八年级初二数学第二学期二次根式单元 易错题难题质量专项训练
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ） A
B
C ．
=3
D
2．
） A
B
C
D
3．已知x 1
x 2
，则x?2＋x?2等于( ) A ．8
B ．9
C ．10
D ．11
4．
） A ．－3
B ．3或－3
C ．9
D ．3
5．下列运算正确的是（ ）
A ．52223-=y y
B ．428x x x ?=
C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2
D
=
6．对于已知三角形的三条边长分别为a ,b ,c ，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过
深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式：
S =，其中2
a b c
p ++=
,若一个三角形的三边长分别为2,3,4，则其面积（ ） A
B
C
D
7．下列计算正确的是（ ）
A
．+=B ．(
)
3
2
2326a b
a b -=-
C ．2
2
2
()a b a b -=-
D ．2422
a a
b a a b a -+?=-++
8．如果关于x 的不等式组0,2
223
x m
x x -?>???-?-<-??的解集为2x >
则符合条件的所有整数m 的个数是（ ）． A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
9．下列计算或判断：（1）±3是27的立方根；（2
；（3
2；（4
；（5
） A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10．若2a a =-成立，那么a 的取值范围是（ ） A ．0a ≤
B ．0a ≥
C ．0a <
D ．0a >
11．设0a >，0b >，且(
)(
)
35a a b b
a b +=+，则
23a b ab
a b ab
-+++的值是
（ ） A ．2
B ．
14
C ．
12
D ．
3158
12．下列计算正确的是（ ） A ．234265+= B ．842=
C ．2733
÷=
D ．2(3)3-=-
二、填空题
13．已知实数,x y 满足()()
2
22008
20082008x x y y ---
-=，则
2232332007x y x y -+--的值为______.
14．（1）已知实数a 、b 在数轴上的位置如图所示,化简
()
2
22144a a ab b +--+=_____________；
（2）已知正整数p ，q 32016p q =()p q ，
的个数是_______________；
（3）△ABC 中,∠A=50°,高BE 、CF 所在的直线交于点O,∠BOC 的度数__________. 15．计算（π-3）02-2
11(223)-4-22
--（）
的结果为_____． 16．已知整数x ，y 满足20172019
y x x =
+--，则y =__________．
17．已知实数m 、n 、p 满足等式
33352m n m n m n p m n p -+--+----，则p =__________．
18．计算：652015·
652016＝________． 19．1+x
有意义，则x 的取值范围是____．
20．2m 1-1343m --mn ＝________．
三、解答题
21．观察下列各式子，并回答下面问题． 211-
（1）试写出第n 个式子（用含n 的表达式表示），这个式子一定是二次根式吗？为什么？ （2）你估计第16个式子的值在哪两个相邻整数之间？试说明理由．
【答案】（1，该式子一定是二次根式，理由见解析；（215和16之间．理由见解析． 【分析】
（1）依据规律可写出第n 个式子，然后判断被开方数的正负情况，从而可做出判断；
（2）将16n =代入，得出第16，再判断即可． 【详解】
解：（1 该式子一定是二次根式，
因为n 为正整数，2
(1)0n n n n -=-≥，所以该式子一定是二次根式
（2
15=16=，
∴1516<
<.
15和16之间． 【点睛】
本题考查的知识点是二次根式的定义以及估计无理数的大小，掌握用“逼近法”估算无理数的大小的方法是解此题的关键．
22．我国南宋时期有个著名的数学家秦九韶提出了一个利用三角形的三边求三角形的面积的公式，若三角形三边为a b c 、、，则此三角形的面积为：
1S = 同样古希腊有个几何学家海伦也提出了一个三角形面积公式：
2S =
2
a b c
p ++=
（1）在ABC 中，若4AB =，5BC =，6AC =，用其中一个公式求ABC 的面积． （2）请证明：12S S
【答案】（12） 证明见解析 【分析】
（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S = （2）对1S 和2S 分别平方，再进行整理化简得出22
12S S =，即可得出1
2S S ．
【详解】
解：（1）将4AB =，5BC =，6AC =代入1S =得：
S =
=
（2）2222
222
1
1[()]24a b a S c b +-=-
=222222
)1(22(4)a b c a b c ab ab +-+--+ =2222()2(2
1)4c a c a b b +?---? =
()(1
()()16
)c a b c a b a b c a b c +-++-++- 22()()()S p p a p b p c =---
∵2
a b c
p ++=
， ∴2
2()(2)(222
)S a a b c a b c a b c a b c b c +++++++-+=
-- =2222a b c b c a a c b a b c +++-+-+-???
=1
()()()()16
a b c b c a a c b a b c +++-+-+- ∴22
12S S =
∵10S >，20S >， ∴1
2S S ．
【点睛】
本题考查了二次根式的运算，解题的关键是理解题中给出的公式，灵活运用二次根式的运算性质进行运算．
23．已知m ，n 满足m 4n=3+.
【答案】12015
【解析】 【分析】
由43m n +=2
﹣2）﹣3＝0，将
，代入计算即可．
【详解】
解：∵4m n +＝3，
)2
2
﹣2）﹣3＝0，
）2﹣23＝0，
+13）＝0，
＝﹣13，
∴原式＝
3-23+2012＝1
2015
．
【点睛】
本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握完全平方公式的运用及二次根式性质．
24．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =
.
【答案】化简得6x+6，代入得 【分析】
根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】
(()
69x x x x +--+
=22369x x x --++ =6x+6
把1x =
代入原式=61）
【点睛】
此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.
25．计算
(2)2
；
(4)
【答案】（1）2）9-；（3）1；（4）
（1）根据二次根式的性质和绝对值的代数意义进行化简后合并即可；
（2）根据完全平方公式进行计算即可；
（3）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可；
（4）先进行乘法运算，再合并即可得到答案．
【详解】
解：
=
=
2
(2)
-
=22
=63
-
=9-
=1；
(4)
=
=
=
【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．
26．计算：
11
（1)
÷
（2
33
【答案】（12
+；（2）
【分析】
（1）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算顺序相同；
（2）根据二次根式的加减法法则和乘除法法则进行计算，注意运算顺序与实数的混合运算
【详解】
解：)
11
31
-
＝
2
33
÷
3
＝
＝
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的混合运算顺序与实数的混合运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号时要先算括号里的或先去括号．
27．计算下列各式：
（1；
（2
【答案】（12；（2）
【分析】
先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.
【详解】
（1）原式2
=-
2
=；
（2）原式=
=.
【点睛】
本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键
(0)
(0)
a a
a
a a
≥
?
==?
-<
?
，
)
0,0
a b
=≥≥
=（a≥0，b>0）.
28．计算（1
（2）(()
2
1-
【答案】（1）2
；（2）24+ 【分析】
（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；
（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】
解：（1
=
=-
=
（2）(()
2
1-
=22(181)---
=452181--+
=24+． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．
29．先化简，再求值：2443
(1)11
m m m m m -+÷----，其中2m =.
【答案】22m
m
-+ 1． 【解析】
分析：先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将m 的值代入计算可得．
详解：原式=2
21m m --（）÷（31m -﹣211m m --） =2
21m m --（）÷241
m m --
=
2
2
1 m
m
-
-
（）
?
1
22
m
m m
-
-+-（）（）
=﹣
2
2 m
m
-+
=2
2
m
m -+
当m﹣2时，原式=
=
=﹣1+
=1．
点睛：本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
30．已知x2+2xy+y2的值.
【答案】16
【解析】
分析：（1）根据已知条件先计算出x+y=4，再利用完全平方公式得到
x2+2xy+y2=（x+y）2，然后利用整体代入的方法计算．
本题解析：
∵x2 +2xy+y2 =(x+y)2，
∴当
∴x2+2xy+y2=(x+y)2=(2?=16.
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一、选择题
1．D
解析：D
【解析】
解：A A错误；
B==，所以B错误；
C．=C错误；
D
==D 正确．
故选D ．
2．A
解析：A 【分析】
根据二次根式的性质把每一项都化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义判断即可． 【详解】
解：A
＝
B
C
不是同类二次根式，不合题意； D
3
故选：A ． 【点睛】
本题考查了同类二次根式的定义和二次根式的性质，属于基本题型，熟练掌握基本知识是解题关键．
3．C
解析：C 【详解】
12x x +==
12321x x =
=-=，
所以()2
22
1212122x x x x x x +=+-
=(2
2112210-?=-=，
故选：C ． 【点睛】
对于形如22
12x x +的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有
这个特点的代数式称为轮换对称式，如
1211
+x x ，1221
x x x x +，12x x -等，轮换对称式都可以用12x x +，12x x 来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用12x x +，12x x 来表示，然后再整体代入计算．
4．D
解析：D 【分析】
根据二次根式的性质进行计算即可． 【详解】
|3|3
=．故选：D．
【点睛】
(0)
0(0)
(0)
a a
a a
a a
＞
＜
?
?
===
?
?-
?
．
5．D
解析：D
【分析】
由合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，分别进行判断，即可得到答案．
【详解】
解：A、222
523
y y y
-=，故A错误；
B、426
x x x
?=，故B错误；
C、222
()2
a b a ab b
--=++，故C错误；
D
==D正确；
故选：D．
【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
6．A
解析：A
【分析】
根据公式解答即可．
【详解】
根据题意，若一个三角形的三边长分别为2，3，4，则
2+349
=
222
a b c
p
+++
==
∴其面积为
S====
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的应用、数学常识等知识，难度较难，掌握相关知识是解题关键．7．D
解析：D
【分析】
分别运用二次根式、整式的运算、分式的运算法则逐项排除即可．
【详解】
解：A. =A 选项错误； B. ()()()
3
3
3
22363228a b
a b a b -=-=-，故B 选项错误；
C. 222()2a b a ab b -=-+，故C 选项错误；
D. ()()2224222
a a a a
b a b a a b a a b a +--++?=?=-++++，故D 选项正确． 故答案为D ． 【点睛】
本题考查了二次根式、整式的运算、分式的运算，掌握相关运算法则是解答本题的关键．
8．C
解析：C 【分析】
先求出两个不等式的解集，根据不等式组的解集为2x >可得出m ≤2的值是整数，得出|m|=3或2，于是m=-3，3，-2或2，由m ≤2，得m=-3，-2或2． 【详解】 解：解不等式02
x m
->得x ＞m ， 解不等式
2
23
x x --<-得x ＞2， ∵不等式组解集为x ＞2， ∴m ≤2，
则|m|=3或2，∴m=-3，3，2或-2， 由m ≤2得，m=-3，-2或2．
即符合条件的所有整数m 的个数是3个． 故选：C ． 【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组以及二次根式的性质，熟练运用一元一次不等式组的解法是解题的关键．
9．B
解析：B 【解析】
根据立方根的意义，可知27的立方根是3，故（1a =正确，故（2）正
=8，可知其平方根为±，故（3）不正确；根据算术平方根的意义，可知
8=，故（4
=，故
（5）正确.
故选B.
10．A
解析：A
【分析】
由根号可知等号左边的式子为正，所以右边的式子也为正,所以可得答案.
【详解】
得-a≥0，所以a≤0，所以答案选择A项.
【点睛】
本题考查了求解数的取值范围，等号两边的值相等是解答本题的关键.
11．C
解析：C
【分析】
=变形后可分解为：
）＝0，从而根据a＞0，b＞0可得出a和b的关系，代入即
可得出答案．
【详解】
由题意得：a＝＋15b，
∴＋）＝0，
＝，a＝25b，
1
．
2
故选C．
【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，有一定难度，根据题意得出a和b的关系是关键．12．C
解析：C
【分析】
根据合并二次根式的法则、二次根式的性质、二次根式的除法法则即可判定．
【详解】
A、A错误；
B=B错误；
C3
=，故选项C正确；
=，故选项D错误；
D3
故选：C．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．二、填空题
13．1
【分析】
设a=，b=，得出x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．
【详解】
解：设a=，b=，则x2?a2=y2?b2=2008，
∴(x+a)(x?a)=(y+b)(y?b)=2008……
解析：1
【分析】
设x，y及a，b的关系，再代入代数式求值．【详解】
解：设x2?a2=y2?b2=2008，
∴(x+a)(x?a)=(y+b)(y?b)=2008……①
∵(x?a)(y?b)=2008……②
∴由①②得：x+a=y?b，x?a=y+b
∴x=y，a+b=0，
∴，
∴x2=y2=2008，
∴3x2﹣2y2+3x﹣3y﹣2007
=3×2008?2×2008+3(x?y)?2007
=2008+3×0?2007
=1.
故答案为1.
【点睛】
本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是求出x，y及a，b的关系. 14．（1）2a－2b＋1；（2）3；（3）130°或50°.
【解析】
（1）∵-1
∴
＝|a+1|-|a-2b|
=2a-2b+1. (2)∵， ∴，p=20
解析：（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°. 【解析】
（1）∵-1
∴
20163p q =-，p=2016-62016+9q,
∴p=14x 3(其中x 为正整数)， 同理可得：q=14y 2
（其中y 为正整数）, 则x+3y=12(x 、y 为正整数) ∴963
,,123
x x x y y y ===????
??===???, ∴整数对有（p,q ）=(14?81,141?),或（1436,144)?? ,或（149,149??）。 ∴满足条件的整数对有3对.
(3)①当交点在三角形内部时（如图1），
在四边形AFOE 中，∠AFC=∠AEB=90°，∠A=50°， 根据四边形内角和等于360°得， ∠EOF=180°-∠A=180°-50°=130°， 故∠BOC=130°；
②当交点在三角形外部时（如图2），
在△AFC 中，∠A=50°，∠AFC=90°， 故∠1=180°-90°-50°=40°， ∵∠1=∠2，
∴在△CEO 中，∠2=40°，∠CEO=90°， ∴∠EOF=180°-90°-40°=70°， 即∠BOC=50°，
综上所述：∠BOC 的度数是130°或50°． 故答案是：(1). 2a －2b ＋1 (2). 3 (3). 130°或50°．
15．﹣6 【解析】
根据零指数幂的性质，二次根式的性质，负整指数幂的性质，可知（π-3）0=1﹣（3﹣2）﹣4×﹣4=1﹣3+2﹣2﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．
解析：﹣6 【解析】
根据零指数幂的性质0
1(0)a a =≠，二次根式的性质，负整指数幂的性质
1
(0)p
p a
a a
-=≠，可知（π-3）0(
)
2
-2
11223-4
--22
-（）
=1﹣（3﹣2）﹣4×
2
2
﹣4=1﹣2﹣2﹣4=﹣6. 故答案为﹣6．
16．2018 【解析】 试题解析： ， 令，， 显然， ∴，
∴，
∵与奇偶数相同， ∴， ∴， ∴．
故答案为：2018.
解析：2018 【解析】 试题解析：
y =
=
=
令a =
b =
显然0a b >≥， ∴224036a b -=， ∴()()4036a b a b +-=， ∵()a b +与()-a b 奇偶数相同，
∴2018
2a b a b +=??
-=?， ∴1010
1008a b =??
=?
， ∴2018y a b =+=． 故答案为：2018.
17．5 【解析】
试题解析：由题可知， ∴， ∴， ∴， ①②得，， 解方程组得， ∴． 故答案为：5.
解析：5 【解析】
试题解析：由题可知30
30m n m n -+≥??
--≥?
， ∴3m n +=，
0=， ∴35200m n p m n p +--=??
--=?①
②
，
①-②得2620m n +-=，31m n +=， 解方程组331m n m n +=??
+=?得4
1
m n =??
=-?， ∴4(1)5p m n =-=--=． 故答案为：5.
18．【解析】 原式=. 故答案为.
【解析】 原式
=
2015
2015
=
19．x≥0． 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】
∵有意义，∴x≥0， 故答案为x≥0． 【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
解析：x≥0． 【分析】
直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案． 【详解】
有意义，∴x≥0， 故答案为x≥0． 【点睛】
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
【分析】
根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案. 【详解】
∵最简二次根式与是同类二次根式，
∴ ，
解得，，
∴
故答案为21.
解析：21
【分析】
根据二次根式及同类二次根式的定义列出方程组即可求出答案.
【详解】
∴
12
21343
n
m m
-=
?
?
-=-
?
，
解得，
7
3
m
n
=
?
?
=
?
，
∴7321. mn=?=
故答案为21.三、解答题
21．无
22．无
23．无
24．无
25．无
26．无
27．无
29．无30．无