中考几何应用题精讲精练
【重点、难点、考点】
重点：运用几何知识解决实际问题 难点：将实际问题抽象为几何问题
考点：此类问题的表现形式是：由几何图形的性质通过计算、推理来说明某种几何设计是否最优，或是设计出符合要求的几何方案，除能有效地考查有关几何知识之外，更注重考查学生抽象、转化的思维能力，在中考试卷的主、客观题中均有出现，分值在12％左右。
【经典X 例引路】
例 在直径为AB 的半圆内，划出一块三角形区域，使三角形的一边为AB ，顶点C 在半圆上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于△ABC 的矩形水池DEFN ，其中，DE 在AB 上，如图的设计方案是使AC ＝8， BC ＝6 （1）求△ ABC 中 AB 边上的高 h
（2）设DN ＝x ，当x 取何值时，水池DEFN 的面积最大？
（3）实际施工时，发现在AB 上距B 点1.85的M 处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．（1999，某）
解：(1)由S=
21AB·h=21AB·BC 得 h=AB BC AC ?=10
86?=4.8 （2）∵NF∥AB，∴△F∽△CAB，∴
h DN h -=AB
NF
∴NF=8.4)8.4(10x -，S DEFN
=x·8.410(4.8-x)= -12
25x 2+10x ∴当x ＝2.4时，S DEFN 的值最大．
（3）当S DEFN 最大时x=2.4，此时F 为BC 中点． 在Rt△FEB 中，EF ＝2.4，BF ＝3， ∴BE=22EF BF -=224.23-=1.8
又BM-1.85＞BE ，故大树必位于欲修建的水池边上，应重新设计方案 又∵当x ＝2.4时，DE ＝5，∴AD＝3.2
由圆的对称性知满足题设条件的另外设计方案是如图（2），此时，AC＝6，AD＝1.8，BD ＝8.2，此方案满足条件且能避开大树．
【解题技巧点拨】
解此类问题经常要通过计算线段长和面积来确定设计方案及其是否最优，因此有关面（体）积公式要非常熟练，同时要熟悉解直角三角形的有关知识和技巧，并会将有关图形转化为直角三角形再计算有关线段或面积；有时还要利用轴对称及其性质解题。
【综合能力训练】
1.天河宾馆在重装修后，准备在大厅的主楼梯上铺设某种红色地毯，已知这种地毯每平方
米售价30元，主楼梯道宽2米，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元。
2.某班在布置新年联欢会会场时，需要将直角三角形彩纸裁成长度不等的矩形彩条，如图，
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＝30cm， AB＝50cm,依次裁下宽为1cm的矩形纸条 a l，a2，a3……，若使裁得的矩形纸条的长都不小于5cm，则每X直角三角形彩纸能裁成的矩形纸条总数是.
3.目前，全国人民都在积极支持的申奥活动，你们知道吗？国际奥委会会旗上的图案是由
代表五大洲的五个圆环组成（如右图），每个圆环的内、外圆直径分别为8和10，图中两两相交成的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积是122.5平方单位，请你们计算出每个小曲边四边形的面积为平方单位（π取
3.14）．（2001，某市）
4.如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为 AC＝1km，BD＝3km,CD
＝3km，现要在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费用为每公里20000元，请你在CD上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F．
5.某县为加固长90米，高5米，坝顶宽为4米，迎水坡和背水坡的坡度都是1∶1的横断面是梯形的防洪大坝，要将大坝加高1米，背水坡坡度改为1∶1.5，已知坝顶宽不变．（1）求大坝横截面积增加多少平方米？（2）要在规定时间内完成此项工程，如果甲队单独做将拖延1O天完成，乙队单独做将拖延6天完成，现在甲队单独工作2天后，乙队加入一起工作，结果提前4天完成，求原来规定多少天完成和每天完成的土方数。
6.武当山奶制品公司有两种不同大小的奶粉盒，其形状都是高相等的圆柱形，第一种奶粉
盒可装奶粉500克，底面是半径为R1的⊙O1（如图甲）；第二种奶粉盒可装奶粉1000克，底面是半径为R2的⊙O2（如图乙），根据市场调查，还需设计一种装1500克奶粉的圆柱形盒子，并要求此盒底面圆的面积等于⊙O1、⊙O2面积之和，其高与前两种奶粉盒的高相等，请你画出符合要求的奶粉盒底面圆的大小，并证明你的结论．（2001，某市）
7.国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，莲花村有四个村庄A、B、C、D，正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图中的实线部分，请你帮助计算
一下，哪种架设方案最省电线？（以下数据可供参考：2=1.414,3=1.732,
5=2.236）
8.如图所示，某海域为直径30海里的暗礁区中心有一哨所A，值班人员发现有一轮船从
哨所正西方向45海里的B处向哨所驶来，哨所及时向轮船发出危险信号：
（1）若轮船收到此次危险信号，为避免触礁，船向改变至少为东偏北α度，求sinα的值；（2）若轮船没有收到危险信号，又继续前进了15海里到达C处，才收到此时哨所第二次发出的紧急危险信号，为避免触礁，航向改变角最少应为东偏南多少度？（3）若轮船一直没有收到信号，且该轮船的安全转向角度为60°，为避免触礁，轮船至少应在暗礁区外多少海里收到信号？
9.如图所示，一艘轮船以20里／时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40里／时的速度由南向北移动，距台风中心2010里的圆形区域（包括边界）都
属台风区，当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB＝100里（1）若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由；
（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°方向，相距60里的D港驶去，为使台风到来之前到达D港，问船速至少要提高多少（提高的船速取整数，13≈3.6）？
【创新备考训练】
10.如图，某斜拉桥的一组钢索a，b，c，d，e共五条，它们相互平行，钢索与桥面的固
定点P1，P2，P3，P4,P5中，每相邻两点等距离．
（1）问至少需知道几条钢索的长，才能计算出其余钢索的长？
（2）请你对（1）中需知道的这几条钢索长给出具体数值，并由此计算出其余钢索的长．（2002，某市）
11.如图是某学校田径体育场部分的示意图，第一条跑道每圈为400米．跑道分直道和弯
道，直道为长相等的平行线段，弯道为同心的半圆形，弯道与直道相连接．已知直道BC的长86．96米，跑道的宽为1米.(π≈3.14,结果精确到0.01)
（1）求第一条跑道的弯道部分（
⌒
AB）的半径．
（2）求一圈中第二条跑道比第一条跑道长多少米？
（3）若进行200米比赛，求第六道的起点F与圆心O的连线FO与OA的夹角∠FOA的度数．（2002，某市）
12.我们常见到如图4那样图案的地面，他们分别是全用正方形或全用正六边形形状的材
料铺成的，这样形状的材料能铺成平整、无空隙的地面，现在，问：
（1）像上面那样铺地面，能否全用正五边形的材料？为什么？
（2）你能不能另外想出一个用一种多边形（不一定是正多边形）的材料铺地的方案？把你想到的方案画成草图。
（3）请你再画出一个用两种不同的正多边形材料铺地的草图。（2000，某省）
13.如图，是某工厂生产留下的大量三角形废料，量得∠A=75°，∠B＝60°，AB＝60cm，
该厂决定利用这些废铁料，焊成各边都相等的多边形铁块，用作广告牌，请计算你设计的所有焊接铁块的面积（不计焊接间隙的面积）．
14.如图（1）所示是某立式家俱（角书橱）的横断面，请你设计一个方案（角书橱高2米，
房间高2.6米，所以不必从高度方面考虑方案的设计），按此方案，可使该家俱通过图（2）中的长廊搬入房间，在图（2）中把你设计的方案画成草图，并说明按此方案可把家俱搬入房间的理由．（注：搬运过程中不准拆卸家俱，不准损坏墙壁）．（2002，某市）