Article Submitted to European Journal of Combinatorics
Neighbourhood Graphs of Cayley Graphs for Finitely-Generated Groups
Markus Neuhauser?1
1Institut de Math′e matiques,Universit′e de Neuch?a tel,Rue Emile Argand11,
2007Neuch?a tel,Switzerland
Abstract
In this short note the neighbourhood graph of a Cayley graph is consid-
ered.It has as nodes a symmetric generating set of a?nitely-generated
groupΓ.Two nodes are connected by an edge if one is obtained from
the other by multiplication on the right by one of the generators.Two
necessary conditions on the graphs are shown.One is a condition on the
degrees of the graph,the other concerns complete subgraphs.
1.Introduction
LetΓbe a?nitely-generated group.A symmetric generating set ofΓis a subset S ofΓwith1/∈S and s?1∈S for all s∈S such that S generates the groupΓ. The Cayley graph ofΓwith respect to S is the graph which has as vertices the elements ofΓand as edges(γ,γs)whereγ∈Γand s∈S,see for example [1]or[3].
The induced subgraph of a graph on a subset of the vertices is the subgraph with all edges of the graph with both endpoints in the subset.
The neighbourhood graph of a vertex is the induced subgraph on the neighbours of this vertex.For graphs with given neighbourhoods see[4].
Let now S be a?nite symmetric generating set of a?nitely-generated groupΓ. The neighbourhood graph(S,K)of1∈Γof the Cayley graph ofΓwith respect to S with edges K will be investigated.One motivation for considering these graphs is provided by a theorem of˙Zuk stating that the groupΓhas Kazhdan’s property T if the graph is connected and the smallest positive eigenvalueλof a certain Laplacian on the graph(S,K)is strictly greater than1/2,see[6]. Here the problem is considered of which?nite connected graphs can occur in this way as the neighbourhood graph of a Cayley graph for some?nitely-generated group.Two necessary conditions are given.The?rst is a condition on ?Supported by grant20-65060.01of the Swiss National Fund for Scienti?c Research
1
M.Neuhauser:Neighbourhood graphs of Cayley graphs 2
the degrees N (s )=|{t ∈S :(s,t )∈K }|of the graph.It says that the number of nodes with a given odd number of neighbours is always even.Theorem 1.1:If n ≡1mod 2then |N ?1({n })|≡0mod 2.
Note that this is certainly stronger than the general fact that
s ∈S N (s )=|K |≡0mod 2.
The theorem excludes for example all of the following graphs from considera-tion.
r
r r
r
r r r
r r
r r r
r r r
r r
r r r r r
r
d
d d d r r r
r
r r r
r r
r r
r r r r
d d d d Graphs not ful?lling th
e degree condition for n =1
The second condition sets up a correspondence between complete subgraphs and ?nite subgroups of Γcontained in S ∪{1}.Clearly a subgroup contained in S ∪{1}induces a complete subgraph of (S,K ).But also the following holds.Theorem 1.2:Let S be a ?nite symmetric generating set of Γ,c r the number of complete subgraphs with r nodes,and u r the number of subgroups of order r +1of Γcontained in S ∪{1}.Then c r =u r + m
j =1p j k j for some k j ≥0where p 1,...,p m are the distinct primes dividing r +1.
The cases r =1or 2yield the following observations:For r =1the theorem implies the obvious fact that the number u 1of elements of order 2is ≡c 1mod 2,where c 1=|S |.When r =2the number of elements of order 3is equal to 2u 2,and c 2=|K |/2,and the theorem implies c 2=u 2+3k 1,hence we obtain the following.
Corollary 1.3:If n is the number of elements of order 3in S ,then |K |≡n mod 6.
This excludes for example the graph with 3nodes and 2edges because in that case |K |=4while n ≤|S |=3.More examples like this are provided in Section 2.
The appendix contains a list of all graphs with ≤5nodes and the associated
M.Neuhauser:Neighbourhood graphs of Cayley graphs3 groups and generating sets.Theorems1.1and1.2were used to exclude certain
graphs which have no such description.
None of the in?nite groups which appear in our list has Kazhdan’s property T.
So if there exists a generating set of an in?nite?nitely-generated group with
Kazhdan’s property T such that the theorem of˙Zuk can be applied it must have
a set with≥6generators forming a connected graph.
The smallest known graph of a generating set of an in?nite?nitely-generated
group for which the theorem of˙Zuk establishes property T has14nodes.It is
associated with a so-called A2-group,see[2]and[6].The graph of generators is the incidence graph of points and lines of a projective plane over a?nite?eld
with two elements.
It is a pleasure to thank M.B.Bekka,P.de la Harpe,H.F¨u hr,and G.Schlicht-
ing for their comments and suggestions,and the referee for suggestions,remarks,
and the reference[4].Partial?nancial support from the Centre de Coop′e ration
Universitaire Franco-Bavarois is acknowledged.
2.Consequences of Theorem1.2
Starting with a given graph,the subgroups contained in S∪{1}are not known
if the graph is presumed to be associated with a group with a generating set
S,however the last theorem gives lower bounds for the number of subgroups of
order r+1contained in S∪{1}.
Corollary2.1:Let S be a generating set of a groupΓ,c r the number of
complete subgraphs of(S,K)with r nodes,and let v r be the smallest non-negative
integer expressible in the form c r? m j=1p j k j where p1,...,p m are the distinct primes dividing r+1,and k1,...,k m are non-negative integers.Then there are at least v r subgroups of order r+1ofΓcontained in S∪{1}.
In this way the minimum possible number of subgroups is determined from
the complete subgraphs which must be contained in S∪{1}.If U1=U2are two subgroups contained in S∪{1}then|U1∩U2|is a proper divisor of at least one of|U1|and|U2|.Let d(u,v)=gcd(u,v)if u=v and d(u,v)=u/p where p is the smallest prime dividing u if u=v.Then|U1∩U2|≤d(|U1|,|U2|). Proposition2.2:Let S be a symmetric generating set of a groupΓsuch that S∪{1}contains pairwise distinct?nite subgroups U1,...,U n ofΓof order|U k|≥2for all1≤k≤n,then
|S|≥
n
k=1
|U k|+
n(n?3)
2
?
n
j=2
j?1
k=1
d(|U j|,|U k|).
This is easy to prove by induction using the fact|S|≥| n k=1U k|?1.
M.Neuhauser:Neighbourhood graphs of Cayley graphs 4
The proposition is also true with d (|U j |,|U k |)replaced by |U j ∩U k |.This quantity,however,is usually not known for a given graph.The corollary gives only the orders of U k for k =1,...,n ,where n = m
r =1v r .
Also note that the proposition is already true for n =1interpreting the second sum as 0.
Together with the last corollary the proposition helps to exclude certain graphs which cannot be associated with generating sets of groups,such as the following.
r
r r
r r
r
r r r r r r
r r r r
r
r
r r
r
r
r r r r r d d d d r r r r r d d d d
d d r r r r r d d d d
d d Graphs not ful?lling th
e subgroup condition
Take for example the ?rst graph in the second column.In this case c 1=4,
c 2=4,c 3=1,an
d c 4=0.This yields v 1=0,v 2=1,v 3=1,v 4=0,and n =2but |S |=4<5=(3+4)?1?d (3,4)which contradicts th
e proposition.The other examples were obtained by similar reasoning.
3.Proof of Theorems 1.1and 1.2
Let S be a symmetric generating set of a ?nitely-generated group Γ.To prove Theorem 1.1the mapping Φ:s →s ?1of S to itself is employed.Note that N (s ?1)=N (s )because (s,t )∈K if and only if (s ?1,s ?1t )∈K .So the mapping t →s ?1t from the neighbours of s to the neighbours of s ?1is one-to-one.For elements of order 2even the following holds.
Lemma 3.1:If s ∈S has order 2,then the number of neighbours of s is even.Proof:As s has order 2,for the edges (s,t )∈K if and only if (s,st )∈K .So the mapping t →st maps neighbours of s to themselves.Also st =t for every neighbour t ;otherwise s =1/∈S .So the neighbours of s come in disjoint pairs {t,st },and this shows that N (s )≡0mod 2.2Now Theorem 1.1can be proven.
Proof:Let n ≡1mod 2,then the mapping Φmaps N ?1({n })to itself.By the last lemma N ?1({n })contains no element of order 2.So there is a disjoint par-tition of N ?1({n })into pairs {s,s ?1}and again this shows that |N ?1({n })|≡0mod 2.2
M.Neuhauser:Neighbourhood graphs of Cayley graphs5 Now Theorem1.2will be proven.
Proof:Let M be the set of all sets of r nodes which form complete subgraphs and M1={C∪{1}:C∈M},
A={(s1,...,s r):{s1,...,s r}∈M},
A1={(s1,...,s r+1):{s1,...,s r+1}∈M1}.
Then the symmetric group S r+1acts on A1by
σ(s1,...,s r+1)= sσ(1),...,sσ(r+1) .
Let the mapping P:A1→A be de?ned by
P(s1,...,s r+1)= s?1r+1s1,...,s?1r+1s r .
Note that P is surjective.Also via the mapping P,the symmetric group S r+1 acts on A by
σ(P(s1,...,s r+1))=P(σ(s1,...,s r+1))
forσ∈S r+1.This is well-de?ned.Indeed,if P(s1,...,s r+1)=P(t1,...,t r+1), then
P(σ(s1,...,s r,s r+1))
= s?1σ(r+1)sσ(1),...,s?1σ(r+1)sσ(r)
= s?1r+1sσ(r+1) ?1s?1r+1sσ(1),..., s?1r+1sσ(r+1) ?1s?1r+1sσ(r)
= t?1r+1tσ(r+1) ?1t?1r+1tσ(1),..., t?1r+1tσ(r+1) ?1t?1r+1tσ(r)
=P(σ(t1,...,t r,t r+1)).
Considering S r as a subgroup of S r+1?xing the point r+1,we see
P(σ(s1,...,s r+1))= s?1r+1sσ(1),...,s?1r+1sσ(r) =P(s1,...,s r+1)
forσ∈S r\{1}.Let S r act on the orbit S r+1V for V∈A.The above shows that every orbit of the S r-action has length r!and hence r!is a divisor of|S r+1V|. Let B?A be a set of representatives such that A= V∈B S r+1V is a disjoint decomposition into orbits.Then r!c r=|A|= V∈B|S r+1V|.If|S r+1V|=r! then since|S r+1V|divides(r+1)!,there exists a prime p j dividing r+1such that r!p j divides|S r+1V|.If V=(s1,...,s r)and|S r+1V|=r!,then the set U={1,s1,...,s r}is a subgroup of order r+1as s?1t∈U for all s,t∈U. Hence c r=u r+ m j=1p j k j for some k j≥0.2
M.Neuhauser:Neighbourhood graphs of Cayley graphs 6
A.Appendix
With the help of the two conditions given by Theorems 1.1and 1.2the following complete list of graphs with ≤5nodes together with the associated groups and generating sets was determined.For the graphs not excluded by the preceding theorems a combinatorial case-by-case analysis as below for the remaining graphs excluded some of the rest of the graphs with ≤5nodes.For the others this yielded groups whose generating set is associated with the given graph.
The groups are given in terms of generators and relations.The group Γ= s 1,...,s n :r 1,...,r m is the factor group of the free group with generators s 1,...,s n by the normal subgroup generated by the elements r 1,...,r m of the free group.Note that each given group Γis universal in the sense that it is the largest possible group of its type associated with the given graph,and every other group of the same type corresponding to the given graph is a factor group of Γ.
Obviously every complete graph is contained in the list;indeed,for any ?nite group Γwe may take S =Γ\{1}.On 4nodes,the graphs not excluded by the conditions above are the following:
r
r
r r d d
d d s 1s 2
s 3s 4r
r
r r s 1s 2
s 3
s 4
r
r
r
r
s 1
s 2
s 3
s 4
In the ?rst case s 3=s ?1
2
by Lemma 3.1.As |K |=10there are n =4elements of order 3by Corollary 1.3and so s 4=s ?1
1.But then (s 1,s 4)∈K since s ?11s 4=s 24=s 1∈S ,a contradiction.
In the second case |K |=8so by Corollary 1.3there are two elements of order 3,say s and s ?1,and these must be adjacent as s ?1s ?1=s ∈S .Without loss of
generality s 2=s and s 4=s ?1,and as (s 4,s 3)∈K ,we have ss 3=s ?1
4s 3∈S .The only possibility is ss 3=s 1.If s 1has order 2then so does s 3and we have the
dihedral group D 3of order 6,and otherwise s 3=s ?11and then s =s 1s ?13=s 2
1so Γ= S = s 1 must be cyclic of order 6.
In the third case s 4=s ?1
1.Since |K |=6there are no elements of order 3.
Also either s ?13=s 2and s ?1
3s 2=s 1,or s ?13
=s 3and s ?13s 2=s 4.The other possibilities lead to contradictions.The ?rst possibility yields s 1=s 22and so Γ= S = s 2 ～=Z .The second possibility yields Γ= S = s 2,s 3 ～=D ∞.Proofs of this classi?cation for the remaining graphs with 5nodes and less than 6edges by similar (but more involved)reasoning can be found in [5].
M.Neuhauser:Neighbourhood graphs of Cayley graphs 7
Group
Graph
Γ= x :x 3 ～=Z /3Z S ={x ±1}
r r
x x ?1
Γ= x :x 4 ～=Z /4Z S ={x ±1,x 2}
r r
r x
x ?1x 2
Γ=
x,y :x 2
,y 2
,(xy )2
～=D 2
～= x :x 2 × y :y 2 ～=(Z /2Z )×(Z /2Z )S ={x,y,xy }
r r
r x y
xy
Γ= x :x 5 ～=Z /5Z
S ={x ±1,x ±2}
r r
r
r
d d d d x 2x x ?2x ?1
Γ= x :x 6 ～=Z /6Z
S ={x ±1,x ±2}
r
r
r
r x 2
x x ?2x ?1
Γ= x,y :x 2,y 2,(xy )3 ～=D 3S ={x,y,xy,yx }
r
r
r r x xy
y
yx
M.Neuhauser:Neighbourhood graphs of Cayley graphs 8
Group
Graph
Γ= x ～=Z S ={x ±1,x ±2}r r r r
x 2x x ?1
x ?2Γ= x,y :x 2,y 2 ～=D ∞,S ={x,y,xy,yx }r
r r
r
xy
x y
yx
Γ= x :x 6 ～=Z /6Z S ={x ±1,x ±2,x 3}
r r r r r d d d d
d d x ?1
x x ?2
x 2
x 3Γ= x,y :x 2,y 2,(xy )3
～=D 3S ={x,y,xy,yx,xyx }
r r r r
r d d d d
d d x xy
y
yx
xyx Γ= x,y :x 2,y 2 ～=D ∞
S ={x,y,xy,yx,xyx }
r r r r r
4
4444
4
x yx
y
xyx xy
Γ=
x,y,z :x 2
,y 2
,z 2
,(zx )2
,(zy )2
～= x,y :x 2,y 2 × z :z 2 ～=D ∞×(Z /2Z )S ={x,y,z,zx,zy }
r r
r r r
4
4444
4
z zx
x zy y
Γ=
x,y :x 4,y 2,(yx 2)
2
S ={x ±1,x 2,y,yx 2}
r r
r r
r
44444
4
x 2x ?1
x yx 2
y
M.Neuhauser:Neighbourhood graphs of Cayley graphs 9
Group
Graph Γ= x,y :x 4,y 4,x 2y 2 S ={x ±1,y ±1,x 2}
r r r r
r
44444
4
x 2x ?1
x y ?1
y
Γ= x,z :z 2,zxzx ?1
～= x × z :z 2 ～=Z ×(Z /2Z )
S ={x ±1,z,zx,zx ?1}r r
r r r
4
4444
4
z zx
x zx ?1
x ?1
Γ= x,z :x 3,z 2 ～=PSL (2,Z )S ={x ±1,z,xz,zx ?1}r r r
r r xz x x ?1z zx ?1
Γ=
x,z :x 3,z 2,(xz )3
～=PSL (2,Z /3Z )S ={x ±1,z,xz,zx ?1}
r
r r
r
r
d
d xz zx ?1x
z x ?1Γ= x :x 8 ～=Z /8Z
S ={x ±1,x ±2,x 4}
r
r r
r r
d
d x ?1
x x ?2x 2
x 4Γ= x,y :x 2,y 2
,(xy )4 ～=D 4S = x,y,xy,yx,(xy )2
r
r r r r
d
d x y
xy
yx
(xy )2
M.Neuhauser:Neighbourhood graphs of Cayley graphs10 References
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[2]D.I.Cartwright, A.M.Mantero,T.Steger, A.Zappa,Groups acting sim-
ply transitively on the vertices of a building of type?A2,I,Geom.Dedicata, 47,(1993).143–166.
[3]P.de la Harpe,Topics in geometric group theory,The University of Chicago
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von Kazhdan-Konstanten,Dissertation,Technische Universit¨a t M¨u nchen, (2001).
[http://tumb1.biblio.tu-muenchen.de/publ/diss/ma/2001/neuhauser.html] [6]A.˙Zuk,Property(T)and Kazhdan constants for discrete groups,Preprint,
(1999).
普通员工辞职申请书范文【三篇】 尊敬的xx人力资源部： 您好! 因为个人职业规划和一些现实因素，经过慎重考虑之后，特此提出离职申请，敬请批准。 在xx工作一年多的时间里，我有幸得到了各位领导及同事们的倾心指导及热情协助，在本职工作和音乐专业技能上，我得到了很大水准的提升，在此感谢xx提供给我这个良好的平台，这个年多的工作经验将是我今后职业生涯中的一笔宝贵财富。 在这里，特别感谢各位领导在过去的工作、生活中给予的大力支持与协助;尤其感谢xx，xx等，一年来对我的信任和关照，感谢所有给予过我协助的同事们。 望批准我的申请，并请协助办理相关离职手续，在正式离开之前我将认真继续做好当前的每一项工作。 祝公司事业蓬勃发展，前景灿烂。 申请人：### 20xx年xx月xx日 【篇二】 尊敬的韩总： 作为一名在酒店工作了大半年的员工，我对酒店有着一种格外亲切的感觉。每一个人在他年轻的时候，都有很多第一次，我当然也不例外。
我的第一份工作是在酒店，我最青春的三年也是在酒店度过的。 在这里，我学会了很多东西，能够跟同事们在一起工作，我觉得很开心，这里的每一位都是我的大哥大姐，我的叔叔阿姨，是他们教给了 我在学校里面学不到的知识，如何为人、如何处事、如何工作……在 酒店里，领导们也对我十分的关心，从刚进入酒店开始，我就感受到 从上至下的温暖。因为我是酒店里年龄还一般，还不算小，也从来没 有在这么大的集体里生活过，自不过然的，心里面就会产生一种被呵 护的感觉。这是一种以前在集体里未曾有过的感觉，很温馨，很自豪，而且它一直陪伴着我，直到我离开…… 但这种感觉不会随着我的离开而走远，我想我永远也不会忘记， 毕竟我以前生活在一个温暖而又温馨的集体里。韩总，还记得第一次 跟您近距离接触和理解是在20xx.3.16号。随着时间的流逝，斗转星移，您多年积累的工作经验与个人才华也得到充分的施展。您是我们 酒店的经理。在我上班之前，制定了一系列的政策与方针，重新定位 了酒店的经营策略，持续地尝试新的机制与奖励、分配办法，力争让 酒店的经济效益持续迈上新高，也让酒店员工的福利待遇如芝麻开花 一般节节高樊。，这才是为员工谋利益的举动，这才是一位被员工在 心里面所认可的经理。 而我，作为这个集体的一份子，更加感觉到您对员工的关心与培养。您肯定想到，酒店要想在竞争激烈的社会中立于不败之地，人才 的培养与发展是不可忽视的环节之一。因为我自身水平的不足，近期 的工作让我觉得力不从心，所以想公司提出了辞呈，忘领导批准。 申请人：### 20xx年xx月xx日 【篇三】 尊敬的公司领导：
一、作者应保证没有专稿的专投、模仿等学术违反行为和签名纠纷。本杂志社只接受网上提 交的稿件。 二、为协助匿名审查制度，作者在学术投稿时应将文章名称、基金项目、作者简介、通信地址、邮政编码、电子邮件、联系电话等放置在与本文内容独立的主页上，本文不得显示有关 作者的信息。否则，原稿将被推迟。 三、来稿篇幅最好在九千字以内的论文得到省、部级以上基金项目的支持，请注明基金名和 项目编号，尽可能提供中图分类编号和文献识别码，文章题目请使用中英文两种文字。 四、作者简介形式：姓名(出生年- )，性别，民族，出生地，岗位，职务，学历研究方向。 五、规范参考文献格式。本文中的引文、引文等，将参考文献编号用上标符号(例如[1] )标注，与句末的参考文献一一对应。 参考文献形式：专集[M]、论集[C]、学位论文[D]、报告[R]—[编号]主要负责人.文献标题[文 献类型标识] .出版地：出版者、出版年份.起始页码(可选) .期刊文章[J]—[编号]主要负责人.文 献标题[J] .出版名、年卷(期) :起始页编号.论文集中的析出文献-[编号]析出文献主要负责人.析 出文献标题[A] .原文献标题[C]出版地：出版者.出版年.析出文献起始页编号.新闻报道[N]—[编号]主要负责人.文献标题[N] .新闻名称.出版日(修订) .国际、国家基准-[编号]标准编号.标准名称[s] .专利-[编号] 专利所有者.专利标题[P] .专利国：专利号.出版日期. 电子文献：.电子期 刊[F/OL]，电子报纸[N/OL]，电子图书[M/OL]的书目形式，除了上述相关文献[J][N][M]的书 目形式以外，还包括引用日和具体的访问路径(ww ) . 电子公告[EB/OL]、在线数据库[DB]的 书目形式：作者.编名[EB/OL]、访问路径(网站)、(更新或修改日期) [引用日期]。 六、文章不用脚注。如果有特殊需要，文本中将显示少量的注释，并用括号括起来。 七、所有采用稿件均视为作者同意将稿件版权(包括各种媒体、媒体版权)转让给编辑部。招 聘后请先下载此协议，所有作者签署此协议后复印留下，然后将原件返回编辑部。
辞职报告文本辞职报告范文大全 辞职报告 （篇一） 尊敬的领导： 我很遗憾自己在这个时候向公司正式提出辞职申请。 来到公司也已经快两年了，在这近两年里，得到了公司各位同事的多方帮助，我非常感谢公司各位同事。正是在这里我有过欢笑，也有过泪水，更有过收获。公司平等的人际关系和开明的工作作风，一度让我有着找到了依靠的感觉，在这里我能开心的工作，开心的学习。或许这真是对的，由此我开始了思索，认真的思考。 但是最近我感觉到自己不适合做这份工作，同时也想换一下环境。我也很清楚这时候向公司辞职于公司于自己都是一个考验，公司正值用人之际，公司新的项目的启动，所有的后续工作在公司上下极力重视下一步步推进。也正是考虑到公司今后在这个项目安排的合理性，本着对公司负责的态度，为了不让公司因我而造成的决策失误，我郑重向公司提出辞职。 我考虑在此辞呈递交之后的2—4周内离开公司，这样您将有时间去寻找适合人选，来填补因我离职而造成的空缺，同时我也能够协助您对新人进行入职培训，使他尽快熟悉工作。 能为公司效力的日子不多了，我一定会把好自己最后一班岗，做好工作的交接工作，尽力让项目做到平衡过渡。离开这个公司，离开
这些曾经同甘共苦的同事，很舍不得，舍不得领导们的尊尊教诲，舍不得同事之间的那片真诚和友善。 在短短的两年时间我们公司已经发生了巨大可喜的变化，我很遗 憾不能为公司辉煌的明天贡献自己的力量。我只有衷心祝愿公司的业绩一路飙升!公司领导及各位同事工作顺利! （篇二） 尊敬的办公室人力资源管理领导： 我向公司正式提出辞职。 我自**日进入公司，到现在已经一年有余了，正是在这里我开始 踏上了社会，完成了自己从一个学生到社会人的转变。在过去的一 年多里，公司给予了我许多学习和锻炼的机会，开阔眼界、增长见识。我对公司给予的照顾表示忠心的感谢!但是，经过近段时间的思考， 我越来越迷惘！我越来越觉得现在的工作、生活离自己想要的越来越远。所以，我必须离开，去过我思想深处另一种有别于目前的生活。我想，生活应该是在选择到适合自己的道路以后，再持之以恒地坚持！ 公司目前已经过了一年最忙的时间，是充电、整顿、储备人才的 时刻。相信，我的离开会很快有新生力量补充。因为这不是我想要的工作、生活状态，所以，我现在对工作没有激情、对生活也极其懒散。本着对公司负责的态度，为了不让公司其他同事受到我消极情绪 * ，也为了不让公司因为我出现业务上的纰漏等，我郑重向公司提出辞职，望公司给予批准！ 祝公司稳步发展，祝公司的领导和同事们前程似锦、鹏程万里!
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Put the title of your abstract here using both upper and lower case letters, Times New Roman, 12 pts, bold, centered, double spaced A. Author a, B. Author b, C. Author a,* a Department, University, Street, Postal-Code City, Country b Laboratory, Institute, Street, Postal-Code City, Country Abstract This general template helps you on preparing manuscript for part of Elsevier Journals. Use this document as a template if you are using Microsoft Word 6.0 or later. Here comes self-contained abstract. Please read the Guide for Authors of your target journal for the requirements of Abstract. Pay special attention to the word count. PACS(optional, as per journal): 75.40.-s; 71.20.LP Keywords:Keyword 1.D; Keyword 2.B (Read the Guide for Authors for the requirements for Keywords, including number, thesaurus, and classification indications) * Corresponding author. Tel.: +xx xxx xx xx; fax: +xx xxx xx xx. E-mail address: xxxxx@xxx.xx
辞职申请书范文大全500字 辞职申请书500字 辞职一般是提前30天向上级或公司递交辞职，无需公司批准，30天之后您就能顺利辞职了，以下是为大家搜集的范文，欢迎阅读! 尊敬的公司领导： 由于工作调动，现正式向公司提出调离原工作岗位。 舍不得，舍不得这里的人，舍不得自己曾经的付出。每一次出差、每一次报价、每一次谈判、每一次争吵，在飞机上、在吉普车上、在会议室里、在工地上，所有这一切，都充斥着我的记忆，那么清晰，就像是在昨天。但时间的指针总是忠诚地一步一步往前走，昨天终究会结束。 在公司四年半的时间里，我收获了很多，除了朋友和知识，更 重要的是，我到了成长的快乐。感谢命运，让我在最青春的年华里遇到了装备公司;感谢公司领导，你们的关注和欣赏让我一直充满自信，你们的指点和教诲让我在成长的路上少走了很多弯路;感谢公司的同事，和你们的沟通，轻松愉悦;感谢我自己，能够一直保持着一份纯净，真诚地付出，真诚地享受每一次收获。
鉴于目前的身体及生活状态，自认为不能够为公司创造更大的价值，现向公司提出辞职。 虽然我不能在这里继续“战斗”下去，但真心的希望，xx公司能够梦想成真，在世界的舞台上舞出属于自己的精彩。 此致 敬礼! 辞职人： 20xx年xx月xx日 尊敬的x总： 您好! 转眼间，我到公司已有X年了，这X年的工作时间里，虽然我的工作并不是尽善尽美，但在公司同事们的帮助，尤其是您的信任与教导下，我也努力的去完成每一项您布置给我的工作，都用了自己的
热情努力去对待。凭心而论，我开始对基础工程毫无了解，但在您这里我基本了解了基础工程，使我学到了很多东西，特别是一些做人的道理和对生活的理解。在这里，我真诚的对袁总说一声：谢谢您了! 但犹豫再三，经过了长时间的考虑，我还是写了这封辞职申请书。 加入公司以来，您对我的信任、教导与严格要求，令我非常感动，也成为激励我努力工作的动力。在您及同事们的热心指导与悉心帮助下，我在工程技术和管理能力方面都有了一定的提高。我常想，自己应该用一颗感恩的心，去回报您及公司对我的栽培，真的想用自己的努力去做好您交给的每一份工作任务，但自己的能力真的很有限，有很多地方没有做得能让您满意，所以对过去工作中失误与不足的地方，我真诚的对您说声抱歉，请您原谅! 经过这段时间的思考，我觉得我可能技术能力方面有所不足， 也缺少工作的积极性和脚踏实地的工作精神，没能很好的适应这个工作，所以一直没有把工作做到令您满意的程度。这是我在以后的人生中需要注意的地方，也是袁总经常教导我的地方，我一定会铭记于心! 再一次真诚地感谢您及公司全体同事对我的关爱与帮助!
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简短辞职申请书范文大全 想必每一位在职场混迹多年的职场人士都应曾经写过辞职信之类的。在现在这个发展速度如此之快的社会，跳槽也就成了常见现象。而离职前的辞职信是必写的。下面就是小编给大家带来的简短辞职申请书范文大全，希望大家喜欢! 尊敬的xx： 我自xx年来到公司，工作中得到公司和您的培养，个人得到了很大的成长，公司的文化和环境也令我工作得非常开心。 现由于个人原因，我不得不提出辞职，希望能于x年x月x日正式离职，请公司批准我的这份辞职书。并请公司在x月x日前安排好人员接替我的工作，我将尽心交接。 再次对您x年来的培养和指导表示衷心的感谢。 最后祝您及公司的所有同事一切顺利! 此致 敬礼 辞职人：xxx 20xx年x月x日 尊敬的X经理： 您好! 感谢公司在我入职以来的培养关心和照顾，从X年X月份来到[公司]至今，我学到了很多东西，今后无论走向哪里，从事什么，这段经历都是一笔宝贵的财富，我为在彩卡的这段工作经历而自豪。 而今，由于个人原因提出辞职，望领导批准。 辞职人： 20xx年x月x日
公司人事部： 我因为要去美国留学，故需辞去现在的工作，请上级领导批准。 公司的企业文化感化了我，我对公司是深有感情的。我留学归来之后，仍愿意回公司就职。 感谢公司领导和同事在工作中对我的关心和支持，并祝公司兴隆。 辞职人：xxx 20xx年x月x日 尊敬的公司领导： 在递交这份辞呈时，我的心情十分沉重。现在由于我的一些个人原因的影响，无法为公司做出相应的贡献。因此请求允许离开。 当前公司正处于快速发展的阶段，同事都是斗志昂扬，壮志满怀，而我在这时候却因个人原因无法为公司分忧，实在是深感歉意。 我希望公司领导在百忙之中抽出时间受理我的离职事项。 感谢诸位在我在公司期间给予我的信任和支持，并祝所有同事和朋友们在工作和活动中取得更大的成绩。 辞职人： 20xx年x月x日 尊敬的xx： 自xx年入职以来，我一直很喜欢这份工作，但因某些个人原因，我要重新确定自己未来的方向，最终选择了开始新的工作。 希望公司能早日找到合适人手开接替我的工作并希望能于今年5月底前正式辞职。如能给予我支配更多的时间来找工作我将感激不尽，希望公司理解!在我提交这份辞呈时，在未离开岗位之前，我一定会尽自己的职责，做好应该做的事。 最后，衷心的说：“对不起”与“谢谢”! 祝愿公司开创更美好的未来!
Elsevier上发表论文的作者须知-——中英文011-03-25 13:35:11 Elsevier上发表论文的若干要求 发表SCI论文的人，恐怕没有人不知道Elsevier的吧，这个位于荷兰的出版社是世界上最大的科技期刊出版单位了。每年出版2,000 多种期刊和2,200种新书。例如青霉素的发现、伟哥的发明等等重大科学成果的发表，都是在Elsevier出版的。 发表外文和中文不太一样，感觉上外国人屁事挺多的，有些矫情。当然，也可以认为是人家编辑比较认真啦，商业规则很成熟，学术风气也比较正。所以想发表论文还是得按照人家的要求来办。 我想发篇论文，结果发现Elsevier的发表要求还是蛮复杂的。到网上看看有没有大侠翻译出来的中文版，结果没有找到合适的，有的人直接用翻译软件一翻译就挂到了网上，结果中文都不通顺，这怎么行？看来还是自己动手，丰衣足食吧。花了一天时间，把在Elsevier 上提交论文的基本要求翻译了一下。当然，本着积德行善的宗旨，供自用，也供大家方便。当然，本人英文水平达不到专业级，翻译中难免有些错误，希望大侠给予指正。此外，Elsevier 的每个期刊的要求不太一样，但也是大同小异，使用时需要分辨一下。祝你发表论文顺利。 利益冲突： 所有的投稿人都必须披露从其交稿前三年中可能产生不良影响的且与其工作相关的现实或潜在的利益纠纷，包括任何财务，个人或与其他人或其他组织的关系。参见。 提交声明： 提交一篇文章意味着该文章所述工作尚未发布，（可以以摘要的形式发布，或作为学术演讲的形式发布），而且也没有考虑在其他地方出版。如果该文章被接受，它的出版需要得到所有作者和主管部门的同意。而且除非得到了版权持有人的书面同意，不能以其他形式出版（无论英文或其他语言，纸质还是电子版）。 作者保有的权利： 作为作者（或作者的雇主、机构），您将保留一定的权利，详细情况请参见：。 对资金来源的作用 请确定谁为研究提供金融支持，或为文章的准备工作提供帮助，并简要介绍赞助者在文章撰写工作中的作用，诸如研究方案设计、数据收集、分析和解释，报告的撰写，以及决定文章提交等等。请参阅。
https://www.doczj.com/doc/9417400152.html,/infman/登录系统 https://www.doczj.com/doc/9417400152.html,/wps/find/journaldescription.cws_home/505553/authorinstructions 用户投稿手册 Use of wordprocessing software It is important that the file be saved in the native format of the wordprocessor used. The text should be in single-column format.Keep the layout of the text as simple as possible. Most formatting codes will be removed and replaced on processing the article. In particular, do not use the wordprocessor's options to justify text or to hyphenate words. However, do use bold face, italics, subscripts, superscripts etc. When preparing tables, if you are using a table grid, u se only one grid for each individual table and not a grid for each row. If no grid is used, use tabs, not spaces, to align columns. The electronic text should be prepared in a way very similar to that of conventional manuscripts (see also the Guide to Publishing with Elsevier: https://www.doczj.com/doc/9417400152.html,/guidepublication). Note that source files of figures, tables and text graphics will be required whether or not you embed your figures in the text. See also the section on Electronic artwork. To avoid unnecessary errors you are strongly advised to use the 'spell-check' and 'grammar-check' functions of your wordprocessor. Article structure Authors should use a scientific/engineering attitude towards their analyses. The numbers computed should have the appropriate number of significant figures. Please do not use more significant figures than the observations allow (i.e., for most surveys 2 or 3 are sufficient). Decimal fractions should have a leading zero, e.g. 0.001 rather than .001 Authors are encouraged to look at the articles recently published inthe journal to understand the aims of the journal. Essential title page information ? Title.Concise and informative. Titles are often used in information-retrieval systems. Avoid abbreviations and formulae where possible. ? Author names and affiliations.Where the family name may be ambiguous (e.g., a double name), please indicate this clearly. Present the authors' affiliation addresses (where the actual work was done) below the names. Indicate all affiliations with a lower-case superscript letter immediately after the author's name and in front of the appropriate address. Provide the full postal address of each affiliation, including the country name and,if available, the e-mail address of each author. ? Corresponding author.Clearly indicate who will handle correspondence at all stages of refereeing and publication, also post-publication. Ensure that
离职申请书怎么写范文5篇 工作当中几乎每个人都会有经历辞职，那么大家知道离职申请书怎么写吗?下面就是给大家带来的离职申请书怎么写范文5篇，希望大家喜欢! 辞职报告怎么写模板 辞职理由 辞职之前必须想好理由，不管是世界那么大，我想去看看。还是老子就是不想干了。 书面格式 标题：标题一般有辞职报告、辞职书、辞职函、辞职申请等不同的写法，书面一般多用辞职书 称谓：在工作中称呼一般都是“尊敬的XXX”格式，你想谁递交辞职书就写TA的尊称。 正文： ①空格2字符，问好。如：您好。
②辞职理由，短到几个字，长到几百字，个人自由发挥。例如：世界那么大，我想去看看。 ③尾段可以写写对公司的祝福等等。如：祝公司业绩蒸蒸日上。 结语：结尾要求写上表示敬意的话。如“此致——敬礼”等。 署名：写上自己的名字，辞职人：XXX 。署名的格式，为*末尾换行后起，然后署名下面加上日期. 日期：辞职报告写的当天日期，当然公司的规定不同，可以灵活的变动。 注意事项 不要说上司坏话。如果你认为有必要向管理层反映一下上司的问题，要尽量以委婉的言辞口头提出。 不要满纸抱怨，抨击公司制度。 不要指责同事，尤其忌讳把同事的“罪行”白纸黑字写在辞职书上。 离职申请书范文【一】 尊敬的罗总： 您好!
首先感谢您在我工作期间对我照顾与支持，感谢公司给我这个平台，让我锻炼让我成长。 很遗憾在这个时候向xx正式写出辞职报告，或许我还不是正式职工，不需要写这封辞职信。当您看到这封信时我大概也不在这里上班了。 来到这里也快两个月了，开始感觉这里的气氛就和一个大家庭一样，大家相处得融洽和睦。在这里有过欢笑，有过收获，当然也有过痛苦。虽然多少有些不快，不过在这里至少还是学了一些东西。在这一个多月的工作中，我确实学习到了不少东西。然而工作上的毫无成就感总让自己彷徨。我开始了思索，认真地思考。思考的结果连自己都感到惊讶——或许自己并不适合xx 这项工作。而且到这里来工作的目的也只是让自己这一段时间有些事可以做，可以赚一些钱，也没有想过要在这里发展。因为当初连应聘我都不知道，还是一个朋友给我投的资料，也就稀里糊涂地来到了这里。一些日子下来，我发现现在处境和自己的目的并不相同。而且我一直以为没有价值的事情还不如不做，现在看来，这份工作可以归为这一类了。n多的时间白白浪费掉了。我想，应该换一份工作去尝试了。 离开这里，离开这些曾经同甘共苦的同事，确实很舍不得，舍不得同事之间的那片真诚和友善。但是我还是要决定离开了，我恳请xx和领导们原谅我的离开。
《中国科技论坛》退稿的若干原因 可能录用的稿件要经过较长时间，才会最终决定是否录用。 有许多投稿很快就被编辑部退掉。 退稿的原因中，与稿件质量相关的大致有： （1）内容跟刊物无关。例如，本刊关注科技方面的事情，你的投稿是旅游营销，即使你的文章写得非常漂亮，我们也会只看标题就退稿。本刊刊登稿件的范围可参见“中国科技论坛刊登什么”。 （2）与本刊已发稿件类似。例如，本刊刚发一篇关于科技人才政策的回顾的文章，你的文章即使有些新意或者特点，仍然会很快被退稿。 （3）内容过于陈旧。例如，20年前我们关注科技指标设计的一般原则和方法，现在的投稿仍然是这些基本知识，因此会被直接退稿。 （4）分析缺乏深度。例如，一篇政策分析文章，只是简单的法规或者政策的罗列，没有思考；文章题目与内容不符，想以题目取胜，但内容乏善可陈。 （5）统计数据或者事实过于陈旧。例如，分析未来发展趋势，用的却是10年前的数据和早期的事实。 （6）无法实现的模型建构或者逻辑分析错误。论文的分析要符合逻辑，结论是分析的必然结果或者推论。数学模型建构成为时尚，但是论文建构了没有用的数学模型（找不到来自统计或者实证量化数据）。一大堆理论分析之后，结论不是分析的必然结果。 （7）实证分析的缺陷。例如，统计调查中过于小的样本量或者
样本不具有代表性，典型案例分析中明显的广告或者夸大事实的描述。或是前面理论介绍，后面在模型中代入一大批数字，得出的结果没有进行任何分析或仅一点分析，没有提出真正有意义的建议。 （8）对策建议没有针对性。没有对现有政策中存在的问题进行梳理，提一些不着边际或者过于宽泛的政策建议，或者提出的对策已经写在各种法律法规中。 （9）参考文献缺失。例如，一篇综述性的论文，却没有列出进行年内该领域中的经典文献，文献的来源也不是那些该领域有影响的期刊，明显反映出作者对该领域的不熟悉。 （10）文字过于粗糙。例如，对外国政策的介绍，翻译中明显的西化句子过多，让文章难以卒读；口语化较多的讲话稿式文章；文章的逻辑性不强，各个章节各为内容，没有关连性和连续性。 （11）明显的不端行为。例如抄袭，来稿内容似曾相识，上网络上一查，重复文字太多，可断定为抄袭。例如腊肠式发表，用同样的数学工具，改变一两个变量处理成若干文章投放，没有任何新颖的结论。或者整篇文章是将外国几篇报告内容直译过来，组成中文的一篇文章，抄袭成分比较大。 以下几条与作者的某一篇稿件质量没有直接关联，但仍然会被退稿。 （1）作者年度内投稿太多。为了作者的多元性，除特约稿和特别优秀的稿件外，本刊原则上一年内只发第一作者一篇文章。
申请离职书范文6篇 Sample application for resignation 编订：JinTai College
申请离职书范文6篇 小泰温馨提示：辞职报告是个人离开原来的工作岗位时向单位领导或上级组织提请批准的一种申请书，是解除劳动合同关系的实用文体。本文档根据辞职报告内容要求展开说明，具有实践指导意义，便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。 本文简要目录如下：【下载该文档后使用Word打开，按住键盘Ctrl键且鼠标单击目录内容即可跳转到对应篇章】 1、篇章1：申请离职书范文 2、篇章2：申请离职书范文 3、篇章3：申请离职书范文 4、篇章4：酒店离职申请范文 5、篇章5：酒店离职申请范文 6、篇章6：酒店离职申请范文 为离职写一份离职申请书，本文是小泰为大家整理的申请离职书范文，仅供参考。 篇章1:申请离职书范文
您好!首先感谢您在百忙之中抽出时间阅读我的离职信。 我是怀着十分复杂的心情写这封离职信的。自我进入公司之后，由于您对我的关心、指导和信任，使我获得了很多机遇和挑战。经过这段时间在公司的工作，我在酒店领域学到了很多知识，尤其是办公室合规的相关方面，积累了一定的经验，对此我深表感激。 由于自身存在很多尚不完善的地方，想通过继续学习来 进一步加强自己的能力。为了不因为我个人原因而影响公司的工作，决定辞去目前的工作。我知道这个过程会给公司带来一定程度上的不便，对此我深表歉意。 我会尽快完成工作交接，以减少因我的离职而给公司带 来的不便。为了尽量减少对现有工作造成的影响，我请求在公司的员工通讯录上保留我的手机号码一段时间，在此期间，如果有同事对我以前的工作有任何疑问，我将及时做出答复。 非常感谢您在这段时间里对我的教导和照顾。在平安的 这段经历于我而言非常珍贵。将来无论什么时候，我都会为自己曾经是平安公司的一员感到荣幸。我确信这段工作经历将是我整个职业生涯发展中相当重要的一部分。
高水平管理学论文写作投稿指南 一、质量较高管理学期刊 管理学类中国社科类核心期刊（CSSCI，08-09）： 1管理世界 2科研管理 3 中国软科学 4 科学学研究 5 外国经济与管理 6 南开管理评论 7 管理科学学报 8 研究与发展管理 9 中国管理科学 10 管理工程学报 11 科学学与科学技术管理 12 预测 合肥工业大学290信箱（230009）电话：（0551）2901500 13 管理科学 14 科学管理研究 呼和浩特市新城西街47号汇通饭店415室（010010）电话：(0471) 5883717 15 中国科技论坛 16 中国行政管理 17 管理评论
18 经济管理 19 软科学 20 公共管理学报 21 经济体制改革 22 科技进步与对策 23 管理现代化 24 科技管理研究 25 中国人力资源开发 26 管理学报 27 宏观经济管理 28 华东经济管理 安徽合肥市望江东路115号（230059）电话：（0551）3425621 29 现代管理科学 当然还有一些综合类期刊如《求索》（这个嘛，个人保留意见，如果是“求是”另当别论）、《中国社会科学》（…..这个无语，我辈恐怕今生无缘）、《江汉论坛》以及学报《河南社会科学》、《中国人民大学学报》等期刊也是很好的杂志，大家可以自己找。 二、管理类期刊的审稿 很多作者不太清楚审稿的程序，其实管理类期刊的审稿程序和其他期刊差不多，都是采用“三审制”，即：初审，外审和终审。 （有些杂志会加入“复审”、“栏目审稿”流程，如科学学研究、科研管理等） 审稿的原则有两个方面：一个是质量（水平），另外一个是规范（格式），具体包
岗位辞职申请书（精选6篇） 岗位辞职申请书 在当今不断发展的世界，我们都会用到申请书，我们在写申请书的时候要注意语言简洁、准确。写起申请书来就毫无头绪？下面是帮大家整理的岗位辞职申请书，供大家参考借鉴，希望可以帮助到有需要的朋友。 岗位辞职申请书1尊敬的企业领导： 您好! 鉴于我个人能力及不能胜任工作岗位要求等多方面原因的考虑，很遗憾自己在这个时候向企业提出辞职。 我也很清楚这时候向企业辞职于企业于自己都是一个考验，企业正值用人之际，企业业务的开展，所有的前续工作在企业上下极力重视下一步步推进。也正是考虑到企业今后推进的合理性，本着对企业负责的态度，为了不让企业因我而造成的决策失误，我郑重向企业提出辞职，望企业领导给予批准。 希望领导能早日找到合适的人手接替我的工作，我会尽力配合做好交接工作，保证企业的正常运作，对企业，对领导尽好最后的责任。要离开企业的这一刻，我衷心向您说声谢谢!也感谢全体同事对我无微不至的关怀，对此我表示诚挚的谢意，也同时对我的离去给企业带来的不便表示深深地歉意。希望领导能早日找到合适的人手接替我的工作，我会尽力配合做好交接工作，保证企业的正常运作，对企业，
对领导尽好最后的责任。要离开企业的这一刻，我衷心向您说声谢谢!也感谢全体同事对我无微不至的关怀，对此我表示诚挚的谢意，也同时对我的离去给企业带来的不便表示深深地歉意。在离开之前我仍将按往常一样尽力将自己的工作做好。 祝企业领导及同事们前程似锦，鹏程万里! 此致 敬礼! 申请人： 申请日期： 岗位辞职申请书2尊敬的领导： 您好! 怀着复杂的心情，我提出辞职的请求。屈指算来，我到公司已有两年多时间了。在这段时间里，虽然我的工作并不能尽善尽美，但在公司同事们的指导下，我尽量严格要求自己尽心尽职.按时按量完成了公司分配的销售任务。 鉴于两年多来我在公司的发展与期望有些距离，加之近来的工作中我常常觉得力不从心，故遗憾的提出辞职。 非常感谢在这段时间里公司对我的培育和关怀，在公司的这段经历对我而言弥足珍贵。将来无论什么时候，我都会为自己曾经是公司的一员而感到荣幸，在公司的这段工作经历也将是我整个职业生涯中相当重要的一部分。 祝公司领导和所有同事身体健康、工作顺利!
https://www.doczj.com/doc/9417400152.html, 专门论文参考文献 一、专门论文期刊参考文献 [1].高校国家级专门科研机构编制核定办法研究. 《中国科技论坛》.被中信所《中国科技期刊引证报告》收录ISTIC.被北京大 学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.被南京大学《核心期刊目录》收录CSSCI.2014年8期.陈露君.颜淑霞.林晓棠. [2].“卓越工程师教育培养计划”专门要求考查评价分析. 《清华大学教育研究》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.被南 京大学《核心期刊目录》收录CSSCI.2015年4期.林健. [3].中欧知识产权专门法院比较研究. 《湘潭大学学报（哲学社会科学版）》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.被南京大学《核心期刊目录》收录CSSCI.2015年6期.刘强. [4].面向国际性专门人才培养的大学英语课程探索. 《黑龙江高教研究》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.被南京 大学《核心期刊目录》收录CSSCI.2015年5期.关维娜.杨传鸣.尹铁超. [5].台湾地区专门职业及技术人员职业资格考试制度及其借鉴. 《中国行政管理》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.被南京大 学《核心期刊目录》收录CSSCI.2015年4期.林喜庆.蔡学军. [6].清儒的“知识分化”与“专门之学”萌芽——从几场论辩谈起. 《学海》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.被南京大学《核心 期刊目录》收录CSSCI.2015年2期.张寿安. [7].地理信息科学 《哈尔滨工业大学学报》.被中信所《中国科技期刊引证报告》收录ISTIC.被 EI收录EI.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.2004年10期.袁礼.柏满迎. [9].论我国传统知识专门权利制度的构建——兼论已文献化传统知识的主体界定. 《政治与法律》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.被南京大学《核心期刊目录》收录CSSCI.2015年1期.张陈果. [10].网络环境下的专门用途汉语课程资源库的建设与研究. 《湖南社会科学》.被北京大学《中文核心期刊要目总览》收录PKU.被南京大
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