10 任意角三角函数与同角三角函数关系式、诱导公式
【知识要点】
1、 角的概念
①角的三要素
②角的分类
③角的度量：01= rad,1rad= 0
2. 终边相同的角的表示：
（1）α终边与θ终边相同(α的终边在θ终边所在射线上)?，
注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
（2）α终边与θ终边共线(α的终边在θ终边所在直线上) ?.
（3）α终边与θ终边关于x 轴对称? （4）α终边与θ终边关于y 轴对称?.
（5）α终边与θ终边关于原点对称? （6）α终边在x 轴上的角可表示为：
（7）α终边在y 轴上的角可表示为： （8）α终边在坐标轴上的角可表示为：
3、α与2
α的终边关系： 由“两等分各象限、一二三四”确定.如若α是第二象限角，则2
α是第_____象限角 4.弧长公式：=l ，扇形面积公式：=s ，
5、任意角的三角函数的定义：
设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），
它与原点的距离是0r =
>，那么=αsin ，=αcos ，=αtan ， (0)y ≠。
注：三角函数值与角的大小 关，与终边上点P 的位置 关。
6.三角函数线的特征是：正弦线 “站在x 轴上(起点在x 轴上)”、余弦线 躺
在x 轴上(起点是原点)”、正切线 “站在点(1,0)A 处(起点是A )”.三角函数线的重
要应用是比较三角函数值的大小和解三角不等式。
7. 同角三角函数的基本关系式：
（1）平方关系： （2）商数关系：
主要方法：
1.利用平方关系时，要注意开方后符号的选取；
2.涉及如二次齐次式22sin sin cos cos a b c αααα++的问题常采用“1”代换法求解；
3.涉及sin cos ,sin cos ,sin cos αααααα+-?的问题常采用平方法求解
8.三角函数诱导公式（2
k πα+）的本质是： 诱导公式的应用是求任意角的三角函数值，其一般步骤：
（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<；
(2)转化为锐角三角函数。
【典型例题】
例1. 若α是第一象限角，那么,2α
α-是第几象限角？ y T A x α B S O M P
变式：若α是第三象限角，则3
α是第 象限角，2α的范围是 例2.已知θ在第二象限, 试确定 sin(cos θ)cos(sin θ) 的符号.
变式：若
0cos sin cos sin θθθθ+=，试判断 sin(cos θ)cos(sin θ) 的符号.
例3.已知α的终边上一点(4,3)(0)P t t t -≠,求2sin cos αα+的值；
例4.
求函数lg sin y x =+
例5.已知一扇形的中心角是α，所在圆的半径是R 。
⑴若cm R 10,60=?=α，求扇形的弧长及该弧所在的扇形的面积。
⑵若扇形的周长是一定值)0(>C C 。当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？
例6．已知2tan =θ，求（1）θ
θθθsin cos sin cos -+；（2）22sin sin cos 2cos θθθθ-+的值． 例7. 已知 sin θ+cos θ
=
3 (0<θ<π), 求 tan θ 的值.
例8.化简 )23sin()cos()23sin()2cos(]1)[cos(cos )cos(θππθπθπθθπθπθ+----+--+
例9已知关于x
的方程)2210x x m -
+=的两根为sin θ和cos θ：(12分) （1）求1sin cos 2sin cos 1sin cos θθθθθθ
+++++的值； （2）求m 的值．
【精准训练】
1. “2()6k k Z π
απ=+∈”是“1cos 22
α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
2. （2010全国卷1）(2)记cos(80)k -?=,那么tan100?=
A.21k -
B. -21k -
C. 21k -
D. -21k
- 3.（2010全国卷1） cos300?=
(A)3- (B)-12 (C)12
(D) 3 4. 1cos sin 5
θθ+=，θπ∈（0，）.求：（1）sin cos θθ（2）sin cos θθ- 5.有四个关于三角函数的命题：
1p ：?x ∈R, 2
sin 2x +2cos 2x =12 2p : ,x y R ?∈, sin()sin sin x y x y -=- 3p : ?x ∈[]0,π1cos 2sin 2x x -= 4p : sin cos 2x y x y π=?+= 其中假命题的是 （ ） （A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （3）1p ，3p （4）2p ，3p
6.下列关系式中正确的是（ ）
A ．000sin11cos10sin168<<
B ．000
sin168sin11cos10<<
C ．000sin11sin168cos10<<
D ．000sin168cos10sin11<<
7．)2cos()2sin(21++-ππ等于
（ ） A ．sin2－cos2 B ．cos2－sin2 C ．±（sin2－cos2） D ．sin2+cos2 8.已知sin 1,cos 43k k θθ=-=-，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )
A ．43k > Ｂ．1k = Ｃ．85
k = Ｄ．1k > 9. （2009辽宁卷文）已知tan 2θ=，则22sin sin cos 2cos θθθθ+-=
（A ）43- （B ）54 （C ）34- （D ）45
10. （2009北京文）若4sin ,tan 05θθ=->，则cos θ= .
11. 已知函数()'()cos sin ,4f x f x x π=+则()4
f π
的值为 . 121sin 1sin 2tan 1sin 1sin ααααα+-=--+，试确定使等式成立的角α的集合。