1. (15分)NBA 篮球赛中有这样的规律,两支实力相当的球队比赛时,每节主队得分与客队得
分之差为正态随机变量,均值为1、5,方差为6,并且假设四节的比分差就是相互独立的,问:
（1） 主队得胜的概率有多大？
（2） 在前半场主队落后5分的情况下,主队得胜的概率有多大？ （3） 在第一节主队赢5分的情况下,主队得胜的概率有多大？
()(87.90)4.22(.7180)77.50(89.80)3.21(x Φ=Φ=Φ=Φ，，，就是标准正态分布函数) 解:记 A={主队得胜},X i ={第i 节主队与客队的得分之差}(i=1,2,3,4),则X 1,X 2,X 3,X 4相互独立,且都服从正态分布)6,.51(~N X ,由正态分布的可加性可得:
)24,6(~4321N X X X X +++,)18,.54(~432N X X X ++,)12,3(~43N X X +
(1))2
6
24
6(1)246
024
6
()0(
)(4
1i i
4
1
i i
4
1
i i
-
≤--=->
-=>=∑∑∑===X
P X
P X
P A P 897.80)247.21()247.21(1=Φ=-Φ-=、
)
26
246(1)2460()0()(4
1i i 4
1
i i -≤--=->=>=∑∑==X P P X P A P 2818.0)775.50(1)3
1123(1)1235123(4343=Φ-=≤-+-=->-+=X X P X X P 、
(3) )5()5|0(
)5|(4324
1
i 1i
1->++==>==∑=X X X P X X
P X A P
)2
3.5918.54(1)18.5
4518
.5
4(
432432-≤-++-=-->
-++=X X X P X X X P 874.90)2392.()2392.(1=Φ=-Φ-=、
2. (10分)质量检验员逐个地检查某种产品,每次花10秒钟检查一个,但也可能有的产品需要
再花10秒钟重复检查一次,假设每个产品需要复查的概率为0、5,试用中心极限定理估算一下在8小时内检验员能检查完1600个产品的概率。((1.4)0.9713Φ=) 解:设i X 表示检查第i 个产品所花费的时间)1600,2,1i ( ，=,则???
?
??.50.502010~i X 、
15.5020.5010i =?+?=EX ,
2515.5020.5010)]([)(2222i 2i =-?+?=-=X E X E DX i 、
令∑==1600
1
i i
X
X 表示检查完1600个产品所花的总时间,由独立同分布的林德伯格中心极
限定理可知
)25
160015
160036008)(n )(n (
)36008(i i ??-?≤-=?≤X D X E X P X P
713.90).41().4125
1600151600()20015160036008251600151600(
=Φ≈≤??-=?-?≤??-=X P X P
即检验员在8小时内检查完1600个产品的概率就是0、9713、
3、 (10分) 设总体X 服从正态分布)4,12(N ,n 21,,X X X ，
就是来自总体X 的简单随机样本,求
(1) n=5时样本均值X 与总体均值之差绝对值大于1的概率;
(2))15},,,(m ax {521>X X X P 、((1.118)Φ=0、8686, (1.5)0.9332Φ=) 解:(1)当n=5时,)5
412(~，N X ,即
)10(~5
412
，N X - 所以 )]25
()25([1)5415412541(1)1|12(|-Φ-Φ-=<-<-
-=>-X P X P
628.20)]18.11(1[2)]2
5
(
1[2=Φ-=Φ-=、 (2) )15},,,(m ax {1)15},,,(m ax {521521≤-=>X X X P X X X P
)15()15()15(1521≤≤≤-=X P X P X P
5
151)]2
1215212(
[1)]15([1-≤--=≤-=X P X P 9.20)531.80(1)].51([155=-=Φ-=、
4、 (20分)设总体X 服从正态分布)8,(μN ,μ未知。在总体X 的10个观测值的平均值
1500=x 时,(1)求μ的置信水平为0、95的置信区间;(2)要想使μ的置信水平为0、95的置
信区间的长度不超过1,则n 至少取多大? (3) 如果总体的样本容量n=64,则当区间
)11(+-X X ，就是μ的置信水平为α-1的置信区间时,α应多大？(0.025 1.96z =, 0.0023 2.828z =)
解:(1)由于82
=σ已知,所以正态总体数学期望μ的置信水平为α-1的置信区间为
)z z (2
2
n
x n
x σ
σ
α
α
+-，
由题设知6.91810n 150025.00====z x ，，，σ,所以μ的置信水平为0、95的置信区间为)1502,1498()10
8
6.9115001086
.911500(=+-，、 (2) 当样本容量为n 时,μ的置信水平为0、95的置信区间为)8
6.9186
.91(n
x n x +-，,
于就是要使该区间的长度不超过1,即18
6.912≤?n
,必有3.9122n ≥,即观测值的个数n 最少为123、
(3) 如果总体的样本容量n=64时,μ的置信水平为α-1的置信区间为)11
(+-X X ，,则有16482
=α
z ,即28.82222
==αz ,查表可得023.00977.9012=-=α
,即046.00=α、
5. (15分)设总体X 的分布密度为??
???<<-=其它00)(6)(3θ
θθx x x
x f ,n 21,,X X X ，
就是取自总体X 的简单随机样本,求(1)求θ的无偏估计量θ
?;(2)求θ?的方差)?(θD 、 解:(1)2
d )(6d )(0
3
-θ
θθ
θ
=-==
??
+∞
∞
x x x
x
x x xf EX ,
令 X X X 2?n 12n
1
i i
=?==∑=θθ
。因为θθ
θ===?==∑=EX X E E X X 22?n 12n
1
i i
, 所以X 2就是θ的无偏估计量。
(2)===)(4)2()?(X D X D D θ)(n 4
)(n 4]n 1[4n
1
i i
2n
1
i i X D X D X D ∑∑==== 因为204103)2(d )(6)()(2
222
32
2
2θθθθ
θθ
θ
=-=--=
-=?
x x x x EX EX X D ,
所以 n
520n 4)?(2
2θθθ=?=D 。 6. (15分)设有12名志愿受试者服用减肥药,服药前与服药一个疗程后,各测量1次体重(公斤),数据如下:
服药前:101,131,131,143,124,137,126,95,90,67,84,101 服药后:100,136,126,150,128,126,116,105,87,57,74,109
经计算:志愿受试者服药前的平均体重为110.833X =,样本方差为2
1
s 586.88=; 志愿受试者服药后的平均体重为109.55Y =,样本方差为22s 718.64=。并设志愿受试者服药前的体重近似服从正态分布21X ~(,)N μσ,服药后的体重近似服从正态分布22Y ~(,)N μσ。试判断此减肥药就是否有效？
0.025(0.05,t (22) 2.0739)α==
解:设志愿受试者服药前后的体重分别近似服从21X ~(,)N μσ,22Y ~(,)N μσ。该
问题可归结为下述的假设检验问题
012112:,:H H μμμμ=≠
利用双侧检验法,
取检验统计量X Y
t =,
其中S ω=
当原假设0H 为真时,12t ~t(2)t(22)n n +-= ,其拒绝域为0.025W={|t|>t (22)}。
依题意有22111
20.05,12,110.833,109.55,s 586.88,s 718.64n n X Y α=======
, s 25.549ω=
=
,0.12783X Y t =
==,
由于0.025|t|0.12783t (22) 2.0739=<=,不能拒绝0H ,即不能认为此减肥药有效。
7. (15分)以家庭为单位, 某种商品年需求量与该商品价格之间的一组调查数据
如下表:
2
.12.15.12
5
.24.27.235.31)(5
.33.33
8
.26.25.23.222
5
)
(kg y x 需求量元价格
假设商品的需求量y 与价格x 之间存在近似的线性关系。
(1) 求经验回归方程x y 1
0???ββ+=; (2) 检验线性关系的显著性(05.0=α, 采用-F 检验法,32.5)81(05.0=，
F )、 解 )1( ,9.2=x ,18.7=xx L ,1.2=y ,58.6=yy L
xy L y x n y x n
i i i -=∑=1109.21.297.54??-=,93.5-=
故1
?βxx xy L L /=,826.0-= 0?βx y 1?β-=,449.4= 经验回归方程.826.0495.4?x y
-= (2) 回S xy L 1?β=)93.5()826.0(-?-=,898.4= 剩S xy
yy L L 1?β-=,682.1= 0F )
2(-=
n S S 剩回682
.1898
.48?
=,297.23=
,05.0=α.32.5)81(05.0=，
F 因),8,1(05.00F F >故回归效果就是显著的。