变量间的相关关系讲义
一、基础知识梳理
知识点1：变量之间的相关关系
两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。
注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系（不确定性的关系），如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。
点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系
相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系；函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。
知识点2.散点图.
1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。
2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。
3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。
如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。
注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中趋势，则两个变量可以初步判断具有相关关系，如图中数据大致分布在一条直线附近，则表示的关系是线性相关，如果两个变量统计数据的散点图呈现如下图所示的情况，则两个变量之间不具备相关关系，例如学生的身高和学生的英语成绩就没有相关关系。
点睛：散点图又称散点分布图，是以一个变量为横坐标，另一变量为纵坐标，利用散点（坐标点）的分布形态反映变量统计关系的一种图形。特点是能直观表现出影响因素和预测对象之间的总体关系趋势。优点是能通过直观醒目的图形方式反映变量间关系的变化形态，以便决定用何种数学表达方式来模拟变量之间的关系。散点图不仅可传递变量间关系类型的信息，也能反映变量间关系的明确程度
知识点3：回归直线
（1）回归直线的定义
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线。
（2）回归直线的特征
如果能够求出这条回归直线的方程（简称回归方程），那么我们就可以比较清楚的了解对应两个变量之间的相关性，就像平均数可以作为一个变量的数据的代表一样，这条直线也可以作为两个变量之间具有相关关系的代表。 （3）回归直线方程
一般地，设x 与y 是具有相关关系的两个变量，且相应n 组观测值的n 个点（x i ,y i ）（i=1,2，…，n ）大致分布在
一条直线的附近，求在整体上与这n 个点最接近的一条直线，设此直线方程为?y
bx a =+，这里的y 在上方加上“∧”是为了区分实际值y ，表示当x 取值x i ,y 相应的观察值y i 而直线上对应于x i ,的纵坐标是?y
bx a =+ 点睛：1）散点图中的点整体上分布在一条直线附近时，可以应用线性回归分析的方法分析数据；
2）回归直线是反映：“从整体上看，各点与此直线的距离的和最小”的一条直线，它反映了具有线性相关关系的两个变量之间的规律；
3）我们可以通过回归直线方程，由一个变量的值来推测另一个变量的值，解决生活中的实际问题；这种方法称为回归方法
知识点4：回归系数公式及相关问题
1.最小二乘法：求回归直线的关键是如何用数学的方法刻画从整体上看，各点与此直线的距离最小，假设我们已
经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y 22(,)x y ……(,)n n x y 。当自变量x 取i x （i =1，2，……，n ）时，可以得到?i y
bx a =+（i =1，2，……，n ），它与实际收集到的i y 之间的偏差是?()i i i i y y y bx a -=-+（i =1，2，……，n ）这样用n 个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为
1
?()n i
i
i y y
=-∑，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值1
?n
i
i i y y
=-∑，由于带绝对值计算不方便所以换成平方，2
22221122331
?()()()()()n
i i n n i Q y y
y bx a y bx a y bx a y bx a ==-=--+--+--+???+--∑①现在的问题就归结为：当a ，b 取什么值时Q 最小，即点到直线y=bx+a 的整体距离最小
1
122
21
1
()()()
n n
i
i
i i
i i n
n i
i i i x x y y x y nx y
b x x x nx
a y bx
====---=
=--=-∑∑∑∑②（其中1
1n
i i x x n ==∑，11n i i y y n ==∑） 这种通过求①式的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法。 2.回归直线方程的求法
①先判断变量是否线性相关
②若线性相关，利用公式计算出a,b
③利用回归方程对生活实际问题进行分析与预测
注意：①线性回归直线方程中x 的系数是b ，常数项是a ，与直线的斜截式不大一样，
②如果散点图中的点分布从整体上看不在任何一条直线附近，这时求出的线性回归方程实用价值不大。 点睛：线性回归方程：一般地,设有n 个观察数据如下：
当a,b 使2221122()()...()n n Q y bx a y bx a y bx a =--+--++--取得最小值时,就称?y
bx a =+为拟合这n 对数据的线性回归方程,该方程所表示的直线称为回归直线
知识点5：线性回归分析思想在实际中的应用
教材中利用回归直线对年龄与脂肪的关系做了上述分析，这种分析方法叫做线性回归分析。利用这种分析方法可以对生活中的很多问题进行分析与预测，
求线性回归方程的步骤：计算平均数y x ,
；计算i i y x 与的积，求∑i
i
y
x ；计算
∑2
i
x
；将结果代入公式求a ；
用 x a y b -=求b ；写出回归方程
注意：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a,b 的计算公式，算出,a b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误。 知识点6：利用相关系数判断线性相关程度
最小二乘法求出回归直线的方程后，可以对上面两个变量的关系进行分析与预测，如图
前两个是线性相关，可以求回归方程，后两个是非线性相关，直线不能很好地反映图中两个变量之间的关系。显然求回归直线的方程是没有意义的。有些变量线性相关，有些非线性相关，衡量变量的线性相关程度引入一个量：相关系数
1
22
1
1
()()
()()n
i
i
i n
n
i i i j x x y y r x x y y ===----∑∑∑
注意它的符号：当0r >时，x ，y 正相关，当0r <时，x ，y 负相关，统计学认为：对于r ，若[]1,0.75r ∈--那么负相关很强，若[]0.75,1r ∈，那么正相关很强若(][)0.75,0.30r ∈--∈或r 0.30,0.75，那么相关性一般， 若[]0.25,0.25r ∈-，那么相关性较弱，
点睛：相关系数的绝对值越大，线性相关关系就越强。
二、常考题型例解
易---------------------知识点1
例1：下列两个变量之间是相关关系的是（ ） A 、圆的面积与半径 B 、球的体积与半径 C 、角度与它的正弦值
D 、一个考生的数学成绩与物理成绩
思路分析：由题意知A表示圆的面积与半径之间的关系S=πr2，B表示球的体积与半径之间的关系
3
4
3
r
v
π
=C表
示角度与它的正弦值y=sinα，前面所说的都是确定的函数关系，相关关系不是确定的函数关系，故选D．
解：D
点拨：本题考查变量间的相关关系，判断两个变量间的关系还是函数关系还是相关关系的关键是判断两个变量之间的关系是否是确定的，若确定的则是函数关系；若不确定，则是相关关系．
例2：名师出高徒可以解释为老师的水平越高，学生的水平也越高，那么教师与学生的水平之间有何种关系呢？你能举出更多的描述生活中两变量相关关系的成语与俗语吗？至少写两个。
思路分析：名师出高徒的意思是有名的教师一定能教出高明的徒弟，高水平教师有很大趋势教出高水平的学生，实际学生成绩的好坏还与很多因素有关，如学生的天赋，学生的努力，学习的环境等，所以它们之间的关系带有不确定性即为相关关系。
解：教师的水平与学生的水平之间具有相关关系
生活中描述两个变量之间的相关关系的成语或俗语还有：老子英雄儿好汉，强将手下无弱兵，虎父无犬子2009?宁夏高考中知识点2
例3.对变量x、y有观测数据（x i，y i）（i=1，2，…，10），得散点图1；对变量u，v有观测数据（u i，v i）（i=1，2，…，10），得散点图2．由这两个散点图可以判断（）
A、变量x与y正相关，u与v正相关
B、变量x与y正相关，u与v负相关
C、变量x与y负相关，u与v正相关
D、变量x与y负相关，u与v负相关
思路分析：由题图1可知，y随x的增大而减小，各点整体呈递减趋势，x与y负相关，
由题图2可知，u随v的增大而增大，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．
解：C
点拨：本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，是一个基础题，本题可以粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关
易知识点3
例4：5个学生的数学和物理成绩如下表：
由散点图判断它们是否相关，是正相关还是负相关？
思路分析：分别以数学和物理成绩作为横纵坐标建立直角坐标系，描点画出散点图，然后根据散点图判断。解：以x轴表示数学成绩，y轴表示物理成绩可得到相应的散点图，如图所示
由散点图可知，两者之间具有相关关系，且为正相关．
例5：下表为某地近几年机动车辆数与交通事故数的统计资料，
请判断机动车辆数与交通事故数之间是否有线性相关关系，如果具有线性相关关系，求出线性回归方程；如果不具有线性相关关系，说明理由．
思路分析：根据表中数据画出散点图，观察数据是否集中，判断变量之间关系，再利用最小二乘法计算系数a,b 写出线性回归方程 解：
在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．计算相应的数据之和：
888
8
2
1
1
1
1
1031,71.6,137835,9611.7i
i
i
i i i i i i x y x
x y ========∑∑∑∑，
将它们代入（*）式计算得0.0774, 1.0241b a ≈=-，所以，所求线性回归方程为0.0774 1.0241y x =-． 知识点4
例6：有一位同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计得到了一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为 y^=-2.35x+147.77．如果某天气温为-2℃时，则该小卖部大约能卖出热饮的杯数是（ ）
A 、140
B 、143
C 、152
D 、156
思路分析：∵一个热饮杯数与当天气温之间的线性关系，其回归方程为 y^=-2.35x+147.77． 如果某天气温为-2℃时，即x=-2，
则该小卖部大约能卖出热饮的杯数y=-2.35×（-2）+147.77=152.47≈152 解：C ．
例7：某县教研室要分析学生初中升学的数学成绩对高一年级数学成绩有什么影响，在高一年级学生中随机抽选10名学生，分析他们入学的数学成绩和高一年级期末数学考试成绩（如下表）：
（1）对变量x 与y 进行相关性检验，如果x 与y 之间具有线性相关关系，求出线性回归方程； （2）若某学生入学数学成绩是80分，试估测他高一期末数学考试成绩 思路分析：（1）根据所给的数据利用最小二乘法．写出线性回归方程的系数和a 的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错．
（2）将x=80代入所求出的线性回归方程中，得y=8分，即这个学生的高一期末数学考试成绩预测值为84分 解：（1）设所求的线性回归方程为y=ax+b
最小二乘法可以写出
因此所求的线性回归方程y=0.742x+23.108
（2）将x=80代入所求出的线性回归方程中，
得y=84分，即这个学生的高一期末数学考试成绩预测值为84分
点拨：利用回归方程可以对总体进行预测估计，回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸，使我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制，依据自变量的取值估计和预报因变量的值，在现实生活中有广泛的应用知识点5
例8：某种产品的广告费用支出x万元与销售额y万元之间有如下的对应数据：
（1）根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程；
（2）据此估计广告费用为10万元时，所得的销售收入
知识点6
例9：一台机器使用的时间较长，但还可以使用，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺点，每小时生产有缺点零件的多少，随机器的运转的速度而变化，下表为抽样试验的结果：
（1）利用散点图或相关系数r的大小判断变量y对x是否线性相关？为什么？
（2）如果y对x有线性相关关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺点的零件最多为10个，那么机器的运转速度应控制在什么范围内？
，
（最后结果精确到0.001．参考数据：656.2525.617
16×11+14×9+12×8+8×5=438，162+142+122+82=660，112+92+82+52=291）
思路分析：（1）利用所给的数据做出两个变量的相关系数，得到相关系数趋近于1，得到两个变量具有线性相关关系．
（2）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．
（3）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．
三、典例方法详析
考点1：相关关系
方法：两个变量间的关系。相关关系是一种非确定的关系，也不一定是因果关系。如产品销售额与广告费的投入关系。
例10：下面哪些变量是相关关系（）
A、出租车费与行驶的里程
B、房屋面积与房屋价格
C、人的身高与体重
D、铁块的大小与质量
思路分析：由出租车费与行驶的里程、房屋面积与房屋价格和铁块的大小与质量知它们都是确定的函数关系，故A、B、C不对，根据经验知人的身高会影响体重但不是唯一因素，故是相关关系．从而得出正确答案．
解：A、由出租车费与行驶的里程的公式知，是确定的函数关系，故A不对；
B、房屋面积与房屋价格，是确定的函数关系，故B不对；
C、人的身高会影响体重，但不是唯一因素，故C对；
D、铁块的大小与质量，是确定的函数关系故D不对．
故选C．
考点2：散点图
方法：根据所给数据分别作为点的横纵坐标在直角坐标系内描点，画图。
例11：某研究小组在一项实验中获得一组数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中，最能近似刻画y 与t之间关系的是（）
A、y=2t
B、y=2t2
C、y=t3
D、y=log2t
思路分析：根据所给的散点图，观察出图象在第一象限，单调递增，并且增长比较缓慢，一般用对数函数来模拟，在选项中只有一个底数是2的对数函数，
解：D．
综合技能提升
考点3：回归方程
方法：利用最小二乘法的思想，根据线性回归方程系数公式建立回归方程，估计和预测取值，从而获得对两个变量之间整体关系的了解。
例12.在某种产品表面进行腐蚀刻线试验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间x的一组数据如表所示：
（1）画出数据的散点图；
（2）根据散点图，你能得出什么结论？
（3）求回归方程．
思路分析：（1）由图表可以知道有（5，6）（10，10）（15，11）（20，13）（30，16）（40，17）（50，19）（60，23）点的坐标，在坐标系中描出点的坐标，得到散点图．
（2）散点图呈带状分布，x与y是具有相关关系的两个变量，且对应n组观测值的n个点大致分布在一条直线附近．
（3）计算得r=0.979307992＞0.75．x与y有很强的线性相关关系，做出横标和纵标的平均数，利用最小二乘法做出回归直线方程的系数，得到回归直线方程．
解：（1）由图表可以知道有（5，6）（10，10）（15，11）（20，13）
（30，16）（40，17）（50，19）（60，23），
在坐标系中得到散点图如图所示
（2）结论：x与y是具有相关关系的两个变量，且对应n组观测值的n个点大致分布在一条直线附近，
其中整体上与这n个点最接近的一条直线最能代表变量x与y之间的关系．
（3）计算得r=0.979307992＞0.75．
x与y有很强的线性相关关系，
xˉ=5+10+15+20+30+40+50+608=28.75
yˉ=6+10+11+13+16+17+19+238=14.25
由计算器计算得a^=6.616438≈6.62，
b^=0.269863≈0.27，
∴ y^=6.62+0.27x．
四、学法对应题练
1、下列选项中，两个变量具有相关关系的是（）
A、正方形的面积与周长
B、匀速行驶车辆的行驶路程与时间
C、人的身高与体重
D、人的身高与视力
分析：由正方形的面积与周长的公式和匀速直线运动的路程公式知它们都是确定的函数关系，故A、B不对，根据经验知人的身高会影响体重但不是唯一因素，故是相关关系；人的身高与视力无任何关系，故选C．
2、下列变量关系是相关关系的是（）
①家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系
②教师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩之间的关系；
④学生的学习态度与学习成绩之间的关系．
A、①②
B、①③
C、②③
D、②④
分析：对于①，家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系没有关系，所以①不是；对于②，教师的执教水平与学生的学习成绩之间的有关系，但不确定；是相关关系，所以②是；对于③，学生的身高与学生的学习成绩之间没有关系；所以③不是；对于④，学生的学习态度与学习成绩之间有关系，但关系不确定；所以是相关关系，所以④是．故选D．
学法指导
考查了两个变量之间具有相关关系的定义，根据学过公式和经验进行逐项验证，一定要和函数关系区别出来．
3.在画两个变量的散点图时，下面哪个叙述是正确的（）
A、预报变量x轴上，解释变量y轴上
B、解释变量x轴上，预报变量y轴上
C、可以选择两个变量中任意一个变量x轴上
D、可以选择两个变量中任意一个变量y轴上
分析：∵通常把自变量称为解析变量，因变量称为预报变量，∴故解释变量为自变量，预报变量为因变量．故选B
4. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对照数据．
（1）请画出上表数据的散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y=b^x+a^；
（3）已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据（2）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3×2.5+4×3+5×4+6×4.5=66.5）
学法指导
本题考查散点图，是通过读图来解决问题，考查读图能力，是一个基础题，本题可以粗略的反应两个变量之间的关系，是不是线性相关，是正相关还是负相关．
5（2010?临颍县）已知回归直线斜率的估计值是1.23，样本平均数xˉ=4，yˉ=5，则该回归直线方程为（）A、y^=1.23x+4 B、y^=1.23x+0.08 C、y^=0.08x+1.23 D、y^=1.23x+5
思路分析：根据回归直线斜率的估计值是1.23，得到线性回归方程是y=1.23x+b，根据横标和纵标的值得到样本中心点，把中心点代入方程求出b的值．
解答：解：∵回归直线斜率的估计值是1.23，∴线性回归方程是y=1.23x+b
∵样本平均数xˉ=4，yˉ=5，∴样本中心点是（4，5）∴5=1.23×4+a∴a=0.08，
∴线性回归方程是y=1.23x+0.08，故选B．
点评：本题考查线性回归方程的写法，解题的关键是知道线性回归直线一定过样本中心点，把样本中心点代入求出b的值，注意数字的运算．
6、某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：万元）之间有如下对应数据：
（Ⅰ）画出散点图；
（Ⅱ）求回归直线方程；
（Ⅲ）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
思路分析：本题考察的知识点是散点图及回归直线方程的求法，
（1）根据表中数据描点即可得到散点图．
（2）由表中数据，我们不难求出x，y的平均数，及xi2的累加值，及xiyi的累加值，代入回归直线系数计算公式，即可求出回归直线方程．
（3）将预报值10万元代入回归直线方程，解方程即可求出相应的销售额．
解：（Ⅰ）根据表中所列数据可得散点图如下：
（Ⅱ）xˉ=2+4+5+6+85=5，
yˉ=30+40+50+60+705=50
又已知∑i=15xi2=145，∑i=15xiyi=1380．
于是可得：b^=i=1∑5xiyi-xˉyˉi=1∑5xi2-5x-2= 1380-5×5×50145-5×5×5=6.5
a^=yˉ-b^xˉ=50-6.5×6=17.5
因此，所求回归直线方程为：y?=6.5x+17.5
（Ⅲ）根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
y?=6.5×10+17.5=82.5（万元）
即这种产品的销售收入大约为82.5万元
点拨：用二分法求回归直线方程的步骤和公式要求大家熟练掌握，线性回归方程必过样本中心点(xˉ，yˉ)．是两
个系数之间的纽带，希望大学注意．
学法指导
本题考查散点图，考查从散点图观察两个变量之间的相关关系，考查线性回归直线方程的写法，是一个综合题，运算量比较大，注意像这种考运算的问题不要出错．
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
变量之间的关系 试卷简介:变量的相关概念，用表格、关系式、图象表示变量之间的关系 一、单选题(共12道，每道7分) 1.在一次实验中,小明把一根弹簧的上端固定,在其下端悬挂物体.下面是测得的弹簧长度y与所挂物体质量x的一组对应值: 下列有关表格的分析中,不正确的是( ) A.表格中两个变量是所挂物体质量和弹簧长度 B.自变量是所挂物体质量 C.在允许范围内,所挂物体质量越大,弹簧长度就越长 D.所挂物体质量随弹簧长度的变化而变化 答案：D 解题思路：所挂物体质量x是自变量，弹簧长度y是因变量，弹簧长度y随着所挂物体质量的变化而变化，故正确选项是D 试题难度：三颗星知识点：变量之间的关系 2.中国电信公司电话收费标准:前3分钟(不足3分钟按3分钟计算)为0.2元,3分钟后每分钟收0.1元,则通话时间x分钟(x>3)与通话费用y之间的函数关系是( ) A.y=0.1x+0.2 B.y=0.1x C.y=0.1x-0.1 D.y=0.1x+0.5 答案：C 解题思路：当通话时间超过3分钟时，计费分为两段，第一段是前3分钟话费为0.2元，第二段是超过3分钟的部分，超出部分时间为（x-3），超出部分的话费为0.1（x-3），故总的话费为y=0.2+0.1（x-3），化简的结果为y=0.1x-0.1，故正确选项为C 试题难度：三颗星知识点：变量之间的关系 3.如图,当输入数值x为-2时,输出数值y是( )
A.4 B.6 C.8 D.10 答案：B 解题思路：输入-2，-2<1则代入y=-0.5x+5=-0.5×（-2）+5=6，故正确选项是B 试题难度：三颗星知识点：变量之间的关系 4.一天,小军和爸爸去登山,已知山脚到山顶的路程为200米,小军先走了一段路程,爸爸才开始出发,图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程s(米)与登山所用的时间t(分钟)的图象关系(从爸爸开始登山时计时).根据图象,下列说法错误的是( ) A.爸爸开始登山时,小军已走了50米 B.爸爸走了5分钟,小军仍在爸爸的前面 C.小军比爸爸晚到山顶 D.10分钟以后小军还在爸爸的前面 答案：D 解题思路：横轴表示时间，纵轴表示小军和爸爸离开山脚登山的路程，由于小军先出发，所以当时小军先出发，10分钟时2人相遇，之前小军在爸爸前面，之后爸爸赶超小军先到达山顶. 试题难度：三颗星知识点：变量之间的关系 5.如图所示的图象描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的变化关系,下列说法中错误的是( )
3．2用关系式表示的变量间关系 1．理解两个变量之间的关系可以用关系式表示，能在一个关系式中指出自变量和因变量； 2．能够在具体的情境中列出表示变量关系的关系式．(重点，难点) 一、情境导入 汽车以60km/h的速度匀速行驶，行驶里程为s km，行驶时间为t h. 先填写下表： 在以上这个过程中，t的式子表示s：________． 二、合作探究 探究点：用关系式表示变量间关系 【类型一】列关系式表示变量之间的关系 一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s(m)与时间t(s) 的数据如下表： 写出用t表示s的关系式：________． 解析：观察表中给出的t与s的对应值，再进行分析，归纳得出关系式．t＝1时，s＝2×12；t＝2时，s＝2×22；t＝3时，s＝2×32；t＝4时，s＝2×42，…所以s与t的关系式为s＝2t2，其中t≥0.故答案为s ＝2t2(t≥0)． 方法总结：本题以关系式法表示时间t与距离s之间的关系，认真观察分析s随t的变化而变化的规律是列出关系式的关键． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题 【类型二】用关系式表示图形的变化规律 图中的圆点是有规律地从里到外逐层排列的．设y为第n层(n为正整数)圆点的个数，则下列函 数关系中正确的是() A．y＝4n－4 B．y＝4n C．y＝4n＋4 D．y＝n2
解析：由图可知n＝1时，圆点有4个，即y＝4；n＝2时，圆点有8个，即y＝8；n＝3时，圆点有12个，即y＝12，∴y＝4n.故选B. 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第9题 【类型三】列关系式并求值 已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米． (1)写出剩余水的体积Q(立方米)与时间t(小时)之间的函数关系式； (2)6小时后池中还有多少水？ (3)几小时后，池中还有200立方米的水？ 解析：(1)根据“抽水时间×抽水速度＝抽水量”，“蓄水量－抽水量＝剩余水量”解题即可；(2)根据自变量与因变量的关系式，可得自变量相应的值；(3)根据自变量与因变量的关系式，可得相应自变量的值． 解：(1)Q＝800－50t(0≤t≤16)； (2)当t＝6时，Q＝800－50×6＝500(立方米)． 答：6小时后，池中还剩500立方米的水； (3)当Q＝200时，800－50t＝200，解得t＝12. 答：12小时后，池中还有200立方米的水． 方法总结：利用关系式，根据任何一个自变量的值求出相应因变量的值，其实质是代数式求值，根据因变量的值求出相应自变量的值，其实质是解方程． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第6题 【类型四】关系式与表格的综合 一辆加满汽油的汽车在匀速行驶中，油箱中的剩余油量Q(L)与行驶的时间t(h)的关系如下表所 示： (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ (2)随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势是怎样的？ (3)请直接写出Q与t的关系式，并求出这辆汽车在连续行驶6h后，油箱中的剩余油量； (4)这辆车在中途不加油的情况下，最多能连续行驶的时间是多少？ 解析：(1)认真分析表中数据可知，油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，再根据自变量、因变量的定义找出自变量和因变量；(2)由表中数据可知随着行驶时间的不断增加，油箱中剩余油量的变化趋势；(3)由分析表中数据可知，每行驶1h消耗油量为7.5L.然后根据此关系写出油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的代数式；(4)根据图表可知汽车行驶每小时耗油7.5L，油箱原有汽油54L，即可求出油箱中原有汽油可以供汽车行驶多少小时． 解：(1)表中反映的是油箱中剩余油量Q(L)与行驶时间t(h)的变量关系，时间t是自变量，油箱中剩余
变量之间的关系练习（1）附答案 一、选择题（每题3分，共24分） 1．老师骑车外出办事，离校不久便接到学校到他返校的紧急，老师急忙赶回学校．下面四个图象中，描述老师与学校距离的图象是（） 2．秋天到了，葡萄熟了，一阵微风吹过，一颗葡萄从架上落下来，葡萄下落过程中速度与时间的大致图像是（ ） 3．某同学从学校走回家，在路上遇到两个同学，一块儿去文化宫玩了会儿，然后回家，下列象能刻画这位同学所剩路程与时间的变化关系的是（） 4．某人骑车外出，所走的路程s（千米）与时间t（小时）的关系如图1所示，现有下列四种说法：①第3小时中的速度比第1小时中的速度快；②第3小时中的速度比第1小时中的速度慢；③第3小时后已停止前进；④第3小时后保持匀速前进．其中说确的是Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ． Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
（ ） A ．②③ B ．①③ C ．①④ D ．②④ 5．某校办工厂今年前5个月生产某 种产品总量（件）与时间（月） 的关系如图2所示，则对于该厂 生产这种产品的说确的是（ ） A ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月生产总量逐月减少 B ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月生产总量与3月持平 C ．1月至3月生产总量逐月增加，4，5两月均停止生产 D ．1月至3月生产总量不变，4，5两月均停止生产 6．如图3是反映两个变量关系的图，下列的四个情境比较合适该图的是（ ） A ．一杯热水放在桌子上，它的水温与时间的关系 B ．一辆汽车从起动到匀速行驶，速度与时间的关系 C ．一架飞机从起飞到降落的速度与时晨的关系 D ．踢出的足球的速度与时间的关系 7．如图4，射线l 甲，l 乙分别表示甲、乙两名运动员在自行车比赛 中所走路程与时间的关系，则图中显示的他们行进的速度关系 是（ ） A ．甲比乙快 B ．乙比甲快 C ．甲、乙同速 D ．不一定 8．2004年6月3日中央新闻报道．为鼓励居民节约用水，市将出台新的居民用水收费标准：①若每月每户居民用水不超过4立方米，则按每立方米2元计算；②若每月每户居 图2 图3 图4
变量间的相关关系同步练习题 1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与体重 C. 匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D. 球的半径与体积 2. 两个变量成负相关关系时，散点图的特征是（ ） A. 点散布在从左下角到右上角的区域内 B. 点散布在某带形区域内 C. 点散布在某圆形区域内 D. 点散布在从左上角到右下角的区域内 3. 由一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ），得到回归方程a bx y +=∧ ，那么下面说法不正确的是（ ） A. 直线a bx y +=∧ 必经过点（x ，y ） B. 直线a bx y +=∧至少经过点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）中的一个点 C. 直线a bx y +=∧的斜率为 ∑∑==--n 1 i 2 2i n 1 i i i x n x y x n y x D. 直线a bx y +=∧ 和各点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）的偏差 ()[]∑=+-n 1 i 2 i i a bx y 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线 4. 若施化肥量x （单位：kg ）与水稻产量y （单位：kg ）的回归方程为250x 5y +=∧ ，则当施化肥量为80kg 时，预计水稻产量为___________。 5. 相关关系与函数关系的区别是___________。 （1）作出这些数据的散点图； （2）通过观察这两个变量的散点图，你能得出什么结论？ 7. 某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究回收率y 和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得： ∑==8 1 i i 52x ， ∑==8 1 i i 228y ， ∑=8 1 i 2 i x 478=， ∑==8 1 i i i 1849y x ，则y 与x 的回归方程是（ ） A. x 62.247.11y +=∧ B. x 62.247.11y +-=∧ C. x 47.2262.2y +=∧ D. x 62.247.11y -=∧
第五节 变量间的相关关系、统计案例 知识梳理 1．散点图． (1)将变量所对应的点描出来，就组成了变量之间的一个图， 这种图为变量之间的________． (2)从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势可用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合． 答案：1.（1）散点图 2．相关关系． (1)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为____________；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为____________． (2)线性相关：从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做____________． (3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，则称此相关是______________的．如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． 答案：2.（1）正相关 （2）回归直线 （3）非线性相关 3．回归直线． (1)最小二乘法：如果有n 个点：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )可以用下面的表达式来刻画这些点与回归直线的接近程度： [y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2，使得上式达到最小值的y ^＝b ^x ＋a ^ 就是我们要求的直线，这种方法称为最小二乘法． (2)在回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i －x y i －y ∑i ＝1 n x i －x 2 ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x ·y ∑i ＝1 n x 2 i －n x 2 ，a ^1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系． 2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程． 3.了解下列两种常用的统计方法，并能应用这些方法解决一些实际问题． (1)独立检验：了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用； (2)回归分析：了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．
变量之间的关系（讲义） ?课前预习 1.如图，小明和课外小组一起利用同一块木板，测量了小车从不同高度下滑的时 间，他们得到如下数据： （2）如果用h表示支撑物的高度，t表示小车下滑时间，随 着h逐渐变大，t的变化趋势是什么？ （3）h每增加10 cm，t的变化情况相同吗？ （4）随着支撑物高度h的变化，哪些量发生了变化？哪些量 始终不发生变化？
? 知识点睛 1. 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为______，数值始终不变的量为 ______；变量分为______和________． 2. 表示变量之间的关系通常有三种方法，它们是__________、_____________、 __________． 3. 看图的方法：____________、___________、___________． ? 精讲精练 1. 在一次实验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂物体．下面是测得的 弹簧长度y 与所挂物体质量x 的一组对应值． 个是因变量？ （2）当所挂物体质量为3 kg 时，弹簧多长？不挂重物时，弹 簧多长？ （3）若所挂物体质量为7 kg （在允许范围内），你能说出此时 的弹簧长度吗？ 2. 如图，若输入x 的值为-5，则输出的结果是_______；若输入x 的值为5，则输出 的结果是_______．
3. 如图是某地一天的气温随时间变化的图象，根据图象回答： （1）在这一天中，什么时间气温最高？什么时间气温最低？ 最高气温和最低气温各是多少？ （2）20 h 的气温是多少？ （3）什么时间气温为6 ℃？ （4）哪段时间内气温保持不变？ 4. 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段后开始匀速行驶，过了一段时间后，汽 车减速到达下一个车站，乘客上下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶，下面哪一个图可以近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况？（ ） A ． B ． C ． D ．
课题：§2.3.1变量之间的相关关系 一．教学任务分析: （1）通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断. (3) 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用. 二．教学重点与难点： 教学重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系. 教学难点：理解变量间的相关关系. ↓ ↓ ↓ 1．创设情景，揭示课题 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度,所以说，函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系. 生活中存在着许多相关关系的问题: 问题1：商品销售收入与广告支出之间的关系. 问题2:粮食产量和施肥量之间的关系. 问题3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系. 由上述问题我们知道,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变量取
值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系. 2.两个变量的线性相关 问题4: 在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 问题5:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 根据上述数据,气温与热茶销售量之间的有怎样的关系? 学生活动:为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下
变量间的相关关系 一、教材分析 学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算基础。 教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究选修2-3第三章 3.2节回归分析思想的应用奠定基础。 二、教学目标 1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的推导过程，求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。 2 、过程与方法： ①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力。 3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。 三、教学重点、难点 重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回归方程。 难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解，教学实施过程中的难点是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 四、教学设计） （一）、创设情境导入新课 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”。通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。 （二）、初步探索，直观感知 1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 一个点。
变量之间的关系 【学习目标】 1．知道现实生活中存在变量和常量，变量在变化的过程中有其固有的范围（即变量的取值范围）； 2．感受生活中存在的变量之间的依赖关系. 3．能读懂以不同方式呈现的变量之间的关系. 4. 能用适当的方式表示实际情境中变量之间的关系，并进行简单的预测. 【要点梳理】 要点一、变量、常量的概念 在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量.数值始终不变的量叫做常量. 要点诠释：一般地，常量是不发生变化的量，变量是发生变化的量，这些都是针对某个变化过程而言的.例如，60s t =，速度60千米/时是常量，时间t 和里程s 为变量. t 是自变量，s 是因变量. 要点二、用表格表示变量间关系 借助表格，我们可以表示因变量随自变量的变化而变化的情况. 要点诠释：表格可以清楚地列出一些自变量和因变量的对应值，这会对某些特定的数值带来一目了然的效果，例如火车的时刻表，平方表等. 要点三、用关系式表示变量间关系 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法.利用关系式（如3y x =），我们可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 要点诠释：关系式能揭示出变量之间的内在联系，但较抽象，不是所有的变量之间都能列出关系式. 要点四、用图象表示变量间关系 图象是我们表示变量之间关系的又一种方法，它的特点是非常直观.用图象表达两个变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量. 要点诠释：图象法可以直观形象地反映变量的变化趋势，而且对于一些无法用关系式表达的变量，图象可以充当重要角色. 【典型例题】 类型一、常量、自变量与因变量 1、对于圆的周长公式C=2πR ，下列说法正确的是（ ） A ．π、R 是变量，2是常量 B ．R 是变量，π是常量 C ．C 是变量，π、R 是常量 D ．C 、R 是变量，2、π是常量 【思路点拨】常量就是在变化过程中不变的量，变量是指在变化过程中随时可以发生变化的量． 【答案】D ； 【解析】 解：C 、R 是变量，2、π是常量． 【总结升华】本题主要考查了常量，变量的定义，是需要识记的内容．
变量之间的关系2 知识点1 自变量与因变量的区别与联系 联系：两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，路程随时间的变化而变化，这时速度为自变量，时间为因变量。而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间是自变量，路程是因变量。 区别：因变量随自变量的变化而变化。 【典型例题】 （1）上表反映了哪两个变量的关系？自变量和因变量各是什么？ （2）12时，水位是多高？ （3）哪一段水位上升最快？ 【练习】 (1)上述哪些量在变化？自变量和因变量分别是什么？ (2)第5排、第6排各有多少个座位？ (3)第n排有多少个座位？请说明你的理由。 2、父亲告诉小明：“距离地面越远，温度越低”，小明并且出示了下面的表格： （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）如果用h表示距离地面的高度，用t表示温度，那么随着h的变化，t如何变化？（3）你知道距离地面5千米的高空温度是多少吗？ （4）你能预测出距离地面6千米的高空温度是多少吗？
（1）本题中如果用x表示路程，y表示费用，哪个是自变量，哪个是因变量？x≥5千米后，随着x的增大，y的变化趋势是什么？ （2）B种出租车从3千米以后起，路程每增加1千米，费用怎么样变化？ （3）预测路程为10千米时，两种车费各是多少？ （4）当行驶为4千米时，你选择坐那种车？行驶路程为8千米时，你选择坐那种车？ 4．一个弹簧不挂物体时，长12厘米，挂上1千克物体后，弹簧总长（12+0.5）厘米，?挂上 2千克物体后，弹簧总长（12+0.5×2）厘米，挂上3千克物体后，弹簧总长（12+0.5×3）厘 米…… （1）上述哪些量在发生变化？自变量是什么？因变量又是什么？ （2 （3 （4）估计一下挂上10千克物体后，弹簧的长度是多少？你是如何估计的？ ⑵如果用x表示弹性限度内物体的质量，用y表示弹簧的长度，那么随着x的变化，y的变化趋势如何？写出y与x的关系式. ⑶如果此时弹簧最大挂重量为25千克，你能预测当挂重为14千克时，弹簧的长度是多少？
相关系数是变量之间相关程度的指标。样本相关系数用r表示,总体相关系数用ρ表示,相关系数的取值一般介于-1～1之间。相关系数不是等距度量值,而只是一个顺序数据。计算相关系数一般需大样本. 相关系数又称皮（尔生）氏积矩相关系数，说明两个现象之间相关关系密切程度的统计分析指标。 相关系数用希腊字母γ表示，γ值的范围在-1和+1之间。 γ＞0为正相关，γ＜0为负相关。γ＝0表示不相关； γ的绝对值越大，相关程度越高。 两个现象之间的相关程度，一般划分为四级： 如两者呈正相关，r呈正值，r=1时为完全正相关；如两者呈负相关则r呈负值，而r=-1时为完全负相关。完全正相关或负相关时，所有图点都在直线回归线上；点子的分布在直线回归线上下越离散，r的绝对值越小。当例数相等时，相关系数的绝对值越接近1，相关越密切；越接近于0，相关越不密切。当r=0时，说明X和Y两个变量之间无直线关系。 相关系数的计算公式为<见参考资料>. 其中xi为自变量的标志值；i＝1，2，…n；■为自变量的平均值， 为因变量数列的标志值；■为因变量数列的平均值。 为自变量数列的项数。对于单变量分组表的资料，相关系数的计算公式<见参考资料>. 其中fi为权数，即自变量每组的次数。在使用具有统计功能的电子计算机时，可以用一种简捷的方法计算相关系数，其公式<见参考资料>. 使用这种计算方法时，当计算机在输入x、y数据之后，可以直接得出n、■、∑xi、∑yi、∑■、∑xiy1、γ等数值，不必再列计算表。 简单相关系数： 又叫相关系数或线性相关系数。它一般用字母r 表示。它是用来度量定量变量间的线性相关关系。 复相关系数: 又叫多重相关系数 复相关是指因变量与多个自变量之间的相关关系。例如，某种商品的需求量与其价格水平、职工收入水平等现象之间呈现复相关关系。 偏相关系数： 又叫部分相关系数：部分相关系数反映校正其它变量后某一变量与另一变量的相
第四章 《变量之间的关系》复习题（B 卷） 1、某产品生产流水线每小时生产100件产品，生产前无产品积压，生产3小时后，安排工人装箱，若每小时装150件，则未装箱产品数量y 与时间t 关系图为（ ） A ． B ． C ． D ． 2、小明一出校门先加速行驶，然后匀速行驶一段后，在距家门不远的地方开始减速，最后停止，下面的图（ ）可以近似地刻画出他在这一过程中的时间与速度的变化情况. （A ） （B ） （C ） （D ） 3、“健康重庆”就是要让孩子长得壮，老人寿命更长，全民生活得更健康．为了响应“健康重庆”的号召，小明的爷爷经常坚持饭后走一走．某天晚饭后他慢步到附近的融侨公园，在湖边亭子里休息了一会后，因家中有事，快步赶回家．下面能反映当天小明的爷爷所走的路程y 与时间x 的关系的大致图象是（ ） 4、柿子熟了从树上自然掉落下来，下面哪一幅图可以大致刻画出柿子下落过程中（即落地前）的速度变化情况（ ）. 时间 时间 速度 时间 时间 速度 速度 速度 （C ） O （D ） O 时间 速度 （B ） O 时间 速度 O 时间 （A ）
5、如图，一只蚂蚁以均匀的速度沿台阶12345A A A A A →→→→爬行，那么蚂蚁爬行的高度．．h 随时间t 变化的图象大致是（ ） 5、百舸竞渡，激情飞扬. 为纪念爱国诗人屈原，长寿区在长寿湖举行了龙舟赛. 如图是甲、乙两支龙舟队在比赛时的路程s （米）与时间t （分钟）之间关系的图象，请你根据图象回答下列问题： （1）1.8分钟时，哪支龙舟队处于领先地位? （2）在这次龙舟比赛中，哪支龙舟队先到达终点? （3）比赛开始多少时间后，先到达终点的龙舟队就开始领先? 6．为了鼓励小强勤做家务，培养劳动意识，小强每月的总费用等于基本生活费加上奖 励(奖励由上个月他的家务劳动时间确定)．已知小强4月份的家务劳动时间为20小时， 他5月份获得了400元的总费用．小强每月可获得的总费用与他上月的家务劳动时间之 间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题． （1）上述变化过程中，自变量是_______， 因变量是_______； （2）小强每月的基本生活费为________元． （3）若小强6月份获得了450元的总费用， 则他5月份做了_______小时的家务． （4）若小强希望下个月能得到120元奖励， 则他这个月需做家务________小时． 3.4 1A 2A 3A 4A 5A O h t A ． O h t B ． O h t C ． O h t D ．
第3节变量间的相关关系与统计案例 【最新考纲】 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 【高考会这样考】考查回归分析、独立性检验的基本思想和简单应用． 要点梳理 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)， 其回归方程为y^＝b^x＋a^__，则b^＝∑ n i＝1 （x i－x－）（y i－y－） ∑ n i＝1 （x i－x－）2 ＝ ∑ n i＝1 x i y i－nx－y－ ∑ n i＝1 x2i－nx－2 ，a^＝y－－b^x－.其中， b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心(x－，y－). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
用表格表示变量之间的关系 一、选择题（共3小题，每小题3分，满分9分） 1．我们知道，圆的周长公式是：C=2πr，那么在这个公式中，以下 7．下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：
8．下表给出了橘农王林去年橘子的销售额（元）随橘子卖出质量（千克）的变化的有关数据： （1） 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当橘子卖出5千克时，销售额是多少？ （3）估计当橘子卖出50千克时，销售额是多少？ 9．一次试验中，小明把一根弹簧的上端固定，在其下端悬挂砝码，下面是测得的弹簧长度y（cm）与所挂砝码的质量x（g）的一组对应值： （1）表中反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）弹簧的原长是多少？当所挂砝码质量为3g时，弹簧的长度是多少？ （3）砝码质量每增加1g，弹簧的长度增加 c m． 10．在烧开水时，水温达到l00℃就会沸腾，下表是某同学做“观察
水的沸腾”实验时记录的数据： （1）上表反映了哪两个量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）水的温度是如何随着时间的变化而变化的？ （3） 时间推移2分钟，水的温度如何变化？ （4）时间为8分钟，水的温度为多少？你能得出时间为9分钟时，水的温度吗？ （5）根据表格，你认为时间为16分钟和18分钟时水的温度分别为多少？ （6）为了节约能源，你认为应在什么时间停止烧水？ 11．金融危机虽然给世界各国带来不小的冲击，但某公司励精图治，决定投资开发新项目，通过考察确定有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表： 所需资金/亿元124678 预计年利润/千 万元0.20.350.550.70.91 （1） 上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有多少？（3）如果要预计获得0.9千万元的年利润，投资一个项目需要多少资金？ （4）如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资，可以有几种投资方案？哪种方案年利润最大？最大是多少？
第二章统计 2.3变量间的相关关系 2.3.1变量之间的相关关系 学习目标 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据,认识变量间的相关关系. 2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系. 合作学习 一、设计问题,创设情境 问题1:某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍,经有人统计发现了一个有趣的现象,如果村庄附近栖息的天鹅多,那么这个村庄的婴儿出生率也高,天鹅少的地方婴儿的出生率低,于是,他就得出一个结论:天鹅能够带来孩子.你认为这样得到的结论可靠吗?如何证明这个结论的可靠性? 问题2:(1)“粮食产量与施肥量有关系吗?”“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高,学生的水平也越高.教师的水平与学生的水平有什么关系?你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗? (2)两个变量间的相关关系是什么?有几种? (3)怎样判断两个变量之间是否具有相关关系? 二、信息交流,揭示规律 问题2讨论结果: 散点图 :
分析数据:大体上来看,随着年龄的增加,人体中脂肪的百分比也在增加.我们可以作散点图来进一步分析. 散点图的概念:将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图,如图. 从散点图可以看出,年龄越大,体内脂肪含量越高.图中点的趋势表明两个变量之间确实存在一定的关系,这个图支持了我们从数据表中得出的结论. (a.如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系.b.如果所有的样本点都落在某一函数曲线附近,变量之间就有相关关系.c.如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.) 三、运用规律,解决问题 【例1】下列关系中,带有随机性相关关系的是. ①正方形的边长与面积之间的关系 ②水稻产量与施肥量之间的关系 ③人的身高与年龄之间的关系 ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系 【例2】有关法律规定,香烟盒上必须印上“吸烟有害健康”的警示语.吸烟是否一定会引起健康问题?你认为“健康问题不一定是由吸烟引起的,所以可以吸烟”的说法对吗? 四、变式训练,深化提高 1.对课间操的分数与学习成绩作出相关分析,并且将结论与同学们交流. 2.有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给
高二期末数学变量间的相关关系必背知识点梳 理 数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。小编准备了高二期末数学变量间的相关关系必背知识点，希望你喜欢。 基础知识梳理 知识点1：变量之间的相关关系 两个变量之间的关系可能是确定的关系(如：函数关系)，或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系;当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系，如长方体的高与体积之间的关系就是确定的函数关系，而人的身高与体重的关系，学生的数学成绩好坏与物理成绩的关系等都是相关关系。注意：两个变量之间的相关关系又可分为线性相关和非线性相关，如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近，则变量之间具有相关关系(不确定性的关系)，如果所有样本点都落在某一直线附近，那么变量之间具有线性相关关系，相关关系只说明两个变量在数量上的关系，不表明他们之间的因果关系，也可能是一种伴随关系。点睛：两个变量相关关系与函数关系的区别和联系 相同点：两者均是两个变量之间的关系，不同点：函数关系是一种确定的关系，如匀速直线运动中时间t与路程s的关
系，相关关系是一种非确定的关系，如一块农田的小麦产量与施肥量之间的关系，函数关系是两个随机变量之间的关系，而相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系;函数关系式一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系。 知识点2.散点图. 1.在考虑两个量的关系时，为了对变量之间的关系有一个大致的了解，人们常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图。 2.从散点图可以看出如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这种近似的过程称为曲线拟合。 3.对于相关关系的两个变量，如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的的值也由小变大，这种相关称为正相关，正相关时散点图的点散布在从左下角到由上角的区域内。如果一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关，负相关时散点图的点散步在从左上角到右下角的区域。 注意：画散点图的关键是以成对的一组数据，分别为此点的横、纵坐标，在平面直角坐标系中把其找出来，其横纵坐标的单位长度的选取可以不同，应考虑数据分布的特征，散点图只是形象的描述点的分布，如果点的分布大致呈一种集中
“变量间的相关关系”中的核心概念和思想方法解读及教学建议 河北师范大学数学与信息科学学院程海奎 《变量间的相关关系》的主要内容为采用定性和定量相结合的方法研究变量之间的相关关系，主要研究线性相关关系．主要概念有“相关关系”、“散点图”、“回归直线和回归直线方程”、“相关系数”等．研究方法为先绘制散点图，直观表示观测数据，定性描述变量间相关关系的类型、方向、相关程度．然后应用最小二乘法确定变量间相关关系的具体表达形式，描述变量间的数量规律，并由一个变量的取值去推测另一个变量的取值． 这部分内容涉及到一些重要的统计思想和方法，对学生的学习和教师的教学都有一定的难度．本文就研究对象、核心概念、研究方法、统计思想及相关应用进行简单的解读，提出一些教学建议，希望对教学能提供一些帮助． 一、相关概念及统计思想方法 1．相关关系——变量间的不确定关系 两个变量之间的数量关系有两种不同的类型：一种是函数关系，一种是相关关系．当一个变量取一定的值时，另一个变量有确定的值与之对应，我们称这种关系为确定的函数关系．一般把作为影响因素的变量称为自变量，把与之对应变化的变量称为因变量． 当一个变量取一定的数值时，与之对应的另一个变量的值虽然不确定，但它按某种规律在一定的范围内变化，变量间的这种关系称为不确定性的相关关系．或者说两个变量之间确实存在某种关系，但不具备函数关系所要求的确定性． 函数关系和相关关系都是指两个变量之间的数量关系．函数关系是两个非随机变量之间的一种确定关系，是一种因果关系．而相关关系是两个变量之间的一种不确定的关系，这两个变量中至少有一个是随机变量．两个相关变量之间可能有内在联系（真实相关），也可能完全不存在内在联系（虚假相关）．之所以X和Y之间是相关关系，原因是变量X是影响变量Y的主要因素，但不是唯一因素，还有其他种种因素，而这些因素我们又不能完全把握．
变量间的相关关系的教学设计 本节教学设计主要是使用TI92图形计算器，对普通高中课程标准实验教科书数学③第二章《统计》中的“两个变量的线性相关”进行有益的教与学探究。学生通过对 TI图形计算器的操作，具体形象地利用散点图等直观图形认识变量之间的相关关系，同时，经历描述两个变量的相关关系的过程。学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程。与此同时，教师在落实新课程标准的相关理念上作了一些有益的探讨。 教学设计与实践： [教学目标]： 1、明确事物间的相互联系。认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。 2、通过TI技术探究用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系的过程，学会用数学的有关变量来描述现实关系。 3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推导。会用TI图形计算器来求回归方程，相关系数。 [教学用具]： 学生每人一台TI图形计算器、多媒体展示台、幻灯 [教学实践情况]： 一、问题引出：请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ） 然后回答如下问题：①“你的数学成绩对你的物理成绩有无影响？”②“ 如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。”对你来说，是这样吗？同意这种说法的同学请举手。 根据同学们回答的结果，让学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。）教师总结如下：
物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示（幻灯片给出）： （影响你的物理成绩的关系图） 因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。 二、引出相关关系的概念 教师提问：“像刚才这种情况在现实生活中是否还有？” 学生甲：粮食产量与施肥用量的关系； 学生乙：人的体重与食肉数量的关系。 …… 从而得出：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。 三、探究线性相关关系和其他相关关系 问题：在一次对人体脂肪和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 人体的脂肪百分比和年龄
山西大学附中高一年级(上)数学学案编号15 变量间的相关关系(1) 学习目标: (1)通过具体示例考察变量之间的关系，认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 在解决统计问题的过程中，体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用. 重难点:理解变量间的相关关系. 学习过程: 一.复习回顾： 函数的定义 二.情景设置： 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.在中学校园里，有这样一种说法：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着某种关系，我们把数学成绩和物理成绩看成是两个变量，那么这两个变量之间的关系是函数关系吗？ 知识探究：变量之间的相关关系 思考1：考察下列问题中两个变量之间的关系： （1）商品销售收入与广告支出经费； （2）粮食产量与施肥量； （3）人体内的脂肪含量与年龄. 这些问题中两个变量之间的关系是函数关系吗？ 思考2：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平就越高，那么学生的学业成绩与教师的教学水平之间的关系是函数关系吗？你能举出类似的描述生活中两个变量之间的这种关系的成语吗？ 思考3：上述两个变量之间的关系是一种非确定性关系，称之为相关关系，那么相关关系
的含义如何？ 思考4：相关关系与函数关系的异同点： 小结：对相关关系的理解应当注意以下几点： 其一是相关关系与函数关系不同.因为函数关系是一种非常确定的关系，而相关关系是一种非确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.而函数关系可以看成是两个非随机变量之间的关系.因此，不能把相关关系等同于函数关系. 其二是函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.例如，有人发现，对于在校儿童，鞋的大小与阅读能力有很强的相关关系.然而，学会新词并不能使脚变大，而是涉及到第三个因素——年龄.当儿童长大一些，他们的阅读能力会提高而且由于长大脚也变大. 其三是在现实生活中存在着大量的相关关系，如何判断和描述相关关系，统计学发挥着非常重要的作用.变量之间的相关关系带有不确定性，这需要通过收集大量的数据，对数据进行统计分析，发现规律，才能作出科学的判断.（对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析.） 检测:P85;P94.A组1. 1、某地区的环境条件适合天鹅栖息繁衍，有人经统计发现了一个有趣的现象，如果村庄附近栖息的天鹅多，那么这个村庄的婴儿出生率也高，天鹅少的地方婴儿出生率低，于是他得出了一个结论：天鹅能够带来孩子。你认为这样的结论可靠吗？如何证明这个问题的可靠性？ 2、下列变量之间的关系是相关关系的是( ) ①球的体积与半径的关系； ②动物大脑容量的百分比与智力水平的关系； ③人的年龄与体重之间的关系； ④降雨量与农作物产量之间的关系。