《3.2.3立体几何中的向量方法》课件5-优质公开课-人教A版选修2-1精品

→1， 1.如图， 在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， 试判断向量AA →1，CC →1，DD → 1，A → → → → BB 1A，B1B，C1C，D1D与平面 ABCD 的位 置关系是什么？与平面 ABCD 满足此种关系的向量还有 吗？它们的共同特点是什么？
2.在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中． (1)棱 AB，DC，D1C1，A1B1 之间的位置关系 是什么？它们的方向向量之间又有什么关系？ (2)棱 A1B1，B1C1，C1D1，D1A1 与平面 ABCD 有什么样的位置关系？它们的方向向量与平面 ABCD 的法向量之间 又有什么关系？ (3)平面 ABCD 和平面 A1B1C1D1 的位置关系是什么？它们的法 向量之间又有什么关系？
•
已知正方体 ABCD － A1B1C1D1 的棱长 为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： • (1)FC1∥平面ADE； • (2)平面ADE∥平面B1C1F.
• • • •
由题目可获取以下主要信息： ①ABCD－A1B1C1D1为正方体且棱长为2； ②E、F分别是BB1、DD1的中点． 解答本题可先建系，求出直线的方向向量和平 面的法向量，再利用方向向量和法向量间的关 系判定线面、面面平行．
1 2 －2 解析： ∵α∥β，∴ ＝ ＝ k .∴k＝4. －2 －4
• 答案： C
• 3．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直 线l2的一个方向向量为 (x ，y,8)，且l1∥l2，则x ＝________，y＝________.
－7 3 4 解析： ∵l1∥l2，∴ ＝ ＝ ， x y 8 ∴x＝－14，y＝6.
• 3．2 立体几何中的向量方法
• 第1课时 空间向量与平行关系

② 直线与平面的法向量平行. 3. 面面垂直： ① 一个平面经过另一个平面的垂线；
② 两平面的法向量平行. 4. 两异面直线的公垂线：
与两异面直线都垂直且相交的直线.
例题分析
例 1. 如图，在四棱锥E ABCD中，AB 平 面BCE，CD 平面BCE，AB BC CE 2CD 2，BCE 120. 求证：平面ADE 平面ABE.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
② 直线与平面的法向量平行. 3. 面面垂直： ① 一个平面经过另一个平面的垂线；
② 两平面的法向量平行.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
C
E
P
FB
GABiblioteka 例题讲解思考题：已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的底面
ABCD为菱形，且C1CB C1CD BCD.
（1）求证：CC1 BD；
（2）当 CD CC1
的值为多少时，能使 A1C
平面C1BD？请给出证明.
课后作业
《学案》P87 面双基训练.
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主讲：陈震
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0.
知识归纳
1. 线线垂直： ① 三垂线定理及逆定理； ② 利用a b a b 0. 2. 线面垂直： ① 直线垂直于平面内的两相交直线；
② 直线与平面的法向量平行.
A
E
D
C
B
例题分析

内在联系，从而可以用向量方法解决立
体几何问题.
2.立体几何研究的基本对象是点、直
线、平面以及由它们组成的空间图形.为
了用空间向量解决立体几何问题，首先
必须把点、直线、平面的位置用向量表
示出来，然后再建立相应的解题原理.
3.上一节所学习的内容是空间向量的基 础知识，如何利用这些基础知识解决立 体几何中的实际问题，是本节学习的主 体内容.
探究（一）：空间点、线、面的向量表示
1、在空间中，取定点O作为基点，可以
用什么方法表示空间任意一点P与点O的
相对的位置？
P
O
向量 OP 称为点P的位置向量
2、过空间一点A可以作无数条直线，其 中以某非零向量a为方向向量的直线有几 条？如何用向量式表示？
a P
A
AP ta
3、过空间不同两点A、B的直线如何用向 量式表示？
βv
u α
α⊥β u⊥v u·v＝0.
3、直线l和m所成的角θ与向量a，b的关
系如何？
m
b
θ
α
a
l
cos q = | a ×b | | a || b |
4、直线l和平面α所成的角θ与向量a，u 的关系如何？
l
au
θ α
sin q = | a × u | | a || u |
5、平面α和平面β所成的角θ与向量u，v 的关系如何？
PB A
AP t AB
4、设过点O的两条相交直线确定的平面 为α，如何用向量形式表示平面α内的 点P的位置？
a α Ob
P
OP ＝xa＋yb
5、若直线l⊥平面α，a为直线l的方向向 量，则向量a叫做平面α的法向量，如何 用向量形式表示过点O且法向量为a的平

置关系以及它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义. （回到图形）
9
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以
顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角
都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的
长与棱长有什么关系？ 解:如图1,不妨设
引入
知识要点
练习巩固
思考1
例1的思考
1
2
方法小结
3
练习巩固
4
1详细答案
思考题
5
6
1答案
方法小结
7
8
（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量 表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题 转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；
（化为向量问题或向量的坐标问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位
化为向量问题 依据向量的加法法则， 进行向量运算
D1
A1 D 图1
C1
B1
C
A
B
回到图形问题 所以 这个晶体的对角线 的长是棱长的
课外思考(1)(2)(3)
倍。
10
思考： (1)本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？
(2)如果一个四棱柱的各条棱长都相等，并且以 某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于 , 那么 有这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长吗?
解：
A1 B1
H A D C D1 C1
B
∴ 所求的距离是
如何用向量法求点到平面的距离?
12
如何用向量法求点到平面的距离?
z
G
x
F
D
C

第三章 空间向量与立体几何
3.2.5 立体几何中的向量方法
距离问题：
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
(1) A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2), 则
AB = (x1 - x2 )2 + (y1 - y2 )2 + (z1 - z2 )2
A1
E
C1
B1
A1 E与BD1的距离为
d D1 A1 n 14
n
14
D
A
x
Cy
B
例7、如图3，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水
坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）
的距离AC和BD分别为a 和b ,CD的长为ｃ, AB的长为d .
求库底与水坝所成二面角的余弦值.
解１：如图，
答: 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6 倍。
A1
D
A
图1
B1
C
B
例1、 如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端 点
的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这 个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？ 解2：如图1，设AB AA1 AD 1 ，BAD BAA1 DAA1 60
C1
B1
D
C
A
B
例5、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长 为1，求面A1DB与面D1CB1的距离.
解3
D1
A1
D
A
C1
B1
C
B
例6、如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长

设 直 线 l的 方 向 向 量 为 a ， 平 面 α 的 法 向 量 为 u ， 且 直 线 l与 平 面 α 所 成 的 角 为 θ ( 0 ≤ θ ≤ π ) , 则
2
a u
u
l a
sin
au
l a
u
二面角
1 方 向 向 量 法 :将 二 面 角 转 化 为 二 面 角 的 两 个 面
两个向量的夹角
如图,已知两个非零向量 a, b ,在空间任取一点 O , 作 OA a , OB b ,则 AOB 叫做向量 a 与 b 的夹角, 记作: a, b .
a
⑴范围: 0 ≤ a, b ≤ .
⑵ a, b＝b, a .
b
A
a
O
B
b
⑶如果 a, b ,则称 a 与 b 垂直,记为 a b .
B
n2
os |cosn1,n2|
u
v
α ,β 的 夹 角 为 θ ，cos uv
| u || v |
u
v
,的 夹 角 为 ，cos u v
| u || v |
典例展示
例1：如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处。
从A，B到直线 l（库底与水坝的交线）的距离AC和BD分别为
(1)证明：连接AC,AC交BD于点G,连接EG.
z
依题意得A(1,0,0), P(0,0,1),
11 E(0, , ),
P
22
因为底面ABCD是正方形，
F
E
所以点G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(1 ,1 ,0), 22
D
C y
A
G
B
x

设点F的坐标为(x, y, z),则PF (x, y, z 1)
因为PF k PB 所以( x, y, z 1) k(1,1, 1)
Z
P
(k,k,k)
即x k, y k, z 1 k
F
E
因为PB • DF 0
所以(1,1,1) • (k, k,1 k)
k k 1 k 3k 1 0A 所以k 1 F (1，1，2) X
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则
rr
(3) , 的夹角为， 则cosθ = cos < u,v >
u
v
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
P
(2)求证：PB 平面EFD
6 1
3
1 2
所以EFD 60o,即二面角 C PB D的大小为 60o.
例3、在底面是直角梯形的四棱锥S ABCD中，
ABC 90, SA 平面ABCD, SA AB BC 1,
AD 1 .求平面SCD与平面SBA所成的二面角的
2
z
正切值.
y
S
B
A
D
C x
A B C D 练1.在长方体ABCD
(3)求二面角C-PB-D的大小。
F
E
D A
C B
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是
正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC, E是PC的
中点，作EF⊥PB交PB于点F.
(1)求证：PA//平面EDB
P
(2)求证：PB 平面EFD