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【高考领航】高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑

【高考领航】高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语 1.1 集合的概念与运算课时规范训练文北师大版

[A级基础演练]

1．(2015·高考天津卷)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合A＝{2,3,5}，集合B＝{1,3,4,6}，则集合A∩(?U B)＝( )

A．{3} B．{2,5}

C．{1,4,6} D．{2,3,5}

?U B＝{2,3,5}∩{2,5}＝{2,5}．

解析：?U B＝{2,5}，A∩()

答案：B

2．(2015·高考课标卷Ⅱ)已知集合A＝{x|－1

C．(0,2) D．(2,3)

解析：将集合A与B在数轴上画出(如图)．由图可知A∪B＝(－1,3)，故选A.

答案：A

3．(2016·天津河西区训练)设集合P＝{1,2,3,4,5,6}，Q＝{x∈R|2≤x≤6}，那么下列结论正确的是( )

A．P∩Q＝P B．P∩Q Q

C．P∪Q＝Q D．P∩Q P

解析：根据集合的定义可知P∩Q＝{2,3,4,5,6}，所以只有D选项正确．

答案：D

4．(2015·高考江苏卷)已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，则集合A∪B中元素的个数为________．

解析：∵A＝{1,2,3}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5}，∴A∪B中元素个数为5.

答案：5

5．已知全集U＝R，集合M＝{x|－2≤x－1≤2}和N＝{x|x＝2k－1，k＝1,2，…}的关系的Venn图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有________个．

解析：M＝{x|－1≤x≤3}，M∩N＝{1,3}．

答案：2

6．已知集合M ＝{}1，m ，N ＝{}n ，log 2n ，若M ＝N ，则(m －n )

2 016

＝__________.

解析：由M ＝N 知???

?? n ＝1，

log 2n ＝m 或?????

n ＝m ，log 2n ＝1，

∴?????

m ＝0，

n ＝1

或?????

m ＝2，

n ＝2.

即(m －n )2 016

＝1或0.

答案：1或0

7．已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2

}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值． (1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B . 解：(1)∵9∈(A ∩B )， ∴9∈B 且9∈A ， ∴2a －1＝9或a 2

＝9， ∴a ＝5或a ＝±3. 检验知：a ＝5或a ＝－3. (2)∵{9}＝A ∩B ， ∴9∈(A ∩B )， ∴a ＝5或a ＝－3.

a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}，

此时A ∩B ＝{－4,9}与A ∩B ＝{9}矛盾，所以a ＝－3.

8．已知集合A ＝{x |x 2

－2x －3≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2

－2mx ＋m 2

－4≤0，x ∈R }． (1)若A ∩B ＝[1,3]，求实数m 的值； (2)若A ??R B ，求实数m 的取值范围．

解：A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．

(1)∵A ∩B ＝[1,3]，∴?

m －2＝1，

m ＋2≥3，得m ＝3.

(2)?R B ＝{x |x ＜m －2或x ＞m ＋2}． ∵A ??R B ，∴m －2＞3或m ＋2＜－1. ∴m ＞5或m ＜－3.

[B 级能力突破]

1．(2016·辽宁沈阳期中)已知集合M ＝{x |x >x 2

}，N ＝?

?????

???

?y ???

y ＝4

x 2，x ∈M

，则M ∩N ＝

( )

A.?????????

?x ?

2 B.??????

???

?x ???

C.{}x | 0

D.{}x | 1

解析：对于集合M ，由x >x 2

，解得0

∴1<4x

<4.∴12<4

x 2<2.∴N ＝?

?????

???

?y ???

. ∴M ∩N ＝??????

???

?x ???

，故选B. 答案：B

2．(2016·广州模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ?N }，M ⊕N ＝(M －N )∪

(N －M )，设A ＝??????

???

?x ?

x ≥－

4，B ＝{x |x <0}，则A ⊕B ＝( ) A.? ????－94，0

B.????

??－94，0 C.?

????－∞，－94∪[0，＋∞) D.?

????－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：∵A －B ＝{x |x ≥0}，B －A ＝??????

???

?x ???

x <－

94， ∴A ⊕B ＝??????

???

?x ?

x <－

4或x ≥0.

答案：C

3．(2016·合肥模拟)如图，已知R 是实数集，集合A ＝{x |log 1

(x －1)>0}，B ＝

?????

???

?x ???

2x －3x <0，则阴影部分表示的集合是( )

A ．[0,1]

B ．[0,1)

C ．(0,1)

D ．(0,1]

解析：图中阴影部分表示集合B ∩(?R A )，又A ＝{x |1

?????

???

?x ???

2，∴?R A ＝{x |x ≤1或x ≥2}，B ∩(?R A )＝{x |0

答案：D

4．设集合A ＝?

???

?x ，y ???

x 24＋y 2

＝1

，B ＝{(x ，y )|y ＝3x }，则A ∩B 的子集的个数是( )

A ．4

B ．3

C ．2

D ．1

解析：∵集合A ＝?

????x ，y ???

x 24＋y 2

＝1

. ∴A 中的元素为椭圆x 2

4＋y 2

16＝1上的点，A ∩B 中的元素为椭圆和指数函数y ＝3x

图像的

交点，如图，可知其有两个不同交点，记为A 1，A 2，则A ∩B 的子集应为?，{A 1}，{A 2}，{A 1，

A 2}，共4个，故选A.

答案：A

5．(2016·宁夏银川一中模拟)已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,

2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________.

解析：因为A ∩B ＝A ∪B ，所以A ＝B ，则?

????

a ＝2a ，

b ＝b 2

，或?

a ＝

b 2

，

b ＝2a .解得?

a ＝0，

b ＝1.，或

?????

a ＝1

4，b ＝12.

所以a 的值为0或1

答案：0或1

6．(2016·河南郑州质检)已知集合A ，B ，定义集合A 与B 的一种运算A ⊕B ，其结果如下表所示：

A {1,2,3,4} {－1,1} {－4,8} {－1,0,1} B

{2,3,6} {－1,1} {－4，－2,0,2} {－2，－1,0,1}

A ⊕B

{1,4,6}

{－2,0,2,8}

{－2}

解析：由给出的定义知，集合A ⊕B 的元素是由所有属于集合A 但不属于集合B 和属于

集合B但不属于集合A的元素构成的，即A⊕B＝{x|x∈A且x?B，或x∈B且x?A}．故M⊕N ＝{－2 014,2 015，－2 015,2 016}．

答案：{－2 014,2 015，－2 015,2 016}

7．设函数f(x)＝x2－4x＋3，g(x)＝3x－2，集合M＝{x∈R|f(g(x))＞0}，N＝{x∈R|g(x)＜2}，则M∩N为______．

解析：函数f(g(x))＝(3x－2)2－4(3x－2)＋3

＝(3x)2－8·3x＋15＝(3x－3)(3x－5)．

由f(g(x))＞0得(3x－3)(3x－5)＞0，所以3x＞5或3x＜3，

所以x＞log35或x＜1，所以M＝{x|x＞log35或x＜1}．

由g(x)＜2得3x－2＜2，即3x＜4，解得x＜log34，

所以N＝{x|x＜log34}．

所以M∩N＝{x|x＞log35或x＜1}∩(x|x＜log34)＝{x|x＜1}．

答案：{x|x＜1}

高考数学简易逻辑与推理

高考数学简易逻辑与推理1．命题“所有实数的平方都是正数”的否定为() A．所有实数的平方都不是正数 B．有的实数的平方是正数 C．至少有一个实数的平方是正数 D．至少有一个实数的平方不是正数 D[该命题是全称命题，其否定是特称命题，即存在实数，它的平方不是正数，故选项D正确．为真命题，故选D.] 2．(2019·石家庄模拟)“x＞1”是“x2＋2x＞0”的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 A[由x2＋2x＞0，得x＞0或x＜－2，所以“x＞1”是“x2＋2x＞0”的充分不必要条件．] 3．已知命题p：?x0∈R，tan x0＝1，命题q：?x∈R，x2＞0，下面结论正确的是() A．命题“p∧q”是真命题 B．命题“p∧(q)”是假命题 C．命题“(p)∨q”是真命题 D．命题“(p)∧(q)”是假命题 D[取x0＝π 4，有tan π 4＝1，故命题p是真命题；当x＝0时，x 2＝0，故命题q是假命题．再根据复合命题的真值表，知选项D是正确的．] 4．命题“对任意x∈[1,2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是() A．a≥1 B．a>1 C．a≥4 D．a>4 D[命题可化为x∈[1,2)，a≥x2恒成立． ∵x∈[1,2)，∴x2∈[1,4)．∴命题为真命题的充要条件为a≥4，∴命题为真命题的一个充分不必要条件为a>4，故选D.]

5．若命题“?x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－1,3] B ．(－1,3) C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D [因为命题“?x 0∈R ，x 20＋(a －1)x 0＋1<0”是真命题等价于x 20＋(a －1)x 0＋1＝0有两个不等的实根，所以Δ＝(a －1)2－4>0，即a 2－2a －3>0，解得a <－1或a >3，故选D.] 6．已知命题p ：若α∥β，a ∥α，则a ∥β；命题q ：若a ∥α， a ∥β， α∩β＝b, 则a ∥b, 下列是真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨(q ) C ．p ∧(q ) D ．(p )∧q D [若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ?β，故p 假，p 真；若a ∥α，a ∥β，α∩β＝b ，则a ∥b ，正确，故q 为真，q 为假，∴(p )∧q 为真，故选D.] 7．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：?x ∈? ?? ??0，π2， f (x )<0，则( ) A ．p 是假命题， p ：?x ∈? ????0，π2，f (x )≥0 B ．p 是假命题， p ：?x 0∈? ????0，π2，f (x 0)≥0 C ．p 是真命题， p ：?x 0∈? ????0，π2，f (x 0)≥0 D ．p 是真命题，p ：?x ∈? ?? ??0，π2，f (x )>0 C [因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈? ?? ??0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对?x ∈? ?? ??0，π2，f (x )

数学的语法规则——逻辑推理

主题1 数学的语法规则——逻辑推理同学们，我们知道语文和外语都有自己的语法规则，数学作为一门描述大自然和经济生活的语言，当然也有自己的语法规则，这就是逻辑推理.法国著名的哲学家、数学家和物理学家笛卡尔曾经讲过：“几何学家惯于在极其困难的证明中运用简单而又容易的推理长链达至结论.这使我设想，凡是人能认识的事物全都以此方式相互联系，没有什么由于遥远而我们达不到的，或者由于隐蔽而发现不了的，只要我们力戒以假作真，始终在思想中保持从一个真理演绎出另一个真理所必需的秩序.”这段话深刻地说明逻辑推理对于数学和生活中的重要作用.正因如此，宝爸宝妈们已经从娃娃开始培养孩子的逻辑推理能力. 【数学史话】逻辑学的历史和现状大约在公元前6世纪左右，古代中国、古代印度和古希腊的学者，就各自独立地建立了自己的逻辑学说.他们分别是“名辨之学”、因明和古希腊的逻辑学.其中，古希腊的逻辑学最为系统，因而在世界逻辑学发展史上影响也最大、最深. 古希腊学者亚里士多德被认为是古希腊逻辑学的创始人，他在其由后人整理并取名为《工具论》的著作中，第一次全面、系统地论述了传统形式逻辑，提出了有关范畴、命题、三段证明和谬误等一系列重要论述和思想.他所创立的逻辑学，逻辑史上称之为古典的或传统的形式逻辑（“形式逻辑”这一称呼是17世纪康德提出的）或古典的演绎逻辑.这一逻辑的主要特点在于：它是建立的对范畴的研究基础之上，即它主要涉及范畴、又范畴组成的命题、由命题组成的三段论和论证等.这是古代逻辑中较为完整地建立起来的一个三段论系统，它构成了逻辑的一个初等的、但是重要的部分. 亚里士多德以后，麦加拉-斯多葛学派研究了亚里士多德逻辑中欠缺的有关

集合与简易逻辑知识点整理

集合与简易逻辑知识点整理班级：姓名： 1.集合中元素的性质（三要素）：；；。 2.常见数集：自然数集；自然数集；正整数集；整数集；有理数集；实数集。 3.子集：A B ?? ；真子集：A B ≠ ?? ；补（余）集：A C B ? ；【注意】空集是任意集合的子集，是任意非空集合的真子集。 4.交集：A B ?? ；并集：A B ?? 。笛摩根定律：()U C A B ?= ；()U C A B ?= 。性质：A B A ?=? ；A B A ?=? 。 5.用下列符号填空: "","","","","",""≠ ∈???=≠ 0 N ；{}0 R ；φ {}0；{}1,2 {}(1,2)；{}0x x ≥ {} 0y y ≥ 6.含绝对值的不等式的解法：【注意】含等号时端点要取到。 x a < (0)a >的解集是；x a > (0)a >的解集是。 (0)ax b c c +<>? a x b <+< ；(0)ax b c c +<

一元二次不等式2 0ax bx c ++>(0)a ≠恒成立? 。一元二次不等式2 0ax bx c ++≥(0)a ≠恒成立? 。 9．简单分式不等式的解法： () 0()f x g x > ?()()0f x g x ?>?()0()0f x g x >??>?或()0()0f x g x ；则p q 是的条件；若,p q q p ≠>?；则p q 是的条件；若p q ?；则p q 是的条件；若,p q q p ≠>≠>；则p q 是的条件。

高考文科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语

1 高考文科数学试题分类汇编13：常用逻辑用语一、选择题 1 ．（2013年高考重庆卷（文））命题“对任意x R ∈,都有20x ≥”的否定为（） A ．对任意x R ∈,使得20x < B ．不存在x R ∈,使得20x < C ．存在0x R ∈,都有2 00x ≥ D ．存在0x R ∈,都有2 00x < 【答案】A 2 ．（2013年高考四川卷（文））设x Z ∈,集合A 是奇数集,集合B 是偶数集.若命题:,2p x A x B ?∈∈,则（） A ．:,2p x A x B ??∈∈ B ．:,2p x A x B ???∈ C ．:,2p x A x B ??∈? D ．:,2p x A x B ???? 【答案】C 3 ．（2013年高考湖南（文））“1

常用逻辑用语题型归纳

《常用逻辑用语》一、判断命题真假 1、下列命题中，真命题是（） A ．221,sin cos 222 x x x R ?∈+= B ．(0,),sin cos x x x π?∈> C ．2,1x R x x ?∈+=- D ．(0,),1x x e x ?∈+∞>+ 2、如果命题“)q p ∨?（”为假命题，则（） A. p,q 均为假命题 B. p,q 均为真命题 C. p,q 中至少有一个为真命题 D. p,q 中至多有一个为真命题 3、有四个关于三角函数的命题： 1p ：?x ∈R, 2sin 2x +2cos 2x =12 2p : ?x 、y ∈R, sin(x-y)=sinx-siny 3p : ?x ∈[]0,π,1cos 22 x -=sinx 4p : sinx=cosy ? x+y=2π 其中假命题的是（）（A ）1p ，4p （B ）2p ，4p （C ）1p ，3p （D ）2p ，4p 4、给出下列命题： ①在△ABC 中，若∠A ＞∠B ，则sin A ＞sin B ； ②函数y ＝x 3 在R 上既是奇函数又是增函数； ③函数y ＝f(x)的图象与直线x ＝a 至多有一个交点； ④若将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，则得到函数y ＝sin ? ????2x ＋π4的图象．其中正确命题的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．①②③ D ．①②④

5、若命题p ：圆(x －1)2＋(y －2)2 ＝1被直线x ＝1平分；q ：在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则A ＝B ，则下列结论中正确的是( ) A ．“p∨q”为假 B ．“p∨q”为真 C ．“p∧q”为真 D ．以上都不对 6、已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x 在R 上为增函数；p 2：函数y ＝2x ＋2－x 在R 上为减函数，则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(?p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(?p 2)中，真命题是( ) 7、下列命题中的假命题．．．是 ( ) A. ,lg 0x R x ?∈= B. ,tan 1x R x ?∈= C. 3,0x R x ?∈> D. ,20x x R ?∈> 8、下列命题中的假命题是（） A ．?x R ∈,120x -> B. ?*x N ∈,2(1)0x -> C ．? x R ∈,lg 1x < D. ?x R ∈,tan 2x = 9、有以下四个命题： ①ABC ?中，“A B >”是“sin sin A B >”的充要条件； ②若命题:,sin 1,P x R x ?∈≤则:,sin 1p x R x ??∈>； ③不等式210x x >在()0,+∞上恒成立； ④设有四个函数111332,,,,y x y x y x y x -====其中在()0,+∞上是增函数的函数有3个。其中真命题的序号二、判断充分、必要条件