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1.1 有理数
【教学目标】
1.理解有理数的有关概念，能用数轴上的点表示有理数，会求倒数、相反数、绝对值.
2.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算，会比较两个有理数的
大小.
3.理解近似数和有效数字的概念，会将一个数表示成科学记数法的形式.
4.能运用有理数的运算解决简单的实际问题，会探索有规律性的计算问题. 【重点难点】
重点：有理数的加、减、乘、除、乘方运算及简单的混合运算.
难点：对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.
【考点例解】
例1 （1）-5的绝对值是（） A. -5 B. 5 C. D.
（2）2007年3月5日，温总理在《政府工作报告》中，讲述了六大民生新亮点，其中之一就是全部免除了西部地区和部分中部地区农村义务教育阶段
约名学生的学杂费. 这个数据保留两个有效数字用科学记数法表示为
（）
A. B. C. D.
（3）2008年2月4日，我国遭受特大雪灾，部分城市的平均气温情况如下表（记温度零上为正，单位：℃），则其中当天平均气温最低的城市是（）
A. 广州
B. 福州
C. 北京
D. 哈
1
尔滨
分析：本题主要是考查学生对有理数相关概念的理解. 第（1）小题考查绝对值的意义；第（2）小题考查科学记数法；第（3）小题考查有理数的大小比较.
解答：（1）B；（2）B；（3）D.
例2 计算：.
分析：本题主要是考查有理数的乘方运算及有理数混合运算的顺序.
解答：原式
1180
1(1)91
98181 =+-÷?=-=.
例3 观察表①，寻找规律，表②、表③、表④分别是从表①中截取的一部分，其中、、的值分别是（）
A. 20，29，30
B. 18，30，26
C. 18，20，26
D. 18，
30，28
分析：本题主要考查有理数运算的简单应用. 表①中第一行中的数均为连续的自然数，而下面各行依次是第一行的2倍、3倍、4倍、…；表①中第一列中的数均为连续的自然数，依次从左往右各列的最大公约数分别是2、3、4、….
解答：D.
【考题选粹】
1.（2007·宜宾）数学家发明了一个魔术盒，当任意实数对（，）进入其中时，会得
到一个新的实数：.如把（3，-2）放入其中，会得到. 现将实数对（-2，3）放入其中得到实数，再将实数对（，1）放入其中得到的数是 .
2.（2007·玉溪）小颖中午回家自己煮面条吃，有下面几道工序：①洗锅盛水2分钟；
②洗菜3分钟；③准备面条及佐料2分钟；④用锅把水烧开7分钟；⑤用烧开的
水煮面条和菜3分钟. 以上各道工序，除④外，一次只能进行一道工序，则小颖要将面条煮好，最少用分钟.
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
1.2 实数
【教学目标】
1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会求非负数的算术平方根和实数的立方根.
2.了解无理数与实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，能用有理
数估计一个无理数的大致范围.
3.会用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算，会用计算器进行近似计算. 【重点难点】
重点：用算术平方根的性质进行实数的简单四则运算.
难点：实数的分类及无理数的值的近似估计.
【考点例解】
例1 （1）下列实数：，，，，3.14159，，，中，无理数有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
（2）下列语句：①无理数的相反数是无理数；②一个数的绝对值一定是非负数；
③有理数比无理数小；④无限小数不一定是无理数. 其中正确的是（）
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.②④分析：本题主要是考查学生对无理数与实数概念的理解.
解答：（1）C；（2）C.
例2
计算：
02
11
11sin30
20082
-
????
--+
? ?
????
.
分析：本题主要是考查零指数幂、负指数幂及算术平方根的化简与运算.
解答：
原式
)1
114211322
2
=--+?---
例3 我国《劳动法》对劳动者的加班工资作出了明确规定：春节长假期间，前3天是法定休假日，用人单位应按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的300%支付加班工资;后4天是休息日，用人单位应首先安排劳动者补休，不能安排
补休的，按照不低于劳动者本人日工资或小时工资的200%支付加班工资. 小
王由于工作需要，今年春节的初一、初二、初三共加班三天（春节长假从十二
月卅日开始）. 如果小王的月平均工资为2800元，那么小王加班三天的加班
工资应不低于 元.
分析：本题主要考查学生灵活应用实数运算的相关知识解决实际问题的能力.要注意
的是今年的法定假期共有11天，因此日工资标准的计算方法是：.
解答：()280021.752300%1200%1030÷??+?≈（元）.
【考题选粹】
1.（2007·内江）若，均为整数，且当时，代数式的值为0，则的算术平方根为 .
2.（2007·嘉兴）计算：.
3.（2007·重庆）将正整数按如右图所示的规律排列
下去. 若用有序实数对（，）表示第排、
从左到右第个数，如（4，3）表示实数9，则
（7，2）表示的实数是 .
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
1.3 整式
【教学目标】
1.了解整式的有关概念，理解去括号法则，能熟练进行整式的加减运算.
2.掌握正整数指数幂的运算性质，能在运算中灵活运用各种性质.
3.会进行简单的整式乘法运算和简单的多项式除法运算，了解两个乘法公式及其几何背景，能运用乘法公式进行简便.
4.会通过对问题的分析列出代数式，能熟练进行整式的化简与求值.
【重点难点】
重点：列代数式表示数量关系，整式的化简与求值.
难点：乘法公式的灵活运用.
【考点例解】
例1 （1）已知整式与是同类项，那么，的值分别是（ ）
A. 2，-1
B. 2，1
C. -2，-1
D. -2，1
（2）下列运算中正确的是（ ）
A. B. C. D.
（3）如果，，那么代数式的值是 .
分析：本题主要是考查同类项的概念和整式的加法、乘法和正整数指数幂的运算. 解答：（1）A ； （2）C ； （3）5.
例2 （1）王老板以每枝元的单价买进玫瑰花100枝. 现以每枝比进价多两成的价
格卖出70枝后，再以每枝比进价低元的价格将余下的30枝玫瑰花全部
卖出，则王老板的全部玫瑰花共卖了 元（用含，的代数式表示）.
（2）如图3-1所示，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1
的规律拼成一列图案：
①第4个图案中有白色纸片 张；②第个图案中有白色纸片
张.
分析：本题主要考查列代数式表示数量关系，第（1）题的关键是弄清前70枝玫瑰花
的单价和后30枝的单价分别是多少；第（2）题的关键是要发现图案中的规律：
第一个图形有4张白色纸片，以后每个图形都比前一个图形多3张白色纸片.
解答：（1）()()b a b a a 3011430%20170-=-++.
（2）①13； ②.
例3 先化简，再求值：()()()()2
32325121x x x x x +-----，其中.
分析：本题主要考查乘法公式的灵活应用及整式的化简求值.解答这一类题目时，一
般应先将整式化简，然后再将字母的值代入计算.
解答：原式222945544195x x x x x x =--+-+-=-.
当时，原式.
【考题选粹】
1.（2006·济宁）能被下列数整除的是( )
A. 3
B. 5
C. 7
D. 9
2.（2007·淄博）根据以下10个乘积，回答问题：；；；；；；；；；.
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论（不要求证明）.
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
1.4 因式分解
【教学目标】
1.理解因式分解的概念，了解因式分解与整式乘法之间的关系.
2.掌握因式分解的一般思考顺序，会运用提公因式法和公式法进行因式分解，会
利用因式分解解决一些简单的实际问题.
【重点难点】
重点：运用提公因式法和公式法进行因式分解.
难点：利用因式分解解决一些简单的实际问题.
【考点例解】
例1 （1）在一次数学课堂练习中，小聪做了以下4道因式分解题，你认为小聪做得不够完整的一道题是（）
A. B.
C. D..
（2）因式分解的结果是（）
A. B.
C. D..
分析：本题主要是考查因式分解的概念和因式分解一般思考顺序，强调因式分解一定
要分解到结果中的每个因式都不能再分解为止.
解答：（1）A ； （2）B.
例2 利用因式分解说明：能被120整除.
分析：要说明能被120整除，关键是通过因式分解得到含有因数120，可将化为同底
数形式，然后利用提公因式法分解因数.
解答：∵ ()
71214121221211255555515245120-=-=-=?=?， ∴能被120整除.
例3 在日常生活中经常需要密码，如到银行取款、上网等. 有种用“因式分解”法
产生的密码方便记忆，原理是：如对于多项式，因式分解的结果是，若取，，则各因式的值分别是：，，，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码. 同理，对于多项式，若取，，则产生的密码是： （写出一个即可）. 分析：本题是因式分解的知识在实际生活中的简单应用. 解答时只需要先对多项式进
行因式分解，再求各因式的值就可以了.
解答：()
()()32224422a ab a a b a a b a b -=-=-+，当，时，各因式的值分别是：，，，所以密码可以为101030（也可以为103010或301010）.
【考题选粹】
1.（2006·南通）已知，，，其中.
（1）求证：，并指出与的大小关系；
（2）指出与的大小关系，并说明理由.
2.（2007·临安）已知、、是的三边，且满足，判断的形状. 阅读下面的解题过程： 解：由 得， ①
即 ()()()2222222a b a b c a b +-=-， ②
∴， ③
∴是直角三角形. ④
试问：以上解题过程是否正确？ . 若不正确，请指出错在哪一步？（填
代号） ；错误原因是 ；本题的正确结论应该是 .
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
1.5 分式
【教学目标】
1.了解分式概念，会求分式有意义、无意义和分式值为0时，分式中所含字母的条件.
2.掌握分式的基本性质和分式的变号法则，能熟练地进行分式的通分和约分.
3.掌握分式的加、减、乘、除四则运算，能灵活地运用分式的四则运算法则进行分式的化简和求值.
【重点难点】
重点：分式的基本性质和分式的化简.
难点：分式的化简和通过分式的运算解决简单的实际问题.
【考点例解】
例1 （1）在函数中，自变量的取值范围是（ ）
A. B. C. 且 D.且.
（2）若分式的值为零，则的值为 .
（3）下列分式的变形中，正确的是（ ）
A. B. C. D.
分析：本题主要考查分式的概念与分式的基本性质. 在分式中，要使分式有意义，分
式的分母要不为零；要使分式值为0，则要求分子的值为0且分式有意义.
解答：（1）B；（2）；（3）C.
例2 先化简：，再选择一个恰当的的值代入求值.
分析：本题主要考查分式的化简和分式有意义的条件. 在分式化简中，经常可以把分式的除法改为乘法，再利用“分解约分”法进行化简. 在本题中的不能取0和±1.
解答：原式，当时，原式＝3.
例3 （1）已知一个正分数，如果分子、分母同时增加1，分数的值是增大减小？请证明你的结论；（2）若正分数中分子和分母同时增加2，3，…，（整数＞0），情况如何？（3）请你用上面的结论解释下面的问题：建筑学规定，民用住宅窗户面积必须小于地板面积，但按采光标准，窗户面积与地板的比应不小于10%，并且这个比值越大，住宅的采光条件越好. 问同时增加相等的窗户面积和地板面积，住宅的采光条件是变好还是变坏？请说明理由.
分析：本题考查了分式的大小比较，并要求利用有关知识解决实际问题. 解题的关键是理解题意，得到正确的结论.
解答：（1）正分数中，若分子、分母同时增加1，分数的值增大，证明如下：∵，∴，
∴，即.
（2）正分数中分子和分母同时增加2，3，…，（整数＞0）时，分式的值也增大. （3）住宅的采光条件变好，理由略.
【考题选粹】
1.（2007·东营）小明在考试时看到一道这样的题目：“先化简，再求值.”小明代入
某个数后求得值为 3. 你能确定小明代入的是哪一个数吗?你认为他代入的这个数合适吗?为什么?
2.（2007·嘉兴）解答一个问题后，将结论作为条件之一，提出与原问题有关的新问
题，我们把它称为原问题的一个“逆向”问题. 例如，原问题是“若矩形的两边长分别为3和4，求矩形的周长”，求出周长等于14后，它的一个“逆向”问题可以是“若矩形的周长为14，且一边长为3，求另一边的长”；也可以是“若矩形的周长为14，求矩形面积的最大值”等等.
（1）设，，求与的值；
（2）提出（1）的一个“逆向”问题，并解答这个问题.
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
1.6 二次根式
【教学目标】
1.了解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件.
2.了解二次根式的加、减、乘、除运算法则，会对简单的二次根式进行化简，会
用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算.
【重点难点】
重点：二次根式的化简和用二次根式的运算法则进行实数的简单四则运算.
难点：二次根式的化简.
【考点例解】
例1 （1）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（）
A. B. C. D..
（2）若为实数，则下列各式中一定有意义的是（）
A. B. C. D.
分析：本题主要考查二次根式的概念，即在二次根式中，被开方数必须是非负数.解答：（1）B；（2）B.
例2 （1）计算：.
（2）比较大小： .
分析：本题主要考查二次根式性质的灵活应用和二次根式的混合运算. 第（1）题中，
可先利用二次根式的性质进行化简，然后利用实数的运算法则进行计算；第（2）题要先逆用性质：，再进行两个数的大小比较.
解答：（1）原式()1232323433532=?=-+=.
（2）∵，，且，
∴.
例3 已知的三边，，满足224210212--+=--++b a c b a ，则为（ ）.
A. 等腰三角形
B. 正三角形
C. 直角三角形
D. 等腰直角
三角形
分析：本题考查了二次根式的非负性，即：在二次根式中，且.
解答：将原式
变形，得 ()()0211424251022=--+?????
?+---++-c b b a a . 即 ()()0211452
2=--+--+
-c b a . ∴ ，，. ∴ . ∴ 为等边三角形，故选B.
【考题选粹】
1.（2006·南充）已知，那么化简的正确结果是（ ）
A. B. C. D.
2.（2007·烟台）观察下列各式：
，，，…，请将你发现的规律用含自然数的等式表示出来： .
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
第一单元综合测试（数与式）
班级学号姓名得
分 .
一、选择题（本题有10小题，每小题4分，共40分）
1. 如果水库的水位高于标准水位3m时，记作+3m，那么低于标准水位2m时，应记作（）
A. -2m
B. -1m
C. +1m
D. +2m
2. 2007年我国某省国税系统完成税收收入为
3.45065×1011元，也就是收入了（）
A. 345.065亿元
B. 3450.65亿元
C. 34506.5亿元
D. 345065亿元
3. 若整式是一个完全平方式，那么的值是（）
A. -5
B. 7
C. -1
D. 7或-1
4. 估计的大小应在( )
A. 9.1～9.2之间
B. 9.2～9.3之间
C. 9.3～9.4之间
D. 9.4～
9.5
5. 如图1，点，在数轴上对应的实数分别是，，那么，两点间的距离是（）
A. B.
C. D.
6. 下列运算中，错误的是（）
A. B. C. D.
7. 某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死
去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律，5小时后细胞存活的个数是（）
A. 31个
B. 33个
C.35个
D.37个
8. 如果代数式的值为9，则代数式的值为（ ）
A. 7
B. 9
C. 12
D. 18
9. 如图2，图中阴影部分的面积是（ ）
A. B. C. D.
10.已知，是两个连续自然数（＜），且，设
，那么的值是（ ）
A.奇数
B.偶数
C.奇数或偶数
D.有理数或无理数
二、填空题（本题有6小题，每小题5分，共30分）
11.写出一个小于2的无理数： .
12.列代数式表示：“数的2倍与10的和的二分之一”应为 .
13.已知，且，则当时，代数式的值为 .
14.一个矩形的面积是米2
，它的一条边为米，那么它的另一边为 米.
15.数学家发现一个魔术盒，当任意实数对．．．
进入时，会得到一个新的实数：.例如把（3，-2）放入其中后，就会得到32+（-2）+1=8. 现将实数对．．．
（-2，3）放入其中得到实数，再将实数对．．．
放入其中后，得到的实数是 . 16.如果2007个整数, ,…,满足下列条件：,，，…，，则 .
三、解答题（本题有7小题，共80分）
17.（10()012sin 452 3.14π--+- . 18.（10分）先化简代数式：，然后选择一个使原式有意义的，值代入求值.
19.（10分）观察下面一列数，探求其中的规律：
，，，，，， ， ， ，…
（1）请在上面的横线上填出第7，8，9个数；
（2）第2008个数是什么？第个数是什么？如果这一列数无限地排列下去，那么
与哪个数越来越接近？
20.（10分）分解因式：
（1）（2）
21.（12分）2007年4月18日是全国铁路第六次大提速的第一天. 这一天，小明爸
爸因要出差，于是他到火车站查询列车的开行时间，下表是他从火车站带回家的最新时刻表：
2007年4月18日起××次列车时刻表
小明爸爸找出了以前同一车次的时刻表如下：
2006年3月20日××次列车时刻表
比较了两张时刻表后，小明爸爸提出了下面两个问题，请你帮小明解答：
（1）现在该次列车的运行时间比以前缩短了多少小时？
（2）如果该次列车提速后的平均时速为200千米小时，那么该次列车原来的平均时速为多少？（结果精确到个位）
22.（14分）下面的图(1)是由边长为的正方形剪去一个边长为的小正方形后余下的
图形.把图(1)剪开后,再拼成一个四边形,可以用来验证公式：.
（1）请你通过对图(1)的剪拼,画出三种不同拼法的示意图.
要求：①拼成的图形是四边形；
②在图(1)上画出剪裁线(用虚线表示)；
③在拼出的图形上标出已知的边长.
（2）选择其中的一种拼法写出验证上述公式的过程.
23.（14分）设，,…,（≥ 0的自然数）.
（1）探究：是8的倍数吗？请说明理由，并用文字语言表述你所获得的结论；
（2）若一个数的算术平方根是一个自然数，则称这个数是“完全平方数”. 试找出，，…，，…，这一列数中从小到大排列的前4个完全平方数，并求：当满
足什么条件时，为完全平方数？
2.1 一次方程（组）
【教学目标】
1.理解方程、方程组，以及方程和方程组的解的概念.
2.掌握解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法，体会“消元”的数
学思想，会求二元一次方程的正整数解.
3.能根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组来解决简
单的实际问题，并能检验解的合理性.
【重点难点】
重点：解一元一次方程和二元一次方程组的一般步骤与方法.
难点：根据实际问题中的数量关系，列出一元一次方程或二元一次方程组. 【考点例解】
例1 （1）若关于的一元一次方程的解是，则的值是（）
A. B. 1 C. D. 0.
（2）若二元一次方程组的解为，则的值为（）
A. 1
B. 3
C. -1
D. -3 分析：本题主要考查方程和方程组的概念，以及一元一次方程和二元一次方程组的解法.
解答：（1）B；（2）C.
例2 已知方程组的解是，则方程组的解是 .
分析：本题主要考查一元一次方程或二元一次方程组的解法和整体代换的思想. 在解答时，既可以直接求方程组的解，也可以利用整体思想，分别把和“看作”
和，通过解一元一次方程来解决.
解答：.
例 3 陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向总务处王老师交帐时说：“我买
了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还剩余418元.…”王老师算了一下说：“你肯定搞错了”.
（1）王老师为什么说陈老师搞错了呢？请你用方程的知识给予解释.
（2）陈老师连忙拿出购物发票进行核对，发现自己的确是弄错了，因为他还买
了一个笔记本. 但笔记本的单价已经模糊不清了，只能辨认出应该是小于10元的整数. 问：笔记本的单价可能是多少元？
分析：本题考查了列一元一次方程解应用题. 列方程（组）解应用题的一般步骤是：
审题、设元、列方程、解方程、检验和作答. 在检验时，不仅要检验所求得的结果是否是所列方程的解，而且还要检验方程的解是否符合实际问题.
解答：（1）设单价为8元的书买了本，则单价为12元的书买了本.由题意得 ()4181500105128-=-+x x .
解这个方程，得 .
因为书的本数一定是正整数，所以（本）不合题意，因此陈老师错了.
（2）设笔记本的单价为元，则由题意得
()y x x --=-+4181500105128.
解这个关于的方程，得 .
∵， ∴， 解得 .
又∵为正整数， ∴可以取45、46.
当时，21784541784=-?=-=x y （元）；
当时，61784641784=-?=-=x y （元）.
答：笔记本的单价可能是2元或6元.
例4 新星学校的一间阶梯教室内，第1排的座位数为，从第2排开始，每一排都比
前一排增加个座位.
（1）请你在下表的空格内填写一个适当的代数式：
（2）已知第4排有18个座位，第15排的座位数是第5排的座位数的2倍，则第21排有多少个座位？
分析：本题考查了列二元一次方程组解应用题. 解答本题的关键是会从表中数据的变化中寻找出一定的规律，再利用规律求出和的值.
解答：（1）.
（2）根据题意，得，解得.
∴.
答：第21排有52个座位.
【考题选粹】
1.（2007·济宁）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后立即下山，在山脚和
山顶之间不断往返运动，已知山坡长为360m，甲、乙两人上山的速度比是6:4，并且甲、乙两人下山的速度都是各自上山速度的1.5倍，当甲第三次到达山顶时，则此时乙所在的位置是 .
2.（2007·北京）某地区为了改善生态环境，增加农民收入，自2004年起就鼓励农
民在荒山上广泛种植某种果树，并且出台了一项激励措施：即在开荒种树的过程中，每一年新增果树达到100棵的农户，当年都可得到生活补贴1200元，且每超出一棵，政府还给予每棵元的奖励. 另外，种植的果树，从下一年起，每年每棵平均将有元的果实收入. 下表是某农户在头两年通过开荒种树每年获得的总收入情况：
（注：年总收入＝生活补贴费＋政府奖励费＋果实收入）
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
2.2 分式方程
【教学目标】
1.了解分式方程的概念，能将实际问题中的等量关系用分式方程表示出来.
2.会解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程，体验转化的数学思
想；了解增根的概念，会进行分式方程的验根.
3.能根据实际问题中的数量关系，列出分式方程来解决简单的实际问题，并能检
验解的合理性.
【重点难点】
重点：解可化为一元一次方程（或一元二次方程）的分式方程的一般步骤与方法.
难点：根据实际问题中的数量关系，列出分式方程，并检验解的合理性.
【考点例解】
例1 如果关于的分式方程无解，那么的值是（）
A. 1
B. -1
C. 3
D. -3.
分析：本题主要考查分式方程的增根概念. 需要注意的是：分式方程的增根应该满足变形后的整式方程，但不满足原分式方程.
解答：A.
例2 解分式方程：.
分析：本题主要考查分式方程的解法. 在解答时，应按照解分式方程的一般步骤进行，并注意验根.
解答：去分母，得
去括号，得
移项，合并同类项，得
方程两边同时除以2，得
经检验，是原方程的解.
例3 某公司投资某个项目，现有甲、乙两个工程队有能力承包这个项目. 公司经调查发现：乙工程队单独完成工程所需的时间是甲工程队单独完成工程所需时间的2倍，；甲、乙两队合作完成工程需要20天，甲队每天的工作费用为1000元，乙队每天的工作费用为550元. 根据以上信息，从节约资金的角度考虑，该公司应选择哪个工程队来承包这个项目？公司应付出的费用为多少元？
分析：本题考查了列分式方程解应用题. 解答本题的关键是根据题意求出甲、乙两队单独完成工程所需的时间，进而求出各自的总费用.
解答：设甲队单独完成工程需要天，则乙队单独完成工程需要天. 根据题意，得
解得
经检验，是原方程的解，且和都符合题意.
∴应付甲工程队的费用为：（元），
应付乙工程队的费用为：（元）.
∵，∴该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元.
答：该公司应选择甲工程队，需付出的总费用为30000元.
【考题选粹】
1.（2007·青岛）某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400米的道路. 为了
尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务. 若设原计划每小时修路米，则根据题意可得方程 .
2.（2007·怀化）解方程：.
【自我检测】
见《数学中考复习一课一练》.
2.3 一元二次方程
【教学目标】
1.理解一元二次方程的概念和一般形式，能把一个一元二次方程化为一般形式.
2.理解配方法，会用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程，
掌握一元二次方程的求根公式.
3.能用一元二次方程解决实际问题，能根据具体问题的实际意义检验结果的合理
性.
【重点难点】
重点：用因式分解法、直接开平方法和公式法解简单的一元二次方程.
难点：配方法，列一元二次方程解决实际问题，并检验解的合理性.
【考点例解】
例1 （1）下列方程中，肯定是一元二次方程的是（）
A. B.
C. D.
（2）已知是一元二次方程的一个解，则的值是（）
A. 1
B. 0
C. 0或1
D. 0或-1.
（3）一元二次方程的根的情况是（）
A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.只有一个实数根
D.没有实数根
分析：本题主要考查一元二次方程的有关概念和性质，其中第（1）小题考查一元二次方程的概念，第（2）小题考查一元二次方程的解的意义，第（3）小题考查一元二次方程的根的判别式. 在一元二次方程中，当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根.
解答：（1）D；（2）A；（3）A.
例2 解下列方程：
人教版八年级数学上册《函数》教案 ] 教学目标 1．知识与技能 了解函数的概念，弄清自变量与函数之间的关系． 2．过程与方法 经历探索函数概念的过程，感受函数的模型思想． 3．情感、态度与价值观 培养观察、交流、分析的思想意识，体会函数的实际应用价值． 重、难点与关键 1．重点：认识函数的概念． 2．难点：对函数中自变量取值范围的确定． 3．关键：从实际出发，由具体到抽象，建立函数的模型． 教学方法 采用“情境──探究”的方法，让学生从具体的情境中提升函数的思想方法． 教学过程 一、回顾交流，聚焦问题 1．变量（P94）中5个思考题． 【教师提问】 同学们通过学习“变量”这一节内容，对常量和变量有了一定的认识，请同学们举出一些现实生活中变化的实例，指出其中的常量与变量． 【学生活动】思考问题，踊跃发言．（先归纳出5个思考题的关系式，再举例） 【教师活动】激发兴趣，鼓励学生联想， 2．在地球某地，温度T（℃）与高度d（m）的关系可以挖地用T=10-来表示（如图），请你根据这个关系式回答下列问题： （1）指出这个关系式中的变量和常量． （2）填写下表． 高度d/m 0 ，200，400，600，800，1000 温度T/℃ （3）观察两个变量之间的联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就______． 3．课本P7“观察”． 【学生活动】四人小组互动交流，踊跃发言 二、讨论交流，形成概念 【函数定义】 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 【教师活动】归纳出函数的定义．强调在上述活动中的关系式是函数关系式．提问学生，两个变量中哪个是自变量呢？哪个是这个自变量的函数？ 【学生活动】辨析理解，如：T=10-这个函数关系式中，d是自变量，T是d的函数等．弄清函数定义中的问题。 三、继续探究，感知轻重
29．3课题学习制作立体模型 【学习目标】 1.通过根据三视图制作主体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程。体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。 2.通过自主探索、合作探究讨论，使学生加深以投影和视图的认识。 3.通过动手实践，培养学生创新精神与创造发明的意识。 【学习重点】让学生亲身经历发现规律，深入研究、应用所学知识的过程。 【学习难点】学生通过手工制作，实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中培养科学的研究态度。 【学习准备】刻度尺、剪刀、胶水、胶带、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。 【学习过程】 【创设情境提出任务】 情境1 以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所示的立体模型。 活动形式：学生小组交流物体的形状，然后动手制作。 情境2 按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型。 活动方式：小组交流三视图所表示的物体是什么形状的，然后动手制作。 【创设情境研究问题】 下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。 （1）指出其中哪些可以折叠成多面体，把上面的图纸描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案； （2）画出上面图形能折叠成多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；
（3）如果上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的表面积各是多少？ 活动方式：学生动手操作 【课堂小结反思收获】 1、物体的三视图、展开图、立体图形之间是相互联系的，三者可以互相转化。 2、物体的三视图、展开图在生产当中应用庄广泛，学习本章内容为我们以后的生产实践奠 定基础。 3、从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转 化，即学会画三视图玫由三视图得出立体图形，从能力上说，认识平面图形与立体图形的联系对于培养空间想象能力上非常重要。 【课题拓展布置作业】 三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，具体例子写一篇短文，介绍三视图、展开图的应用。
新人教版初一数学教案 数学是研究数量、构、化、空以及信息等概念的一学 科从某种角度看属于形式科学的一种小整理的数学教案供参考！ 教学目 1整理前两个学段学的整数、分数（包括小数）的知掌握正数 和数的概念； 2能区分两种不同意的量会用符号表示正数和数； 3体数学展的一个重要原因是生活的需要激学生学数学的 趣 教学点：正确区分两种不同意的量知 重点：两种相反意的量 教学程：（生活）理念置情境 引入上开始教通具体的例子要明在前两个学段我已学 的数并由此学生思考：生 活中有些“以前学的数” 用了下面的例子供参考． ：今天我已是七年的学生了我是你的数学老．下 面我先向你做一下自我介我的名字是XX身高 1.73 米体重 58.5 千克今年 40 ．我的班是七 (13) 班有 60 个同学其中男同学有 22 个占全班人数的37%? 1：老才的介中出了几个数分你能将些数按以前学的 数的分方法行分
学生活动：思考交流 师：以前学过的数实际上主要有两大类分别是整数和分数（包括小数）． 问题 2：在生活中仅有整数和分数够用了 请同学们看书（观察本节前面的几幅图中用到了什么数让学生感受引入负数的必要性）并思考讨论然后进行交流 （也可以出示气象预报中的气温图地图中表示地形高低地形图工资卡中存取钱的记录页面等） 学生交流后教师归纳：以前学过的数已经不够用了有时候需要一种前面带有“－”的新数先回顾小学里学过的数的类型归纳出我们已经学了整数和分数然后举一些实际生活有相反意义的量说明为了表示相反意义的量我们需要引入负数这样做强调了数学的严密性但对于学生来说更多 地感到了数学的枯燥乏味为了既复习小学里学过的数又能激发学生的学习兴 趣所以创设如下的问题情境以尽量贴近学生的实际． 这个问题能激发学生探究的欲望学生自己看书学习是培养学生自主学习的重要途径都应予以重视 以上的情境和实例使学生体会生活中处处有数学通过实例使学生获取大量的感性材料为正确建立相反意义的量奠定基础 分析问题
人教版初中数学教案 26.1 二次函数（1） 教学目标： （1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 （2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯 重点难点： 能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 教学过程： 一、试一试 1.设矩形花圃的垂直于墙的一边 AB 的长为 xm，先取 x 的一些值，算出矩形的另一边BC的长，进而得出矩形的面积ym2 3．试将计算结果填写在下表的空格中， 2 ． x 的值是否可以任意取 ? 有限定范围吗 ? 3 ．我们发现，当 AB 的长（x）确定后，矩形的面积（y）也随之确定， y 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式，
对于 1.，可让学生根据表中给出的 AB 的长，填出相应的 BC 的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：（1）从所填表格中，你能发现什么？（2）对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB 的长为5cm，BC 的长为 10m 时，围成的矩形面积最大；最大面积为 50m2。 对于 2 ，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x 的值不可以任意取，有限定范围，其范围是 0 初中数学导学案的编写与使用的探究 刘金米 随着教学改革向高效课堂的推进，教师如何编写出高效、实用的导学案，是教师教学的重要一个环节，是课堂教学成效的关键。也是影响课堂教学改革能否顺利推行、学生自主学习能力培养能否达成的关键环节。通过一年多的探究，谈谈本人的体会。 用好导学案，能够解决“以学生为中心”的主体参与、自主学习为主体地位的问题，变“被动学习”为主动学习。使学生能够在学案的引导之下，通过课前预学、课堂导学、互学、测学等环节的调控，降低学习难度。而教师则借助导学案，能够将教材有机整合，精心设计，合理调控课堂教学中“教”与“学”，从而使课堂高效。学生通过自主、合作、探究、交流、展示、反馈等学习活动，使学生真正成为学习的主人。 导学案是经教师集体研究、个人分工编写、再集体研讨制定的，以新课程标准为指导、以素质教育要求为目标编写的，用于指导学生自主学习、主动参与、合作探讨、优化发展的学习方案。它是以学生为本，以“三维目标”的达成为出发点和落脚点，是学生学会学习、学会创新、自主发展的学习方案。也是教师指导学生学习的方案。它将知识更新问题化，能力过程化，情感、态度价值观的培养潜移化。按照学生的学习过程设计，将学习的重心前移，充分体现课前、课中、课间的发展和联系，在先学后教的基础上实现教与学的最佳结合。导学案源于教材而助于教材，应是学习教材的有效辅助材料。它的编写必须符合新课改的指导思想，在形式、内容和问题的设计中集中体现“自主、合作、探究”的课堂教学模式。课外时间，导学案能引导学生自主高效的学习、练习、研究，是课外学习的“良师益友”；课上时间，导学案能进一步引导学生合作、讨论、展示，是教师了解学情、透析疑点的“重要依据”。只有站在“新课改、新理念”的角度编写导学案，才能真正实现学习方式和教育方式的根本性改变，真正实现“高效课堂”的目标。 编写导学案的学习内容时应注意的五个原则：课容化原则；问题化原则；参与化原则；方法化原则；层次化原则。 1. 课容化原则。在数学新教材中，一些章节的内容多而杂，用一课时是不能完成的，因此需要教师根据实际的上课安排，分课时编写导学案，而且每课时的内容要适中，所编制的导学案的容量以学生预习时间不超过30分钟为宜。使学生在每一节课中都有明确的学习目标，能有计划的顺利完成学习任务，最大限度地使课堂高效。如：教材第十二章3.2两数和的平方,用一课时是不能完成的，因此需要教师根据实际的上课安排，分两课时编写导学案,这样才能使学生能有计划的顺利完成学习任务. 2. 问题化原则。问题化原则是要依据课标将知识点转变为探索性的问题点、能力点，通过对知识点的设疑、质疑、解释，从而激发学生主动思考，逐步培养学生的探究精神以及对教材的分析、归纳、演绎的能力。导学案的编写要遵循以问题课标化为线索的原则。通过精心设计问题，使学生意识到：要解决教师设计的问题不看书不行，看书不看详细也不行，光看书不思考不行，思考不深不透也不行。让学生真正从教师设计的问题中找到解决问题的方法，学会看书，学会自学。在编写时应如何设计问题？①问题要能启发学生思维；②问题要符合课标，不易太多，太难、太杂；③问题应引导学生阅读并思考；④问题或者说知 1.1从自然数到有理数 一、教学目标 1 .理解有理数产生的必然性、合理性及有理数的分类； 2 .能辨别正、负数，感受规定正、负的相对性； 3 .体验中国古代在数的发展方面的贡献。 二、教学重点和难点 重点：有理数的概念 难点：建立正数、负数的概念对学生来说是数学抽象思维一次重大飞跃。 三、教学手段 现代课堂教学手段 四、教学方法 启发式教学 五、教学过程 （一）从学生原有的认知结构提出问题 大家知道，数学与数是分不开的，它是一门研究数的学问．现在我们一起来回忆一下，小学里已经学过哪些类型的数？ 学生答后，教师指出：小学里学过的数可以分为三类：自然数(正整数)、分数和零(小数包括在分数之中)，它们都是由于实际需要而产生的． 为了表示一个人、两只手、……，我们用到整数1，2，…… 4.87、…… 为了表示“没有人”、“没有羊”、……，我们要用到0． 但在实际生活中，还有许多量不能用上述所说的自然数，零或分数、小数表示． （二）师生共同研究形成正负数概念 某市某一天的最高温度是零上5℃，最低温度是零下5℃．要表示这两个温度，如果只用小学学过的数，都记作5℃，就不能把它们区别清楚．它们是具有相反意义的两个量． 现实生活中，像这样的相反意义的量还有很多． 例如，珠穆朗玛峰高于海平面8848米，吐鲁番盆地低于海平面155米，“高于”和“低于”其意义是相反的．“运进”和“运出”，其意义是相反的． 同学们能举例子吗？ 学生回答后，教师提出：怎样区别相反意义的量才好呢？ 待学生思考后，请学生回答、评议、补充． 教师小结：同学们成了发明家．甲同学说，用不同颜色来区分，比如，红色5℃表示零下5℃，黑色5℃表示零上5℃；乙同学说，在数字前面加不同符号来区分，比如，△5℃表示零上5℃，×5℃表示零下5℃……．其实，中国古代数学家就曾经采用不同的颜色来区分，古时叫做“正算黑，负算赤”．如今这种方法在记账的时候还使用．所谓“赤字”，就是这样来的． 现在，数学中采用符号来区分，规定零上5℃记作+5℃(读作正5℃)或5℃，把零下5℃记作-5℃(读作负5℃)．这样，只要在小学里学过的数前面加上“+”或“-”号，就把两个相反意义的量简明地表示出来了． 让学生用同样的方法表示出前面例子中具有相反意义的量： 高于海平面8848米，记作+8848米；低于海平面155米，记作-155米； 教师讲解：什么叫做正数？什么叫做负数？强调，数0既不是正数，也不是负数，它是正、负数的界限，表示“基准”的数，零不是表示“没有”，它表示一个实际存在的数量．并指出，正数，负数的“+”“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号叫做性质符号．（三）介绍有理数的有关概念。 1．给出新的整数、分数概念 引进负数后，数的范围扩大了．过去我们说整数只包括自然数和零，引进负数后，我们把自然数叫做正整数，自然数前加上负号的数叫做负整数，因而整数包括正整数(自然数)、负整数和零，同样分数包括正分数、负分数。 2．给出有理数概念 新人教版初中数学初一 初二教案全套 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN ［人教版］初中数学教案集(362页) 【初一初二教案｜全套】 七年级上册教案目录 七年级上册教案目录 .......................................................................................................................................... I I 1.1 正数和负数（1） (1) 1.1 正数和负数（2） (2) 1.2.1 有理数 (4) 1.2.2 数轴 (6) 1.2.3 相反数 (7) 1.2.4 绝对值 (8) 1.3 有理数的加减法 (10) 1.3.1 有理数的加法(1) (10) 1.3.1 有理数的加法(2) (11) 1.3.1 有理数的加法(3) (13) 1.4 有理数的乘除法 (15) 1.4.1 有理数的乘法(1) (15) 1.4.1 有理数的乘法(2) (16) 1.4.1 有理数的乘法(3) (18) 第二章一元一次方程 (19) 2.1 从算式到方程 (23) 2.2从古老的代数书说起---一元一次方程的讨论(1) (26) 2.2从古老的代数书说起---一元一次方程的讨论(2) (27) 2.2从古老的代数书说起---一元一次方程的讨论(3) (29) 2.3从“买布问题”说起---一元一次方程的讨论(2)(二) (31) 2.3从“买布问题”说起---一元一次方程的讨论(2)(三) (33) 2.3从“买布问题”说起---一元一次方程的讨论(2)(四) (34) 2.4再探实际问题与一元一次方程(1) (36) 2.4再探实际问题与一元一次方程(2) (38) 七年级下教案目录 (42) 5.1相交线 (44) 5．2．1 平行线 (48) 5.2.2 直线平行的条件 (第2课时) (49) 5．2．2直线平行的条件（一） (51) 5.3平行线的性质（一） (55) 5.3平行线性质（二） (57) II 初中数学教案人教版 教学目标 1.理解有理数除法的意义，熟练掌握有理数除法法则，会进行运算; 2.了解倒数概念，会求给定有理数的倒数; 3.通过将除法运算转化为乘法运算，培养学生的转化的思想;通过运算，培养学生的运算能力。 教学建议 (一)重点、难点分析 本节教学的重点是熟练进行运算，教学难点是理解法则。 1.有理数除法有两种法则。法则1：除以一个数等于乘以这个数的倒数。是把除法转化为乘法来解决问题。法则2是把有理数除法纳入有理数运算的统一程序：一确定符号;二计算绝对值。如：按法则1计算：原式;按法则2计算：原式。 2.对于除法的两个法则，在计算时可根据具体的情况选用，一般在不能整除的情况下应用第一法则。如;在有整除的情况下，应用第二个法则比较方便，如;在能整除的情况下，应用第二个法则比较方便，如，如写成就麻烦了。 (二)知识结构 (三)教法建议 1.学生实际运算时，老师要强调先确定商的符号，然后在根据不同情况采取适当的方法求商的绝对值，求商的绝对值时，可以直接除，也可以乘以除数的倒数。 2.关于0不能做除数的问题，让学生结合小学的知识接受这一认识就可以了，不必具体讲述0为什么不能做除数的理由。 3.理解倒数的概念 (1)根据定义乘积为1的两个数互为倒数，即：，则互为倒数。 如：，则2与，-2与互为倒数。 (2)由倒数的定义，我们可以得到求已知数倒数的一种基本方法：即用1除以已知数，所得商就是已知数的倒数。如：求的倒数：计算，-2就是的倒数。一般我们求已知数的倒数很少用这种方法，实际应用时我们常把已知数看作分数形式，然后把分子、分母颠倒位置，所得新数就是原数的倒数。如-2可以看作，分子、分母颠倒位置后为，就是的倒数。 (3)倒数与相反数这两个概念很容易混淆。要注意区分。首先倒数是指乘积为1的两个数，而相反数是指和为0的两个数。如：，2与互为倒数，2与-2互为相反数。其次互为倒数的两个数符号相同，而互为相反数符号相反。如：-2的倒数是，-2的相反数是+2;另外0没有倒数，而0的相反数是0。 4.关于倒数的求法要注意： (1)求分数的倒数，只要把这个分数的分子、分母颠倒位置即可.(2)正数的倒数是正数，负数的倒数仍是负数. (3)负倒数的定义：乘积是-1的两个数互为负倒数. 教学设计示例 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1.了解有理数除法的定义. 2.理解倒数的意义. 3.掌握有理数除法法则，会进行运算. (二)能力训练点 1.通过有理数除法法则的导出及运算，让学生体会转化思想. 2.培养学生运用数学思想指导思维活动的能力. (三)德育渗透点 初中数学教案下载 【篇一：初中数学优秀教案大集合】 课题：二元一次方程 一、教学目标： 1.理解二元一次方程及二元一次方程的解的概念; 2．学会求出某二元一次方程的几个解和检验某对数值是否为二元一次方程的解; 3．学会把二元一次方程中的一个未知数用另一个未知数的一次式来表示; 4.在解决问题的过程中，渗透类比的思想方法，并渗透德育教育. 二、教学重点、难点： 重点：二元一次方程的意义及二元一次方程的解的概念. 难点：把一个二元一次方程变形成用关于一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式，其实质是解一个含有字母系数的方程. 三、教学方法与教学手段： 通过与一元一次方程的比较，加强学生的类比的思想方法; 通过“合作学习”，使学生认识数学是根据实际的需要而产生发展的观点. 四、教学过程： 1.情景导入： 新闻链接：桐乡70岁以上老人可领取生活补助, 得到方程：80a+150b=902 880. 2.新课教学： 引导学生观察方程80a+150b=902 880与一元一次方程有异同？ 得出二元一次方程的概念：含有两个未知数,并且所含未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程. 做一做： （1）根据题意列出方程: ①小明去看望奶奶，买了5 kg苹果和3 kg梨共花去23元，分别求苹果和梨的单价.设苹果的单价x元/kg , 梨的单价y元/kg ； ②在高速公路上，一辆轿车行驶2时的路程比一辆卡车行驶3时的路程还多20千米，如果设轿车的速度是a千米/小时，卡车的速度是b千米/小时，可得方程： . （2）课本p80练习2. 判定哪些式子是二元一次方程方程. 合作学习： 活动背景爱心满人间——记求是中学“学雷锋、关爱老人”志愿者活动. 问题：参加活动的36名志愿者,分为劳动组和文艺组,其中劳动组每 组3人,文艺组每组6人. 团支书拟安排8个劳动组,2个文艺组,单从人数上考虑,此方案是否可行? 为什么? 把x=8,y=2代入二元一次方程3x+6y=36,看看左右两边有没有相等? 由学生检验得出代入方程后，能使方程两边相等. 得出 二元一次方程的解的概念：使二元一次方程两边的值相等的一对未 知数的值叫做二元一次方程的一个解. 并提出注意二元一次方程解的书写方法. 试一试： 检验下列各组数是不是方程2x=y+1的解: ①??x=4,?x=2.5,?x=-6,②?③? ?y=3,?y=4,?y=-13. ②③是方程的解，每个学生再找出方程的一个解，引导学生得到结论：一般情况下，二元一次方程有无数个解. 3.合作学习： 给定方程x+2y=8,男同学给出y（x取绝对值小于10的整数）的值，女同学马上给出对应的x的值；接下来男女同学互换.（比一比哪位 同学反应快）请算的最快最准确的同学讲他的计算方法.提问：给出 x的值，计算y的值时，y的系数为多少时，计算y最为简便？ 出示例题：已知二元一次方程 x+2y=8. （1）用关于y的代数式表示x; （2）用关于x的代数式表示y; （3）求当x= 2,0,-3时,对应的y的值，并写出方程x+2y=8的三个解. （当用含x的一次式来表示y后，再请同学做游戏，让同学体会一 下计算的速度是否要快） 4.课堂练习： (1)已知:5xm-2yn=4是二元一次方程,则m+n=; (2)二元一次方程2x-y=3中，方程可变形为y= 当x=2时，y= ; ?x=2,(3) 已知 ?是关于x,y的方程2x+ay=5的一个解，则a= . y=1? 5.你能解决吗？ 小红到邮局给远在农村的爷爷寄挂号信，需要邮资3元8角.小红有 票额为6角和8角的邮票若干张，问各需要多少张这两种面额的邮票？说说你的方案. 《初中数学导学案的有效设计与实施研究》 研究方案 温江区和盛中学校数学组执笔人：范才芬 一、课题研究的背景 1、我校地处农村，多数学生家长对孩子的学习不够重视，近几年又有部分优秀学生选择城关学校就读，并且留守儿童和外来务工子女较多，导致我校现在学生大多数没有良好的学习习惯，回家预习和复习的主动性较差，学习效果欠佳。 2、现行新教材内容简练、抽象，我校学生的认知能力不能适应教材所提供的知识的生成过程，致使学生的预习与复习低效。 3、由于学情的迅速变化和教改形势的发展，迫使我们必须转变传统的教研和教学行为。避免以往教研中“说在嘴上，写在纸上，检查时重要，工作中不用”的现象。这种现状让师生苦不堪言，既无益于学生终身学习能力和创新精神培养，也无助于教师的专业成长。为了改变现状，科学地编制导学案，使之与教材更好的结合，满足不同层次学生的学习需要，促进学生积极参与教学活动，提升教师的专业成长，我校数学组依托区上提出的“三清”课堂研究，拟提出我校校本教研课题《初中数学导学案的有效设计与实施研究》。 二、课题研究的价值与意义 1、本课题基于学生的个体差异，如何创造适合每一个学生参与的教学；同时最大限度的使“课标——教材——学生活动”有机融合，使“教——学——评”达到一致性。 2、“导学案的有效设计”突出学生主体地位，尊重学生个体差异性，使不同层次的学生都能在自己最近发展区向前迈进。“导学案的有效设计”遵循因材施教原则，明确地进行教学分层，针对性地给予不同层次学生指导，因材施“助”、因材施“改”促进学生学习方式的转变和学习策略的改进。 3、在课程标准实施与规范办学的背景下，“导学案的有效设计”为课堂增效： （1）解决学生学习兴趣不浓厚，数学水平不高的现状，增强学习数学的积极性和自信心，认识数学价值，提高学生的数学素养。 （2）通过导学案的设计与实施的探索，总结一套适合我校的高效课堂教学模式，提高课堂的教学容量，增强课堂教学的有效性。 （3）通过对不同课型导学案的探索，总结出不同课型的导学案结构，增强导学案的实用性和可操作性，增强导学案对学生学习的指导性，增强教师教学的可操作性。 绝对值 本节课设计了五个教学环节：第一环节：创设情境，导入新课；第二环节：合作交流，探索新知；第三环节：应用迁移，巩固提高；第四环节：总结反思，知识内化；第五环节：当堂检测，及时反馈；第六环节：拓展延伸，能力提升。 第一环节创设情境，导入新课 活动内容1： 3和-3有什么相同点与不同点？3/2与-3/2，5和-5呢？ 活动目的：提供几组数让学生进行比较，从而得出相反数的概念。并让学生理解消化相反数的概念。 活动内容2：点将游戏一。A同学任意说出一个有理数，再随意地点另一个同学B回答它的相反数。B同学回答后，也任意说出一个有理数，再点另一个同学C回答它的相反数……以此类推，约有一半的学生参与后，游戏结束。 活动目的：利用游戏的形式巩固相反数的概念。 活动内容3：将上面三组数用数轴上的点表示出来，每组数所对应的点在数轴上的位置有什么关系？ 活动目的：从形的角度进一步理解相反数。 实际效果：通过数、游戏、形多个方面让学生认识相反数，学生很快理解相反数，全体学生都能顺利的说出一个数的相反数。 第二环节合作交流，探索新知 活动内容：让学生观察图画，并回答问题，“两只狗分别距原点多远?” 1．引入绝对值概念 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数a的绝对值记作│a│．如│+3│=3，│-3│=3，│0│=0． 2．例1 求下列各数的绝对值： - 7.8， 7.8， - 21， 21，-94，9 4， 0 (学生充分思考后，让学生回答，老师板书) 3．议一议：（1）互为相反数的两个数的绝对值有什么关系? （2）一个数的绝对值与这个数有什么关系? (给学生充分的时间思考、探究，老师个别指导；然后小组交流) 4．通过上面例子，引导学生归纳总结出： 互为相反数的两个数的绝对值相等．正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.) 5．点将游戏二．A 同学任意说出一个有理数，再随意地点另一个同学B 回答它的绝对值。B 同学回答后，也任意说出一个有理数，再点另一个同学C 回答它的绝对值……以此类推，约有一半的学生参与后，游戏结束。 6．“做一做”： (1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小： -1.5，-3，-1，-5； (2)求出(1)中各数的绝对值，并比较它们的大小； (3)你发现了什么? (老师可引导学生多举一些例子，让学生合作讨论后得出：两个负数比较大小，绝对值大的反而小) 活动目的：让学生在有趣的问题情境中获取对绝对值概念的感性认识，并激发学生学习的积极性与主动性。应用绝对值的概念来求一个数的绝对值，并通过对计算结果的观察与思考，学生从“特殊到一般” 归纳出互为相反数的两个数的绝对值相等，分类归纳出绝对值的代数意义，总结出绝对值的内在涵义，体现学生的主体性。探索用绝对值比较两负数的方法，体验概念的形成过程。用点将游戏的形式巩固绝对值概念，寓教于乐。 实际效果：用点将游戏的形式巩固绝对值概念，效果良好，体现了“自主——协作”学习。积极调动学生的思维，使学生在协商、讨论中将问题逐渐明朗化、具体化，在共享集体思维成果的基础上达到对当前所学内容比较全面、正确的理解。 新人教版初中数学七年级下册教案全册 5.1.1相交线 一、教学目标： 知识与技能：认识邻补角和对顶角；掌握对顶角相等，并会简单应用。 过程与方法：1.通过动手实践活动，探索邻补角与对顶角的位置和大小关系。 2.通过“对顶角相等”这个结论的简单推理，培养逻辑思维能力。 情感态度与价值观：通过探究活动来发现结论，经历知识的“再发现过程”，在探究活动中培养创新思维能力，体验数学学习的乐趣。 二、教学重点：邻补角、对顶角的概念，对顶角的性质与应用。 三、教学难点：理解对顶角相等的性质的探索。 四、教学过程设计： 如图所示，AB⊥CD于点O，直线∠AOE=65°，求∠DOF的度数。 达标测评题 一、 选择题 1.下列说法正确的是（ ） A 、有公共顶点的两个角是对顶角 B 、相等的两角是对顶角 C 、有公共顶点并且相等的角是对顶角 D 、两条直线相交成的四个角中，有公共顶点且没有公共边的两个角是对顶角。 二．填空： 2．如图，直线AB 与CD 相交于点O ，已知∠AOC+∠BOD=90°，则∠BOC= 。 3.已知∠1与∠2是对顶角，∠1与∠3互为补角，则∠2+∠3= 。 三．解答题 4如图所示，直线ABCDEF 相交于点O, (1) 写出∠AOC, ∠BOE 的邻补角。 (2) 写出∠DOA, ∠BOF 的对顶角。 (3) 如果∠AOE=30°，求∠BOF ，∠AOF 的度数。 5.如果直线AB、CD相交于O点，且∠AOC=28°,作∠DOE=∠DOB,OF平分∠AOE,求∠EOF 的度数 附达标测评题答案： 1．D 2.135° 3.180° 4．(1)∠AOD、∠COB;∠AOE、∠BOF （2）∠BOC、∠AOE (3)30°、150° 5.62° 七年级数学（下册） 5.1.2垂线 一、教学目标： 知识与技能： 1使学生掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，理解垂线的性质，掌握过一点有且只有一条直线与已知直线垂直的结论 2.会用三角板或量角器过一点画一条直线的垂线。 过程与方法： 1.经历观察、操作、想像、归纳概括、交流等活动,进一步发展空间观念,用几何语言准确表达能力. 2.了解垂直概念,能说出垂线的性质“经过一点,能画出已知直线的一条垂线, 并且只能画出一条垂线”,会用三角尺或量角器过一点画一条直线的垂线. 情感态度与价值观：通过创设情境，激发学生学习兴趣，给学生创造成功的机会，体验成功的快乐。 二、教学重点: 两条直线互相垂直的概念、性质和画法. 课题： 1.1 正数和负数（1）授课时间：____________ 学习目标 1、整理前两个学段学过的整数、分数（包括小数）的知识，掌握正数和负数的概念； 2、能区分两种不同意义的量，会用符号表示正数和负数； 3、体验数学发展的一个重要原因是生活实际的需要，激发学生学习数学的兴趣。 教学难点正确区分两种不同意义的量。 知识重点两种相反意义的量 教学过程（师生活动） 引入课题 上课开始时，教师应通过具体的例子，简要说明在前两个学段我们已经学过的数，并由此请学生思考：生活中仅有这些“以前学过的数”够用了吗？下面的例子仅供参考． 师：今天我们已经是七年级的学生了，我是你们的数学老师．下面我先向你们做一下自我介绍，我的名字是XXX，身高1.69米，体重74.5千克，今年43岁．我们的班级是七(2)班，有50个同学，其中男同学有27个，占全班总人数的54%… 问题1：老师刚才的介绍中出现了几个数？分别是什么？你能将这些数按以前学过的数的分类方法进行分类吗？ 学生活动：思考，交流 师：以前学过的数，实际上主要有两大类，分别是整数和分数（包括小数）． 问题2：在生活中，仅有整数和分数够用了吗？ 请同学们看书（观察本节前面的几幅图中用到了什么数，让学生感受引入负数的必要性）并思考讨论，然后进行交流。 （也可以出示气象预报中的气温图，地图中表示地形高低地形图，工资卡中存取钱的记录页面等） 学生交流后，教师归纳：以前学过的数已经不够用了，有时候需要一种前面带有“－”的新数。 先回顾小学里学过的数的类型，归纳出我们已经学了整数和分数，然后，举一些实际生活中共有相反意义的量，说明为了表示相反意义的量，我们需要引入负数，这样做强调了数学的严密性，但对于学生来说，更多地感到了数学的枯燥乏味为了既复习小学里学过的数，又能激发学生的学习兴趣，所以创设如下的问题情境，以尽量贴近学生的实际． 这个问题能激发学生探究的欲望，学生自己看书学习是培养学生自主学习的重要途径，都应予以重视。 以上的情境和实例使学生体会生活中处处有数学，通过实例，使学生获取大量的感性材料，为正确建立相反意义的量奠定基础。 探究新知 问题3：前面带有“一”号的新数我们应怎样命名它呢？为什么要引人负数呢？通常在日常生活中我们用正数和负数分别表示怎样的量呢？ 这些问题都必须要求学生理解． 教师可以用多媒体出示这些问题，让学生带着这些问题看书自学，然后师生交流． 这阶段主要是让学生学会正数和负数的表示． 强调：用正，负数表示实际问题中具有相反意义的量，而相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义相反，如向东与向西，收人与支出；二是它们都是数量，而且是同类的量．这些问题是这节课的主要知识，教师要清楚地向学生说明，并且要注意语言的准确与规范，要舍得花时间让学充分发表想法。 1.1.1正数和负数教学目的： （一）知识点目标： 1.了解正数和负数是怎样产生的。 2.知道什么是正数和负数。 3.理解数0表示的量的意义。 （二）能力训练目标： 1.体会数学符号与对应的思想，用正、负数表示具有相反意义的量的符号化方法。 2.会用正、负数表示具有相反意义的量。 （三）情感与价值观要求： 通过师生合作，联系实际，激发学生学好数学的热情。 教学重点：知道什么是正数和负数，理解数0表示的量的意义。 教学难点：理解负数，数0表示的量的意义。 教学方法：师生互动与教师讲解相结合。 教具准备：地图册（中国地形图）。 教学过程： 引入新课： 1.活动：由两组各派两名同学进行如下活动：一名按老师的指令表演，另一名在黑板上速记，看哪一组记得最快、最好？ 内容：老师说出指令： 向前两步，向后两步； 向前一步，向后三步； 向前两步，向后一步； 向前四步，向后两步。 如果学生不能引入符号表示，教师可和一个小组合作，用符号表示出＋2、－2、＋1、－3、＋2、－1、＋4、－2等。 [师]其实，在我们的生活中，运用这样的符号的地方很多，这节课，我们就来学习这种带有特殊符号、表示具有实际意义的数-----正数和负数。 讲授新课： 1.自然数的产生、分数的产生。 2.章头图。问题见教材。让学生思考－3~3℃、净胜球数与排名顺序、±0.5、-9的意义。 3、正数、负数的定义：我们把以前学过的0以外的数叫做正数，在这些数的前面带有“一”时叫做负数。根据需要有时在正数前面也加上“十”（正号）表示正数。 1等是正数（也可加上“十”） 举例说明：3、2、0.5、 3 1等是负数。 －3、－2、－0.5、－ 3 4、数0既不是正，也不是负数，0是正数和负数的分界。 0℃是一个确定的温度，海拔为0的高度是海平面的平均高度，0的意义已不仅表示“没有”。 5、让学生举例说明正、负数在实际中的应用。展示图片（又见教材 课题：一元一次方程导学案 实际问题与一元一次方程（三） 编写教师： 学生姓名： 导学目标： 1、 掌握应用方程解决实际问题的方法步骤，提高分析问题、解决问题的能力。 2、 通过探索球赛积分表中数量关系的过程，进一步体会方程是解决实际问题的数学模型， 并且明确用方程解决实际问题时，不仅要注意解方程的过程是否正确，还要检验方程的 解是否符合问题的实际意义。 3、 鼓励学生自主探究，合作交流，养成自觉反思的良好习惯。 重点：把实际问题转化为数学问题，不仅会列方程求出问题的解，还会进行推理判断。 难点：把实际问题转化为数学问题。 教学过程： 一、引入新课 请同学们看课本P106中“某次篮球联赛积分榜”。 学生观察积分榜，并思考下列问题： （1） 用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系； （2） 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 在学生充分思考、合作交流后，教师引导学生分析。 要解决问题（1）必须求出胜一场积几分，负一场积几分，你能从积分榜中得到负一场积 几分吗？你选择其中哪一行最能说明负一场积几分？ 通过观察积分榜，从最下面一行数据可以发现，负一场积1分，那么胜一场积几分呢？ 解：设胜一场积x 分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x 的值。 例如从第三行的方程：23159=?+x ，解得x=2. 用表中其他行可以验证，得出结论：负一场积1分，胜一场积2分. （1） 如果一个队胜m 场，则负(14-m)场，胜场积分为2m ，负场积分为14-m ， 总积分为2m+(14-m)=m+14。 （2） 如果设一个队胜了x 场，则负了（14-x ）场，若这个队的胜场总积分等于负场总积 分，那么列方程为：x x -=142，解得3 14=x . 想一想，x 表示什么量？它可以是分数吗？由此你能得出什么结论？ 这里x 表示一个队所胜得场数，它是一个整数，所以314= x 不符合实际意义。由此可以判定没有哪个队的胜场总积分等于负场总积分。 拓展延伸： 如果删去积分榜的最后一行，你还能用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系 吗？ 设胜一场积x 分，则前进队胜场积分为10x ，负场积分为（24 -10x ）分，他负了4场， 1.1.1正数和负数 教学目的： （一）知识点目标： 1.了解正数和负数是怎样产生的。 2.知道什么是正数和负数。 3.理解数0表示的量的意义。 （二）能力训练目标： 1.体会数学符号与对应的思想，用正、负数表示具有相反意义的量的符号化方法。 2.会用正、负数表示具有相反意义的量。 （三）情感与价值观要求： 通过师生合作，联系实际，激发学生学好数学的热情。 教学重点：知道什么是正数和负数，理解数0表示的量的意义。 教学难点：理解负数，数0表示的量的意义。 教学方法：师生互动与教师讲解相结合。 教具准备：地图册（中国地形图）。 教学过程： 引入新课： 1.活动：由两组各派两名同学进行如下活动：一名按老师的指令表演，另一名在黑板上速记，看哪一组记得最快、最好？ 内容：老师说出指令： 向前两步，向后两步； 向前一步，向后三步； 向前两步，向后一步； 向前四步，向后两步。 如果学生不能引入符号表示，教师可和一个小组合作，用符号表示出＋2、－2、＋1、－3、＋2、－1、＋4、－2等。 [师]其实，在我们的生活中，运用这样的符号的地方很多，这节课，我们就来学习这种带有特殊符号、表示具有实际意义的数-----正数和负数。 讲授新课： 1.自然数的产生、分数的产生。 2.章头图。问题见教材。让学生思考－3~3℃、净胜球数与排名顺序、±0.5、-9的意义。 3、正数、负数的定义：我们把以前学过的0以外的数叫做正数，在这些数的前面带有“一”时叫做负数。根据需要有时在正数前面也加上“十”（正号）表示正数。 1等是正数（也可加上“十”） 举例说明：3、2、0.5、 3 1等是负数。 －3、－2、－0.5、－ 3 4、数0既不是正，也不是负数，0是正数和负数的分界。 0℃是一个确定的温度，海拔为0的高度是海平面的平均高度，0的意义已不仅表示“没有”。 5、让学生举例说明正、负数在实际中的应用。展示图片（又见教材P5图1.1-2-3）让学生观察地形图上的标注和记录支出、存入信息的 人教版初中数学教案 第一篇：人教版初中数学平行线的性质教案 2.3平行线的性质 一、教材分析： 本节课是人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书七年级上册第2章第3节平行线的性质，它是平行线及直线平行的继续，是后面研究平移等内容的基础，是?空间与图形?的重要组成部分。 二、教学目标： 1.知识与技能：掌握平行线的性质，能应用性质解决相关问题。数学思考：在平行线的性质的探究过程中，让学生经历观察、比较、联想、分析、归纳、猜想、概括的全过程。 2.解决问题：通过探究平行线的性质，使学生形成数形结合的数学思想方法，以及建模能力、创新意识和创新精神。 3.情感态度与价值观：在探究活动中，让学生获得亲自参与研究的情感体验，从而增强学生学习数学的热情和勇于探索、锲而不舍的精神。 三、教学重、难点： 重点：平行线的性质 难点：?性质1?的探究过程 四、教学方法： ?引导发现法?与?动像探索法? 五、教具、学具： 教具：多媒体课件 学具：三角板、量角器。 六、教学媒体：大屏幕、实物投影 七、教学过程： 创设情境，设疑激思： 1．播放一组幻灯片。内容：①火车行驶在铁轨上；②游泳池；③横格纸。 2．声音：日常生活中我们经常会遇到平行线，你能说出直线平行的条件吗？ 学生活动： 思考回答。①同位角相等两直线平行；②内错角相等两直线平行；③同旁内角互补两直线平行； 教师：首先肯定学生的回答，然后提出问题。 问题：若两直线平行，那么同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢？ 引出课题——平行线的性质。 数形结合，探究性质 1．画图探究，归纳猜想 任意画出两条平行线，画一条截线c与这两条平行线相 第二十六章二次函数 二次函数（第一课时） 教学目标： 知识与技能能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围； 过程与方法通过设置问题、类比、归纳等方法，引导学生思考、合作、交流，从而获得新知； 情感态度价值观注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学习习惯。 教学重难点： 重点：能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取值范围。 难点：寻找、发现实际生活中二次函数问题。 教学过程： 一、创设情境，激发求知 1.设用篱笆围成的矩形花圃的垂直于墙的一边AB的长为xm，先取x的一些值，算出矩形的另一边BC2 2．x的值是否可以任意取?有限定范围吗? 3．我们发现，当AB的长(x)确定后，矩形的面积(y)也随之确定， y是x的函数，试写出这个函数的关系式， 对于1，可让学生根据表中给出的AB的长，填出相应的BC的长和面积，然后引导学生观察表格中数据的变化情况，提出问题：(1)从所填表格中，你能发现什么？(2)对前面提出的问题的解答能作出什么猜想?让学生思考、交流、发表意见，达成共识：当AB的长为5cm，BC的长为10m时，围成的矩形面积最大；最大面积为50m2。 对于2，可让学生分组讨论、交流，然后各组派代表发表意见。形成共识，x的值不可以任意取，有限定范围，其范围是0 ＜x ＜10。 对于3，教师可提出问题，(1)当AB=xm时，BC长等于多少m?(2)面积y等于多少?并指出y=x(20－2x)(0 ＜x ＜10)就是所求的函数关系式． 二、提出问题 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润，经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件。将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大? 在这个问题中，可提出如下问题供学生思考并回答： 1．商品的利润与售价、进价以及销售量之间有什么关系? [利润=(售价－进价)×销售量] 2．如果不降低售价，该商品每件利润是多少元?一天总的利润是多少元? [10－8=2(元)，(10－8)×100=200(元)] 3．若每件商品降价x元，则每件商品的利润是多少元?一天可销售约多少件商品? [(10－8－x)；(100＋100x)] 4．x的值是否可以任意取?如果不能任意取，请求出它的范围，初中数学导学案的编写与使用
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