大学物理2-1第九章(热力学基础)习题答案
习 题 九
9-1 一系统由图示的状态a 经acd 到达状态b ，系统吸收了320J 热量，系统对外作功126J 。 (1)若adb 过程系统对外作功 42J ，问有多少热量传入系统? (2)当系统由b 沿曲线ba 返回状态a ，外界对系统作功84 J ，试问系统是吸热还是放热? 热量是多少?
[解] 由热力学第一定律A E Q +?=
得 A Q E -=?
在a
a b ?=-J A Q 19412632011=-=-= 在adb 过程中
J A E Q 236421942=+=+?= 在ba 过程中
J A E A E E Q b a 27884194333-=--=+?-=+-= 本过程中系统放热。
9-2 2mol 氮气由温度为 300K ，压强为510013.1?Pa (1atm)的初态等温地压缩到
510026.2?Pa(2atm)。求
气体放出的热量。 [解] 在等温过程中气体吸收的热量等于气体对外做的功，所以
J P P RT M m A Q mol T 3211046.32
1ln 30031.82ln ?-=???=== 即气体放热为J 31046.3?。
9-3 一定质量的理想气体的内能E 随体积的变化关系为E - V 图上的一条过原点的直线，如图所示。试证此直线表示等压过程。
[证明] 设此直线斜率为k ，则此直线方程为
kv E = 又E 随温度的关系变化式为T k T C M M
E v mol
'=?= 所以T k kV '= 因此C k k T V ='=(C 为恒量) 又由理想气体的状态方程知，C T
pV '= (C '为恒量)
所以 p 为恒量
即此过程为等压过程。
9-4 2mol 氧气由状态1变化到状态2所经历的过程如图所示：(1)沿l →m →2路径。(2)1→2直线。试分别求出两过程中氧气对外作的功、吸收的热量及内能的变化。
[解] (1) 在1→m →2这一过程中，做功的大小为该曲线下所围的面积，氧气对外做负功。
()()J V V P A 4
352
121101.81010013.1105020?-=???-?-=--= 由气体的内能公式T C E V
ν=和理想气体的状态方程RT pV ν=得
等压过程中各需吸收多少热量。
[解] 由理想气体状态方程
RT pV ν= 00RT V p RT pV ==ν
在等容过程中吸收的热量为 ()J 9310027310110013.1252535000=?????=?=?=-T R RT V p T C Q V V ν
在等压过程中吸收的热量为
()J 130********=?==?=?=V
p p Q T R T C Q νν
9-7 已知氢气的定体(积)比热为)K kg J 314?=V c
，若将氢气看作理想气体，求氩原子的质量。(定体(积)摩尔热容V mol V c M C
=)。 [解] 由定容摩尔热容量的定义知 R R i C V 2
32== 因此
V V V mol c R c C M 23==
氩原子的质
量为 ()kg 1059.6314
1002.631.823232623-?=???===V A A mol
c N R N M m
9-8 为测定气体的λ (V p C
=)值有时用下列方法：一定量的气体的初始温度、体积和压强为0T 、0V 和0
p ，用一根电炉4对它缓慢加热。两次加热
的电流强度和时间相同，第一次保持体积0V 不变，而温度和压强变为1T 和1
p 。第二次保持压强0p 不变，而温度和体积变为2T 和1V 。试证明
()()001001p V V V p p --=γ
[证明] 两次加热气体吸收的热量相同，等容过程吸收的热量为()011T T C Q V -=ν
等压过程吸收的热量为
()022T T C Q p -=ν 由 21Q Q =可得 ()()0201T T C T T C
p V -=-νν 所以 0201T T T T C C V p
--==γ
由理想气体状态方程
000RT V p ν=
101RT V p ν= 210RT V p ν= 因此 00101V R p p T T ν-=-
00102p R V V T T ν-=- 所以得到
()()0
01001p V V V p p --=γ 9-9 已知1mol 固体的状态方程为bp aT v
v ++=0，内能apT cT E +=，式中0v 、a 、b 、c 均为常量，求该固
体的p C 、V
C 。 [解] 由热力学第一定律可得 pdV dE dA dE dQ +=+= (1)
由已知条件可得
bdp adT dV += (2)
apdT aTdp CdT dE ++=
(3) 将(2)、(3)代入(1)得
()bdp adT p apdT aTdp CdT dQ ++++= (4)
在等压过程中，0=dp
所以 ()dT ap C dQ 2+= 因此 ap C C p 2+=
在等容过程中 0=dV 代入(2)式得 0=+bdp adT 因此 dT b a dp -=
代入(4)式得 dT b T a ap c dT b a b adT p apdT dT b a aT CdT dQ ???
? ??-+=???? ????? ??-+++??? ??-+=2 所以 b T a ap c C V 2-+=
9-10 已知范德瓦尔斯气体的内能：0
E V a T C E V +-=。其中V C 、a 、0
E 为常数，试证明其绝热过程方程为()常数=-V
C R b V T [证明] 范德瓦尔斯气体的状态方程为 ()RT b V V a p =-??? ??+2 (1)
又由已知条件可得
dV V a dT C dE V 2+= (2)
绝热过程
0=dQ ，由热力学第一定律得 pdV dA dE -=-= (3)
由(2)、(3)式可得
pdV dV V a dT C V -=+2 (4)
由 (1)式可得 2V
a b V RT p --= (5)
将(5)代入(4)式有
dV b V RT dV V a dV V a dT C V --=+22 解得
b V RT dT C V --= 积分得 ()常数=-+b V T R C V ln ln 即
()常数=-R C V T b V 这就是范德瓦尔斯气体的绝热过程方程。
9-11 如图所示是氮气循环过程，
求：(1)一次循环气体对外作的功；
(2)循环效率。
[解] (1) 一次循环过程气体对外作功的大小为闭合曲线所包围的面积，由图知，其包围的面积为
()()1412V V p p S --=
()()()J 100.2101015510335?=??-?-=-
该循环对外作功为正，所以
()J 100.23?=A (2) 该循环过程中，从2→3，1→2为吸收热
量过程 其中2→3为等压过程，吸收热量为
()()223322332312727V p V p R V p R V p R T T C Q p -=??? ??-=-=νννν
()()J 104.1101011051027435?=???-?=-
1→2为等容过程，吸收热量为 ()()1122113221212
525V p V p R V p R V p R T T C Q V -=???? ??-=-=νννν ()()J 1025.110101*********?=???-?=-
因此吸收的总热量为 ()J 10525.1421?=+=Q Q Q
该循环的效率为
%1.13%10010
525.1100.243=???==Q A η 9-12 一理想气体的循环过程如图所示，其中ca 为绝热过程，点 a 的状态参量为
()11,V T ，点b 的状态参量为()2
2,V T ，理想气体的热容比为γ，求(1)气体在
ab 、bc 过程中与外界是否有热交换?
数量是多少?(2)点c 的状态参量；
(3)循环的效率。
[解] (1) ab 过程是等温过程，系统吸收热量为
121ln V V RT A Q T ν==
bc 过程是等容过程，系统吸收热量为 ()2
T T C Q c V V -=ν
因 c T <2
T ，故该过程是放热过程。 (2) 从图上可看到 2V V
c = 又 ac 为绝热过程，故根据绝热方程 1121111T V V T V V T c c --???? ??=???? ??=γγ
又有
γγ11V p V p c c = 得到
121211121211-???? ??=???? ??=???? ??=γγγννV V V RT V RT V V V V p p c
(3) ()()[]()??????
??????-?-=--=--=-=--12121121112121212ln 11ln 1ln 11V V V V R C V V RT T V V T C V V RT T T C Q Q V V C V T V γγννη
9-13 图中闭合曲线为一理想气体的循环过程曲线，其中ab 、cd 为绝热线，bc 为
等体(积)线，da 为等压线，试证明
其效率为
b c a
d T T T T ---=γη1
式中了a T 、b T 、c
T 、d T 分别为a 、b 、c 、d 各状态的温度，v p C C
=γ。 [证明] da 为放热过程，其放出的热量为 ()a
d p T T C Q -=ν2 bc 为吸热过程，其吸收的热量为
()b c V T T C Q -=ν1
所以其效率为 ()()b c a d b c V a d p T T T T T T C T T C Q
Q
---=---=-=γννη11112
9-14 如图所示，AB 、BC 为绝热线，COA 是等温线。 已知系统在COA 过程中放热J 100，OAB
的面积是J 30，ODC 的面积为
J 70，试问在BOD 过程中系统是吸热还是放热?热量是多少?
[解] 因COA 是等温线，COA 过程中J Q A CA
CA 100-== 又因AB 、DC 为绝热线，AB AB A E -=?
DC DC A E -=? OAB 过程系统作负功，ODC 过程系统作正功，整个循环过程系统作功
3070-=+++CA DC BD AB A A A A
BOD 过程中系
统吸热 A
B BD D
C AB B
D BD
E E E E E E A Q -+=?+?+?+=?+=140140 由于COA 是等温过程，过程中系统内能变化为零，即
0=-A B E E 因此BOD 过程中系统吸热 140=Q
9-15 一致冷机进行如图所示
的循环过程，其中ab 、cd 分别是
温度为1T 、2
T 的等温线，bc 、da 为等压过程，设工作物质为理想气体。证明这致冷机致冷系数为：
1
2
121
ln 22p p i T T T ++-=ω [证明] ab 为等温过程，吸收热量为
12111ln p p RT A Q ν==
cd 为等温过程，其放出的热量大小为
12222ln p p RT A Q ν==
bc 为等压过程，吸收的热量为
()123T T C Q p -=ν da 为等压过程，放出的热量大小为 ()1
24T T C Q p -=ν 所
以致冷系数 ()()1
2
121314231ln 22p p i T T T Q Q Q Q Q Q Q Q Q A Q ++-=+-++=-==吸放吸
吸
ω
9-16 mol 1理想气体，初态压强为1P ，体积为1V ，经等温膨胀使体积增加一倍，然后保持压强不变，使其压缩到原来的体积，最后保持体积不变，使其回到初态。
(1)试在V P -图上画出过程曲线；
(2)求在整个过程中内能的改变，系统对外作
的净功、从外界吸收的热量以及循环效率。
[解] (1)
过程曲线
(2) 系统经过循环又回到初态，所以其内能改变量0=?E
a →
b 为等温过程，系统对外作正功2ln ln 11121V p V V RT A ==ν
b →
c 为等压过程，系统对外作负功，其数值大小为()()122111222V V V V p V V p A -=-=
过程中总功 ()11122
1111219.02ln V p V V V V p V p A A A =--=-= 系统从外界吸收的净热量
1119.0V p A Q == a →b 过程吸热为 2ln 1111V p A Q ==
12p p
c →a 过程中吸收的热量为
()??? ??-=-=R V p R V p C T T C Q V c a V νννν12112
()V p V V V p p V p p 1121111214
32323=???? ??-=-=
所以 %2.13132.0432ln 19.011111121==+=+=V p V p V p Q Q A η
9-17 一可逆卡诺热机低温热源的温度为27℃，热机效率为 40％，它的高温热源的温度是多少?今欲将热机效率提高到50％，若低温热源保持不变，则高温热源的温度应增加多少度?
[解] 可逆卡诺循环的效率为1
2
1T T -=η 所以 ()K 5004
.01300121=-=-=ηT T 若 %50='η，则
()K 6005.01300121=-='-='ηT T 所以
()K 10050060011=-=-'=?T T T
9-18 有一卡诺热机，用29kg 空气为工作物质，高温热源和低温热源的温度分别为27℃和-73℃，求此热机的效率。若在等温膨胀过程中工作物质的体积增大到2.718倍，则此热机每一
循环所作的功是多少?
[解] 此热机的效率为 %3.333002001112=-
=-=T T
η
在等温膨胀过程中，吸收的热量为
()J 1049.2718.2ln 30031.8291029ln 431211?=????==V V RT Q ν
又 1
Q A =η 所以
()J 1031.81049.23154?=??=A
9-19 在高温热源为127℃、低温热源为27℃之间工作的卡诺机，一次循环对外作净功为8000J ，今维持低温热源温度不变，提高高温热源的温度，使其一次循环对外作功10000J ，若两次循环该热机都工作在相同的两条绝热线之间，试求：
(1)后一卡诺循环的效率。
(2)后一卡诺循环的高温热源的温度。
[解] (1) 设前一卡诺循环从高温热源吸收热
量为1
Q ，则有1
1
Q A =η 又 414003001112=-=-=T
T
η
所以 ()
J 320004800011=?==ηA Q
后一卡挪循环从高温热源吸收热量为 ()J 34000800010000320001
211=-+=-+='A A Q Q 所以第二个卡诺循环的效率为 %4.29%100340001000012=?='='Q A η
(2) 第二个卡诺循环的高温热源温度为 ()K 425294.01300121=-='-='ηT T
9-20 一台家用冰箱，放在气温为300K 的房间内，做一盘-13℃的冰需从冷冻室取走J 1009.25?的热量。设冰箱为理想卡诺致冷机。
(1)求做一盘冰所需要的功；
(2)若此冰箱能以J 1009.25
?的速率取走热量，求所要求的电功率是多少瓦?
(3)做一盘冰需时若干?
[解] (1) 致冷系数为 2
12
2T T T A Q -==ω 得到 ()()()J 1022.32602603001009.2452212?=-??=-=T T T Q A
(2) 取走制一盘冰的热量所需要的时间为 ()s 101009.21009.23
2
5=??=t 所以电功率为 ()s 2.32101022.33
4
=?==t A P
(3) 做一盘冰所需要的时间为 3
10s 。
9-21 绝热容器中间有一无摩擦、绝热的可动活塞，如图所示，活塞两侧各有mol ν的理想气体，5.1=γ，其初态均为0P ，0V 、0
T 。现将一通电线圈置入左侧气体中，对气
体缓慢加热，左侧气体吸热膨胀推
动活塞向右移，使右侧气体压强增加为0
375.3P ，求； (1)左侧气体作了多少功?
(2)右侧气体的终态温度是多少?
(3)左侧气体的终态温度是多少?
(4)左侧气体吸收了多少热量?
[解] (1) 右侧气体所发生的过程为绝热过程。它对外所做的功的负值就是左侧气体所作的功。所以左侧气体作功为12200---='-=γV p V
p A A 又对右侧气体：γγγ202200375.3V p V p V
p ==
因此 γ102375.3V V = 所以 000000122001
375.3375.31V p V p V p V p V p A =--=---=γγγ (2) 对右侧气体，由绝热方程知 ()γγγγ---=2
10010375.3T p T p 得到 00325.1375.3T T T ===
(3) 左侧气体末态体积为 γ1002001375.32V V V V V V -=-+=
得到
00000010011125.525.212375.3375.312375.3T T T V p V V p R V p T =??
? ??-?=??? ??-==γν (4) 左侧气体吸收热量
()()0000011125.5V p T T C A T T C A E Q V V +-=+-=+?=νν
由000RT V p ν= 知 R V p T ν000= 又由
5.1=+==V V V p
C R C C C γ，得到R C V 2= 所以
00000015.925.42V p V p R V p R Q =+???=νν
9-22 如图所示，在刚性绝热容器中
有一可无摩擦移动而且不漏气的导热隔板，将容器分为A 、B 两部分，各盛有1mol 的e H 气和2O 气。初态e H 、2O 的温度各为K 300=A T ，K 600=B T ；压强均为
atm 1。求：
(1)整个系统达到平衡时的温度T 、压强P (氧气可视为刚性理想气体)；
(2) e H 气和2
O 气各自熵的变化。 [解] (1) 因中间是导热隔板，过程中两部分气体热量变化和作功的数值都相等，所以内能变
化量的数值也相等，且由于初温度不同而末温度相同所以一正一负。
因此 ()()T T C T T C B VB B A VA A '-=-'νν
解得 K 5.48753600530032
5232523=+?+?=++=++='R R RT RT C C T C T C T B A VB VA B VB A VA 因平衡时温度、压强都相等，且都是1mol ，所以体积也相等。
()A B A A B B B A A A B A B A p R T T p R p RT p RT V V V V 45021212=+=???? ??+=+='='νν
根据理想气体状态方程得到压强为
()atm 08.114505.478450=?=?'=''='A
p T R V T R p ν (2) He 气熵变
????'''+=+==?T T V V A VA A He He He A A
A T RdV T dT V T pdV dE T dQ S νν
()K J 45.92ln ln 23=++'=A B A A T T T R T T R
氧气熵变 ????'''+=+==?T T V V B VB B O O O B B B T RdV T dT V T pdV dE T
dQ S νν222 ()K J 68.62ln ln 23-=++'=B B A B T T T R T T R
9-23 已知在0℃1mol 的冰溶化为0℃的水需要吸收热量 6000 J ，求：
(1)在0℃条件下这些冰化为水时的熵变；
(2) 0℃时这些水的微观状态数与冰的微观状态数的比。
[解] (1) 温度不变时，熵变为 ()K J 0.22273600010====???dQ T T dQ S
(2) 根据波尔兹曼熵公式 冰
冰Ω=ln k S
水水Ω=ln k S 冰
水冰水冰水ΩΩ=Ω-Ω=-=?ln ln ln k k k S S S 根据上问结果，得
2423106.11038.10.22???===Ω
Ω-e e e k S
冰水
9-24 把2mol 的氧从40℃冷却到0℃，若(1)等体(积)冷却；(2)等压冷却。分别求其熵变是多少?
[解] 在等容压缩过程中dT C dQ V ν= 因此()K J 2.0313273ln 252273
313
-=?====????R T dT C T dT C T dQ S V V νν 在等压冷却过程中，dT C dQ p
ν= ()K J 28.0313273ln 272273313-=?====????R T dT C T dT C T dQ S p p νν
9-25 取1mol 理想气体，按如图所示的两种过程由状态A 到达状态C 。
(1)由A 经等温过程到达状态 C ；