数论余数部分练习题
【1】1013除以一个两位数得到的余数为12，这个两位数有 种可能的取值．
【分析】根据题意可知，这个两位数是1013121001-=的约数，而且大于12；
由于100171113=??，两位数约数有11、13、77、91，其中11不满足，所以这个两位数有3种可能的取值．
【2】（2009年第七届走美六年级初赛）1234567891011121314……20082009除以9，商的个位数字是 。
【分析】首先看这个多位数是否能为9整除，如果不能，它除以9的余数为多少。 由于任意连续的9个自然数的和能被9整除，所以它们的各位数字之和能被9整除，那么把这9个数连起来写，所得到的数也能被9整除。
由于200992232÷= ，所以1234567891011121314…20082009这个数除以9的余数等于20082009（或者12）除以9的余数，为3.
那么1234567891011121314…20082009除以9的商，等于这个数减去3后除以9的商，
即1234567891011121314…20082006除以9的商，那么很容易判断商的个位数字为4.
【3】（第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛）有一列数：1，3，9，25，69，189，517，…其中第一个数是1，第二个数是3，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1，那么这列数中的第2008个数除以6，得到的余数是 ．
【分析】这列数除以6的余数有以下规律：1，3，3，1，3，3，1，3，3，…，因为，所以第2008个数除以6余1．
【3】(2008年101中学考题)2008222008+除以7的余数是 ．
【分析】328=除以7的余数为1，200836691=?+，所以200836691366922
(2)2?==?＋，其除以7的余数为：669122?=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．
【4】(第六届走美决赛六年级试题)M ,N 为非零自然数，且20072008M
N +被7整除．M N +的最小值为
【分析】 20075(mod 7)≡
200866691÷=
2220075(mod 7)4(mod 7)
≡≡ 3320075(mod 7)45(mod 7)6(mod 7)≡≡?≡
4420075(mod 7)65(mod 7)2(mod 7)
≡≡?≡ 5520075(mod 7)25(mod 7)3(mod 7)
≡≡?≡ 6620075(mod 7)35(mod 7)1(mod 7)≡≡?≡
77
20075(mod 7)15(mod 7)5(mod 7)≡≡?≡ 因此2008N 除以7的余数为5，4，6，2，3，1，六个一循环
同理，1两个一循环，因此20072008M N +被7整除，2007M 除以7的余数与
2008N 除以7的余数的和为7，又要求M N +最小，M N +的最小值为
325+=
【5】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是
25．这3个余数中最大的一个是多少？
【分析】由于这三个数除以这个自然数后所得的余数和为25，所以63、90、130的和除以这个自然数后所得的余数为25，所以639013025258++-=能被这个自然数整除.258=2×3×43,显然当除数为2、3、6时，3个余数的和最大为()3213?-=，
()3316?-=，()36115?-=，所以均不能满足条件.
当除数为43×2、43×3、43×6时，它除63的余数均是63，所以也不满
足．那么除数只能是43，它除63，90，130的余数依次为20，4，1，余数
的和为25，满足，其中最大的是20．
【6】甲、乙、丙三数分别为603，939，393．某数A 除甲数所得余数是A 除乙数所得余数的2倍，A 除乙数所得余数是A 除丙数所得余数的2倍．求A 等于多少？
【分析】设这个数为M ，则11603M
A r ÷= 22939M
A r ÷= 33393M
A r ÷=
122r r =,232r r =,要消去余数1r ,2r ,3r ,我们只能先把余数处理成相同的，再两数
相减． 这样我们先把第二个式子乘以2，这样被除数和余数都扩大2倍，同理，第三个式子乘以4．
这样我们可以得到下面的式子：
11603M A r ÷=
()22939222M
A r ?÷=
()33393424M A r ?÷=
这样余数就处理成相同的．最后两两相减消去余数，意味着能被整除．
9392603?-=，3934603969?-=，
()1275,96951317
==?． 经检验A 等于17．
【7】有一类四位数，它们恰好是自己的各位数字之和的83倍，那么这样的四位数有 个．
【分析】因为原四位数恰好是自己的数字和的83倍，而一个数除以9的余数与它的数字和除以9的余数相等，那么这个数与它的数字和的差就是9的倍数，所以本题中原四位数减去它的数字和后(即数字和的82倍)是9的倍数；而()82,91=，所以数字和是9的倍数，原数是839747?=的倍数，
又因为是原数是四位数，各位数字之和最多为36，所以原数至多是83的36
倍，也就是至多是747的4倍．
依次检验：74721494?=符合，而74732241?=和74742988?=
均不符合． 所以满足条件的四位数只有1个．
【8】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【分析】法一：仔细分析可以发现321527?+=+=，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于[]3,5,11165=，所以这个数最小是1657172+=． 法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．
【9】一个小于200的自然数，被7除余2，被8除余3，被9除余1，这个数是多少？
【分析】 注意到72835-=-=，也就是说该数加上5以后可被7和8整除，也就是56的
倍数．
这个数又小于200，因此这个数只可能是565-，5625?-，5635?-，
经检验发现只有5635163?-=被9除余1符合要求，因此该数为163．
【10】有连续的三个自然数a 、1a +、2a +，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？
【分析】仔细观察，可知由于a 、1a +、2a +恰好分别是9、8、7的倍数，那么9a +、18a ++、27a ++也分别是9、8、7的倍数，即9a +是9、8、7的公倍数，那么9a +的最小值是987504??=，即a 至少是5049495-=．
【11】一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？
【分析】一个自然数被5、6、7除余数都是1，那么这个自然数与1的差能被5、6、7都整除．因此这样的自然数就是由5、6、7的公倍数再加1组成的，其中最小的一
个是5、6、7的最小公倍数210再加1，即211．然后依次加上210，就得到所有这样的自然数．这些自然数恰好构成首项是211，公差是210的一个等差数列．由于2104719871?+=不超过10000，而21048110080?+=大于10000．所以在10000以内被5、6、7除时余数是1的自然数中最大值是201471?+，这样满足条件的自然数共有47个．
说明：值得注意的是，1被5、6、7除时商数都是零，余数都是1．因此也可以认为1是被5、6、7除余数都是1的自然数．这样本题的答案应该是48．
【12】有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出一组这样的三个连续自然数．
【分析】设三个连续自然数中最小的一个为n ，则其余两个自然数分别为1n +，2n +．
依题意可知：15|n ，()17|1n +，()19|2n +，根据整除的性质对这三个算式进
行变换：
()()()()()()()()15|15|215|21517|117|2217|215[15,17,19]|21519|219|2419|215n n
n n n n n n n n →→-?
?+→+→-?-??+→+→-?
从上面可以发现215n -应为15、17、19的公倍数．
由于[15,17,19]4845=，所以()215484521n k
-=-(因为215n -是奇数)，可得
48452415n k =-． 当1k =时2430n =，12431n +=
，22432n +=，所以其中的一组自然数为
2430、2431、2432． 【13】（第13届日本算术奥林匹克预赛试题高小组）有四个连续的都大于1的整数A 、B 、
C 、
D （A ＜B ＜C ＜D ）。这四个整数按照顺序分别是7、9、11、13的倍数，求符合以上条件的A 、B 、C 、D 组合的最小的A 。
【分析】令四个数分别是a ，a +1,a +2,a +3，则他们分别是7、9、11、13的倍数，则相当于a 除以7余0，a 除以9余8；a 除以11余9；a 除以13余10。则2a 用9除余7；用11除余7；用13除余7。
且2a 是显然还是7的倍数，也可以认为是用7除余7。则(2a -7)是7、9、11、13的倍数。7×9×11×13=9009。
所以2a =9016.a =4508。所以符合条件的a 的最小值为4508。
【14】试求105253168?的末两位数．
【分析】分别考虑这两个幂除以4和25所得的余数．
首先考虑4，253除以4余数是1，所以25310除以4的余数仍是1；168是4
的倍数，它的5次方仍是4的倍数，即除以4的余数为0，则原数除以4的
余数也是0．
再考虑25，253除以25余3，则只需看310除以25的余数，又
310=27×27×27×3，则310除以25的余数为2×2×2×3=24；168除以25余
18，则只需看51832432418=??除以25的余数，可知余数为18；又
2418432?=除以25的余数为7，所以原式除以25的余数即为7．
两位数中，能被4整除，除以25余7的数只有32，则原式的末两位即为32．
【15】求一个最小的自然数，它乘以2后是完全平方数，乘以3后是完全立方数，乘以5后是5次方数．
【分析】为使所求的数最小，这个数不能有除2、3、5之外的质因子．
设这个数分解质因数之后为235a b c ??，则根据题意可知，
a 是
3和5的倍数，且除以2余1； b 是2和5的倍数，且除以3余2；
c
是2和3的倍数，且除以5余4． 可以求得a 、b 、c 的最小值分别为15、20、24，
所以这样的自然数最小为152024235??．
【16】著名的裴波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？
【分析】根据“和的余数等于余数的和”，将裴波那契数列转换为被3除所得余数的数列：
1、1、
2、0、2、2、1、0、1、1、2、0……
第九项和第十项连续两个是1，与第一项和第二项的值相同且位置连续，所
以裴波那契数列被3除的余数每8个一个周期，所以第2008项被3除所得的
余数为0.
【17】（2008年第六届走美五年级初赛第8题）20086a
b ÷= ,,a b 均为自然数．a
有____________种不同的取值．
【分析】由20086a b ÷= 可知，a b +6=2008，a b =2002。又因为
2002=2×7×11×13，而且a >6，所以a 的取值有：3+2344C C ++1=14（种
【18】（2009年第14届华杯赛试题）在大于2009的自然数中，被57除后，商与余数相等的数共有______个.
【分析】根据题意，设这样的数除以57所得的商和余数都为a （a ﹤57），则这个数为57×a +a =58a 。所以58a ﹥2009，得到a ﹥2009÷58=37
3458，由于a 为整数，所以
a 至少为35.又由于a ﹤57，所以a 最大为56，则a 可以为35，36，37，…，56.由于每一个a 的值就对应一个满足条件的数，所以所求的满足条件的数共有56-35+1=22个。
【19】（2009年第七届走美初赛六年级第8题）有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有
_________个是5的倍数。
【分析】由于两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数．
所以这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，……可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数．由于200954014÷= ，所以前2009个数中，有401个是5的倍数．
【20】（2010年第8届希望杯5年级1试第4题，6分）有三个自然数a ，b ，c ，已知b 除以a ，得商3余3；c 除以a ，得商9余11。则c 除以b ，得到的余数是 。
【分析】
33
911
(99)232b a c a c a b =+=+=++=+
所以应该余2.
【21】（1）13199191199119911919911991÷
个的余数是 ；
（2）()72200820082÷+的余数是 ；
（3）2008200720082006+计算结果的个数数字是_______；
【分析】（1）因为911991199119
能被13整除，那么我们观察一下 1991
19911991911991199119个中 有几个911991199119即可，所以266331991 =÷。
所以1319919119911991191991
1991÷ 个的余数就和1319911991÷的余数相同，经计算，
余数为8。
（2）首先，720082÷的余数是1；其次我们观察722008÷的余数：
72÷余2；722÷余4；723÷余1，所以我们看看20082中有多少个32，
166932008 =÷，所以722008÷的余数与72÷余数相同，那么722008÷的余 数是2，所以()72
200820082÷+的余数是3。 （3）我们先观察20082008的个位数字：
注意到，12008的个位数字是8；22008的个位数字是4；32008的个位数字是2； 42008的个位数字是6；52008的个位数字是8；
我们只需要观察20082008
中有多少个42008就可以了，50242008=÷余0。 所以20082008的个位数字是6。而20072006
的个位数字与12006是一样的，是6。 那么，2008
200720082006+的个位数字就是66+的个位数字，就是2。
【22】(2008年101中学考题)2008
222008+除以7的余数是 ． 【分析】328=除以7的余数为1，200836691=?+，所以200836691366922(2)2?==?＋，其除以7的余数为：669122?=；2008除以7的余数为6，则22008除以7的余数等于26除以7的余数，为1；所以2008222008+除以7的余数为：213+=．
【23】 设20092009的各位数字之和为A ，A 的各位数字之和为B ，B 的各位数字之和为C ，C 的各位数字之和为D ，那么D = ．
【分析】 由于一个数除以9的余数与它的各位数字之和除以9的余数相同，所以
2009
2009与A 、B 、C 、D 除以9都同余，而2009除以9的余数为2，则
20092009除以9的余数与20092除以9的余数相同，而6264=除以9的余数为1，所以()334200963345652222?+==?除以9的余数为52除以9的余数，即为5．
另一方面，由于20092009803620091000010<=，所以20092009的位数不超过8036
位，那么它的各位数字之和不超过9803672324?=，即72324A ≤；那么A 的
各位数字之和9545B
以9的余数为5，那么C 为5或14，C 的各位数字之和为5，即5D =．
【24】（1984年第1届迎春杯试题）一个自然数被5、6、7除时余数都是1，在10000以内，这样的数共有多少个？
【分析】一个自然数被5、6、7除余数都是1，那么这个自然数与1的差能被5、6、
7都整除．因此这样的自然数就是由5、6、7的公倍数再加1组成的，其中最小的一
个是5、6、7的最小公倍数210再加1，即211．然后依次加上210，就得到所有这
样的自然数．这些自然数恰好构成首项是211，公差是210的一个等差数列．由于
?+=大于10000．所以在10000以内?+=不超过10000，而21048110080
2104719871
被5、6、7除时余数是1的自然数中最大值是201471
?+，这样满足条件的自然数共
有47个．
说明：值得注意的是，1被5、6、7除时商数都是零，余数都是1．因此也可以认为1是被5、6、7除余数都是1的自然数．这样本题的答案应该是48．
【25】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数．【分析】法一：
将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：
11余1，所以21051050
+++=是符合?=被11除余5，由此可知77069316510502678条件的一个值，但不是最小值，还需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小
于它们的最小公倍数．
由于3、5、7、11的最小公倍数是1155，所以267811552368
-?=是符合条
件的最小值．
法二：
对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、
5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到
?+?+?=是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是702213154263
263105253
-?=；由于53除以11的余数为9，105除以11的余数为6，可知96327
+?=是满足条件的最小数．+?=除以11的余数为5，所以531053368
也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8，
也就是除以3、5、7的余数都是1，所以满足前三个条件的数最小为
??+÷=，后面的步骤与上面的解法相同．
(3571)253
【26】一个数除以2、3、5、7、11的余数分别是1、2、3、4、5，求符合条件的最
小数．
【分析】本题实际上就是求被3、5、7、11除的余数分别是2、3、4、5的最小奇数，根据上面例题可知符合条件的最小偶数是368，所以只要将368加上
35711
???就能求得符合条件的最小奇数，这个数是368357111523
+???=．
【拓展】有三个连续的自然数，它们的平方从小到大依次是10、9、8的倍数。这三个数中最小的一个是多少？
【分析】三数分别是10，3，4的倍数，最大数
102
3152
40
÷
?
?
÷?
?
?÷
?
所以最小的数是50
【27】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．
【分析】由于这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而[]
7,8,9504
=，所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被7，8，9
除的三个商数的和是570111573
+++=，
而504分别除以7、8、9所得的商之和是897879191
?+?+?=，由于5731913
÷=，所以这个数加上6等于504的3倍，则这个数是504361506
?-=．【28】有连续的三个自然数a、1
a+、2
a+，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求
这三个自然数中最小的数至少是多少？
【分析】法一：
由1
a+是8的倍数，得到a被8除余7，由2
a+是7的倍数，得到a被7除余5，现在相当于一个数a除以9余0，除以8余7，除以7余5.运用中国剩余
定理求a(用逐步满足的方法也可以)：
7和88余1的
最小是441；8和9的公倍数中除以7余1的最小是288，根据中国剩余定理，
2800441728854527
?+?+?=符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需
要减去7、8、9的公倍数，可知()45277898495-???=是满足各个余数条件
的最小值，所以a 至少是495． 法二：
仔细观察，可知由于a 、1a +、2a +恰好分别是9、8、7的倍数，那么9a +、18a ++、27a ++也分别是9、8、7的倍数，即9a +是9、8、7的公倍数，那么9a +的最小值是987504??=，即a 至少是5049495-=．
【29】对任意的自然数，证明能被整除．
【分析】，与互质，因为2903被7除余5，803被7除余5，464被7除余2，261被7除余2，所以，被7除的余数与被7除的余数相等，都为0，故能被整除．
又因为2903被271除余193，803被271除余261，464被271除余193，
所以
被271除的余数等于被
271除的余数，故 能被整除． 因为与互质，所以能被整除．
【30】（2009年秋季学而思杯六年级试题）三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的三位数中最小的数最大是 。
【分析】设中间数是a ，三个连续自然数的和是中间数的3倍即3a ，由13|3a 得13|a ，所以中间数能被13整除，而其中最大的数被9除余4，说明中间数被9除余3，从1000往下试能被13整除的数为988，975，…，975符合两个条件。所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是975-1=974.
【31】（第13届迎春杯决赛试题）一个自然数除以19余9，除以23余7．那么这个自然数最小是 ．
【分析】这是著名的中国剩余问题，即一元一次同余式组的最小正整数解．
n 2903803464261n n n n A =--+189718977271=?72712903803464261n n n n A =--+5522n n n n --+A 72903803464261n n n n A =--+193261193261n
n n n --+A 2717271A 1897
此题直接使用枚举法较为困难，我们可通过逐级满足法来实现之。
首先找到所有符合除以23余7的数可表示为237a +（从数大的开始考虑可以在后面使运算更为简单）。
则有：()237199a +÷ ，所以有：()23192a ÷ ，即()4192a ÷ 。所以有： 10a =，则这个自然数最小是237。
【32】学而思超常班来了四名新同学，分别是哈拉雷、维尼熊、Kitty 猫、孙悟空。有一天老师在黑板上写了一个两位数让四位同学猜，他们每个人都说了两句话： 哈拉雷说：“这个数除以余1；这个数除以余2。”
维尼熊说：“这个数除以4余3；这个数除以5余4。”
Kitty 猫说：“这个数除以6余5；这个数除以7余6。”
孙悟空说：“这个数除以8余7；这个数除以9余8。”
老师说每位同学都只说对了一半，请问这个两位数是多少？
【分析】我们观察到，如果这句话全对，那么我们设这个数为，则能被
同时整除。但是我们知道，这是不可能的。我们用假设法：
假设能被整除，则不能被整除；
则就能被整除，则就不能被整除；
而且也不能被整除，则就能被整除；
这样就不能被整除，则就能被整除。
这样的话能被整除，最小为，这不是一个两位数，所以这是不
可能的。
那么我们知道不能被整除，则能被整除；
则
不能被整除，能被整除； 则不能被整除，1+x 能被7整除；
则1+x 不能被5整除，1+x 能被4整除。
这样的话1+x 能被8,7,4,2整除，1+x 最小为56，所以55=x 。
【33】算式20072007200720071232006++++ 计算结果的个位数字是多少？
【分析】由于任意自然数除以10的余数均是4个一周期。
238x 1+x 9,8,7,6,5,4,3,21+x 91+x 81+x 31+x 21+x 41+x 51+x 61+x 71+x 9,7,5,31+x 3151+x 91+x 81+x 31+x 21+x 6
则2007200720072007333123
2006122006(mod10)++++≡+++ 方法一：223332220062007
122006*********?+++==?
其个位数字为1。
方法二：由于31与311的个位相同，32与312的个位相同，其他类似，
而()3331
2105mod 10+++≡ （可只计算个位），这样 ()33333333312200612345652001874561mod 10+++≡++++++?≡+++++≡
【34】有一些自然数n ，满足：2n n -是3的倍数，3n n -是5的倍数，5n n -是2的倍数。请问：这样的n 中最小的是多少？
【分析】根据题意，容易知道
()()()
2m od 33m od 55m od 2n n n n n n ?≡??≡??≡??
根据()2mod 3n n ≡可知，由于2n 除以3的余数为2、1、2、1、2、1两个一周期，n 除
以3的余数为1、2、0、1、2、 0三个一周期，则满足条件的n 的取为：64k
+或者65k +；
根据()3m od 5n n ≡可知，由于3n 除以5的余数为3、4 、2、1四个一周期；n 除以5的余数为1、2、3、 4、0五个一周期，则合起来20一周期，满足条件的n 取值为：207p +或者2012p +或者2013p +或者2014p +
根据()5mod 2n n ≡可知，n 必须为奇数。
则n 应同时符合65k +以及207p +或者2013p +
当1p =时，27与33均不能表示成65k
+的形式，不符合； 当2p =时，47675=?+
所以n 的最小值是47。
【35】算式13572007????? 计算结果的末两位数字是多少？
【分析】该数能被25整除且为奇数。所以该数的末两位数字只能为25或者75。 由于()1357911131517191mod 4????≡????≡
所以末两位数字为25
初等数论练习题一 一、填空题 1、τ(2420)=27；?(2420)=_880_ 2、设a ，n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_{-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4}. 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是x ≡11(mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100的通解是x=900+23t ，y=700+18t t ∈Z 。. 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_?(m )_。 7 8、??? ??10365 =-1。 9、若p 是素数，则同余方程x p - 1 ≡1(mod p )的解数为二、计算题 1、解同余方程：3x 2+11x -20≡0 (mod 105)。 解：因105 = 3?5?7， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 3)的解为x ≡1 (mod 3)， 同余方程3x 2+11x -38 ≡0 (mod 5)的解为x ≡0，3 (mod 5)， 同余方程3x 2+11x -20≡0 (mod 7)的解为x ≡2，6 (mod 7)， 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x ≡b 1 (mod 3)，x ≡b 2 (mod 5)，x ≡b 3 (mod 7)， 其中b 1 = 1，b 2 = 0，3，b 3 = 2，6， 由孙子定理得原同余方程的解为x ≡13，55，58，100 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解？ 11074217 271071107713231071107311072107 710731072107732107422110721721107213)(=∴-=-=-==-=-=-==??≡-?--?-）（）（）（）（），（）（）（）（），（）（））（）（（ ）（解： 故同余方程x 2≡42(mod 107)有解。 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。
小升初重点中学真题之数论篇 数论篇一 1 （人大附中考题） 有____个四位数满足下列条件：它的各位数字都是奇数；它的各位数字互不相同；它的每个数字都能整除它本身。 2 （101中学考题） 如果在一个两位数的两个数字之间添写一个零，那么所得的三位数是原来的数的9倍，问这个两位数是＿＿。 3（人大附中考题） 甲、乙、丙代表互不相同的3个正整数，并且满足：甲×甲=乙+乙=丙×135．那么甲最小是____。 4 (人大附中考题) 下列数不是八进制数的是( ) A、125 B、126 C、127 D、128 预测 1．在1～100这100个自然数中，所有不能被9整除的数的和是多少？
预测 2．有甲、乙、丙三个网站，甲网站每3天更新一次，乙网站每五5天更新一次，丙网站每7天更新一次。2004年元旦三个网站同时更新，下一次同时更新是在____月____日？ 预测 3、从左向右编号为1至1991号的1991名同学排成一行．从左向右1至11报数，报数为11的同学原地不动，其余同学出列；然后留下的同学再从左向右1至11报数，报数为11的同学留下，其余的同学出列；留下的同学第三次从左向右1至1l报数，报到11的同学留下，其余同学出列．那么最后留下的同学中，从左边数第一个人的最初编号是______． 数论篇二 1 （清华附中考题） 有3个吉利数888，518，666，用它们分别除以同一个自然数，所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____. 2 （三帆中学考题） 140，225，293被某大于1的自然数除,所得余数都相同。2002除以这个自然数的余数是 . 3 （人大附中考题）
1 浙江省2018年4月高等教育自学考试 初等数论试题 课程代码：10021 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．20被-30除的余数是（ ） A ．-20 B ．-10 C ．10 D ．20 2．176至545的正整数中，13的倍数的个数是（ ） A ．27 B ．28 C ．29 D ．30 3．200!中末尾相继的0的个数是（ ） A ．49 B ．50 C ．51 D ．52 4．从以下满足规定要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是（ ） A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 5．设n 是正整数，下列选项为既约分数的是（ ） A ． 3144 21++n n B ． 121 -+n n C ．2 512+-n n D ．1 31++n n 二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1．d(120)=___________。 2．314162被163除的余数是___________。 3．欧拉定理是___________。 4．同余方程3x ≡5(mod13)的解是___________。 5．不定方程10x-8y=12的通解是___________。
2 6．ο ___________)1847 365 ( = 7．［-π］＝___________。 8．为使n-1与3n 的最大公因数达到最大的可能值，则整数n 应满足条件___________。 9．如果一个正整数具有21个正因数，问这个正整数最小是___________。 10．同余方程x 3+x 2-x-1≡0(mod 3)的解是___________。 三、计算题(本大题共4小题，每小题10分，共40分) 1．解同余方程组 ???? ?? ?≡≡≡≡) 9(mod 4)7(mod 32)4(mod 23) 25(mod 1x x x x 2．解不定方程15x+10y+6z=19。 3．试求出所有正整数n ，使得2n -1能被7整除。 4．判断同余方程 x 2≡-1457(mod 2389) 是否有解？ 四、证明题(本大题共2小题，每小题10分，共20分) 1．证明形如4n+3的素数有无穷多个。 2．证明不定方程 x 2+y 2+z 2=x 2y 2 没有正整数解。
初等数论练习题 信阳职业技术学院 2010年12月
初等数论练习题一 一、填空题 1、d(2420)=___________； ?(2420)=___________。 2、设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=___________。 3、模9的绝对最小完全剩余系是___________。 4、同余方程9x+12≡0(mod 37)的解是__________。 5、不定方程18x-23y=100的通解是___________。 6、分母是正整数m 的既约真分数的个数为_______。 7、18100被172除的余数是___________。 8、?? ? ??10365 =___________。 9、若p 是素数，则同余方程x p 1 1(mod p )的解数为 。 二、计算题 1、解同余方程：3x 2 11x 200 (mod 105)。 2、判断同余方程x 2≡42(mod 107)是否有解 3、求（127156+34）28除以111的最小非负余数。 三、证明题 1、已知p 是质数，（a,p ）=1，证明： （1）当a 为奇数时，a p-1+(p-1)a ≡0 (mod p)； （2）当a 为偶数时，a p-1-(p-1)a ≡0 (mod p)。 2、设a 为正奇数，n 为正整数，试证n 2a ≡1(mod 2n+2)。 3、设p 是一个素数，且1≤k ≤p-1。证明：k p 1C - （-1 ）k (mod p )。 4、设p 是不等于3和7的奇质数，证明：p 6≡1(mod 84)。
初等数论练习题二 一、填空题 1、d(1000)=__________；σ(1000)=__________。 2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是__________。 3、费尔马(Fermat)数是指Fn=n 22+1,这种数中最小的合数Fn 中的n=_________。 4、同余方程13x ≡5(mod 31)的解是__________。 5、分母不大于m 的既约真分数的个数为_________。 6、设7∣(80n -1),则最小的正整数n=__________。 7、使41x+15y=C 无非负整数解的最大正整数C=__________。 8、?? ? ??10146=__________。 9、若p 是质数，n p 1，则同余方程x n 1 (mod p ) 的解数为 。 二、计算题 1、试求2004 2003 2002被19除所得的余数。 2、解同余方程3x 144x 10 6x 180 (mod 5)。 3、已知a=5,m=21,求使a x 1 (mod m)成立的最小自然数x 。 三、证明题 1、试证13|(54m +46n +2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)。 2、证明Wilson 定理的逆定理：若n > 1，并且(n 1)! 1 (mod n )，则n 是素数。 3、证明：设p s 表示全部由1组成的s 位十进制数，若p s 是素数，则s 也是一个素数。 4、证明：若2p 1是奇素数，则 (p !)2 ( 1)p 0 (mod 2p 1)。 5、设p 是大于5的质数，证明：p 4≡1(mod 240)。
初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+ =±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+= -=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+= -=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-= -=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡?≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;
全国2018年4月高等教育自学考试 数论初步试题 课程代码：00418 一、单项选择题（本大题共30小题，每小题1分，共30分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.m,n为整数，下列式子一定不成立的是（） A.4m-1=4n+1 B.2m+1=4n+3 C.2m+3=4n-1 D.2m=4n 2.下列关于自然数m,n的说法，错误的是（） A.若m|n，则[m,n]=n B.若[m,n]=(m,n)，则m=n C.若m|n,则(m,n)=m D.若(m,n)=1,则[m,n]=1 3.若2|8a-4b+3c，则下列不一定成立的是（） A.2|3a+2c B.2|2a+c C.2|3c-2b D.2|6a-2b+c 4.m,n为整数，若m-n为奇数，则m与n（） A.同奇 B.同偶 C.同奇或同偶 D.一奇一偶 5.若b|a,c|b,则一定有（） A.a|c B.a|b C.b|a+c D.c|a+b 6.若m为完全数，则m的全部正约数之和为（） A.m B.m2 C.2m D.m-1 7.已知a 3689218既能被3整除，又能被5整除，则a的值是（） A.0 B.2 C.5 D.6 8.p为质数，正整数a,b满足a2=pb2，则（） A.a,b必为质数 B.a为合数，b为质数 C.a,b均为合数 D.a,b均不存在 9.设m为大于1的正整数，则]2 [2+ +的值是（） 9 m 5 m A.3m-1 B.3m
C.3m+1 D.3m+2 10.下列数中标准分解式为a b b a 的数是（ ） A.512 B.72 C.81 D.30 11.2018年2月8日是星期日，则500天后的那一天是（ ） A.星期三 B.星期二 C.星期四 D.星期五 12.若2p -1是质数，则2p-1(2p -1)是（ ） A.梅森数 B.费马数 C.完全数 D.亲和数 13.满足10n ≡1(mod17)的最小正整数n 是（ ） A.17 B.7 C.16 D.8 14.分母为10的所有既约真分数的个数是（ ） A.4 B.5 C.8 D.9 15.下列命题不一定成立的是（ ） A.若a ≡b(modm),c 为整数，则ac=bc(modm) B.若a ≡b(modm),c ≡d(modm)，则ac ≡bd(modm) C.若a ≡b(modm),c ≡d(modm)，则ab=cd(modm) D.若a ≡b(modm),n 为自然数，则a n ≡b n (modm) 16.同余式组???≡≡)6(mod 3x ) 5(mod 1x 的解是（ ） A.x ≡21（mod5） B.x ≡21（mod6） C.x ≡21（mod30） D.x ≡1（mod30） 17.不大于15且与15互素的所有正整数之和为（ ） A.52 B.59 C.46 D.60 18.已知n 为自然数，m 为正实数，且n ≤m ，下列结论不一定正确的是（ ） A.[n+m]=n+[m] B.n ≤[m] C.[-(n+m)]=-[n+m] D.[nm]≥n[m] 19.30！的标准分解式中，3的最高幂指数是（ ） A.13 B.14 C.15 D.16
附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2
不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。
《初等数论》期末练习二 一、单项选择题 1、=),0(b （ ）. A b B b - C b D 0 2、如果1),(=b a ，则),(b a ab +=（ ）. A a B b C 1 D b a + 3、小于30的素数的个数（ ）. A 10 B 9 C 8 D 7 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C (mod )ac bc m ≡/ D b a ≠ 5、不定方程210231525=+y x （ ）. A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≥ D b a ±= 8、公因数是最大公因数的（ ）. A 因数 B 倍数 C 相等 D 不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）. A 4个 B 5个 C 2个 D 3个 10、模7的最小非负完全剩余系是( ). A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6 11、因为( ),所以不定方程71512=+y x 没有解. A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7 C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15] 12、同余式)593(mod 4382≡x （ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题 1、有理数 b a ，0,(,)1a b a b <<=，能写成循环小数的条件是（ ）. 2、同余式)45(mod 01512≡+x 有解，而且解的个数为( ). 3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ). 4、设n 是一正整数，Euler 函数)(n ?表示所有( )n ，而且与n （ ）的正整数的个数. 5、设b a ,整数，则),(b a （ ）=ab . 6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、+=][x x （ ）. 8、同余式)321(mod 75111≡x 有解,而且解的个数( ). 9、在176与545之间有( )是17的倍数.
初等数论考试试卷 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） 1．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( A ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． 2．下列命题中不正确的是( B ) Ａ．整数12,, ,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； < Ｂ．整数12,,,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 【有最小的吗】 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 3．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( C ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± （ 4．下列各组数中不构成勾股数的是( D ) Ａ．5，12，13； Ｂ．7，24，25； Ｃ．3，4，5； Ｄ．8，16，17 5．下列推导中不正确的是( D ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡?+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡?≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡?≡
小升初奥数数论之整数拆分练习题 整理的相关资料，希望对您有所帮助。 【篇一】 1.将15分拆成不大于9的三个不同的自然数之和有多少种不同分拆方式，请一一列出. 2.把15个玻璃球分成数量不同的4堆，共有多少种不同的分法?(此题是美国小学数学奥林匹克试题). 3.把10、12、14这三个数填在图9―17的方格中，使每行、每列和每条对角线上的三个数之和都相等. 4.上图中，三个圆圈两两相交形成七块小区域，分别填上1～7七个自然数，在一些小区域中，自然数1、4、6三个数已填好，请你把其余的数填到空着的小区域中，要求每个圆圈中四个数的和都是1 5. 5.七只箱子分别放有1个、2个、4个、8个、16个、32个、64个苹果.现在要从这七只箱子里取出87个苹果，但每只箱子内的苹果要么全部取走，要么不取，你看怎么取法? *(选做题)将21分拆成四个不同的自然数相加之和，但四个自然数只能从1～9中选取，问共有多少种不同的分拆方式，请你一一列出. 【篇二】 1、把50分拆成10个素数之和，要求其中的素数尽可能大，那么这个的素数是几? 2、把17分拆成若干个互不相等的质数之和，这些质数的连乘积是多少? 3、一个自然数，可以分拆成9个连续自然数之和，也可以分拆成10个连续自然数之和，还可以分拆成11个连续自然数之和。这个自然数最小是几? 4、100这个数最多能写成多少个不同的自然数之和? 5、有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张，问这些纸币的总面值是否能够恰好为100元? 6、有30个2分硬币和8个5分硬币，用这些硬币能构成的1分到1元之间的币值有多少种?
7、是否有若干个连续自然数，它们的和恰好等于64? 8、若干只外观相同的盒子摆成一排，小明把54个同样的小球放进这些盒子中后外出，小亮从每只盒子里取出一个小球，然后把这些取出的小球放进小球数最少的一个盒子中，再把盒子重新摆了一下。小明回来后仔细查看了每个盒子，却没有发现有人动过小球和盒子。那么一共有盒子多少只? 9、2000以内凡能拆成两个或两个以上连续自然数之和的所有自然数之和是多少? 10、有一把长度为13厘米却没有刻度的尺子，能否在上面画4条刻度线，使得这把尺子可以直接测量出1---13厘米的所有整厘米长度? 【篇三】 把50分成4个自然数,使得第一个数乘以2等于第二个数除以2;第三个数加上2等于第四个数减去2,最多有______种分法. (1990年《小学生报》小学数学竞赛试题) 讲析:设50分成的4个自然数分别是a,b,c,d. 因为a×2=b÷2,则b=4a.所以a,b之和必是5的倍数. 那么,a与b的和是5,10,15,20,25,30,35,40,45. 又因为c+2=d-2,即d=c+4.所以c,d之和加上4之后,必是2的倍数. 则c,d可取的数组有: (40,10),(30,20),(20,30),(10,40). 由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7, 得出符合条件的a,b,c,d一组为(8,32,3,7). 同理得出另外三组为:(6,24,8,12),(4,16,13,17),(2,8,18,22). 所以,最多有4种分法. 小升初奥数数论之整数拆分练习题
第一章 §1 1 证明：n a a a ,,21 都是m 的倍数。 ∴存在n 个整数n p p p ,,21使 n n n m p a m p a m p a ===,,,222111 又n q q q ,,,21 是任意n 个整数 m p q p q q p a q a q a q n n n n )(22112211+++=+++∴ 即n n a q a q a q +++ 2211是m 的整数 2 证： )12)(1()12)(1(-+++=++n n n n n n n )1()1()2)(1(+-+++=n n n n n n )1()1/(6),2)(1(/6+-++n n n n n n )1()1()2)(1(/6+-+++∴n n n n n n 从而可知 )12)(1(/6++n n n 3 证： b a , 不全为0 ∴在整数集合{}Z y x by ax S ∈+=,|中存在正整数，因而 有形如by ax +的最小整数00by ax + Z y x ∈?,，由带余除法有00000,)(by ax r r q by ax by ax +<≤++=+ 则 S b q y y a q x x r ∈-+-=)()(00，由00by ax +是S 中的最小整数知0=r by ax by ax ++∴/00 下证8P 第二题 by ax by ax ++/00 （y x ,为任意整数） b by ax a by ax /,/0000++∴ ).,/(00b a by ax +∴ 又有b b a a b a /),(,/),( 00/),(by ax b a +∴ 故),(00b a by ax =+ 4 证：作序列 ,2 3, ,2 , 0,2 ,,2 3,b b b b b b - -- 则a 必在此序列的某两项之间
全国2018年4月历年自考数论初步试卷 课程代码：00418 一、单项选择题（本大题共30小题，每小题1分，共30分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．整数集合对以下哪种运算不是封闭的?（） A．加法B．减法 C．乘法D．除法 2．下列哪个是200除以-6的带余除法表达式?（） A．200=(-6)×(-33) +2 B．200=(-6) ×(-34)-4 C．200=6×33+2 D．200=8×25+0 3．n为整数，则下列各组数互质的为（） A．3n+2与2n B．5n与3n+1 C．6n+2与7n D．2n+1与4n+1 4．n为整数，x为任意实数,则有（） A．[n+x]>n+[x] B．[n+x]=n+[x] C．[n+x] 9．a,b为正整数，（a,b）=1，c=a+b，则以下不成立的是（）A．(a,c)=1 B．(b,c)=1 C．(a,b)=1 D．(a+b,c)=1 10．两个偶数之差一定是（） A．奇数B．偶数 C．零D．无理数 11．a为整数，且2|a2，则a必为（） A．奇数B．偶数 C．零D．负整数 12．下列各数中能被7整除的数是（） A．658623 B．1095874 C．186129 D．990986 13．a,b是两个相邻的奇质数，则 2b a+ 是（） A．质数B．合数 C．无理数D．零 14．下列表述中与)7 (mod 5 ≡ n不等价的是（） A．k n7 5+ =，k是整数B．n被7整除余5 C．n-5被7整除D．n-7被5整除15．a,b,m为整数，) (mod m b ax=有一个解的充要条件是（）A．(a,m)=1 B．(a,b)=1 C．(b,m)=1 D．(a,b,m)=1 16．模7的绝对值最小的完全剩余系是（） A．0,1,2,3,4,5,6 B．1,2,3,4,5,6,7 C．-3,-2,-1,0,1,2,3 D．-6,-5,-4,-3,-2,-1,0 17．-10与11在以下哪个数为模时同余？（） A．2 B．5 C．7 D．10 18．下列各数不能被25整除的是（） A．653274825 B．638732750 C．653274875 D．634237445 2 福师12秋《初等数论》练习题 注： 本课程练习题所提供的答案仅供学员在学习过程中参考之用，有问题请到课程论坛提问。 一、填空 1、 20132013的个位数为 解析：本题考核的知识点为同余 2、求所有正约数的和等于15的最小正数为 解析：本题考核的知识点为约数 3、模13的绝对值最小的完全剩余系为 解析：本题考核的知识点为完全剩余系 4、若1211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则 1211315,315,,315b b b +++ 也是模11的 剩余系。 解析：本题考核的知识点为完全剩余系 5、 k 个整数12,,,k a a a 形成模m 的简化剩余系的充要条件是： 解析：本题考核的知识点为简化剩余系 6、求不定方程组: 1531003100x y z x y z ?++=???++=? 的正整数解为 解析：本题考核的知识点为不定方程组 7.不定方程222x y z +=的满足0,0,0,(,)1,2|x y z x y x >>>=的一切整数解可表为 解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解 8.2160的正约数的个数为 解析：本题考核的知识点为约数 9. 设m 是一个大于1的整数，(,)1a m = ,若 12(),,,m b b b ?是m 的一个简化剩余系，则 12(),,,m ab ab ab ? 也是模m 的 剩余系。 解析：本题考核的知识点为简化剩余系 10.模7的非负最小完全剩余系为 解析：本题考核的知识点为完全剩余系 11.自279到577的整数中是17倍数的整数个数为 解析：本题考核的知识点为倍数 12. 叙述欧拉定理： 解析：本题考核的知识点为欧拉定理 13.157! 的标准分解式中中素数7的指数为 解析：本题考核的知识点为标准分解式 14、不定方程的1510619x y z ++=的全部整数解为 解析：本题考核的知识点为不定方程的整数解 15．模13的互素剩余系为 解析：本题考核的知识点为互素剩余系 二、22 9|,3|,3|a b ab a b ++设证明： 解析：本题考核的知识点为整除. 提示：且 初等数论试卷和答案 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为 ( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 试卷1答案 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是(b m a ),(). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ][b a ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( 与p 互素 ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( 唯一 )整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分） 解 [136,221,391] =[[136,221],391] =[391,17221136?] =[1768,391] ------------(4分) = 17391 1768? 一、整除理论 1． 证明：任意给定的连续39个自然数，其中至少存在一个自然数，使得这个自然数的数字和能被11整除。 2． 设p 是n 的最小素约数，n = pn 1，n 1 > 1，证明：若p >3n ，则n 1是素数。 证明：设不然，n 1 = n 2n 3，n 2 ≥ p ，n 3 ≥ p ，于是n = pn 2n 3 ≥ p 3 ， 即p ≤3n ，矛盾。 3． 设3∣a 2 + b 2，证明：3∣a 且3∣b 。 写a = 3q 1 + r 1，b = 3q 2 + r 2，r 1, r 2 = 0, 1或2， 由3∣a 2 + b 2 = 3Q + r 12 + r 22知r 1 = r 2 = 0，即 3∣a 且3∣b 4． 证明：对于任意给定的n 个整数，必可以从中找出若干个作和，使得这个和能被n 整除。 设给定的n 个整数为a 1, a 2, , a n ，作 s 1 = a 1，s 2 = a 1 + a 2， ，s n = a 1 + a 2 + + a n ， 如果s i 中有一个被n 整除，则结论已真，否则存在s i ，s j ，i < j ， 使得s i 与s j 被n 除的余数相等，于是n ∣s j - s i = a i + 1 + + a j 5． 设a ，b ，c 是正整数，证明：) ,)(,)(,(),,(],][,][,[],,[2 2a c c b b a c b a a c c b b a c b a = 因为 ，故只须证明(a , b , c )(ab , bc , ca ) = (a , b )(b , c ) (c , a )，此式用 类似于例3的方法即可得证。 6． 设k 是正奇数，证明：1 + 2 + …… + 9∣1k + 2k + …… + 9k 。 设s = 1k + 2k + + 9k ，则由2s = (1k + 9k ) + (2k + 8k ) + + (9k + 1k ) = 10q 1及2s = (0k + 9k ) + (1k + 8k ) + + (9k + 0k ) = 9q 2得10∣2s 和9∣2s ，于是有90∣2s ，从而1 + 2 + + 9 = 45∣s 7． 设a ，b 是正整数，证明：(a + b )[a , b ] = a [b , a + b ]。 只须证 ，即只须证(b , a + b ) = (a , b )，此式显然。 8． 用扩展欧几里德算法法求整数x ，y ，使得1387x - 162y = (1387, 162)。 作辗转相除：1387 = (-162)?(-8) + 91，-162 = 91?(-2) + 20，91 = 20?4 + 11，20 = 11?1 + 9，11 = 9?1 + 2，9 = 2?4 + 1，2 = 1?2 + 0，由此得n = 6，q 1 = -8，q 2 = -2，q 3 = 4，q 4 = 1，q 5 = 1，q 6 = 4，x = (-1)n -1Q n = 73，y = (-1)n P n = 625，又(1387, 162) = r n = 1，故1387?73 - 162?625 = 1 = (1387, 162) 9. 若四个整数2836，4582，5164，6522被同一个大于1的整数除所得的余数相同，且不等于零，求除数和余数各是多少。 设除数为d ，余数为r ，则由 d ∣4582 - 2836 = 1746，d ∣5164 - 4582 = 582，d ∣6522 - 5164 = 1358 知d ∣(1746, 582, 1358) = 194，由此得d = 97，r = 23或d = 194，r = 120 初等数论考试试卷1 一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果a b ，b a ，则( ). A b a = B b a -= C b a ≤ D b a ±= 2、如果n 3，n 5，则15（ ）n . A 整除 B 不整除 C 等于 D 不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）. A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果)(mod m b a ≡,c 是任意整数,则 A )(mod m bc ac ≡ B b a = C ac T )(mod m bc D b a ≠ 5、如果( ),则不定方程c by ax =+有解. A c b a ),( B ),(b a c C c a D a b a ),( 6、整数5874192能被( )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 二、填空题(每题3分，共18分) 1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）. 2、同余式)(mod 0m b ax ≡+有解的充分必要条件是( ). 3、如果b a ,是两个正整数,则不大于a 而为b 的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者( ). 5、b a ,的公倍数是它们最小公倍数的( ). 6、如果b a ,是两个正整数,则存在( )整数r q ,,使r bq a +=,b r π≤0. 三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=? 2、求解不定方程144219=+y x . 3、解同余式)45(mod 01512≡+x . 4、求? ?? ??563429,其中563是素数. （8分） 四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分) 1 全国2018年7月高等教育自学考试 数论初步试题 课程代码：00418 一、单项选择题（本大题共30小题，每小题1分，共30分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．m, n 是整数，下列式子可能成立的是（ ） A ．2m=2n+1 B ．4n=4m+1 C ．3m=5n+1 D ．6m=4n+1 2．下列说法正确的是（ ） A ．-2除以-3余数为1 B ．-5除以2，余数为-1 C ．-10除以-3，余数为-7 D ．19除以2，余数为3 3．任意12个连续整数中能被4除余数为2的数有（ ）个。 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 4．设m 为整数，则必有（ ） A ．6|m(m+1)(m+2) B ．5|m(m+1)(m+2) C ．4|m(m+1)(m+2) D ．7|m(m+1)(m+2)(m+3) 5．若m 为偶数，n 为整数，下列说法正确的是（ ） A ．2n m +是整数 B ．2 )1(+n m 是偶数 C ．2 33n m n ++是整数 D ．2 4n m +是整数 6．下列数中是合数的是（ ） A ．17 B ．23 C ．20 D ．19 7．不超过36的与12互质的自然数有（ ）个。 A ．11 B ．12 C ．13 D ．14 8．已知整数c>0，则（ c b c a ,）=1是c=（a, b ）的（ ） 2 A ．充分条件 B ．必要条件 C ．充分必要条件 D ．关系不确定，取决于c 的奇偶数 9．自1到82的整数中，7的倍数有（ ）个 A ．12 B ．13 C ．10 D ．11 10．x, y 为任意实数，则下列式子一定正确的是（ ） A ．[x+y]≤[x]+[y] B ．{x+y}<{x}+{y} C ．{x+y}≤{x}+{y} D ．[-x]=-[x]-1 11．30!的标准分解式中，最高幂指数是1的质因数有（ ）个。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．8 12．两个连续自然数乘积的末位数不可能是（ ） A ．0 B ．2 C ．6 D ．4 13．20的正约数个数是（ ）个。 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 14．3405的十进位表示中个位数字是（ ） A ．1 B ．3 C ．7 D ．9 15．下列命题不一定成立的是（ ） A ．若a ≡b(mod m)则b ≡a(mod m) B ．若a ≡b(mod m), 则-a ≡-b(mod m) C ．若a ≡b(mod m), 则b ≡-a(mod m) D ．若a ≡b(mod m), b ≡c(mod m), 则a ≡c(mod m) 16．61000被17除的余数是（ ） A ．1 B ．6 C ．8 D ．16 17．下列分数不能化为纯循环小数的是（ ） A ．3715 B ．875 139福师12秋《初等数论》练习题
初等数论试卷和答案
研究生基础数学1考试复习资料数论练习题
自考初等数论试题及答案
(全新整理)7月全国自考数论初步试卷及答案解析
相关主题
文本预览