高一必修二经典立体几何专项练习题
空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
(1)直线在平面内——有无数个公共点
(2)直线与平面相交一一有且只有一个公共点
(3)直线在平面平行——没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a a来表示
a a a Aa =A a //a
22直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,
则该直线与此平面平行。
简记为：线线平行，则线面平行。符号表示：
a 1，- a -
b 匸B =>a //a
a / b
2.2.2平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则
这两个平面平行
符号表示：
a A
b =
a //
b //丿
2、判断两平面平行的方法有三种：
(1)用定义；
(2)判定定理；
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行
223 — 224直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任 平面与此平面的交线与该直线平行
简记为：线面平行则线线平行
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题
2、 | I
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
、、亠 1 注意点： a ）定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b ）定理体现了 “直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的
数学思想
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 符号表示:
a //a
a B aAp = b
// b
么它们的交线平行
1、定义：如果直线L 与平面a 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平 面a 互
相垂直，记作L 丄a ，直线L 叫做平面a 的垂线，平面a 叫做直线 L 的垂
、二面角的记法：二面角或
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平:
面垂直。
—直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行
2、两个平面垂直的性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
17. （本题15分）如图，ABCD是正方形，0是正方形的中心, P0 底面ABCD E是PC的中点.
求证：（1）PA//平面BDE
（2）平面PAC平面BDE
16. (本题10分)
如图所示，在直三棱柱ABC ABG中，ABC 90 , BC CG , M、N分别为BB i、
AG的中点.
(I)求证：CB i 平面ABC i ；
(n)求证：MN//平面ABC1.
已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是A60、边长为a的菱形，又PD底面ABCD ,
且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明：DN//平面PMB ;
(2)证明：平面PMB 平面PAD ;
(3)求点A到平面PMB的距离.
C 18. (本题12分)
16.(本题10分)如图所示，在直三棱柱ABC A.B1C1中，ABC 90 , BC CC i, M、N分别为BB i、A1C1的中点.
(I)求证：CB1平面ABC1；
(n)求证：MN//平面ABG.
解析：(I)在直三棱柱ABC A1B1C1中,
侧面BB1C1C丄底面ABC，且侧面BB1C1C门底面ABC=
BC ,
???/ ABC =90。,即AB BC ,
AB 平面BB1C1C
T CR 平面BB1G C ,「? CB1 AB . .. 2 分
T BC CC1, CC1BC ,.?? BCC1B1是正方形，
??? CB1 BC1CB1平面ABC1. ............................. 分
(n)取AC1的中点F，连BF、NF . .................. 5分
在厶AAG中，N、F是中点，
1 1
? NF//AA,NF -AA1，又T BM//AA,BM -AA, , ?
2 2
NF //BM , NF BM , ................. 6 分
故四边形BMNF是平行四边形，? MN //BF , ........... 8分
而BF 面ABG , MN 平面ABG , ? MN //面ABG……10分
18.(本题12分)已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是A 60、边长为a的菱形，又PD 底面ABCD，且PD=CD，点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明：DN//平面PMB ;
(2)证明：平面PMB 平面PAD;
(3)求点A到平面PMB的距离.
解析：（1）证明：取PB 中点Q ,连结MQ 、NQ ,因为 M 、N 分别是棱AD 、PC 中点，所以
QN//BC//MD ，且 QN=MD ，于是 DN//MQ .
DN//MQ
所以MB AD 又宀一 一所以MB 平面PAD .
MB 平面PAD 十工 平面PMB 平面PAD. .................... 8分 MB 平面PMB
（3）因为M 是AD 中点，所以点 A 与D 到平面PMB 等距离.
过点D 作DH PM 于H ，由（2）平面PMB 平面PAD ，所以DH 平面PMB .
故DH 是点D 到平面PMB 的距离.
a 2 a V 5 DH -— a. V 5 5 a 2
17. （本题15分）证明（1 ）VO 是AC 的中点，E 是PC 的中点，
???OE/ AP,
.................... 4 分 又??? OE 平面BDE PA 平面BDE
? PA//平面 BDE
.................... 7 分 (2)??? PO 底面 ABCD
? PO BD,
.................... 10 分 又??? AC BD,且 AC PO=O
? BD 平面PAC 而BD 平面BDE ................................... 13分
?平面 PAC 平面BDE .................... 15分 M Q 平面 PMB DN //平面
PMB DN 平面 PMB
? 4分
PD 平面 ABCD
(2)
PD MB
MB 平面 ABCD 又因为底面ABCD 是 A 60，边长为a 的菱形，且M 为AD 中点,