数字谜综合
一、教学目标
总述：数字迷从形式上可以分为横式数字迷与竖式数字迷，从运算法则上可以分为加
减乘除四种形式的数字迷。横式与竖式亦可以互相转换，本讲中将主要介绍数字迷的一般
解题技巧。会涉及小数、分数、循环小数的数字迷问题，因此，会需要利用数论的知识解
决数字迷问题。
细分：
1.巩固并掌握数字谜的特殊数位分析方法，并会用这些方法解决实际问题；
2.巩固并掌握数字谜的估算（结合数位）的分析方法，并会用这些方法解决实际问
题；
3.巩固并掌握运用进位、退位分析方法，并会用这些方法解决实际问题；
4.巩固并掌握运用分解质因数分析方法，并会用这些方法解决实际问题；
5.巩固并掌握运用奇偶性分析方法，并会用这些方法解决实际问题；
6.能运用所学的知识与方法解决复杂综合的数字谜；
二、知识点拨
A.知识汇总
分类：横式数字迷，竖式数字迷；加减法，乘除法。
分析方法：特殊数位分析方法（个位数字分析法、高位数字分析法等），数字估计分析法（结合数位），进位借位分析法，分解质因数法，奇偶分析法。
B.常用分析法
1.个位分析法（加法个位数规律，减法个位数规律和乘法个位数规律），适用于已
知条件给出的主要是个位数，注：大部分数字迷都要用这种方法。
2.高位分析法（主要在乘法中运用）。
3.数字估算分析法（最大值和最小值的考量，经常要结合数位考虑）。
4.加减乘法中的进位和借位分析（借位进位是非常容易出错的地方）。
5.分解质因数法（当乘法数字迷中的一个积全部已知或者只有一个数字未知而没有
其它办法判断时，可以考虑使用分解质因数）。
6.奇偶性分析法（加减乘法）
数字迷经常可以直接利用奇偶性进行排除选项。复杂的数字迷中不能直接确定摸一个数字时，经常需要使用假设法逐一排除，排出的判断一般是通过另外一个数字或者题目中的其他条件来进行的。
三、整体思路
四、题目分类
[类型一]巩固并掌握数字谜的特殊数位分析方法，并会用这些方法解决实际问题；
[例题一]在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：_______.
[教学建议] 利用特殊数位分析的典型题（高位或者重点特殊数位），高位和中间特殊数位。
【巩固】右面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“数学好玩”表示的四位数是多少?
[教学建议] 比较简单，可以作为练习或者作业。
【分析】由积的千位数知“数”1
=，由积的百位数知
=，由积的十位数知“学”0
“玩”9
=。竖式化简为下式。由于“1真”9?=“10好”，所以“真”2
=，“好”8
=，“啊”6
=。
=。所以，“数学好玩”1089
[例题三]下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字．已知BAD不是3的倍数，GOOD不是8的倍数，那么ABGD代表的四位数是多少
B A D
+
B A D
G O O D
[教学建议] 运用到特殊数位分析，并综合了奇偶性分析方法缩小范围，再结合整除的分析方法得出结果。
【解析】首先可以确定D的值一定是0，G的值一定是1，所以GOO BA BA
=+，可见G O O 为偶数，只能是122、144、166、188，由于BAD不是3的倍数，GOOD不是8的
倍数，所以G O O不是3的倍数，也不是4的倍数，可以排除144和188，再检验
122和166可知只有166符合，此时BAD为830，所以ABGD的值为3810。
那么“真”至少为2，所以百位不可能进位，故“爱”1019
=-=。由于“好”和“真”不同，所以“真”=“好”1+，十位向百位进1位。如果个位不向十位进
位，则“真”+“更”=“好”10
=，不合题意，所以个位必定
+，得到“更”9
向十位进1位，则“真”+“更”1+=“好”10
=。现在，“真”
+，得到“更”8
=“好”1+，“知”+“好”10
=+“玩”．“真”、“好”、“知”、“玩”为2，3，4，5，6，7中的数。由于“玩”至少为2，而“知”+“好”最大为6713
+=，所以“玩”为2或3。若“玩”为3，则“知”与“好”分别为6和7，此时无论“好”
为6还是7，“真”都会与已有的数字重复，不合题意。若“玩”为2，则“知”
与“好”分别为5和7，只能是“知”7
=。此时“数学真
=，“好”5
=，“真”6
好玩”代表的数是10652。
【巩固】（2007年“我爱数学夏令营”）右图加法算式中相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，那么汉字“我爱夏令营”表
示的5位数是__________。
[教学建议] 除了使用例题最基本的高位分析法与逐步缩小范围的
方法外，还可以根据式子的形式灵活使用位值原理。
【分析】两个五位数相加得到一个六位数，由于这两个五位数均小于100000，所以它们的和小于200000，所以图中的“数”小于2，故“数”1
=。由于“我爱夏令营”=“数学夏令营好”-“数学夏令营”9
=?“数学夏令营”+“好”，所以“我”9
=。而图中加法算式的千位最多向万位进1，所以“学”
只能为1或0。由于“学”与“数”不同，所以“学”不能为1，只能是0。
图中算式可简化为“爱夏令营”+“夏令营”=“夏令营好”，即1000?“爱”+“夏令营”+“夏令营”10=?“夏令营”+“好”
。得1000?“爱”8=?“夏令营”+“好”，所以“好”是8的倍数。由于“好”不能是0，所以“好”8=，“夏令营”125=?“爱”1-。由于“爱”、“夏”、“令”、“营”均不能为0、1、8、9，经试验只有当“爱”5=时，“夏令营”624=符
合条件。所以“我爱夏令营”表示的5位数是95624。
[例题五] 将0、1、2、3、4、5、6这七个数字填在圆圈和方格内，每个数字恰好出
现一次，组成只有一位数和两位数的整数算式．问填在方格内的数是多少？
?==÷
[教学建议] 灵活运用特殊数位特征，分析数字谜。
[解析] 题目要求用七个数字组成5个数，说明有3个数是一位数，有2个数是两位数．很明显，方框里的数和被除数是两位数，其余的被乘数、乘数和除数是1位数．看得出来，0不能做被乘数和乘数，更不能做除数，因而0是两位数的个位数字，但不能是商的个位数字，即不能是方框里的两位数的个位数字，否则会使除数的个位也为0，从而只能是被除数的个位数字；乘数如果是1，不论被乘数是几，都将在算式出现两次，与题意不符，所以，乘数不是1．同样乘数也不能是5．乘数如果有2，则被乘数只能是6，才能保证方格里的数是不含偶的两位数，但此时2出现重复，所以乘数里面也没有2．被除数是3个一位数的乘积，其中一个是5，另两个中没有1，也不能有2，因而被除数至少是34560??=．由于没有比6大的数字，所以被除数就是60，而且算式是3412605?==÷．于是方格中的数是12。
【巩固】 在算式：2?=
的六个方框中，分别填入2，3，4，5，6，7这六个数字，使算式成立，并且算式的积能被13整除，那么这个乘积是？
[教学建议] 作为例题的练习，较好。 【解析】 先从个位数考虑，有224?=、236?=、2612?=、2714?=四种可能；再考虑
乘数的百位只能是2或3，因此只有三种可能的填法：
2273546?=，2327654?=，2267534?=，其中只有546能被13整除，所以这个积是546。
[例题六] 如图所示的乘法竖式中，“锐才数学”分别代表0～9 中的一个数字，相同的
汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字，那么“锐才数学”代表的数字分别为________（
[教学建议] 从高位与特殊数位，结合估算缩小范围，进行分析，要求一定的分析能力，难度不高。 【解析】 首先从式子中可以看出“数”0=，另外第三个部分积的首位只能为9，所以“锐”
只能为3．由于3个部分积都是四位数，而且第三个部分积的首位为9，所以它比其它两个部分积要大，从而“锐”比“才”和“学”都大，所以“才”和“学”只能分别为1和2，这样“锐才数学”就可能为3102或3201．分别进行检验，发现310231029622404?=，与算式不相符，而3201320110246401?=符合，所以“锐才数学”代表的数字分别为3、2、0、1．
[例题七] ()n ABC 表示n 进制中的一个三位数，请解决如右所示n 进制中的数字谜
（不同的字母表示不同的数）。请确定A ,B ,C ,D ,n 的值，并带入下式进行计算：A B C D n ++++=__________。（注：此时的结果请写成十进 制的）。
[教学建议] 结合数论
【分析】 在n 进制中，由于个位的C C +最多向十位进1，十
位的B ,D 互不相同，它们最大分别为1n －和n －2，
所以11212B
D n n n ++≤-+-+p ，所以十位最多
向百位进1，同理可知百位最多向千位进1，所以B 只能为1。由于A 最大为1n －，则11111A B n n ++≤-++=+，即百位向千位进1后最多还剩下1，即D 最大为1，又因为不同的字母表示不同的数，D 不能B 与相同，所以
D
只能为0。而C 不能为0、1，所以C C n +=，101C ++=，即2C =，4
n =，13A n =-=，所以3120410A B C D n ++++=++++=。
[类型二] 巩固并掌握数字谜的估算（结合数位）的分析方法，并会用这些方 法解决实际问题；（本质：根据数位缩小范围）
[例题八]
（2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，相同的汉字代
表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。“美妙数学花园”代表的6位数最小为__________。
[教学建议] 在运用估算技巧确定各个未知的数字时，比较简单。
[分析] 本题中4个数的和是一个各个数位上的数字都相同的四
位数，由于加法算式中百位上没有进位，所以和的千位上只能是2，因此“好”2=。要使“美妙数学花园”代表的6位数最小，则“美”、“妙”都要尽可能小。“美妙”+“数学”+“花园”22222007215=-=，由于“数学”+“花园”最大只能为908076183+++=，所以“美妙”不小于21518332-=。但是“妙”不能与“好”和“美”相同，所以“美妙”最小为34，此时“数学”最小为85，“花园”为96，所以这个六位数最小为348596。
[例题九]
下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是
[教学建议] 运用估算技巧分析数字谜，比较简单。
[解析一] 如式(2)，由题意a ≠2，所以b ≥6，从而d ≥6．由22□÷c ≥60和c ＞2知c=3， 所以22□是225或228，75de =或76．因为75×399＜30 000，所以76de =．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096．
【巩固】 每个方框内填入一个数字，要求所填数字都是质数，并使竖式成立？
[教学建议] 运用估算技巧分析数字谜，比较简单。与例题难度相似。 【解析】 一位质数只有2、3、5、7，且两位数乘以三位数都需要进位，相乘个位为质数的
只有3-5和5-7，逐步递推，答案775X33．
[例题十] （2007年北京“数学解题能力展示”读者评选活动决赛）将数字19:填
入下面方框，每个数字恰用一次，使得下列等式成立：
现在“2”、“4”已经填入，当把其他数字都填入后，算式中唯一的减数（●处）是__________。
[教学建议] 横式数字谜中，运用估算技巧确定所求数字的取值范围。
【分析】 首先可以估算四位数的取值范围。四位数不大于
(2007913)428010+-?-=，不小于(2007198)427638+-?-=，所以四
位数的首位数字只能是7。
再由四位数与2的和能被4整除，可以确定四位数的个位数字一定是偶数，
x
7
只能是6或8。若为6，那么四位数与2的和的个位数字为8，所以十位数字必须为偶数，只能是8。这个四位数要大于7638，只能是7986，而
(79862)41997+÷=，
与2007相差10。但此时剩下的三个数字为1、3、5，无法用这三个数字凑出10。所以四位数的个位数字不能是6。四位数的个位
数字是8时，十位数字为奇数，只能是1、3、5或9。
当四位数的十位数字为1时，四位数只能是7918，而(79182)41980+÷=，与2007相差27。但剩下的三个数字3、5、6不能凑出27；
当四位数的十位数字为3时，四位数只能是7938，而(79382)41985+÷=，与2007相差22。但剩下的三个数字1、5、6不能凑出22；
当四位数的十位数字为5时，四位数可能是7658或7958。若为7958，则由(79582)41990+÷=，与2007相差17，但剩下的三个数字1、3、6不能凑出17；若为7658，有(76582)49312007+÷+-=；
当四位数的十位数字为9
时，四位数只能是7698，而(76982)41925+÷=，与2007相差82。但剩下的三个数字1、3、5不能凑出82。
综上可知本题只有唯一答案(76582)49312007+÷+-=。算式中唯一的减
数是1。
1H L
91H L
-
[例题十二] (2008年“迎春杯”高年级组复赛)将数字1至9分别填入右边竖式的方格内使
算式成立(每个数字恰好使用一次)，那么加数中的四位数最小是多少？
[类型三] 在运用估算技巧（逐步缩小范围）的基础上，运用奇偶性解决数字谜。
[例题十三] （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）请在右图每个方框中填入一
个数字，使乘法竖式成立。
154和522，乘法竖式如图所示。
[类型四]巩固并掌握运用分解质因数分析方法，并会用这些方法解决实际问题；
[例题十四]“迎杯×春杯=好好好”在上面的乘法算式中,不同的汉字表示不同的数字,相同的汉字表示相同的数字。那么“迎+春+杯+好”之和等于多少?
[教学建议]充分利用分解质因数的方法确定未知的数字谜。
【解析】好好好=好×111=好×3×37，100以内37的倍数只有37和74，所以“迎杯”或“春杯”中必有1个是37或74，判断出“杯”是7或4。若杯=7，则好=9，999/37=27，
所以，迎+春+杯+好=3+2+7+9=21 若杯=4，则好=6，666/74=9，不是两位数，不符
合题意。迎+春+杯+好=3+2+7+9=21。
1331、1771、1991，只有1771满足：177111723
=??，可知原式是77231771
?=．所以两个乘数的差是772354
-=。
[类型五]能运用所学的知识与方法解决复杂综合的数字谜；
[例题十六]下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是？
[教学建议]本题主要用到估算（结合数位缩小范围），与分解质因数的方法解决数字谜。
[例题十七]电子数字0~9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：
[教学建议] 比较经典的数字谜（电子数字），类型较简单，综合运用特殊数位与估算的技巧分析。
⑴可以看出乘积的百位可能是2或8，由于被乘数的十位和乘数都不能是9，最大可能为8，所以它们的乘积不超过898712
?=，故乘积的首位不能为8，只能为2；⑵被乘数的十位和乘数要与图中相符，只能是0、2、6或8，0首先可以排除，所以可能为2、6或8；⑶如果被乘数的十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数．所以被乘数的十位是2，相应得出乘数是8；⑷被乘数应大于200825
÷=，可能为27、28或29，检验得到符合条件的答案：288224
?=
【巩固】 电子数字0～9如图1所示，图2是由电子数字组成的乘法算式，但有一些已经模
糊不清．请将图2的电子数字恢复，并将它写成横式：：
【解析】 设竖式如a b c d e f i g
h j k l
m
n
o
?
，那么各个字母可以代表的数如下表
6410f j +≥+=1l h =+2h =8h =8h =9l =a d
?一定是18?、16?或42?，如果是18?，那么由于2b ≥，所以b d ?进位，导致8h ≠
，
产生矛盾；如果是1
6?，那么
2b
=时
hjk
百位小于8，
6
b
≥时hjk 百位大于8，也产生矛盾；所以只有可能4a =，2d =，并可以得到2b =，考虑到fig 是三位数，
所以2e =
，再根据0g =或8，得到0c =，所得到的数式为42022840
8409
2
4
0?
．⑶若
2h =，
则可以得到3l =，1a =
，2
d =
，2b =(
因为10
b d
?
<
)；⑷由于6f =或8，所以
5
e =或者7e =．当5e =时，竖式
1222
5610
2443
5
0?
成立；当7e =时，竖式
1202
7840
2403
2
4
?
成立。
[例题十八] 在方框中填入适当的数字，使得除法竖式成立．已知商为奇数，那么除数为：
【解析】 先看除式的第二、三行，一个三位数减去一个两位数，得到一个一位数，可得这个
三位数的前两位为1、0，这个两位数的十位数字为9，个位不能为0．除数是一个
三位数，它与商的百位和个位相乘，所得的两个三位数的百位都是9，那么可得商的百位和个位相同．先将已得出的信息填入方框中，并用字母来表示一些方框中的数，如右图所示．由于商为奇数，所以e 是奇数，可能为1、3、7、9(不可能为5)．若为1，则92abc d =，而92abc f d f ?=?为三位数，于是1f =，又这个乘积的十位数字为0，而d 不能为0，矛盾．所以e 不为1；若为3，则923abc d =÷，d 可能为1、4、7， abc 相应的为304、314、324．当abc 为314和324时abc f ?所的结果的十位数字不可能为0，不合题意；若abc 为304，则f 可能为1或2，经检验f 为1和2时都与竖式不符，所以e 也不能为3；若为7，则927abc d =÷，只有5d =时满足，此时136abc =，那么3f =．经检验满足题意；若为9，则
929a b c d =÷，d
只能为7，此时108abc =，f 则只能为1．经检验也不合题意．所
以只有除数为136时竖式成立，所以所求的除数即为136．
【巩固】 （2007年香港圣公会数学竞赛）在右图中的除法算式中，只知道2、0两个
数字，其余残缺的数字都用□表示。补上残缺的数字后，
那么被除数是__________。
[教学建议] 除法竖式谜中，从特殊位置开始考虑，逐步分析出合适的数据。
【分析】 这个除法算式从相除的过程可以看出，商数的十位和千
位均为0；除数的2倍是一个三位数，而除数与商的万位相乘，积为两位数，可知万位数字为1，同样可知商
的个位数字也为1，即商为10201；
又一个两位数的两倍
9
00
2e f 22
d 22d
e
d
c
b
a
9
9
01
9002
必小于200，故第一次剩余（即被除数的前三位与除数之差）为1。而一个
三位数与一个两位数之差为1，只能是100991
-=，故被除数前三位为“100”，而除数为99，由此可知，被除数为99102011009899
?=。
[例题十九]（2007年北京“数学解题能力展示”读者评选活动初赛）在右图除法竖式的每个方格中填入适当的数字使竖式成立，并使商尽量大。那么，商的最小值是__________。
【分析】如果商的个位数字为1，那么除数为700多。由于除数
乘以商的千位数字得到一个四位数，且这个四位数的
百位数字为2，所以商的千位数至少是3才可满足这一
条件（如果是1，那么乘积为3位数；如果是2，那么
乘积在1400与1600之间，百位数字不可能是2）。
如果商的个位数字为2，则除数不小于350，不大于399，
同上分析可知，商的千位数至少是6才可满足式中条件。
如果商的个位数字大于等于3，由于除数与商的千位数字之积是一个四位数，
比除数与商的个位数字之积（700多）要大，所以商的千位数字大于个位数
字，所以此时商的千位数字至少为4。
由以上分析可知，当商的个位数字为1时，商的千位数字可以为3，此时商
的千位数字最小，故商也最小。
当商的千位数字为3时，由于十位数字为0，个位数字为1，此时除数为700
多，商的百位数字与除数的乘积也是四位数，而且这个四位数的百位数字为
0，所以商的百位数字不能是0、1、2、3，至少为4才能满足式中条件。
所以商的最小值不小于3401。
另外，25541517513401
÷=满足式中条件，所以商的最小值为3401。
[例题二十]（2007年首届全国数学资优生思维能力测试）在右图的除法算式中，只知道2、0、0、6四个数字，补上残缺的数字后，那么被除数是__________。
【分析】设商的百位数字为A，十位为B。由于A与除数之积
的十位为0，所以A只可能为2、4、7、9；由于B与
除数之积的个位为6，所以B只可能为3、8。
取A为2时，除数只能为52。若取B为8，竖式谜中第
五行数为416，那么竖式的第四行与第五行的十位数字
之差只可能为8或9（第四行的十位数字需向百位数字
借位），这样第七行的百位数字为8或9，而除数52与
一位数的乘积的百位数字最大只能为4。矛盾。所以此
时B不能为8。若B为3，则竖式的第五行为156，此时
竖式的第四行与第五行的十位数字之差至少为4，所以商的个位数只能为8
或9。试验可知1242852239
÷=满足条件。
用上述方法类似分析其他情况，可知2282852439
÷=也
÷=和5644872784
满足式中条件。