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课时授课计划
课次序号：01
一、课题：§1.1 映射与函数
二、课型：新授课
三、目的要求：1.了解集合与映射的有关概念；
2.理解函数的概念，了解函数的四种特性；
3.理解复合函数的概念，了解反函数的概念；
4.熟悉基本初等函数的性质及其图形；
5.会建立简单实际问题的函数关系式．
四、教学重点：函数的概念，函数的各种性态.
教学难点：反函数、复合函数、分段函数的理解.
五、教学方法及手段：启发式教学，传统教学与多媒体教学相结合．
六、参考资料：1.《高等数学释疑解难》，工科数学课程教学指导
委员会编，
高等教育出版社；
2.《高等数学教与学参考》，张宏志主编，西北工业
大学出版社．
七、作业：习题1–1 3（1），6（4）（7），9（1）
八、授课记录：
九、授课效果分析：
第一章函数与极限
第一节映射与函数
高等数学研究的主要对象是函数. 为了准确而深刻地理解
函数概念，集合与映射的知识是不可缺少的. 本节将简要复习回顾集合、映射的一些基本概念，在此基础上重点介绍函数概念与相关知识.
一、集合
1. 集合的概念
集合是数学中的一个最基本的概念．一般地，我们将具有某种确定性质的事物的全体叫做一个集合，简称集．组成集合的事物称为该集合的元素．例如，某大学一年级学生的全体组成一个集合，其中的每一个学生为该集合的一个元素；自然数的全体组成自然数集合，每个自然数是它的元素，等等．
通常我们用大写的英文字母A，B，C，…表示集合；用小写的英文字母a，b，c，…表示集合的元素．若a是集合A的元素，
则称a属于A，记作a∈A；否则称a不属于A，记作a?A（或a∈A）．含有有限个元素的集合称为有限集；不含任何元素的集合称为空集，用?表示；不是有限集也不是空集的集合称为无限集．例如，某大学一年级学生的全体组成的集合是有限集；全体实数组成的集合是无限集；方程2x10的实根组成的集合是空集．集合的表示方法：一种是列举法，即将集合的元素一一列举出来，写在一个花括号内．例如，所有正整数组成的集合可以表示为N{1，2，…，n，…}．另一种表示方法是指明集合元素所具有的性质，即将具有性质p（x）的元素x所组成的集合A 记作
A {x｜x具有性质p（x）}．
例如，正整数集N也可表示成N{n｜n 1，2，3，…}；
又如A{（x，y）｜2x2y1，x，y为实数}表示xOy 平面单位圆周上点的集合．
2. 集合的运算
设A，B是两个集合，若A的每个元素都是B的元素，则称A是B的子集，记作A?B（或B?A）；若A?B，且有元素a∈b，但a?A，则说A是B的真子集，记作A?B．对任何集A，规定??A．若A ?B，且B?A，则称集A与B相等，记作A B．由属于A或属于B的所有元素组成的集称为A与B的并集，记作A∪B，即
A∪B{x｜x∈A或x∈B}．由同时属于A与B的元素组成的集称为A与B的交集，记作A∩B，即
A∩B{x｜x∈A且x∈B}．由属于A但不属于B的元素组成的集称为A与B的差集，记作A\B，即
A\B{x｜x∈A但x?B}．如图11所示阴影部分．
图1 1
在研究某个问题时，如果所考虑的一切集都是某个集X的子集，则称X为基本集或全集．．X中的任何集A关于X的差集X\A称为A的补集（或余集），记作c A．
集合的交、并、余的运算满足下列运算法则:
设A，B，C为三个任意集合，则下列法则成立：
（1）交换律A∪B B∪A，A∩B B∩A；
（2）结合律（A ∪B）∪C A∪（B∪C），
（A∩B）∩C A∩（B∩C）；
（3）分配律（A∪B）∩C（A∩C）∪（B ∩C），
（A∩B）∪C（A∪C ）∩（B∪C），
（A \B）∩C（A∩C）\（B∩C）；
（4）幂等律A∪A A，A∩A A；
（5）吸收律A∪?A，A∩??．
设A i（i1，2，…）为一列集合，则下列法则成立：
（1）若A i?C（i1，2，…），则
1i
i
A
∞
=
?C；
（2）若A i?C（i 1，2，…），则
1i
i
A
∞
=
?C．
设X 为基本集，A i（i1，2，…）为一列集合，则
1
c i
i
A ∞
=
??
?
??1
c i
i
A
∞
=
，
1
c
i
i
A
∞
=
??
?
??1
c
i
i
A
∞
=
．
3. 区间与邻域
（1）区间
设a和b都是实数，将满足不等式a＜x＜b的所有实数组成的数集称为开区间，记作（a，b）．即（a，b）{x｜a＜x＜b}，a和b称为开区间（a，b）的端点，这里a?（a，b）且b?（a，b）．
类似地，称数集［a，b］{x｜a≤x≤b}为闭区间，a和b 也称为闭区间［a，b］的端点，这里a∈［a，b］且b∈［a，b］．称数集［a，b）{x｜a≤x＜b}和（a，b］{x｜a＜x≤b}为半开半闭区间．
以上这些区间都称为有限区间．数b－a称为区间的长度．此外还有无限区间：
（∞，∞）{x｜∞＜x＜∞}R，
（∞，b］{x｜∞＜x≤b}，
（∞，b）{x｜∞＜x＜b}，
［a，∞）{x｜a≤x＜∞}，
（a，∞）{x｜a＜x＜∞}，等等．这里记号“∞”与“∞”分别表示“负无穷大”与“正无穷大”．
（2）邻域
设x0是一个给定的实数，δ是某一正数，称数集{x｜x0δ＜x＜x0δ}为点x0的δ邻域，记作U（x0，δ）．称点x0为这邻域的中心，δ为这邻域的半径．（如图12）．
图1 2
称U（x0，δ）{x0}为x0的去心δ邻域，记作o U(x0,δ){x｜0＜｜x x0｜＜δ},
,δ){x｜x0δ＜x＜x0}, o U(x0,δ){x｜x0＜x＜x0δ},
记o U( x
它们分别称为x0的去心左δ邻域和去心右δ邻域．当不需要指出邻域的半径时，我们常用U（x0），o U(x0)分别表示x0的某邻域和x
的某去心邻域。
二、映射
1．映射的定义
定义1 设A，B是两个非空的集合，若对A中的每个元素
x，按照某种确定的法则f，在B中有惟一的一个元素y与之对应，则称f是从A到B的一个映射，记作f：A→B，
称y为x在映射f下的像，x称为y在映射f下的原像．集合A 称为映射f的定义域，A中所有元素x的像y的全体所构成的集合称为f的值域，记作R f 或f（A），即
R f =f (A){y｜y f(x),x∈A}．
定义中x的像是惟一的，但y的原像不一定惟一，且f（A） B．
映射概念中的两个基本要素是定义域和对应法则．定义域表示映射存在的范围，对应法则是映射的具体表现．
例1设A表示某高校大学一年级学生所构成的集合，用一种方法给每一个学生编一个学号，B表示该校一年级学生学号的集合，f表示编号方法，于是确定了从A到B的一个映射f∶A→B．例2设A{1，2，…，n，…}，B{2，4，…，2n，…}．令f(x)=2x，x∈A，则f是一个从A到B的映射．
例3设A［0，1］，B{（x，y）｜y x，x∈A}，如图13所示．令f∶x｜→（x，x），x∈A，
则f是一个从A到B的映射．
图1 3
设有映射f∶A→B，若B f（A）{f（x）｜x∈A}，则称f是满射．若f将A中不同的元素映射到B中的像也不同，即若x
，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠ f(x2),则称f是单射．若f既是1
满射又是单射，则称f是从A到B的一一映射．若A与B之间存在一一映射，则称A与B是一一对应的．上面的例1，例2与例3的两个集合都是一一对应的．
2. 复合映射
定义2 设有映射g∶A→B，f∶B→C，于是对x∈A有
x g??→u g（x）f??→y f（u）f［g（x）］∈C．
这样，对每个x∈A，经过u∈B，有惟一的y∈C与之对应，因此，又产生了一个从A到C的新映射，记作f g∶A→C，即（f g）（x）f［g（x）］，x∈A，
称f g为f与g的复合映射,如图14所示．
图1 4
3. 逆映射
定义3 设有映射f∶A→B，B f（A），若存在一个映射g∶B→A，对每个y∈B，通过g，有惟一的x∈A与之对应，且满足关系f（x）y，则称g是f的逆映射，记作g f 1．若映射f：A→B是一一映射，则f必存在一个从B到A的逆映射f 1．
三、函数
1. 函数的概念
定义4 设A，B是两个实数集，将从A到B的映射f：A→B 称为函数，记作y f（x），
其中x称为自变量，y称为因变量，f（x）表示函数f在x处的函数值，A称为函数f的定义域，记作
D；f（A）{y｜y f（x），
f
x∈A}?B称为函数f的值域，记作
R．
f
通常函数是指对应法则f，但习惯上用“y f（x），x∈A”表示函数，此时应理解为“由对应关系y f（x）所确定的函数
f ”．
从几何上看，在平面直角坐标系中，点集{（x，y）｜y f （x），x∈
f
D}称为函数y f（x）的图像（如图15所示）．函数
y f（x）的图像通常是一条曲线，y f（x）也称为这条曲线的方程．这样，函数的一些特性常常可借助于几何直观来发现；相反，一些几何问题，有时也可借助于函数来作理论探讨．
图1 5
例４求函数y2
4-x
1
1
x-
的定义域．
解要使数学式子有意义，x必须满足2
4-0,
-1>0 ,
x
x
?≥
?
?
即2,
>1.
x
x
≤
?
?
?
由此有1＜x≤2，因此函数的定义域为（1，2］．有时一个函数在其定义域的不同子集上要用不同的表达式来表示对应法则，称这种函数为分段函数．下面给出一些今后常用的分段函数．
例５绝对值函数y｜x｜,0,
,<0
x x
x x
≥
?
?
-
?
的定义域
f
D
（∞，∞），值域
f
R［0，∞］，如图16所示．例６符号函数y s g n x
1,<0,
0,0,
1,>0
x
x
x
-?
?
=
?
?
?
的定义域
f
D（∞，
∞），值域
f
R{1，0，1}，如图1－7所示．
图1-6
图1-7
例７ 取整函数y ［x ］，其中［x ］表示不超过x 的最大整数．例如，［
13］1，
［0］0，［2］1，［π］3等等．函数y ［x ］的定义域f D （∞，∞），值域f R {整数}．一般地，y ［x ］
n ，n ≤x ＜n 1，n 0，±1,±2,…,如图1-8所示．
图1-8 2. 复合函数与反函数
(1)复合函数 定义5 设函数()y f u =的定义域为f D ，值域为f R ；而函数
()u g x =的定义域为g D ，
值域为g f R D ?，则对任意g x D ∈，通过()u g x =有惟一的g f u R D ∈?与x 对应，再通过()y f u =又有惟一的f y R ∈与u 对应．这样，对任意g x D ∈，通过u ，有惟一的f y R ∈与之对应．因
此y 是x 的函数，称这个函数为()y f u =与()u g x =的复合函数，记作
()()[()]y f g x f g x ==，g x D ∈，
u 称为中间变量．
两个函数的复合也可推广到多个函数复合的情形．
例如，y x μlog a
x a μ（a ＞0且a ≠1）可看成由指数函数y a u 与u μlog a x 复合而成． 例８ 设f （x ）1x x +（x ≠1）,求f （f （f （x ）））
解 令(),(),()y f w w f u u f x ===，则y f （f （f （x ）））是通过两个中间变量w 和u 复合而成的复合函数，因为
()
1
u
w f u
u
==
+
1
1
1
x
x
x
x
+
+
+21
x
x+
，x≠1
2
；
()
1
w
y f w
w
==
+
21
21
1
x
x
x
x
+
+
+31
x
x+
,x≠1
3
，
所以f（f（f（x）））
31
x
x+
，x≠1,1
2
,1
3
．（2）反函数
定义6 设A，B为实数集，映射f：A→B的逆映射f1称为y f（x）的反函数．即：若对每个y∈B，有惟一的x∈A，使y f （x），则称x也是y的函数，记作f 1，即x f 1（y），并称它为函数y f（x）的反函数，而y f（x）也称为反函数x f 1（y）的直接函数．
从几何上看，函数y f（x）与其反函数x f 1（y）有同一图像．但人们习惯上用x表示自变量，y表示因变量，因此反函数x f 1（y）．常改写成y f 1（x）．今后，我们称y f 1（x）为y f（x）的反函数．此时，由于对应关系f 1未变，只是自变量与因变量交换了记号，因此反函数y f 1（x）与直接函数y f（x）的图像关于直线y x对称，如图1 9所示．
图1 9
值得注意的是，并不是所有函数都存在反函数，例如函数y x2的定义域为（∞，∞），值域为［0，∞），但对每一个y∈（0，∞），有两个x值即x1y和x2y与之对应，因此x不是y的函数，从而y x2不存在反函数．事实上，由逆映射存在定理知，若f是从
f
D到f R的一一映射，则f才存在反函数f 1．
例９设函数(1)
1
x
f x
x
+=
+
（x≠1）,求1(1)
f x
-+．
解 函数(1)y f x =+可看成由y f （u ），u x 1复合而成．所求的反函数1(1)y f x -=+可看成由y f 1（u ），u x 1复合而成．因
为 f （u ）
1x x +1u u -，u ≠0, 即 y
1u u -，从而，u （y 1）1，u 11y -，所以 y f 1（u ）11u
-， 因此 11
(1)1(1)f x x -+=-+1x
，x ≠0． 3. 函数的几种特性
(1) 函数的有界性
定义7 设函数()f x 的定义域为f D ，数集f X D ?，若存在某
个常数1K （或2K ），使得对任一x X ∈，都有
1()f x K ≤（或2()f x K ≥），
则称函数()f x 在X 上有上界（或有下界），常数1
K （或2K ）称为()f x 在X 上的一个上界（或下界），否则，称()f x 在X 上无上界（或无下界）．
若函数()f x 在X 既有上界又有下界，则称()f x 在X 上有界，否则，称()f x 在X 上无界．
易知，函数()f x 在X 上有界的充要条件是：存在常数M ＞0，使得对任一x X ∈，都有
()f x M ≤ ．
例如，函数sin y x =在其定义域（∞，∞）内是有界的，因为对任一x ∈（∞，∞）都有sin 1x ≤，函数1
y x
=在（0，1）内无上界，但有下界．
从几何上看，有界函数的图像界于直线y M =±之间．
(2) 函数的单调性
定义8 设函数()f x 的定义域为f D ，数集f I D ?，若对I 中的任意两数x 1，x 2（x 1＜x 2），恒有 12()()f x f x ≤（或12()()f x f x ≥）， 则称函数()y f x =在I 上是单调增加（或单调减少）的．若上述不
等式中的不等号为严格不等号时，则称为严格单调增加（或严格单调减少）的．单调增加或单调减少的函数统称为单调函数；严格单调增加或严格单调减少的函数统称为严格单调函数，如图1－10所示．
图1－10
例如，函数3()f x x =在其定义域（∞，∞）内是严格单调增加的；函数()cot f x x =在（0，π）内是严格单调减少的．
从几何上看，若()y f x =是严格单调函数，则任意一条平行于x 轴的直线与它的图像最多交于一点，因此()y f x =有反函数．
(3) 函数的奇偶性
定义9 设函数()f x 的定义域f D 关于原点对称（即若f x D ∈，则必有f x D -∈）．若对任意的f x D ∈，都有 ()()f x f x -=-（或
()()f x f x -=）
， 则称f （x ）是f D 上的奇函数（或偶函数）．
奇函数的图像对称于坐标原点，偶函数的图像对称于y 轴，如图1－11所示．
图1－11
例10 讨论函数f （x ）ln （x 21x +）的奇偶性．
解 函数f （x ）的定义域（∞，∞）是对称区间，因为 f （x ）ln （x
21x +）ln （211x x ++）ln （x 21x +）f （x ）
所以，f （x ）是（∞，∞）上的奇函数．
(4) 函数的周期性
定义10 设函数()f x 的定义域为f D ，若存在一个不为零的常
数T ，使得对任意f x D ∈，有（x T ±）f D ∈，且()()f x T f x ±=，则称()f x 为周期函数，其中使上式成立的常数T 称为()f x 的周期，通常，函数的周期是指它的最小正周期，即：使上式成立的最小正数T （如果存在的话）
．
例如，函数()sin f x x =的周期为2π；()tan f x x =的周期是π． 并不是所有函数都有最小正周期，例如，狄利克雷函数1,()0,x D x x ?=??
为有理数为无理数， 任意正有理数都是它的周期，但此函数没有最小正周期．
4. 函数应用举例
例11 火车站收取行李费的规定如下：当行李不超过50千克时，按基本运费计算．如从上海到某地每千克以0．15元计算基本运费，当超过50千克时，超重部分按每千克0．25元收费．试求上海到该地的行李费y （元）与重量x （千克）之间的函数关系式，并画出函数的图像．
解 当0＜x ≤50时，y 0．15x ;当x ＞50时，y 0．15×500．25(x 50)．所以函数关系式为 y 0.15x,0x 50;7.50.25(50),50.x x <≤??+->?这是一个分段函数，其图像如图1－12所
示．
图1－12
例12 一打工者，每天上午到培训基地A 学习，下午到超市B 工作，晚饭后再到酒店C 服务，早、晚饭在宿舍吃，中午带饭在学习或工作的地方吃．A ，B ，C 位于一条平直的马路一侧，
且酒店在基地与超市之间，基地与酒店相距3km ，酒店与超市相距5km ，问该打工者在这条马路的A 与B 之间何处找一宿舍（设随处可找到），才能使每天往返的路程最短．
解 如图113所示，设所找宿舍D 距基地A 为x （km ），用f （x ）表示每天往返的路程函数．
图113
当D 位于A 与C 之间，即0≤x ≤3时，易知
f （x ）x 8（8x ）2（3x ）222x ，
当D 位于C 与B 之间,即3≤x ≤8时，则
f (x )x 8(8x )2(x 3)102x ．
所以 f (x ) 22,03;102,38.
x x x x -≤≤??+≤≤? 这是一个分段函数，如图114所示,在［0,3］上,f (x )是单调减少,在［3,8］上,f (x )是单调增加．从图像可知,在x 3处,函数值最小．这说明,打工者在酒店C 处找宿舍,每天走的路程最短．
图114 图115
5. 基本初等函数
(1) 幂函数
函数 y x μ（μ是常数）称为幂函数．
幂函数y xμ的定义域随μ的不同而异，但无论μ为何值，函数在（0，∞）内总是有定义的．
当μ＞0时，y xμ在［0，∞）上是单调增加的，其图像过点（0，0）及点（1，1），图116列出了μ12，μ1，μ2时幂函数在第一象限的图像．
图116 图117
当μ＜0时，y xμ在（0，∞）上是单调减少的，其图像
，μ1，μ2通过点（1，1），图117列出了μ1
2
时幂函数在第一象限的图像．
(2) 指数函数
函数y a x（a是常数且a＞0，a≠1）称为指数函数．
图118 指数函数y a x的定义域是（∞，∞），图像通过点(0,1),且总在x轴上方．
当a＞1时,y a x是单调增加的;当0＜a＜1时,y a x是单调减少的,如图118所示．
以常数e2．71828182…为底的指数函数y e x 是科技中常用的指数函数．
(3) 对数函数
指数函数y a x的反函数，记作y log a x（a是常数且a＞0,a≠1),称为对数函数．
对数函数y log a x的定义域为（0，∞），图像过点（1，0）．当a＞1时，y log a x单调增加；当0＜a＜1时，y log a x单调减少，如图119所示．
科学技术中常用以e为底的对数函数y log e x，它被称为自然对数函数，简记作y ln x．
图119
另外以10为底的对数函数y log10x也是常用的对数函数，简记作y l gx．
(4) 三角函数
常用的三角函数有
正弦函数y sin x；
余弦函数y cos x；
正切函数y tan x；
余切函数y cot x，
其中自变量以弧度作单位来表示．
它们的图形如图120，图121，图122和图123所示，分别称为正弦曲线，余弦曲线，正切曲线和余切曲线．
图120
图121
图122 图123
正弦函数和余弦函数都是以2π为周期的周期函数，它们的定义域都为（∞,∞）,值域都为［1，1］．正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数．
由于cos x sin（xπ
2
），所以，把正弦曲线y sin x沿x轴
向左移动π
2
个单位，就获得余弦曲线y cos x．
正切函数y tan x sin
cos x
x
的定义域为
D（f）{x｜x∈R，x≠(2n1) π
2
,n为整数}．
余切函数y cot x cos
sin x
x
的定义域为
D（f）{x｜x∈R，x≠nπ,n为整数}．
正切函数和余切函数的值域都是（∞，∞），且它们都是以π为周期的函数，它们都是奇函数．
另外，常用的三角函数还有
正割函数y sec x；余割函数y csc x．它们都是以2π为周期的周期函数，且
sec x1
cos x ；csc x1
sin x
．
(5) 反三角函数
常用的反三角函数有
反正弦函数y arcsin x（如图124）；
反余弦函数y arccos x（如图125）；
反正切函数y arctan x（如图126）；
反余切函数y arccot x（如图127）．
它们分别称为三角函数y sin x，y cos x，y tan x和y cot x的反函数．
图124 图125
图126 图127
这四个函数都是多值函数．严格来说，根据反函数的概念，三角函数y sin x，y cos x，y tan x,y cot x在其定义域内不存在反函数，因为对每一个值域中的数y，有多个x与之对应．但这些函数在其定义域的每一个单调增加（或减少）的子区间上存在
反函数．例如，y sin x在闭区间［π
2, π
2
］上单调增加，从而
存在反函数，称此反函数为反正弦函数arcsin x的主值，记作y arcsin x．通常我们称y arcsin x为反正弦函数．其定义域为
［1,1］,值域为［ π2, π2］．反正弦函数y arcsin x 在［1,1］
上是单调增加的,它的图像如图124中实线部分所示．
类似地,可以定义其他三个反三角函数的主值y arccos x ,y arctan x 和y arccot x ，它们分别简称为反余弦函数，反正切函数和反余切函数．
反余弦函数y arccos x 的定义域为［1，1］，值域为［0，π］，在［1，1］上是单调减少的，其图像如图125中实线部分所示．
反正切函数y arctan x 的定义域为（∞,∞）,值域为（ π2，π2），在（∞，∞）上是单调增加的，其图像如图126
中实线部分所示．
反余切函数y arccot x 的定义域为（∞，∞），值域为（0，π），在（∞，∞）上是单调减少的，其图像如图127中实线部分所示．
以上五种类型的函数统称为基本初等函数.
6. 初等函数
定义11 由常数和基本初等函数经有限次四则运算和复合运算得到并且能用一个式子表示的函数，称为初等函数．例如，y 3x 2sin4x ，y ln （x 21x +），y arctan2x 3 lg(1)x + 2sin 1
x x +等等都是初等函数．分段函数是按照定义域的不同子集用不同表达式来表示对应关系的，有些分段函数也可以不分段而表示出来，分段只是为了更加明确函数关系而已．例如，绝对值函数也可以表示成y
｜x ｜ 2x ；函数f （x ） 1,,0,x a x a ? 也可表
示成 f (x ) 1
2 (1 2
()x a -．这两个函数也是初等函数．
7. 双曲函数与反双曲函数
(1) 双曲函数
双曲函数是工程和物理问题中很有用的一类初等函数．定义
如下： 双曲正弦 e e sh ()2x x x x --=-∞<<+∞ 双曲余弦
e +e ch ()2x x x x -=-∞<<+∞ 双曲正切
th x sh ch x x e - e e e x x x x --+ ()x -∞<<+∞ 双曲余切 cth x ch sh x x e + e e e x x x x --- (x ≠0) 图128 图1
29
其图像如图128和图129所示．
双曲正弦函数的定义域为（∞，∞），它是奇函数，其图像通过原点（0，0）且关于原点对称．在（∞，∞）内单调增加．
双曲余弦函数的定义域为（∞，∞），它是偶函数，其图像通过点（0，1）且关于y 轴对称，在（∞，0）内单调减少；在（0，∞）内单调增加．
双曲正切函数的定义域为（∞，∞），它是奇函数，其图像通过原点（0，0）且关于原点对称．在（∞，∞）内是单调增加的．
双曲余切函数的定义域为{x ｜x ≠0,x ∈R },它是奇函数，其图像关于原点对称．
由双曲函数的定义，容易验证下列基本公式成立．
sh(x ±y )sh x ch y ±ch x sh y ,
ch(x ±y )ch x ch y ±sh x sh y ,
sh2x 2sh x ch x ,
福建警察学院 《高等数学一》课程教学大纲 课程名称：高等数学一 课程编号： 学分：4 适用对象： 一、课程的地位、教学目标和基本要求 (一)课程地位 高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。 （二）教学目标 通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。 （三）基本要求 1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟
悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。 2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。 二、教学内容与要求 第一章函数与极限 【教学目的】 通过本章学习 1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分 解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。 2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。 3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与 左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。 4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。 5、掌握极限运算法则。 6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极 限的方法。 7、掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 8、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 9、了解连续函数的运算和初等函数的连续性， 10、了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），
《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的关系。
7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点的概念，并会判别间断点的类型。 10.了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Ro lle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylo r)定理。 7.会用洛必达(L’Ho sp ital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1.理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2.理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。
习题一解答 1.在1,2,3,4,四个数中可重复地先后取两个数，写出这个随机事件的样本空间及事件A=“一个数是另一个数的2倍”，B=“两个数组成既约分数”中的样本点。 解Ω={（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1)，（3，2），（3，3），（3，4），（4，1）（4，2），（4，3），（4，4）}； A={（1，2），（2，1），（2，4），（4，2）}； B={（1，2），（1，3}，（1，4），（2，1），（2，3），（3，1)，（3，2），（3，4），（4，1）（4，3）} 2. 在数学系学生中任选一名学生．设事件A＝{选出的学生是男生}，B＝{选出的学生是三年级学生}，C＝{选出的学生是科普队的}． (1)叙述事件ABC的含义． (2)在什么条件下，ABC＝C成立？ (3)在什么条件下，C?B成立？ 解 (1)事件ABC的含义是，选出的学生是三年级的男生，不是科普队员． (2)由于ABC?C，故ABC＝C当且仅当C?ABC．这又当且仅当C?AB，即科普队员都是三年级的男生． (3)当科普队员全是三年级学生时，C是B的子事件，即C?B成立． 3.将下列事件用A，B，C表示出来： （1）只有C发生；
（2）A 发生而B ，C 都不发生； （3）三个事件都不发生； （4）三个事件至少有一个不发生； （5）三个事件至少有一套（二个不发生）发生； （6）三个事件恰有二个不发生； （7）三个事件至多有二个发生； （8）三个事件中不少于一个发生。 解 （1）ABC ； （2）ABC ： （3）ABC （4）A B C U U ； （5）AB BC AC U U ； （6）ABC ABC ABC U U ； （7）ABC ； （8）A B C U U 。 4.设 A ， B ， C 是三个随机事件，且 =====)()(,4 1)()()(CB P AB P C P B P A p 0，81 )(=AC P ,求A ，B ，C 中至少有 一个发生的概率． 解 设D ＝{A ，B ，C 中至少有一个发生}，则D ＝A ＋B ＋C ，于是 P (D )＝P (A ＋B ＋C ) ＝P (A )＋P (B )＋P (C )－P (AB )－P (BC )－P (AC )＋P (ABC )． 又因为
学年第二学期期末考试试卷 课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题 （共15分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ． 00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln . x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面2 2 2x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=??? Ω dxdydz z y x f ）． 21 2 cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θθθθ? ? ? 21 2 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θθθθ? ? ? 212 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θπθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz πθθθ?? ? 4． 4．若1 (1)n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线2 2 2x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 系(院)：——————专业：——————年级及班级：—————姓名：——————学号：————— ------------------------------------密-----------------------------------封----------------------------------线--------------------------------
同济大学高等数学（下）期中考试试卷2 一.简答题（每小题8分） 1.求曲线?????+=+=-=t z t y t t x 3cos 12sin 3cos 在点??? ??1,3,2 π处的切线方程. 2.方程1ln =+-xz e y z xy 在点)1,1,0(的某邻域内可否确定导数连续的隐函数),(y x z z =或),(x z y y =或),(z y x x =？为什么？ 3.不需要具体求解，指出解决下列问题的两条不同的解题思路： 设椭球面1222222 =++c z b y a x 与平面0=+++D Cz By Ax 没有交点，求椭球面与平面 之间的最小距离. 4.设函数),(y x f z =具有二阶连续的偏导数，3x y =是f 的一条等高线，若 1)1,1(-=y f ，求)1,1(x f . 二.（8分）设函数f 具有二阶连续的偏导数，),(y x xy f u +=求y x u ???2 . 三.（8分）设变量z y x ,,满足方程),(y x f z =及0),,(=z y x g ，其中f 与g 均具有连续的偏导数，求dx dy . 四.（8分）求曲线 ???=--=01, 02y x xyz 在点)110(，，处的切线与法平面的方程. 五.（8分）计算积分） ??D y dxdy e 2，其中D 是顶点分别为)0,0(.)1,1(.)1,0(的 三角形区域. 六.（8分）求函数22y x z +=在圆9)2()2(22≤- +-y x 上的最大值和最小值. 七.（14分）设一座山的方程为2221000y x z --=，),(y x M 是山脚0=z 即等量线 1000222=+y x 上的点. （1）问：z 在点),(y x M 处沿什么方向的增长率最大，并求出此增长率； （2）攀岩活动要山脚处找一最陡的位置作为攀岩的起点，即在该等量线上找一点M 使得上述增长率最大，请写出该点的坐标. 八.（14分） 设曲面∑是双曲线2422=-y z （0>z 的一支）绕z 轴旋转而成，曲面上一点M 处的切平面∏与平面0=++z y x 平行. （1）写出曲面∑的方程并求出点M 的坐标； （2）若Ω是∑.∏和柱面122=+y x 围成的立体，求Ω的体积.
高等数学复习提纲同济 大学下册 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(101)且平行于向量a (211)和b (110)试求这平面方程 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x 1)(y 0)3(z 1)0即xy 3z 40 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(203)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 16(x 2)14(y 0)11(z 3)0 即16x 14y 11z 650 例题：求过点(312)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程
解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1(521)垂直因为点(312)和(430)都在所求的平面上所以所求平面的法线向量与向量s 2(430)(312)(142)也是垂直的因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x 3)9(y 1)22(z 2)0 即8x 9y 22z 590 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 25x 绕x 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2z 25x 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2z 29绕z 轴旋转一周求所生成的旋转曲面的方程 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2y 2z 29 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??= 例题：设zu 2ln v 而y x u =v 3x 2y 求x z ??y z ?? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=??
高等数学上册复习要点 一、 函数与极限 （一） 函数 1、 函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、 反函数、复合函数、函数的运算； 3、 初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、 函数的连续性与间断点； 函数)(x f 在0x 连续)()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点 可去间断点、跳跃间断点 第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、 闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定 理及其推论. （二） 极限 1、 定义 1） 数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2） 函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当 左极限：)(lim )(0 0x f x f x x -→-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x + →+=
)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、 极限存在准则 1） 夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2） a z y n n n n ==→∞ →∞lim lim a x n n =∞→lim 2） 单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、 无穷小（大）量 1） 定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2） 无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、 求极限的方法 1） 单调有界准则； 2） 夹逼准则； 3） 极限运算准则及函数连续性； 4） 两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5） 无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -
1. 若82lim =?? ? ??--∞→x x a x a x ，则_______.2ln 3- 2. =+++→)1ln()cos 1(1 cos sin 3lim 20x x x x x x ____.2 3 3.设函数)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+所确定，则曲线)(x y y =在)1,1(处的切线方程为________.y x = 4. =-++∞→))1(sin 2sin (sin 1lim n n n n n n πππ ______.π2 5. x e y y -=-'的通解是____.x x e e y --=21C 二、选择题（每题4分） 1.设函数)(x f 在),(b a 内连续且可导，并有)()(b f a f =，则（D ） A ．一定存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . B. 一定不存在),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . C. 存在唯一),(b a ∈ξ，使 0)(='ξf . D.A 、B 、C 均不对. 2.设函数)(x f y =二阶可导，且 ,)(),()(,0)(,0)(x x f dy x f x x f y x f x f ?'=-?+=?<''<'， 当,0>?x 时，有（A ） A. ,0<>?dy y C. ,0?>y dy 3. =+?-dx e x x x ||2 2)|(|(C) A. ,0B. ,2C. ,222+e D. 26e 4. )3)(1()(--=x x x x f 与x 轴所围图形的面积是（B ） A. dx x f ?3 0)( B. dx x f dx x f ??-3110)()( C. dx x f ?-30)( D. dx x f dx x f ??+-3110)()( 5.函数Cx x y +=361 ，（其中C 为任意常数）是微分方程x y =''的（C ） A ． 通解B.特解C.是解但非通解也非特解D.不是解
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221)1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(2 2≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、222)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数?? ??? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01 sin lim 2 2)0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
第八章 多元函数的微分法及其应用 § 1 多元函数概念 一、设]),,([:,),(,),(22222y y x f y x y x y x y x f ??求-=+=. 二、求下列函数的定义域： 1、2 221) 1(),(y x y x y x f ---= };1|),{(22≠+x y y x 2、x y z arcsin = };0,|),{(≠≤x x y y x 三、求下列极限： 1、2 22)0,0(),(sin lim y x y x y x +→ （0） 2、 x y x x y 3)2,(),()1(lim +∞→ (6e ) 四、证明极限 2 42)0,0(),(lim y x y x y x +→不存在. 证明：当沿着x 轴趋于（0，0）时，极限为零，当沿着2 x y =趋于（0，0）时，极限为2 1 , 二者不相等，所以极限不存在 五、证明函数????? =≠+=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin ),(22y x y x y x xy y x f 在整个xoy 面上连续。 证明：当)0,0(),(≠y x 时，为初等函数，连续),(y x f 。当)0,0(),(=y x 时， )0,0(01sin lim 2 2 ) 0,0(),(f y x xy y x ==+→，所以函数在（0，0）也连续。所以函数 42244222222)()),,((y y x x y y x y y x f +-=+-=?答案：
在整个xoy 面上连续。 六、设)(2y x f y x z +++=且当y=0时2x z =，求f(x)及z 的表达式. 解：f(x)=x x -2，z y xy y x -++=2222 § 2 偏导数 1、设z=x y xe xy + ,验证 z x y +=??+??y z y x z x 证明：x y x y x y e x ,e x y e y +=??-+=??y z x z ，∴z xy xe xy xy x y +=++=??+??y z y x z x 2、求空间曲线??? ??=+=Γ2 1:2 2y y x z 在点（ 1,21,23）处切线与y 轴正向夹角(4π) 3、设y x y xy y x f arcsin )1(),(2-+=, 求)1,(x f x ( 1) 4、设y z x u =, 求 x u ?? ，y u ?? ，z u ?? 解：1 -=??y z x y z x u ， x x y z y u y z ln 2-=?? x x y z u y z ln 1=?? 5、设2 2 2 z y x u ++=，证明 : u z u y u x u 2 222222=??+??+?? 6、判断下面的函数在(0,0) 处是否连续是否可导（偏导）说明理由 ?????≠+≠++=0, 00,1sin ),(222 22 2y x y x y x x y x f )0,0(0),(lim 0 0f y x f y x ==→→ 连续； 2 01 sin lim )0,0(x f x x →= 不存在， 000 0lim )0,0(0=--=→y f y y 7、设函数 f(x,y)在点（a,b ）处的偏导数存在，求 x b x a f b x a f x ) ,(),(lim --+→
高等数学复习提纲 一、考试题型 1．填空题6题 2．计算题8题 二、知识点 1．平面及其方程。 例题：一平面过点(1?0??1)且平行于向量a ?(2?1?1)和b ?(1??1?0)?试求这平面方程? 解所求平面的法线向量可取为 k j i k j i b a n 30 11112-+=-=?=? 所求平面的方程为 (x ?1)?(y ?0)?3(z ?1)?0?即x ?y ?3z ?4?0? 2．空间直线及其方程。 例题：求过点(2?0??3)且与直线???=+-+=-+-0 12530742z y x z y x 垂直的平面方程? 解所求平面的法线向量n 可取为已知直线的方向向量?即 k j i k j i n 1114162 53421)2 ,5 ,3()4 ,2 ,1(++-=--=-?-=? 所平面的方程为 ?16(x ?2)?14(y ?0)?11(z ?3)?0? 即16x ?14y ?11z ?65?0? 例题：求过点(3?1??2)且通过直线1 2354z y x =+=-的平面方程?
解所求平面的法线向量与直线1 2354z y x =+=-的方向向量s 1?(5?2?1)垂直?因为点(3?1??2)和(4??3?0)都在所求的平面上?所以所求平面的法线向量与向量s 2?(4??3?0)?(3?1??2)?(1??4?2)也是垂直的?因此所求平面的法线向量可取为 k j i k j i s s n 22982 4112521--=-=?=? 所求平面的方程为 8(x ?3)?9(y ?1)?22(z ?2)?0? 即8x ?9y ?22z ?59?0? 3．旋转曲面。 例题：将zOx 坐标面上的抛物线z 2?5x 绕x 轴旋转一周?求所生成的旋转曲面的方程? 解将方程中的z 换成22z y +±得旋转曲面的方程y 2?z 2?5x ? 例题：将zOx 坐标面上的圆x 2?z 2?9绕z 轴旋转一周?求所生成的旋转曲面的方程? 解将方程中的x 换成22y x +±得旋转曲面的方程x 2?y 2?z 2?9? 4.多元复合函数求导，隐函数求导。 例题：求函数x y e z =的全微分 解xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=??+??=? 例题：设z ?u 2ln v ?而y x u =?v ?3x ?2y ?求x z ???y z ??? 解x v v z x u u z x z ?????+?????=?? 31ln 22?+?=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=?
第一章 函数与极限 一、要求： 函数定义域，奇偶性判定，反函数，复合函数分解，渐近线，求极限， 间断点类型判定，分段函数分段点连续性判定及求未知参数，零点定理应用. 二、练习： 1.函数 2112 ++-=x x y 的定义域 ；答：2x ≥-且1x ≠±； 2. 函数y = 是由： 复合而成的； 答：2 ln ,,sin y u v v w w x ====； 3. 设 ,112 2 x x x x f +=??? ? ?+ 则()f x = ；答：22x -； 4. 已知)10f x x x ?? =+≠ ??? ，则()f x = ； 答： ( )11f x x x = +=+ ()0x ≠； 5.11lim 1 n x x x →--= ，答：n ； !lim 1 n n n →∞ += ；答： 0； 6. 当a = 时,函数(), 0, x e x f x a x x ?<=? +≥?在(,)-∞+∞上连续；答：1a =； 7.设(3)(3)f x x x +=+，则(3)f x -=( B )； A.(3)x x -， B.()6(3)x x --， C.()6(3)x x +-， D.(3)(3)x x -+； 8. 1lim sin n n n →∞ =（ B ）； A.0 ， B.1， C.+∞， D.-∞； 9.1x =是函数2 2 1 ()32 x f x x x -= -+的（A ）； A.可去间断点，B.跳跃间断点， C.第二类间断点， D.连续点； 10. |sin | ()cos x f x x xe -=是（ A ）； A.奇函数， B.周期函数， C.有界函数， D.单调函数； 11.下列正确的是( A ) A.1lim sin 0x x x →∞ =，B.1lim sin 0x x x →∞ =， C.0 1lim sin 1x x x →=， D.11lim sin 1x x x →∞ =； 12. 1x =是函数)1,13, 1 x x f x x x -≤?=? ->?的（ D ）
课程名称：《高等数学》 试卷类别：A 卷 考试形式：闭卷 考试时间：120 分钟 适用层次： 适用专业； 阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，小题得分写在每小题题号前，用正分表示，不 得分则在小题 大题得分登录在对应的分数框内；考试课程应集体阅卷，流水作业。 课程名称：高等数学A （考试性质：期末统考（A 卷） 一、单选题（共15 分，每小题3分） 1．设函数(,)f x y 在00(,)P x y 的两个偏导00(,)x f x y ，00(,)y f x y 都存在，则 ( ) A ．(,)f x y 在P 连续 B ．(,)f x y 在P 可微 C ． 0 0lim (,)x x f x y →及 0 0lim (,)y y f x y →都存在 D ．00(,)(,) lim (,)x y x y f x y →存在 2．若x y z ln =，则dz 等于（ ）． ln ln ln ln .x x y y y y A x y + ln ln .x y y B x ln ln ln .ln x x y y C y ydx dy x + ln ln ln ln .x x y y y x D dx dy x y + 3．设Ω是圆柱面222x y x +=及平面01,z z ==所围成的区域，则 (),,(=???Ω dxdydz z y x f ） ． 21 2 0cos .(cos ,sin ,)A d dr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 21 2 00 cos .(cos ,sin ,)B d rdr f r r z dz π θ θθθ? ? ? 2120 2 cos .(cos ,sin ,)C d rdr f r r z dz π θ πθθθ-?? ? 21 cos .(cos ,sin ,)x D d rdr f r r z dz π θθθ?? ? 4． 4．若 1 (1) n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛，则此级数在2x =处（ ）． A ． 条件收敛 B ． 绝对收敛 C ． 发散 D ． 敛散性不能确定 5．曲线22 2 x y z z x y -+=?? =+?在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ ）. A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1） 二、填空题（共15分，每小题3分） 题 号（型） 一 二 三 四 核分人 得 分 总分 评卷人
习题92 1 计算下列二重积分 (1)??+D d y x σ)(22 其中D {(x y )| |x |1 |y |1} 解 积分区域可表示为D 1x 1 1y 1 于是 ??+D d y x σ)(22y d y x dx ??--+=1 11 122)(x d y y x ?--+=1 11132]31[ x d x ?-+=1 12)312(113]3232[-+=x x 3 8= (2)??+D d y x σ)23( 其中D 是由两坐标轴及直线x y 2所围成的闭区 域 解 积分区域可表示为D 0x 2 0y 2x 于是 ??+D d y x σ)23(y d y x dx x ?? -+=20 20 )23(dx y xy x ?-+=20 22]3[ dx x x ?-+=2 02)224(0232]324[x x x -+=3 20= (3)??++D d y y x x σ)3(223 其中D {(x y )| 0 x 1 0y 1} 解 ??++D d y y x x σ)3(3 2 3 ??++=1 03 2 3 1 0)3(dx y y x x dy ?++=1 001334]4 [dy x y y x x ?++=103)41(dy y y 0142]424[y y y ++=14 12141=++= (4)??+D d y x x σ)cos( 其中D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和 ( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为D 0x y x 于是 ??+D d y x x σ)cos(??+=x dy y x xdx 0 )cos(π ?+=π )][sin(dx y x x x ?-=π0)sin 2(sin dx x x x ?--=π 0)cos 2cos 2 1(x x xd +--=0|)cos 2cos 21(πx x x dx x x ?-π0)cos 2cos 21(π2 3-=
习题 10-2 1. 设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段, 证明: ?=L dx y x P 0),(. 证明??=L b a dx x P dx y x P )0 ,(),(. 证明L : x =x , y =0, t 从a 变到 b , 所以 ???='=b a L b a dx x P dx x x P dx y x P )0 ,())(0 ,(),(. 3. 计算下列对坐标的曲线积分: (1)?-L dx y x )(22, 其中L 是抛物线y =x 2上从点(0, 0)到点(2, 4) 的一段弧; 一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行); 解 L =L 1+L 2, 其中 L 1: x =a +a cos t , y =a sin t , t 从0变到π, L 2: x =x , y =0, x 从0变到2a , ??+'++=a dx dt t a a t a t a 2000)cos (sin )cos 1(π (3)?+L xdy ydx , 其中L 为圆周x =R cos t , y =R sin t 上对应t 从0到
解 圆周的参数方程为: x =a cos t , y =a sin t , t 从0变到2π, 所以 (5)ydz zdy dx x -+?Γ 2, 其中Γ为曲线x =k θ, y =a cos θ, z =a sin θ上对 应θ从0到π的一段弧; 解 ??--+=-+Γπ θθθθθθ022]cos cos )sin (sin )[(d a a a a k k ydz zdy dx x (6)dz y x ydy xdx )1(-+++?Γ, 其中Γ是从点(1, 1, 1)到点(2, 3, 4)的 一段直线; 解 Γ的参数方程为x =1+t , y =1+2t , z =1+3t , t 从0变到1. ?Γ-+++dz y x ydy xdx )1(?-+++++++=10 )]1211(3)21(2)1[(dt t t t t ?=+=1 013)146(dt t . 依次为点(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1); 解 Γ=AB +BC +CA , 其中 AB : x =x , y =1-x , z =0, x 从1变到0, BC : x =0, y =1-z , z =z , z 从0变到1,
高等数学(同济大学教材第五版)复习 高等数学（同济大学教材第五版）复习提纲 第一章函数与极限：正确理解、熟练掌握本章内容，求各类函数的极限，尤其是未定式与幂指函数求极限 第二章导数与微分：正确理解、熟练掌握本章内容，各类函数的求导与微分的基本计算 第三章微分中值定理与导数的应用：熟练掌握本章的实际应用，研究函数的性态，证明相关不等式 第四章不定积分：正确理解概念，会多种积分方法，尤其要用凑微分以及一些需用一定技巧的函数类型 第五章定积分：正确理解概念，会多种积分方法，有变限函数参与的各种运算 第六章定积分的应用：掌握定积分的实际应用 第七章空间解析几何和向量代数：熟练掌握本章的实际应用 高等数学（1）期末复习要求 第一章函数、极限与连续 函数概念 理解函数概念，了解分段函数，熟练掌握函数的定义域和函数值的求法。 2．函数的性质 知道函数的单调性、奇偶性、有界性和周期性，掌握判断函数奇偶性的方法。 3．初等函数 了解复合函数、初等函数的概念；掌握六类基 本初等函数的主要性质和图形。 4．建立函数关系
会列简单应用问题的函数关系式。 5．极限：数列极限、函数极限 知道数列极限、函数极限的概念。 6．极限四则运算 掌握用极限的四则运算法则求极限. 7．无穷小量与无穷大量 了解无穷小量的概念、无穷小量与无穷大量之间的关系，无穷小量的性质。 8．两个重要极限 了解两个重要极限，会用两个重要极限求函数极限。 9．函数的连续性 了解函数连续性的定义、函数间断点的概念；会求函数的连续区间和间断点，并判别函数间断点的类型； 知道初等函数的连续性，知道闭区间上的连续函数的几个性质 （最大值、最小值定理和介值定理）。 第二章导数与微分 1．导数概念：导数定义、导数几何意义、函数连续与可导的关系、高阶导数。 理解导数概念； 了解导数的几何意义，会求曲线的切线和法线方程；知道可导与连续的关系，会求高阶导数概念。 2．导数运算 熟记导数基本公式，熟练掌握导数的四则运算法则、复合函数的求导的链式法则。 掌握隐函数的求一阶导及二阶导。