上海中学2019学年第二学期期终考试 数学试题
一、填空题 1. n 1lim 1_____________.n →∞??-= ???
2. 等差数列{}n a 中若13,21,2n a a d ===，则n = _____________.
3. 数列{}n a 中，已知*413.22,n n n a n N =-+∈，50为第_____________项.
4. {}n a 为等比数列，若1234126,52,a a a a a ++=-=则n a =_____________.
5. 用数学归纳法证明()()()()()*122.1.321n n n n n n n N +++=-∈……时，从“n = k 到 n = k + 1”，左边需增乘的代数式是____________.
6. 数列{}n a 满足()()1211,3,21,2,n n a a a n a n λ+===-=…，则3a 等于____________.
7. 数列{}n a 满足*1112,2,,,n n n x x x n n N x a x b +-=-≥∈==， 则2019x =_____________.
8.数列{}n a 满足下列条件：11a =，且对于任意正整数n ，恒有2n n a a n =+，则512a =____________.
9. 数列{}n a 定义为11cos ,sin cos ,1,n n a a a n n θθθ+=+=+≥则21n S +=____________. 10. 已知数列{}n a 是正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足112n n n S a a ??=+ ???. 若11
n n n n a b S S ++=， n T 是数列{}n b 的前n 项和，则99T =_____________. 11.一个三角形的三边成等比数列，则公比q 的范围是_____________.
12. 数列{}n a 满足123451,2,3,4,5,a a a a a =====≥当n 5时，
112...a 1n n a a a +=-…，则是否存在不小于2的正整数m ，使2221212...m m a a a a a a =+++……成立？若存在，则在横线
处直接填写m 的值；若不存在，就填写“不存在”_____________.
二、选择题
13. 已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且10100S =，则7a 的值为（ ）
A. 11
B. 12
C. 13
D. 14
14. 等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知321510.9S a a a =+=，则1a =（ ） A. 13 B. 1-3 C. 19 D. 1-9
15. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，112,0,3m m m S S S -+=-==，则m = （ ）
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
16. 设02a π
<<，若()()11sin ,x sin 1.2.3n x n x n αα+===…，则数列{}n x 是（ ）
A.递增数列
B. 递减是咧
C.奇数项递增，偶数项递减的数列
D.偶数项递增，奇数项递减的数列
三、解答题
17.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，4662,75,S S =-=-求数列{}n a 前n 项和。
18. 已知数列{}n a 的前n 项和()2*21n S n n n N =-+∈.
（1）求{}n a 的通项公式： （2）若数列{}n b 满足：()*133log log n n a n b n N
++=∈，求{}n b 的前n 项和n
T （结果需化简）.
19. 某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获得a 元的前提下，可卖出b 件。若做广告宣传，广告费为n 千元时比广告费为（n - 1）千元时多卖出2
n b 件()*n N ∈，设广告费为n 千元时，销售量为n S . （1）试写出销售量n S 与n 的函数关系式；
（2）当a = 10, b = 4000时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
20. 设数列{}n a 的前n 项和n S ，已知2*112121,
,33n n S a a n n n N n +==---∈ （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）是否对一切正整数n ，有
121115131
n a a a n +++<-+…？说明理由
21. 设集合(){}(){}121
,,,0,11,2,,n n S x x x x i n =∈=……，其中*
,2n N n ∈≥. （1）写出集合2S 中的所有元素；
（2）设()()1212,,,,,,,n n n a a a b b b S ∈……，证明：
“0110111212222222n n n n a a a b b b --?+?++?=?+?++?……”的充要条件是“()111,2,,a b i n ==…”；
（3）设集合(){}(){}121
,,,0,11,2,,,n S x x x x i n =∈=………，设()()1212,a ,,,,,,,,n n a a b b b S ∈…………，使得1212111222n n a a a A ???????+?++?+= ? ? ???????
……，且1212111222n
n b b b B ???????+?++?+= ? ? ???????
……，试判断“A = B”是“()111,2,a b i ==…”的什么条件并说明理由。
参考答案
一、填空题
1. 1
2.10
3.4
4.n-123?
5.()221k ?+
6.15
7. b - a 8. 512 9. ()()2sin 1cos n n n θθ+++ 10. 910
11. 11,22?-+ ??
12. 70
二、选择题
13. C 14. C 15. C 16. C
三、解答题 17. 2
243,172343154,822
n n n n T n n n ?-≤≤????-+≥?? 18. （1） 0,123,2n n a n n =?=?-≥?（2） ()3899164
n n n n T ?-+= 19. （1）122n n S b ?
?=- ???
（2）生产7875件产品，做5千元广告，能使获利最大 20. （1）2n a n =（2）对一切正整数n ，有
1211151^31n a a a n +++<-+ 21. （1）（0，0），（0，1），（1，0），（1，1）； （2）略； （3）必要非充分