∵四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠BCD ＝90°∴四边形ABCD 是直角梯形, ∴DC ＝
CB ＝
2
1
AB, 设AB ＝a 2，则BD ＝a 2 在?ABD 中，易得∠DBA ＝45°, AD ＝a 2，
PH ＝22DH PD -＝22
21a a -
＝a 2
2
高☆考♂资♀源€网 ☆
又 ∵ BD 2+AD 2＝4a ＝AB 2, ∴?ABD 是等腰直角三角形，∠ADB ＝
90°, ………(7分)
∴ HB ＝2
2
DB DH +＝
22221a a +＝a 2
10 ∴ 在Rt ?PHB 中，5
5
2
1022
tan =
==∠a a
HB PH PBH ………(8分) （Ⅲ）在平面ABCD 内过点H 作AB 的垂线交AB 于点G ，连结PG ，则HG 是PG 在平面ABCD 上的射影，故PG ⊥AB ，所以∠PGH 是二面角P —AB —D 的平面角， ………(10分)
由AB ＝2a ， HA ＝
a 2
2
，∠HAB ＝45°，∴ HG ＝a 21， ………(11分)
∴在Rt ?PHG 中，2212
2tan
===∠a a
HG
PH PGH
∴二面角P —AB —D 的大小为2arctan
……
(12
分)
解法二(Ⅰ)同解法一
(Ⅱ)设AB ＝2a ，同解法一中的(Ⅱ)可得∠ADB ＝90°, 如图以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，过D 点且垂直于 平面ABCD 的直线为z 轴建立空间直角坐标系， ………(5分) 则B （0，a 2，0），P （
a 22，0，a 22）， ∴=PB （－a 22，a 2，－a 2
2
）
， 平面ABCD 的一个法向量为=
m （0，0，1）， ………(6分) 所以，=
>=
<,cos m PB 66322
-=-
a
a
………(7分)
可得PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为66，
高☆考♂资♀源€网 ☆
所以PB 与平面ABCD 所成角的正切值为
5
5， ………(8分)
(Ⅲ)易知A （a 2，0，0），则AB ＝（－a 2，a 2，0，）， ………(9分) 设平面PAB 的一个法向量为n ＝（000,,z y x ）则
由?????=?=?0
PB n n =>
?
??
??=-+-=+-022
22
202200000az ay ax ay ax => ??
?==0
00
0x z x y 令10=x 可得n ＝(1，1，1) ……(11分)
从而> 3 3 1= ，所以二面角P —AB —D 的大小为33arctan ……(12 分) 20、（文）解：(Ⅰ)由题意?? ??==5 15325S a a S 可得???=+=25)105(2111d a a d a 即 12 1=a ∴ ???==211d a 或???-=-=2 1 1d a ∵ {}n a 为递增的等差数列， ∴ 0>d ，∴?? ?==2 11d a ， ∴ )(12* N n n a n ∈-= ………(6分) (Ⅱ) 1)2(12+-=--=n p n pn b n n p n p T n 2 222+-=，由n T ≤6T ， 6=n 时最大，知 n T 开口向下， ∴p＜2且5.5≤ ) 2(2p p - ≤6.5 ∴ 6 11 ≤p≤ 7 13 …………(12分) (理)20(文)21、解：(Ⅰ)由题意，点C到定点F(－ 4 1 ，0)和直线x＝ 4 1 的距离相等，所以点C的轨迹方程为x y- = 2………(4分) (Ⅱ)由方程组 ? ? ? + = - = )1 ( 2 x k y x y 消去x后，整理得0 2= - +k y ky………(5分) 设A(x1，y1），B( 2 x， 2 y)，由韦达定理有 122 2 1 t y y t +=- + ＝ k 1 -， 122 2 1 y y t =- + －1，………(6分) 设直线l与x轴交于点N，则N(－1，0) ∵ OBN OAN OAB S S S ? ? ? + =＝ 2 1 |ON|| 1 y|+ 2 1 |ON|| 2 y| ＝ 2 1 |ON|·| 2 1 y y-|＝ 2 1 ·1· 2 1 2 2 1 4 ) (y y y y- +＝ 2 1 4 ) 1 (2+ k ∵10 = ?OAB S∴10＝ 2 1 4 ) 1 (2+ k ，解得 6 1 ± = k………(8分) （Ⅲ）∵A、B在抛物线x y- = 2上， 高☆考♂资♀源€网☆ 所以) (2 2 2 1 2 1 y y x x- - = +=)2 1 ( 2 + - k ,1 2 2 2 1 2 1 = =y y x x，………(9分) 设点M( ,y x)，MA⊥MB ? 1 (y y-) )( ( ) )( ( 2 1 2 1 x x x x y y y y- - + - +＝0 ? 2 1 1 2 2 2 = + + + +x x y y k x k ? ? ? ? ? ? = + + = = 2 2 2 x x y y x ? ? ? ? = = y x ………(11分) 故存在唯一的合乎题意的点M（0，0）. ………(12分) 22、（文）解：(Ⅰ) 当3- = a时，x x x x f3 3 1 ) (2 3- - =+3 ∴)1 )( 3 ( 3 2 ) ('2+ - = - - =x x x x x f 令0 ) ('= x f，得1 1 - = x3 2 = x ………(1分) 当x ＜－1时，)('x f ＞0，则)(x f 在()1,-∞-上单调递增； ………(2分) 当－1＜x ＜3时，)('x f ＜0，则)(x f 在（－1，3）上单调递减； ………(3分) 当x ＞3时，)('x f ＞0，)(x f 在(),,3+∞上单调递增； ………(4分) ∴ 当x ＝－1时，)(x f 取得极大值为3 14 33131)1(=++--=-f ……(5分) 当x ＝3时，)(x f 取得极小值为6399273 1)3(-=+--?=f ……(6 分) (Ⅱ) ∵ a x x x f +-=2)('2 ∴ )1(444a a -=-=? 1）若1≥a ，则0≤?，∴0)('≥x f 在R 上恒成立，∴)(x f 在R 上单调递增。………(7分) ∵)0(f ＝－a ＜0，)3(f ＝2a ＞0 ∴当a ≥1时，)(x f 函数的图象与x 轴有且只有一个交点。…（8分） 高☆考♂资♀源€网 ☆ 2）若a ＜1，则0>? ∴0)('=x f 有两个不相等的实数根，不妨设为1x 、2x （1x <2x ） ∴1x +2x ＝2，1x ·2x ＝a ， 当x 变化时，)('x f )(x f 的取值情况如下表： ∵221-x 1x +a ＝0， ∴ a ＝－22 1+x 1x ………(9分) ∴a ax x x x f -+-=12131131)(＝++-12 13131ax x x 221-x 1x ＝131)2(31x a x -+＝)]2(3[3 12 11-+a x x ………(10 分) 同理= )(2x f )]2(3[3 12 22-+a x x ………(11分) ∴ )(1x f ·)(2x f ＝)]2(3[912 121-+a x x x ·)]2(3[22-+a x ＝])2(9))(2(3))[((912 222122121-++-+a x x a x x x x ＝{ }2 212212)2(9]2))[(2(391-+-+-+a x x x x a a a ＝)33(9 42 +-a a a …………(12 分) 令)( 1x f ·)(2x f ＞0，解得a ＞0， 高☆考♂资♀源€网 ☆ 而当10< 故当10< w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.^w.k.s.5*u.c.#o@ 高☆考♂资♀源€网 ☆
相关主题
文本预览