《线性代数与解析几何》复习题
一、矩阵部分
(一)填空题.
1．设()1123
123,(1,,)αβ==，T
T B A βαβα==,，则
3___________A =.
提示：A 3=βαββαβααββαβααT
T T T T T T 3)(==
2．设方阵A 满足240,,A A I I +-=其中为单位矩阵，1)_____________A I --=则(. 提示：A 2+A-4I=0→A 2+A-2I-2I=0→(A-I)(A+2I)=2I →(A-I)(A+2I)/2=I 3．设方阵A 满足0322
=--I A A ，则=-1
A ____________.
提示：A 2-2A-3I=0 → A(A-2A)=3I
4．设?????
????
???-------=1301113111211111A ，则=)(A r . 提示： 对矩阵A 施行初等行变换，非零行的行数即为矩阵A 的秩。
5．设????
? ??=a a a a a a A 111，则当a 满足条件 时，A 可逆.
提示：矩阵A 的行列式detA ≠0时，矩阵可逆。
(二)选择题
1．设n 阶矩阵,,,A B C ABC I I =满足为单位矩阵，则必有 （ ） （A ）I ACB = （B ）I BCA = （C ）I CBA = （D ）I BAC =
提示：A 的逆矩阵为BC
2．12321,,0,312Q t P QP t ?? ?
=-== ? ???
已知是三阶非零矩阵且则 （ ）
()1()1()2()2A B C D --
提示：P 的列为齐次线性方程组Qx=0的解，P 非零，Qx=0有非零解，故Q 的行列式detQ=0 3．11
12
1321
22
2321
2223111213131
32
333111
3212
3313010,100001a a a a a a A a a a B a a a P a a a a a a a a a ??????
??????===????????????+++??
????
设
2100010,101P ??
??=??????
则必有 （ ）
12211221()()()()A APP B
B AP P B
C PP A B
D P P A B ====
提示：矩阵B 由矩阵A 经初等行变换得到，故在C 或D 中选择，P1、P2为初等矩阵，P1为交换第1、2行，P2为将第一行的1倍加到第三行，故选C 4．设n 维向量)2
1
,0,,0,21(
=α,矩阵ααααT T I B I A 2,+=-=,其中I 为n 阶单位矩阵,则=AB ( )
()
()
()()
T A B I
C I
D I αα-+
提示：AB ＝ (I-αT α)(I+2αT α)=I+αT α-2 αT α αT α= I+αT α-2 αT (α αT )α=I
5．A 、B 则必有且阶矩阵均为,))((,2
2
B A B A B A n -=-+ （ ） （A ） B=E （B ） A=E （
C ）A=B （
D ）AB=BA
提示：(A+B)(A-B)=AA-AB-BA-BB
6．矩阵==≠≠??
???
????
???=)(,4,3,2,1,0,0,443
42
41
4433323134232221
241312111A r i b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a A i
i 则其中 ( )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、4 提示：A=(a 1,a 2,a 3,a 4)T (b 1,b 2,b 3,b 4) (三)计算题
1．2101,02010AB I A B A I B ?? ?
+=+= ? ?-??
设,为单位矩阵,求矩阵。1
提示：AB-B=A 2-I →(A-I)B=A 2-I →B=(A-I)-1(A 2-I)
也可使用矩阵初等行变换。
2．利用矩阵的初等变换解线性方程组123412341
2341234232633325
323334x x x x x x x x x x x x x x x x -++=??
-++=??--+=??-+-=?
.
提示：对方程组增广矩阵进行初等行变换。
3．设矩阵??
??
??????-=410110003A ，X B X AX B 求矩阵且满足,2,321163+=??????????-=.
提示：AX=2X+B →AX-2X =B →(A-2I)X =B →使用矩阵初等行变换。
4．若,011111011220111????
?
?-=????
?
??--X 则X = .
提示：使用矩阵初等列变换。
(四)证明题
1．设B A ,都是一个n 阶对称矩阵，证明：AB 对称的充要条件是BA AB =。 提示：参见作业上相关内容：
AB=BA →AB 对称： AB 对称→AB=BA
2．证明：任何一个n 阶方阵都可表示为一对称矩阵与一反对称矩阵之和. 提示：参见书上的例子。 对称矩阵为B=(A+A T )/2 反对称矩阵为C=(A-A T )/2 3．设n 阶方阵A 不是单位方阵，且A A =2，试证明
(1)A 是不可逆矩阵 (2)I A I A 2-+与均为可逆矩阵，并求逆矩阵.
提示：(1)反证法：假设A 可逆，则存在A -1，有A -1A=I 。因为A 2=A ，故A -1A 2=A -1A ，由此得A=I ，与题设矛盾.
(2)根据A 2=A 凑出A+I 与A-2I 的乘积为单位阵I 的倍数即可。 4．设同阶方阵B A ,，其中B 可逆，且满足022=++B AB A ，证明B A A +和可逆. 提示：A 2+AB+B 2=0→A(A+B)+B 2=0→[A(A+B)+B 2] B -1 B -1=0→A(A+B)( B -1) 2+I=0→A(A+B)( B -1) 2 =-I →A 可逆，其逆矩阵为-(A+B)( B -1) 2
A 2+AB+
B 2=0→A(A+B)+B 2=0→B -1 B -1 [A(A+B)+B 2] =0→( B -1) 2A(A+B) +I=0→ ( B -1) 2A(A+B) =-I →A+B 可逆，其逆矩阵为-( B -1) 2A
二、行列式部分
(一)填空题
1．行列式
005002304324
321= 。
提示：4×(-1)1+4×4×(-1)1+3×2×(-1)1+2×5
2．若4×4阶矩阵A 的行列式*
=A A ,3是A 的伴随矩阵则*A = ． 提示：detA*=(detA)n-1
3．已知???
?
? ??=40060852b A 是奇异阵，则=b _________.
提示：奇异矩阵行列式为零。
4．设B A ,是n 阶可逆方矩阵且5=A , 则=-1A 1/5 , =3
)(A A T 56 , =A 2 5×
2n , =-B A B k
1 5k . 提示：利用矩阵行列式的性质。
5．设i e 是四阶单位矩阵的第i 列，2124(3,,,)A e e e e =，则=A .
提示：4阶单位矩阵行列式在进行初等列变换时其系数及符号的变化规律。参见作业。
6．已知31223137,014
D -=
--=-，则=33
32
31
232221
13
1211
A A A A A A A A A ， 33323132A A A +--＝ ，其中ij A 是元素ij a 的代数余子式.
提示：注意33
32
31
232221
13
1211
A A A A A A A A A 是伴随矩阵转置后的行列式，等于伴随矩阵行列式，故其值为37n-1，此处n=3。
33323132A A A +--表示行列式第2行元素与第三行元素相应代数余子式之和，故为0.
（二）选择题
1．2,2,20,det())A B I A A AB I A B =++=+=设、为三阶矩阵为单位矩阵,det 且则(
()
()1
()
4
()
2A B C D ---
提示：A 2+AB+2I=0→A(A+B)=-2I →|A(A+B)|=|-2I|→|A||A+B|=(-2)3|I|→|A+B|=-4 2．,)A n 设为阶矩阵则必有(
（A ）B A B A +=+ （B ）BA AB =
（C ）111
)
(---+=+B A B A （D ）BA AB =
提示：|AB|=|A||B|=|BA|
3．设)3(≥n n 阶矩阵?????
??
?????????=1111 a a a a a a a a a a a a A ,若矩阵A 的秩为1-n ,则a 必为
( )
11()
1
()
()1()
11
A B C D n
n --- 提示：参见书本及作业上的例子。 4．2),)A n n ≥设是阶可逆矩阵(则
(
*1***1()det()det ()det()det ()det()(det )()det()(det )n
n A A A B A A C A A D A A --====
提示：参见前面的内容。
5．2,(),A B n AB I I =设、是阶矩阵且为单位矩阵,下列命题错误的是 ( )
211()()()()()()()A BA I B A B C R A R B D A BAB --====
提示：(AB)2=I →ABAB=I →A(BAB)=I →A -1=BAB
(AB)2=I →ABAB=I →(ABA)B=I →B -1=ABA →(BA)2= BABA = (BAB)A= A -1 A= I
6．设AB 为n 阶方阵。下列命题中正确的是 （ ）
00)
(;
000)
(;000)(;000)(≠≠?≠==?=≠≠?≠==?=B A AB D B A AB C B A AB B B A AB A 且或且或提示：AB=0→|AB|=0→|A||B|=0
(三)计算题
１．计算行列式 00000000x
y x
y D x
y
y x
=
. 2、计算行列式 提示：第一题：按行或列展开，或将第一行的y/x 倍加到第4行，但要讨论x 为0时的情形。 第二题：利用初等变换。
3．当A 为何值时, 齐次线性方程组12312312
322000
x x x x x x x x x λλ++=??
++=??++=?有非零解.
提示：系数矩阵行列式为0。
（四）证明题
1．设A 是n 阶方阵，且满足A A =2
, 试证明A 不可逆或者I A =.
提示：假设A 可逆，即A -1存在，则根据A 2=A →A -1A 2= A -1A →A=I
2．设B A ,是n 阶方阵，证明
(1)若0,0=≠AB A ，则B 不可逆 (2)若det 0,0A AB ≠=，则0=B 。
提示：(1)假设B 可逆，即B -1存在，则根据AB=0→AB B -1= 0B -1→A= 0→矛盾 (2)detA ≠0→A 可逆
→齐次线性方程组Ax=0只有零解 AB=0→B 的列向量是齐次线性方程组Ax=0的解→B=0 或：A 可逆，即A -1存在→根据AB=0→A -1A B= A -10→B= A -1
三、空间解析几何部分
（一）填空题
1．已知{}3,2,1-=a ，则{},
,0
=a ．
提示：a 0
=a /|a |
2
,7226,3===则?＝ ． 提示：|a×b|=|a||b|sin θ→cos θ=?→a.b=|a||b|cos θ
３．已知四点)3,2,1(),1,4,1(),2,3,6(),4,2,1(-----D C B A ，则=?ABC S =ABCD V
y y x x
D -+-+=
11
1
1
111111111111
提示：向量乘法（向量积、混合积）的几何意义
4．点的距离是到平面1022)1,2,1(-++z y x . 提示：点到平面的距离公式
5．的直线方程是和过两点)2,0,1()1,2,3(--Q P . 提示：先求直线的方向向量，然后带入公式即可。
6. 的直线的方向向量是轴并垂直于直线垂直于?
?
?==z y z
x y 2 . 提示：Y 轴的方向向量（0，1，0）与直线的方向向量（1，2，1）取向量积。
(二)选择题
1．||||a b a b +=-的充要条件是 ( )
()00
()0
()0
()||||A a b B a b C a b D a b ==?=?==或
提示：参见练习。向量和与向量差的几何意义，向量垂直的充要条件。
2．设向量{}{}1,2,2,3,,4,1,a b a b λλ=--==已知向量在向量上的投影是则 ( )
202020
()0
()
()0()333
A B C D -或
提示：Prj b a=|a|cos ?=1，|a|＝3→cos ?=1/3→cos ?=(a.b)/(|a||b|)
3．{}{}{},,1,1,,,//1,1,2,a b a b a b λμλμ=-=-?-?=设向量则 ( ) {}
{}
{}
{}()10,10,20()14,14,28()5,5,10()7,7,14A B C D ----
提示：向量平行，对应坐标分量成比例。
4．设向量{}{}{},1,1,,1,1,2,2,,3--=--=-=λλ且()3,a b c λ??==则( ) 1)(1)(1)(0
)(±-D C B A
提示：向量混合积的计算方法。
5．()1,()()()a b c a b b c c a ??=+?+?+若 ( ) 4)(3)(2)(1
)(D C B A
提示：根据向量乘法运算律展开，并考察向量积的方向特性。
6．设三个向量{}),3,2,1(,,,==i z y x a i i i i 矩阵????
??????=33
3
222
11
1
z y x z y x z y x A 的行列式det 0A =，而其伴随矩阵0≠*A 的充要条件是 ( ) (A ) 三向量互相平行 (B ) 存在不共线两向量
(C ) 三向量共面 (D ) 三向量共面，有两向量不共线 提示：参见练习有关内容
(三)计算题
1、求点)2,1,3(P 到直线?
??=-+-=+-+4420
1z y x z y x 的距离
提示：参见课本内容。
2、(2,1,1),(1,1,2),1A B x y z -++=求过两点且垂直于平面的平面方程。
提示：该平面的法向量垂直于平面x+y+x=1的法向量，也垂直于向量AB .根据向量积得到所
求平面法向量。
3:220;310;30,20x y z x y z x y z x y
z +--=-++=++-=++=、求过三平面的交点并平行于平面的平面方程。
提示：先求交点。
1212122120
4:;:(1)//223220x z x y z L L L L L L y z x y =+-+-=????=+--=??
、已知直线 证明(2)求与所确定的平面。
提示：求出两直线的方向向量是平行的（各坐标分量成比例），然后在2直线上各任取一点
构造一个向量，与直线方向向量取向量积得到所求平面的法向量。 1210331
5:
;:310211x y z x y z L L x y z -++=?--+==?---=-?
、已知直线
1212(1)(2)L L L L 证明直线与直线相交求直线与直线所确定的平面。 （1）证明方程组有唯一解即可
（2）根据两直线方向向量可得过两直线平面之法向量。
６、说出下列曲面的名称 22222222222222222(1)44(2)44(3)(4)2(5)2(6)49436
(7)44
x y z y x y z x y z
x y z
x y z x y z -=+=+=+=-=-+=--=
（1） 双曲柱面 （2）椭圆柱面 （3）圆锥面（轴线平行于z 轴）（4）圆形抛物面（5）马鞍面（6）单叶双曲面（7）双叶双曲面
７、面上的投影曲线。求下列曲线在指定坐标 (1)求曲线?
??=+=++19222z x z y x 在yoz 面上的投影.
消去变量x
(2)求曲线?
??=+=++x y x z y x 236
2
2222在zOx 面上的投影. 第二个方程y 2代如第一个方程即可消去变量y
８、将下列曲线的一般方程化为参数方程 (1) ?
??==++x y z y x 9222 (2)
?
?
?==+++-04
)1()1(222z z y x
太简单了
四、向量空间与线性方程组部分
(一)填空题
1、已知向量组123(1,2,1,1),(2,0,,0),(0,4,5,2)a a t a =-==--的秩为2，则______=t . 对矩阵A=(a 1,a 2,a 3)进行初等行变换，其非零行数为2。
2、设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零，且A 的秩为1-n ，则线性方程组0=AX 的通解为___________________________. 参见练习册相关题。
3、向量(2,0,0),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)_________a =在基下的坐标是.
对矩阵???
?
? ??011001012011进行初等行变换，前3列变为单位阵时，第四列即为坐标。
4、设102432020,()103A A B R AB ??
?
?= ? ?-??
是矩阵，且的秩为，而则= .
参见练习有关题目。B 为满秩矩阵。 5、
设向量组
可由s βββ，，， 21线性表示，且s r >，则，，
， 21ααr α线性____关 .
提示：相关。
6、两个同维向量组的秩相等是它们等价的 必要 条件.
7、若齐次线性方程组??
???=++=++=-+00202kz y kx z ky x z y kx 有非零解，且12
≠k ,则k 的值为 .
系数矩阵行列式等于0。
(二)选择题 １、 若向量组γβα,,线性无关；δβα,,线性相关，
则 （ ） )(A 必可由δγβ,,线性表示 )(B 必不可由线性表示 δ必可由αγβ,,线性表示 )(D δ必不可由αγβ,,线性表示
参见练习册相应题目。
２、 设A 是n m ?矩阵，秩为,m r m n I =<为m 阶单位方阵，则 （ ）
A A )(的任意m 个列向量线性无关 A
B )(的任意m 个子式不等于零 A
C )(经过初等行变换可化为[],0m I （
D ）若矩阵B 满足0=BA ，则0=B
参见练习册相应题目。
矩阵A 经有限次初等行变换可化为????
??
? ??+++mn r m mr n r r n r r c c c c c c c c c c c c
1,21,222211,111211000，显然答案应该为D 。
３、设A 是n m ?矩阵，则齐次线性方程组0=AX 仅有零解的充要条件是 （ ） A A )(的列向量组线性无关 A B )(的列向量组线性相关 A C )(的行向量组线性无关 A D )(的行向量组线性相关
系数矩阵列向量线性无关←→Ax =0仅有零解
４、 非齐次线性方程组b AX =中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则 （ ）
)(A m r =时，方程组b AX =有解 )(B n r =时，方程组b AX =有唯一解
)(C n m =时，方程组b AX =有唯一解 )(D n r <时，方程组b AX =有无穷多解
考察增广矩阵经有限次初等行变换后得到得行阶梯矩阵：
n
m r r rn r r rr n
r r n
r r d d c c c d c c c c d c c c c c ?++++???
????????
?? ??0000000000000000000
011,221,2222111,111211
R=n 、r m=n 也不能说明方程组有解 当r=m 时，方程组有唯一解。 ５、 设A 是n m ?矩阵，0=AX 是非齐次线性方程组b AX =所对应的齐次线性方程组，则下列结论正确的是 （ ） )(A 若0=AX 仅有零解，则b AX =有唯一解 )(B 若0=AX 有非零解，则b AX =有无穷多个解 )(C 若b AX =有无穷多个解，则0=AX 仅有零解 )(D 若b AX =有无穷多个解，则0=AX 有非零解 D ６、已知向量组 =====k a a k a a 则线性相关,)1,2,0,0(),1,0,2,2(),1,0,,0(),0,1,1,1(4321 （ ） （A ）-1 （B ）-2 （C ）0 （D ）1 可直接应用线性相关得定义求解，即线性方程组a 1 x 1+ a 2x 2+ a 3x 3+ a 4x 4=0有非零解 或者对矩阵A=( a 1, a 2, a 3, a 4)取行列式，其值为零。 ７、n 维向量组12,, ,k ααα线性无关的充要条件是 （ ） 1122121212()(1,2,,)0 (),,,(),, ,(),,,i k k k k k A c i k c c c B C D αααααααααααα=++≠存在一组数使中任意两个向量线性无关 在中,存在一个向量不能用其余向量线性表出中任一个向量都不能用其余向量线性表出 D ８、下列结论正确的是 （ ） (),(),()()A B C A B D 等价的线性无关的向量组所含的向量个数相同 在一个向量组中它的任意两个极大无关组不一定是等价的向量组与向量组等价的充要条件是它们所含的向量个数是相同的等价的向量组的秩不一定相同 A ９、 设A ，B 均为n 阶方阵，且2n/)(r 2n/)(r < 0=AX 与0=BX ( ) (A) 没有相同的非零解 (B) 同解 (C) 只有相同零解 (D) 有相同的非零解 考察A 、B 经有限次初等行变换后得到得行阶梯矩阵 n n rn r r rr n r r n r r c c c c c c c c c c c c ?+++??? ?????????? ??0000000000000000001,21,222211,111211 答案应该为C. (三)计算题 12341(2,1,3,1),(3,1,2,0),(1,3,4,2) (4,3,1,1), T T T T αααα=-=-=-=-、设向量组求向量组的一个极大线性无关组,并将其余向量表示成极大线性无关组的线性组合。 对矩阵A ＝(α1, α2, α3, α4)施行初等行变换 2、 已知,)1,2,1,1(,)5,3,1,1(,)3,2,0,1(321+-===a ααα)8,4,2,1(4+=a α及 )5,3,1,1(+=b β，问： （1）b a ,为何值时，β不能由4321,,,αααα线性表示. （2）b a ,为何值时，β可由4321,,,αααα唯一线性表示？并写出该表示式. 对矩阵A ＝(α1, α2, α3, α4, β)施行初等行变换 ３、已知向量组4321,,,αααα线性无关，指出下列向量组的线性相关和无关性 (1)14433221,,,αααααααα++++ (2)14433221,,,αααααααα ---- (3)14433221,,,αααααααα-+++ (4)14433221,,,αααααααα --++ 参见练习册相关题目 3、设三元非齐次方程组b AX =的系数矩阵A 的秩为2，且它的三个解向量32,1,ηηη满 足,)2,0,2(,) 1,1,3(3121T T -=+-=+ηηηη求b AX =的通解. AX=b →A η1=b ，A η2=b ，A η3=b →A(η2-η3)=0→η2-η3为齐次线性方程组AX=0的通解→η2-η3=(1,1,1)T AX=b →A η1=b ，A η2=b ，A η3=b →A(η2+η3)=2b →(η2+η3)/2为非齐次线性方程组AX=b 的特解→(η2+η3)/2=(5/2,1/2,-3/2)T 又因为AX=b 为三元方程组，系数矩阵的秩为2，所以其解空间的维数为1，所以AX=b 的通解为x= (5/2,1/2,-3/2)T +k(1,1,1)T 4、设线性方程组??? ??=++=-+-=-+k x x kx x kx x x x x 321 32132120221 （1）k 为何值时，方程组有唯一解、无解； （2）k 为何值时，方程组有无穷多解？并求出其通解. 对增广矩阵施行初等行变换 5、设,)2,3,4(,)2,2,1(,)2,1,2(,)1,2,2(1321T T T T b a a a =-=-=-=验证321,,a a a 是 3R 的一个基，并求1b 在这个基中的坐标. 证明a 1, a 2, a 3线性无关即可； 对矩阵A=( a 1, a 2, a 3, b 1)施行初等行变换，a 1, a 2, a 3列化为行最简形时，b 1列即为坐标。 6、求齐次方程组?? ? ??=-+=-+-=+++00320 3243143214321x x x x x x x x x x x 的基础解系. 太简单。 (四)证明题 1、设*η是非齐次线性方程组Ax b =的一个解，r n -ξξξ,,,21 是对应的齐次线性方程组的一 个基础解系，证明： (1)r n -ξξξη,,,,21* 线性无关 (2)r n -+++ξηξηξηη*2*1**,,,, 线性无关。 参见练习，课上讲过。 2、 设向量组t ααα,,,21 是齐次线性方程组0=AX 的一个基础解系，向量β不是方程组 0=AX 的解，即0≠βA 。试证明：向量组t αβαβαββ+++,,,,21 线性无关.（反证） 假设β,β+α1, β+α2,…, β+αt , 线性相关→存在一组不全为0的数k 0,k 1,k 2,…,k t ，使得 k 0β+ k 1(β+α1)+…+ k t (β+αt )=0→(k 0+ k 1+…+ k t )β+ k 1α1+…+ k t αt =0→α1, α2,…,αt 是线性方程组的基础解系→α1, α2,…,αt 线性无关→k 0+ k 1+…+ k t ≠0→A(k 0+ k 1+…+ k t )β= A(-k 1α1-…- k t αt ) =0→A β= 0→与题设矛盾→得证。 3、若向量组m ααα,,,21 线性相关，但期中任意1-m 个向量都线性无关，则存在一组全不为零的实数m k k k ,,,21 ，使得02211=++m m k k k ααα .（反证） 参见练习册。使用反证法。 五、特征向量与二次型部分 (一)填空题 1、设1,_____________________,n A A n 阶矩阵的元素全为则的个特征值为 参见练习册：0和n 。 2、设A 可逆，λ是方阵的特征值，则1-A 的特征值是____,*A 的特征值是____,1I A --的特征值是 ____. 参见练习册。 3、设A 为n 阶方阵，且A A =2，则A 的特征值只能是 . 0或1 4、,0,1,2,1,,det()_________A B n A n n A B I B -+=设均为阶矩阵,且有个特征值且与相似则. B=C -1AC →I+B= C -1(I+A)C →det(I+B)= det[C -1(I+A)C]=n! 5、设4阶方阵A 的4个特征值为3，1，1，2，则=A . 3×1×1×2 ６、 设T 3T 2T 1]21c [1]b [11]0a [，，，，，，，， ==-=ααα是三阶实对称矩阵A 的三个不同特征值所对应的特征向量，则_______________===c b a ，，. A 是实对称矩阵→A 属于不同特征值得特征向量是正交的。 ７、向量其内积为),1,0,2,4(),5,3,0,1(-=--=βa . （－1）×4＋0×（－2）＋3×0＋（－5）×1 ８、二次型2 2 422),,(z yz xy x z y x f ++-=的矩阵表示形式是 ___________________. ??? ? ? ??--=120201012A ９、二次型2 2 2 12312323(,,)2f x x x x x x tx x =+++是正定的，则t 的取值范围是 . 二次型矩阵为??? ? ? ??=12/02/10 00 2t t A ，1、2阶顺序主子式都为2>0，因此，只要二次型矩阵A 的行列式detA>0，二次型即为正定二次型。 10、 设??? ? ? ?????=2 0001011k k A 是正定矩阵，则.______k 方法同上。 (二)选择题 1、 设A 是n 阶方阵，满足2A I =，I 为n 阶单位方阵，则 （ ） ()det 1A A = A B )(的特征值是1 ()()C R A n = ()D A 是对称矩阵 A 2=I →（detA 2）=1→（detA ）2=1→detA=±1≠0→A 可逆→R(A)=n 2、设B A ,是n 阶实方阵，且B A 与相似，则下列结论不正确的是 （ ） (A ) det()det()I A I B λλ-=- (B ) ()()tr A tr B = (C ) det det A B = (D ) ,A B n 均有个线性无关的特征向量 D 3、设矩阵A 是奇数阶的反对称矩阵，则A 一定有 （ ） ()A 零矩阵 ()B 可逆矩阵 ()C 有零特征值 2()0D A = A 是奇数阶反对称矩阵→A T =-A detA T =detA=det(-A)=(-1)n detA=detA(因为n 为奇数) →detA=0 detA=λ1 λ2…λn →A 有0特征值。 4、n 阶方阵A 与对角矩阵相似的充分必要条件是 （ ） (A ) A n 矩阵有个特征值 (B ) A n 矩阵有个线性无关的特征向量 (C ) det 0A A =矩阵的行列式 (D ) A 矩阵的特征值多项式没有重根 B 5、设n 阶方阵A 满2A A =，则矩阵2I A - 是 （ ） (A ) 可逆矩阵 (B ) 不可逆矩阵 (C ) 有零特征值 (D ) 以上都不对 A2=A →(A+I)(2I-A)=2I →(2I-A)可逆 6、 若α是矩阵A 的对应0λ的特征向量，则矩阵AP P 1-对应0λ的特征向量 （ ） )(A 1P α- )(B 1()P AP α- )(C P α )(D α 参见作业。(P -1AP)P -1α=P -1A α= P -1 λ0α= λ0P -1α 7、 设n 阶矩阵A 与B 具有完全相同的特征值，则 ( ) (A) A 与B 相似 (B) A 与B 对合 (C) ||||B A = (D) A 与B 有相同的特征向量 detB=detA=λ1 λ2…λn 8、 下列三个矩阵中不能对角化的是 ( ) (A) ??????????633312321 (B) ????? ?????300010021 (C) ???? ??????000000201 (D) ???? ??????300220111 A 是实对称矩阵，一定可对角化； D 有3个不同的特征值，一定可对角化 只要计算B 、C 是否有3个线性无关的特征向量即可。 9、 设0||=A ，21αα，是AX 0=的一个基础解系，033≠=ααA ，则 ( ) 不是A 的特征向量. (A) 21αα+ (B) 212αα- (C) 313αα+ (D) 32α A(α1+ α2)=0=0(α1+ α2) A(α1-2α2)=0=0(α1-2α2) A(α1+3α3)= 3A α3 =3α3 A(2α3)= 2A α3 =2α3 故选C 。 , 10、已知=???? ??????==k A k a T 则的特征向量是矩阵,211121112)1,,1( （ ） (A ) 1或2 (B ) -1或-2 (C )1或-2 (D ) -1或2 根据特征值与特征向量的定义A α=λα，可求得k 及α对应的特征值λ为1或-2。 (三)计算题 1、设A 是n 阶方阵，2,4,6, ,2n A n 是的个特征值，I 是n 阶单位阵，求det(3)A I -. 依题意：|λI-A|=0 (λ=2,4,6,…,2n) →|( λ-3)I-(A-3I)|=0→A-3I 的特征值为λ-3，即-1,1,3,5,…,2n-3→det(A-3I)=-1*3*5*…*(2n-3) 2、设??? ? ? ??=200021012A ，（1）求A 的特征值；（2）求其特征值所对应的特征向量. 根据特征值与特征向量的定义求取即可。 3、2001000202002300A a B b ???? ? ?== ? ? ? ?????设矩阵与矩阵相似 ，1(1),(2),a b P P AP B -=确定参数的值 求一个可逆矩阵使. （1）方法一： 利用相似矩阵的性质：相似矩阵具有相同的特征值求取a,b 。 B 为对角阵，因此，A 、B 的特征值为1、2、b 。 使用|λI-A|=0得到A 的特征多项式为(λ-2)(λ2-3λ-λa+3a-4)=0，显然2为A 的特征值，因为1是A 、B 的特征值，将λ＝1带入上述等式，求得a=3。将a=3带入上面的等式，可得(λ-2)( λ- 1)( λ-5)=0，即λ＝5是A 、B 的特征值，因此b=5。 （1）方法二： 相似矩阵行列式相等、矩阵的行列式等于其特征值的乘积，矩阵特征值的和等于其主对角线上的元素和： 2＋a ＋3＝1＋2＋b detA=2×(3a-4)=2b=detB 可求得a 、b 。 (2)利用特征向量的一般求法即可 4、已知三阶实对称方阵A 的特征值为8,1,1--，且1-对应的特征向量为()12 0T -与 ()1 01T -，求方阵A . 矩阵A 为实对称矩阵→存在正交矩阵C ，使得C T AC=Λ,其中为Λ以特征值-1,-1,8为对角元素的对角阵。 矩阵A 为实对称矩阵→A 的属于不同特征值的特征向量是正交的→属于特征值8的特 征向量与属于－1的两个特征向量正交→(1,-2,0)T 与(1,0,-1)T 的向量积即为属于特征值8的特征向量 采用施密特正交化方法，将A 的3个特征向量单位化后，得到正交矩阵C. A=C Λ C T 5、确定实数λ的取值范围，使二次型22212312134322f x x x x x x x λ=++++正定. 二次型的矩阵为???? ? ??=3010114λλA ，可以根据3个顺序主子式全部大于0，或求得3个 特征值全部大于0确定λ的范围。 6、用正交变换把二次型222123122313444f x x x x x x x x x =+++++化成标准形，并求出正交变换矩阵. 二次型的矩阵为??? ? ? ??=122212221A ，按实对称矩阵对角化一般方法求取。 7、设A 是三阶方阵，已知)3,2,1(==i i A i i αα，其中()T 1,2,21-=α,()T 2 ,2,12-=α, (),2,1,23T -=α又()T 3,2,1=β，试计算 1)1(αn A βn A )2(。(i=1,2,3) A αi =i αi (i=1,2,3) →A 的3个特征值为1，2，3，对应特征向量分别为α1、α2、α3。 A α1=1α1→A n α1=1n α1=α1。 α1、α2、α3线性无关→可求取线性相关系数k 1 、k 2 、k 3，使得β=k 1 α1+k 2 α2+k 3 α3→A n β=A n (k 1 α1+k 2 α2+k 3 α3)= k 1 A n α1+k 2 A n α2+k 3 A n α3= k 1α1+k 22n α2+k 33n α3 8、设： ?? ??? ??=????? ??=221,111βα (1) 求一个与βα,都正交的向量γ. (2) 利用施密特正交化方法，把向量组},,{γβα化为标准正交基（正交规范基）。 所求向量为a 、b 的向量积。 9、设?? ?? ??????----=2b a 422a 2 1A 实对称矩阵，2为A 的特征值. (1) 求a ，b 的值； (2) 求正交矩阵S 及对角矩阵Λ，使得ΛAS S =T ； A 为实对称矩阵→b=4 |λI-A|=0，2是一个特征值→可求得a 。 其余内容按实对称矩阵对角化一般方法求取。 (四)证明题 1、实对称矩阵A 满足0611623=-+-I A A A ，证明A 为正定矩阵. 设A 的特征值为λ，对应的特征向量为x (x ≠0) A 3-6A 2+11A-6I=0 (A 3-6A 2+11A-6) x =0 x →(λ3-6λ2+11λ-6) x =0 x ≠0→λ3-6λ2+11λ-6=0→(λ -1) (λ -2) (λ -3)=0→矩阵A 的特征值为1，2，3，全部大于0， 故矩阵A 为正定矩阵。 2、已知A 是n 阶实反对称矩阵，证明I A -2为可逆矩阵. A 是n 阶实反对称阵→A T =-A (A 2-I)T =(AA-I)T =((-A)(-A)-I)= (A 2-I)→(A 2-I)是n 阶实对称阵 A 2-I ＝-A T A-I=-( A T A+I) 对于任意非零n 维向量x ，有 x T (A 2-I)x=- x T ( A T A+I) x=-( x T A T A x+ x T I x)= -[ (Ax)T A x+ x T x] 向量x 非零→(Ax)T A x ≥0，x T x>0→x T (A 2-I)x<0→A 2-I 为负定矩阵→A 2-I 的特征值全部 小于0→A 2-I 的行列式不等于零→A 2-I 可逆。 3、设A 是n 阶正定方阵，证明det()1A I +>. A 是n 阶正定方阵→A 的n 个特征值λ1 、λ2、…、λn 全部大于0。 |λιI-A|=0→|(λι+1)I-(A+I)|=0→A+I 的特征值为λι+1（i=1、2、…，n ），全部大于1 det(A+I)=( λ1+1) ( λ2+1) …( λn +1)>1 4、设A 为n 阶矩阵且正定，n ααα,,,21 为实n 维列向量，当j i ≠时，有0=j T i A αα，证明：n ααα,,,21 线性无关. 参见作业上相关内容。 5、设B 为n m ?实矩阵，A 为m 阶实对称矩阵且正定， 证明：AB B T 正定的充要条件是n B r =)(。 充分性： A 实对称矩阵且正定→矩阵 B T AB 是实对称矩阵。 R(B)=n →Bx=0只有零解→对于任意x ≠0→Bx ≠0 A 实对称矩阵且正定→x T B T ABx=(Bx) T A(Bx)>0→B T AB 正定。 二次型f 2被看成是二次型f 1经过变换x=By 得到。 必要性： B T AB 正定→对于任意x ≠0→x T (B T AB) x=(Bx) T A(Bx)>0→Bx ≠0→Bx=0只有零解→R(B)=n 6、设n R 中向量组 121,,,-n ααα 线性无关，21,ββ和121,,,-n ααα 均正交. 证明：21,ββ线性相关. β1、β2和α1、α2,…,αn-1均正交→(α1 T 、α2 T ,…,αn-1 T ) T β1＝0，(α1 T 、α2 T ,…,αn-1 T ) T β2＝0，即β1、β2是齐次线性方程组(α1 T 、α2 T ,…,αn-1 T ) T x ＝0的解。 因为α1、α2,…,αn-1线性无关→(α1 T 、α2 T ,…,αn-1 T ) T 的秩为n-1→齐次线性方程组(α1 T 、α2 T ,…,αn-1 T ) T x ＝0的解空间的维数是1。→β1、β2线性相关。 线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行（列）展开公式求代数余子式 已知行列式412343 344 615671 12 2 D = =-，试求4142A A +与4344A A +. 三、利用多项式分解因式计算行列式 1．计算221 1231223131 5 1319x D x -= -. 2．设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x = ，则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1.设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==，其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量，且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2.设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且1 ||2 A = ，试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-??? ? 3.设A 是n 阶(2)n ≥非零实矩阵，元素ij a 与其代数余子式ij A 相等，求行列式||.A 4.设矩阵210120001A ?? ??=?? ????,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5.设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =，那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1.若四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为 1111 ,,,2345 ，则行列式1||________.B E --= 2.设A 为四阶矩阵，且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-，试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1.设,,A B A B +都是可逆矩阵，求：111().A B ---+ 《线性代数与解析几何》勘误表 第1章：行列式 p.13, 例题 4.1: 解的第二个等号后，应加一个负号。 p.15,第三行（等号后）：去掉; p.17, 第7-8行: (t=1,2,…, j-1,j+1,…,n) p.19,倒数第4-5行：假设对于n-1阶范德蒙行列式V_{n-1}结论成立，… p ．20，第2行: D_{n-1}改为V_{n-1} p.20, 第6行,定理5.2中: 去掉“若”字 p.21, 倒数第3行： …展开代入而得, p.24,倒数第1行: (-1)的指数应为“1+2+…+k +1+2+…+k ” 习题1： 第1题（2）答案有误：应为sin2x-cosx^2. 第6题（3）答案有误：（3） n(3n-1)/2, 当n=4k 或者n=4k+3时为偶数,当n=4k+1或4k+2时为奇数. 第10题（4）（5）答案有误：（4）（-1）^{（n-2）(n-1)/2}；（5）(-1)^{n-1}a_n 第11题（6）答案有误： ….,当a\neq 0时，D=(-1)^{n(n-1)/2}a^{n-2}[a^2-(n-1)x^2] p.26, 第12题（2）：改为： (33333) 3222 222111 111=+++++++++y x x z z y y x x z z y y x x z z y （3）： …= ;)1](2 )2)(1([1--+-+ n a n n a (4): …=.0 ∑=-n i i n i b a p.27, 第14题（4）：(此题较难，可以去掉！) 答案有误,应为： n x n )2 )(1( n +=,当yz x 42=。 第15题答案有误：为60(11-2) p ．27, 第16题：去掉条件“若x_1+x_2+x_3+x_4=1,则” 第二章：矩阵 p.32, 第7行： 称其为n 阶对角矩阵，….. p.35, 第5-6行： b_21和b_12互换位置（两处） p.36, 第7行： 去掉“设 A ，B ，C 分别为….矩阵,”在第10行后增加： 当然，这里假定了矩阵运算是有意义的. p.39, 第4行： 就得到一个2*2的分块矩阵。 p.46,第2行: 去掉 ′（3个） p ．46，倒数 4-6行：… 为满秩的（或非奇异的，非退化的）,…为降秩的（或奇异的，退化的），… p.47,倒数第6-7行： 去掉 “,n α”（3处 ）,另： 本页的 ”T j T i αα,”均改 第一部分选择题(共28分) 一、单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式a a a a 1112 2122 =m， a a a a 1311 2321 =n，则行列式 a a a a a a 111213 212223 + + 等于（） A. m+n B. -(m+n) C. n-m D. m-n 2.设矩阵A= 100 020 003 ? ? ? ? ? ? ? ，则A-1等于（） A. 1 3 00 1 2 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? B. 100 1 2 00 1 3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?? C. 1 3 00 010 00 1 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? D. 1 2 00 1 3 001 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3.设矩阵A= 312 101 214 - - - ? ? ? ? ? ? ? ，A*是A的伴随矩阵，则A *中位于（1，2）的元素是（） A. –6 B. 6 C. 2 D. –2 4.设A是方阵，如有矩阵关系式AB=AC，则必有（） A. A =0 B. B≠C时A=0 C. A≠0时B=C D. |A|≠0时B=C 5.已知3×4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A T）等于（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.设两个向量组α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βs均线性相关，则（） A.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0 B.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0 C.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs使λ1（α1-β1）+λ2（α2-β2）+…+λs（αs-βs）=0 D.有不全为0的数λ1，λ2，…，λs和不全为0的数μ1，μ2，…，μs使λ1α1+λ2α2+…+λ s αs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=0 7.设矩阵A的秩为r，则A中（） A.所有r-1阶子式都不为0 B.所有r-1阶子式全为0 C.至少有一个r阶子式不等于0 D.所有r阶子式都不为0 8.设Ax=b是一非齐次线性方程组，η1，η2是其任意2个解，则下列结论错误的是（） A.η1+η2是Ax=0的一个解 B.1 2 η1+ 1 2 η2是Ax=b的一个解 C.η1-η2是Ax=0的一个解 D.2η1-η2是Ax=b的一个解 9.设n阶方阵A不可逆，则必有（） 利用几何直观理解高等代数中抽象的定义和定理 一、高等代数与解析几何的关系 代数为几何的发展提供了研究方法，几何为代数提供直观背景。 解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识、定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。 “如果代数与几何各自分开发展，那它的进步十分缓慢，而且应用范围也很有限，但若两者互相结合而共同发展，则就会相互加强，并以快速的步伐向着完善化的方向猛进。” --------拉格朗日 二、目前将高等代数与解析几何合并开课的大学 中国科大： 陈发来，陈效群，李思敏，线性代数与解析几何，高等教育出版社，北京：2011. 南开大学： 孟道骥，高等代数与解析几何（上下册）（第二版），科学出版社，北京：2007. 华东师大： 陈志杰，高等代数与解析几何 (上下册) (第2版)，高等教育出版社，北京：2008. 华中师大： 樊恽，郑延履，线性代数与几何引论，科学出版社，北京：2004. 同济大学： 高等代数与解析几何同济大学应用数学系高等教育出版社 (2005-05出版) 兰州大学，广西大学，西南科技大学，成都理工大学 三、高等代数的特点 1、逻辑推理的严密性； 2、研究方法的公理性； 3、代数系统的结构性。 四、高等代数一些概念的引入 对于刚上大学的一年级新生, 大多数难以适应高等代数的抽象概念的引入、推导 和应用。通过一些实例，特别是几何实例，引入高等代数的相关概念，一方面可以让学生了解抽象概念的来龙去脉，另一方面可以让学生找到理解抽象概念的思维立足点。 诚实考试吾心不虚 ，公平竞争方显实力， 考试失败尚有机会 ，考试舞弊前功尽弃。 上海财经大学《 线性代数 》课程考试卷（B ）闭卷 课程代码 105208 课程序号 姓名 学号 班级 一、单选题(每小题2分，共计20分) 1. 当=t 3 时，311244s t a a a a 是四阶行列式中符号为负的项。 2. 设A 为三阶方阵，3A = ，则* 2A -=__-72__。 3. 设矩阵01000 01000010 00 0A ????? ?=?????? ，4k ≥,k 是正整数，则=k P 0 。 4. 设A 是n 阶矩阵，I 是n 阶单位矩阵,若满足等式2 26A A I +=，则 () 1 4A I -+= 2 2A I - 。 5. 向量组()()()1,2,6,1,,3,1,1,4a a a +---的秩为1，则 a 的取值为__1___。 6. 方程组1243400x x x x x ++=??+=? 的一个基础解系是 ???? ? ? ? ??--??????? ??-1101,0011 。 7. 设矩阵12422421A k --?? ?=-- ? ?--??，500050004A ?? ? = ? ?-?? ，且A 与B 相似，则=k 4 。 …………………………………………………………… 装 订 线………………………………………………… 8. 123,,ααα是R 3 的一个基,则基312,,ααα到基12,αα,3α的过渡矩阵为 ???? ? ??001100010 。 9. 已知413 1 210,32111 a A B A A I -===-+-, 则B 的一个特征值是 2 。 10. 设二次型222 12312132526f x x x tx x x x =++++为正定, 则t 为 5 4||< t 。 二．选择题（每题3分，共15分） 1. 设A 为n 阶正交方阵，则下列等式中 C 成立。 (A) *A A =; (B)1*A A -= (C)()1T A A -=; (D) *T A A = 2. 矩阵 B 合同于145-?? ? - ? ??? (A) 151-?? ? ? ??? ; （B ）????? ??--321;（C ）???? ? ??112;（D ）121-?? ? - ? ?-?? 3. 齐次线性方程组AX O =有唯一零解是线性方程组B AX =有唯一解的（ C ）。 （A ）充分必要条件； （B ）充分条件； （C ）必要条件； （D ）无关条件。 4．设,A B 都是n 阶非零矩阵，且AB O =，则A 和B 的秩（ B ）。 （A ）必有一个等于零；（B ）都小于n ；（C ）必有一个等于n ；（D ）有一个小于n 。 5．123,,ααα是齐次线性方程组AX O =的基础解系，则__B___也可作为齐次线性方程组 AX O =的基础解系。 (A) 1231231222,24,2αααααααα-+-+--+ （B ）1231212322,2,263αααααααα-+-+-+ 可编辑 中 国 科 学 技 术 大 学 2005—2006学年第2学期考试试卷 考试科目: 线性代数 得分: 学生所在系: 姓名: 学号: 一、判断题（30分，每小题6分）。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。 1. 三维空间向量c b,a,共面的充要条件是0det =??? ? ? ???????????c c b c a c c b b b a b c a b a a a 。 2. 设A 为n 阶实正交方阵，I 为n 阶单位阵，则I A 2-为可逆方阵。 3. 设n m ?阶非零实矩阵A 和B 满足0='B A ，则A 的行向量线性相关， 并且B 的行向量也线性相关。 4. 设)(R M n 是n 阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则 满足0tr =A 的n 阶实方阵A 的全体构成)(R M n 的子空间。 5. 设B A ,为方阵，且???? ??B A 是实正定对称方阵，则B A ,也是实正定对称方阵。 二、计算题（62分）。 1. （15分）b a ,为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。 ?????? ?=-+++=+++=-+++=++++b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325 432154321334536223231 2. （15分）设n 阶实方阵?????? ? ??----=211 211 2O O A n O O O ，求n A det 和1 4-A 。 3. （17分）设V 是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。在定义内积Y X Y X '=tr ),(后， V 成为一个欧氏空间。现定义V 上的变换X X X '+α: A 。 （1）证明： A 是一个线性变换；（2）求 A 在基??? ??????? ?????? ?????? ?????? ??1000,0100,0010,0001下的表示矩阵； （3）求 A 的所有特征值与特征向量；（4）求V 的一组标准正交基，使得 A 在此基下的表示矩阵为对角阵。 4. （15分）通过正交变换化二次型222)()()(),,(x z z y y x z y x f -+-+-=为标准形；并 判断三维欧氏空间中的曲面3)()()(222=-+-+-x z z y y x 是哪一类曲面。 三、证明题（8分）。以下两小题任选一题。 1. 设n m R A ?∈，m n R B ?∈，I 是n 阶单位方阵。证明： （1）)rank(0rank AB n B I A +=??? ? ??-。 （2）n B A AB -+≥)rank()rank()rank(。 2. 设实对称方阵A 满足3A A =，证明：A 正交相似于对角形???? ? ? ?-0s r I I 。 ,考试作弊将带来严重后果！ 华南理工大学期末考试（A 卷） 《 2007线性代数 》试卷 20分） （1） 设A 是n m ?矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =无解的充分必要条件 是： （2） 已知可逆矩阵P 使得1cos sin sin cos P AP θθθ θ-??= ?-?? ，则12007 P A P -= （3） 若向量组α=（0，4，t ），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t= （4） 若A 为2n 阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵， 则*A = （5） 设A 为n 阶方阵，12,,,n λλλ??????是A 的n 个特征根，则1n i i E A λ=-∑ = 选择题（共20分） （1） 将矩阵n m A ?的第i 列乘C 加到第j 列相当于对A ： A ， 乘一个m 阶初等矩阵， B ，右乘一个m 阶初等矩阵 C，左乘一个n阶初等矩阵，D，右乘一个n阶初等矩阵 （2）若A为m×n 矩阵，B是m维非零列向量，()min{,} r A r m n =<。集合{:,}n M X AX B X R ==∈则 A，M是m维向量空间，B，M是n-r维向量空间 C，M是m-r维向量空间，D，A，B，C都不对 （3）若n阶方阵A，B满足，22 A B =，则以下命题哪一个成立 A，A B =±，B，()() r A r B = C，det det A B =±，D，()() r A B r A B n ++-≤ （4）若A是n阶正交矩阵，则以下命题那一个成立： A，矩阵1A-为正交矩阵，B，矩阵-1A-为正交矩阵 C，矩阵*A为正交矩阵，D，矩阵-*A为正交矩阵 （5）4n阶行列式 111 110 100 -???-- -???- ?????? -??? 的值为： A，1，B，-1 C，n D，-n 三、解下列各题（共30分） 1．求向量 5 1 3 β ?? ? =- ? ? ?? ，在基 123 111 0,1,1 101 ααα ?????? ? ? ? === ? ? ? ? ? ? ?????? 下的坐标。 解析几何与线性代数(一)试卷 一、判断下列结论是否正确。（每题1分，共计10分） 1、对321 , , ααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则321 , , ααα线性无关；（ ） 2、如果向量组s 21, , , ααα 线性相关，则其中任意向量都可以由其余向量线性表示；（ ） 3、A 是n m ?矩阵，齐次线性方程组0=AX 只有零解的充要条件是A 的列向量线性相关；（ ） 4、如果r ) ,,, ( 21=s r ααα ，则s 21, , , ααα 中任意1+r 个向量都线性相关；（ ） 5、设B A 、 为n 阶矩阵，若22B =A ，则B =A 或B -=A ；（ ） 6、对任意的n m ?矩阵A ，A A T 和T AA 都是对称矩阵；（ ） 7、设B A 、 都是n 阶矩阵，若B A 、 皆不可逆，则B +A 也不可逆；（ ） 8、如果向量组s 21, , , ααα 线性相关，则其任一部分组也线性相关。（ ） 9、n 级行列式中，若不为零的元素的个数小于n ，则此行列式等于零。（ ） 10、若A *是n 阶矩阵A 的伴随矩阵，则有|A *|＝|A|n 。（ ） 二.填空题(每题2分,共10分) 1、n 阶矩阵C 、、B A 满足E ABC =，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有 。 E C )(=B A A E AC )(=B B E BA )(=C C E CA )(=B D 2、如果方程组?????=--=+=-+0 504 0 3z y kx z y z ky x 有非零解，则 。 10k )(或=A 3-或1k )(-=B 3或1k )(-=C 31k )(-=或D 3.设B A 、都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则B A 和的秩 。 4、已知6654114332a a a a a a k i 是6阶行列式中带正号的项，则 。 5、设x B AX =+，其中 3- 50 21- 1B , 1- 0 1-1 1 1-0 1 0 ???? ? ????? =??????????=A ，则。 =x 三.选择题（每题2分,共20分） 1．判断下面多项式在实数域上的可约性（ ） 2．（ ） 3．（ ） 线性代数 第一章 行列式 典型例题 一、利用行列式性质计算行列式 二、按行(列)展开公式求代数余子式 已知行列式41 234334461 5671122 D ==-,试求4142A A +与4344A A +、 三、利用多项式分解因式计算行列式 1.计算2211 23122313 1513 19x D x -=-、 2.设()x b c d b x c d f x b c x d b c d x =,则方程()0f x =有根_______.x = 四、抽象行列式的计算或证明 1、设四阶矩阵234234[2,3,4,],[,2,3,4]A B αγγγβγγγ==,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式||2,||3A B ==-,试计算行列式||.A B + 2、设A 为三阶方阵,*A 为A 的伴随矩阵,且1||2 A =,试计算行列式1*(3)22.A A O O A -??-???? 3、设A 就是n 阶(2)n ≥非零实矩阵,元素ij a 与其代数余子式ij A 相等,求行列式 ||.A 4、设矩阵210120001A ????=?????? ,矩阵B 满足**2ABA BA E =+,则||_____.B = 5、设123,,ααα均为3维列向量,记矩阵 123123123123(,,),(,24,39)A B αααααααααααα==+++++ 如果||1A =,那么||_____.B = 五、n 阶行列式的计算 六、利用特征值计算行列式 1、若四阶矩阵A 与B 相似,矩阵A 的特征值为1111,,,2345 ,则行列式1||________.B E --= 2、设A 为四阶矩阵,且满足|2|0E A +=,又已知A 的三个特征值分别为1,1,2-,试计算行列式*|23|.A E + 第二章 矩阵 典型例题 一、求逆矩阵 1、设,,A B A B +都就是可逆矩阵,求:111().A B ---+ 2、设0002100053123004 580034600A ????????=???????? ,求1.A - ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 高等代数与解析几何之间的关联性 数学0803班康若颖20081692 内容摘要：在我们的学习过程中，可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数中 的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空间中的向量的一些度量性质推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等代数是解析几何的推广和并使之抽象化。 关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲面、欧式空间 导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它们的关系可以归 纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓宽。比如说欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说运用行列式的计算来解答多元方程组问题。 内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识来定义来刻画、 描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，两门课之间存在着特殊与一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n 维空间的特例，而线性空间的大量理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广（抽象）。平面方程及平面间的位置关系与线性方程组的理论，二次曲线，二次曲面的化简与代数中的二次型理论，几何与代数中欧式空间的理论等等。 （一）线性代数中一些概念的几何直观解释： 1.关于行列式的几何背景 设α=(321,,a a a ),β=(321,,b b b ),γ=(321,,c c c );两个向量的向量积可以用行列式写为 321 32 1b b b a a a k j i =?βα 它在几何上表示的是与α,β向量都垂直且成右手系的向量。 三个向量的混合积可以用行列式表示为图1 平行六面体 （γβα,,）=（βα?）γ?=321 32 132 1c c c b b b a a a 此行列式的几何解释是它的绝对值等于以它们3个向量为相邻棱所作的平行六面体的体积(如图1)。特别地,当(α,β,γ)=0时,由于平行六面体的体积为零,所以共面。γβα,,0321321 321 ?=c c c b b b a a a 图1 平行六面体 中 国 科 学 技 术 大 学 2005—2006学年第2学期考试试卷 考试科目: 线性代数 得分: 学生所在系: 姓名: 学号: 一、判断题（30分，每小题6分）。判断下列命题是否正确，并简要说明理由。 1. 三维空间向量c b,a,共面的充要条件是0det =??? ? ? ???????????c c b c a c c b b b a b c a b a a a 。 2. 设A 为n 阶实正交方阵，I 为n 阶单位阵，则I A 2-为可逆方阵。 3. 设n m ?阶非零实矩阵A 和B 满足0='B A ，则A 的行向量线性相关， 并且B 的行向量也线性相关。 4. 设)(R M n 是n 阶实方阵全体按矩阵的加法与数乘运算构成的线性空间，则 满足0tr =A 的n 阶实方阵A 的全体构成)(R M n 的子空间。 5. 设B A ,为方阵，且???? ? ?B A 是实正定对称方阵，则B A ,也是实正定对称方阵。 二、计算题（62分）。 1. （15分）b a ,为何值时，下列线性方程组有解？当有解时，求出该方程组的通解。 ?????? ?=-+++=+++=-+++=++++b x x x x x x x x x a x x x x x x x x x x 5432154325 432154321334536223231 2. （15分）设n 阶实方阵?????? ? ??----=211211 2O O A n ，求n A det 和1 4 -A 。 3. （17分）设V 是由所有2阶实方阵构成的实线性空间。在定义内积Y X Y X '=tr ),(后， V 成为一个欧氏空间。现定义V 上的变换X X X '+ : A 。 （1）证明： A 是一个线性变换；（2）求 A 在基??? ??????? ?????? ?????? ?????? ? ?1000,0100,0010,0001下的表示矩阵； （3）求 A 的所有特征值与特征向量；（4）求V 的一组标准正交基，使得 A 在此基下的表示矩阵为对角阵。 4. （15分）通过正交变换化二次型222)()()(),,(x z z y y x z y x f -+-+-=为标准形；并判 断三维欧氏空间中的曲面3)()()(222=-+-+-x z z y y x 是哪一类曲面。 三、证明题（8分）。以下两小题任选一题。 1. 设n m R A ?∈，m n R B ?∈，I 是n 阶单位方阵。证明： （1）)rank(0rank AB n B I A +=??? ? ? ?-。 （2）n B A AB -+≥)rank()rank()rank(。 2. 设实对称方阵A 满足3A A =，证明：A 正交相似于对角形???? ? ? ?-0s r I I 。 线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1 A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，，， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ） 。 ① s ααα，，， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，，， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，，， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 线性代数知识点总结 第一章 行列式 二三阶行列式 N 阶行列式：行列式中所有不同行、不同列的n 个元素的乘积的和 n n n nj j j j j j j j j n ij a a a a ...)1(21212121) ..(∑-= τ （奇偶）排列、逆序数、对换 行列式的性质：①行列式行列互换，其值不变。（转置行列式T D D =） ②行列式中某两行（列）互换，行列式变号。 推论：若行列式中某两行（列）对应元素相等，则行列式等于零。 ③常数k 乘以行列式的某一行（列），等于k 乘以此行列式。 推论：若行列式中两行（列）成比例，则行列式值为零； 推论：行列式中某一行（列）元素全为零，行列式为零。 ④行列式具有分行（列）可加性 ⑤将行列式某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，值不变 行列式依行（列）展开：余子式ij M 、代数余子式ij j i ij M A +-=)1( 定理：行列式中某一行的元素与另一行元素对应余子式乘积之和为零。 克莱姆法则： 非齐次线性方程组 ：当系数行列式0≠D 时，有唯一解：)21(n j D D x j j ??==、 齐次线性方程组 ：当系数行列式01≠=D 时，则只有零解 逆否：若方程组存在非零解，则D 等于零 特殊行列式： ①转置行列式：33 23133222123121 11333231232221 131211 a a a a a a a a a a a a a a a a a a → ②对称行列式:ji ij a a = ③反对称行列式:ji ij a a -= 奇数阶的反对称行列式值为零 ④三线性行列式:33 31 2221 13 1211 0a a a a a a a 方法：用221a k 把21a 化为零，。。化为三角形行列式 ⑤上（下）三角形行列式: 珠海校区2009年度第一学期《线性代数》期中考试卷 姓名：专业：学号：成绩： 一，填空题（每题3分，共24分） 1.在5 阶行列式中，含有a13a34a51且带有负号的项是________________ 2.设A是3阶方阵，| A |= 1/3 ，则|（3A）-1 + 2A*| = 1 1 0 0 1 1 1 1 3. 5 2 0 0 = ： 4 . x c b a = ; 0 0 3 6 x2c2b2a2 0 0 1 4 x3c3b3a3 5 . 已知矩阵 A = 1 1 , B = 1 0 , 则AB – BA T = ; 0 -1 1 1 1 0 2 6. 已知矩阵 A = 1 k 0 的秩为 2 ,则k = ; 1 1 1 2 1 1 1 7. 1 2 1 1 = ; 8. 若A = diag( 1 ,2 ,3 ,4 ) , 则A-1= ; 1 1 2 1 1 1 1 2 二. 判断题（每题2分，共10分） 1. 任一n 阶对角阵必可与同阶的方阵交换。（） 2. n 阶行列式中副对角线上元素的乘积a n1a n-1,2…a1n总是带负号的（） 3. 若A为n 阶方阵，则（A*）T = ( A T )* （） 4. 设A , B 为n 阶方阵，则有（AB）3= A3B3（） 5. 设A与B 为同型矩阵，则 A ~ B的充要条件是R（A）=R ( B ) ( ) 三,计算下列行列式( 每题8 分,共16 分) -2 -1 1 -1 0 1 0 …0 0 D4 = -2 2 4 8 1 0 1 …0 0 -2 1 1 1 D n = 0 1 0 …0 0 -2 -2 4 8 . . . . . 0 0 0 …0 1 0 0 0 … 1 0 -1 -1 0 四. 已知 A = -1 0 1 且AB = A – 2B , 求 B . 2 2 1 线性代数知识点总结 1 行列式 （一）行列式概念和性质 1、逆序数：所有的逆序的总数 2、行列式定义：不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式） （1）行列互换（转置），行列式的值不变 （2）两行（列）互换，行列式变号 （3）提公因式：行列式的某一行（列）的所有元素都乘以同一数k，等于用数k 乘此行列式 （4）拆列分配：行列式中如果某一行（列）的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。 （5）一行（列）乘k加到另一行（列），行列式的值不变。 （6）两行成比例，行列式的值为0。 （二）重要行列式 4、上（下）三角（主对角线）行列式的值等于主对角线元素的乘积 5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace展开式：（A是m阶矩阵，B是n阶矩阵），则 7、n阶（n≥2）德蒙德行列式 数学归纳法证明 ★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值： （三）按行（列）展开 9、按行展开定理： （1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于0 （四）行列式公式 10、行列式七大公式： （1）|kA|=k n|A| （2）|AB|=|A|·|B| （3）|A T|=|A| （4）|A-1|=|A|-1 （5）|A*|=|A|n-1 （6）若A的特征值λ1、λ2、……λn，则 （7）若A与B相似，则|A|=|B| （五）克莱姆法则 11、克莱姆法则： （1）非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解 （2）如果非齐次线性方程组无解或有两个不同解，则它的系数行列式必为0 （3）若齐次线性方程组的系数行列式不为0，则齐次线性方程组只有0解；如果方程组有非零解，那么必有D=0。 2 矩阵 （一）矩阵的运算 1、矩阵乘法注意事项： （1）矩阵乘法要求前列后行一致； （2）矩阵乘法不满足交换律；（因式分解的公式对矩阵不适用，但若B=E,O,A-1，A*,f(A)时，可以用交换律） 线性代数行列式经典例题 例1计算元素为a ij = | i －j |的n 阶行列式. 解 方法1 由题设知，11a =0，121a =，1,1,n a n =- ，故 01110212 n n n D n n --= -- 1,1,,2 i i r r i n n --=-= 01 1111 111 n ---- 1,,1 j n c c j n +=-= 121 1 021 (1)2(1)020 1 n n n n n n ------=---- 其中第一步用的是从最后一行起，逐行减前一行．第二步用的每列加第n 列． 方法2 01110 212 0n n n D n n --= -- 1 1,2,,111 1111 120 i i r r i n n n +-=----=-- 1 2,,100120 1231 j c c j n n n n +=---= --- =12(1)2(1) n n n ---- 例2. 设a , b , c 是互异的实数, 证明: 的充要条件是a + b + c =0. 证明: 考察范德蒙行列式: = 行列式 即为y 2前的系数. 于是 = 所以 的充要条件是a + b + c = 0. 例3计算D n = 121 100010n n n x x a a a x a ----+ 解： 方法1 递推法 按第1列展开，有 D n = x D 1-n +（－1） 1 +n a n 1 1111n x x x ----- = x D 1-n + a n 由于D 1= x + a 1，221 1x D a x a -=+，于是D n = x D 1-n + a n =x （x D 2-n +a 1-n ）+ a n =x 2 D 2-n + a 1-n x + a n = = x 1 -n D 1+ a 2x 2 -n + + a 1-n x + a n =111n n n n x a x a x a --++++ 方法2 第2列的x 倍，第3列的x 2 倍， ，第n 列的x 1 -n 倍分别加到第1列上 12 c xc n D += 21121 10010000n n n n x x x a xa a a x a -----++ 考试试卷1 闭卷考试时间：100分钟 一、填空题（本题15分，每小题3分） 1、设()4321,,,A A A A A =为四阶方阵，其中)4,3,2,1(=i A i 为A 的第i 个列向量, 令()14433221,,,A A A A A A A A B ----=，则=B 。 2、设A 为三阶方阵，*A 为A 的伴随矩阵，且3||=A ，则=-*|)(|1A 。 3、设??? ? ? ??-----=2531312311 112t t A ，且2)(=A R ，则=t 。 4、若n 阶方阵A 有特征值λ，则E a A a A a A A f k k k 011 1)(++++=-- 必有 特征值 。 5、若二次型yz xz axy z y x f 2223222+++++=经正交变换化为2 2214y y f +=， 则=a 。 二、选择题（本题15分，每题3分） 1、设A 是n 阶方阵，则0||=A 的必要条件是（ ）。 （A ）A 中两行（列）元素对应成比例； （B ）A 中有一行元素全为零； （C ）任一行元素为 其余行的线性组合； （D ）必有一行元素为其余行的线性组合。 2、设A 是n 阶对称阵，B 是n 阶反对称阵，则下列矩阵中反对称矩阵是（ ） （A ）BAB ； （B ）ABA ； （C ）ABAB ； （D ）BABA 。 3、设向量组()()()，，，，，，，，，T T T t 31321111321===ααα当=t （ ）时，向量组321ααα，，线性相关。 （A ）5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 4、设A 为34?矩阵，321,,ηηη是非齐次线性方程组b Ax =的3个线性无关的解向量， 21,k k 为任意常数，则非齐次线性方程组b Ax =的通解为（ ）。 （A ） )(21213 2ηηηη-++k ； （B ） )(21213 2ηηηη-+-k ； （C ）)()(213212132ηηηηηη-+-++k k ； （D ）)()(2 1321213 2ηηηηηη-+-+-k k 。 5、设方阵??? ? ? ??=20001011k k A 是正定矩阵，则必有（ ）。 线性代数与空间解析几何总结 线性代数和空间解析几何是非数学专业的一门基础课程，可以看做是高等代数和解析几何的简化版。其内容大概分为八章，以线性代数内容为主，穿插少量解析几何知识。全书逻辑严谨，内容关联性强，但是缺乏直观性，对于没有基础的大一新生，不免显得生硬。 第一章主要讲述行列式相关内容，直接给出了行列式的定义。这一章的重点内容是根据行列式的定义推出一些性质，利用定义推导出行列式运算的一些性质，并且根据这些性质灵活的化简计算具体的行列式。其实行列式的计算相当繁琐，我们只需要掌握最基本的一些方法，如构造三角行列式（这种方法很重要，矩阵初等变换也要用）、加边法、递推法等等，还有一个重要的范德蒙行列式需要掌握。在章末，给出了克莱姆法则及其在解方程组时的应用，这本来是线性方程组理论内容，为了强化行列式的应用，放在了第一章介绍。 第二章讲述矩阵的基本内容，这是全书的核心，而矩阵理论也是整个线性代数体系的核心内容之一。这一章内容很多，而且联系复杂，但以矩阵的逆和秩为中心内容。首先，介绍的是矩阵的基本概念，基本分类和基本运算，对于矩阵的运算，比较重要的是矩阵与矩阵之间的乘法，这是个新运算，要多加练习，在此基础上，还引出了方阵的幂的概念。然后就开始通过单位矩阵和1的类比，引出矩阵的逆的概念，给出了矩阵逆的性质，给出了判别矩阵是否可逆的充要条件（以后还有很多补充）和求逆矩阵的伴随矩阵法。接着通过解线性方程组的一般解法，引出矩阵的初等变换，给出了行阶梯型矩阵、行最简型矩阵和标准型矩阵的概念。给出了矩阵秩的定义（显然，一个方阵是否可逆与其是否满秩是等价的），指出初等行变换不会改变矩阵的秩，并给出了求矩阵秩的方法——化矩阵为行阶梯型矩阵。接着，又给出了初等矩阵的定义，并且将矩阵初等变换和矩阵与一个初等矩阵相乘建立起一一对应的关系，用初等变换将矩阵化为标准型，显然，根据初等变换不该变矩阵的秩，则初等变换不改变矩阵可逆性，由于我们可以很容易地观察出标准型矩阵的秩和行列式，所以若一个方阵可逆，它的标准型必然是一个单位阵。于是，每个可逆矩阵都可以写成N个初等矩阵的乘积，且初等矩阵都是可逆的，并且都有其明确的变换意义，我们便利用这个结论给出了求可逆矩阵的一般方法——初等变换法（很重要）。最后一部分介绍的是关于分块矩阵的一些知识，其实这些内容是矩阵内容的推广，把矩阵中的元素由数换成了矩阵，内容可以类比于矩阵进行学习，但要注意由于矩阵并不是数，所以比如说行列式运算与一般矩阵的运算法则不同，这种问题最好还是化为一般矩阵处理，以免超范围使用性质，造成不必要的错误。值得一提的是，分块矩阵的秩的性质很重要，在书的后续内容中有着广泛的应用。 第三章是空间向量，属于向量理论范畴，这是线性代数体系的另一个核心内容，它与线性方程组理论和解析几何有着紧密的联系。本章主要介绍基本的空间几何即三维向量知识，为学习更深一层向量理论给出一个直观印象，这是本书中空间解析几何部分的内容。首先给出三维向量的直观概念，空间中既有大小又有方向的量，然后给出了一些性质；建立坐标系，向量线性运算转化为坐标运算，这些都可以类比于平面向量学习。下面介绍空间中的平面和直线的知识，这是本章的重点。给出了平面在空间直角坐标系中的方程，利用两个平面的交线是直线这一结论给出直线方程的一般形式，根据方程解的情况讨论空间平面和直线的位置关系。空间中主要解决距离和角度两个问题，通过引入的向量积和平面法向量，给出了一系列相关求解公式，当然，理解这些公式的推导是更重要的，这能大大简化问题的求解。最后，书中还给出了平面束和投影的概念，求解直线在某一平面上的投影方程的方法要掌握。线性代数典型例题
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