2015年高考省理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
参考公式：
球的表面积公式：S ＝4πR 2
，其中R 是球的半径. 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率：
P n （k ）＝C k n p k (1-p )n-k
（k ＝0，1，2，…，n ）.
如果事件A 、B 互斥，那么P （A +B ）＝P （A ）+P （B ）. 如果事件A 、B 相互独立，那么P （AB ）＝P （A ）·P （B ）.
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合}{
2
430A x x x =-+<，}{
24B x x =<<，则A B ?=
A. ()1,3
B. ()1,4
C. ()2,3
D. ()2,4
2. 若复数z 满足
1z
i i
=-，其中i 是虚数单位，则z = A. 1i - B. 1i + C. 1i -- D. 1i -+ 3. 要得到函数sin(4)3
y x π
=-
的图象，只需将函数sin 4y x =的图象
A. 向左平移
12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3
π
个单位
4. 已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=，则BD CD = A. 232a -
B. 234a -
C. 234a
D. 23
2
a 5. 不等式152x x ---<的解集是
A. (),4-∞
B. (),1-∞
C. ()1,4
D. ()1,5
6. 已知满足,x y 约束条件0
20x y x y y -≥??
+≤??≥?
，若z ax y =+的最大值为4，则a =
A. 3
B. 2
C. 2-
D. 3- 7. 在梯形ABCD 中，2
ABC π
∠=
，AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕
AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为
A.
23π B. 43π C. 53
π D. 2π 8. 已知某批零件的误差（单位：毫米）服从正态分布2
(0,3)N ，从中随机取一件，其长度误差落在区间(3,6)的概率为
（附若随机变量ξ服从正态分布2
(,)N μσ，则00()68.26P μσζμσ-<<+=，
00(22)95.44P μσζμσ-<<+=，）
A. 004.56
B. 0013.59
C. 0027.18
D. 0031.74
9. 一条光线从点(2,3)--射出，经y 轴反射后与圆2
2
(3)(2)1x y ++-=相切，则反射光线所在直线的斜率为 A. 5335--或 B. 3223--或 C. 5445--或 D. 4334
--或 10.设函数
31,1,
()2, 1.
x
x x f x x -
()(())2f a f f a =的a 的取值围是
A. 2,13??????
B. []0,1
C. 2,3??+∞????
D. [)1,+∞
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
11. 观察下列各式：
00
14C =；
011
33
4C C +=；
0122
5554C C C ++=； 01233
77774C C C C +++=；
开始 1,1n T ==
3n <
1
n
T T x dx =+?
1n n =+
T 输出
结束
照此规律，当*
n N ∈时
0121
21212121____n n n n n C C C C -----+++
+=
12. 若“0,
,tan 4x x m π??
?∈≤????
”是真命题，则实数m 的最小值是_________ 13. 执行右边的程序框图，输出的T 的值为________
14. 已知函数()(0,1)x
f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则_____a b +=
15. 平面直角坐标系xOy 中，双曲线1:C 22
221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线与抛物线
22:2(0)C x py p +>交于点,,.O A B 若OAB ?的垂心为2C 焦点，则1C 的离心率为______
三、解答题：本大题共6小题
16. 设2
()sin cos cos ()4
f x x x x π
=-+
（1）求()f x 的单调区间
（2）在锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若()02
A
f =，1a =，求ABC ?面积的最大值
17．如图，在三棱台DEF ABC -中，2AB DE =，
,G H 分别为,AC BC 的中点
（1）求证：BD FGH 平面
（2）若⊥CF 平面ABC ，AB ⊥BC ，CF DE =，45BAC ∠=，求平面FGH 与平面ACFD 所成的
角（锐角）的大小
18. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知233n
n S =+
（1）求{}n a 的通项公式
（2）若数列{}n b 满足3log 2n n a b =，求{}n b 的前n 项和n T
A
19. 设n 是一个三位正整数，且n 的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称
n 为“三位递增数”（如137,359,567等）
在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次.得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的数字之积不能被5整除，参加者得0分；若能被5整除，但不能被10整除，得1-分；若能被10整除，得1分 （1） 写出所有个位数字是5的“三位递增数”
（2） 若甲参加活动，求甲得分X 的分布列与数学期望EX
20. 平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为2，左、右
焦点分别是12,F F .以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上
（1）求椭圆C 的方程
（2）设椭圆22
22:144x y E a b
+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆
E 与,A B 两点，射线PO 交椭圆E 与点Q
（i ）求
OQ OP
的值
（ii ）求ABQ ?面积的最大值
21. 设函数2
()ln(1)()f x x a x x =++-，其中a R ∈ （1）讨论()f x 函数级值点的个数，并说明理由 （2）若0,()0x f x ?>≥成立，求a 的取值围