一、等差数列选择题
1．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若5620a a +=，11132S =，则{}n a 的公差为
（ ） A ．2
B ．
43
C ．4
D ．4-
2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3944a a a +=+，则15S =（ ） A ．45
B ．50
C ．60
D ．80
3．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，3518a S +=，633a a =+，则n a =（ ） A ．1n -
B ．n
C ．21n -
D ．2n
4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列判断错误的是（ ） A ．S 5，S 10-S 5，S 15-S 10必成等差数列 B ．S 2，S 4-S 2，S 6-S 4必成等差数列 C ．S 5，S 10，S 15+S 10有可能是等差数列
D ．S 2，S 4+S 2，S 6+S 4必成等差数列
5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a <且11101921
a a =，则当n S 取最小值时，n 的值为（ ） A ．21
B ．20
C ．19
D ．19或20
6．设a ，0b ≠，数列{}n a 的前n 项和(21)[(2)22]n n
n S a b n =---?+，*n N ∈，则
存在数列{}n b 和{}n c 使得（ ）
A ．n n n a b c =+，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列
B ．n n n a b c =+，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列
C ．·
n n n a b c =，其中{}n b 和{}n c 都为等比数列 D ．·
n n n a b c =，其中{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列 7．已知等差数列{}n a 中，前n 项和2
15n S n n =-，则使n S 有最小值的n 是（ ）
A ．7
B ．8
C ．7或8
D ．9
8．若两个等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且3221n n S n T n +=+，则12
15
a b =（ ） A ．
3
2
B ．
7059
C ．
7159
D ．85
9．设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和.若1476a a a ++=，则7S =（ ） A ．10-
B ．8
C ．12
D ．14
10．已知数列{}n a 中，132a =
，且满足()*
1
112,22n n n
a a n n N -=+≥∈，若对于任意
*n N ∈，都有
n a n
λ
≥成立，则实数λ的最小值是（ ） A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
11．已知{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且100S =，下列式子正确的是（ ） A ．450a a +=
B ．560a a +=
C ．670a a +=
D ．890a a +=
12．《周碑算经》有一题这样叙述：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种十二个节气日影长减等寸，冬至、立春、春分日影之和为三丈一尺五寸，前九个节气日影长之和为八丈五尺五寸，则后五个节气日影长之和为（ ）（注：一丈=十尺，一尺=十寸） A ．一丈七尺五寸 B ．一丈八尺五寸 C ．二丈一尺五寸
D ．二丈二尺五寸
13．设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别是n S 、n T .若237
n n S n T n =+，则6
3a b 的值为
（ ） A ．
5
11
B ．38
C ．1
D ．2
14．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知58a =，36S =，则107S S -的值是（ ） A ．48
B ．60
C ．72
D ．24
15．在等差数列{}n a 中，已知前21项和2163S =，则25820a a a a ++++的值为（ ）
A ．7
B ．9
C ．21
D ．42
16．若等差数列{a n }满足a 2=20，a 5=8，则a 1=（ ）
A ．24
B ．23
C ．17
D ．16
17．在等差数列{}n a 中，25812a a a ++=，则{}n a 的前9项和9S =（ ） A ．36
B ．48
C ．56
D ．72
18．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若542S S =，248a a +=，则5a 等于（ ） A ．6
B ．7
C ．8
D ．10
19．在等差数列{}n a 中，520164a a +=，S ，是数列{}n a 的前n 项和，则S 2020=（ ） A ．2019
B ．4040
C ．2020
D ．4038
20．已知等差数列{}n a 满足48a =，6711a a +=，则2a =（ ） A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
二、多选题
21．已知数列{}n a 的前n 项和为()0n n S S ≠，且满足11140(2),4
n n n a S S n a -+=≥=，则下列说法正确的是（ ） A ．数列{}n a 的前n 项和为1S 4n n
=
B ．数列{}n a 的通项公式为1
4(1)
n a n n =
+
C ．数列{}n a 为递增数列
D ．数列
1
{
}n
S 为递增数列22．题目文件丢失！
23．题目文件丢失！
24．黄金螺旋线又名等角螺线，是自然界最美的鬼斧神工．在一个黄金矩形（宽长比约等于0.618）里先以宽为边长做正方形，然后在剩下小的矩形里以其宽为边长做正方形，如此循环下去，再在每个正方形里画出一段四分之一圆弧，最后顺次连接，就可得到一条“黄金螺旋线”．达·芬奇的《蒙娜丽莎》，希腊雅典卫城的帕特农神庙等都符合这个曲线．现将每一段黄金螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形半径设为a n (n ∈N *)，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)．再将扇形面积设为b n (n ∈N *)，则（ ）
A ．4(b 2020－b 2019)＝πa 2018·a 2021
B ．a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝a 2021－1
C ．a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝2a 2019·a 2021
D ．a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝0
25．已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则该数列的通项公式可能为（ ）
A ．0,2,n n a n ?=??
为奇数
为偶数
B ．1(1)1n n a -=-+
C ．2sin
2
n n a π
= D ．cos(1)1n a n π=-+
26．等差数列{}n a 是递增数列，公差为d ，前n 项和为n S ，满足753a a =，下列选项正确的是（ ） A ．0d <
B ．10a <
C ．当5n =时n S 最小
D ．0n S >时n 的最小值为8
27．设{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，且56S S <，678S S S =>，则下列结论正确的是（ ） A ．0d > B ．70a =
C ．95S S >
D ．6S 与7S 均为n S 的最大值
28．设d 为正项等差数列{}n a 的公差，若0d >，32a =，则（ ）
A ．244a a ?<
B ．2
24154
a a +≥
C ．
15
111a a +> D ．1524a a a a ?>?
29．(多选题)等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若10a >，公差0d ≠，则下列命题正确的是（ ）
A ．若59S S =，则必有14S =0
B ．若59S S =，则必有7S 是n S 中最大的项
C ．若67S S >，则必有78S S >
D ．若67S S >，则必有56S S >
30．无穷数列{}n a 的前n 项和2
n S an bn c =++，其中a ，b ，c 为实数，则（ ）
A ．{}n a 可能为等差数列
B ．{}n a 可能为等比数列
C ．{}n a 中一定存在连续三项构成等差数列
D ．{}n a 中一定存在连续三项构成等比数列
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一、等差数列选择题 1．C 【分析】
由等差数列前n 项和公式以及等差数列的性质可求得6a ，再由等差数列的公式即可求得公差. 【详解】 解：
()111116
11111322
a a S a
+?=
==，
612a ∴=，
又
5620a a +=，
58a ∴=，
654d a a ∴=-=.
故选：C ． 2．C 【分析】
利用等差数列性质当m n p q +=+ 时m n p q a a a a +=+及前n 项和公式得解
【详解】
{}n a 是等差数列，3944a a a +=+，4844a a a ∴+=+，84a =
1158158()15215
156022
a a a S a +??=
===
故选：C 【点睛】
本题考查等差数列性质及前n 项和公式，属于基础题 3．B 【分析】
根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列{}n a 的通项公式可求. 【详解】
因为3518a S +=，633a a =+，所以11161218
523
a d a d a d +=??
+=++?，
所以111a d =??=?，所以()111n a n n =+-?=，
故选：B. 4．D 【分析】
根据等差数列的性质，可判定A 、B 正确；当首项与公差均为0时，可判定C 正确；当首项为1与公差1时，可判定D 错误. 【详解】
由题意，数列{}n a 为等差数列，n S 为前n 项和，
根据等差数列的性质，可得而51051510,,S S S S S --，和24264,,S S S S S --构成等差数列，所以，所以A ，B 正确；
当首项与公差均为0时，5101510,,S S S S +是等差数列，所以C 正确；
当首项为1与公差1时，此时2426102,31,86S S S S S =+=+=，此时24264,,S S S S S ++不构成等差数列，所以D 错误. 故选：D. 5．B 【分析】 由题得出1392
a d =-，则2202n d
S n dn =-，利用二次函数的性质即可求解.
【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，
由
111019
21
a a =得11102119a a =，则()()112110199a d a d +=+， 解得1392
a d =-
，10a <，0d ∴>，
()211+
2022
n n n d
S na d n dn -∴==-，对称轴为20n =，开口向上， ∴当20n =时，n S 最小.
故选：B. 【点睛】
方法点睛：求等差数列前n 项和最值，由于等差数列
()2111+
222n n n d d S na d n a n -?
?==+- ??
?是关于n 的二次函数，当1a 与d 异号时，n S 在对称轴或离对称轴最近的正整数时取最值；当1a 与d 同号时，n S 在1n =取最值. 6．D 【分析】
由题设求出数列{}n a 的通项公式，再根据等差数列与等比数列的通项公式的特征，逐项判断，即可得出正确选项. 【详解】 解：
(21)[(2)22](2)2(2)n n n n S a b n a b bn a b =---?+=+-?-+，
∴当1n =时，有110S a a ==≠；
当2n ≥时，有1
1()2n n n n a S S a bn b --=-=-+?， 又当1n =时，0
1()2a a b b a =-+?=也适合上式，
1()2n n a a bn b -∴=-+?，
令n b a b bn =+-，1
2n n c -=，则数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列，
故n n n a b c =，其中数列{}n b 为等差数列，{}n c 为等比数列；故C 错，D 正确；
因为11
()22n n n a a b bn --+=-??，0b ≠，所以{
}1
2
n bn -?即不是等差数列，也不是等比数
列，故AB 错. 故选：D. 【点睛】 方法点睛：
由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11
,2
,1n n n S S n a a n --≥?=?=?求解，考查学生的计算能
力. 7．C 【分析】
215n S n n =-看作关于n 的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．
【详解】
2
2
152251524n S n n n ??=-=--
??
?，
∴数列{}n S 的图象是分布在抛物线2
1522524y x ??=--
??
?上的横坐标为正整数的离散的
点．
又抛物线开口向上，以15
2x =为对称轴，且1515|
7822
-=-|， 所以当7,8n =时，n S 有最小值． 故选：C 8．C 【分析】
可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，进而求得n a 与n b 的关系式，即可求得结果． 【详解】
因为{}n a ，{}n b 是等差数列，且
32
21
n n S n T n +=+， 所以可设(32)n S kn n =+，(21)n T kn n =+，
又当2n 时，有1(61)n n n a S S k n -=-=-，1(41)n n n b T T k n -=-=-， ∴
1215(6121)71(4151)59
a k
b k ?-==?-， 故选：C ． 9．D 【分析】
利用等差数列下标性质求得4a ，再利用求和公式求解即可 【详解】
147446=32a a a a a ++=∴=，则()
177477142
a a S a +=
== 故选：D 10．A 【分析】 将11122
n n n a a -=
+变形为11221n n n n a a --=+，由等差数列的定义得出2
2n n n a +=，从而得
出()
22n
n n λ+≥，求出()max
22n n n +??????的最值，即可得出答案. 【详解】
因为2n ≥时，111
22
n n n a a -=
+，所以11221n n n n a a --=+，而1123a = 所以数列{
}
2n
n a 是首项为3公差为1的等差数列，故22n
n a n =+，从而2
2n n
n a +=
. 又因为n a n λ
≥恒成立，即()22n n n λ+≥恒成立，所以()max 22n
n n λ+??≥????. 由()()()
()()()()
1
*121322,221122n n n
n n n n n n n n n n n +-?+++≥??∈≥?
+-+?≥??N 得2n = 所以()()2
max
2222222n n n +?+??
==????，所以2λ≥，即实数λ的最小值是2 故选：A 11．B 【分析】
由100S =可计算出1100a a +=，再利用等差数列下标和的性质可得出合适的选项. 【详解】
由等差数列的求和公式可得()
110101002
a a S +=
=，1100a a ∴+=， 由等差数列的基本性质可得561100a a a a +=+=. 故选：B. 12．D 【分析】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和，已知条件为
985.5S =，14731.5a a a ++=，由等差数列性质即得5a ，4a ，由此可解得d ，再由等差
数列性质求得后5项和． 【详解】
由题知各节气日影长依次成等差数列，设为{}n a ，n S 是其前n 项和， 则()
19959985.52
a a S a +=
==（尺），所以59.5a =（尺），由题知
1474331.5a a a a ++==（尺），
所以410.5a =（尺），所以公差541d a a =-=-， 则()8910111210555522.5a a a a a a a d ++++==+=（尺）． 故选：D ． 13．C 【分析】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，求出n a ，n b ，进而求出6a ，3b ，则
6
3
a b 可得． 【详解】
令2
2n S n λ=，()37n T n n λ=+，
可得当2n ≥时，()()2
21221221n n n a S S n n n λλλ-=-=--=-，
()()()()137134232n n n b T T n n n n n λλλ-=-=+--+=+，
当1n =，()11112,3710a S b T λλλ====+=，符合()221n a n λ=-，
()232n b n λ=+
故622a λ=，322b λ=， 故
6
3
1a b =. 【点睛】
由n S 求n a 时，11,1
,2n n
n S n a S S n -=?=?-≥?，注意验证a 1是否包含在后面a n 的公式中，若不符
合要单独列出，一般已知条件含a n 与S n 的关系的数列题均可考虑上述公式求解． 14．A 【分析】
根据条件列方程组，求首项和公差，再根据107891093S S a a a a -=++=，代入求值. 【详解】
由条件可知1148
32362a d a d +=??
??+=??
，解得：102a d =??
=?， ()10789109133848S S a a a a a d -=++==+=.
故选：A 15．C 【分析】
利用等差数列的前n 项和公式可得1216a a +=，即可得113a =，再利用等差数列的性质即可求解. 【详解】
设等差数列{}n a 的公差为d ，则()
1212121632
a a S +=
=， 所以1216a a +=，即1126a =，所以113a =， 所以()()()2582022051781411a a a a a a a a a a a +++
+=++++++
111111111122277321a a a a a =+++==?=，
【点睛】
关键点点睛：本题的关键点是求出1216a a +=，进而得出113a =，
()()()2582022051781411117a a a a a a a a a a a a +++
+=++++++=即可求解.
16．A 【分析】 由题意可得52820
45252
a a d --===---，再由220a =可求出1a 的值 【详解】
解：根据题意，52820
45252
a a d --===---，则1220(4)24a a d =-=--=， 故选：A. 17．A 【分析】
根据等差数列的性质，由题中条件，得出54a =，再由等差数列前n 项和公式，即可得出结果. 【详解】
因为{}n a 为等差数列，25812a a a ++=， 所以5312a =，即54a =， 所以()199998
3622
a a S +?===. 故选：A . 【点睛】
熟练运用等差数列性质的应用及等差数列前n 项和的基本量运算是解题关键. 18．D 【分析】
由等差数列的通项公式及前n 项和公式求出1a 和d ，即可求得5a . 【详解】
解：设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ， 则由542S S =，248a a +=，
得：111154435242238a d a d a d a d ???
?+=+ ??
?+++=?????
，
即
{
11320
24
a d a d +-+=， 解得：
{
123
a d =-=，
51424310a a d ∴=+=-+?=.
19．B 【分析】
由等差数列的性质可得52012016024a a a a +==+，则
()15202020
202016202010102
a a a a S +=
?=?+可得答案. 【详解】 等差数列{}n a 中, 52012016024a a a a +==+
()12020
202052016202010104101040402
a a a a S +=
==?=+?? 故选：B 20．A 【分析】
利用等差数列的性质结合已知解得d ，进一步求得2a ． 【详解】
在等差数列{}n a 中，设公差为d ，由
467
811a a a =???
+=?4448
12311a d a d a d =??=-?+++=?，24210a a d ∴=-=. 故选：A
二、多选题
21．AD 【分析】
先根据和项与通项关系化简条件，再构造等差数列，利用等差数列定义与通项公式求S n ，最后根据和项与通项关系得n a . 【详解】
11140(2),40n n n n n n n a S S n S S S S ---+=≥∴-+= 1
11
04n n n S S S -≠∴
-= 因此数列1{
}n S 为以1
1
4S =为首项，4为公差的等差数列，也是递增数列，即D 正确； 所以1144(1)44n n n n S S n
=+-=∴=，即A 正确； 当2n ≥时1111
44(1)4(1)
n n n a S S n n n n -=-=
-=---
所以1,141,24(1)
n n a n n n ?
=??
=??-≥-??，即B ，C 不正确；
故选：AD 【点睛】
本题考查由和项求通项、等差数列定义与通项公式以及数列单调性，考查基本分析论证与求解能力，属中档题.
22．无 23．无
24．ABD 【分析】
对于A ，由题意得b n ＝
4
πa n 2
，然后化简4(b 2020－b 2019)可得结果；对于B ，利用累加法求解即可；对于C ，数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n －12＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，然后累加求解；对于D ，由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2，化简可得结果 【详解】
由题意得b n ＝
4πa n 2，则4(b 2020－b 2019)＝4(4πa 20202－4π
a 20192)＝π(a 2020＋a 2019)(a 2020－a 2019)＝πa 2018·
a 2021，则选项A 正确； 又数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，所以a n －2＝a n －a n －1(n ≥3)，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2019＝(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋(a 5－a 4)＋…＋(a 2021－a 2020)＝a 2021－a 2＝a 2021－1，则选项B 正确；
数列{a n }满足a 1＝a 2＝1，a n ＝a n －1＋a n －2 (n ≥3)，即a n －1＝a n －2－a n ，两边同乘a n －1 ，可得a n
－1
2
＝a n －1 a n －2－a n －1 a n ，则a 12＋a 22＋a 32…＋(a 2020)2＝a 12＋(a 2a 1－a 2a 3)＋(a 3a 2－a 3a 4)＋…＋
(a 2020a 2019－a 2020a 2021)＝a 12－a 2020a 2021＝1－a 2020a 2021，则选项C 错误；
由题意a n －1＝a n －a n －2，则a 2019·
a 2021－(a 2020)2＋a 2018·a 2020－(a 2019)2＝a 2019·(a 2021－a 2019)＋a 2020·(a 2018－a 2020)＝a 2019·a 2020＋a 2020·(－a 2019)＝0，则选项D 正确； 故选：ABD. 【点睛】
此题考查数列的递推式的应用，考查累加法的应用，考查计算能力，属于中档题 25．BD 【分析】
根据选项求出数列的前4项，逐一判断即可. 【详解】
解：因为数列{}n a 的前4项为2，0，2，0， 选项A ：不符合题设；
选项B ：0
1(1)12,a =-+=1
2(1)10,a =-+=
23(1)12,a =-+=34(1)10a =-+=，符合题设；
选项C ：，12sin
2,2
a π
==22sin 0,a π==
332sin
22
a π
==-不符合题设； 选项D ：1cos 012,a =+=2cos 10,a π=+=
3cos 212,a π=+=4cos310a π=+=，符合题设.
故选：BD. 【点睛】
本题考查数列的通项公式的问题，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 26．BD 【分析】
由题意可知0d >，由已知条件753a a =可得出13a d =-，可判断出AB 选项的正误，求出n S 关于d 的表达式，利用二次函数的基本性质以及二次不等式可判断出CD 选项的正误. 【详解】
由于等差数列{}n a 是递增数列，则0d >，A 选项错误；
753a a =，则()11634a d a d +=+，可得130a d =-<，B 选项正确；
()()()22
171117493222224n n n d n n d n n d S na nd n d -??
--??=+=-+==--?? ???????
，
当3n =或4时，n S 最小，C 选项错误； 令0n S >，可得270n n ->，解得0n <或7n >.
n N *∈，所以，满足0n S >时n 的最小值为8，D 选项正确.
故选：BD. 27．BD 【分析】
设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项即可求解. 【详解】
根据题意，设等差数列{}n a 的公差为d ，依次分析选项：
{}n a 是等差数列，若67S S =，则7670S S a -==，故B 正确；
又由56S S <得6560S S a -=>，则有760d a a =-<，故A 错误；
而C 选项，95S S >，即67890a a a a +++>，可得()7820a a +>， 又由70a =且0d <，则80a <，必有780a a +<，显然C 选项是错误的. ∵56S S <，678S S S =>，∴6S 与7S 均为n S 的最大值，故D 正确； 故选：BD. 【点睛】
本题考查了等差数列以及前n 项和的性质，需熟记公式，属于基础题. 28．ABC 【分析】
由已知求得公差d 的范围：01d <<，把各选项中的项全部用d 表示，并根据01d <<判断各选项． 【详解】
由题知，只需1220
010
a d d d =->??<
>?， ()()2242244a a d d d ?=-?+=-<，A 正确；
()()2
222415
223644
a a d d d d +=-++=-+>≥
，B 正确； 2
1511111122221a a d d d +=+=>-+-，C 正确； ()()()()2152422222230a a a a d d d d d ?-?=-?+--?+=-<，所以1524a a a a ?
D 错误. 【点睛】
本题考查等差数列的性质，解题方法是由已知确定d 的范围，由通项公式写出各项（用d 表示）后，可判断． 29．ABC 【分析】
根据等差数列性质依次分析即可得答案. 【详解】
解：对于A.，若59S S =，则67890a a a a +++=，所以781140a a a a +=+=，所以
()
114141402
a a S +=
=，故A 选项正确； 对于B 选项，若59S S =，则780+=a a ，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故
780,0a a ><，所以7S 是n S 中最大的项；故B 选项正确；
C. 若67S S >，则70a <，由于10a >，公差0d ≠，故0d <，故80a <，6a 的符号不定，故必有78S S >，56S S >无法确定；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ． 【点睛】
本题考查数列的前n 项和的最值问题与等差数列的性质，是中档题． 30．ABC 【分析】
由2
n S an bn c =++可求得n a 的表达式，利用定义判定得出答案．
【详解】
当1n =时，11a S a b c ==++．
当2n ≥时，()()2
21112n n n a S S an bn c a n b n c an a b -=-=++-----=-+． 当1n =时，上式＝+a b ．
所以若{}n a 是等差数列，则0.a b a b c c +=++∴= 所以当0c
时，{}n a 是等差数列， 0
a c
b ==??
≠?时是等比数列；当0c ≠时，{}n a 从第二项开始是等差数列． 故选：A B C 【点睛】
本题只要考查等差数列前n 项和n S 与通项公式n a 的关系，利用n S 求通项公式，属于基础题．