二次函数压轴题专题分类训练

中考二次函数压轴题专题分类训练

题型一：面积问题

【例1】如图2，抛物线顶点坐标为点C （1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点Ｂ． (１)求抛物线和直线AB 的解析式； （2)求△CAB 的铅垂高CD 及S △CAB ;

（3）设点P 是抛物线（在第一象限内)上的一个动点，是否存在一点Ｐ，使S △P ＡB =

8

9

S △CA Ｂ，若存在，求出Ｐ点的坐标;若不存在，请说明理由.

【变式练习】

1．如图,在直角坐标系中，点A 的坐标为(－2，０),连结OA ,将线段OA 绕原点Ｏ顺时针旋转１２０°，得到线段OB ． (1）求点B 的坐标；

（2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;

(３)在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在，求出点C 的坐标；若不存在,请说明理由．

（４)如果点P 是(２)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方，那么△ＰAB 是否有最大面积?若有，求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积；若没有,请说明理由.

2.如图,抛物线y ＝ ａx ２

＋ ｂｘ + ４与x 轴的两个交点分别为A （－４,0）、B （2，

图2

０），与y 轴交于点C ,顶点为D .E (1，2)为线段BC 的中点，BC 的垂直平分线与x 轴、ｙ轴分别交于F 、G ．

(１)求抛物线的函数解析式,并写出顶点D 的坐标；

（2）在直线EF 上求一点H ,使△CDH 的周长最小，并求出最小周长； （３）若点K 在ｘ轴上方的抛物线上运动,当K 运动到什么位置时， △ＥF Ｋ的面积最大?并求出最大面积.

3.如图,已知：直线3+-=x y 交ｘ轴于点A,交y 轴于点B ，抛物线ｙ=ａx 2

＋b ｘ＋c 经过A 、B 、C （１，０)三点.

（１）求抛物线的解析式;

(2)若点D 的坐标为(-1，0),在直线3+-=x y 上有一点P,使ΔABO 与ΔＡDP 相似，求出点Ｐ的坐标;

（3)在（2)的条件下,在ｘ轴下方的抛物线上，是否存在点Ｅ，使ΔADE 的面积等于四边形ＡPC Ｅ的面积?如果存在，请求出点E 的坐标;如果不存在，请说明理由．

?题型二:构造直角三角形

【例2】如图,已知抛物线y ＝ax 2

+bx ＋c （a ≠0)的对称轴为ｘ=１，且抛物线经过A （－1,0)、C （0,－３)两点,与x 轴交于另一点B . （１）求这条抛物线所对应的函数关系式;

（2)在抛物线的对称轴x ＝1上求一点M ,使点M 到点A 的距离与到点C 的距离之和最小,并求此时点M 的坐标；

(3）设点P 为抛物线的对称轴x =1上的一动点,求使∠ＰCB =９0o的点Ｐ的坐标．

C E

D G

A

x

y O

B F

【变式练习】 １.如图,抛物线y ＝

与ｘ轴交于A 、B 两点(点A 在点Ｂ的左侧）,与y 轴交

于点C ．

(1）求点A 、B 的坐标；

（2)设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点,当△ACD 的面积等于△AＣB 的面积时，求点Ｄ的坐标;

(3)若直线ｌ过点E(４,0)，M 为直线l 上的动点，当以Ａ、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有三个时,求直线ｌ的解析式．

2.在平面直角坐标系xOy 中,已知抛物线y=2

(1)(0)a x c a ++>与x 轴交于A 、Ｂ两点(点Ａ在点B 的左侧),与y 轴交于点C,其顶点为Ｍ，若直线MC 的函数表达式为3y kx =-，与ｘ

轴的交点为N,且COS∠BＣO=

310

10

。 E

(1)求此抛物线的函数表达式;

（2）在此抛物线上是否存在异于点Ｃ的点Ｐ，使以Ｎ、P 、Ｃ为顶点的三角形是以ＮＣ为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标：若不存在,请说明理由;

(３）过点Ａ作ｘ轴的垂线，交直线MC 于点Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移,使抛物线与线段NQ 总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度?

3. 在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=ｋ(x 2

+x ﹣1)的图象交于点A(1,k ）和点B （﹣1，﹣k)．

（１）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式;

(2)要使反比例函数和二次函数都是y 随着x 的增大而增大,求ｋ应满足的条件以及ｘ的取值范围;

(3)设二次函数的图象的顶点为Ｑ,当△AＢQ 是以A Ｂ为斜边的直角三角形时,求k 的值

4.如图（１),抛物线42

y x x =+-与y 轴交于点A ，E (0，b )为y 轴上一动点,过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .

（1)求点A 的坐标；

(2)当b =0时(如图（２）)，ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么?

（3)是否存在这样的b ,使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形,若存在,求出b ；若不存在，说明理由.

?题型三：构造等腰三角形

【例3】如图，已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (１,0)和点B （－3，0),与ｙ轴交于点Ｃ． (1)求抛物线的解析式;

（２)在x 轴上是否存在一点Q 使得△ACQ 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Q 的坐标;若不存在,请说明理由;

(3)设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P ,使△C ＭＰ为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点Ｐ的坐标；若不存在，请说明理由．

【变式练习】

１．如图，在平面直角坐标系中,点A 的坐标为（ｍ，m ），点B 的坐标为（n ，﹣n ），抛物线经过A 、Ｏ、B 三点,连接OA 、OB 、AB,线段A Ｂ交y 轴于点C ．已知实数m 、n(m

﹣2x ﹣3=0的两根.

y

x

C

B

A

O

E y

x

C

B

A

O

E 第26题

图（1）

图（2）

(１）求抛物线的解析式；

(2）若点P 为线段O Ｂ上的一个动点(不与点O 、B 重合），直线P Ｃ与抛物线交于D 、E 两点(点D 在y 轴右侧),连接O Ｄ、B Ｄ．

①当△OPC 为等腰三角形时,求点P 的坐标;

②求△ＢO Ｄ 面积的最大值，并写出此时点Ｄ的坐标.

2．如图，抛物线2

54y ax ax =-+经过ABC △的三个顶点，已知BC x ∥轴,点A 在x 轴上,点C 在y 轴上,且AC ＝BC ．

(1)写出A,Ｂ,C 三点的坐标并求抛物线的解析式；

（2)探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标;不存在,请说明理由．

３.已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C(１,1)且过原点O.过抛物线上一点P （x,y)向直线5

4

y =

作垂线，垂足为Ｍ，连FM （如图）. (1）求字母a,b,c 的值；

(2)在直线x=1上有一点3(1,)4

F ,求以PM 为底边的等腰三角形ＰＦM 的Ｐ点的坐标，并证明

A

C B

y x

0 1

1

此时△ＰFM为正三角形；

（３)对抛物线上任意一点P，是否总存在一点Ｎ（1，t）,使PM＝PＮ恒成立,若存在请求出t值，若不存在请说明理由．

题型四：构造相似三角形

【例4】如图，已知抛物线经过A(﹣2,0)，B（﹣3,3）及原点Ｏ,顶点为C．

（1）求抛物线的解析式；

(２)若点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且Ａ、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；

(3)P是抛物线上的第一象限内的动点,过点P作PＭ⊥ｘ轴,垂足为M，是否存在点P,使得以P、Ｍ、Ａ为顶点的三角形△ＢOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

【变式练习】

１.如图，已知抛物线经过A（4,０)，B（1,0），C(0,-2）三点.?（1）求该抛物线的解析式；?（2)在直线AC上方的该抛物线上是否存在一点D,使得△DCA的面积最大?若存在,求出点D 的坐标及△DCA面积的最大值；若不存在，请说明理由.

（３）P是直线ｘ=1右侧的该抛物线上一动点,过Ｐ作ＰM⊥ｘ轴,垂足为M,是否存在P点,使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若

不存在,请说明理由.

7），且顶点C的横坐标为4，该图象在x 轴上截2. 如图,二次函数的图象经过点D（0，3

9

得的线段AB的长为6.

（１)求二次函数的解析式；

(2）在该抛物线的对称轴上找一点P,使PA+ＰD最小,求出点P的坐标；

（３）在抛物线上是否存在点Q,使△QAB与△ＡBC相似?如果存在，求出点Ｑ的坐标；如果不存在,请说明理由．

【例５】如图,已知抛物线ｙ=x２- (ｂ+1)x+(b是实数且b>２）与x轴的正半轴分别交于点Ａ、B(点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C.?（1)点B的坐标为 ,点Ｃ的坐标为 (用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点Ｐ为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在,求出点Ｐ的坐标;如果不存在，请说明理由; （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△ＱCＯ，△ＱOA和△QＡB中的任

意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况)?如果存在，求出点Ｑ的坐标；如果不存在,请说明理由.

【变式练习】

1.如图，平面直角坐标系xOy 中,已知点A (２，3)，线段AB 垂直于y 轴，垂足为B ，将线段AB 绕点A 逆时针方向旋转90°，点B 落在点C 处,直线BC 与x 轴的交于点D ． （1）试求出点D 的坐标;

(２)试求经过A 、B 、D 三点的抛物线的表达式，

并写出其顶点E 的坐标；

（3)在(2）中所求抛物线的对称轴上找点F ，使得

以点A 、E 、F 为顶点的三角形与△ＡCD 相似.

2．已知直线1

12

y x =

+与ｘ轴交于点A ,与y 轴交于点B ，将△AOB 绕点O 顺时针旋转90?，使点A 落在点C ，点B 落在点D ，抛物线2

y ax bx c =++过点A 、Ｄ、Ｃ，其对称轴与直线

ＡＢ交于点P ，

(1）求抛物线的表达式; (2）求∠ＰOC 的正切值； (3）点Ｍ在x 轴上，且△ABM 与△A ＰD 相似,求点M 的坐标。

(图7)

3.如图,二次函数y=aｘ２＋bx+c的图象交ｘ轴于Ａ(﹣1,０)，Ｂ(2,0）,交y轴于C(0,﹣2),过A,Ｃ画直线.

(１）求二次函数的解析式;

(２)点P在x轴正半轴上，且P A＝PC，求OP的长;

(3）点M在二次函数图象上,以M为圆心的圆与直线AC相切,切点为H.

①若M在y轴右侧，且△CHM∽△ＡＯＣ（点C与点Ａ对应),求点M的坐标;

②若⊙M的半径为，求点M的坐标．

题型五:构造梯形

【例6】已知,矩形OAB Ｃ在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0),点C 的坐标为)20(-，,直线x y 3

2

-=与边B Ｃ相交于点D ． (1）求点D 的坐标;

(2）抛物线c bx ax y ++=2

经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式；

（3)在这个抛物线上是否存在点M ，使Ｏ、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在,请求出所有符合条件的点M 的坐标;若不存在,请说明理由.

【变式练习】

1.已知平面直角坐标系xOy 中, 抛物线ｙ＝ａx 2

－（a +1)x 与直线ｙ＝k ｘ的一个公共点为A(4，8)．

(1)求此抛物线和直线的解析式；

(２）若点Ｐ在线段ＯA 上，过点P 作ｙ轴的平行线交(１)中抛物线于点Ｑ，求线段PQ 长度的最大值; （3)记(1）中抛物线的顶点为Ｍ,点N 在此抛物线上,若四边形A ＯＭN 恰好是梯形,求点Ｎ的坐标及梯形AOMN 的面积.

2．已知二次函数的图象经过Ａ（2,０)、Ｃ（０,12） 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶

点为点Ｐ，与x 轴的另一交点为点Ｂ. (1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；

(２）如图1，在直线 y ＝2x 上是否存在点Ｄ,使四边形ＯPB Ｄ为等腰梯形？若存在,求出点

D 的坐标；若不存在，请说明理由;

（３)如图2,点M 是线段ＯＰ上的一个动点(O 、Ｐ两点除外)，以每秒2个单位长度的速度由点Ｐ向点O 运动，过点Ｍ作直线M Ｎ//ｘ轴，交ＰB 于点N . 将△PMN 沿直线MN 对折，得到△P １ＭN ． 在动点M 的运动过程中，设△P 1MN 与梯形O ＭNB 的重叠部分的面积为Ｓ，运动时间为t 秒，求S 关于ｔ的函数关系式.

3．如图1,二次函数)0(2

<++=p q px x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点Ｃ(0，－1），△ＡB Ｃ的面积为

4

5

． （1）求该二次函数的关系式;

(2）过ｙ轴上的一点M （0，m )作y 轴的垂线，若该垂线与△ABC 的外接圆有公共点,求ｍ的取值范围；

(３）在该二次函数的图象上是否存在点D ,使以A 、B 、C 、D 为顶点的四边形为直角梯形？若存在,求出点D 的坐标；若不存在,请说明理由．

?题型六：构造平行四边形

【例７】如图，在平面直角坐标系中,抛物线经过A(—1，0），B（3，０）,C(0,—1）三点。(１)求该抛物线的表达式;

（2）点Q在ｙ轴上,点P在抛物线上,要使以点Q、P、Ａ、B为顶点的四边形是平行四边形,求所有满足条件的点P的坐标。?

【变式练习】

1．如图,在平面直角坐标系xOy中，一次函数(ｍ为常数）的图象与x轴交于点A

（﹣３，0），与y轴交于点C.以直线x=1为对称轴的抛物线ｙ＝ax2+bx＋ｃ(a,b,c为常数,

且ａ≠０)经过A，C两点,并与ｘ轴的正半轴交于点Ｂ.

（1)求m的值及抛物线的函数表达式；

（2）设E是y轴右侧抛物线上一点，过点E作直线AC的平行线交x轴于点F.是否存在这样的点E,使得以A，C,E，Ｆ为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点Ｅ的坐标及相应的平行四边形的面积；若不存在,请说明理由;

(3）若P是抛物线对称轴上使△ACP的周长取得最小值的点，过点P任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线于Ｍ１(x1,y1),M2(ｘ2，ｙ2）两点,试探究是否为定值，并写出探究过程.

2.如图１，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过Ａ(-4，０)、Ｂ(０，－4)、C(2,0)三点. (１）求抛物线的解析式;

（2)若点M为第三象限内抛物线上一动点,点Ｍ的横坐标为m,△MAB的面积为S,求S关于m 的函数关系式,并求出S的最大值;

（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能使以点P、Ｑ、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标.

3.如图,抛物线y=ax2+ｂx+c交x轴于点Ａ（﹣3，０）,点B(1,０）,交y轴于点Ｅ（0，﹣３).点C是点A关于点B的对称点,点F是线段BＣ的中点,直线ｌ过点F且与y轴平行.直线y=﹣ｘ＋m过点C,交y轴于D点.

(1)求抛物线的函数表达式；

(2）点K为线段ＡB上一动点,过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H,与抛物线交于点Ｇ，求线段HG长度的最大值;

（3）在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点Ａ,C，Ｍ,N为顶点的四边形是平行四边形,求点N的坐标.

【例8】已知平面直角坐标系xOy（如图1）,一次函数

3

3

4

y x

=+

的图像与y 轴交于点A ,点Ｍ在正比例函数3

2

y x =

的图像上，且MO ＝MA ．二次函数 y ＝x ２+bx +ｃ的图像经过点A 、M . (１)求线段AM 的长；

（2)求这个二次函数的解析式；

(3）如果点Ｂ在y 轴上,且位于点A 下方,点C 在上述二次函数的图像上，点Ｄ在一次函数

3

34y x =+的图像上,且四边形AB ＣD 是菱形,求点C 的坐标.

【变式练习】

1.将抛物线c 1：233y x =-+沿x 轴翻折，得到抛物线ｃ２，如图1所示． (１）请直接写出抛物线c ２的表达式;

（2)现将抛物线c 1向左平移m 个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点从左到右依次为A 、B ;将抛物线ｃ2向右也平移m 个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为Ｎ，与x 轴的交点从左到右依次为D 、E ．

①当B 、D 是线段ＡＥ的三等分点时，求m 的值；

②在平移过程中，是否存在以点A 、Ｎ、E 、M 为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值;若不存在,请说明理由．

?题型七：线段最值问题

【例9】如图，抛物线ｙ=x 2

＋bx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点,与y 轴交于C 点，且A （﹣1,0）. (1)求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； （２)判断△ABC 的形状，证明你的结论；

（3)点Ｍ（m,0）是ｘ轴上的一个动点，当MC ＋M Ｄ的值最小时，求m 的值

.

【变式练习】

1. 如图，已知抛物线y =ax 2

+bx +ｃ与y 轴交于点A (0，3）,与x 轴分别交于B （１,0)、C (5,０)两点．

(1)求此抛物线的解析式；

（2）若一个动点P 自ＯＡ的中点M 出发，先到达x 轴上的某点(设为点E ），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点Ｆ),最后运动到点A ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长.

２. 如图13,抛物线y=ａx 2

＋bx+c(a≠0)的顶点为(１,４),交x 轴于Ａ、B ，交y 轴于D,其中B 点的坐标为(3,0） （1)求抛物线的解析式

（2)如图14,过点A 的直线与抛物线交于点E,交y 轴于点F,其中E 点的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为PQ 上一动点，则ｘ轴上是否存在一点Ｈ,使D 、Ｇ、Ｆ、H 四点围成的四边形周长最小．若存在，求出这个最小值及G 、H 的坐标;若不存在,请说明理由.

O y

x

A

B C

(3)如图1５，抛物线上是否存在一点T,过点T 作x 的垂线,垂足为M,过点Ｍ作直线MN ∥BD,交线段AD 于点N,连接MD ，使△ＤN Ｍ∽△B ＭD ，若存在,求出点Ｔ的坐标；若不存在，说明理由

.

?【能力提升】

1. 已知，如图11,二次函数223y ax ax a =+-(0)a ≠图象的顶点为H ，与x 轴交于A 、B 两点(B 在A 点右侧),点H 、B 关于直线l ：33y x 对称．

（１)求A 、B 两点坐标,并证明点A 在直线l 上; (2)求二次函数解析式;

(3）过点B 作直线BK ∥AH 交直线l 于K 点，M 、N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点,连接HN 、NM 、MK ,求HN NM MK ++和的最小值．

A

B

K

H

x y O

l

A B

K

H

x

y O l

２.如图．在直角坐标系中,已知点Ａ(０．1．),B(4-.4).将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ，顶点在坐标原点的抛物线经过点B ． (1) 求抛物线的解析式和点C 的坐标;

(2) 抛物线上一动点P.设点Ｐ到ｘ轴的距离为1d ,点P 到点Ａ的距离为2d ,试说明

211d d =+；

(3) 在（2）的条件下，请探究当点P 位于何处时．△PAC 的周长有最小值,并求出△PA Ｃ的周长的最小值。

【例10】如图，已知直线1

12

y x =

+与y 轴交于点Ａ，与x 轴交于点D,抛物线2

12

y x bx c =

++与直线交于Ａ、E 两点，与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 (１，0)。（1)求该抛物线的解析式;

(２)动点P 在轴上移动,当△ＰA Ｅ是直角三角形时，求点Ｐ的坐标P 。

（3）在抛物线的对称轴上找一点M ，使||AM MC -的值最大，求出点M 的坐标。

【变式练习】

１．如图所示，在平面直角坐标系中,四边形ABCD 是直角梯形,BC ∥AD,∠BAD=９0°,B Ｃ与y 轴相交于点Ｍ,且M 是ＢＣ的中点,A 、Ｂ、D 三点的坐标分别是Ａ(﹣1，0)，B(﹣ｌ,2)，D(3,0)．连接D Ｍ,并把线段ＤM 沿DA 方向平移到ON.若抛物线ｙ＝ax 2+bx+c 经过点D 、M 、N.

(1）求抛物线的解析式.

(２）抛物线上是否存在点P，使得ＰA=PＣ？若存在，求出点Ｐ的坐标;若不存在,请说明理由.

(3)设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点,当点Ｑ在什么位置时有|QE﹣QC|最大？并求出最大值.