第20 讲幻方与数阵图扩展内容概述掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题；进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题.
典型问题兴趣篇
1. 把1，2，?，9填人图20-1 中9个空白圆圈内，使得三个圆周及三条线段上3个数之和
都相等．
2. (1)如图20-2，在3×3 的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
(2)如图20-3，在4×4 的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条对角线上所填数之和都相等．
3．在图20-4所示的3×4 方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号是多
少?
4．如图20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻方．
5．请将图20-6 所示的5×5 方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的5个方格内所填的5 个数中，l、2、3、4、
5 恰好各出现一次．请问：标有符号“△”，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是
6．请将 1 至 9 这 9 个数填入图 20-7 中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的 填法共有多少种 ?
7．请在图 20-8 所示的 8 个小圆圈内，分别填入 1 至 8这 8 个数字，使得图中用线段
连接的
两个小圆圈内所填的数的差 （大减小 ）恰好是 1、2、3、4、5、 6、7．
8．将 1至 5这 5个数字填入图 20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数
之和 都相等．
9．请在图 20-10 中的六块区域内填人 相邻的区域内的数之和都相等．
10．将 0至9填入图 20-11的10块区域中 （阴影区域除外 ），使得每个圆内的三个数之和都是
1、2、3、4、5、6，使得对每一个小圆圈来说，与它
相等的．请问：这个和最小是多少 ?最大是多少 ?
拓展篇
1．将1，2，3，?，24，25 分别填入图20-12 的各个方格中，使得每行、每列及两
的数是多少
2．请在图 20-13 的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的
3． (1)在图 20-14 的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的 的各数之和都等于 19． 95．那么，标有“ t ”的方格内所填的数是多少 ?
4. 如图 20-16 ，大正方形的 4 个角上已填人 4 个数， 4 个数之和是 264．奇妙的是 , 把这个 图倒过来看，大正方形 4 个角上的数之和仍然是 264．请你在中间的小正方形的 4 个角的圆 圈里，填人另外 4个数，使得每条对角线上的 4 个数正看和倒看时，其和都是 正方形角上的 4 个数正看和倒看时，其和也都是 264．
6．请将 1至 10填入图 20-18 中的 10个圆圈中 (9已经填好 ) 的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．
7．在图 20-19 的 7 个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的 边两个数的平均数．现在已经
填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．
(2)请在图 20-15 的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 个方格中的各数之和都相等。
3
3个
方格中的各数之和都相等．
3 个方格中 5．将 1、2、3、5、6、7、9、10、11 填人
图 和都相等．
20-17 中的小圆圈内，使得每条直线上各数之
3 个数，居中的数是旁
8．请将1个1，2个2，3个3，?，8个8，9个9填人图20．20中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8 个方格中的数，并
9．将数字1、2、3、4、5、6、7填人图20-21 中的小圆圈内，使得每个圆周上的
和与每条直线上的3 个数之和都相等。
10．将1 至9 填人图20-22 中的9 个圆圈
内，使
11．图20-23 中一共有10 个方格，现在把2 至11 这10 个自然数填到里面，每个方格各填一个．如果要求图中的3 个2× 2 的正方形中的4 个数之和都相等，那么这个和最小可能是多少?请给出一种填法．
且知道A、B、C、D、E、F、G 各不相同；那么，七位数ABCDEFG 是多少?
4 个大圆周上的4 个数之和都等
12．如图20-24，大三角形被分成了9 个小三角形．试将1、2、3、4、5、6、7、8、9 分
别
方格中的各数之和都相等．
2. 图 20-26是有名的“六角幻方” ：将 1至 19这 19个自然数填人图中的圆圈中，使得每 条直线上圆圈中的各数之和相等． 美国的数学爱好者阿当斯从 1910 年开始， 到 1962 年，用
3．在图 20-27 中有 6个正方形，请你将 1至 9 填
人图中，使得每个正方形的 数字之和都相等．
4．在图 20-28 的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是 且相邻两个圆圈内的数字之差 （大数减小数 ）恰好等于这两个圆圈之间标出的数
字．
5．将 1 至 9 分别填人图 20-29 中的 9 个圆圈内， 使图中每条直线 （图中有 7 条直线 ）上的圆圈
内所填数之和都相等，那么这个和是多少
6．将 0，1，2，?，9这 10 个数分别填人图 20-30中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的 3
了 52 年的时间才找到了解答．我们给大家填入了
6 个自然数，请你完成这
个
4 个顶点上
个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少填法．
7．在图20-3l 中有11 个空的圆圈，要求把1 至13这些数填入各圈内(其中3、4 已经填好)，使得上面2 个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数(例如，虚线框中上面2 个圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面的数之和等于43 ．
8．图20-32 中共有10 个圆圈，6 条直线．请问：
(1)能否将l 至10 填人图中，使得每条直线上各数之和都相等?
(2)能否将0至9 填入图中，使得每条直线上各数之和都相等?
(3)请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．
第 20 讲 幻方与数阵图扩展
内容概述
掌握幻方的概念，了解三、四阶幻方的构造方法；解决具有与幻方类似性质的数阵图问题； 进一步学习重数分析的方法；通过计算重数来处理数阵图中的最大最小问题 .
典型问题
兴趣篇
2. (1)如图 20-2，在 3×3 的方格表的每个方格中填入恰当的数，使得每行、每列、每条对
角 线上所填数之和都相等．
(2)如图 20-3，在 4×4 的方格表的每个方格中填人恰当的数，使得每行、每列、每条
对
1. 把 1，2，?，9 填人图 20-1 中 9 个空白圆圈内， 都相等． 答案：
使得三个圆周及三条线段上 3 个数之和
角线上所填数之和都相等．
答案：
3．在图 20-4所示的 3×4 方格表的每个方格中填人恰当的数后，可以使各行所填的数之和
相等，各列所填的数之和也相等．现在一些数已经填出，标有符号 是多少 ? 答案： 1.
的方格内所填的数
2+4+5+e=3+a+b+6=7+c+d+f, 所以 a+b=2+e,c+d+f=4+e, 所以方格所有数和为 33+3e ，此数同时 是 3、4 的陪数，则 e=5,由各列和为 12，得出答案为 1. 4．如图 20-5，请在空格中填人适当的数，组成一个三阶幻
方．
5．请将图 20-6 所示的 5×5 方格表补充完整，使得每个方格内都有一个数字，并且具有如 下的性质：方格表中每行，每列和每条对角线的 5个方格内所填的 5 个数中， l 、2、3、4、
6．请将 1 至 9 这 9 个数填入图 20-7 中的方框内，使得所有不等号都成立．所有满足要求的 填法共有多少种 ?
答案：
8．将 1至 5这 5个数字填入图 20-9中的小圆圈内，使得横线、竖线、大圆周上所填数之和
都相等．
答案： 中间小圆圈为 5，和为 10
9．请在图 20-10 中的六块区域内填人 相邻的区域内的数之和都相等．
5 恰好各出现一次．请问：标有符号“△” 答案： ▽ =5，△ =5，○ =4
，“▽”和“○”的方格中所填的数分别是什么
答案： 2
7．请在图 20-8 所示的 8 个小圆圈内，分别填入 1 至 8这 8 个数字，使得图中用线段
连接的
1、2、3、4、5、6，使得对
每
拓展篇
1．将 1，2， 3，?， 24， 25 分别填入图 20-12 的各个方格中，使得每行、每列及两条对
角 线上的数的和相等．现在已经填入了一些数，标有符号“。＊”的方格内所填的数是多少
答案： 4.
根据五阶幻方各行各列及对角线之和相等，剩余数
为
又∵ a+12+23+9+20=24+10+16+d+13 ∴d －a=1 ∴a 只能为 1，d 只能为 2， c 为 21 ∴和为 1+12+23+9+20=65, 进而根据幻方求出各数。
答案：
10．将 0至9填入图 20-11的10块区域中 （阴影区域除外 ），使得每个圆内的三个数之和
都是 相等的．请问：这个和最小是多少 ?最大是多少 ?
答案： 最小是 11，最大是 16。设各部分为 a.b.c.d.e.f.g.h.i.j
和为 k a+b+c=k c+d+e=k e+f+g=k g+h+i=k i+j+b=k ∴45+ ( b+c+e+g+i )=5k
当 k 最小时 b+c+e+g+i 最小为分别为 0.1.2.3.4.5 ∴ 5k=55 k=11 当 k 最大时 b+c+e+g+i 最小为分别为 9.8.7.6.5 ∴ 5k=45+35=80
有 a+12+23+9+20=a+19+b+25+13 ∴c － a=20
2．请在图20-13 的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的
3个方格中的各数之和都相等．
答案：
3．(1)在图20-14 的每个空格内填入一个数，使得每行、每列及两条对角线上的3 个方格中的各数之和都等于19．95．那么，标有“ t”的方格内所填的数是多少?
(2)请在图20-15 的每个空格内填人一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的3个方格中的各数之和都相等。
4. 如图20-16 ，大正方形的4 个角上已填人4 个数，4 个数之和是264．奇妙的是, 把这个图倒过来看，大正方形4 个角上的数之和仍然是264．请你在中间的小正方形的4 个角的圆
圈里，填人另外4 个数，使得每条对角线上的 4 个数正看和倒看时，其和都是264 ；而且小正方形角上的4 个数正看和倒看时，其和也都是264．
答案：
5．将1、2、3、5、6、7、9、10、11 填人图20-17 中的小圆圈内，使得每条直线上各数之和都相等．
6．请将1至10填入图20-18 中的10个圆圈中(9已经填好)，使得除了第一行外每个圆圈内
的数都等于与它相连的上方两个圆圈内的两数之差．
答案：
7．在图20-19 的7 个圆圈内各填一个数，要求对于每一条直线上的边两个数的平均数．现在已经填好了两个数，请把剩下的圆圈填好．
答案：
8．请将1个1，2个2，3个3，?，8个8，9个9填人图20．20中，使得相同的数所在的方格都连在一起（相连的两个方格必须有公共边）；现在已经给出了其中8 个方格中的数，并且知道A、B、C、D、E、F、G 各不相同；那么，七位数ABCDEFG 是多少?
答案： 6732489
9．将数字1、2、3、4、5、6、7 填人
图和与每条直线上的3 个数之和都相
等。
答案：
答案：
3 个数，居中的数是旁
20-21 中的小圆圈内，使得每个圆周上的3 个数之10．将1 至9 填人图20-22 中的9 个圆圈内，使4 个大圆周上的
11．图 20-23 中一共有 10 个方格，现在把 2 至 11 这 10 个自然数填到里面，每个方格各填 一个．如果要求图中的 3 个 2× 2 的正方形中的 4 个数之和都相等，那么这个和最小可能是 多少 ?请给出一种填法．
答案： 4
12．如图 20-24，大三角形被分成了 9 个小三角形．试将 1、2、3、4、5、6、7、8、9 分别 填入这 9 个小三角形内， 每个小三角形内填一个数， 要求靠近大三角形三条边的每 5 个数相 加的和相等．这 5 个数的和最大可能是多少 ?请给出一种填法．
超越篇
1．请在图 20-25 的每个空格内填入一个合适的数，使得每行、每列及两条对角线上的 3 个
2. 图 20-26是有名的“六角幻方” ：将 1至 19这 19个自然数填人图中的圆圈中，使得每一 条直线上圆圈中的各数之和相等． 美国的数学爱好者阿当斯从 1910 年开始， 到 1962 年，用 了 52 年的时间才找到了解答．我们给大家填入了 6 个自然数，请你完成这个“六角幻
方” ．
方格中的各数之和都相等．
答案： 3．在图 20-27 中有 6 个正方形，请
你将 数字之和都相等．
1至 9 填人图中，使得每个正方形的 4个顶点上的
4．在图 20-28 的七个圆圈中填人一些自然数，要求所填的自然数中最小的一个数是 且相邻两个圆圈内的数字之差 （大数减小数 ）恰好等于这两个圆圈之间标出的数字．
5．将 1 至 9 分别填人图 20-29 中的 9 个圆圈内， 使图中每条直线 （图中有 7 条直线 ）上的圆圈
内所填数之和都相等，那么这个和是多少
6．将 0，1，2，?，9这 10 个数分别填人图 20-30 中的各个圆圈内，使得各阴影三角形的 3 个顶点上的数之和相等．这个和最大是多少 ?最小是多少 ?请分别给出使得和最大、最小的
填法．
答案：和最大 14 ，中心数是 3，和最小是 13，中心数是 6.
7．在图 20-3l 中有 11 个空的圆圈，要求把 1 至 13这些数填入各圈内 （其中 3、4 已经填好 ）， 使得上面 2 个圆圈内数的和，等于与它相连的下面的圆圈内的数 （例如，虚线框中上面 2 个
圈中的数相加，它们的和应等于相连的下面 1 个圈中的数 ），并且最下面空着的 4 个圆圈中 的数之和等于 43 ．
答案：
1，并 答案：
答案：
答案：
8．图20-32 中共有10 个圆圈，6 条直线．请问：
(1)能否将l 至10 填人图中，使得每条直线上各数之和都相等?
(2)能否将0至9 填入图中，使得每条直线上各数之和都相等?
(3)请从1至1l中去掉一个数后，将剩下的数填人图中使得每条直线上各数之和都相等．
答案：(1)不能；( 2)不能；( 3)和是19,20 或21，答案不唯一，例
如：