第四章 高阶微分方程
一．一般的概念和性质 一般的n 阶线性微分方程具有如下的形式：
)()()
()
(11
1
1t f x t a dt dx t a dt x
d t a dt
x d n n n n n n
=++++--- ,
(4.1)
0)()()
(11
1
1=++++---x t a dt
dx t a dt
x
d
t a dt
x d n n n n n
n .
(4.2)
其中),,2,1()
(n i t a i =和)(t f 都是某区间],[b a 上的连续函数. (4.2)称为齐线性(微分)方程, (4.1)
称为非齐线性(微分)方程. (4.2)也称为(4.1)的对应齐方程.
1．函数组的线性相关与线性无关. 区间],[b a 上的k 个函数)(),(),(21t x t x t x k 称为是线性相关的, 如果存在不全为零的常数k c c c ,,21, 使得在],[b a 上恒成立
0)()()(2211≡+++t x c t x c t x c k k .
如果这样的常数不存在, )(),(),(21t x t x t x k 称为是线性无关的.
2．(伏)郎斯基行列式. 如果函数)(),(),(21t x t x t x k 还有直到1-k 阶的导数, 行列式
)
()()()()()()()()
()](),(),([)()
1()
1(2
)
1(1
212121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x t x W t W k k
k k k k k ---'''=
=
称为这些函数的伏郎斯基行列式或郎斯基行列式.
典型例题：已知123()4,()4,()x
y x y x x y x e x ==-=+是某一三阶齐线性方程的解, 试求 )(),(21x y x y 和)(3x y 的伏朗斯基行列式123[,,]()W y y y x . （见模拟试题）
3．基本解组. 齐线性方程(4.2)的n 个线性无关解称为(4.2)的一个基本解组。
4．线性方程解的存在唯一性（102页定理1）
！定理1对于任一],[0b a t ∈及任意的n 个常数)1(0)1(00,,,-n x x x , 线性方程(4.1)存在唯一
解)(t x ?=定义在],[b a , 且满足初始条件:
)
1(0
1
01
)1(0
000)
(,
,)(,
)(---===n n n x dt
t d
x
dt
t d x t ??? . (4.3)
！典型例题：4≡y
是满足方程3
4228y x y xy y ''''''+++=和初始条件(
)的唯一解.
（见模拟试题）
A. 4)0(=y
B. 0)0(',4)0(==y y
C. 0)0(,0)0(,4)0(=''='=y y y
D. 0)0(,1)0(,4)0(=''='=y y y
5．齐线性方程(4.2)的解的性质与结构
(i) (叠加原理). 齐线性方程(4.2)的k 个解)(),(),(21t x t x t x k 的线性组合
)()()(2211t x c t x c t x c k k +++
仍旧是(4.2)的解, 其中k c c c ,,21是任意常数.
(ii) 定理(书上定理3, 定理4). 齐线性方程(4.2)的n 个解)(),(),(21t x t x t x n 在],[b a 上是线性相关的, 充分必要条件是在],[b a 上)](),(),([21t x t x t x W k 0≡.
对齐线性方程(4.2)的n 个解)(),(),(21t x t x t x n 还有进一步的结论：在],[b a 上
12[(),(),()]n W x t x t x t 0≡?是在某一点],[0b a t ∈成立10200[(),(),()]0n W x t x t x t = .
(iii) 定理5 (基本解组存在性) n 阶齐方程(4.2)一定存在n 个线性无关的解)(),(),(21t x t x t x n . (iv) 定理6. (齐方程通解结构定理) 如果)(),(),(21t x t x t x n 是齐线性方程(4.2)的n 个线性无关解, 则(4.2)的通解及全部解可以表示为(其中k c c c ,,21是任意常数):
)()()(2211t x c t x c t x c x n n +++= .
(v) 推论 n 阶齐线性方程(4.2)的线性无关解的最大个数等于n, 全部解构成一个n 维线性空间.
6. 非齐线性方程(4.1)与常数变易法
(i) 性质1 如果)(t x 是方程(4.1)的解, )(t x 是方程(4.2)的解, 则)()(t x t x +是方程(4.1)的解. (ii) 性质2方程（4.1）的任意两个解之差必为方程（4.2）的解.
(iii) 定理7. (非齐方程通解结构定理) 设)(),(),(21t x t x t x n 是齐线性方程(4.2)的基本解组, 而)(t x 是方程(4.1)的某一个解, 则非齐方程(4.1)的通解及全部解可以表示为(其中k c c c ,,21是任意常数):
)()()()(2211t x t x c t x c t x c x n n ++++= .
* (iv) 二阶非齐线性微分方程的常数变易公式 对于二阶非齐线性微分方程
)
()()
(212
2
t f x t a dt
dx t a dt
x d =++,
常数变易公式为
)
()()()()()()()()()()()()()()(2212211
1112212t x dt t x t x t x t x t f t x t x dt t x t x t x t x t f t x t ???
?
??+'-'+???? ??+'-'-=??γγ?
如果我们考虑的是满足初始条件1020()0,()0x t x t ==的初值问题，则解可表为:
)()
()()()()()()()()()()()()()(21221111221200t x ds s x s x s x s x s f s x t x ds s x s x s x s x s f s x t t t t t ???? ??'-'+???? ??'-'-=???
?
'-'-=
t t ds
s f s x s x s x s x s x t x s x t x 0
)()()()()()()()()(122
12112. (5.31)
*典型例题：求方程
t t x dt
x d 2sin 42
2
=+的通解, 已知它的对应齐方程有基本解组t t 2sin ,2cos (第
112页: 习题4.1的第5题.)
*典型例题：设a 是正常数. 证明方程
2
2
2
2(1)()d y dy a
a y f x dx
dx
+++=的任何两个解之差当x 趋向于
正无穷大时趋向于零.
二．常系数线性方程的解法
1．用特征根法求常系数线性方程的基本解组 设有（实）常系数齐线性方程
0][1
1
1
1
=++++≡
---x a dt
dx a dt
x
d
a dt
x d x L n n n n n n
(4.19)
其特征方程为
011
1=++++--n n n n
a a a λλ
λ .
(4.21)
其根为特征根. 设n λλλ,,,21 是原方程的n 个特征根，而所有的不同的特征根为,1λm λλ,,2 , 其中n m ≤, 每个i λ的重数为i k (1≥i k , m i ,2,1=), 则n k k k m =+++ 21, 方程(4.19)对应的有如下的n 个线性无关的解（基本解组）:
??
???--t
k t
t t
k t
t
t m m m
m m e
t
e
t te
e e
t
e
t te
e λλλλλλλλ1
2
1
2
,,,,,,,,
11111
(4.26)
如果特征根中有复根, 例如若βαλi +=1是1n 重根, 则βαλi -=2也是方程(4.19)的1n 重根, 因此方程(4.19)有如下12n 个线性无关的实函数解:
.sin ,,sin ,sin ,cos ,,cos ,cos 1
1
11t e
t
t te
t e
t e
t
t te
t e
t
n t
t
t
n t
t
ββββββαααααα--
其他复特征根也可类似处理. 典型例题：045)
4(=+''-x x x ；04)
5(='''-x x
；0=+'+''x x x (第145页习题: 2. 4. 6)
！注意：齐欧拉方程是一类变系数的齐线性方程：
1
1
111
0n
n n
n n n n
n d x d
x
dx t
a t
a t
a x dt
dt
dt
----++++= ，
但是可以通过自变量变换s
t e =化为常系数方程来求解(s 是新的自变量)。另一种方法是直接将解设为K
x t =，代入方程确定常数K 的取值，即可得到原方程的解。(后一种方法更为实用更为常用)
！典型例题：设a 和b 是相异的实数. 求欧拉方程0)1(2
2
2
=++++aby dx
dy x
b a dx
y d x
的一个基
本解组 (见模拟试题).
2．非齐常系数线性方程 设有非齐常系数线性方程：
)(][1
1
1
1
t f x a dt
dx a dt
x
d
a dt
x d x L n n n n n n
=++++≡
--- ,
(4.32)
其中n a a a ,,,21 为常数, )(t f 是连续函数. 对于一般的连续函数)(t f , 用常数变易法即可求出(4.32)的一个特解. 但对于比较特殊的连续函数)(t f , 可以用更简单的代数方法即比较系数法来求特解.
！类型I. 设)(t f 有形如
1
011()()m m t
m m f t b b t
b t b t e
λ--=++++
其中λ和m b b b ,,,10 是实常数, 则非齐线性方程(4.32)有特解形如下:
1011()()k m m t m m x t t B B t B t B t e λ--=++++%L .
(4.33)
如果λ不是对应齐方程的特征根, 取k=0; 如果λ是对应齐方程的某个特征根, 取k 为这个特征根的重数, m B B B ,,,10 为待定常数. 为确定这些常数, 我们可以采用待定系数法, 即将x ~代入非齐方程(4.32), 通过比较对应项的系数, 建立一个以m B B B ,,,10 为1+m 个未知元的线性方程组, 再求解方程组即可得到.
！典型例题：
3
2
3
2
4
4
88d y d y dy x dx
dx
dx
-+=- (见模拟试题).
！类型II. 设)(t f 有形如
t
e t t B t t A t
f αββ]sin )(cos )([)(+=
其中βα,是实常数, 而)(),(t B t A 是次数不超过m 次的实系数多项式, 则非齐线性方程(4.32)有特解形如下:
t k e t t Q t t P t t x αββ]sin )(cos )([)(~+=.
(4.38)
如果βαi ±不是对应齐方程的特征根, 取k=0; 如果βαi ±是对应齐方程的某个特征根, 取k 为这个特征根的重数, )(),(t Q t P 均为次数不超过m 次的待定系数多项式. 为确定这些常数, 仍可以采用待定系数法, 即将x ~代入非齐方程(4.32), 通过比较对应项的系数, 建立一个以)(),(t Q t P 的系数为未知元的2m+2元线性方程组, 再求解方程组即可得到.
典型例题：t x x x 2sin 82=-'+''；t t x x 2cos sin -=+'' (第145页: 11，16)
！典型例题：当求方程
3
3
(4)sin (4)cos d y dy x x x x dx
dx
+
=-++的一个待定系数特解时, 可将这个
特解设为什么样的形式? (见模拟试题).
三．高阶方程的降阶解法 要求掌握两种类型的方程的降阶求解方法.
第一种类型 方程中不显含未知函数)(t x 以及直到k 阶的导数)1(n k ≤≤:
0),,,,()
()
1()
(=+n k k x
x
x
t F . (4.57)
引入如下的变量代换: y x k =)
( ()(t y y =是新的未知函数), 则可将方程(4.57)降为关于)
(t y y =的k n -阶方程:
()
(,,,,)0n k F t y y y
-'= (4.58)
！典型例题：2
64564exp ln 1d y d y x dx dx ??
????-+=?? ? ?????????
(见模拟试题的单选题第七题).
！第二种类型 方程是不显含自变量t 的方程. 以二阶方程为例:
0),,(='''x x x F
(4.59)
引入如下的变量代换: y x =' ()(t y y =是新的未知函数),
dx
dy y
x dx dy dt
dx dx dy dt
dy x ='===
''.
代入方程(4.59), 则可得到
0,,=??? ?
?
dx dy y y x F .
这个方程可以视为以x 为自变量, y 是新的未知函数的方程, 而方程的阶数已降低到一阶. 典型例题：x x '
=
''21；0)
(122
='-+
''x x
x ；0]
)(1[2
/32='++''x x a (第165页: 1. 2. 3);
！典型例题：
3
2
42
(1)d y dy y dx
dx ??
=- ???
(见模拟试题).
本章重点和注意事项：
1． 对这一章的内容的要求，如果是计算性题目，基本上都是二阶方程，至多是三阶的方程(仅限于
常系数线性方程)。
2． 对于概念性的题目，例如选择题中，才有可能出现更高阶（四阶，五阶甚至n 阶）的方程。 3． 选择题中，常系数齐线性方程的如何求特征根并构造基本解组是重点；在解题的过程中要特别
注意特征方程不要写错，否则求出的特征根出错将导致后面的过程都不能得分。 4． ！计算类型的题目中，非齐常系数线性方程的求解是重点（特别是比较系数法）。 5． ！选择题中，第一种类型的降阶法是重点。 6． ！计算类型的题目中，第二种类型的降阶法是重点。
第五章 线性微分方程组
*一. 存在唯一性定理 第五章研究如下的线性常微分方程组的初值问题：
?????=+=η
x f x A x )()
()(0t t t dt
d
， (5.4)
其中)(t A 是n ?n 的函数方阵，x 是n 维列向量(即n 个未知函数组成的列向量), )(t f 和η分别是已知的n 维函数列向量和n 维常数列向量:
n
n nn n n n n t a t a t a t a t a t a t a t a t a t ????
?
???
??=)()
()()()()
()()()
()(11
2222111211
A
1
2112112
1
)()()()(???????
??? ??=??????? ??=???????
??=n n n n n n
t f t f t f t x x x ηηη ηf x .
方程组(5.4)的解称为解向量, 方程组(5.4)的n 个解向量所组成n ?n 的函数方阵称为解矩阵. 这一章的主要理论性结果是如下的存在唯一性定理: (参见教材179页)
二. 线性微分方程组的一般理论
线性方程组的叠加原理: (i)
如果)(),(t t v u 是齐线性方程组
x A x )(t dt
d =的两个解向量, 则对于任意的常数βα,,
)()(t t v u βα+也是这个方程组的解向量.
(ii) 如果)(),(t t v u 是非齐线性方程组)()(t t dt
d f x A x +=的两个解向量, 则)()(t t v u -是对应
齐方程组
x A x )(t dt
d =的解向量.
(iii) 如果)(),(t t v u 分别是齐线性方程组
x A x )(t dt
d =和非齐线性方程组
)()(t t dt
d f x A x +=的
两个解向量, 则)()(t t v u +是非齐线性方程组)()(t t dt
d f x A x +=的解向量.
向量组的伏朗斯基行列式: n 个n 维函数向量组)(,),(),(21t t t n x x x 的伏朗斯基行列式定义为
)
()
()
()()()()()()
()()](,,,[)](,),(),([21212121112112121t x t x t x t x t x t x t x t x t x t W t W t t t W nn n n n n n
=
==x x x x x x .
三 常系数线性微分方程组
设A 是一个n n ?的常数矩阵：
n
n nn n n n n a a a a a a a a a ????????
??= 112222111211A 考虑初值问题
?????=+=η
x f Ax x )()
(0t t dt
d (*)
的求解. 这个问题中的方程组的对应齐线性方程组为
Ax x =dt
d .
矩阵指数的概念：设A 是一个n n ?的常数矩阵, A 的矩阵指数定义为:
∑
∞
=++
++
+==
2
!
!
2!
exp k k
k
k k A
A
A E A
A . (5.34)
其中E A =0
是n n ?的单位矩阵, k
k
=A A A A 644474448
L 是A 的k 次幂.
(0t
φ)()(t t dt
d f x A x +=(t
φ(t
φ()()()(02211t
t c t c t c n n φx x x ++++ t c
Φ)((0t
φ,,,(21n
c c c =c
矩阵指数的计算： (i) 简单的矩阵直接用定义; (例如对角矩阵) (ii)
矩阵指数实际上是标准基解矩阵(即满足E Φ=)0(的基解矩阵). 因此无论用什么方法求得了基解矩阵)(t Φ, 则矩阵指数可求出为)0()()exp(1-=ΦΦA t t ;
(iii) ！用特征向量法求基解矩阵. (见下面的定理10);
(iv) *用根子空间分解法求基解矩阵. (见教材上213-220页的内容, 此法超出大纲, 不作要求).
典型例题：求方程组Ax x ='的基解矩阵，并计算exp t A , 其中A 为 ???
?
??--21
12
(第236页 4.a)). ！典型例题：求方程组
x dt dx
A =的一个基解矩阵, 其中6
223-??
= ?-??
A (见模拟试题).
*常系数线性微分方程组(*)的常数变易公式(教材上224页)
?
-+
-=t t ds s s t t t t 0
)())exp(())exp(()(0f A ηA φ.
*典型例题：如下的常数变易公式所表示的是哪一个初值问题的解？(A 是n 阶实数方阵)
?
-+
-=t t ds s s t t t t 0
)())exp(())exp(()(0f A A η?
A. Ax x =dt d ，η=)(0t x
B. )(t dt d
f Ax x +=，0x =)(0t C ．)(t dt
d f Ax x +=，η=)(0t x
D.
η+=Ax x dt
d ，)()(0t t f x = .
本章重点和注意事项：
1. 掌握线性微分方程组的基本概念.
2. 掌握线性微分方程组解的基本性质.
3. 掌握齐线性微分方程组解的结构定理.
4. 掌握非齐线性微分方程组解的结构定理.
！5. 会熟练利用定理10求常系数矩阵A 具有n 个线性无关的特征向量时的基解矩阵. *6. 初步掌握两个基解矩阵之间的关系. *7. 初步掌握常数变易公式.
注意 求基解矩阵是计算型的题目，因为求3阶常数方阵的所对应的方程组的基解矩阵的计算量过
大，典型的题目是2阶的常数方阵. (见模拟试题)
*典型例题：设)(t Φ和)(t ψ是方程组
x t dt
dx )(A =的两个基解矩阵, 则( )
A. ()()t t Φ=ψ
B. 存在非奇异常数矩阵C 使得)()(t C t ψ=Φ
C. 存在非奇异常数矩阵C 使得C t t )()(ψ=Φ
D. 存在非奇异常数矩阵C 使得1
)()(-ψ=ΦC
t C t .
*典型例题：设)(t Φ为方程Ax x =
'（A 为n n ?常数矩阵）的标准基解矩阵（即E Φ(0)=），证
明
)()()(001
t t t t -=-ΦΦ
Φ.
(第201页: 4).
请注意：
“！”表示是常微分方程课程所考察的重点内容或必考内容，须引起特别注意！
（例如“！典型例题：
求方程组
x dt dx
A =的一个基解矩阵, 其中6
223-??
= ?-??
A ”，表示这类题目是必考的内容） “*”表示不是常微分方程课程的重点内容或必考内容
（例如“*6. 掌握两个基解矩阵之间的关系.”表示这样的内容通常不会出现在考试题目中）。
总复习完毕！
祝同学们考试顺利！！
哈尔滨学院本科毕业论文(设计) 题目：高阶微分方程的解法及应用 院（系）理学院 专业数学与应用数学 年级2009级 姓名刘晓辉学号09031212 指导教师徐亚兰职称副教授 2013年6月1日
哈尔滨学院本科毕业论文（设计） 目 录 摘 要 ............................................................................................................................................. 1 Abstract ......................................................................................................................................... 2 前 言 ............................................................................................................................................. 3 第一章 高阶微分方程的理论与结构 ........................................................................................... 4 第二章 高阶常系数线性微分方程 ............................................................................................. 6 2.1 高阶常系数线性齐次微分方程 ........................................................................................ 6 2.1.1 特征根是单根的情况 ................................................................................................. 6 2.1.2 特征根是重根的情况 ................................................................................................. 7 2.2 高阶常系数线性非齐次方程 ............................................................................................ 8 2.2.1 常数变易法 ................................................................................................................. 8 2.2.2 比较系数法 ............................................................................................................... 10 2.2.3 拉普拉斯变换法 ....................................................................................................... 11 2.3 Euler 方程 ........................................................................................................................ 13 第三章 可降阶的高阶微分方程的解法 .. (15) 3.1 形如()n n d y f x dx =的高阶方程 (15) 3.2 形如()(1)()(,,,,)0k k n F x y y y += 的高阶方程 ................................................................. 16 3.3 形如()(,,,)0n F y y y '= 的高阶方程 ............................................................................. 17 3.4 恰当导数方程 .................................................................................................................. 19 第四章 高阶微分方程的应用 ................................................................................................... 21 参考文献 ....................................................................................................................................... 25 致 谢 . (26)
毕业论文文献综述 数学与应用数学 概周期函数的定义及其性质 一、前言部分 函数在日常生活中扮演越来越重要的角色,而概周期函数正成为函数的一个重要组成部分. 概周期函数是在20世纪20年代由丹麦著名数学家H.Bohr首先提出的,它为了解决周期函数对加法运算不封闭而创造的一类新函数.在二、三十年代有了进一步发展，包括概周期函数的调和分析理论以及1933年由S.Bochner所建立的Bannch空间向量值概周期函数的理论.往后的发展更密切的联系着常微分方程、稳定性理论和动力系统，其应用范围不仅限于常微分方程和古典动力系统，也涉及泛函数微分方程、Banach空间微分方程以及一类广泛的偏微分方程. 经过几代数学家的努力,概周期函数理论有了巨大的发展,但是还有许多有待解决的问题. 首先,抽象空间中的概周期函数理论已经被广泛研究,伪概周期函数作为概周期函数的一种推广,在微分方程理论中有重要的应用,但是距离空间中的伪概周期函数理论尚未建立.随着科学技术的发展，学者们首次在距离空间中定义了向量值伪概周期函数,考察了该函数的性质,给出了距离空间中的函数是伪概周期函数的充要条件,即唯一分解定理:距离空间中的伪概周期函数和概周期函数之间的距离是一个唯一的遍历扰动. 其次,求微分方程的概周期函数型解和概周期微分方程的求解在数学理论方面也有了很大的进步,在常微分,偏微分方程及抽象微分方程,光滑动力系统都有应用.学者们研究了非线性抛物方程有界解的存在唯一问题.主要通过先验证非齐次Cauchy问题有界解是存在唯一的,并得出解的表达式,应用这个表达式及压缩映像不动点定理证明非线性Cauchy问题的有界解是存在的,并给出了解存在的条件. 最后,学者们也看到了Fréchet空间中的渐近概周期函数和算子半群的性质,并将得到的结果应用到抽象Cauchy问题中,得出Fréchet空间中抽象Cauchy问题的渐近概周期解是存在且唯一的. 而本文介绍的概周期函数又称殆周期函数,周期函数的一种推广,具有某种近似周期性的有界连续函数.概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的.三角多项式以及三角多项式序列的极限都是周期函数.而三角和序列的极限却未必是周期函数.但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画.关于概周期函数,我们可以从两个不同
高阶线性微分方程常用解法简介 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3,,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++=其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++=的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ（5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ=均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值 解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.设1i λαβ=+是一特征根，则2i λαβ=-也是特征根，因而于这对共轭复根
南阳理工学院 本科生毕业设计（论文） 学院：数理学院 专业：数学与应用数学 学生：王灿灿 指导教师：童姗姗 完成日期: 2014 年 05 月
南阳理工学院本科生毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 总计：毕业设计（论文）20页 表格： 0个 插图： 0幅
南阳理工学院本科毕业设计（论文） 常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation 学院：数理学院 专业：数学与应用数学 学生姓名：王灿灿 学号： 105100140078 指导教师（职称）：童姗姗(讲师) 评阅教师： 南阳理工学院 Nanyang Institute of Technology
常系数高阶线性非齐次微分方程 的若干类型研究 数学与应用数学专业王灿灿 [摘要]本文研究了常系数高阶线性非齐次微分方程的求解问题，其关键是先求出相应的齐次微分方程的通解，再求非齐次微分方程的特解。而求特解的常用的待定系数法和常数变易法准备知识过多、演算过繁，给学习使用带来不便。因此，本文对此类微分方程的若干类型采用了新方法：升阶法和微分算子法。这两种方法克服了传统解法的缺点，且适用范围广、运算量小、简单易行，提高了常系数高阶线性非齐次微分方程的解题速度和准确度。 [关键词]常系数高阶线性非齐次微分方程；升阶法；微分算子法 Certain Types of higher order linear constant coefficient non-homogeneous differential equation Mathematic and Applied Mathematics WANG Can-can Abstract:This paper studies the problem of solving the non-constant coefficients higher order linear homogeneous differential equation, the key is to find the general solution of the corresponding homogeneous differential equation, and then seek special solution of non-homogeneous differential equation. The Special Solution commonly used method of undetermined coefficients and constants Variation prepare too much knowledge of calculus is too complex, to learn how to use the
高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.
概周期函数 又称殆周期函数,周期函数的一种推广,具有某种近似周期性的有界连续函数。概周期函数是在研究周期函数某种性质的基础上进一步提出来的。三角多项式以及 三角多项式序列的极限都是周期函数。而三角和(сj为复数,λj为实数)序列的极限却未必是周期函数。但这类极限函数的特征可以用某种近似周期性来刻画。考虑最简单的情形，两个连续周期函数?(x)及g（x）的和函数S(x)=?(x)+g(x)，设F为?(x)的周期，G为g(x)的周期。如果F 和G是可公度的,即存在正整数n1和n2，使得n1F=n2G,那么S(x)也为一周期函数，而且以n1F=n2G为周期。但当F和G是不可公度时,虽然不存在整数n1和n2，满足 , 但由有理数集的稠密性原理可知:存在正整数n1和n2，使得 |n1F－n2G|<δ,这里，δ是事先任给的正数。从而，存在数τ满足 |n1F－τ|<δ及|n2G－τ|<δ。还可以进一步证明更强的结论：对任给的δ>0,存在着正数l(δ)，使得在每一个长为l(δ)的区间内至少有一数τ满足上式。这样，由?(x)和g(x)的连续性、周期性以及上述事实便得到：对任给的ε>0,存在着正数l(ε)，使得在每一个长为l(ε)的区间内至少有一数τ，满足│S(x+τ)-S(x)│<ε。上式虽然并不说明S(x)为周期函数，但它具有近似的周期性。一般来说，可以给出如下的精确描述：设?(x)为定义于实轴上的复值连续函数，如果τ满足 ， 就称τ为?（x）的属于ε的平移数。若对任一ε>0，存在l(ε)>0,使得长度为l(ε)的区间内至少包含一个?(x)的属于ε的平移数,则称?(x)为概周期函数。任一周期函数必为概周期函数；由上可知，任意有限个周期函数的和函数也必为概周期函数。因而，复值三角和 必为概周期函数。概周期函数理论中的一个重要结果是：?(x)为概周期函数当且仅当?(x)可以用上述的三角和序列来一致逼近。 概周期微分方程 其右端函数对自变量是概周期函数的微分方程；即在方程 (1) 中,?(x,t)是t的概周期函数。这里x是n维向量,?(x,t)是n维向量函数。概周期微分方程的发展历史不长,但由于它具有实际背景(如天体力学和非线性振动的问题)而显示出生命力。特别是，1945年，A.H.柯尔莫哥洛夫利用无理性条件，指出哈密顿系统具有拟周期解。1963年，Β.И.阿诺尔德又给出严格证明，由此证明了太阳系不稳定的概率为零，解决了平面限制性三体问题的稳定性问题，从而使P.-S.拉普拉斯提出的已历时二百年的太阳系稳定性问题有了重大的突破。这样，概周期微分方程就更显出它的重要性。 对概周期方程（也称概周期系统）(1),主要是讨论其概周期解的存在性和稳定性。线性微分方程是微分方程论的基础，因此概周期线性微分方程的结构以及概周期解的摄动理论也是概周期系统的重要课题。 线性系统法瓦尔性质对概周期线性系统 ， (2) 式中A(t)是n×n概周期方阵；?(t)是n维概周期向量函数，定义A(t)的外壳为 。 法瓦尔提出这样的条件：对于(2)的齐次外壳方程系 (3) 的任一非显易的有界解x B(t)，总满足关系式 ，
第七章常微分方程7.8 高阶齐次线性微分方程 数学与统计学院 赵小艳
1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构
1 2 高阶线性微分方程的概念 1 主要内容 3 4 高阶齐次线性微分方程解的性质函数的线性相关与线性无关 高阶齐次线性微分方程通解的结构
解 受力分析 1 高阶线性微分方程的概念 例1 （弹簧的机械振动） 如图，弹簧下挂一物体.设在垂直方向有一随时间变化的外力 作用在物体上，物体将受外力驱使而上下振动，求物体的振动规律. pt H t f sin )(1= 以物体的平衡位置为坐标原点，x 轴的方向垂直 向下. x x o )(1t f ;sin )()1(1pt H t f =外力;)2(kx f -=弹性力v f μ-=0)3(介质阻力,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2可得.t x d d μ-= 设振动开始时刻为0，t 时刻物体离开平衡位 置的位移为x (t ).
,ma F =由x kx t f x m d d μ--=)(2 可得t t 2d d 物体自由振动的微分方程 .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：
一般地，称 )()()(2122t F x t P t x t P t x =++d d d d 为二阶线性微分方程， ,0)(时当≡t F 称为二阶齐次线性微分方程, ,0)(时当≠t F 称为二阶非齐次线性微分方程. )()()()()()()()(1)1(1)(t F t x t P t x t P t x t P t x n n n n =++++-- n 阶线性(微分)方程 ,0)(时当≡t F n 阶齐次线性微分方程, t t 2d d .0,000====t t t x x d d 还应满足初始条件：物体自由振动的微分方程
开题报告 数学与应用数学 高阶线性常微分方程的解法和应用 一、综述本课题国内外研究动态, 说明选题的依据和意义 常微分方程是微分方程中的其中一种, 它是在17世纪伴随着微积分而发展起来的一门具有重要应用价值的学科, 是研究连续量变化规律的重要工具, 也是众多实际问题与数学之间联系的重要桥梁. 17世纪就有人提出了弹性问题, 这类问题导致悬链线方程、振动弦的方程等等. 从19世纪下半叶开始, 随着微积分学的公理化与严密化, 微分方程逐渐从微积分中独立并分离开来, 形成了逐渐自己系统而严密的理论体系, 发展成为常微分和偏微分方程两大现代数学分支. 事实上, 求()y f x '=的原函数问题便是一个最简单的常微分方程. 提及常微分方程, 常常会让人不由得想起牛顿. 在历史上, 牛顿正是通过求解常微分方程证实了地球绕太阳运动的轨道是椭圆, 他还解决了二体问题: 在太阳引力作用下, 一个单一的行星的运动. 他把两个物体都理想化质点, 得到3个未知函数的3个二阶方程组, 经简单计算证明, 可化为平面问题, 即两个未知函数的两个二阶微分方程组. 用现在叫做 “首次积分” 的办法, 完全解决了它的求解问题. 天文学家通过常微分方程的计算, 预见了海王星的存在. 随着工业化的进展, 常微分方程在航海、航空工业生产以及自然科学的研究中发挥了重要的作用. 在当今高新技术迅猛发展的时代, 常微分方程更加广泛地渗透到了诸如电信、化工、航天、生物、医药、经济、信息、军事、控制、管理乃至社会科学等各个领域, 显示着它的蓬勃生机和活力. 计算机和计算技术的发展, 使微分方程的求解冲破了经典方法的局限, 迈向数值计算和图像模拟, 这为微分方程的应用提供了更为广阔的天地和有效的手段, 也使得建立数学模型显得格外重要. 在当代, 甚至许多社会科学的问题亦导致微分方程, 如人口发展模型、交通流模型……因而微分方程的研究是与人类社会密切相关的. 我这次的论文方向主要涉及的是微分方程中的高阶线性常微分方程的求解方法和它在实际中的应用问题. 因为常微分与经典的动力学是孪生兄弟, 一直是物理学家赖以对动态世界进行定量描述, 破解造物主在宇宙万物中设置的密码的一种主要手段, 它同时也是应用科
关于高阶线性微分方程的一般解法 林文业 湛江公路工程大队 邮编:52400 电话0668-8322239 (本文曾于2000年在《湛江师范学报.增刊》发表) 摘要: 对于一般的高阶线性微分方程,本文建立起其解法基本理论,并在此基础上求出了它的通解,从而肯定了一般高阶线性微分方程在它的定义域上可解,并具有解的一般形式. 关键词: 高阶线性微分方程; 解法定理; 一般解法 一. 简单规定 本文所考虑的数都是实数, 所考虑的函数都是实函数,m 、n 、k 为自然数.在不改变多重积分函数性质的情况下,作出如下简记: n n dx x f dx dx dx x f ))(())))((((?=????? n 重 n 重 以下“…”号均表示n 重 2 ) ())(( ) )()))()()((()(()(n n n n n n n n n dx x p dx dx dx x p x p x p ????=?? n x x n n t x t x x x dx x f dt dt dt t f n ))()(())))((((01 1 1100??? ?=??-- 2 )())(( ))()))()()(( ()(( )(n n x x n n n n x x n x x n x x n dx x f dx dx dx x f x f x f ? ? ? ? =?? 二.预备定理及推论 预备定理1: 若函数)(x f 与)(x g 在区间[]b a ,上连续,且对任意[]b a x ,∈,都有 )()(x g x f ≤,则 11001100))))(((())))((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ? --n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t g dt dt dt t f n n b x x a ≤≤≤0 预备定理2: 若函数)(x f 在区间[]b a ,上可积,则函数)(x f 在[]b a ,上也可积,且 11001100))))(((())))((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ? --n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t f dt dt dt t f n n b x x a ≤≤≤0 预备定理3: 若函数)(x f 与)(x g 在区间[]b a ,上连续,且m x f ≤)(,0>m ,则 1 10011000))))(((())))()((((1 1 1 1 --??≤???? ??? ?--n t x t x x x n t x t x x x dt dt dt t g m dt dt dt t g t f n n b x x a ≤≤≤0
常系数线性微分方程的解法 摘要：本文对常系数线性方程的各种解法进行分析和综合，举出了每个方法的例题，以便更好的掌握对常系数线性微分方程的求解. 关键词：特征根法；常数变易法；待定系数法 Method for solving the system of differential equation with Constant Coefficients Linear Abstract: Based on the linear equations with constant coefficients of analysis and synthesis method, the method of each sample name, in order to better grasp of the linear differential equation with constant coefficients of the solution. Key Words: Characteristic root ；Variation law ；The undetermined coefficient method 前言：常系数性微分方程因形式简单，应用广泛，解的性质及结构已研究的十分清楚，在常微分方程中占有十分突出的地位。它的求解是我们必须掌握的重要内容之一，只是由于各种教材涉及的解法较多，较杂，我们一般不易掌握，即使掌握了各种解法，在具体应用时应采用哪种方法比较适宜，我们往往感到困难。本文通过对一般教材中涉及的常系数线性微分方程的主要解法进行分析和比较，让我们能更好的解常系数线性微分方程。 1．预备知识 复值函数与复值解 如果对于区间a t b ≤≤中的每一实数t ，有复值()()()z t t i t ?ψ=+与它对应，其中()t ?和()t ψ是在区间a t b ≤≤上定义的实函数，1i =-是虚数单位，我们就说在区间a t b ≤≤上给定了一个复值函数()z t .如果实函数()t ?，()t ψ当t 趋于 0t 时有极限，我们就称复值函数()z t 当t 趋于0t 时有极限，并且定义