第六章 线性空间自测题
一、选择题
1． 设M 是R 上全体n 阶矩阵的集合，定义σ(A )=|A |,A ∈M ，则σ是M 到R 的一个（ ）.
A ．单射
B ．满射
C ．双射
D ．既非单射也非满射 2．把复数域C 看成R 上的线性空间，这个空间的维数是（ ）. A ．一维 B ．二维 C ． 三维 D ．无限维
3．R 是复数域，P 是任一数域，则集合R ∩P 对于通常的数的加法与乘法是（ ）. A ．C 上的线性空间 B ．R 上的线性空间 C ．Q 上的线性空间 D ．不构成线性空间 4．已知P 2的两组基：112(,)a a ε=
()212,b b ε=与()112,c c η=，()212,,d d η=
则由基1ε、2ε1η到基、2η的过渡矩阵为（ ）.
A ． ???? ?????
? ??-2211
1
2211
d c d c b a
b a B ．???? ??????
??-2211
1
2211
b a b a d
c
d c C ． ???? ?????
?
??-21
21121
21
d d c c b b
a a D ．???
? ?????
? ??-21
211
21
21b b a a d d c c 5．全体正实数集集合R +中，加法与数乘定义为：a ⊕b=ab , k 。a =a k ，其中a 、b ∈ R +，
k ∈R ，则R +构成R 上的线性空间，它的维数与基为（ ）. A ．维数=0，没有基 B ．维数=1，1是基 C ．维数=1，2是基 D ．维数=2，3、5是基
6. 按通常矩阵的加法与数乘运算，下列集合不构成P 上线性空间的是（ ）. A ．{}1n n W A P A A ?'=∈= B ．{}2n n W A P A ?=∈为上三角形矩阵
C
D ．{}4n n W A P A A ?'=∈=-
7. 数域P 上线性空间V 的维数为12,,
,n r V ααα∈，，且V 中任意向量可由
12,,,n ααα线性表出，则下列结论成立的是（ ）.
A ．n r =
B ．n r ≤
C ．n r <
D ．n r > 8. 设1324[],[]W P x W P x ==，则=+)dim (21W W （ ）. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
9. 已知{}
R a a a a W ∈=)3,2,(在R 上构成线性空间，则W 的基为（ ）. A ．)3,2,1( B ．),,(a a a C ．)3,2,(a a a D ．)3,0,0()0,2,0()0,0,1( 10. 若21,W W 均为线性空间V 的子空间，则下列等式成立的是（ ）. A ．21211)(W W W W W =+ B ．21211)(W W W W W +=+ C ．1211)(W W W W =+ D ．2211)(W W W W =+
11．已知123(,,)x x x α'=，下列集合中是3R 的子空间的为（ ）.
A ．
{}3
0x
α≥ B {122x x α++C ．{}31x α= D ．{}123231x x x α++=
12．下列集合有（ ）个是n R 的子空间. 11212{(,,)|,0}n i n w x x x x R x x x =∈+++=； 21212{(,,)|,}n i n w x x x x R x x x =∈===；
3{(,,,,,,)|,}w a b a b a b a b R =∈； 412{(,,
)|}n i w x x x x =为整数；
A ．1 个
B ．2 个
C ．3 个
D ．4个 13. 设123123,,,,αααβββ与都是三维向量空间V 的基，且
112123123,,βαβααβααα==+=++，
则矩阵???
?
?
?
?=1110
01011
P 是由基123,,ααα到（ ）的过渡矩阵.
A ．213,,βββ
B ．12,3,βββ
C ．231,,βββ
D ．321,,βββ
二、判断题
1．设V 是n 维线性空间， 12n V ααα∈，，，，且V 中的每一个向量均可由它们线性表示，则12n ααα，，，V 是的一组基. （ √ ）
2．1α=（1，1，1），2α=（1，-1，1），3α=（-1，1，1）是三维空间R 3的一组基.（ √ ） 3．若V 1,V 2为有限维线性空间V 的子空间，则V 1?V 2也是V 的子空间. （ × ） 4．设1234αααα，，，是线性空间V 的一组线性无关向量，则
L （1234αααα，，，）=L （1α，2α）⊕ L （3α，4α）. （ √ ） 5．设V 1、V 2、V 3是线性空间V 的三个子空间，且V 1∩V 2={}0，V 2∩V 3={}0，V 1∩V 3={}0，则和V 1+V 2+V 3是直和. （ × ） 6. n
R 中的子集{}1,1,(0,...0,)n n a a a a R
∈，为子空间. （ √ ）
7. n
R 中的子集{}1,21
(,...,)
1n
n i
i i a a a a
a R ==∈∑，为子空间. （ × ）