清华大学物理实验A1弹性模量的测量实验报告

清华大学物理实验A1弹性模量的测量实验报告

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清华大学

测量弹性模量试验物理实验完整报告班级姓名学号

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弹性模量的测量实验报告

一、拉伸法测弹性模量

１.实验目的

（1）. 学习用拉伸法测量弹性模量的方法;

（2）. 掌握螺旋测微计和读数显微镜的使用。

２.实验原理

(1）弹性模量及其测量方法

?对于长度为L、截面积为S的均匀的金属丝,将外力F作用于它的长度方向，设金属丝伸长量为δL。定义单位横截面上的垂直于横截面的作用力F/Ｓ为正应力，而金属丝的相对伸长量δL/Ｌ为线应变。

根据胡克定律,在弹性形变范围内，正应力与线应变成正比,表达式为:

F S =EδL

L

（１)

式中比例系数E=F/S

δL/L

称作材料的弹性模量，与材料本身的性质有关。在本实验中，设钢丝的直径为D，则钢丝的弹性模量可进一步表示为:

E=4FL

πD2δL

?(2）

公式(2)即为本实验的计算公式。

?在实验中,我们将钢丝悬挂于支架上，固定一端,在另一端加砝码，钢丝所受到的沿长度方向的力F由砝码的重力F＝ｍｇ表示。用读数显微镜可以测出钢丝相应地伸长量δL(微小量）。此外，钢丝长度L用钢尺测量(本实验中钢丝长度数据已给出),钢丝直径用螺旋测微计测量。

3.实验仪器

?竖直金属支架，读数显微镜，支架底座，螺旋测微计。

4. 实验步骤

(1)调整钢丝竖直。钢丝下端应先挂砝码钩，用以拉直钢丝。调节底座螺钉,使得底座水平，保持钢丝以及下端夹具不与周围碰蹭。

(2）调节读数显微镜。首先粗调显微镜高度,使得显微镜与标记线(细铜丝）同高。然后进行细调，先调节目镜看到叉丝清晰的像，再前后移动镜筒看清标记线,使

标记线的像与叉丝无视差。

(3)测量:测量钢丝长度Ｌ及其伸长量δL 。先读出无砝码，仅有砝码钩（质量为０.200ｋg ）时标记线的位置(反映在鼓轮上），然后在砝码钩上每加一个砝码(质量均为0.２00ｋg)，读下一个位置yi 。先从无砝码逐步增加到九个砝码，增加完毕后，消除空程影响后,再依次递减到无砝码,又得一组数据。用螺旋测微计在钢丝的不同地方测量直径Ｄ共6次，测量前后记录下螺旋测微计的零点d 各３次。 ５.数据记录

（1）测量钢丝的长度L 及其伸长量δL 仪器编号：8 钢丝长度L ＝１00.０cm 序

号

i F mg =(N ） i y (m ｍ） 增砝码时

1

i y （mm) 减砝码时

2

i y (ｍm)

12

2i i i y y y +=

(ｍ

ｍ)

1 0.20０×1×

9.80 0.529 0.5４0 ０．５34 ２ ０.200×２×９.8０ 0.8２1 0.８70 ０.８46 3 ０．200×3×

9.80 1．075 1.1１3 １.094 4 0．2０0×4×９．８0 1.28５ 1．382 1.334 5 ０.200×５×

９.80 1.５2５ 1.590 1.55８ 6 0.200×6×9．80 1．7６７ 1.882 1.824 7 ０.2０0×7×

9.8０ 2．１0２ 2．152 ２.12７ 8 ０.2０0×８×

9.8０ ２.３44 2.３89 ２．366 9 0.2０0×9×9.

８0 ２.620 2.649 2.63４ 10

0.20０×1０×

9．8０

２.840

2.9２5

２.882

另外，也可以采用逐差法分析数据，数据整理如下: １ 2 3

4 ５

增砝

码

时 i

y (mm) ０.5２9 0．82１ 1.075 1.2８5 １．525

5

i y +（ｍｍ)

１.7６7 2.1０2 2.344 ２.62０ 2．８40 5i i i

l y y ++=-

１.238 1.2８1 1.2６9 1.33５ 1.315 减砝码时

i y (mm) 0.540 0.87０ 1.１13 1.3８2 １.590 5i y +（mm)

1.882

2.152 ２.389 2.64９ 2.925 5i i i l y y -+=-

1.3４2

1.282

1.27６

1.267 １.335

i

1 2

3

4

5

()2i i i l l l mm +-+=

1.290

1.２82 １．２73 1．301 1．3２5

（2)铜丝直径D

测定螺旋测微计的零点d(单位:m ｍ)

测量前 -0.005 -0．007 平均值0.007d mm ≈- 测量后

－0.009 －0.０0８

在不同位置六次测量钢丝直径 序号 1 2 ３ ４ 5 6 ()i D mm

0.2１0

0．2０9

0.2１0

０.211

0．2１1

0.209

6. 数据处理 (1）钢丝的直径

由表中数据,6

1

0.2106

i

i D

D ==

=∑，对已定系差进行修正,得钢丝直径测量值

0.217D D d =-=.标准偏差

(

)

(

)

6

2

2

41

1

8.944101

5

i n

i i i i D D D D D s mm n -==--=

=

≈?-∑∑。

已知螺旋测微计的示值误差0.0040mm ?=仪，故

()2

230.004108600709 4.010i p D D t v s mm n -???=+?≈≈? ???

仪

所以钢丝直径的测量值为(0.21700.0040)D mm =±。

(2）a.最小二乘法作图处理钢丝长度数据

由本实验的计算公式E =4FL

πD2δL ，可令l k F δ=,则计算公式化为24L E D k π= 以i F 为自变量，i y 为因变量，用Matlab 绘制图像如下：

Ｆｉgur ｅ １钢丝长度(通过标记线位置反应）与砝码重力的关系图 选取经验公式y a bx =+对i F 和i y 做最小二乘法分析，由表中数据计算出：

0.2978a ≈,0.1319b ≈,而直线拟合的相关系数

()()22

0.9996i i

i i F y r F y ??=≈??∑∑∑,可见i F 和i y 线性关系良好。根据拟合曲线的

性质有l

dl

k b F

dF

δ=

=

=,所以k 的不确定度可用ｂ的不确定度表示。 0

5

10

15

20

0.51

1.5

2

2.53

砝码重力Fi （N ）

鼓轮读数l i （m m ）

实验结果

最小二乘拟合

?由公式21

2b s r b n --=-，代入数据计算得31.25693676410b s -≈?,故

()()4-389.181748843100.91010

p p b b b t v t s s n -?=

=

≈?≈?,故

3(131.90.9)10(/)b mm N -=±?

b ．逐差法处理钢丝长度数据 对表中的数据进行处理,由公式:

?

5

1

1

5n i i

i i l l

l n

===

=

∑∑?

（3）

()

()

5

2

2

1

1

1

4

i n

i

i

i i l l

l

l

l

s n ==--=

=

-∑∑

（4)

代入数据得 1.294l =,0.02019i l s ≈，则()

0.02503560.025i p A l t v s n ?==≈

考虑仪器的误差，本实验读数显微镜测位置i y 的仪器误差为0.004mm,用它测

5i i i l y y +=-,则522=20.0040mm i i B y y +?=?+??仪仪,故

220.025********.025l A B ?=?+?≈≈，又因为5l l δ=,所以1

0.25885

l l δ==且

1

0.0055l l δ?=?≈,故测量得出的()0.2590.005l mm δ=±。

(３)钢丝弹性模量

a.最小二乘法计算弹性模量

由推导得出的计算公式2

4L

E D b

π=，代入数据得 ()2236

44 1.0002050.21710131.910L E GPa D b ππ--?==≈?????

(5）

又因为3L mm ?≈,故

2

222

2

2

23240.91000217131.90.0376*******.040b E L D E L D b ??????????=++ ? ? ???????

???????=++ ? ? ?

??????≈≈

(6）

所以0.0402058E

E E GPa GPa E

??=

≈?≈, 最终结果(2058)E GPa =±

ｂ.逐差法计算弹性模量

对钢丝施加的力F ＝ｍg=0.200×9．8０=１.9６(N) 由实验计算公式,得

?

()2233

44 1.96 1.0001020.217100.51810FL E GPa

D l πδπ--??==≈???? （７） 实验室给出0.5,3,L mm F

?=?≈F ％故而 ?()2

2

2

2

2

2

2

2

23240.0100.00510002170.5180.042021568620.040l E F L D E F L D l δδ?????????????=+++ ? ? ? ?????????

???????=+++ ? ? ???????

≈≈?

（8)

故0.040102 4.1E

E E GPa GPa E

??=

≈?= 最终结果(102.0 4.1)E GPa =±

7.误差分析

?为了研究实验精度如何提高，下面讨论计算公式中各个物理量的误差对于最终误差的贡献。

a.最小二乘法拟合直线：

由

2

4L E D b π=得2

2

2

2b E L D E L D b ??????????=++ ? ? ???????，各部分相对不确定度计算如下：

L

L

? 2D

D ? b

b ? 0.0０300

0.0368７

0.０0068

b.逐差法处理：

由2

4FL E D l πδ=得2

2

2

2

2l E F L D E F L D l δδ?????????????=+++ ? ? ? ?????????

，各部分的相对不确定度计算如下:

F

F ? L

L ? 2D

D ? l

l δδ? ０.00５

0.0０３

０.０３６

0．019

?故直径测量对于弹性模量最终的准确度影响较大。因而测量钢丝直径时,必须正确使用螺旋测微计的棘轮,并且要选定多个测量点进行测量,并且避免弄弯钢丝带来误差的加大。另外在逐差法中，l δ的测量对于最终的测量精确度也有不小影响，因此,在每次转动鼓轮时，一方面要注意避免空程带来误差，一方面要使得每次叉丝对准标记线中央,尽量避免读数误差。

8.关于本实验其他方面的思考和问题讨论

（１)螺旋测微计使用注意事项是什么？棘轮如何使用?测微计用毕后应作何处置?

?答：使用前后都应检查零点；测量时手握在螺旋测微计的绝热板部分，尽量少接触被测工件，以免热胀冷缩影响测量精度；测量时必须使用棘轮,当测微螺杆端面将要接触到被测物之前,应旋转棘轮，直至接触上被测物时，棘轮自动打滑，听到三声“嗒”的声音后应停止旋转棘轮读数;螺旋测微计用毕将螺杆回转几圈,留出空隙,防止因为热胀,螺杆变形。

（2）在本实验中读数显微镜作测量时哪些情况下会产生空程误差？

应如何消除它？? 答:当手轮改变转动方向时产生空程，在连续测量的过程中如果反方向转手轮,便会产生空程误差。消除的办法是:在增（减）砝码的测量过程中始终按一个方向转动手轮,从增砝码变为减砝码的时候，在开始读取减砝码数据之前应保证手轮已经在减砝码方向转过几圈。

（3)本实验如果改用光杠杆法测量微小伸长量,实验装置应作何考虑？

答:光杠杆的平面镜两个前尖足放在支架平台上，后尖足应放在待测钢丝的下夹具平台上,这样便可通过望远镜和标尺观察平面镜的微小变化以测量钢丝的微小伸长量了。具体的实验装置和原理图见下:

F ｉｇure 2光杠杆法测量弹性模量原理图

９.实验心得与体会

（1）. 通过本实验，我掌握了螺旋测微计和读数显微镜的使用,初步了解了拉伸法测量弹性模量的方法,提高了动手能力和对理论知识的理解。 （2）. 在本次实验中，砝码应该轻拿轻放,螺旋测微计的读数也要注意规则，不然会带来较大的误差。

（3）. 通过对实验结果的数据处理和分析,让我加深了对于最小二乘法和逐差法的理解,运用更加熟练。 二、动力学法测弹性模量 １.实验目的

（1）. 学习用动力学法测量弹性模量；

（2）. 学习用实验方法研究与修正系统误差．

2.实验原理

?考察一根细长棒(长度ｌ远大于比横向半径d ）的横振动。沿ｘ方向建立一维坐标系，使得棒的轴线与坐标轴重合,棒的一端与坐标原点重合,将棒上距离左端x 处截面的ｚ方向位移设为η,E 为该棒的弹性模量，ρ为材料密度，S 为棒的横截面面积,2=z s

I dS ??为某一横截面的惯性矩。根据动力学规律可以列出方程:

?2424+0t EI S x ηη

ρ??=???(９)

?假设棒中每点作简谐振动，可得方程（9)的通解为

()()()

1234,cosh sinh cos sin cos x t B Kx B Kx B Kx B Kx A t ηωφ=++++（1０）

式中14

2

K EI S ωρ??

= ???

为频率公式，ω对任意形状截面的试样,不同的边界条件均成

立。常数Ｋ由边界条件确定。已知根据本实验的边界条件，有 cos cosh 1Kl Kl ?=?(１1)

用数值解法可以得上述方程的一系列根，它们分别为 n K l

＝0,4.7３0,７.853，10.99６，1４．１37，...

其中

00

K l =对应静止状态。将

1 4.730

K l =记做第一个根,对应的振动频率称为基

振频率。于是试样在做基频振动时，存在两个节点,分别位于距离端面

0.2240.776l l 和处。

我们将

1 4.730K l =

代入频率公式,得到基频振动的固有频率为

12

4

4.730EI l S ωρ??

=?

???，解出棒的弹性模量为:

433

2

2

2

1.997810

7.887010l S

l m E f I I ρω--=?=??（12)

其中m lS ρ=为棒的质量，f 为棒的基振频率。

对于直径为ｄ的圆棒，惯量矩表达式为4

2

=z 64

s

d I dS π=

??，代入上式得:

?32

41.6067l m E f

d =?(13）

但是,由于在实际实验测量时，常常不能满足d

l “的细长棒”假设条件，

故应在上式乘上修正系数1T （1T

可以根据d/ｌ的不同数值和材料的泊松比查表知）,即得:

32

1

41.6067l m E f T d =?（14)

式（14)将作为本实验的计算公式。

3.实验仪器

如下图，本实验中，用两根细线将被测试样悬挂在换能器1、2下面。两个换能器分别为激振器和拾振器。信号发生器输出的信号加在激振器上,激发试样振动,拾振器将振动转变为电信号。拾振器和信号发生器输出的信号分别加在示波器两个通道上，通过示波器波形和峰值示数判断样品发生基频共振的频率，并记录这一频率,进而计算弹性模量。实验中还需要使用的仪器有：游标卡尺（测量棒的长度)和螺旋测微计（测量棒的直径)。

Ｆiｇurｅ3实验装置图

4.实验步骤

（1）. 连接线路，把信号发生器和示波器调节至工作状态；

（2）. 用游标卡尺测量样品的长度，螺旋测微计测量样品的直径（在不同部位测6次)，并在读数前后记录螺旋测微仪的零点以修正已定系差。用电子天平测量样品的质量;

（3）. 理论上,样品作基频共振时，悬点应置于节点处,即距棒的两端面分别为

0.2240.776l

l和的地方。但这种情况下，棒的振动无法被激发,即传送给示波器的信号很弱。所以,若欲激发棒的振动,悬点必须离开距棒的两端面分别为l和处。这样与理论条件不一致从而导致系统误差。在实验中采用

0.2240.776l

外推的思想,在两个基频节点处左右3０mm范围内同时对称地改变两悬线的位置，每隔5~10mm测量一次共振频率。画出共振频率f与悬线位置ｘ的关系曲线。由该图可准确求出悬点在节点位置的基频共振频率。

（4）. 注意事项

[1].轻放轻动,防止损坏悬线；

[2].信号发生器与示波器要共地；

[3].激振器上加的正弦信号幅度限制在５V~6Ｖ（峰峰值);

[4].寻找共振点时,调节信号发生器频率要极其缓慢。注意判断假共振信号。

5.数据记录

（1)被测棒的长度L=２0９．7２ｍm；

（2）被测棒的质量m=35．75g; (3)被测棒的直径

测定螺旋测微计的零点d '（单位：ｍm)

测量前 －0.016 -０.015 平均值0.014d mm '≈- 测量后 -0.012 －0.01４

在不同位置六次测量棒的直径 序号

１ 2 3 4 5

６ ()i d mm 测 4.932 4.９2９ 4．932

4.９２９ 4.928

4.9３0

i i d d d '

=-测

4.946

４.94３ 4．94６ 4.943 4．９4２ 4.944

(4)被测棒的共振频率（试验台号：12)

以棒的左端点为原点建立一维坐标系，计算得节点位置146.98x mm =，

2162.74x mm =, 在节点两侧对称位置测量共振频率 序号

1 ２ ３ 4 5

选线位置()x mm 16．９8 26.98 36.98 41.9８ 4３.9８ 共振频率()f Hz 377.08 ３74.80 ３72.34 371.29 ３71．71 序号

6

７ 8

9

１0

选线位置()x mm 49.９8 51.98 5６.98

66.9８

７6．9８ 共振频率()f Hz ３70.71

371.4７

3７2．２0

373.2０ 375．19

６．数据处理

(１)被测样品基频共振频率

通过MA ＴLAB 的科学计算,作出“f-ｘ”曲线(f 是铜棒的基频共振频率,ｘ是左悬线的位置）,

Ｆi ｇｕｒｅ 4铜棒的基频共振频率与悬线的位置关系图

通过计算机编程，得到多项式64323.4100.000630.0360.55380f x x x x -=-?+-++。由F ｉgu ｒe ３可知，“ｆ－x ”曲线最低点坐标是()48.20，371.30确定铜棒的本征基频0371.30f Hz =，在棒上位于距两端048.2x mm =处取得。 (2)棒的直径

?由表中数据,6

1

4.9446

i

i i d

d mm ==

=∑，得铜棒直径测量值 4.944i d d mm ==.

标准偏差()

()

6

2

2

1

1

0.0016731

5

i n

i

i

i

i

i i d d

d d

d s mm n ==--=

=

≈-∑∑。

已知螺旋测微计的示值误差0.004mm

?=仪，故

()2

234.368192726100.004i p d d t v s mm n ???=+?≈?≈ ???仪

所以铜棒直径的测量值为(4.9440.004)d mm =±。

（3）查表得1T

本实验中用的样品为标准规格为5,210d mm l mm ==的紫铜圆杆，查表知

10

2030

4050607080

370371372373374375376377378悬线位置（mm ）

共振频率（H z ）

实验数据 多项式拟合

1 1.0031T =

（４）计算样品弹性模量E

()()

32

1

43

33

24

31.6067209.721035.75101.6067371.30 1.00314.94410122.633936122.6l m E f T d GPa GPa

---=???=?

???≈≈(1５)

进一步计算E 的不确定度。在本实验中，0.10,0.05,0.02,f m L Hz g mm ?=?=?=由以上计算得，0.004d mm ?=,故

2

2

2

2

2

2

2

2

-3

24330.020.0540.00420.10209.7235.75 4.944371.33.5778996910f m d E L E L m d f ???

??????????=+++ ? ? ? ?????????

???????????=+++ ? ? ? ?????????≈?（１6）

进而求的=

0.43877192150.4E

E E GPa GPa E

??≈≈ 最终结果()122.60.4E GPa =± 7.误差分析

(1)物理量误差分析

由计算公式32

141.6067l m E f T d

=得：

2

222

243f m d E L E L m d f ?????????????=+++ ? ? ? ?????????

所以各项误差计算得：

3L

L

?

m m

?

4d d

?

2f f

?

0.00０29 0.0０1４0 ０.0０3２

4

0.0００54

?由各项物理量分别的误差可知,本实验中对于铜棒直径的测量对于最终结果的精确度影响

较大,因此使用螺旋测微计的时候应该尽量减小误差。同时，质量测量对于最终的精度影响也较大，因此,为获取更高精确度的最终结果，可以采用精确度更高的天平。同时,从样品规格层面考虑,如果选择直径更大,质量更大的样品，即更粗的铜棒,可以减小

m m ?和4d

d

?，但是在本实验中应要求棒尽量接近细长棒，所以增大半径不能无限制，可以通过计算选择实际可

容忍误差范围内最细的样品。 (2)拟合曲线误差分析

F ｉｇure 5多项式拟合残差图

由上图可知，多项式拟合时误差分布相对均匀,同时数值相对较小,均在0．6以下。因此，本次实验的实验结果与多项式的拟合理论值吻合度较好,多项式的表达式误差较小,可以比较准确得描述基频共振频率与悬线的位置的关系。

8.心得与体会

（4）. 通过本次试验,我对于将动力学量转化为电信号的换能器的工作特点有了初步的了解，并了解了示波器的部分基本功能。

（5）. 通过本次试验的学习,我又掌握了两种测试材料弹性模量的方法,对比以往学过的光杠杆-拉伸法,发现了不同方法的优缺点和针对不同材料的不同适用性。在实验中感受到理论学习和实验探索的区别。

（6）. 通过对于数据的处理,理解和掌握了利用多项式进行趋势拟合的图像处理方法，通过对本次实验设计的感悟，收获了测量不易测量的量的一种方法:通过测量两侧的值，利用其变化的连续性推出不易测量点的相应物理量的值。

10

2030

4050607080

-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.8悬线位置（mm ）

残差

附：原始数据记录表格: