计数原理、概率与统计

《计数原理、概率与统计》高考试题汇编

1．(2017·全国Ⅰ理，2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )

A ．14

B ．π8

C ．12

D ．π4

2．(2017·全国Ⅰ文，2)为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田．这n 块地的亩产量(单位：kg)分别为x 1，x 2，…，x n ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )

A ．x 1，x 2，…，x n 的平均数

B ．x 1，x 2，…，x n 的标准差

C ．x 1，x 2，…，x n 的最大值

D ．x 1，x 2，…，x n 的中位数

3．(2017·全国Ⅰ理，19)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．

(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的数学期望；

(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得＝

116

∑=16

1

i i

x ＝9.97，s ＝＝≈0.212，其中x i

为抽取第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)

用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s 作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除( －3 ，＋3 )之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．

附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ

1．(2016·全国Ⅰ理，4)某公司的班车在7：00,8：00,8：30发车，小明在7：50至8：30

之

间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( )

A.13

B.12

C.23

D.34

2．(2016·全国Ⅰ理，19)(本小题满分12分)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X 表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n 表示购买2台机器的同时购买的易损零件数． (1)求X 的分布列；

(2)若要求P (X ≤n )≥0.5，确定n 的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n ＝19与n ＝20之中选其一，应选用哪个？

1.(2015·全国Ⅰ理，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（ ）

(A)0.648 (B)0.432

(C)0.36

(D)0.312

2.(2015·全国Ⅰ理，19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t )和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，···，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.

年销售量

年宣传费(千元)

表中w i ，w ＝

1

8

8

i=1

∑

i w

(Ⅰ)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)

(Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；

(Ⅲ)以知这种产品的年利率z 与x 、y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(Ⅱ)的结果回答下列问题：

（i ） 年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ （ii ）

年宣传费x 为何值时，年利率的预报值最大？

附：对于一组数据(u 1 v 1)，(u 2 v 2)…….. (u n v n )，其回归线v ＝αβ+u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：

1

2

1

()()

,()

n

i

i

i n

i

i u u v v v u u u βαβ==--=

=--∑∑

6．(2017·全国Ⅱ理，6)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A ．12种 B ．18种 C ．24种

D ．36种

18．(2017·全国Ⅱ理，18)淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率直方图如下：

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：旧养殖法的箱产量低于50 kg，新养殖法的箱产量不低于50 kg，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

(3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)．附：

K2＝n(ad－bc)2

(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)

3．(2017·全国Ⅲ理，3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是()

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 18．(2017·全国Ⅲ理，18)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：

(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X (单位：瓶)的分布列；

(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y (单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n (单位：瓶)为多少时，Y 的数学期望达到最大值？

17．(2017·北京理，17)为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药．一段时间后，记录了两组患者的生理指标x 和y 的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“＋”表示未服药者．

(1)从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y 的值小于60的概率；

(2)从图中A ，B ，C ，D 四人中随机选出两人，记ξ为选出的两人中指标x 的值大于1.7的人数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)；

(3)试判断这100名患者中服药者指标y 数据的方差与未服药者指标y 数据的方差的大小．(只需写出结论)

5．(2017·山东理，5)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，

设其回归直线方程为y ^

＝b ^

x ＋a ^

.已知∑10i ＝1

x i ＝225，∑10i ＝1

y i ＝1 600，b ^

＝4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( )

A ．160

B ．163

C ．166

D ．170

8．(2017·山东理，8)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是( ) A ．518

B ．49

C ．59

D ．79

18．(2017·山东理，18)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示． (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率；

(2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列与数学期望EX .

14．(2017·天津理，14)用数字1,2,3,4,5,6,7,8,9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有________个．(用数字作答)

16．(2017·天津理，16)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14

.

(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

8．(2017·浙江，8)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0＜p 1＜p 2＜1

2

，则( ) A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2) B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2) C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2) D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)

16．(2017·浙江，16)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法(用数字作答)． 3．(2017·江苏，3)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件．

7．(2017·江苏，7)记函数f(x)＝6＋x－x2的定义域为D.在区间[－4,5]上随机取一个数x，则x∈D的概率是________．

计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例

计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( ) A ． B ． C ． D ． 2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6 D ．3,7 3．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒 子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 4．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，fx gx ＝a x ，f 1g 1＋ f －1 g －1＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋5 2＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( ) 5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 6．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^ ＝－； ② y 与x 负相关且y ^ ＝－＋； ③y 与x 正相关且y ^ ＝＋； ④y 与x 正相关且y ^ ＝－－. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③

高考数学-计数原理-1-二项式定理

专项-二项式定理 知识点 1．二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=+++++∈L L ， 2．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 3．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等 于n . ④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是012,,,,,,.r n n n n n n C C C C C ??????项的系数是a 与 b 的系数（包括二项式系数） 。 4．常用的结论： 令1,,a b x == 0122(1)()n r r n n n n n n n x C C x C x C x C x n N *+=++++++∈L L 令1,,a b x ==- 0122(1)(1)()n r r n n n n n n n n x C C x C x C x C x n N * -=-+-+++-∈L L 5．性质： ①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即0n n n C C =， (1) k k n n C C -= ②二项式系数和：令1a b ==,则二项式系数的和为0122r n n n n n n n C C C C C ++++++=L L ， 变形式1221r n n n n n n C C C C +++++=-L L 。 ③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令1,1a b ==-，则0123(1)(11)0n n n n n n n n C C C C C -+-++-=-=L ， 从而得到：02421321 11222 r r n n n n n n n n n C C C C C C C +-++???++???=++++???= ?=L ④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

2017南开秋学期《概率论与统计原理》在线作业2

17秋学期《概率论与统计原理》在线作业 试卷总分:100 得分:100 一、单选题 (共 30 道试题,共 60 分) 1. 设A，B为两个事件，如果P（A）=0.6，P（B）=0.4，P（A│B）=0.5，则P（B│A）=（） A. 0.2 B. 0.3 C. 1/3 D. 2/3 满分：2 分 正确答案:C 26. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:D 3. 有10道“是非题”，每道题答对的概率为0.5，则10道题中答对5道题的概率为 A. 0.80 B. 0.50 C. 0.25 D. 0.15 满分：2 分 正确答案:C 4. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:B

5. A. A B. B C. C D. D 满分：2 分正确答案:D 6. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:D 7. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分正确答案:B 8. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分

正确答案:D 9. 设随机变量X～B（n，p），已知EX=0.6，DX=0.48，则n，p的值为（）。 A. n = 2，p =0.2 B. n = 6，p =0.1 C. n = 3，p =0.2 D. n = 2，p =0.3 满分：2 分 正确答案:C 10. 设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p = ( ) 时，成功次数的标准差的值为最大 A. 0 B. 0.25 C. 0.5 D. 0.75 满分：2 分 正确答案:C 11. 已知P（A）=P（B）=P（C）=1/4，P（AC）=P（BC）=1/16，P（AB）=0，则事件”A，B，C都不发生“的概率为（） A. 0 B. 0.375 C. 0.50 D. 0.625 满分：2 分 正确答案:B 12. 题面见图片： A. A B. B C. C D. D 满分：2 分 正确答案:D 13. 某轮胎厂广告声称它的产品可以平均行驶24000公里。现随机抽选20个轮胎作试验，

高考数学压轴专题人教版备战高考《计数原理与概率统计》基础测试题含解析

数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】 分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ． 点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C.

计数原理与二项式定理

小题精练：计数原理与二项式定理(限时：50分钟) 1．甲、乙两人计划从A 、B 、C 三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选 法共有( ) A ．3种 B ．6种 C ．9种 D ．12种 2．(2013·高考四川卷)从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ， b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是( ) A ．9 B ．10 C ．18 D ．20 3．(2013·高考全国卷)(x ＋2)8 的展开式中x 6 的系数是( ) A ．28 B ．56 C ．112 D ．224 4．将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分 配方案种数为( ) A ．12 B ．36 C ．72 D ．108 5．(2014·济南市模拟)二项式? ?????x 2－13x 8 的展开式中常数项是( ) A ．28 B ．－7 C ．7 D ．－28 6．把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一 个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有( ) A ．36种 B ．45种 C ．54种 D ．84种 7．一个盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放 回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有( ) A ．12种 B ．15种 C ．17种 D ．19种 8．(2014·安徽省“江南十校”联考)若(x ＋2＋m)9 ＝a 0＋a 1(x ＋1)＋a 2(x ＋1)2 ＋…＋a 9(x ＋ 1)9 ，且(a 0＋a 2＋…＋a 8)2 －(a 1＋a 3＋…＋a 9)2 ＝39 ，则实数m 的值为( ) A ．1或－3 B ．－1或3 C ．1 D ．－3 9．我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合 数”中首位为2的“六合数”共有( ) A ．18个 B ．15个 C ．12个 D ．9个 10．设复数x ＝2i 1－i (i 是虚数单位)，则C 12 013x ＋C 22 013x 2＋C 32 013x 3＋…＋C 2 0132 013x 2 013 ＝( ) A ．i B ．－I C ．－1＋i D ．1＋i 11．(2014·郑州市质检)在二项式? ?? ???x ＋1 2·4x n 的展开式中，前三项的系数成等差数列， 把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )

高考数学 考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、

考点23 两个计数原理、排列、组合及其应用、 二项式定理及应用 1.（2010·湖北高考文科·Ｔ6）现有6名同学去听同时进行的5个课外知识讲座，每名同学可自由选择其中的一个讲座，不同选法的种数是( ) （A）65（B）56（C）565432 2 ????? （D）6543 ????2 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查考生的逻辑推理能力． 【思路点拨】因每名同学可自由选择其中的一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，由分步计数原理即可得出答案. 【规范解答】选A.每名同学可自由选择5个讲座中的其中一个讲座，故6名同学的安排可分6步进行，每步均有5种选择，因此共有65种不同选法. 【方法技巧】本题每名同学可自由选择其中的一个讲座，故每位同学的选择都有5种，共有65种不同选法.若将“每名同学可自由选择其中的一个讲座”改为“每一个讲座都至少有一位同学去听”，它就是一个典型的不同元素的分组问题.利用“先分堆，再分配”的思想将6名同学分为5堆，再分给5个不同的讲座， 有 25 65 1800 C A= 1 800种不同选法. 2.（2010·湖北高考理科·Ｔ8）现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加上海世博会志愿者服务活动，每人从事翻译、导游、礼仪、司机四项工作之一，每项工作至少有一人参加.甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是（） （A）152 （B）126 （C）90 （D）54 【命题立意】本题主要考查分类和分步计数原理，考查排列、组合知识的应用，考查考生的运算求解能力．【思路点拨】由甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作知，司机工作很特殊.按安排几个人担任司机工作可分为两类：①司机只安排1人；②司机安排2人，然后将其余的人安排到其他三个不同的位置. 【规范解答】选B.当司机只安排1人时，有 123 343 C C A =108(种)；当司机安排2人时有 23 33 C A =18(种).由分类 计数原理知不同安排方案的种数是108+18=126（种）. 【方法技巧】本题要求每项工作至少有一人参加，因此属于不同元素的分组问题，解题时往往采用“先分堆，再分配”的办法.若去掉“每项工作至少有一人参加”的限制，则甲、乙二人各有3种选择，丙、丁、 戊各有4种选择，因此共有33444576 ????=（种）安排方案. 3.（2010·全国高考卷Ⅱ理科·Ｔ6）将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中，若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的放法共有( ) （A）12种（B）18种（C）36种（D）54种 【命题立意】本题考查了排列、组合的知识. 【思路点拨】运用先选后排解决，先从3个信封中选取一个放入标号为1，2的2张卡片，然后剩 余的2个信封分别放入2张卡片. 【规范解答】选B.标号为1，2的卡片放法有A 1 3种，其他卡片放法有 2 2 2 4 C C种，所以共有A132 2 2 4 C C=18 （种）. 【方法技巧】先排列特殊元素是解决排列、组合问题的常用方法.

《概率论与统计原理》、《概率与统计原理》期末复习资料121220

一、填空题 1、设A ，B ，C 为三个事件，则下列事件“B 发生而A 与C 至少有一个发生”，“A ，B ，C 中至少有两个发生”，“A ，B ，C 中至少有一个发生”，“A ，B ，C 中不多于一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有一个发生”，“A ，B ，C 中恰好有两个发生”分别可表示为 、 、 、 、 、 。 参考答案： B （A+ C ，AB+AC+BC ，A +B +C ，C A +C B +B A ，AB C +AC B +A BC ， BC A +C B A +C AB 考核知识点：事件的关系及运算，参见P9 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为 、 、 。 参考答案：0.04，0.04，0.1 考核知识点：古典型概率，参见P11 3、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k 个球，则第k 次取出黑球的概率为 。 参考答案：0.6 考核知识点：古典型概率，参见P13 4、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为 ，获利10~15万元的概率为 。 参考答案：0.2，0.4 考核知识点：概率的性质，参见P16~P17 5、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为 ；取到的两个球颜色相同的概率为 ；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为 。 参考答案：0.4，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质，参见P18~P19 6、设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）= 0.6，P （B ）= 0.3，则P （A+B ）= ；P （A +B ） = ；P （A B ）= ；P （B A ）= 。 参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1 考核知识点：概率的性质，参见P19 7、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为 ；至少有一人中靶的概率为 。

(推荐)高中数学二项式定理

二项式定理 【2011?新课标全国理，8】51()(2)a x x x x +-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为( )． A ．－40 B ．－20 C ．20 D ．40 【答案】D 【最新考纲解读】 二项式定理 (1)能用计数原理证明二项式定理． (2)会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【回归课本整合】 1.二项式定理的展开式 011()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++，其中组合数r n C 叫做第r +1项的二 项式系数；展开式共有n +1项. 注意：（1）项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当二项式的两个项的系数都为1 时，系数就是二项式系数。如在()n ax b +的展开式中，第ｒ＋１项的二项式系数为r n C ，第

3.项的系数和二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（ m n m n n C C- = ）． 【方法技巧提炼】

(2)()()n m a b c d ++结构:①若n 、m 中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察()()a b c d ++是否可以合并；③分别得到()()n m a b c d ++、 的通项公式，综合考虑. 例2 61034(1)(1)x x 展开式中的常数项为（ ） A ．1 B ．46 C ．4245 D ．4246

答案： D 例3 5 )2 1 2 (+ + x x 的展开式中整理后的常数项为 .

答案： 632 例5 若对于任意实数x，有 323 0123 (2)(2)(2) x a a x a x a x =+-+-+- ，则2 a的值为（）

2017年高考概率与统计、计数原理专题分析

概率与统计、计数原理专题分析 高中数学课程中的“统计与概率”部分被安排在必修3和选修2-3，历来被老师认为易教、被学生认为易学，一线教师大多走马观花一带而过，以便腾出时间深挖其他章节内容．2017年全国高考概率与我们如约而至，常规内容紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现高考改革中加强应用性、实贱性的特点．研宄近几年高考试卷中“统计与概率试题，被认为“送分题”分数送不出去的尴尬，引发深思，促使我们重新审视“统计与概率”内容，深感“简单”的内容不简单！ 一、专题考点分析 1.考点分析 2017年高考数学试题，概率与统计、计数原理部分考查的知识点覆盖面广，各卷考查知识点如下. （1）全国Ⅰ卷. 文科：样本的数字特征、几何概型、相关系数、方差均值计算； 理科：几何概型、二项式定理、正态分布、随机变量的期望和方差 （2）全国Ⅱ卷 文科：古典概型、频率分布直方图的应用； 理科：排列与组合、随机变量的期望、独立事件概率公式、独立性检验、频率分布直方图估计中位数. （3）全国Ⅲ卷. 文科：折线图、古典概型； 理科：折线图、离散型随机变量的分布列、数学期望 （4）北京卷. 文科：频率分布直方图的应用；理科：散点图的应用、古典概型、超几何分布、方差 （5）天津卷 文科：古典概型；理科：排列与组合、离散型随机变量的概率分布列及数学期望 （6）江苏卷 几何概型、分层抽样古典概型排列组合、随机变量及其分布、数学期望 （7）浙江卷 随机变量的期望和方差、二项式定理 （8）山东卷 文科：茎叶图、样本的数字特征、古典概型； 理科：回归直线方程、古典概型、随机变量的分布列与数学期望、超几何分布 2. 题量与分值分析 每年全国各地区的高考中都会有各种类型的概率题出现，分值占整套试卷总分的 8%～14%. 2017年各卷考查的题型及分值情况如下 （1）全国Ⅰ卷文、理科分别考查两道选择题和一道解答题，总分值均为22分 （2）全国Ⅱ卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分. （3）全国Ⅲ卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为17分. （4）北京卷文科考查一道解答题，分值为13分；理科考查一道填空题和一道解答题，总分值为18分. （5）天津卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为18分. （6）江苏卷考查两道填空题和一道解答题，总分值为20分.

《概率论与统计原理》复习资料

《概率论与统计原理》复习资料

《概率论与统计原理》复习资料 一、填空题 1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。 参考答案： B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，C A+C B+B A，AB C+AC B+A BC，A+C AB A+C B BC 考核知识点：事件的关系及运算 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。 参考答案：0.04，0.02，0.1 考核知识点：古典型概率 3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率为，恰好有2枚正面向上的概率为。 参考答案：1/8，3/8 考核知识点：古典型概率 4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。 参考答案：0.6 考核知识点：古典型概率 5、假设某商店获利15万元以下的概率为0.9，获利10万元以下的概率为0.5，获利5万元以下的概率为0.3，则该商店获利5~10万元的概率为，获利10~15万元的概率为。 参考答案：0.2，0.4 考核知识点：概率的性质 6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取

到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率为。 参考答案：0.4，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质 7、设事件A，B互不相容，已知P（A）= 0.6，P（B）= 0.3，则P （A+B）= ；P（A+B）= ；P（A B）= ；P（B A）= 。 参考答案：0.9，0.4，0.3，0.1 考核知识点：概率的性质 8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为0.5，0.6，0.8，则恰有一人中靶的概率为；至少有一人中靶的概率为。 参考答案：（1）0.26；（2）0.96 考核知识点：事件的独立性 9、每次试验的成功率为p（0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为。 参考答案：5) - - 1( 1p 考核知识点：事件的独立性 10、设随机变量X~N（1，4），则P{0 ≤X＜1.6}= ；P{X＜1}= ；P{X=x0}= 。 参考答案：0.3094，0.5，0 考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质 11、设随机变量X～B（n，p），已知E X=0.6，D X=0.48，则n = ，p = 。 参考答案：3，0.2 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 12、设随机变量X服从参数为（100，0.2）的二项分布，则 E X= ，D X= 。 参考答案：20，16 考核知识点：随机变量的数学期望和方差

18计数原理、概率与统计(陈选明)

— 高三数学(理十五)第1页 共6页— 2017-2018学年度南昌市高三第一轮复习训练题 数学（理十五）计数原理、概率与统计 命题人：新建二中 陈选明 审题人：新建二中 朱优奇 一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．《中国诗词大会》的播出引发了全民的读书热，某小学语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能 手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛 的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的 学生中获得“诗词能手”称号的人数为( ) A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 2．已知两组数12345671234567:,,,,,,,:,,,,,,A x x x x x x x B y y y y y y y ，其中 ()23,1,2,3,4,5,6,7i i y x i =+=，A 组数的平均数与方差分别记为2,,A x S B 组数的平均数与方差分别记为2,B y S ，则下面关系式正确的是( ) A. 2223,23B A y x s s =+=+ B. 2223,4B A y x s s =+= C. 222,4B A y x s s == D. 222,43B A y x s s ==+ 3．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位： 小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其 中自习时间的范围是[]17.5,30，样本数据分组为 [)17.5,20，[)20,22.5，[)22.5,25，[)25,27.5， []27.5,30. 根据直方图，若这200名学生中每周的 自习时间不超过m 小时的人数为164，则m 的值约为( ) A. 26.25 B. 26.5 C. 26.75 D. 27 4．“杨辉三角形”是古代重要的数学成就,它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多 年，如图是三角形数阵，记n a 为图中第n 行各个数之和，则511a a +的值为( ) A.528 B.1020 C.1038 D. 1040 5．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有( )条 A. 40 B. 60 C. 80 D. 120

高三数学选修2-3 概率统计计数原理

(十三) 计数原理、概率统计(理科)(样稿) 华南师范大学附中罗华张琪 A 组 (1) C22+C23+C24+…+C210= (A) 990 (B) 165 (C) 120 (D) 55 B (2)把3 个不同的小球随意地放入4 个不同的盒子内，则3 个小球恰在三个不同的盒子内的概率为 (A) 3 4(B) 4 5(C) 3 8(D) 7 16 C (3)某学校要派遣6位教师中的4位去参加一个学术会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣教师的不同方法数共有 A．7种 B．8种C．9种 D．10种 C (4)将3 种农作物都种植在如图的4 块试验田里，每块种植一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有几种 (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 C C13C12(1+2) (5)四人报名参加跑步、跳高、和游泳比赛，每人限报一项，不同的报名结果有种？ 34 (6) (1 + x) 30的展开式中，系数最大的项是第__________项。 16； (7) 平面内有10个点，其中每3点不共线，以其中任意2个点为端点的线段有_________条，有向线段有_________条. C210=45 ; A210=90 (8) 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1 ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14 其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）． ①③ (9) 这是高考第一批录取的一份志愿表。有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满 意的选择。若表格须填满且规定学校没有重复、同一学校的专业也没有重复的话。你将有种不同的填写方案？

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《计数原理与概率统计》全集汇编附答案解析

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》高考知识点 一、选择题 1．已知()9 29012913x a a x a x a x -=++++L ，则019a a a +++…等于（ ） A ．92 B ．94 C ．93 D ．1 【答案】B 【解析】 【分析】 求出二项式()9 13x -展开式的通项为()193r r r T C x +=?-，可知当r 为奇数时，0r a <，当 r 为偶数时，0r a >，然后代入1x =-即可得出019a a a ++?+的值. 【详解】 二项式()9 13x -展开式的通项()193r r r T C x +=?-，当r 为奇数时，0r a <，当r 为偶数 时，0r a >， 因此，()9 90191314a a a ??++?+=-?-=??. 故选：B. 【点睛】 本题考查利用赋值法求各项系数绝对值之和，要结合二项式定理判断各项系数的符号，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C. 【点睛】

高考数学分类解析专题计数原理和二项式定理理

2019高考数学最新分类解析专题10计数原理 和二项式定理（理） 一．基础题 1.【2013年山东省日照市高三模拟考试】设 321x x ??+ ??? 旳展开式中旳常数项为 a ，则直线 y ax =与曲线2y x =围成图形旳面积为 A.272 B.9 C.92 D.274 【答案】C 【解析】.∵x x 23 1 ( ) 旳展开式中旳常数项为 23C ,即3a =. 2.【东北三省三校2013届高三3月第一次联合模拟考试】若 3 1() 2n x x - 旳展开式中第四 项为常数项，则n =（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 3.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】从5位男生，4位女生中选派4位代 表参 加一项活动，其中至少有两位男生，且至少有1位女生旳选法共有 （ ） A ．80种 B ．100种 C ．120种 D ．240种 【答案】B 【解析】 2231 5454100C C C C +=. 4.【北京市顺义区2013届高三第一次统练】从0,1中选一个数字,从2,4,6中选两个数字,组成无重复数字旳三位数,其中偶数旳个数为 A.36 B.30 C.24 D.12 【答案】C 【解析】若选1，则有 21232212C C A =种·若选0，则有232 332()12C A A -=种，所以共有 121224+=，选C.

5.【北京市昌平区2013届高三上学期期末理】在高三（1）班进行旳演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序旳排法种数为 A. 24 B. 36 C. 48 D.60 6.【北京市朝阳区2013届高三上学期期末理】某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参 加社会公益活动，若选出旳4人中既有男生又有女生，则不同旳选法共有 A ． 140种 B ． 120种 C ． 35种 D ． 34种 7.【广西百所高中2013届高三年级第三届联考】 51(2) 2x -旳展开式中2x 旳系数是（ ） A ．5 B ．10 C ．-15 D ．-5 【答案】D 【解析】由二项式旳通项公式得2x 旳系数为 22 3 5 12()5 2 C -=- 8.【北京市丰台区2013届高三上学期期末理】从装有2个红球和2个黑球旳口袋内任取2个球，则恰有一个红球旳概率是 (A) 13 (B) 12 (C) 23 (D) 56 【答案】C 【解析】P ＝ 1122 24 C C C ＝2 3 故选C ·

南开18春学期《概率论与统计原理》在线作业

(单选题) 1: 要求次品率低于10%才能出厂，在检验时原假设应该是（） A: p≥0.1 B: p≤0.1 C: p＜0.1 D: p＞0.1 正确答案: (单选题) 2: 设X和Y是相互独立的两个随机变量，X在[0，2]上服从均匀分布，Y服从参数为2的泊松分布，则E（XY）=（） A: 0.5 B: 1 C: 2 D: 4 正确答案: (单选题) 3: 设随机变量X~N（0，1），则方程t2+2 X t+4=0没有实根的概率为（） A: 0.6826 B: 0.9545 C: 0.9773 D: 0.9718 正确答案: (单选题) 4: 设人的体重为随机变量X，且EX=a，DX=b。则10个人的体重记为Y，则（）成立。 A: EY=a B: EY=10a C: DY=b D: DY=10a 正确答案: (单选题) 5: 设随机变量X在区间[1，3] 上服从均匀分布，则P{-0.5＜X＜1.5} 为（） A: 1 B: 0.5 C: 0.25 D: 0 正确答案: (单选题) 6: 在抽样方式与样本容量不变的情况下，要求提高置信时，就会 A: 缩小置信区间 B: 不影响置信区间 C: 可能缩小也可能增大置信区间 D: 增大置信区间 正确答案: (单选题) 7: 设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E[X^2]=（） A: 1 B: 1.5 C: 4/3 D: 2 正确答案: (单选题) 8: 某工厂生产的零件出厂时每200个装一盒，这种零件由合格和不合格两类，合格率为0.99。设每盒中不合格数为X，则X通常服从（） A: 正态分布 B: 均匀分布 C: 指数分布 D: 二项分布 正确答案: (单选题) 9: 从0，1，2，…，9共10个数字中的任意两个（可重复使用）组成一个两位数的字码，则字码之和为4的概率为（） A: 0.02

高考数学压轴专题长沙备战高考《计数原理与概率统计》知识点训练及答案

【高中数学】数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（ ） A ． 13 B ． 14 C ． 15 D ． 12 【答案】A 【解析】 【分析】 根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可. 【详解】 由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率11333315 5C C A 9A 20P ==,其中学生丙第一个出场的概率13 3325 5C A 3A 20P ==,所以所求概率为21 13P P P ==. 故选：A 【点睛】 本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型. 2．将一颗骰子掷两次，观察出现的点数，并记第一次出现的点数为m ，第二次出现的点数为n ，向量p u v ＝(m ，n)，q v ＝(3,6)．则向量p u v 与q v 共线的概率为( ) A ． 1 3 B ． 14 C ． 16 D ． 112 【答案】D 【解析】 【分析】 由将一枚骰子抛掷两次共有36种结果，再列举出向量p u r 与q r 共线的基本事件的个数，利用 古典概型及其概率的计算公式，即可求解。 【详解】 由题意，将一枚骰子抛掷两次，共有6636?=种结果， 又由向量(,),(3,6)p m n q ==u r r 共线，即630m n -=，即2n m =， 满足这种条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6)，共有3种结果， 所以向量p u r 与q r 共线的概率为31 3612 P = =，故选D 。 【点睛】 本题主要考查了向量共线的条件，以及古典概型及其概率的计算，其中解答中根据向量的共线条件，得出基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础

计数原理及二项式定理概念公式总结

排列组合及二项式定理概念及公式总结 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定 0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+==或 )! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且

概率论与统计原理复习资料

《概率论与统计原理》复习资料 一、填空题 1、设A，B，C为三个事件，则下列事件“B发生而A与C至少有一个发生”，“A，B，C中至少有两个发生”，“A，B，C中至少有一个发生”，“A，B，C中不多于一个发生”，“A，B，C中恰好有一个发生”，“A，B，C中恰好有两个发生”分别可表示为、、、、、。 参考答案： B（A+C，AB+AC+BC，A +B+C，C B+B A+C A，AB C+AC B+A BC，A+C AB B A+C BC 考核知识点：事件的关系及运算 2、从0，1，2，…，9这10个数中可重复取两个数组成一个数码，则“两个数之和为3”、“两个数之和为17”、“两个数相同”的概率分别为、、。 参考答案：，， 考核知识点：古典型概率 3、同时抛掷3枚均匀的硬币，则3枚正面都向上的概率 为，恰好有2枚正面向上的概率为。 参考答案：1/8，3/8 考核知识点：古典型概率 4、箱中有60个黑球和40个白球，从中任意连接不放回取出k个球，则第k次取出黑球的概率为。 参考答案： 考核知识点：古典型概率 5、假设某商店获利15万元以下的概率为，获利10万元以下的概率为，获利5万元以下的概率为，则该商店获利5~10万元的概率 为，获利10~15万元的概率为。 参考答案：， 考核知识点：概率的性质 6、设袋中有6个球，其中4白2黑。用不放回两种方法取球，则取到的两个球都是白球的概率为；取到的两个球颜色相同的概率为；取到的两个球中至少有一个是白球的概率 为。

参考答案：，7/15，14/15 考核知识点：古典型概率和概率的性质 7、设事件A ，B 互不相容，已知P （A ）= ，P （B ）= ，则P （A+B ）= ；P （A +B ）= ；P （A B ）= ；P （B A ）= 。 参考答案：，，， 考核知识点：概率的性质 8、甲、乙、丙三人各射一次靶子，他们各自中靶与否相互独立，且已知他们各自中靶的概率分别为，，，则恰有一人中靶的概率为 ；至少有一人中靶的概率为 。 参考答案：（1）；（2） 考核知识点：事件的独立性 9、每次试验的成功率为p （0< p <1），则在5次重复试验中至少成功一次的概率为 。 参考答案：5)1(1p -- 考核知识点：事件的独立性 10、设随机变量X ~N （1，4），则P{0 ≤X ＜}= ；P{X ＜1}= ；P{X =x 0}= 。 参考答案：，，0 考核知识点：正态分布，参见P61；概率密度的性质 11、设随机变量X ～B （n ，p ），已知E X =，D X =，则n = ，p = 。 参考答案：3， 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 12、设随机变量X 服从参数为（100，）的二项分布，则E X = ， D X = 。 参考答案：20，16 考核知识点：随机变量的数学期望和方差 13、设随机变量X 服从正态分布N （，），则E X 2= ，D （2X -3）= 。 参考答案：，1 考核知识点：随机变量的数学期望和方差及其性质 14、设由来自正态总体)9,(2μN 的容量为9的简单随机样本，得样本均值X =5，则未知参数μ的最大似然估计值为 ，μ的置信度为的置信区间为 。

第十一篇 计数原理第3讲 二项式定理

第3讲二项式定理 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 【复习指导】 二项式定理的核心是其展开式的通项公式，复习时要熟练掌握这个公式，注意二项式定理在解决有关组合数问题中的应用． 基础梳理 1．二项式定理 (a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(a＋b)n的二项展开式． 其中的系数C r n(r＝0,1，…，n)叫二项式系数． 式中的C r n a n－r b r叫二项展开式的通项，用T r＋1表示，即通项T r＋1＝C r n a n－r b r. 2．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. (4)二项式的系数从C0n，C1n，一直到C n－1 n ，C n n. 3．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．即C r n＝C n－r n . (2)增减性与最大值： 二项式系数C k n，当k＜n＋1 2时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分 是逐渐减小的； 当n是偶数时，中间一项C n 2n取得最大值； 当n是奇数时，中间两项C n－1 2n，C n＋1 2n取得最大值． (3)各二项式系数和：C0n＋C1n＋C2n＋…＋C r n＋…＋C n n＝2n；

C0n＋C2n＋C4n＋…＝C1n＋C3n＋C5n＋…＝2n－1. 一个防范 ＝C r n a n－r b r，注意(a＋b)n与(b＋a)n虽然相同，运用二项式定理一定要牢记通项T r ＋1 但具体到它们展开式的某一项时是不同的，一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同的概念，前者只指C r n，而后者是字母外的部分．前者只与n和r有关，恒为正，后者还与a，b有关，可正可负．一个定理 二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的发展和延续． 两种应用 (1)通项的应用：利用二项展开式的通项可求指定的项或指定项的系数等． (2)展开式的应用：利用展开式①可证明与二项式系数有关的等式；②可证明不等式；③可证明整除问题；④可做近似计算等． 三条性质 (1)对称性； (2)增减性； (3)各项二项式系数的和； 以上性质可通过观察杨辉三角进行归纳总结． 双基自测 1．(2011·福建)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()． A．80 B．40 C．20 D．10 ＝C r5(2x)r＝2r C r5x r， 解析T r ＋1 当r＝2时，T3＝40x2. 答案 B 2．若(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，则a＋b＝()． A．45 B．55 C．70 D．80 解析(1＋2)5＝1＋52＋10(2)2＋10(2)3＋5(2)4＋(2)5＝41＋29 2 由已知条件a＝41，b＝29，则a＋b＝70.