证明或判断等差(等比)数列的常用方法
湖北省 王卫华 玉芳
翻看近几年的高考题,有关证明、判断数列是等差(等比)数列的题型比比皆是,如何处理这些题目呢?且听笔者一一道来.
一、利用等差(等比)数列的定义
在数列
{}
n a 中,若
1n n a a d
--=(d 为常数)或
1
n
n a q a -=(q 为常数),则数列{}n
a 为等差(等比)数列.这是证明数列{}n
a 为等差(等比)数更最主要的方法.如:
例1.(2005北京卷)设数列{}n a 的首项114a a =≠,且11
214
n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数
,
记211
1234
n n b a n -=-=,,,,….
(Ⅰ)求23a a ,;(Ⅱ)判断数列{}n b 是否为等比数列,并证明你的结论.
解:(Ⅰ)213211111
44228a a a a a a =+=+==+,; (Ⅱ)43113428a a a =+=+Q ,所以54113
2416
a a a ==+,
所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=-
=-=-=-=-=- ? ?????
,,, 猜想:{}n b 是公比为
1
2
的等比数列. 证明如下:因为121221111111()424242
n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N , 所以{}n b 是首项为14a -
,公比为1
2
的等比数列. 评析:此题并不知道数列{}n b 的通项,先写出几项然后猜测出结论,再用定义证明,这是常规做法。
例2.(2005山东卷)已知数列{}n a 的首项15a =,前n 项和为n S ,且
125()n n S S n n *+=++∈N (Ⅰ)证明数列{1}n a +是等比数列;(Ⅱ)略.
解:由已知*
125()n n S S n n N +=++∈可得2n ≥时1,24n n S S n -=++两式相减
得:112()1n n n n S S S S +--=-+,即121n n a a +=+,从而112(1)n n a a ++=+,
当1n =时,21215S S =++,所以21126a a a +=+, 又15a =,所以211a =,从而2112(1)a a +=+.
故总有112(1)n n a a n *
++=+∈N ,,又11510a a =+≠,,从而
11
21
n n a a ++=+.
所以数列{1}n a +是等比数列.
评析:这是常见题型,由依照含n S 的式子再类似写出含1n S -的式子,得到1n n a pa q +=+的形式,再利用构造的方法得到所要证明的结论.本题若是先求出通项n a 的表达式,则较繁.
注意事项:用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别,前者必须加上“2n ≥”,否则1n =时0a 无意义,等比中一样有:2n ≥时,有
1
n
n a q a -==L (常数0≠);②n *
∈N 时,有1
n n
a q a +==L (常数0≠). 二.运用等差或等比中项性质
212{}n n n n a a a a +++=?是等差数列,221(0)n n n n a a a a ++=≠{}n a ?是等比数列,这
是证明数列{}n a 为等差(等比)数列的另一种主要方法.
例3.(2005江苏卷)设数列{}n a 的前项为n S ,已知1231
611a a a ===,,,且1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=L ,,,,,其中A
B ,为常数. (1)求A 与B 的值;(2)证明数列{}n a 为等差数列;(3)略.
解:(1)由1231
611a a a ===,,,得1231718S S S ===,,.
把12n =,分别代入 1(58)(52)n n n S n S +--+An B =+,得28248A B A B +=-??
+=-?
,
解得,20A =-,8B =-.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,115()82208n n n n n S S S S n ++---=--,即
11582208n n n na S S n ++--=--,
①
又2215(1)8220(1)8n n n n a S S n ++++--=-+-. ② ②-①得,21215(1)58220n n n n n a na a a +++++---=-, 即21(53)(52)20n n n a n a ++--+=-. ③ 又32(52)(57)20n n n a n a +++-+=-.
④
④-③得,321(52)(2)0n n n n a a a ++++-+=,∴32120n n n a a a +++-+=, ∴3221325n n n n a a a a a a ++++-=-==-=L ,又215a a -=, 因此,数列{}n a 是首项为1,公差为5的等差数列.
评析:此题对考生要求较高,通过挖掘n S 的意义导出递推关系式,灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算.
例4.(高考题改编)正数数列{}n a 和{}n b 满足:对任意自然数1n n n n a b a +,,,成等差
数列,11n n n b a b ++,,成等比数列.证明:数列为等差数列.
证明:依题意,1002n n n n n a b b a a +>>=+,,
,且1n a +
2)n a n ∴=≥.
2n b ∴=
由此可得=2)n =≥.
∴数列为等差数列.
评析:本题依据条件得到n a 与n b 的递推关系,通过消元代换构造了关于的等差
数列,使问题得以解决. 三.运算数学归纳法
这种方法关键在于猜想要正确,用数学归纳法证明的步骤要熟练,从“n k =时命题成立”到“1n k =+时命题成立”要会过渡.
例5.(2004全国高考题)数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知11a =,
12(1,2,)n n n a S n n ++=
=L .证明:数列n S n ??
????
是等比数列. 证明:由11a =,12(1,2,)n n n a S n n ++==L ,知21121
3,1a S a +==214222
S a ==,
111S =,猜测n S n ??
????
是首项为1,公比为2的等比数列. 下面用数学归纳法证明:令n n S
b n
=.
(1)当2n =时,212b b =,成立.
(2)当3n =时,312332132(13)12,42S a a a b b =++=+++===,成立.
假设n k =时命题成立,即12k k b b -=. 那么当1n k =+时,11
12
2211
1k k
k k k k k k k S S S S a k b S b k k k k
+++++
+=====+++,命题成立.
综上知n S n ??
?
???
是首项为1,公比为2的等比数列. 例6.(2005浙江卷)设点1(0)(2)n n n n n A x P x -,,,和抛物线2:()n n n C y x a x b n *=++∈N ,其中11
242
n n a n -=---
,n x 由以下方法得到:11x =,点22(2)P x ,在抛物线2111:C y x a x b =++上,点11(0)A x ,到2P 的距离是1A 到1C 上点的最短距离,L ,点11(2)n n n P x ++,
在抛物线2:n n n C y x a x b =++上,点(0)n n A x ,到1n P +的距离是n A 到n C 上点的最短距离.
(1)求2x 及1C 的方程.(2)证明{}n x 是等差数列.
解:(I )由题意得:2111(1,0),:7A C y x x b =-+.
设点(,)P x y 是1C
上任意一点,则1||A P =
=令2221()(1)(7),f x x x x b =-+-+则'2
1()2(1)2(7)(27).f x x x x b x =-+-+- 由题意:'2()0,f x =即2
222122(1)2(7)(27)0.x x x b x -+-+-= 又22(,2)P x 在1C 上,2
22127,x x b ∴=-+
解得:213,14.x b ==,故1C 方程为2
714.y x x =-+
(II)设点(,)P x y 是n C
上任意一点,则||n A P =
令222
()()()n n n g x x x x a x b =-+++,
则'2
()2()2()(2)n n n n g x x x x a x b x a =-++++.
由题意得g 1'()0n x +=,即2
11112()2()(2)0n n n n n n n n x x x a x b x a ++++-++++= 又2
112,n n n n n x a x b ++=++Q
11()2(2)0(1).n n n n n x x x a n ++∴-++=≥即11(12)20n n n n n x x a +++-+= (*)
下面用数学归纳法证明21n x n =- ①当1n =时,11,x = 等式成立.
②假设当n k =时,等式成立,即21,k x k =- 则当1n k =+时,由(*)知 1
10(12
)2k k k k k x x a ++=+-+
又11
242
,k k a k -=--- 11
22 1.12k k k
k k x a x k ++-∴==++
即当1n k =+时,等式成立.由①②知,等式对n N ∈成立.{}n x ∴是等差数列. 评析:例5是常规的猜想证明题,考查学生掌握猜想证明题的基本技能、掌握数列前n 项和这个概念、用数学归纳法证明等差数列的方法;例6是个综合性比较强的题目,通过求二次函数的最值得到递推关系式,再直接猜想然后用归纳法证明,解法显得简洁明了,如果直接利用递推关系式找通项,反而不好作. 四.反证法
解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑.如:
例7.(2000年全国高考(理))设{}{}n n a b ,是公比不相等的两等比数列,n n n c a b =+.证
明数列{}n c 不是等比数列.
证明:设{}{
}n n a b ,的公比分别为p q ,,p q ≠,n n n c a b =+,为证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠g
.事实上,2
222222111111()2c a p b q a p b q a b pq =+=++ 2222222213113311111111()()()()()c c a b a b a b a p b q a p b q a b p q =++=++=+++g
222p q p q pq ≠+>Q ,,又11a b ,不为零,2
2
13c c c ∴≠g ,故{}n c 不是等比数列. 评析:本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力,对逻辑思维能力有
较高要求.要证{}n c 不是等比数列,只要由特殊项(如2
213c c c ≠g
)就可否定.一般地讲,否定性的命题常用反证法证明,其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的
重要性?.??
五.看通项与前n 项和法
若数列通项n a 能表示成n a an b =+(a b ,为常数)的形式,则数列{}n a 是等差数列;
若通项n a 能表示成n
n a cq =(c q ,均为不为0的常数,n +∈N )的形式,则数列{}n a 是等比数列. 若数列{}n a 的前n 项和S n 能表示成2
n S an bn =+ (a ,b 为常数)的形式,则数列
{}n a 等差数列;若S n
能表示成n n S Aq A =-(A q ,均为不等于0的常数且q ≠1)的形式,
则数列{}n a 是公比不为1的等比数列.这些结论用在选择填空题上可大大节约时间.
例8.(2001年全国题)若S n 是数列{}n a 的前n 项和,2
n S n =,则{}n a 是( ).
A.等比数列,但不是等差数列 B.等差数列,但不是等比数列 C.等差数列,而且也是等比数列 D.既非等比数列又非等差数列
解析:用到上述方法,一下子就知道答案为B ,大大节约了时间,同时大大提高了命中率. 六.熟记一些常规结论,有助于解题
若数列{}n a 是公比为q 的等比数列,则
(1)数列{}n a {}n a λ(λ为不等于零的常数)仍是公比为q 的等比数列;
(2)若{}n b 是公比为q '的等比数列,则数列{}n n a b g
是公比为qq '的等比数列; (3)数列1n a ???
?
??
是公比为1
q 的等比数列; (4){}n a 是公比为q 的等比数列;
(5)在数列{}n a 中,每隔()k k *
∈N 项取出一项,按原来顺序排列,所得新数列仍为等比数列且公比为1
k q
+;
(6)11212{}{}{}{}n n n n n n a a a a a a ++-+-,,,,123456789{}a a a a a a a a a ++++++L ,,,,L
等都是等比数列;
(7)若()m n p m n p *
∈N ,,,,成等差数列时,m n p a a a ,,成等比数列; (8)232n n n n n S S S S S --,,均不为零时,则232n n n n n S S S S S --,,成等比数列; (9)若{log }b n a 是一个等差数列,则正项数列{}n a 是一个等比数列.
若数列{}n a 是公差为d 等差数列,则
(1){}n ka b +成等差数列,公差为kd (其中0k k b ≠,,是实常数);
(2)(1){}n k kn S S +-,(k k ∈N ,为常数),仍成等差数列,其公差为2
k d ;
(3)若{}{
}n n a b ,都是等差数列,公差分别为12d d ,,则{}n n a b ±是等差数列,公差为12d d ±;
(4)当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时,数列{lg }n a 是公差为lg q 的等差数列; (5)()m n p m n p *
∈N ,,,,成等差数列时,m n p a a a ,,成等差数列.
例9.(96年全国高考题)等差数列{}n a 的前n 项和为30,前2n 项和为100则它的前3n
项和为( )
A.130 B.170
C.210
D.260
解:由上面的性质得:232n n n n n S S S S S --,,成等比数列,
故2322()()n n n n n S S S S S -=+-,
32(10030)30(100)n S ∴-=-, 3210n S ∴=.故选C.
评析:此题若用其它方法,解决起来要花比较多的时间,对于选择题来说得不断尝试.记住上面这些结论,在做选择填空题时可大大节约时间,并且能提高命中率.
从上面可以看出:证明或判断等差(等比)数列的方法有许多种,作题时到底用何种方法,一般说来大题用前四种:定义法、运用等差或等比中项性质、运用数学归纳法、反证法,但用后面的方法可以容易检验出用前面的方法得出的结果是否正确,作小题应该用后面的方法.