专题六
数列
1.【2015高考重庆，理2】在等差数列
n a 中，若2a =4，4a =2，则6a =
（）
A 、-1
B 、0 C
、1 D
、6
【答案】B
【解析】由等差数列的性质得
642
22240a a a ，选B .
【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式与等差数列的性质
.
【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力
.是基础题.
2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数
2
0,0
f x x
px q p q 的两个不同的零点，且,,2
a b 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q 的值等于（
）
A ．6
B ．7
C ．8 D
．9
【答案】D
【解析】由韦达定理得a b p ，a b
q ，则0,0a b ，当,,2a b 适当排序后成等比数列时，
2必
为等比中项，故4a b q ，4b
a
．当适当排序后成等差数列时，
2必不是等差中项，当a 是等差中
项时，422a
a
，解得1a ，4b ；当
4a
是等差中项时，
82a
a
，解得4a
，1b ，综上所述，
5a b p
，所以p
q
9，选D ．
【考点定位】等差中项和等比中项．
【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项与项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题．3.【2015高考北京，理
6】设n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（
）A ．若120a a ，则23
0a a B ．若13
0a a ，则1
2
a a C ．若1
20a a ，则2
13a a a D
．若1
0a ，则21230
a a a a 【答案】C
【解析】先分析四个答案支，A 举一反例
1
2
3
2,1,4a a a ，1
20a a 而230a a ，A 错误，
B 举同样反例
123
2,1,4a a a ，1
3
0a a ，而1
2
0a a ，B 错误，下面针对C 进行研究，n
a
是等差数列，若
1
20
a a ，则
1
0,a 设公差为d ，则0d
，数列各项均为正，由于
2
2
215111
()
(2)a a a a d a a d 2
2
2
2
1
11
1220a
a d
d
a a d
d
，则
2
1
13
a a a 1
13a a a ，选C.
考点定位：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重点是对
知识本质的考查.
【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式和比较法，本题属于基础题，由于前两个选项无法使用公式直接做出判断，因此学生可以利用举反例的方法进行排除，这需要学生不能死套公式，要灵活应对，作差法是比较大小常规方法，对判断第三个选择只很有效.
4.【2015高考浙江，理3】已知
{}n a 是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是n S ，若3a ，4a ，8a 成等比
数列，则（）
A.
14
0,0a d dS B.
14
0,0a d dS C.
14
0,0a d dS D.
14
0,0
a d dS 【答案】B.
【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，等比数列的概念等知识点，同时考查了学生的运算求
解能力，属于容易题，将
1a d ，4dS 表示为只与公差d 有关的表达式，即可求解，在解题过程中要注意等
等差数列与等比数列概念以及相关公式的灵活运用.
5.【2015高考安徽，理14】已知数列{}n a 是递增的等比数列，1
4239,8a a a a ，则数列{}n a 的前n 项
和等于 . 【答案】
2
1
n
【解析】由题意，
1
4
231498
a a a a a a ，解得
141,8a a 或者148,1a a ，而数列{}n a 是递增的等比
数列，所以
1
4
1,8a a ，即3
41
8a q
a ，所以2q
，因而数列{}n a 的前n 项和
1(1)122
1112
n
n
n
n
a q S q
.
【考点定位】 1.等比数列的性质；
2.等比数列的前
n 项和公式.
【名师点睛】对于等差数列与等比数列综合考查的问题，要做到：①熟练掌握等差或等比数列的性质，尤
其是
m n
p q ，则m
n p q a a a a （等差数列），m n p q a a a a （等比数列）；②注意题目给
定的限制条件，如本题中“递增”，说明1q ；③要熟练掌握数列中相关的通项公式，前
n 项和公式
等.
6.【2015高考新课标2，理16】设n S 是数列n a 的前n 项和，且11a ，1
1n
n n a S S ，则n
S ________．
【答案】
1n
【解析】由已知得
1
1
1
n
n
n n
n a S S S S ，两边同时除以1
n
n S S ，得
1
111n
n S S ，故数列
1
n
S 是以
1为首项，1为公差的等差数列，则
11(1)
n
S n n ，所以1n
S n
．
【考点定位】等差数列和递推关系．
【名师点睛】本题考查数列递推式和等差数列通项公式，
要搞清楚项
n a 与n S 的关系，从而转化为1n S 与n
S 的递推式，并根据等差数列的定义判断
1
n
S 是等差数列，属于中档题．7.【2015高考广东，理10】在等差数列
n a 中，若257
6
5
4
3
a a a a a ，则82
a a = .
【答案】
10．
【解析】因为n a 是等差数列，所以
3
7
4
6
2
8
52a a a a a a a ，3
4
5
6
7
5
525
a a a a a a 即
55a ，所以2
8
5
210a a a ，故应填入10．
【考点定位】等差数列的性质．
【名师点睛】本题主要考查等差数列性质及其简单运算和运算求解能力，属于容易题，解答此题关键在于熟记*
,,,m n p q a a a a m n p q N m n
p q 且，*
2,,2m n p a a a m n p N m n
p 且及其熟
练运用．
8.【2015高考陕西，理13】中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为
2015，则该数列的首项
为．
【答案】
5
【解析】设数列的首项为1a ，则1201521010
2020a ，所以1
5a ，故该数列的首项为
5，所以
答案应填：
5．
【考点定位】等差中项．
【名师点晴】本题主要考查的是等差中项，属于容易题．解题时一定要抓住重要字眼“中位数”和“等差数列”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等差中项的概念，即若a ，，b 成等差数列，
则
称为
a 与
b 的等差中项，即2
a b ．
9.【2015江苏高考，11】数列
}{n a 满足11
a ，且11
n a a n
n
（*
N n ），则数列}1{
n
a 的前10项和
为【答案】
2011
【考点定位】数列通项，裂项求和
【名师点晴】由数列的递推公式求通项公式时，若递推关系为
a n ＋1＝a n ＋f (n )或a n ＋1＝f (n )?a n ，则可以分
别通过累加、累乘法求得通项公式，另外，通过迭代法也可以求得上面两类数列的通项公式，注意：有的问题也可利用构造法，即通过对递推式的等价变形，转化为特殊数列求通项．数列求和的常用方法有倒序相加法，错位相减法，裂项相消法，分组求和法，并项求和法等，可根据通项特点进行选用.
10.【2015江苏高考，20】（本小题满分
16分）
设
1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为
d (0)d 的等差数列
（1）证明：
3
1
2
4
2,2,2,2a a a a 依次成等比数列；
（2）是否存在1,a d ，使得2
3
4
1234,,,a a a a 依次成等比数列，并说明理由；（3）是否存在
1,a d 及正整数,n k ，使得k n k n k n n
a
a
a
a 34
23
2
1
,,,依次成等比数列，并说
明理由.
【答案】（1）详见解析（2）不存在（3）不存在【解析】
试题分析（1）根据等比数列定义只需验证每一项与前一项的比值都为同一个不为零的常数即可（2）本题
列式简单，变形较难，首先令
1
d t
a 将二元问题转化为一元，再分别求解两个高次方程，利用消最高次的
方法得到方程：
2
7+430t t
，无解，所以不存在（
3）同（2）先令1
d t
a 将二元问题转化为一元，为
降次，所以两边取对数，消去n,k 得到关于t 的一元方程
4ln(13)ln(1)ln(13)ln(12)3ln(1
2)ln(1)0t t t t t t ，从而将方程的解转化为研究函数()
4ln(1
3)ln(1)
ln(13)ln(12)
3ln(1
2)ln(1
)g t t t t t t t 零点情况，这个函数需要利用二次求
导才可确定其在
(0,
)上无零点
试题解析：（1）证明：因为
1
1
22
22
n
n
n
n
a a a d
a （1n ，2，3）是同一个常数，
所以
1
2
a ，22a ，
3
2
a ，
4
2a 依次构成等比数列．
（2）令1
a d
a ，则1a ，2a ，3a ，4a 分别为a d ，a ，a d ，2a d （a
d ，2a
d ，0d
）
．假设存在1a ，d ，使得1a ，2
2
a ，33
a ，44
a 依次构成等比数列，
则3
4
a a
d
a
d ，且6
4
2
2a d
a
a d ．
令d t
a
，则3
111t t
，且6
4
112t
t
（
112
t ，0t
），
化简得3
2
22
0t t
（），且2
1t t ．将2
1t t 代入（
）式，
2
1
21
2313410t t t t
t t t t ，则1
4
t
．
显然14
t
不是上面方程得解，矛盾，所以假设不成立，
因此不存在
1a ，d ，使得1a ，22a ，33a ，44
a 依次构成等比数列．
（3）假设存在1a ，d 及正整数n ，k ，使得1n a ，2n k a ，23n
k
a ，34
n k
a 依次构成等比数列，
则221
1
1
2n k
n k
n a
a d
a d
，且3221
1
132n k
n k
n k
a d
a d a d
．
分别在两个等式的两边同除以
21
n k a
及221
n k a
，并令1
d t
a （13
t
，0t ），
则22121n k
n k
t t ，且32211312n k
n k
n k
t
t
t
．
将上述两个等式两边取对数，得2ln 122ln 1n k t n k t ，
且
ln 13ln 1322ln 12n k t
n k t
n k t ．
化简得2ln 12ln 12ln 1ln 12k t
t
n t
t
，
且3ln 13ln 13ln 1ln 13k t
t
n t
t
．
令
2
1
t
t ，则2
12
011213t
t t t
．
由
1
2
00000g ，
2
0t ，
知
2t ，
1
t ，
t ，g t 在1,03
和0,
上均单调．
故
g t 只有唯一零点0t
，即方程（
）只有唯一解
0t
，故假设不成立．
所以不存在
1a ，d 及正整数n ，k ，使得1
n a ，2
n k a
，23
n k a
，34
n k a
依次构成等比数列．
【考点定位】等差、等比数列的定义及性质，函数与方程
【名师点晴】解决等差数列与等比数列的综合问题，关键是理清两个数列的关系．如果同一数列中部分项成等差数列，部分项成等比数列，要把成等差数列或等比数列的项抽出来单独研究；如果两个数列通过运算综合在一起，要从分析运算入手，把两个数列分割开，弄清两个数列各自的特征，再进行求解．11.【2015高考浙江，理
20】已知数列
n a 满足1a =
12
且
1n a =n a -2
n a （n
*
N ）
（1）证明：1
1
2n n a a （n
*
N ）；
（2）设数列
2n
a
的前n 项和为n S ，证明
1
1
2(2)
2(1)
n S n n
n （n
*
N ）.
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 试题分析：（1）首先根据递推公式可得
12
n
a ，再由递推公式变形可知
2
1
1
[1,2]1n n
n n n n
a a a a a a ，从而得证；（2）由
1
1
11=
n n
n
n
a a a a 和1
1
2n n
a a 得，
1
1
1
1
2n
n
a a ，从而可得
*
1
1
1
()2(1)
2
n
a n N n n ，即可得证.
试题解析：（1）由题意得，2
1
0n n n
a a a ，即1
n
n a a ，12
n
a ，由
11
(1)n n n
a a a 得
1211
(1)(1)
(1)0n n n a a a a a ，由10
2
n
a 得，
2
1
1
[1,2]1n n
n
n n n
a a a a a a ，即1
1
2n n
a a ；（2）由题意得2
1n
n n a a a ，
∴
1
1n n S a a ①，由
1
1
11
=
n n
n
n
a a a a 和1
1
2n n
a a 得，1
111
2n
n
a a ，
∴1
1
112n
n
n a a ，因此
*
1
1
1
()2(1)2
n
a n N n n ②，由①②得
11
2(2)2(1)
n S n n
n .
【考点定位】数列与不等式结合综合题.
【名师点睛】本题主要考查了数列的递推公式，不等式的证明等知识点，属于较难题，第一小问易证，利用条件中的递推公式作等价变形，即可得到
2
1
11n n n
n
n
n
a a a a a a ，再结合已知条件即可得证，第二小
问具有较强的技巧性，首先根据递推公式将
n S 转化为只与1n a 有关的表达式，再结合已知条件得到1n a 的
取值范围即可得证，此次数列自2008年之后作为解答题压轴题重出江湖，算是一个不大不小的冷门（之
前浙江各地的模考解答题压轴题基本都是以二次函数为背景的函数综合题）
，由于数列综合题常与不等式，
函数的最值，归纳猜想，分类讨论等数学思想相结合，技巧性比较强，需要平时一定量的训练与积累，在后续复习时应予以关注
.
12.【2015高考山东，理
18】设数列
n a 的前n 项和为n S .已知23
3n
n
S .
（I ）求
n a 的通项公式；
（II ）若数列
n b 满足3log n n n a b a ，求n b 的前n 项和n T .
【答案】（I ）
1
3,1,3,1,
n
n n a n ; （II ）136312
43
n
n
n T .
所以11
13
T b 当
1n 时，
1
2
11
23113
23
13
3n
n
n
T b b b b n 所以0
1
23113
23
13
n
n
T n 两式相减，得
1
21223
3
3
13
3n
n
n T n 111
213
13
313
n
n
n 1363
6
23n
n
所以1363
12
43
n
n
n T 经检验，
1n 时也适合，
综上可得：1363
12
43
n
n
n T 【考点定位】1、数列前
n 项和n S 与通项n a 的关系；2、特殊数列的求和问题
.
【名师点睛】本题考查了数列的基本概念与运算，意在考查学生的逻辑思维能力与运算求解能力，思维的严密性和运算的准确性，在利用
n S 与通项n a 的关系求n a 的过程中，一定要注意
1n 的情况，错位相减
不法虽然思路成熟但也对学生的运算能力提出了较高的要求.
13. 【2015高考安徽，理
18】设*
n
N ，
n x 是曲线22
1n y
x
在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐
标.
（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；
（Ⅱ）记222
13
21n
n T x x
x
，证明
14n T n
.
【答案】（Ⅰ）1
n n x n ；（Ⅱ）14n
T n
.
【解析】
试题分析：（Ⅰ）对题中所给曲线的解析式进行求导，得出曲线
22
1n y x
在点(12)，处的切线斜率为
22n .从而可以写出切线方程为
2(22)(1)y n x .令0y .解得切线与
x 轴交点的横坐标
11
1
1n
n x n n .
（Ⅱ）要证14n T n
，需考虑通项
221
n x
，通过适当放缩能够使得每项相消即可证明.思路如下：先表
示出2222
2
2
1
3
21
1
3
21()()(
)24
2n
n n T x x
x
n
，求出初始条件当
1n 时，114
T .当2n 时，单独
考虑221
n
x ，并放缩得
2
22
2221
2
2
2
21(21)(21)1
441()2(2)
(2)(2)
n
n n n n
n
n x n
n n n n
，所以
2
1
1211()2
2
3
4n
n T n
n
，综上可得对任意的
*n N ，均有14n
T n
.
试题解析：（Ⅰ）解：22
21
'(1)'
(22)n n y x n x
，曲线
22
1n y
x
在点(12)，处的切线斜率为22n .
从而切线方程为2
(22)(1)y n x .令0y ，解得切线与x 轴交点的横坐标
11
1
1
n n x n n .
（Ⅱ）证：由题设和（Ⅰ）中的计算结果知
22
22
2
2
13
21
1
3
21()()(
)242n
n n T x x
x
n
.
当
1n 时，1
14
T .
当
2n 时，因为2
22
2221
2
2
2
21(21)(21)1441()2(2)
(2)
(2)
n n n n n
n
n x
n
n n n n
，
所以2
1
1211
()2
2
3
4n
n T n
n
.
综上可得对任意的
*n
N ，均有14n
T n
.
【考点定位】 1.曲线的切线方程； 2.数列的通项公式；
3.放缩法证明不等式
.
【名师点睛】数列是特殊的函数，不等式是深刻认识函数与数列的重要工具，三者的综合是近几年高考命
题的新热点，且数列的重心已经偏移到不等式的证明与求解中，而不再是以前的递推求通项，此类问题在2010年、2012年、2013年安徽高考解答题中都曾考过
.对于数列问题中求和类（或求积类）不
等式证明，如果是通过放缩的方法进行证明的，一般有两种类型：一种是能够直接求和（或求积），
再放缩；一种是不能直接求和（或求积）
，需要放缩后才能求和（或求积）
，求和（或求积）后再进行
放缩.在后一种类型中，一定要注意放缩的尺度，二是要注意从哪一项开始放缩.
14.【2015高考天津，理
18】（本小题满分
13分）已知数列
{}n a 满足
2
12
()*,1,2n
n a qa q q n N a a 为实数，且1，，且
233445,,a a a a a a +++成等差数列.
(I)求q 的值和
{}n a 的通项公式；
(II)
设*
2221log ,n n
n
a b n
N a ，求数列
{}n b 的前n 项和.
【答案】(I)
1
22
2
,2,.
n n
n n a n 为奇数,
为偶数; (II)
1
2
4
2n
n n S .
(II)
由(I)得221
21
log 2
n n
n n a n b a ，设数列
n b 的前n 项和为n S ，则
1
2
1
11111232
2
22n n S n
，
1
2
3
11
1
111
2
3
22
2
2
2
n
n
S n
两式相减得
2
3
1
1111111221
2
12
2
2
22
2
2
2
2
1
2
n
n n n
n
n
n
n n n S ，
整理得1
2
4
2
n
n n S 所以数列
n b 的前n 项和为1
2
4
,*2
n n n N .
【考点定位】等差数列定义、等比数列及前
n 项和公式、错位相减法求和
.
【名师点睛】本题主要考查等差、等比数列定义与性质，求和公式以及错位相减法求和的问题，通过等差数列定义、等比数列性质，分n 为奇偶数讨论求通项公式，并用错位相减法基本思想求和
.是中档题.
15.【2015高考重庆，理
22】在数列
n a 中，2
1
11
3,0n n
n
n
a a a a a n N
（1）若
0,2,求数列n a 的通项公式；（2）若
01,2,1,k N k k 证明：0
1
112
2
31
21
k a k k 【答案】（1）1
32
n n a ；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由于0,
2，因此把已知等式具体化得
2
12n n
n a a a
，显然由于
13a ，则0
n
a （否则会得出
10a ），从而1
2n n a a ，所以{}n a 是等比数列，由其通项公式可得结论；
（2）本小题是数
列与不等式的综合性问题，数列的递推关系是2
110
10,n n n n a a a a k +++
-=可变形为
2
1
1n
n
n
a a a k N
n ,
由于
0k ，因此
11n
n
a a k ，于是可得1
n
n a a ，即有12130n n a a a a +=>>>>>
>，又
2
222
001
00000
11111
111n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+===-+?
+++，于是有()()
00
1
1211k k k a a a a a a ++=+-+
+-0
10
000102011111111
k a k k k k a k a k a 0
00011112
3131
31
k k k k
01
2
31
k ，这里应用了累加求和的思想方法，由这个结论可知
2(*)n a n N ，因此0
1
k
a +=
10
010*********
1
k
a k k k k a k a k a 0
000
11
1
12
2121
21
k k k k 0
12
21
k ，这样结论得证，本题不等式的证明应用了放缩法.(1)
由
02，,有
2
12,(n
N )
n n n a a a 若存在某个
0n N ，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得
0n 10a +=，重复上述过程可得
10a =，此与
13a =矛盾，所以对任意
N n
,0n
a .
从而
12n n a a +=N
n
，即
{}n a 是一个公比
q 2=的等比数列.
故1
1
132
n n n a a q
--==?.
求和得()
()
00
11211k k k a a a a a a ++=+-++-0
10
0010200
0000111
1
11111
1
1
1
1
2
2
3131
31
31
k a k k k k a k a k a k k k k k 另一方面，由上已证的不等式知
001212k k a a a a +>>
>>>得
1
1
00
001020111
1
1111k
k a a k k k k a k a k a 0
0000
11
1
112
2
2121
21
21
k k k k k 综上：01001
12231
21
k a k k ++
<<+
++【考点定位】等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.，考查探究能力和推理论
证能力，考查创新意识．
【名师点晴】数列是考查考生创新意识与实践精神的最好素材．从近些年的高考试题来看，一些构思精巧、
新颖别致、极富思考性和挑战性的数列与方程、函数
(包括三角函数)、不等式以及导数等的综合性试题不
断涌现，这部分试题往往以压轴题的形式出现，考查综合运用知识的能力，突出知识的融会贯通．数列的问题难度大，往往表现在与递推数列有关，递推含义趋广，不仅有数列前后项的递推，更有关联数列的递推，更甚的是数列间的“复制”式递推；从递推形式上看，既有常规的线性递推，还有分式、三角、分段、积(幂)等形式．在考查通性通法的同时，突出考查思维能力、代数推理能力、分析问题解决问题的能力．本题第（1）小题通过递推式证明数列是等比数列，从而应用等比数列的通项公式求得通项，第（2）小题
把数列与不等式结合起来，利用数列的递推式证明数列是单调数列，利用放缩法证明不等式，难度很大．16.【2015高考四川，理16】设数列
{}n a 的前n 项和12n
n S a a ，且123,1,a a a 成等差数列.
（1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）记数列1{
}n
a 的前n 项和n T ，求得1|1|1000
n T 成立的n 的最小值.
【答案】（1）2n n
a ；（2）10.
【解析】（1）由已知12n n S a a ，有1
122(1)n n n
n n a S S a a n ，
即
12(1)n
n a a n . 从而
2
13
12,4a a a a .
又因为123,1,a a a 成等差数列，即1
322(1)a a a .
所以
11
142(21)a a a ，解得1
2a .
所以，数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.
故2n
n
a .
（2）由（1）得
112
n
n
a .
所以
2311[1()]1111122
112
22
2
2
12n n
n n T .
由1|1|
1000
n T ，得
11|1
1|
2
1000
n
，即
2
1000n
.
因为9
10
2512100010242，
所以
10n .
于是，使
1|1|
1000
n T 成立的n 的最小值为10.
【考点定位】本题考查等差数列与等比数列的概念、等比数列通项公式与前n 项和公式等基础知识，考查
运算求解能力. 【名师点睛】凡是有
n S 与n a 间的关系，都是考虑消去n S 或n a （多数时候是消去n S ，得n a 与1n a 间的递
推关系）.在本题中，得到
n a 与1n a 间的递推关系式后，便知道这是一个等比数列，利用等比数列的相关
公式即可求解.等差数列与等比数列是高考中的必考内容，多属容易题，考生应立足得满分.
17.【2015高考湖北，理18】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已
知1
1b a ，2
2b ，q
d ，10
100S ．
（Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1d
时，记n n
n
a c
b ，求数列{}n
c 的前
n 项和n T ．
【答案】（Ⅰ）
1
21,2
.
n n n
a n
b 或
1
1(279),
9
29().
9
n
n n
a n
b ；（Ⅱ）1
23
6
2
n n .
2
3
4
5
113579212
2
2
22
2
2n
n
n T . ②①-②可得
2
211112123
2
3
2
2
2
2
2
2
n
n n
n
n n T ，
故n
T 1
23
6
2
n n .
【考点定位】等差数列、等比数列通项公式，错位相减法求数列的前n 项和.
【名师点睛】错位相减法适合于一个由等差数列
}{n a 及一个等比数列}{n b 对应项之积组成的数列．考生
在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的
1n 项是一个等比数列．
18.【2015高考陕西，理21】（本小题满分
12分）设
n f x 是等比数列1，x ，2x ，
，n
x 的各项和，
其中
0x ，n
，
2n ．（I ）证明：函数
F 2n n x
f x
在
1,12
内有且仅有一个零点（记为
n x ），且1
112
2
n n
n
x x
；（II ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，
其各项和为
n g x ，比较n f x
与
n g x 的大小，并加以证明．
【答案】（I ）证明见解析；（II ）当1x =时，
()()n n f x g x =，当1x
时，()()n n f x g x <，证明见解析．
【解析】
试题分析：（I ）先利用零点定理可证
F n x 在
1,12
内至少存在一个零点，再利用函数的单调性可证
F n x
在
1,12
内有且仅有一个零点，进而利用n x 是F n x 的零点可证1
112
2
n n
n
x x
；（II ）先设
n n h x
f x
g x ，再对x 的取值范围进行讨论来判断
h x 与0的大小，进而可得n f x 和n g x 的
大小．
试题解析：（I ）2
()()
212n
n n F x f x x x
x
，则(1)10,
n F n =->1
2
11
1
11112
()12
2
0,
1222
2
2
12
n n
n n F 所以
()n F x 在
1,12
内至少存在一个零点
n x .
又1
()
120n n F x x
nx
，故在
1,12
内单调递增，
所以
()n F x 在
1,12
内有且仅有一个零点
n x .
因为
n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即
1
1201n n
n
x x +--
=-，故1
11=
+
2
2
n n n
x x +.
(II)解法一：由题设，
()()11().2
n
n
n x g x ++=
所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.
综上所述，当
1x =时, ()()n n f x g x =；当1x 时()()
n n f x g x <解法二由题设，
2
11()1,()
,0.
2
n
n
n n n x
f x x x x
g x x 当1x =时, ()()n n f x g x =当1x
时, 用数学归纳法可以证明
()()n n f x g x <.
当
2n =时, 2
221()()(1)0,2
f x
g x x -=--<所以22()()f x g x <成立.
假设(2)n k k
时，不等式成立，即
()()k k f x g x <.
那么，当
+1n k =时，
()(
)1
1
1
k+1k 11()()()2
k
k k k k k x
f x f x x
g x x
x
+++++=+<+=
+()1
211
2
k k
x
k x k +++++=
.
又()()1
1
k+1211
11
()2
2
k k
k k
x
k x k kx
k x g x ++++++-++-
=
令
1
()
11(0)k k
k h x kx
k x
x
，则1
1
()
(1)11(1)
k
k k k h x k k x
k k x
k k x
x 所以当01x <<,()0k h x ,()k h x 在(0,1)上递减；
当
1x >,()
0k h x ,()k h x 在(1,
)上递增.
所以
()(1)0k k h x h >=，从而()1
k+1211
()2
k k
x
k x k g x +++++>
故
11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立.
所以，对于一切
2n 的整数，都有
()()n n f x g x <.
解法三:由已知，记等差数列为
{}k a ,等比数列为
{}k b ,1,2,, 1.k
n 则
111a b ==，11n
n n a b x ++==，
所以
1
1+1
(2n)n
k x
a k k
n ,1
(2
),
k k b x
k
n 令
1
11
(x)1
,0(2).
n
k k k k
k x
m a b x
x k n n
当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =. 当1x 时, 1
2
2
1
1()(k 1)11
n k k n k k k m x nx
x
k x
x
n 而2
k
n ，所以10k ->，11n k .
若01x <<，11n k x -+<，()0k m x ，
当
1x >，11n k x -+>，()
0k m x ，
从而
()k m x 在(0,1)上递减，()k m x 在(1,)上递增.所以()(1)0k k m x m >=，
所以当
01(2
),k
k x
x
a b k
n 且时,又11a b =，11n n a b ++=，故()()
n n f x g x <综上所述，当
1x =时，()()n n f x g x =；当1x 时()()n n f x g x <.
考点：1、等比数列的前n 项和公式；2、零点定理；3、等差数列的前n 项和公式；4、利用导数研究函数
的单调性.
【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的前n 项和公式、零点定理、等差数列的前n 项和公式和利用导
数研究函数的单调性，
属于难题．解题时一定要抓住重要字眼“有且仅有一个”，否则很容易出现错误．
证
明函数仅有一个零点的步骤：①用零点存在性定理证明函数零点的存在性；②用函数的单调性证明函数零点的唯一性．有关函数的不等式，一般是先构造新函数，再求出新函数在定义域范围内的值域即可．19.【2015高考新课标1，理17】n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2
n
n a a =43n
S .
（Ⅰ）求{
n a }的通项公式；
（Ⅱ）设1
1n
n n
b a a ,求数列{
n b }的前n 项和.
【答案】（Ⅰ）
21n （Ⅱ）
116
46
n
所以
n a =21n ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
n b =
1
111()(21)(23)
22123
n n n n ，所以数列{
n b }前n 项和为12
n b b b =1111111[(
)()
()]2
3
55
721
23
n n =
116
46
n
.
【考点定位】数列前
n 项和与第n 项的关系；等差数列定义与通项公式；拆项消去法
【名师点睛】已知数列前
n 项和与第n 项关系，求数列通项公式，常用
11,1,2
n
n
n S n a S S n
将所给条件
化为关于前n 项和的递推关系或是关于第n 项的递推关系，若满足等比数列或等差数列定义，用等比数列
或等差数列通项公式求出数列的通项公式，否则适当变形构造等比或等数列求通项公式.
20.【2015高考广东，理21】数列
n a 满足*
121
2
24
2
n n n a a na n N
，
(1) 求3a 的值； (2)
求数列
n a 前n 项和n T ；
(3) 令
1
1b a ，1
1111
22
3
n n
n T b a n
n
n ，证明：数列
n b 的前n 项和n S 满足
n S n
ln 22．
【答案】（1）1
4
；（2）1
12
2n ；（3）见解析．
【解析】（1）依题312
312312132
22332324
4
2
24
a a a a a a ，∴3
14
a ；
（2）依题当1n
时，12121
1
2
1
2
12214
4
2
2
2
n
n n
n n n n n n na a a na a a n a ，
∴1
12n n
a ，又1
124
12
a 也适合此式，
∴1
12
n n
a ，
∴数列n a 是首项为1，公比为
12
的等比数列，故
1
11
12
2
12
12
n
n n
T ；
（3）依题由
12
1
111
2
n
n
n a a a b a n
n
知11b a ，12
211
2
2
a b a ，
1
2
3
3111
3
2
3
a a
b a ，
【考点定位】前
n 项和关系求项值及通项公式，等比数列前n 项和，不等式放缩．
【名师点睛】本题主要考查前
n 项和关系求项值及通项公式，等比数列前
n 项和，不等式放缩等，转化与
化归思想的应用和运算求解能力，属于高档题，此题（1）（2）问难度不大，但第（
3）问难度较大，首先
应能求得1
1
11
1
2
22
n
n S n
，并由11222n 得到11
2
1
2n S n
，再用构造函数（1
ln 11f x x
x
x ）结合不等（1ln
1
k k k
）放缩方法或用数学归纳法证明
111
1
1ln 2
3
n n
．【2015高考上海，理22】已知数列
n a 与n b 满足1
1
2n
n n
n a a b b ，n
.
（1）若35n
b n ，且11a ，求数列
n a 的通项公式；
（2）设n a 的第0n 项是最大项，即0
n n a a （n
），求证：数列n b 的第0n 项是最大项；（3）设
1
0a ，n
n
b （n
），求
的取值范围，使得
n a 有最大值
与最小值
m ，且
2,2m
.
【答案】（1）
65n
a n （2）详见解析（3）1,0
2
【解析】解：（1）由
13n
n
b b ，得1
6n
n
a a ，
2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)
2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲.................................................................................................................................
1 2018高考数学试题分类汇编—向量 一、填空题 1.（北京理6改）设a ，b 均为单位向量，则“33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的_________条件（从“充分而不必要”、“必要而不充分条件”、“充分必要”、“既不充分也不必要”中选择） 1.充分必要 2.（北京文9）设向量a =（1,0），b =（?1,m ）,若()m ⊥-a a b ，则m =_________. 2．-1 3.（全国卷I 理6改）在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = _________. （用,AB AC 表示） 3．3144 AB AC - 4.（全国卷II 理4）已知向量a ，b 满足||1=a ，1?=-a b ，则(2)?-=a a b _________. 4．3 5.（全国卷III 理13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a+b ，则λ=________． 5. 12 6.（天津理8)如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ?uu u r uu u r 的最小值为_________. 6. 2116 7.（天津文8）在如图的平面图形中，已知 1.2,120OM ON MON ==∠= ,2,2,BM MA CN NA == 则· BC OM 的值为_________. 7.6- 8.（浙江9）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3，向量b 满足b 2?4e · b +3=0，则|a ?b |的最小值是_________. 8.3?1 9.（上海8）.在平面直角坐标系中，已知点(1,0)A -，(2,0)B ，E 、F 是y 轴上的两个动点，且2EF = ，则AE BF ? 的最小值为_________. 9.-3
专题六 数列 1.【2015高考重庆，理2】在等差数列{}n a 中，若2a =4，4a =2，则6a = （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得64222240a a a =-=?-=，选B . 【考点定位】本题属于数列的问题，考查等差数列的通项公式及等差数列的性质. 【名师点晴】本题可以直接利用等差数列的通项公式求解，也可应用等差数列的性质求解，主要考查学生灵活应用基础知识的能力.是基础题. 2.【2015高考福建，理8】若,a b 是函数()()2 0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零 点，且,,2a b - 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q + 的值等于（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】D 【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，，解得1a =，4b =；当 4 a 是等差中项时，，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ． 【考点定位】等差中项和等比中项． 【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项，其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列，项及项之间是有顺序的，但是等差中项或等比中项是唯一的，故可以利用中项进行讨论，属于难题． 3.【2015高考北京，理6】设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若120a a +>，则230a a +> B ．若130a a +<，则120a a +< C ．若120a a <<，则2a > D ．若10a <，则()()21230a a a a --> 【答案】C
专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取 高考理科数学试题分类汇编：1集合 一、选择题 1 . （普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知全集{}1,2,3,4U =, 集合{}=12A ， ,{}=23B ，,则()=U A B e( ) A. {}134， ， B. {}34， C. {}3 D. {}4 【答案】D 2 . （普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知集合 {}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤= ，则 A. ()01， B. (]02， C. ()1,2 D. (]12， 【答案】D 3 . （普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知集合A = {x ∈R | |x |≤2}, A = {x ∈R | x ≤1}, 则A B ?= (A) (,2]-∞ (B) [1,2] (C) [2,2] (D) [-2,1] 【答案】D 4 . （普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））设S,T,是R 的两个非空子集,如果存在一个从S 到T 的函数()y f x =满足:(){()|};()i T f x x S ii =∈ 对任意 12,,x x S ∈当12x x <时,恒有12()()f x f x <,那么称这两个集合“保序同构”. 以下集合 对不是“保序同构”的是( ) A. *,A N B N == B. {|13},{|8010}A x x B x x x =-≤≤==-<≤或 C. {|01},A x x B R =<<= D. ,A Z B Q == 【答案】D 5 . （高考上海卷（理））设常数a R ∈,集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-,若A B R ?=,则a 的取值范围为( ) (A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 【答案】B. 6 . （普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））已知集合A ={0,1,2},则集合B ={} ,x y x A y A -∈∈中元素的个数是 2018试题分类汇编---------数列 一、填空题 1.（北京理4改）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理 论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为__________． 1.1272f 2.（北京理9）设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为__________． 2．63n a n =- 3.（全国卷I 理4改）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5a __________． 3.10- 4.（浙江10改）．已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则13,a a 的大小关系是_____________，24,a a 的大小关系是_____________． 4.1324,a a a a >< 5.（江苏14）．已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}n B x x n ==∈N ．将A B 的所有元素从小到大依 次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为__________． 5．27 二、解答题 6.（北京文15）设{}n a 是等差数列，且123ln 2,5ln 2a a a =+=. （1）求{}n a 的通项公式； （2）求12e e e n a a a +++. 6．解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，∵235ln 2a a +=，∴1235ln 2a d +=， 又1ln 2a =，∴ln 2d =.∴1(1)ln 2n a a n d n =+-=. （2）由（I ）知ln 2n a n =，∵ln2ln2e e e =2n n a n n ==， ∴{e }n a 是以2为首项，2为公比的等比数列.∴2 12ln2ln2ln2e e e e e e n n a a a ++ +=++ + 2=222n +++1=22n +-.∴12e e e n a a a +++1=22n +-. 7.(全国卷I 文17)已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设n n a b n = ． （1）求123b b b ， ，； （2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由； （3）求{}n a 的通项公式． 7．解：（1）由条件可得a n +1=2(1) n n a n +．将n =1代入得，a 2=4a 1，而a 1=1，所以，a 2=4． 将n =2代入得，a 3=3a 2，所以，a 3=12．从而b 1=1，b 2=2，b 3=4． （2）{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． 由条件可得121n n a a n n +=+，即b n +1=2b n ，又b 1=1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． （3）由（2）可得12n n a n -=，所以a n =n ·2n -1． 8.（全国卷II 理17）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-． （1）求{}n a 的通项公式； （2）求n S ，并求n S 的最小值． 8. 解：（1）设{}n a 的公差为d ，由题意得13315a d +=-.由17a =-得d =2.所以{}n a 的通项公式为 29n a n =-.（2）由（1）得228(4)16n S n n n =-=--，所以当n =4时,n S 取得最小值,最小值为?16. 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 高考数学试题分类汇编算法初步 1.（天津理3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出i的值为 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 2.（全国新课标理3）执行右面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是 （A）120 （B） 720 （C） 1440 （D） 5040 【答案】B 3.（辽宁理6）执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的P 是 （A）8 （B）5 （C）3 （D）2 【答案】C 4. （北京理4）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为 A ．-3 B ．-12 C ．13 D ．2 【答案】D 5.（陕西理8）右图中， 1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。当126,9.x x ==p=8．5时，3x 等于 A ．11 B ．10 C ．8 D ．7 【答案】C 6.（浙江理12）若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的k 的值是 。 【答案】5 Read a，b If a >b Then m←a Else m←b End If 7.（江苏4）根据如图所示的伪代码，当输入a，b分别为2，3时，最后输出的m的值是 【答案】3 8.（福建理11）运行如图所示的程序，输出的结果是_______。 【答案】3 9.（安徽理11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 . 【答案】15 10.（湖南理13）若执行如图3所示的框图，输入1 1 x= ，23 2,3,2 x x x ==-= , 则输出的数等于。 【答案】 2 3 11.（江西理13）下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是 【答案】10 12.（山东理13）执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y的值是【答案】68 2018年全国一卷（文科）：9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 18．如图，在平行四边形ABCM 中，3AB AC ==，90ACM =?∠，以AC 为折痕将△ACM 折起，使点M 到达点 D 的位置，且AB DA ⊥． （1）证明：平面ACD ⊥平面ABC ； （2）Q 为线段AD 上一点，P 为线段BC 上一点，且2 3 BP DQ DA == ，求三棱锥Q ABP -的体积． 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图，四边形ABCD 为正方形，,E F 分别为,AD BC 的中点，以DF 为折痕把DFC △折起，使点C 到达点 P 的位置，且PF BF ⊥.（1）证明：平面PEF ⊥平面ABFD ； （2）求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科： 9．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，13AA =，则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A ．1 B ． 5 C ． 5 D ． 2 20．如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中点． （1）证明：PO ⊥平面ABC ； （2）若点M 在棱BC 上，且二面角M PA C --为30?，求PC 与平面PAM 所成角的正弦值． 全国3卷理科 3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19．（12分） 如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点． （1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ； （2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值． 2018年江苏理科： 2019年高考数学真题分类汇编 专题18：数列（综合题） 1.（2019?江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”. （1）已知等比数列{a n }()* n N ∈满足：245324,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为 “M－数列”； （2）已知数列{b n }满足: 111221,n n n b S b b +==- ，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式； ②设m 为正整数，若存在“M－数列”{c n }()* n N ∈ ，对任意正整数k ， 当k ≤m 时，都有1k k k c b c +≤≤成立，求m 的最大值． 【答案】 （1）解：设等比数列{a n }的公比为q ， 所以a 1≠0，q ≠0. 由 ，得 ，解得 ． 因此数列 为“M—数列”. （2）解：①因为 ，所以 ． 由 得 ，则 . 由 ，得 ， 当 时，由 ，得 ， 整理得 ． 所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n . ②由①知，b k =k ， . 因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ， 所以c 1=1，q >0. 因为c k ≤b k ≤c k +1 ， 所以 ，其中k =1，2，3，…，m . 当k=1时，有q≥1； 当k=2，3，…，m时，有． 设f（x）= ，则． 令，得x=e.列表如下： x e(e，+∞) +0– f（x）极大值 因为，所以． 取，当k=1，2，3，4，5时，，即， 经检验知也成立． 因此所求m的最大值不小于5． 若m≥6，分别取k=3，6，得3≤q3，且q5≤6，从而q15≥243，且q15≤216，所以q不存在.因此所求m的最大值小于6. 综上，所求m的最大值为5． 【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用，等比数列的通项公式，等差关系的确定 【解析】【分析】（1）利用已知条件结合等比数列的通项公式，用“M－数列”的定义证出数列{a n}为“M－数列”。（2）①利用与的关系式结合已知条件得出数列为等差数列，并利用等差数列通项公式求出数列的通项公式。②由①知，b k=k， .因为数列{c n}为“M–数列”，设公比为q，所以c1=1，q>0，因为c k≤b k≤c k+1，所以，其中k=1，2，3，…，m ，再利用分类讨论的方法结合求导的方法判断函数的单调性，从而求出函数的极值，进而求出函数的最值，从而求出m的最大值。 高考数学真题分类汇编集合专题（基础题） 一、单选题 1.集合M={x|1＜x+1≤3}，N={x|x2﹣2x﹣3＞0}，则（?R M）∩（?R N）等于（） A. （﹣1，3） B. （﹣1，0）∪（2，3） C. （﹣1，0]∪[2，3） D. [﹣1，0]∪（2，3] 2.已知R是实数集，M={x| ＜1}，N={y|y= +1}，N∩?R M=（） A. （1，2） B. [0，2] C. ? D. [1，2] 3.已知集合，，若，则实数的值为（） A. 1 B. C. 2 D. 4.已知集合，，则等于（） A. B. C. D. 5.已知集合A={x|x＞0}，函数的定义域为集合B，则A∩B=（） A. [3，+∞） B. [2，3] C. （0，2]∪[3，+∞） D. （0，2] 6.已知集合，，则（） A. B. C. D. 7.已知集合A={x|x2﹣x+4＞x+12}，B={x|2x﹣1＜8}，则A∩（?R B）=（） A. {x|x≥4} B. {x|x＞4} C. {x|x≥﹣2} D. {x|x＜﹣2或x≥4} 8.已知Ｍ＝｛ｘ｜ｘ2－2x－3>0｝，Ｎ＝｛x｜ｘ2＋ax+b≤0｝，若M∪N＝R，Ｍ∩Ｎ＝（3，4],则a+b＝（） A. 7 B. －1 C. 1 D. －7 9.已知集合A={2，4}，B={2，3，4}，，则C中元素个数是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题 10.集合，，则的子集个数是________． 答案 一、单选题 1.D 2.D 3. A 4. C 5.B 6. D 7.B 8. D 9.B 二、填空题 10. 2 第1 页共1 页 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 2018年高考数学试题分类汇编之立体几何 一、选择题 1．（北京卷文）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）。 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 2．（北京卷理）（5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 3．（浙江）（3）某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：cm 3）是 A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4．（全国卷一文）（5）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82π D ．10π 5．（全国卷一文）（9）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．217 B ．25 C ．3 D ．2 6．（全国卷一文）（10）在长方体1111ABCD A B C D -中， 2AB BC ==，1AC 与平面11BB C C 所成的角为30?，则该长方体的体积为 A ．8 B ．62 C ．82 D ．83 7．（全国卷一理）（7）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172 B ．52 C ．3 D ．2 8．（全国卷一理）（12）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方 体所得截面面积的最大值为 A ． 33 B ．23 C ．324 D ．3 9．（全国卷二文）（9）在正方体1111ABCD A B C D -中， E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角 2017年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题）目录 专题一 集合 ............................................................................................................................................................................... 1 专题二 函数 ............................................................................................................................................................................... 6 专题三 三角函数...................................................................................................................................................................... 21 专题四 解三角形...................................................................................................................................................................... 32 专题五 平面向量...................................................................................................................................................................... 40 专题六 数列 ............................................................................................................................................................................. 48 专题七 不等式 ......................................................................................................................................................................... 68 专题八 复数 ............................................................................................................................................................................. 80 专题九 导数及其应用 .............................................................................................................................................................. 84 专题十 算法初步.................................................................................................................................................................... 111 专题十一 常用逻辑用语 ........................................................................................................................................................ 120 专题十二 推理与证明 ............................................................................................................................................................ 122 专题十三 概率统计 ................................................................................................................................................................ 126 专题十四 空间向量、空间几何体、立体几何 .................................................................................................................... 149 专题十五 点、线、面的位置关系 ........................................................................................................................................ 185 专题十六 平面几何初步 ........................................................................................................................................................ 186 专题十七 圆锥曲线与方程 .................................................................................................................................................... 191 专题十八 计数原理 .............................................................................................................................................................. 217 专题十九 几何证明选讲 ...................................................................................................................................................... 220 专题二十 不等式选讲 .......................................................................................................................................................... 225 专题二十一 矩阵与变换 ........................................................................................................................................................ 229 专题二十二 坐标系与参数方程 .. (230) 专题一 集合 1.（15年北京文科）若集合{}52x x A =-<<，{} 33x x B =-<<，则A B =I （ ） A ．{} 32x x -<< B ．{} 52x x -<< C ．{} 33x x -<< D ．{} 53x x -<< 【答案】A 考点：集合的交集运算. 2.(15年广东理科) 若集合{|(4)(1)0}M x x x =++=，{|(4)(1)0}N x x x =--=，则M N =I A ．? B ．{}1,4-- C ．{}0 D ．{}1,4高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
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