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2014年高考文科数学真题解析分类汇编:D单元 数列(纯word可编辑)

数 学

D 单元 数列

D1 数列的概念与简单表示法

17.、、[2014·江西卷] 已知数列{a n }的前n 项和S n =3n 2-n 2

,n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式;

(2)证明:对任意的n >1,都存在m ∈N *,使得a 1,a n ,a m 成等比数列.

17.解:(1)由S n =3n 2-n 2

,得a 1=S 1=1.当n ≥2时,a n =S n -S n -1=3n -2,a 1也符合上式,所以数列{a n }的通项公式为a n =3n -2.

(2)证明:要使得a 1,a n ,a m 成等比数列,只需要a 2n =a 1·a m ,即(3n -2)2=1·

(3m -2),即m =3n 2-4n +2.而此时m ∈N *,且m >n ,

所以对任意的n >1,都存在m ∈N *,使得a 1,a n ,a m 成等比数列.

18.、[2014·江西卷] 已知函数f (x )=(4x 2+4ax +a 2)x ,其中a <0.

(1)当a =-4时,求f (x )的单调递增区间;

(2)若f (x )在区间[1,4]上的最小值为8,求a 的值.

18.解:(1)当a =-4时,由f ′(x )=2(5x -2)(x -2)x

=0得x =25或x =2,由f ′(x )>0得x ∈???

?0,25或x ∈(2,+∞). 故函数f (x )的单调递增区间为???

?0,25和(2,+∞). (2)因为f ′(x )=(10x +a )(2x +a )2x

,a <0, 所以由f ′(x )=0得x =-a 10或x =-a 2

. 当x ∈????0,-a 10时,f (x )单调递增;当x ∈????-a 10

,-a 2时,f (x )单调递减;当x ∈????-a 2,+∞时,f (x )单调递增. 易知f (x )=(2x +a )2x ≥0,且f ???

?-a 2=0. ①当-a 2

≤1,即-2≤a <0时,f (x )在[1,4]上的最小值为f (1),由f (1)=4+4a +a 2=8,得a =±22-2,均不符合题意.

②当1<-a 2≤4时,即-8≤a <-2时,f (x )在[1,4]时的最小值为f ????-a 2=0,不符合题意.

③当-a 2

>4时,即a <-8时,f (x )在[1,4]上的最小值可能在x =1或x =4时取得,而f (1)≠8,由f (4)=2(64+16a +a 2)=8得a =-10或a =-6(舍去).

当a =-10时,f (x )在(1,4)上单调递减,f (x )在[1,4]上的最小值为f (4)=8,符合题意.

综上有,a =-10.

16.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 数列{a n }满足a n +1=11-a n ,a 8=2,则a 1=________. 16.12 [解析] 由题易知a 8=11-a 7=2,得a 7=12;a 7=11-a 6=12,得a 6=-1;a 6=11-a 5

=-1,得a 5=2,于是可知数列{a n }具有周期性,且周期为3,所以a 1=a 7=12

.

D2 等差数列及等差数列前n 项和

2.[2014·重庆卷] 在等差数列{a n }中,a 1=2,a 3+a 5=10,则a 7=( )

A .5

B .8

C .10

D .14

2.B [解析] 由题意,得a 1+2d +a 1+4d =2a 1+6d =4+6d =10,解得d =1,所以a 7=a 1+6d =2+6=8.

5.[2014·天津卷] 设{a n }是首项为a 1,公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和.若S 1,S 2,S 4成等比数列,则a 1=( )

A .2

B .-2

C.12 D .-12

5.D [解析] ∵S 2=2a 1-1,S 4=4a 1+4×32

×(-1)=4a 1-6,且S 1,S 2,S 4成等比数列,∴(2a 1-1)2=a 1(4a 1-6),解得a 1=-12

.

15.、[2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列.

(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;

(2)求数列{b n }的前n 项和.

15.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得

d =a 4-a 13=12-33

=3. 所以a n =a 1+(n -1)d =3n (n =1,2,…).

设等比数列{b n -a n }的公比为q ,由题意得

q 3=b 4-a 4b 1-a 1=20-124-3

=8,解得q =2. 所以b n -a n =(b 1-a 1)q n -1=2n -

1.

从而b n =3n +2n -1(n =1,2,…).

(2)由(1)知b n =3n +2n -1(n =1,2,…). 数列{3n }的前n 项和为32n (n +1),数列{2n -1}的前n 项和为1×1-2n

1-2

=2n -1, 所以,数列{b n }的前n 项和为32

n (n +1)+2n -1. 17.,[2014·福建卷] 在等比数列{a n }中,a 2=3,a 5=81.

(1)求a n ;

(2)设b n =log 3a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .

17.解:(1)设{a n }的公比为q ,依题意得

?????a 1q =3,a 1q 4=81,解得?

????a 1=1,q =3. 因此,a n =3n -1.

(2)因为b n =log 3a n =n -1,

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