常用平方数
112=121 122=144 132=169 142=196 152=225
162=256 172=289 182=324 192=361 102=100
202=400 302=900 402=1600 502=2500 602=3600
702=4900 802=6400 152=225 252=625 352=1225
452=2025 552=3025 652=4225 752=5625 852=7225
常用立方数：
13=1 23=8 33=27 43=64 53=125
63=216 73=343 83=512 93=729
圆周率常取数据
3.14×1＝3.14 3.14×2＝6.28 3.14×3＝9.42
3.14×4＝12.56 3.14×5＝15.7 3.15×6＝18.84
3.14×7＝21.98 3.14×8＝25.12 3.14×9＝28.26
常用特殊数的乘积
25×3＝75 25×4＝100 25×8＝200 125×3＝375 125×4＝500 125×8＝1000 625×16＝10000 37×3=111关于常用分数与小数的互化：
1/2=0.5 1/4=0.25 3/4=0.75 1/5=0.2 2/5=0.4 3/5=0.6 4/5=0.8 1/8=0.125 3/8=0.375 5/8=0.625 7/8=0.875 1/20=0.05 3/20=0.15 7/20=0.35 9/20=0.45 11/20=0.55 1/25=0.04 2/25=0.08 3/25=0.12 4/25=0.16 6 /25=0.24
常见的根号数的近似值
记几个特殊值：
√2=1.414
√3=1.732
√5=2.236
√7=2.645
√11=3.317
那么，√6=√2*√3
√8=2√2
√10=√2*√5
√105=√3*√5*√7
实在开不出来的就估一下
比如√13和√0.001
因为√12=2√3=2*1.732=3.464
√14=√2*√7=1.414*2.645=3.74003 所以√13约等于3.6
因为√0.0009=0.03
所以√0.001约等于0.03
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2011.07.27_▲侠女带你学英语之会功夫的熊猫_Kong_Fu_Panda.exe
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2011.07.28_初三数学_（五四学制选修）复习《一元一次不等式》.exe https://www.doczj.com/doc/a04833504.html,/file/clqmnmk2#
2011.07.28初三语文_完善知识体系，补益语文能力1.exe
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2011.07.29初三英语_走近初三_英语学法指导.exe
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2011.07.30初三英语_掌握技巧拿高分之完形填空专项指导.exe
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2011.07.31初三英语_掌握技巧拿高分之阅读理解专项指导.exe
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2011.08.12初三语文_明确基本题型，助力中考阅读.exe
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2011.08.13初三语文_丰富积累，写出好文.exe
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蓝色心情 2011年07月19日 10:49 阅读(25) 评论(0) 分类：四中网校课?举报
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11.07.16初二语文综合指导.exe
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2011.7.16_初二数学_★第一章勾股定理_李莹.exe
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2011.07.17国学_▲三字经、弟子规与生活（一）.exe
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2011.8.17_初二英语_★牛津英语_Chapter_6_Pollution_Fighters_郭飒.exe
第三十一讲 完全平方数和完全平方式 设n 是自然数，若存在自然数m ，使得n=m 2，则称n 是一个完全平方数(或平方数)．常见的题型有：判断一个数是否是完全平方数；证明一个数不是完全平方数；关于存在性问题和其他有关问题等．最常用的性质有： (1)任何一个完全平方数的个位数字只能是0，1，4，5，6，9，个位数字是2，3，7，8的数一定不是平方数； (2)个位数字和十位数字都是奇数的两位以上的数一定不是完全平方数，个位数字为6，而十位数字为偶数的数，也一定不是完全平方数； (3)在相邻两个平方数之间的数一定不是平方数； (4)任何一个平方数必可表示成两个数之差的形式； (5)任何整数平方之后，只能是3n 或3n+1的形式，从而知，形如3n+2的数绝不是平方数；任何整数平方之后只能是5n ，5n+1，5n+4的形式，从而知5n+2或5n+3的数绝不是平方数； (6)相邻两个整数之积不是完全平方数； (7)如果自然数n 不是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是偶数；如果自然数n 是完全平方数，那么它的所有正因数的个数是奇数； (8)偶数的平方一定能被4整除；奇数的平方被8除余1，且十位数字必是偶数． 例题求解 【例1】 n 是正整数，3n+1是完全平方数，证明：n+l 是3个完全平方数之和． 思路点拨 设3n+1=m 2，显然3卜m ，因此，m=3k+1或m=3k+2(k 是正整数)． 若rn=3k+1，则k k m n 233 122+=-=． ∴ n+1=3k 2+2k+1= k 2+ k 2+( k+1)2． 若m=3k+2，则1433 122++=-=k k m n ∴ n+1=3k 2+4k+2= k 2+(k+1)2+( k+1)2． 故n+1是3个完全平方数之和． 【例2】一个正整数，如果加上100是一个平方数，如果加上168，则是另一个平方数，求这个正整数． 思路点拨 引入参数，利用奇偶分析求解． 设所求正整数为x ，则 x+100=m 2 ----① x+168==n 2 -----② 其中m ，n 都是正整数， ②—①得n 2—m 2=68，即 （n —m ）(n+m)=22×17．---- ③ 因n —m ，n+m 具有相同的奇偶性，由③知n —m ，n+m 都是偶数．注意到0 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导？即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+... +n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) 帕斯卡与前n 个自然数的平方和 十七世纪的法国数学家帕斯卡（Pascal B.，1623.6.19~1662.8.19）想出了一个新的很妙的方法能求出前n 个自然数的平方和。这个方法是这样的： 利用和的立方公式，我们有 （n ＋1）3＝n 3＋3n 2＋3n ＋1， 移项可得 （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 此式对于任何自然数n 都成立。 依次把n ＝1,2，3，…，n －1，n 代入上式可得 23 －13＝3?12＋3?1＋1， 33 －23＝3?22＋3?2＋1， 43 －33＝3?32＋3?3＋1， …………………………… n 3－（n －1）3＝3（n －1）2＋3（n －1）＋1， （n ＋1）3 －n 3＝3n 2＋3n ＋1， 把这n 个等式的左边与右边对应相加，则n 个等式的左边各项两两相消，最后只剩下（n ＋1）3 － 1；而n 个等式的右边各项，我们把它们按三列相加，提取公因数后，第一列出现我们所要计算的前n 个自然数的平方和，第二列出现我们在上一段已经算过的前n 个自然数的和，第三列是n 个1。因而我们得到 （n ＋1）3 －1＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ， 现在这里S n ＝12＋22＋…＋n 2。 对这个结果进行恒等变形可得 n 3＋3n 2＋3n ＝3S n ＋ 2)1(3+n n ＋n ， 2n 3＋6n 2＋6n ＝6S n ＋3n 2＋3n ＋2n 移项、合并同类项可得 6S n ＝2n 3＋3n 2＋n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）， ∴S n ＝ 61n （n ＋1）（2n ＋1）， 即 12＋22＋32＋…＋n 2＝6 1n （n ＋1）（2n ＋1）。 这个方法把所要计算的前n 个自然数的平方和与已知的前n 个自然数的和及其它一些已知量通过一个方程联系起来，然后解方程求出所希望得到的公式，确实是很妙的。 完全平方数 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能整除a 。 2.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数基本性质和概念 基础练习、指出下列哪些是平方数？ 1156，5487，5329，8008。 1． 在3240,8972,2116，2475,2400这五个数中，哪几个是完全平方数？ 2.正整数的平方按大小排成1 4 9 16 25 36 49 …,那么第85 个位置上的数字是几 【例 1】 写出从360到630的自然数中有奇数个约数的数． 1、在50～400中，有多少个平方数？ 2、在50～761中有多少个平方数？ 例题精讲 知识点拨 3、123×134的积是平方数吗？ 4、一个数的完全平方有39个约数，求该数的约数个数是多少？ 【例2】从1到2008的所有自然数中，乘以72后是完全平方数的数共有多少个？ 【巩固】1016与正整数a的乘积是一个完全平方数，则a的最小值是________． 2、46035乘以一个自然数a，积是一个整数的平方，求最小的a及这个整数。 3、已知3528a恰是自然数b的平方数，a的最小值是。 【例3】已知自然数n满足：12!除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是。 1、（04南京冬令营）一个数与2940的积是完全平方数，那么这个数最小是（）。 2、（03甘肃冬令营）祖孙三人，孙子和爷爷的年龄的乘积是1512，而爷爷、父亲、孙子三人的年龄之积是完全平方数，则父亲的年龄是（）岁。 3.求一个能被180整除的最小完全平方数. 【例4】一个数减去100是一个平方数，减去63也是一个平方数，问这个数是多少？ 1、能否找到这么一个数，它加上24，和减去30所得的两个数都是完全平方数？ 2、三个自然数，它们都是完全平方数，最大的数减去第二大的数的差为80，第二大的数减去最小的数的 差为60，求这三个数． 3、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。 平方表 平方根平方数平方根平方数平方根平方数平方根平方数 1 1 26 676 51 2601 76 5776 2 4 27 729 52 2704 77 5929 3 9 28 78 4 53 2809 78 6084 4 16 29 841 54 2916 79 6241 5 25 30 900 55 3025 80 6400 6 36 31 961 56 3136 81 6561 7 49 32 1024 57 3249 82 6724 8 64 33 1089 58 3364 83 6889 9 81 34 1156 59 3481 84 7056 10 100 35 1225 60 3600 85 7225 11 121 36 1296 61 3721 86 7396 12 144 37 1369 62 3844 87 7569 13 169 38 1444 63 3969 88 7744 14 196 39 1521 64 4096 89 7921 15 225 40 1600 65 4225 90 8100 16 256 41 1681 66 4356 91 8281 17 289 42 1764 67 4489 92 8464 18 324 43 1849 68 4624 93 8649 19 361 44 1936 69 4761 94 8836 20 400 45 2025 70 4900 95 9025 21 441 46 2116 71 5041 96 9216 22 484 47 2209 72 5184 97 9409 23 529 48 2304 73 5329 98 9604 24 576 49 2401 74 5476 99 9801 25 625 50 2500 75 5625 100 10000 For personal use only in study and research; not for commercial use 求：①自然数（一次方）的和，即：n ++++ 321 ②自然数平方（二次方）的和，即：2222321n ++++ ③自然数立方（三次方）的和，即：3333321n ++++ 求①式可用2)1(+n 来计算；求②式可用3)1(+n 来计算；求③式可用4)1(+n 来计算 ① ∵12)1(22++=+n n n ∴ 1121222+?+= …… 将以上等式两边相加得： ∴ n ++++ 3212 )1(+= n n ② ∵3)1(+n = 13323+++n n n ∴ 1131312233+?+?+= …… 3)1(+n = 13323+++n n n 将以上等式两边相加得： )321(32222n ++++? = 3)1(+n —?? ????++?+n n n 2)1(313 ∴ 2222321n ++++ = 6 )12)(1(++n n n ③ 用同样的方法，可得： 3333321n ++++ = 4)1(22+n n = 22)1(?? ? ??+n n 自然数的立方和等于自然数和的平方。 利用上面三个结论，我们就可以计算下面数列的和了。 ④ )321()321()21(1n +++++++++++ ∵n ++++ 3212)1(+=n n = n n 2 1212+ ∴ 12 112112?+?= …… n ++++ 321 = n n 2 1212+ 将上面各式左右两边分别相加，得： )321()321()21(1n +++++++++++ = )321(2 12222n ++++ = ?? ? ??++++2)1(6)12)(1(21n n n n n = 6 )2)(1(++n n n ⑤ )1(433221+++?+?+?n n = 3 )2)(1(++n n n ⑥ )2)(1(543432321++++??+??+??n n n = 4)3)(2)(1(+++n n n n 完全平方数 知识框架 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被a整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N为完全平方数?自然数N约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质 -，因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n是自然数，N是完全平方数，且21|n p N 则2|n p N． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 二、一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一 定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49， 69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 静安区2019学年第一学期教学质量检测 高三语文试卷2019.12 考生注意： 1．本场考试时间150分钟，满分150分。 2．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位。在试卷上作答一律不得分。 3．用2B铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题。 一积累应用10分 1．按要求填空。（5分） (1) ，尘满面，鬓如霜。（苏轼《·乙卯正月二十日夜记梦》） (2)纵豆蔻辞工，，难赋深情。（姜夔《扬州慢》） (3)本来是自己思念对方，却描写对方如何思念自己，有人将这种手法命名为叫“从 对面写起”；柳永《八声甘州·对潇潇暮雨洒江天》中运用这种手法的句子是：“，、”。 2．按要求选择。（5分） （1）在横线上填入合适的名句，最合适的一项是( )。（2分） 每一个人的人格都应受到尊重。自尊、自重，就意味着尊重他人，自主、自由，就意味着尊重他人的自由权利。我们常常发现，标榜者与者发生在一个人身上，唯命是听的人往往不负责任。与完全相反，宽以待己者往往严以对人。这正是因为自尊者尊重人，自由选择的人是负责的人，而又决不强人所难，自爱的人爱人，他们懂得。 ①摧眉折腰事权贵②己所不欲，勿施予人③不为五斗米折腰④躬自厚而薄责于人 A.③①②④ B.①③④② C.③①④② D.①③②④ (2)青年作者王俐平在一次座谈会上认识了《文学月刊》的编辑李格非老师，王俐平为了投稿和请教方便，主动加了李格非老师的微信。某日，王俐平将自己的短篇小说用微信发送给李格非老师，微信是这样写的：尊敬的李老师，奉上一篇小作，请您多加指教；如有可能发表在贵刊，将是我莫大的荣幸。李格非因为工作调动，不再担任该刊编辑，于是回复道：谢谢您的信任，很抱歉，我已调离编辑部。 下面是几位同学替王俐平拟定回复李老师的微信，最恰当的一项是（）。（3分） 1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5=25 6*6=36 7*7=49 8*8=64 9*9=81 10*10=100 11*11=121 12*12=144 13*13=169 14*14=196 15*15=225 16*16=256 17*17=289 18*18=324 19*19=361 20*20=400 21*21=441 22*22=484 23*23=529 24*24=576 25*25=625 26*26=676 27*27=729 28*28=784 29*29=841 30*30=900 31*31=961 32*32=1024 33*33=1089 34*34=1156 35*35=1225 36*36=1296 37*37=1369 38*38=1444 39*39=1521 40*40=1600 41*41=1681 42*42=1764 43*43=1849 44*44=1936 45*45=2025 46*46=2116 47*47=2209 48*48=2304 49*49=2401 50*50=2500 51*51=2601 52*52=2704 53*53=2809 54*54=2916 55*55=3025 56*56=3136 57*57=3249 58*58=3364 59*59=3481 60*60=3600 61*61=3721 62*62=3844 63*63=3969 64*64=4096 65*65=4225 66*66=4356 67*67=4489 68*68=4624 69*69=4761 70*70=4900 71*71=5041 72*72=5184 73*73=5329 74*74=5476 75*75=5625 76*76=5776 77*77=5929 78*78=6084 79*79=6241 80*80=6400 81*81=6561 82*82=6724 83*83=6889 84*84=7056 85*85=7225 86*86=7396 87*87=7569 88*88=7744 89*89=7921 90*90=8100 91*91=8281 92*92=8464 93*93=8649 94*94=8836 95*95=9025 96*96=9216 97*97=9409 98*98=9604 99*99=9801 100*100=10000 1——100的平方表 初中数学竞赛专题选讲（初三.2） 完全平方数和完全平方式 一、内容提要 一定义 1. 如果一个数恰好是某个有理数的平方，那么这个数叫做完全平方数. 例如0，1，0.36，25 4，121都是完全平方数. 在整数集合里，完全平方数，都是整数的平方. 2. 如果一个整式是另一个整式的平方，那么这个整式叫做完全平方式. 如果没有特别说明，完全平方式是在实数范围内研究的. 例如： 在有理数范围 m 2, (a+b －2)2, 4x 2－12x+9, 144都是完全平方式. 在实数范围 （a+3）2, x 2+22x+2, 3也都是完全平方式. 二. 整数集合里，完全平方数的性质和判定 1. 整数的平方的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.所以凡是末位数字为2，3，7，8的整数必不是平方数. 2. 若n 是完全平方数，且能被质数p 整除, 则它也能被p 2整除.. 若整数m 能被q 整除，但不能被q 2整除, 则m 不是完全平方数. 例如：3402能被2整除，但不能被4整除，所以3402不是完全平方数. 又如：444能被3整除，但不能被9整除，所以444不是完全平方数. 三. 完全平方式的性质和判定 在实数范围内 如果 ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式，则b 2－4ac=0且a>0； 如果 b 2－4ac=0且a>0；则ax 2+bx+c (a ≠0)是完全平方式. 在有理数范围内 当b 2－4ac=0且a 是有理数的平方时，ax 2+bx+c 是完全平方式. 四. 完全平方式和完全平方数的关系 1. 完全平方式（ax+b ）2 中 当a, b 都是有理数时, x 取任何有理数，其值都是完全平方数； 当a, b 中有一个无理数时，则x 只有一些特殊值能使其值为完全平方数. 2. 某些代数式虽不是完全平方式，但当字母取特殊值时，其值可能是完全平方数. 例如： n 2+9, 当n=4时，其值是完全平方数. 所以，完全平方式和完全平方数，既有联系又有区别. 五. 完全平方数与一元二次方程的有理数根的关系 1. 在整系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)中 ① 若b 2－4ac 是完全平方数，则方程有有理数根； ② 若方程有有理数根，则b 2－4ac 是完全平方数. 2. 在整系数方程x 2+px+q=0中 ① 若p 2－4q 是整数的平方，则方程有两个整数根； ② 若方程有两个整数根，则p 2－4q 是整数的平方. 5-4-4.完全平方数及应用（一）.题库 教师版 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解 中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完 全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【考点】完全平方数计算及判断 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一） 自然数平方数列和立方数列求和公式怎么推导即： (1) 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 (2) 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 推导过程如下： 一. 1^2+2^2+3^2+……+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 利用立方差公式 n^3-(n-1)^3=1*[n^2+(n-1)^2+n(n-1)] =n^2+(n-1)^2+n^2-n =2*n^2+(n-1)^2-n 2^3-1^3=2*2^2+1^2-2 3^3-2^3=2*3^2+2^2-3 4^3-3^3=2*4^2+3^2-4 ...... n^3-(n-1)^3=2*n^2+(n-1)^2-n 各等式全相加 n^3-1^3=2*(2^2+3^2+...+n^2)+[1^2+2^2+...+(n-1)^2]-(2+3+4+...+n) n^3-1=2*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2+[1^2+2^2+...+(n-1)^2+n^2]-n^2-(2+3+4+...+n) n^3-1=3*(1^2+2^2+3^2+...+n^2)-2-n^2-(1+2+3+...+n)+1 n^3-1=3(1^2+2^2+...+n^2)-1-n^2-n(n+1)/2 3(1^2+2^2+...+n^2)=n^3+n^2+n(n+1)/2=(n/2)(2n^2+2n+n+1) =(n/2)(n+1)(2n+1) 故：1^2+2^2+3^2+...+n^2=n(n+1)(2n+1)/6 二. 1^3+2^3+3^3+……+n^3=[n(n+1)/2]^2 证明如下： (n+1)^4-n^4=[(n+1)^2+n^2][(n+1)^2-n^2] =(2n^2+2n+1)(2n+1) =4n^3+6n^2+4n+1 1、C列分数化小数的记法：分子乘5，小数点向左移动两位。 2、D、E两列分数化小数的记法：分子乘4，小数点向左移动两位 常见分数、小数互化表 常见的分数、小数及百分数的互化 常用平方数 常见立方数 常见特殊数的乘积 错位相加/减 A×9型速算技巧：A×9= A×10-A； 例：743×9=743×10-743=7430-743=6687 A×型速算技巧：A×= A×10+A÷10； 例：743×=743×10-743÷10== A×11型速算技巧：A×11= A×10+A； 例：743×11=743×10+743=7430+743=8173 A×101型速算技巧：A×101= A×100+A； 例：743×101=743×100+743=75043 乘/除以5、25、125的速算技巧： A×5型速算技巧：A×5=10A÷2； 例：×5=×10÷2=÷2= A÷5型速算技巧：A÷5=×2； 例：÷5=××2=×2= A×25型速算技巧：A×25=100A÷4； 例：7234×25=7234×100÷4=723400÷4=180850 A÷25型速算技巧：A÷25=×4； 例：3714÷25=3714××4=×4= A×125型速算技巧：A×5=1000A÷8； 例：8736×125=8736×1000÷8=8736000÷8=1092000 A÷125型速算技巧：A÷1255=×8； 例：4115÷125=4115××8=×8= 减半相加： A×型速算技巧：A×=A+A÷2； 例：3406×=3406+3406÷2=3406+1703=5109 “首数相同尾数互补”型两数乘积速算技巧： 积的头=头×（头+1）；积的尾=尾×尾 例：23×27=首数均为2，尾数3与7的和是10，互补 1. 学习完全平方数的性质； 2. 整理完全平方数的一些推论及推论过程 3. 掌握完全平方数的综合运用。 一、完全平方数常用性质 1.主要性质 1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。 2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。 3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。 4.若质数p 整除完全平方数2a ，则p 能被a 整除。 2.性质 性质1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9． 性质2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数． 性质3：自然数N 为完全平方数?自然数N 约数的个数为奇数．因为完全平方数的质因数分解中每个质因 数出现的次数都是偶数次，所以，如果p 是质数，n 是自然数，N 是完全平方数，且21|n p N -，则 2|n p N ． 性质4：完全平方数的个位是6?它的十位是奇数． 性质5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数．如果一个完全平方数的个 位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个． 性质6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数． 3.一些重要的推论 1.任何偶数的平方一定能被4整除；任何奇数的平方被4（或8）除余1.即被4除余2或3的数一定不是完全平方数。 2.一个完全平方数被3除的余数是0或1.即被3除余2的数一定不是完全平方数。 3.自然数的平方末两位只有：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。 4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。 5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。 6.完全平方数的个位数字为6时，其十位数字必为奇数。 7.凡个位数字是5但末两位数字不是25的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。 3.重点公式回顾：平方差公式：22()()a b a b a b -=+- 模块一、完全平方数计算及判断 【例 1】 已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-4-4.完全平方数及应用（一） 自然数立方的规律研究 我喜欢数学，因为在数学王国里有许多有趣的规律。上学期的一天，我在做正方体体积的计算练习，13=1、23=8、33=27、43=64、53=125……这些答案是否存在什么规律呢？于是我开始仔细地研究。 我把这些答案的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，就发现了一定的规律，于是我列了一张表，如下： 我归纳一下得出这样的普遍规律：自然数n除以3，当余数=1，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得1；当余数=2，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得8；当余数=0，n3的各个位数上的数字相加，直到求出的和是个位数时，结果得9。 这只是偶然吗？后面的自然数立方也遵循这个规律吗？于是我 开始验证我发现的规律。 验证结果让我太高兴了，我立刻把这个发现告诉全家人，大家纷纷拿笔来计算，最后也都符合我发现的这个规律。我太自豪了，这可是我自己动脑筋思考和研究的结果，也许这还是个伟大的发现呢！妈妈笑着提醒我，“你再研究研究，为什么自然数立方会有这样的规律呢？” 对呀，为什么呢？于是，我又进入了新一轮的苦思冥想，经过几番挫折，我都没有成功，后来我逐个突破，先从余数是0的开始，这个自然数n就是3的倍数，即n=3x（x=1，2，3，……），那么， n3=27x3=9×3x3，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数，9的倍数各个位数之和一定是9的倍数，所以将各个位数上的数字相加， 直到求出的和是个位数时，结果一定是9。啊哈，我越来越接近成功了！ 再来看，当余数是1时，这个自然数n就是3的倍数加1，即n=3x+1（x=0，1，2，3，……），那么，n3=（3x+1）3=27x3+27x2+9x+1=9（3x3+3x2+x）+1，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数再加1，那么结果一定是9+1=10，1+0=1，哈哈，第二关闯关成功！ 最后看，当余数是2时，这个自然数n就是3的倍数减1，即n=3x-1（x=1，2，3，……），那么，n3=（3x-1）3=27x3-27x2+9x-1=9（3x3-3x2+x）-1，也就是说这类自然数的立方一定是9的倍数再减1，那么结果一定是9-1=8，哈哈，第三关闯关成功！耶！我兴奋地大叫并跳了起来。 学习数学真是一个快乐的过程，自然数立方的规律问题是我自己在平时学习中发现的，我联系所学的数学知识，仔细思考、归纳总结并想办法证明，让我体会到在数学海洋里遨游的无穷乐趣，我要是能掌握更多的数学知识，我一定会收获更多的快乐。 肖老师留言：下周一上交的是方案，类似于我昨天给你的样本那样简写即可。月底交的文章要详尽，可参考我刚才给你发的范文。 完全平方数 目录 一、定义 二、基础性质及推论 三、重要结论 四、区别 五、特殊的完全平方数 六、范例 1.例1 2.例2 3.例3 4.例4 5.例5 6.例6 7.例7 8.例8 七、讨论题 一、定义及表达式 1、定义：若一个数能表示成某个整数的平方，则称这个数为完全平方数，也叫平方数。 1.1例如： 0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361, 400,441,484,529，… 2、标准分解式：大于1的平方数n 的标准分解式如下： 1222212k l l l k n p p p =L （1） 其中12121,,,,k k k p p p p p p ≥<< 精品文档 1—30 的平方 2 的1—10 次方 12 = 1 2 222= 484 21= 2 22 = 4 232= 529 22=4 32 = 9 242= 576 23=8 42 = 16 2 252= 625 24= 16 52 = 25 262= 676 25=32 62 = 36 272= 729 26= 64 72 = 49 282= 784 27= 128 82 = 64 2 292= 841 28= 256 92 = 81 2 302= 900 29= 512 102= 100 210 1024 11 2= 121 1—10 的立方 12 2= 144 13= 1 2 132= 169 23= 8 14 2= 196 33= 27 2 152= 225 43= 64 16 2= 256 53= 125 172= 289 63= 216 182= 324 73= 343 2 192= 361 383= 512 20 2= 400 393= 729 21 2= 441 103= 1000 精品文档 1欢迎。下载 1-20 平方根，1-10 立方根表 平方根VI= 1 V2 = 1.4142135623731 V3 = 1.73205080756888 V4 = 2 V5 = 2.23606797749979 V6 = 2.44948974278318 V7 = 2.64575131106459 V8 = 2.82842712474619 V9 = 3 V10 = 3.16227766016838 VII= 3.3166247903554 V12 = 3.46410161513775 V13 = 3.60555127546399 V14 = 3.74165738677394 V15 = 3.87298334620742 V16 = 4 V17 = 4.12310562561766 V18 = 4.24264068711928 V19 = 4.35889894354067 V20 = 4.47213595499958 立方根 3V1 = 1 3V2 = 1.25992104989487 3V3 = 1.44224957030741 3V4 = 1.5874010519682 3V5 = 1.7099759466767 3V6 = 1.81712059283214 3V7 = 1.91293118277239 3V8 = 2 3V9 = 2.0800838230519 3V10 = 2.15443469003188 2欢迎。下载 1．3 完全平方数 【知识精讲】 1．定义：一个数如果是另一个整数的完全平方，那么我们就称这个数为完全平方数，也叫做平方数.例如：0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,…，分析和比较这些完全平方数，可以获得对它们个位数、十位数、各位数字和等的规律性的认识. 2．完全平方数的性质 性质1:完全平方数的末位数只能是0,1,4,5,6,9. 推论：末位数是2,3,7,8的整数一定不是完全平方数. 性质2：奇数的平方的个位数字为奇数，十位数字为偶数. 证明:奇数必为下列五种形式之一： 10a+1,10a+3,10a+5,10a+7,10a+9. 分别平方后，得 (10a+1)2=100 a 2+20a+1=20a (5a+1)+1， (10a+3)2=100 a 2+60a+9=20a (5a+3)+9， (10a+5)2=100 a 2+100a+25=20(5a+5a+1)+5， (10a+7)2=100 a 2+140a+49=20(5a+7a+2)+9， (10a+9)2=100 a 2+180a+81=20(5a+9a+4)+1. 综上各种情形可知：奇数平方的个位数字为奇数1,5,9；十位数字为偶数. 性质3：如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数. 证明:∵222(10)10020x y x xy y +=++，∴如果完全平方数2210020x xy y ++的十位数字是奇数，则2y 的十位数字是奇数，∴y =4或6，由此知2210020x xy y ++的个位数字是6. 反之，若m 2=10k +6，则k 为奇数. ∵m 2的个位数为6，∴m 的个位数为4或6，于是可设m =10n+4或10n+6，从而有10k+6=(10n+4)2=100n 2+10(8n +1)+6，或 10k +6=(10n+6)2=100n 2+10(12n+3)+6，即k =10n 2+8n +1=2(5n 2+4n )+1，或k =10n 2+12n +3=2(5n 2+6n )+3，∴k 为奇数. 完全平方数 什么是完全平方数？ 相等两个整数的乘积是完全平方数，常见的完全平方数有1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，121，144，169，196，225，256，289，324，361，400，441…… 例1.从1~10中最多可以选出个数，使得选出的数中，任何两个数的和不是完全平方数. [答疑编号0518320101] 【解答】 选出2，3，4，8，9，10这六个数，可见其中任何两个数的和都不是完全平方数。 如果选出了七个数，将1~10分为6组，（10，6），（9，7），（8，1），（5，4），（2），（3），则必有一组中的两个数都被选出来了，那么它们的和是完全平方数。 所求的最大值是6。 完全平方数质因数分解的特征： 将一个完全平方数质因数分解后，每个质因数的次数都是偶数。 推论：只有完全平方数恰有奇数个约数。 例2.从1到2012的所有自然数中，有个数乘以72后是完全平方数. 1 [答疑编号0518320102] 【解答】因为，所以要想乘以72以后是完全平方数，这个数本身应该是某个完全平方数的2倍.因为，所以从1到2012中，符合要求的数有31个. 例3.素数A、B互不相等，已知A的平方的2倍有4个约数，则B的平方的4倍有个约数. [答疑编号0518320103] 【解答】如果A不是2，则A平方的2倍有3×2＝6个约数，故A＝2.所以B就不能是2，它平方的4倍有3×3＝9个约数.本题答案为9. 涉及到完全平方的公式： 例4. 一个正整数，加上100后的结果是一个完全平方数，加上168 后的结果也是一个完全平方数.那么这个正整数为. [答疑编号0518320104] 【解答】设加上100后为，加上168后为，那么， 2 常用自然数平方立方 平方立方 2 4 8 3 9 27 4 16 64 5 25 125 6 36 216 7 49 343 8 64 512 9 81 729 10 100 1000 11 121 1331 12 144 1728 13 169 2197 14 196 2744 15 225 3375 16 256 4096 17 289 4913 18 324 5832 19 361 6859 20 400 8000 21 441 9261 22 484 10648 23 529 12167 24 576 13824 25 625 15625 26 676 17576 27 729 19683 28 784 21952 29 841 24389 常用自然数平方立方 平方立方平方立方 2 4 8 16 256 4096 3 9 27 17 289 4913 4 16 64 18 324 5832 5 25 125 19 361 6859 6 36 216 20 400 8000 7 49 343 21 441 9261 8 64 512 22 484 10648 9 81 729 23 529 12167 10 100 1000 24 576 13824 11 121 1331 25 625 15625 12 144 1728 26 676 17576 13 169 2197 27 729 19683 14 196 2744 28 784 21952 15 225 3375 29 841 24389 常用自然数平方立方 平方立方平方立方 2 4 8 16 256 4096 3 9 27 17 289 4913 4 16 64 18 324 5832 5 25 125 19 361 6859 6 36 216 20 400 8000 7 49 343 21 441 9261 8 64 512 22 484 10648 9 81 729 23 529 12167 10 100 1000 24 576 13824 11 121 1331 25 625 15625 12 144 1728 26 676 17576 13 169 2197 27 729 19683 14 196 2744 28 784 21952 15 225 3375 29 841 24389自然数平方数列和立方数列求和公式
前n个自然数的平方和及证明
完全平方数整理
100以内的平方数与立方数
自然数的和,平方和,立方和
2018最新五年级奥数.数论.完全平方数(C级).学生版
最新常用自然数平方立方表
1-100平方、立方表
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