2020高考数学模拟考试
（理科）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1. 设全集{|5,*}U x x x N =<∈，集合{1A =，3}，{3B =，4}，则()U C A B =U _____. 答案：{2}，
分析：由全集{|5,*}U x x x N =<∈，可得{1U =，2，3，4}，然后根据集合混合运算的法则即可求解．
解：{1A =Q ，3}，{3B =，4}，
{1A B ∴=U ，3，4}，
{|5,*}{1U x x x N =<∈=Q ，2，3，4}，
(){2}U C A B ∴=U
2. 已知i 是虚数单位，若复数(12)()z i a i =++的实部与虚部相等，则实数a 的值为 ． 答案：3-
分析：利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等列式求得a 值． 解：(12)()(2)(21)z i a i a a i =++=-++Q ， 且z 的实部与虚部相等，
221a a ∴-=+，即3a =-．
故答案为：3-．
3. 函数2()log (1)f x x =-的定义域为_____. 答案：[0,1)
分析：利用偶次根式被开方数大于等于0，再结合对数函数的真数大于0即可求解. 解：由题意得0
10x x ≥??
->?
，解得01x ≤<
故函数()f x 的定义域为[0,1)
4. 从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，则甲、乙两人中有且只一个被选取的概率为 ． 答案：23
分析：根据古典概型的概率公式即可得到结论．
解：从甲，乙，丙，丁4个人中随机选取两人，共有（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙）， （乙丁），（丙丁）六种，其中甲乙两人中有且只一个被选取，则（甲丙），（甲丁），（乙丙），
（乙丁），共4种，
故甲乙两人中有且只一个被选取的概率为426
3
=，
故答案为：23
5. 对一批产品的质量（单位：克）进行抽样检测，样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和
[30，35)内为二等品，其余为次品．则样本中次品件数为 ．
答案：200
分析：结合频数分布直方图确定落在[10，15，)、[15，20)、[35，40]的人数由容量??频率
组距
组距求出．
解：样本容量为800，检测结果的频率分布直方图如图所示．
根据标准，单件产品质量在区间[25，30)内为一等品，在区间[20，25)和[30，35)内为二等品，
其余为次品．其件数为：800(0.01250.02500.0125)5200?++?= 故答案为：200
6. 如图是一个算法流程图，则输出的b 的值为 ． 答案：8
分析：根据程序框图进行模拟运算即可． 解：1a =，1b =，10a >否，2a =，1b =，
10a >否，123a =+=，211b =-=， 10a >否，314a =+=，312b =-=， 10a >否，426a =+=，422b =-=， 10a >否，628a =+=，624b =-=， 10a >否，8412a =+=，1248b =-=， 10a >是，输出8b =，
故答案为：8
7.若抛物线2
2y px =(0)p >的焦点恰好是双曲线22
4
51x y -=的右焦点，则p =____． 分析：根据双曲线方程求出焦点坐标，根据抛物线的几何性质求得p ．
解：双曲线22
4
51x y -=的右焦点是(3，0)， ∴抛物线22y px =的焦点为(3，0)，∴32
p =，6p ∴=
故答案为：6
8. 已知函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ???π=+-+<<是定义在R 上的奇函数，则()
8
f π-的值为 ． 答案：2-分析：利用辅助角公式进行化简，结合三角函数奇偶性的性质进行求解即可．
解：()3sin(2)cos(2)2sin(2)6
f x x x x π???=+-+=+-，
()f x Q 是奇函数，
6
k π
?π∴-
=，
即6
k π?π=+，k Z ∈，
0?π< π?=， 即()2sin 2f x x =， 则2 ()2sin()22842 f ππ-=-=-? =-， 故答案为：2-． 9. 已知数列{}n a 与2 {}n a n 均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，则10a = ． 答案：20 分析：设等差数列{}n a 的公差为d ．又数列2{}n a n 均为等差数列(*)n N ∈，且12a =，可得 222(2)2(22)2213 d d ++?=+，解得d ，即可得出． 解：设等差数列{}n a 的公差为d ． 又Q 数列2{}n a n 均为等差数列(*)n N ∈，且12a =， 222 (2)2(22)2213 d d ++∴?=+， 解得2d =． 则1029220a =+?=． 故答案为：20． 10. 如图，在ABC ?中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=?，已知点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，点D 在边BC 上，若134 DE DF =u u u r u u u r g ，则线段BD 的长为 ． 3 分析：先由平面向量数量积的运算可得：4AB AC =u u u r u u u r g ， 再由余弦定理可得：BC = 然后设(01)BD BC λλ=u u u r u u u r 剟 ，结合平面向量的线性运算可得： 213 ()()121874 DE DF BE BD DC CF λλ=-+=-+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g ，解得：14λ=，即可得解． 解：因为在ABC ?中，4AB =，2AC =，60BAC ∠=?， 所以4AB AC =u u u r u u u r g ， 又在ABC ?中，由余弦定理可得： 2222cos BC AB AC AB AC CAB =+-∠g g ， 又4AB =，2AC =，60BAC ∠=?， 得BC = 设(01)BD BC λλ=u u u r u u u r 剟 ， 则()()DE DF BE BD DC CF =-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g 11()[(1))22 AB BC BC AC λλ=- ---u u u r u u u r u u u r u u u r g 11[()][()(1)]22 AB AC AC AB λλλλ=-----u u u r u u u r u u u r u u u r g 222111()(1)()(22)224 AB AC AB AC λλλλλλ=------+u u u r u u u r u u u r u u u r g 212187λλ=-+ 134 =， 解得：14 λ=， 即14BD BC =u u u r u u u r ， 即线段BD ， ． 11. 已知点(3,0)A -，(1,2)B --，若圆222(2)(0)x y r r -+=>上恰有两点M ，N ，使得MAB ?和NAB ?的面积均为4，则r 的取值范围是 ． 答案： 分析：求得||AB 的值，得出两点M ，N 到直线AB 的距离相等，写出AB 的直线方程， 根据圆上的点到直线AB 的距离求出r 的取值范围． 解：由题意可得||AB = 根据MAB ?和NAB ?的面积均为4， 可得两点M ，N 到直线AB 的距离为 由于AB 的方程为0320 13 y x -+=---+， 即30x y ++=； 若圆上只有一个点到直线AB 的距离为 则有圆心(2,0)到直线AB r =+r = ； 若圆上只有3个点到直线AB 的距离为 则有圆心(2,0)到直线AB r =-2 r = ； 综上，r 的取值范围是2 ，2． 故答案为：( 2 )2． 12. 已知函数2()234x a a x f x x x lnx e e --=--++，其中e 为自然对数的底数，若存在实数0x 使 0()3f x =成立，则实数a 的值为 ． 答案：12ln - 分析：令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--，求出()g x 与()h x 的值域即可判断0 x 的值，从而得出a 的值． 解：令()3f x =可得：22334x a a x x x lnx e e -----=--， 令2()233g x x x lnx =---，()4x a a x h x e e --=--， 则21431 ()43x x g x x x x --'=--=， 令()0g x '=可得24310x x --=，即1x =或14 x =-（舍)， ∴当01x <<时，()0g x '<，当1x >时，()0g x '>， ()g x ∴在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ()g x g ∴…（1）4=-， ()4(4)4x a a x x a a x h x e e e e ----=--=-+-=-? （当且仅当4x a a x e e --=即2x a ln =+时取等号）， 0()3f x =Q ，即00()()g x h x =， 012x a ln ∴==+， 12a ln ∴=-． 故答案为：12ln -． 13.已知函数32ln ,0 (),0 e x x f x x x x >?=?+≤?，若函数2()() g x f x ax =-有三个不同的零点，则实数a 的 取值范围是_____. 答案：(0,1){2}-U 解：当0x ≤时，由()0g x =得，3 2 0x ax x -+=，∴0x =或2 10x ax -+=① ∴当2a <-时，在(,0]-∞上有三个根，当2a =-时，在(,0]-∞上有两个根，当2a >-时，在(,0]-∞上有一根 当0x >时，由()0g x =得2 2ln 0e x ax -=，则2 2ln e x a x = ②， 设22ln ()e x h x x = （0 x >），3 2(12ln ) '()e x h x x -= ∴当x ∈时, '()0h x >，函数单调递增， 当)x ∈+∞时, '()0h x <，函数单调递减 可结合图像可知，01a h <<=时，方程②有两个根；当1a =或0a ≤时，方程②有 一个根；当1a >时，方程②没有实根， 综上：当01a <<或2a =-时，()g x 有三个零点. 14. 在锐角三角形ABC ，AD 是边BC 上的中线，且AD AB =，则111 tan tan tan A B C + + 的最小值为 ． 分析：不妨设1BD DC ==，BC 边上的高为h ，则tan 2B h =，2tan 3 C h =，再根据正切值求出tan A ，然后用基本不等式可求得． 解：不妨设1 BD DC ==，BC边上的高为h，则tan2 B h =， 2 tan 3 C h =， 从而 tan tan2 tan tan() 3 tan tan11 4 B C A B C B C h + =-+== -- ， 所以 111131313 2 tan tan tan28282 h h A B C h h ++=+?= …， （当且仅当13 28 h h =，即 13 2 h=时，取等） 故答案为： 13 2 ． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域 ．．．．．．．内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14分） 如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A的纵坐标是 10 ． （1）求3 cos() 4 π α-的值； （2）若以x轴正半轴为始边的钝角β的终边与单位圆O交于点B，且点B的横坐标为 5 -，求αβ +的值． 分析：（1）直接利用三角函数的定义的应用求出结果． （2）利用三角函数的定义和角的变换的应用求出结果． 解：因为锐角α的终边与单位圆O交于点A，且点A 10 ， 所以由任意角的三角函数的定义可知sin 10α=． 从而cos 310 1sin 2αα=-= ． （1）3cos()cos 4 πα-= cos α 3sin 4 π+ sin α 34 π， 31021025 ()22= ?-+?=-． （2）因为钝角β的终边与单位圆O 交于点B ，且点B 的横坐标是5 -， 所以cos 5 β=- ，从而sin 251cos2ββ=-=． 于是sin()sin αβ+= cos α cos β+ sin α 105310252()β=?-+?=． 因为α为锐角，β为钝角，所以(2 παβ+∈，3)2 π， 从而34 παβ+=． 16. （本小题满分14分） 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥，点E ，F 分别是1BB ，11 A B 的中点． （1）求证：D 为BC 的中点； （2）求证：//EF 平面1ADC ． 分析：（1）推导出1CC ABC ⊥，1AD CC ⊥，从而AD ⊥平面11BCC B ，进而AD BC ⊥，由此能证明D 为BC 的中点． （2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ，推导出1//OD A B ，1//EF A B ，从而 //EF OD ，由此能证明//EF 平面1ADC ． 证明：（1）Q 在正三棱柱111ABC A B C -中，点D 在棱BC 上，1AD C D ⊥， 1CC ABC ∴⊥，1AD CC ∴⊥， 111C D CC C =Q I ，AD ∴⊥平面11BCC B ， AD BC ∴⊥，D ∴为BC 的中点． （2）连结1AC ，1A C ，交于点O ，连结DO ，1A B ， Q 正三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 是矩形，O ∴是1A C 的中点， 1//OD A B ∴， Q 点E ，F 分别是1BB ，11A B 的中点，1//EF A B ∴， //EF OD ∴， EF ?/Q 平面1ADC ，DO ?平面1ADC ． //EF ∴平面1ADC ． 17. （本小题满分14分） 某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成（如图1)．每座帐篷的体积为354m π，且分 上下两层，其中上层是半径为(1)r r … （单位：)m 的半球体，下层是半径为rm ，高为hm 的圆柱体（如图2)．经测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y 千元． （1）求y 关于r 的函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当半径r 为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值. 分析:（1）由图可知帐篷体积=半球体积+圆柱体积，即322543 r r h πππ+=，表示出h ， 则22(222323)10y r r rh πππ=?+?+??，化简得25460()y r r π=+；再由2 54203 r r ->，则3133r ， （2）254()f r r r =+，3133r 解：（1）由题意可得322543 r r h πππ+=，所以2 542 3 h r r =-， 所以2222542(222323)1010060()3 y r r rh r r r r πππππ=?+?+??=+-g ， 即25460()y r r π=?+； 因为1r …，0h >，所以2 54203 r r ->，则3 133r =+，3133r 54()2f r r r '=-，令()0f r '=，解得3r =， 当[1r ∈，3)时，()0f r '<，()f r 单调递减； 当(3r ∈，3 33)时，()0f r '>，()f r 单调递增， 所以当3r =时，()f r 取极小值也是最小值，且()1620min f r π=． 答：当半径r 为3m 时，建造费用最小，最小为1620π千元． 18．（本小题满分16分） 如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，若椭圆C 经过点(0,3)， 离心率为12 ，直线l 过点2F 与椭圆C 交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）若点N 为△12F AF 的内心（三角形三条内角平分线的交点），求△12F NF 与△12F AF 面积的比值； （3）设点A ，2F ，B 在直线4x =上的射影依次为点D ，G ，E ．连结AE ，BD ，试问：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点T ？若是，请求出定点T 的坐标；若不是，请说明理由． 分析：（1）由题意知3b =12 c a =，可得 3 b a =a 即可得出椭圆C 的方程． （2）由点N 为△12F AF 的内心，可得点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ， 可得 1212 1212121 ||2 1 (||||||)2 F NF F AF F F r S S AF AF F F r = ++V V g g ． （3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形，此时AE 与BD 交于2F G 的中点 5(,0)2．下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5 (,0)2 T ． 设直线l 的方程为(1)y k x =-，与椭圆方程联立化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=．设 1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为 2121(4)4y y y y x x --= --．令52 x =，此时21215 (4)42y y y y x -=+--，把根与系数关系代入可得0y =，因此点5(,0)2 T 在直线AE 上．同理可证，点5(,0)2 T 在直线BD 上．即可得出结 论． 解：（1 ）由题意知b 12 c a = ，所以 b a =，解得2a =， 所以椭圆C 的方程为：22 143 x y +=． （2）因为点N 为△12F AF 的内心， 所以点N 为△12F AF 的内切圆的圆心，设该圆的半径为r ， 则 1212 1212121 ||21 2 1 223 (||||||)2 F NF F AF F F r S c c S a c a c AF AF F F r = = ==++++V V g g ． （3）若直线l 的斜率不存在时，四边形ABED 是矩形， 此时AE 与BD 交于2F G 的中点5(,0)2 ． 下面证明：当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2 T ． 设直线l 的方程为(1)y k x =-， 联立22(1)14 3y k x x y =-?? ?+=??化简得2222(34)84120k x k x k +-+-=． 因为直线l 经过椭圆C 内的点(1,0)，所以△0>． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2122834k x x k +=+，2122 412 34k x x k -=+． 由题意，得1(4,)D y ，2(4,)E y ，则直线AE 的方程为2121 (4)4y y y y x x --=--． 令52 x =，此时2112212112(4)3() 5(4)422(4)y y x y y y y y x x --+-=+-=-- 12211212112(4)(1)3()825() 2(4)2(4) x k x k x x k kx x k x x x x --+-+-+= =-- 22 22 1412882534342(4) k k k k k k k x -+-++=-g g 3332124328244002(4)(34) k k k k k x k ++--==-+， 所以点5(,0)2 T 在直线AE 上． 同理可证，点5(,0)2 T 在直线BD 上． 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点5(,0)2 T ． 19. （本小题满分16分） 设数列{}n a ，{}n b 分别是各项为实数的无穷等差数列和无穷等比数列． （1）已知11b =，23260b b b -+=，求数列{}n b 的前n 项的和n S ； （2）已知22a =，4710++21a a a =，且数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，若数列{}n b 唯一，求1b 的值. （3）已知数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，且11122(1)22n n n a b a b a b n +++?+=-+，求数列{}n a ，{}n b 的通项公式（用含n ，d 的式子表达）； （1）解：设{}n b 的公比为q ， 则有360q q -+=，即2(2)(23)0q q q +-+=； 解得2q =-； ∴1(2)3 n n S --=； （2）∵{}n a 为等差数列，又∵22a =，4710++21a a a = ∴7321a =，77a =，则公差1d =，则n a n = 数列{+}n n a b 的前三项成等比数列，即11+b ，22+b ，33+b 成等比， 2213(2+)(1+)(3+)b b b =，整理得131+=b b 设数列{}n b 的公比为q ，显然10b ≠ 则2 111+=b b q ，2 1110b q b --= ∵数列{}n b 唯一确定， ∴1104(1)0b b ?=++= 解得：11b =-或10b =（舍） 即11b =- （3）解：Q 11122(1)22n n n a b a b a b n +++?+=-+?① 112211(2)22n n n a b a b a b n --++?+=-+?② ∴①-②，得2(2)n n n a b n n =g …； 112a b =Q ； ∴*2()n n n a b n n N =∈?g ③ ∴111(1)2(2)n n n a b n n ---=-?…④ 令③÷④，得 12(2)1 n n a n q n a n -=?-g …⑤；其中q 是数列{}n b 的公比； ∴ 122(1) (3)2 n n a n q n a n ---=?-g …⑥ 令⑤÷⑥，得 222 1 (2) (3)(1)n n n a a n n n a n ---=-…； ∴ 31234a a a =，即1121(2)3 ()4 a d a a d +=+； 解得1a d =或13a d =-； 若13a d =-，则40a =，有444420a b ?==，矛盾； 1a d ∴=满足条件，此时n a dn =；2n n b d =； 20. （本小题满分16分） 设a 为实数，已知函数()x f x axe =()a R ∈． （1）当0a <时，求函数()f x 的单调区间； （2）设b 为实数，若不等式2()2f x x bx +…对任意的1a … 及任意的0x >恒成立，求b 的取值范围； （3）若函数()()ln g x f x x x =++(0)x >有两个相异的零点，求a 的取值范围． 分析：（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出， （2）分离参数，可得2x e x b -…对任意的0x >恒成立，构造函数()2x x e x ?=-，利用导数求出函数的最值即可求出b 的范围， （3）先求导，再分类讨论，根据导数和函数单调性以及最值得关系即可求出a 的范围． 解：（1）当0a <时，因为()(1)x f x a x e '=+，当1x <-时，()0f x '>； 当1x >-时，()0f x '<．所以函数()f x 单调减区间为(,1)-∞-，单调增区间为(1,)-+∞． （2）由2()2f x x bx +…，得22x axe x bx +… ，由于0x >， 所以2x ae x b +…对任意的1a … 及任意的0x >恒成立． 由于0x e >，所以x x ae e …，所以2x e x b -…对任意的0x >恒成立． 设()2x x e x ?=-，0x >，则()2x x e ?'=-， 所以函数()x ?在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)+∞上单调递增， 所以()(min x ln ??=2)22ln =-2， 所以22b ln -?2． （3）由()ln x g x axe x x =++，得1(1)(1)()(1)1x x x axe g x a x e x x ++'=+++=，其中0x >． ①若0a … 时，则()0g x '>，所以函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，所以函数()g x 至多有一个零点，不合题意； ②若0a <时，令()0g x '=，得10x xe a =->． 由第（2）小题知，当0x >时，()222x x e x ln ?=--… 20>，所以2x e x >，所以2 2x xe x >， 所以当0x >时，函数x xe 的值域为(0,)+∞． 所以存在00x >，使得0010ax ex +=，即001ax ex =- ①， 且当0x x <时，()0g x '>，所以函数()g x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，)+∞上单调递减． 因为函数有两个零点1x ，2x ， 所以0000()()max g x g x ax ex x ln ==++001x x ln =-++00x > ②． 设()1ln x x x ?=-++，0x >，则1()10x x ?'=+>，所以函数()x ?在(0,)+∞上单调递增． 由于(1)?0=，所以当1x >时，()0x ?>，所以②式中的01x >． 又由①式，得001x ex a =-． 由第（1）小题可知，当0a <时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以1e a ->， 即1(a e ∈-，0)． ()i 由于11 1()(1)0e ae g e e e = +-<，所以01 ()()0g g x e 因为011x e <<，且函数()g x 在0(0,)x 上单调递减，函数()g x 的图象在0(0,)x 上不间断， 所以函数()g x 在0(0,)x 上恰有一个零点； ()ii 由于1111()()g e ln a a a a -=---+-，令1t e a =->， 设()t F t e t ln =-++t ，t e >， 由于t e >时，ln t t <，2t e t >，所以设()0F t <，即1()0g a -<． 由①式，得当01x >时，0001x ex x a -=>，且01()()0g g x a - 同理可得函数()g x 在0(x ，)+∞上也恰有一个零点． 综上，1(a e ∈-，0)． 2019年江苏省天一中学十二月份调研考试 高三数学（Ⅱ）试题 2019.12 21．本题共2小题，每小题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵11a A b ??=? ? -??，A 的一个特征值2λ=，其对应的一个特征向量是121α?? =???? （1）求矩阵A ； （2）设直线l 在矩阵1A -对应的变换作用下得到了直线:4m x y -=，求直线l 的方程． 分析：（1）由111 211a A b αλα???? ==????-???? 即可求出a ，b ； （2）设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵A 对应的变换作用下得到点(,)x y ''，根据122144x x x y y y x y '+????????==????????'--+????????，可得2,3.6x y x x y y '-'? =???'+'?=?? 进而得到l 的方程；． 解：（1）1122112a a A b b α+??????==? ????? --+??????Q ，124212λα????==???????? ， ∴24,22,a b +=??-+=? 解得2,4,a b =??=? 故1 214A ??=? ? -?? ； （2）1 214A ??=? ? -?? Q ，1213 31166A -?? -? ?∴=???????? ， 设直线:4m x y -=上的任意一点(,)x y 在矩阵1 A -对应的变换作用下得到点(,)x y ''， 则212 133331 1116666x y x x y y x y ????--????'????==????????'???? ????+???????? ∴21,3311,66x x y y x y ? '=-????'=+?? ∴2,4. x x y y x y ''=+??''=-? 4x y -=Q ，23 y ∴'=， ∴直线l 的方程为23 y =． B ．选修4—4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4 R πθρ=∈，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴 建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos , (1cos 2x y ααα=??=+? 为参数） ，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标． 分析：化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程，化曲线C 的参数方程为普通方程，联立求解得答案． 解：直线l 的直角坐标方程为y x =． 由方程4cos , 1cos 2x y αα =?? =+?，可得22212cos 2()48x y x α===， 又1cos 1α-Q 剟 ，44x ∴-剟． ∴曲线C 的普通方程为21(44)8 y x x =-剟． 将直线l 的方程代入曲线方程中，得218 x x =，解得0x =，或8x =（舍去）． ∴直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)． 第22题、第23题，每题10分，共计20分，请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分） 如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面四边形ABCD 为菱形，12A A AB ==，3 ABC π∠=， E ， F 分别是BC ，1A C 的中点． （1）求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段1A D 上， 11A M A D λ=．若//CM 平面AEF ，求实数λ的值． 分析：（1）建立坐标系，求出直线的向量坐标，利用夹角公式求异面直线EF ，AD 所成角的余弦值； （2）点M 在线段1A D 上，11A M A D λ=．求出平面AEF 的法向量，利用//CM 平面AEF ，即可求实数λ的值． 解：因为四棱柱1111ABCD A B C D -为直四棱柱， 所以1A A ⊥平面ABCD ． 又AE ?平面ABCD ，AD ?平面ABCD ， 所以1A A AE ⊥，1A A AD ⊥． 在菱形ABCD 中3 ABC π∠=，则ABC ?是等边三角形． 因为E 是BC 中点，所以BC AE ⊥． 因为//BC AD ，所以AE AD ⊥． 建立空间直角坐标系．则(0A ，0，0)，(3C 1，0)，(0D ，2，0)， 1(0A ，0，2)，3E 0，0)，3 ( F ，12 ，1)． （1）(0AD =uuu r ，2，0)，3(EF =u u u r 12 ，1)， 所以异面直线EF ，AD 2 211 = +． （2）设(M x ，y ，)z ，由于点M 在线段1A D 上，且11A M A D λ=， 则(x ，y ，2)(0z λ-=，2，2)-． 则(0M ，2λ，22)λ-，(3CM =-u u u u r ，21λ-，22)λ-． 设平面AEF 的法向量为0(n x =r ，0y ，0)z ． 因为(3AE =u u u r ，0，0)，3(AF =u u u r ，12 ，1)， 由00003031 2 x x y z ?=??++=?，得00x =，00102y z +=． 取02y =，则01z =-， 则平面AEF 的一个法向量为(0n =，2，1)-． 由于//CM 平面AEF ，则0n CM =u u u u r r g ，即2(21)(22)0λλ---=，解得23 λ=． 23．（本小题满分10分） 已知袋中装有大小相同的2个白球、2个红球和1个黄球．一项游戏规定；每个白球、红球和黄球的分值分别是0分、1分和2分，每一局从袋中一次性取出三个球，将3个球对应的分值相加后称为该局的得分，计算完得分后将球放回袋中．当出现第n 局得n 分 (*)n N ∈的情况就算游戏过关，同时游戏结束，若四局过后仍未过关，游戏也结束． （1）求在一局游戏中得3分的概率； （2）求游戏结束时局数X 的分布列和数学期望()E X ． 分析：（1）根据相互独立事件的概率公式求出对应的概率值； （2）由题意知随机变量X 的可能取值，计算在一局游戏中得2分的概率值， 求出对应的概率值，写出分布列，计算数学期望． 解：（1）设在一局游戏中得3分为事件A ， 则P （A ）111 2213 52 5 C C C C ==g g ； （2）由题意随机变量X 的可能取值为1，2，3，4； 且在一局游戏中得2分的概率为1221 22213 53 10 C C C C C +=g g ； 解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-． 理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用 哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右 2017年11月02日金博高数20的高中数学组卷 一．选择题（共16小题） 1．记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，不同的排法共有（） A．1440种B．960种C．720种D．480种 2．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母（字母可重复）后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（） A．（C261）2A104个B．A262A104个C．（C261）2104个D．A262104个 3．北京《财富》全球论坛期间，某高校有14名志愿者参加接待工作．若每天排早、中、晚三班，每班4人，每人每天最多值一班，则开幕式当天不同的排班种数为（） A．C1214C412C48B．C1412A124A84 C．D．C1412A124C84A33 4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为（） A．6 B．12 C．15 D．30 5．12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（） A．C124C84C44种 B．3C124C84C44种 C．C124C84A33种 D．种 6．5本不同的书，全部分给四个学生，每个学生至少1本，不同分法的种数为（） A．480 B．240 C．120 D．96 7．从单词“equation”选取5个不同的字母排成一排，含有“qu”（其中“qu”相连且顺序不变）的不同排列共有（） A．120个B．480个C．720个D．840个 8．在1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（） A．36个B．24个C．18个D．6个 9．五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有（） A．C41C44种B．C41A44种C．C44种D．A44种 10．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植．不同的种植方法共有（） A．24种B．18种C．12种D．6种 11．从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（） A．24 B．18 C．12 D．6 12．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A．324 B．328 C．360 D．648 13．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A．8 B．24 C．48 D．120 14．在100件产品中有6件次品，现从中任取3件产品，至少有1件次品的不同取法的种数是（） A．C61C942B．C61C992C．C1003﹣C943D．P1003﹣P943 15．8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（）A．A88A92B．A88C92C．A88A72D．A88C72 16．若（1+）5=a+b（a，b为有理数），则a+b=（） A．45 B．55 C．70 D．80 二．填空题（共10小题） 17．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是． 18．把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不 1 2019届高三第三次模拟考试卷 理 科 数 学（四） 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的． 1．[2019·温州适应]已知i 是虚数单位，则2i 1i +等于（ ） A ．1i - B ．1i + C ．1i -- D ．1i -+ 2．[2019·延边质检]已知1=a ，2=b ，()-⊥a b a ，则向量a 、b 的夹角为（ ） A ． π6 B ． π4 C ． π3 D ． π2 3．[2019·六盘水期末]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且1a = ，b =， π 6A =，则B =（ ） A ． π6 B ． π3 C ． π6或5π6 D ． π3或2π 3 4．[2019·厦门一模]《易经》是中国传统文化中的精髓，下图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（ 表示一根阳线， 表示一根阴线），从八 卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有5根阳线和1根阴线的概率为（ ） A ． 328 B ． 332 C ． 532 D ． 556 5．[2019·重庆一中]已知某几何体的三视图如图所示（侧视图中曲线为四分之一圆弧），则该几何体的体积为（ ） A ．24 π + B ．12 π- C ．14π- D ．13 6．[2019·江西联考]程序框图如下图所示，若上述程序运行的结果1320S =，则判断框中应填入（ ） A ．12k ≤ B ．11k ≤ C ．10k ≤ D ．9k ≤ 7．[2019·江门一模]若()ln f x x =与()2g x x ax =+两个函数的图象有一条与直线y x =平行的公共 切线，则a =（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．3或1- 8．[2019·湖师附中]已知拋物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在拋物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ） A B ． C ．D ．9．[2019·河南名校]设点P 是正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 的中点，平面α过点P ，且与 直线1BD 垂直，平面α平面ABCD m =，则m 与1A C 所成角的余弦值为（ ） A B C ．13 D ． 3 10．[2019·合肥质检]“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n 件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单 价的910．若这堆货物总价是910020010n ?? - ??? 万元，则n 的值为（ ） 此 卷 只 装 订 不 密 封 班级 姓名 准考证号 考场号 座位号 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) 最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120 4 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ）A．08 B．07 C．02 D．01 5．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示) 北京市2019年高考数学（理）一轮专题复习特训 排列组合、二项式定理 一 选择题 1【2018北京（理）真题6】从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( ) A. 24 B. 18 C. 12 D. 6 【答案】B 2（2018海淀一模）2.复数()()1i 1i z =+-在复平面内对应的点的坐标为 A. (1,0) B. (0,2) C.()1,0 D. (2,0) 3.（2018西城一模）9．设复数1i i 2i x y -=++，其中,x y ∈R ，则x y +=______．25- 4.（2018东城一模）（2）复数i 1i =- （A ）11i 22+ （B ）11i 22- （C ）11i 22-+ （D ）11i 22 -- 5.（2018朝阳一模）（1）复数i(2+i)z =在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 6.（2018大兴一模）（2）复数1i 1i +=- A. i - B. i C. 2i - D. 2i 7.（2018海淀一模）6. 小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反两面.他想把4个硬币摆成一摞,且满足相邻两枚硬币的正面与正面不相对,不同的摆法有 A. 4种 B.5种 C.6种 D.9种 8.（2018丰台一模）（8）如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”.例如，今年年份2018的各位数字之和为7，所以今年恰为“七巧年”.那么从2000年到2999年中“七巧年”共有 （A ）24个 （B ）21个 （C ）19个 （D ）18个 9.（2018石景山一模）3．在251 ()x x -的展开式中，x 的系数为（ ） A ．10 B ．10- C ．20 D ．20- 二 填空题 1【2018北京（理）真题13】. 把5件不同产品摆成一排，若产品A 与产品C 不相邻，则不同的摆法 F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?= A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版） 一、选择题 1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 1．【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D. 2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满 足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 2．【答案】A 【解析】方法一 设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)． 故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |· 3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2 ＝3－3y 2 m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－ 3. 5．我市拟向新疆哈密地区的三所中学派出5名教师支教，要求每所中学至少派遣一名教师，则不同的派出方法有（ ） A ． 300种 B ． 150种 C ． 120种 D ． 90种 6．一只小青蛙位于数轴上的原点处，小青蛙每一次具有只向左或只向右跳动一个单位或者两个单位距离的能力，且每次跳动至少一个单位.若小青蛙经过5次跳动后，停在数轴上实数2位于的点处，则小青蛙不同的跳动方式共有( )种. A ． 105 B ． 95 C ． 85 D ． 75 7．中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学.某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“数”必须排在前三节， 且“射”和“御”两门课程相邻排课，则“六艺”课程讲座不同排课顺序共有（ ） A ． 120种 B ． 156种 C ． 188种 D ． 240种 8．郑州绿博园花展期间，安排6位志愿者到4个展区提供服务，要求甲、乙两个展区各安排一个人，剩下两个展区各安排两个人，其中的小李和小王不在一起，不同的安排方案共有（ ） A ． 168种 B ． 156种 C ． 172种 D ． 180种 9．用6种不同的颜色对正四棱锥的8条棱染色，每个顶点出发的棱的颜色各不相同，不同的染色方案共有多少种（ ） A ． 14400 B ． 28800 C ． 38880 D ． 43200 10．《红海行动》是一部现代海军题材影片，该片讲述了中国海军“蛟龙突击队”奉命执行撤侨任务的故事．撤侨过程中，海军舰长要求队员们依次完成六项任务，并对任务的顺序提出了如下要求：重点任务A 必须排在前三位，且任务E 、F 必须排在一起，则这六项任务的不同安排方案共有（ ） A ． 240种 B ． 188种 C ． 156种 D ． 120种 11．定义“有增有减”数列{}n a 如下： *t N ?∈，满足1t t a a +<，且*s N ?∈，满足1S S a a +>.已知“有增有 2019-2020高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 2．已知向量a v ，b v 满足a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ） A ． 2 B ． 3 C D ． 4 3．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=u u u u v u u u u v ，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲 线C 的离心率为( ). A B C D 4．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5y x =± D ．5 3 y x =± 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-?+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在 (1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞ D ．22(,2)(2,)e e e +∞U 9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ） 历年全国卷高考数学真 题大全解析版 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = 专题11 排列组合、二项式定理 文 1. 【2009高考北京文第3题】若4(1,a a b =+为有理数），则a b += （ ） A ．33 B ． 29 C ．23 D ．19 【答案】B 2. 【2009高考北京文第5题】用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为 （ ） A ．8 B ．24 C ．48 D ．120 【答案】C 3. 【2006高考北京文第4题】在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各 位数字之和为偶数的共有 A.36 B.24 C.18 D.6 【答案】A 【解析】若各位数字之和为偶数,则需2个奇数字1个偶数字, 奇数字的选取为C 23,偶数字的选取为C 12, ∴所求为C 23·C 12·A 33=36. 4. 【2007高考北京文第5题】某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其 中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．()2 14 2610C A 个 Ｂ．242610A A 个 Ｃ．()2 142610C 个 Ｄ．24 2610A 个 5. 【2005高考北京文第8题】五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有( ) （A ）1444C C 种 （B ）1444C A 种 （C ）44C 种 （D ）44A 种 【答案】B 【解析】根据题意，甲工程队不能承建1号子项目，则有4种方法，其他4个工程队分别对应4个子项目，有A 44种情况，根据乘法原理，分析可得有C 41A 44种情况；故选B ． 6. 【2005高考北京文第10题】6 1()x x -的展开式中的常数项是 （用数字作答） 【答案】20- 7. 【2006高考北京文第10题】在(x - x 2)7的展开式中,x 3的系数是 .(用数字作答) 【答案】84 【解析】T r+1=C r 7x 7-r ·(- x 2)r =(-2)r ·C r 7·x 7-2r , 令7-2r =3,∴r =2. 代回系数(-2)r ·C r 7=(-2)2·C 27=84. 8. 【2008高考北京文第12题】5 231x x ??+ ?? ?的展开式中常数项为 ；各项系数之和为 ．（用数字作答） 【答案】10 32 2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设z=1-i 1+i +2i ，则|z|= A ．0 B ．1 2 C ．1 D ． 2 解析：选C z=1-i 1+i +2i=-i+2i=i 2．已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则?R A = A ．{x|-1 2019年高考数学模拟试题(含答案) 一、选择题 1．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ． 12 B ． 13 C ． 23 D ． 34 2．若圆与圆22 2:680C x y x y m +--+=外切，则m =（ ） A ．21 B ．19 C ．9 D ．-11 3．右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执行该程序框图，若输入,a b 分别为14,18，则输出的a =（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．14 4．已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ） A ．2 B ．1 C ．－2 D ．－1 5． ()()3 1i 2i i --+=（ ） A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+ D ．3i - 6．数列2,5,11,20，x ，47...中的x 等于（ ） A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 7．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220 B ．2755 C ． 2125 D ． 27 220 8．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他 十个小长方形面积的和的，且样本容量是160，则中间一组的频数为（ ） A ．32 B ．0.2 C ．40 D ．0.25 9．设双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线2 1y x =+相切，则该双曲 线的离心率等于（ ） A ．3 B ．2 C ．6 D ．5 10．在[0,2]π内，不等式3 sin 2 x <-的解集是（ ） A ．(0)π， B ．4,33 ππ?? ??? C ．45,33ππ?? ??? D ．5,23ππ?? ??? 11．将函数()sin 2y x ?=+的图象沿轴向左平移8 π 个单位后，得到一个偶函数的图象，则?的一个可能取值为( ) A ． B ． C ．0 D ．4 π- 12． sin 47sin17cos30 cos17- A ．3 B ．12 - C ． 12 D 3二、填空题 13．若双曲线22 221x y a b -=()0,0a b >>两个顶点三等分焦距，则该双曲线的渐近线方程 是___________. 14．曲线2 1 y x x =+ 在点（1，2）处的切线方程为______________． 15．在ABC 中，60A =?，1b =3sin sin sin a b c A B C ________． 16．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos 2 x π的值介于1[0,]2 的概率为 ． 17．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1 ()tan 2 g x x = 的图象交于,,A B C 三点，则ABC ?的面积为__________． 18．学校里有一棵树，甲同学在A 地测得树尖D 的仰角为45?，乙同学在B 地测得树尖D 的仰角为30，量得10AB AC m ==，树根部为C （,,A B C 在同一水平面上），则 ACB =∠______________. 19．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 20．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥 解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34 山东省春季高考数学试卷 一、选择题 1．已知全集U={1，2}，集合M={1}，则?U M等于（） A．?B．{1}C．{2}D．{1，2} 2．函数的定义域是（） A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（） A．y=x B．y=1 C．D．y=|x| 4．二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（） A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+3 5．等差数列{a n}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，则a5等于（） A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32 6．已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D． 7．“p∨q为真”是“p为真”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（） A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6 9．下列说法正确的是（） A．经过三点有且只有一个平面 B．经过两条直线有且只有一个平面 第1页（共25页） C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（） A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0 11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（） A．72 B．120 C．144 D．288 12．若a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D． 13．函数f（x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 14．如果，，那么等于（） A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18 15．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（）A．B．C．D． 16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是（）A．B．C．D． 17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（） A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5）2=4 18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15 第2页（共25页）(完整word版)高中数学解析几何大题精选
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