高一（上）期中数学试卷
题号
一 二 总分 得分
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列表述中正确的是( )
A. {0}=?
B. {(1,2)}={1，2}
C. {?}=?
D. 0∈N
2. 设集合A ={1,2，4，6}，B ={2,3，5}，则韦恩图中
阴影部分表示的集合的真子集个数是( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
3. 已知幂函数y =f(x)的图像过点(3,√3)，则log 2f(2)的值为( )
A. 1
2
B. ?1
2
C. 1
D. ?1
4. 方程x 2=4?lnx 的解所在的区间是( )
A. (0,1)
B. (1,2)
C. (2,3)
D. (3,4)
5. 设a =log?1
32，b =log?12
3，c =(12)0.3，则( ) A. a
C. b D. b 6. 函数的图象y =log 22?x 2+x 的图象( ) A. 关于原点对称 B. 关于直线 y =?x 对称 C. 关于y 轴对称 D. 关于直线y =x 对称 7. 函数y =f(x)的定义域和值域都是(?∞,0)，那么y =f(?x)的图象一定位于( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 设f(x)={x +3,x >10 f(f(x +5)),x ≤10 ，则f(5)的值是( ) A. 24 B. 21 C. 18 D. 16 9. 函数y =xln|x|的大致图象是( ) A. B. C. D. 10. 若函数f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)?g(x)=x 3+x 2+1，则f(2)+ g(2)=( ) A. ?3 B. 3 C. 5 D. ?5 11. 对于给定的正数k ，定义函数f k (x)={f(x),f(x)≤k k,f(x)>k ，若对函数f(x)=2√?x 2+x+2定 义域内的任意x ，恒有f k (x)=f(x)则( ) A. k 的最小值为1 B. k 的最大值为1 C. k 的最小值为2√2 D. k 的最大值为2√2 12. 定义在R 上的函数f(x)满足：①f(0)=0，②f(x)+f(1?x)=1， ③f(x 3)=1 2f(x)且0≤x 1≤x 2≤1时，f(x 1)≤f(x 2)，则f(1 3)+f(1 8)等于( ) A. 1 B. 3 4 C. 1 3 D. 1 2 二、解答题（本大题共10小题，共90.0分） 13. 函数f(x)= 2√3?x lg(x +4)的定义域为______． 14. 函数f(x)=log 12 (x 2?ax +3a)在区间[2,+∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是______． 15. √5+2√6√6?4√2√7?4√3=______． 16. 已知函数f(x)=ln 1+x 1?x ，则关于a 的不等式f(a +1 2) 17. (1)(14)?2 +(6√ 6) ? 13 + √3+√2 √3?√2 4×(? √62 )3 ； (2)log 3√27 4 3 ?log 5[4 1 2 log 210?(3√3)23 ?7log 72]． 18.已知集合A={x|x2+4x=0}，B={x|x2+2(a+1)x+a2?1=0,a∈R}． (Ⅰ)用列举法表示集合A； (Ⅱ)若B∩A=B，求实数a的取值范围． 19.设a>0,f(x)=e x a +a e x 是R上的偶函数． (Ⅰ)求a的值； (Ⅱ)证明f(x)在(0,+∞)上是增函数． 20.(Ⅰ)对于任意的x∈R，都有f(2x?1)+2f(1?2x)=4x，求数f(x)的解析式； (Ⅱ)已知g(x)是奇函数，g(x)+g(y)=g(x+y 1+xy )，若g(a+b 1+ab )=1,g(a?b 1?ab )=2，求 g(a)和g(b)的值． 21.已知函数f(x)=2x?1 ． 2|x| (1)若f(x)=2，求x的值； (2)若mf(t)≥?2t f(2t)对于t∈[2,3]恒成立，求实数m的取值范围． 22.已知实数a<0，函数f(x)=a√1?x2+√1+x+√1?x． (1)设t=√1+x+√1?x，求t的取值范围； (2)将f(x)表示为t的函数?(t)； (3)若函数f(x)的最大值为g(a)，求g(a)． 答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：由集合的性质可知，?表示没有任何元素的集合，而{0}表示有一个元素0，故A错误； {(1,2)}表示有一个元素，是点的集合，而{1,2}表示有2个元素的集合，是数集，故B错误； ?表示没有任何元素的集合，而{?}表示有一个元素?，故C错误； 故选：D． 由集合的性质可知，?表示没有任何元素的集合，而{0}表示有一个元素0，{(1,2)}表示有一个元素，是点的集合，而{1,2}表示有2个元素的集合，是数集，{?}表示有一个元素?，可判断． 本题主要考查元素与集合的关系及集合与集合的关系，属于基础题． 2.【答案】B 【解析】解：∵集合A={1,2，4，6}，B={2,3，5}， ∴韦恩图中阴影部分表示的集合为： (?U A)∩B={3,5}， ∴韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是：22?1=3． 故选：B． 求出韦恩图中阴影部分表示的集合为(?U A)∩B={3,5}，由此能求出韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数． 本题考查补集、交集的求法，考查补集、交集定义、维恩图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 3.【答案】A 【解析】 【分析】 利用待定系数法求出f(x)的表达式即可． 本题主要考查函数值的计算以及幂函数解析式的求解，利用待定系数法是解决本题的关键． 【解答】 解：设f(x)=x α， 则f(3)=3α=√3，解得α=1 2， 则f(x)=√x ，f(2)=√2， 则log 2f(2)=log 2√2=1 2， 故选A ． 4.【答案】B 【解析】解：设函数f(x)=x 2?4+lnx ， 则f(1)=?3<0，f(2)=ln2>0， 故有f(1)?f(2)<0， 由零点的判定定理可知： 函数f(x)=x 2?4+lnx 在区间(1,2)上有零点， 故x 2=4?lnx 解所在区间为(1,2) 故选：B ． 构造函数f(x)=x 2?4+lnx ，可得f(1)?f(2)<0，由零点的判定定理可得答案． 本题考查函数零点的判定定理的应用，属基础题． 5.【答案】D 【解析】 【分析】依据对数的性质，指数的性质，分别确定a 、b 、c 数值的大小，然后判定选项．本题考查对数值大小的比较，分数指数幂的运算，是基础题． 【解答】c =(12)0.3>0，a =log?1 32<0,b =log 123?<0 ，并且log?132>log 133，log?13 3>log 12 3 所以c >a >b 故选：D ． 6.【答案】A 【解析】解：由函数有意义得2?x 2+x >0，解得?2 2+x ，则f(?x)=log 22+x 2?x =?log 2?x 2+x =?f(x)， ∴y =log 22?x 2+x 是奇函数， ∴y =log 22?x 2+x 的图象关于原点对称． 故选A ． 判断函数奇偶性，根据奇偶性得出结论． 本题考查了函数奇偶性的判断与性质，属于基础题． 7.【答案】D 【解析】解：∵y =f(x)的定义域和值域都是(?∞,0)， ∴y =f(x)的图象在第三象限， 又y =f(x)和y =f(?x)的图象关于y 轴对称， ∴y =f(?x)的图象一定位于第四象限． 故选：D ． 可根据条件知y =f(x)的图象位于第三象限，并且可知y =f(x)和y =f(?x)的图象关于y 轴对称，从而便可得出y =f(?x)的所在象限． 本题考查了函数定义域和值域的定义，函数图象的定义，以及y =f(x)和y =f(?x)的图象的对称性，考查了推理能力，属于基础题． 8.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查函数值的求法，是基础题． 由已知条件利用函数的性质得f(5)=f(f(10))=f(f(f(15)))，由分段函数即可得到． 【解析】 解：f(x)={x +3,x >10f(f(x +5)),x ≤10 ， f(5)=f(f(10))=f(f(f((15)))=f(f(18))=f(21)=21+3=24． 故选：A ． 9.【答案】C 【解析】 【分析】 本题考查函数图象的作法，函数图象问题就是考查函数性质的问题． 容易看出，该函数是奇函数，所以排除B 项，再原函数式化简，去掉绝对值符号转化为 分段函数，再从研究x >0时，特殊的函数值符号、极值点、单调性、零点等性质进行判断． 【解答】 解：令f(x)=xln|x|，易知f(?x)=?xln|?x|=?xln|x|=?f(x)，所以该函数是奇函数，排除选项B ； 又x >0时，f(x)=xlnx ，容易判断，当x →+∞时，xlnx →+∞，排除D 选项； 令f(x)=0，得xlnx =0，所以x =1，即x >0时，函数图象与x 轴只有一个交点，所以C 选项满足题意． 故选：C ． 10.【答案】A 【解析】解：∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且满足f(x)?g(x)=x 3+x 2+1， ∴f(?2)?g(?2)=(?2)3+(?2)2+1=?8+4+1=?3， 即f(2)+g(2)=?3， 故选：A ． 根据偶函数和奇函数的性质，利用条件建立方程关系进行求解． 本题主要考查函数值的计算，结合函数奇偶性的性质建立方程是解决本题的关键．比较基础． 11.【答案】C 【解析】解：∵函数f(x)=2√?x 2+x+2定义域为[?1,2]，值域为[1,2√2]， 由已知函数f k (x)={f(x),f(x)≤k k,f(x)>k ， 对于函数定义域内的任意 x ，恒有f K (x)=f(x)， 故k ≥2√2， 即k 的最小值为2√2， 故选：C ． 先求出f(x)的值域，根据函数的新定义，求出k ≥2√2，得出结论． 考查复合函数求值域，分段函数的应用，中档题． 12.【答案】B 【解析】解：根据题意，函数f(x)满足f(0)=0且f(x)+f(1?x)=1， 令x =0可得：f(0)+f(1)=1， 则f(1)=1， 又由f(x 3)=1 2f(x)，则f(1 3)=1 2f(1)=1 2，则f(1 9)=f(1 3×1 3)=1 2f(1 3)=1 4， 在f(x)+f(1?x)=1中，令x =1 2可得：f(1 2)+f(1 2)=1，即f(1 2)=1 2， 则f(1 6)=f(1 3×1 2)=1 2f(1 2)=1 4， 又由0≤x 1≤x 2≤1时，f(x 1)≤f(x 2)，且f(1 6)=f(1 9)=1 4， 则f(1 8)=1 4， 则f(1 3)+f(1 8)=1 2+1 4=3 4； 故选：B ． 根据题意，利用特殊值法分析可得f(1)的值，结合f(x 3)=1 2f(x)分析可得f(1 3)和f(1 9)的值，进而求出f(1 6)的值，结合当0≤x 1≤x 2≤1时，f(x 1)≤f(x 2)分析可得f(1 8)的值，相加即可得答案． 本题考查函数值的计算，涉及抽象函数的求值，属于基础题． 13.【答案】(?4,3) 【解析】解：要使函数有意义，则{x +4>0 3?x >0，即?4 故函数的定义域为(?4,3)， 故答案为：(?4,3)． 根据函数成立的条件进行求解即可． 本题主要考查函数的定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件，属于基础题． 14.【答案】(?4,4] 【解析】解：设t =x 2?ax +3a ，则y =log 1 2t 为减函数， 则若f(x)在区间[2,+∞)上是减函数， 则满足t =x 2?ax +3a ，在区间[2,+∞)上是增函数且t >0恒成立， 即{??a 2≤24?2a +3a >0得{a ≤4a >?4， 得?4 即实数a 的取值范围是(?4,4]， 故答案为：(?4,4] 利用换元法，结合对数函数，一元二次函数以及复合函数单调性之间的关系进行转化求解即可． 本题主要考查复合函数单调性的应用，利用换元法结合对数函数，二次函数的单调性之间的关系是解决本题的关键． 15.【答案】2√2 【解析】解：√5+2√6√6?4√2√7?4√3 =√(√2+√3)2?√(2?√2)2+√(2?√3)2 =√2+√3?(2?√2)+(2?√3) =2√2． 故答案为：2√2． 利用指数性质、运算法则直接求解． 本题考查指数式化简求值，考查指数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16.【答案】(0,1 4) 【解析】解：解1+x 1?x >0得，?1 1?x ?1)， ∴f(x)在(?1,1)上单调递增， ∴由f(a +12) 2<1 ?1<1?a <1a +1 2<1?a ，解得0 4， ∴原不等式的解集为(0,1 4)． 故答案为：(0,1 4)． 可以求出f(x)的定义域为(?1,1)，并得出f(x)=ln(2 1?x ?1)，从而可看出f(x)在定义域上是增函数，从而根据原不等式得，{?1 2<1 ?1<1?a <1a +1 2<1?a ，解出a 的范围即可． 本题考查了分式不等式的解法，对数函数、反比例函数和复合函数的单调性，增函数的定义，考查了计算能力，属于基础题． 17.【答案】解：(1)(14 )?2+(6√ 6) ? 13 √3+√2 √3?√2 +4×(? √62 )3 =16+√6+3+2+2√6?3√6 =21． (2)log 3 √27 4 3 ?log 5[412log 210?(3√3)23?7log 72] =?1 4 ×log 5(10?3?2) =?1 4． 【解析】(1)利用指数的性质、运算法则直接求解． (2)利用对数的性质、运算法则直接求解． 本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 18.【答案】解：(Ⅰ)A ={0,?4}； (Ⅱ)因为A ∩B =B ，所以B ?A ， ①B =?时，则△=[2(a +1)]2?4(a 2?1)=8a +8<0，得a a 2 ?1=0，得a =?1； ③B ={?4}，方程有两相等实根，所以有{8a +8=0 a 2 ?8a +7=0，a 无解； ④B ={0,?4}，方程有两不等实根，所以有{8a +8>0 ?2(a +1)=?4a 2?1=0，得a =1， 综上，a 的取值范围为(?∞,?1]∪{1}． 【解析】(Ⅰ)容易得出A ={0,?4}； (Ⅱ)根据B ∩A =B 可得出B ?A ，从而讨论B =?，B ={0}，B ={?4}，或B ={0,?4}，根据一元二次方程的根和判别式的关系及韦达定理分别求出a 的范围即可． 本题考查了描述法、列举法的定义，一元二次方程的解法，一元二次方程实根的情况和判别式的关系，韦达定理，考查了计算能力，属于基础题． 19.【答案】解：(Ⅰ)依题意，对一切x ∈R 有f(x)=f(?x)，即e x a +a e x =1 ae x +ae x ， 所以(a ?1a )(e x ?1 e x )=0对一切x ∈R 成立． 由此得到a ?1 a =0，即a 2=1． 又因为a >0，所以a =1． (2)证明一：设0 f(x 1)?f(x 2)?e x 1?e x 2+1e x 1?1e x 2=(e x 2?e x 1)(1 e x 1+x 2? 1)=e x 1(e x 2?x 1 ?1)? 1?e x 2+x 1e x 2+x 1 ， 由x 1>0，x 2>0，x 2?x 1>0，得x 1+x 2>0，e x 2?x 1?1>0,1?e x 2+x 1<0.∴f(x 1)?f(x 2)<0，即f(x)在(0,+∞)上是增函数． 证明二：由f(x)=e x +e ?x 得f′(x)=e x ?e ?x =e ?x (e 2x ?1)． 当x ∈(0,+∞)时，有e ?x >0，e 2x ?1>0，此时f′(x)>0． 所以f(x)在(0,+∞)上是增函数． 【解析】本题考查的知识点是函数的奇偶性与函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中档． (Ⅰ)依题意，对一切x ∈R 有f(x)=f(?x)，进而得到a 的值； (Ⅱ)证明一：设0 证明二：由f(x)=e x +e ?x 得f′(x)=e x ?e ?x =e ?x (e 2x ?1)利用导数法可得答案． 20. 【答案】解：(Ⅰ)令t =2x ?1，则1?2x =?t ，2x =t +1，∴f(t)+2f(?t)=2t +2， 以?t 代替t ，得：∴f(?t)+2f(t)=?2t +2， 联立，得f(t)=?2t +2 3∴f(x)=?2x +2 3． (Ⅱ)由已知g(?x)=?g(x)， 再由{g(a+b 1+ab )=g(a)+g(b)=1 g(a?b 1?ab )=g(a)+g(?b)=g(a)?g(b)=2 ， 解得g(a)=32,g(b)=?1 2． 【解析】(Ⅰ)用换元法令t =2x ?1，则1?2x =?t ，2x =t +1，则得出f(t)+2f(?t)=2t +2，再以?t 代替t ，构造方程组，解出f(t)，即得f(x)的解析式； (Ⅱ)根据给出的条件转化为g(a)，g(b)的方程组，解方程组即可． 本题考查了函数解析式的求法，用到了换元法，解方程组法，属于中档题． 21.【答案】解：(1)当x <0时，f(x)=0；当x ≥0时，f(x)=2x ?1 2x .…(2分) 由条件可知 2x ?1 2x =2，即 22x ?2?2x ?1=0， 解得 2x =1±√2.…(6分)∵2x >0，∴x =log 2(?1+√2?).…(8分) (2)当t ∈[2,3]时，2t (?22t ?1 2?)+m(?2t ?1 2?)≥0，…(10分) 即 m(22t ?1)≥?(24t ?1).∵22t ?1>0，∴m ≥?(22t +1).…(13分)∵t ∈[2,3]，∴?(1+22t )∈[?65,?17]， 故m 的取值范围是[?17,+∞).…(16分) 【解析】(1)当x ≤0时得到f(x)=0而f(x)=2，所以无解；当x >0时解出f(x)=2求出x 即可； (2)由t ∈[2,3]时，2t f(2t)+mf(t)≥0对恒成立得到，得到f(t)=2t ?1 2t ，代入得到m 的范围即可． 本题主要考查了函数恒成立问题．属于基础题．恒成立问题多需要转化，因为只有通过转化才能使恒成立问题等到简化；转化过程中往往包含着多种数学思想的综合运用，同时转化过程更提出了等价的意识和要求． 22.【答案】解：(1)由{ 1+x ≥01?x ≥0得{x ≥?1 x ≤1 ，即?1≤x ≤1，即函数的定义域[?1,1].平 方得t 2=2+2√1?x 2， ∴t 2∈[2,4]， ∵t ≥0， ∴t ∈[√2,2]， ∴t 的取值范围是[√2,2].-----------(4分) (2)由(1)知√1?x 2=1 2t 2?1， ∴?(t)=a(1 2t 2?1)+t =12at 2+t ?a ，t ∈[√2,2].-----------(6分) (3)?(t)=a(1 2t 2?1)+t =1 2at 2+t ?a 的对称轴为x =?1 a ． ①当0 a ≤√2即a ≤?√ 2 2 时，g(a)=?(√2)=√2； ②当√2 a ≤2即?√ 2 2 2 时，g(a)=?(?1 a )=?a ?1 2a ； ③当?1a >2即?1