专题训练【反比例函数】提升
1. 函数2y x =与函数1
y x
-=
在同一坐标系中的大致图像是
【解题思路】由函数2y x =可知，图像在第一、三象限，反比例函数1
y x
-=中，-1<0，图像在第二、四象限，可得正确答案D.【答案】D 2. 对于反比例函数y = 1
x
，下列说法正确的是
A ．图象经过点（1，-1）
B ．图象位于第二、四象限
C ．图象是中心对称图形
D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大
【答案】C ．
3、关于反比例函数y ＝4
x
图象，下列说法正确的是
A ．必经过点（1，1）
B ．两个分支分布在第二、四象限
C ．两个分支关于x 轴成轴对称
D ．两个分支关于原点成中心对称 【解题思路】画出草图结合用排除法可以排除A 、B 、C 。【答案】D 4、如图，反比例函数y=
k
x
的图象经过点A(-1，-2)．则当x>1时,函数值y 的取值范围是 A ．y>l B ．0 【解题思路】先由双曲线经过点A ，用待定系数法求得其解析式为y= x 2 ，又由反比例函数的性质，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，故当x ＞1时，0＜y ＜2。故选D 正确。 5、某反比例函数图象经过点（－1，6），则下列各点中此函数图象也经过的点是（ ） A ．（－3，2） B ．（3，2） C ．（2，3） D ．（6，1） 【解题思路】由题意可知此反比例函数解析式为y=－x 6 ，即图象中各点的横纵坐标之积等于－6 ，故可排除B 、C 、D ．【答案】A ． 6．已知点(1，1)在反比例函数y ＝k x (k 为常数，k ≠0)的图象上，则这个反比例函数的大致图象是 A B C D 【解题思路】：点(1，1)在反比例函数y ＝k x (k 为常数，k ≠0)的图象上，把点(1，1)代入y ＝k x 可以求出k=1，所以双曲线在一、三象限。【答案】：C 7．小明乘车从南充到成都，行车的平均速度y (km/h)和行车时间x(h)之间的函数图像是（ ） 【解题思路】先确定函数关系式及自变量取值范围。设路程为S ，则s y x =(0)s >,所以函数为反比例函数，图象为双曲线的一支，在第一象限。【答案】B 8．如图，直线b x y +-=（b ＞0）与双曲线x k y = （x ＞0）交于A 、B 两点，连接OA 、OB ，AM⊥y 轴于M ，BN⊥x 轴于N ；有以下结论： ①OA=OB ②△AOM≌△BON ③若∠AOB=45°，则S △AOB =k ④当AB=2时，ON-BN=1； 其中结论正确的个数为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解题思路】①②设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），联立b x y +-=与x k y = ，得x 2 -bx+k=0，则x 1?x 2=k ，又x 1?y 1=k ，比较可知x 2=y 1，同理可得x 1=y 2，即ON=OM ，AM=BN ，可证结论；③作OH ⊥AB ，垂足为H ，根据对称性可证△OAM ≌△OAH ≌△OBH ≌△OBN ，可证S △AOB =k ；④延长MA ，NB 交于G 点，可证△ABG 为等腰直角三角形，当 AB= 时，GA=GB=1，则 ON-BN=GN-BN=GB=1； ∴△ABG 为等腰直角三角形， 当AB= 时，GA=GB=1， ∴ON-BN=GN-BN=GB=1，正确． 正确的结论有4个． 故选D 9．直线 6y x =- 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数4 (0)y x x = >图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，交AB 于点F 。则AF BE ?=( ) (A)8 (B) 6 （C ）4 （D ）【解题思路】：根据题意：直线 6y x =- 交x 轴、y 轴于A 、B 两点的坐标为（6,0），（0,6），即△AOB 是等腰直角三角形，如图作EG 垂直于y 轴，垂足为G, 作FH 垂直于x 轴，垂足为H,∴△BGE 与△AHF 都是等腰直角三角形，设P 点坐标为（x,x 4）,则△BGE 与△AHF 的直角边长分别为：x, x 4,∴BE=2x,AF=x 24,∴AF 2BE=8。故A 正确。【答案】A 。 【点评】函数及其函数的图象性质是中考的热点问题，本题根据一次函数与坐标轴交点的坐标，确定了△AOB 的形状，通过添加辅助线构建△BGE 与△AHF ，利用反比例函数的特点，设出P 点坐标，根据勾股定理求得AF 、BE 的长，计算求解。 10. 若双曲线x k y 1 2-= 的图象经过第二、四象限，则k 的取值范围是 A ． k ＞0 B ．k ＜ 21 C ．k =2 1 D ．不存在 【解题思路】根据双曲线x k y 1 2-= 的图象经过第二、四象限，得12-k ＜0，所以k ＜2 1 【答案】B 二、填空题 1．若点P 1(1，m)，P 2（2，n ）在反比例函数)0(<=k x k y 的图象上，则m_____n(填“＞”、“＜”或“=”号）． 【解题思路】：0k <,每个象限内，y 随x 的增大而增大，因为1<2，所以m y 1 = 的图象没有公共点，则实数k 的取值范围 是 【解题思路】将一次函数解析式与反比例函数解析式联立方程组，消去y ，得kx+1= x 1，去分母得kx 2 +x －1=0，结合两函数图象没有公共点，所以???≠+0 041k k ＜，所以1 4k <-． 【答案】1 4 k <- 3. 如图，□ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （-1，0），B （0，-2），顶点C ，D 在双曲线y= x k 上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则k=_____.分析：反比例函数的性质，及反比例函数解析式的解法。答案：12 4. 如图，双曲线)0(2 >= x x y 经过四边形OABC 的顶点A 、C ，090=∠ABC ,OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴,将ABC ?沿AC 翻折后得C B A '?，B '点落在OA 上，则四边形OABC 的面积是 . 【解题思路】如图，连接OB ，延长BC 、BA ，分别交x 轴、y 轴与点E 、D ，得矩形ODBE ，由折叠及角平分线的性质可知BC=CE ，所以=?BOC S 122 1 =?= ?EOC S ；设点C 的坐标为)2,(m m ，则点B )4,(m m ，所以点A 的坐标为)4 ,2(m m ，所以BA=AD, 所以 =?B O A S 122 1 =?=?A D O S ,所以四边形OABC 的面积+=?BOC S 211=+=?BO A S 【答案】2 5. 如图：点A 在双曲线k y x =上，AB ⊥x 轴于B ，且△AOB 的面积S △AOB =2，则k=______． 【解题思路】:由反比例函数解析式可知：系数k x y =?，∵S △AOB =2即1 22 k x y =?=，∴224k xy ==?=；又由双曲线在二、四象限k ＜0，∴k=-4【答案】－4 6. 已知直线y ＝－3x 与双曲线y ＝ 5 m x -交于点P （－1，n ）. （1）求m 的值； （2）若点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在双曲线y ＝ 5 m x -上，且x 1＜x 2＜0，试比较y 1，y 2的大小. 【解题思路】（1）要确定m 值，先把P （－1，n ）的坐标代入y ＝－3x 中求得n 值，再将求得的P 点坐标代入y ＝5 m x -即可求得m 值；（2）A ，B 两点坐标不可求，需要运用反比例函数的性质求解． 【答案】解：（1）∵点P （－1，n ）在直线y ＝－3x 上，∴n ＝－33(－1)＝3． ∵点P(－1，3)在双曲线y ＝ 5 m x -上，∴m－5＝－3，即m ＝2． （2）∵m－5＝－3＜0，∴x＜0时，y 随x 的增大而增大． 第7题图 又∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在函数y ＝5 m x -的图象上，且x 1＜x 2＜0，∴y 1＜y 2． 7、设函数2y x = 与1y x =-的图象的交点坐标为（a ，b ），则11a b -的值为__________． 【解题思路】解、设函数2 y x =与1y x =-的图象的交点坐标为（a ，b ），把（a ，b ） 代入2y x =与1y x =-中，得到 b=a 2 ，b= a －1， 将两式变形得到a b=2，b －a=－1， 11a b -=ab a b -=21-=12-。【答案】12 - 【点评】解此题的关键在于将（a ，b ）代入函数解析式中2 y x =与1y x =-中，得到变形后 的两个式子a b=2，b －a=－1，然后再整体代入，求得11 a b -的值。 8．已知点P (a ，b )在反比例函数2 y x =的图象上，若点P 关于y 轴对称的点在反比例函数 k y x =的图象上，则k 的值为 ． 【解题思路】根据题意,得2 b a =.于是可以求出ab =2.因为点P 关于y 轴的对称点的坐 标为(a ，－b )，且点P 关于y 轴对称的点在反比例函数k y x =的图象上，所以k b a -=.所以 .2-=-=ab k 【答案】－2．【点评】考查反比例函数性质：若一点的坐标为(a ，b )在反比 例函数k y x = 的图象上，则.ab k = 9．函数 y l = x ( x ≥0 ) , x y 9 2=（ x > 0 ）的图象如图所示，则结论：① 两函数图 象的交点A 的坐标为（3 ,3 )， ② 当 x > 3 12y y 时， ③ 当 x ＝1时， BC = 8，④ 当 x 逐渐增大时， y l 随着 x 的增大而增大，y 2随着 x 的增大而减小．其中正确结论的序号是____________________＿ . 【解题思路】由函数 y l = x ( x ≥0 ) , x y 9 2= （ x > 0 ）构造出y x ,的方程组得出A 点坐标故①正确；由于当x>3时，2y 的图像在1y 的下面故应2y ＜1y ；当1=x 时， 819=-=-A B y y 故③正确；当 x 逐渐增大时，y l 图像的上升，y 2图像的下降得④正确. 【答案】①③④． 10. 如图，点A 在双曲线y= x 1上，点B 在双曲线y=x 3 上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 为矩形，则它的面积为＿＿＿. 15题图 【解题思路】可设D(a,0),则A(a,a 1),B(3a, a 1 ),C(3a,0).故矩形ABCD 的面积为BC 2CD= a 1 2(3a-a)=2.【答案】2 三、解答题 1. 如图，四边形ABCD 为菱形，已知A （0，4），B （-3，0）． ⑴求点D 的坐标； ⑵求经过点C 的反比例函数解析式． 【解题思路】（1）已知A （0，4），B （-3，0）可以求出AB=5，因为四边形ABCD 为菱形，所以AD=BC=5，点A 、D 在y 轴上所以点D 的坐标为（0，-1）；（2）要求经过点C 的反比例函 数解析式，首先要求出点C 的坐标．结合已知和图形，可很容易 求出，利用待定系数法，即可求出反比例函数的解析式． 【答案】(1)根据题意得AO=4，BO=3，∠AOB=90°， 所以因为四边形ABCD 为菱形，所以AD=AB=5， 所以OD=AD-AO=1, 因为点D 在y 轴负半轴，所以点D 的坐标为（-1,0）. (2)设反比例函数解析式为 k y x =. 因为BC=AB=5，OB=3, 所以点C的坐标为（-3，-5）. 因为反比例函数解析式 k y x =经过点C, 所以反比例函数解析式为 15 y x =. 2．右图中曲线是反比例函数y＝ 7 n x + 的图象的一支． （1）这个反比例函数图象的另一支位于哪个象限？常数n的取值范围是什么？ （2）若一次函数y＝ 24 33 x -+的图象与反比例函数图象交于点A，与x轴交于B，△AOB 的面积为2，求n的值． 【解题思路】(1)当k＞0，反比例函数的图象在第一、三象限；当k＜0时，反比例函数的图象在第二、四象限；反之同样成立，所以，由图象的一个分支在第二象限，则另一个分支在第四象限，n+7＜0，则n＜－7．(2)点B在x轴上，纵坐标为0，把y＝0代入直线解析式，即可求出点B的横坐标，求出OB的长．以OB为△AOB的底，点A的纵坐标的绝对值为△AOB的高，由△AOB的面积是2，OB＝2，求出A的纵坐标，代入直线解析式求出横坐标．把点A的横纵坐标代入反比例函数的解析式求出n的值． 【答案】（1）第四象限，n＜－7 （2）∵点B是直线y＝ 24 33 x -+与x轴的交点，纵坐标为0， ∴把y＝0代入y＝ 24 33 x -+，得 24 33 x -+＝0，解得x＝2， ∴B的坐标为（2，0）． 设点A 的坐标为(x ，y)，∵B 的坐标为（2，0），∴OB＝2． ∵△AOB 面积是2， ∴ 1 2 323y ＝2，∴b＝±2． 又∵点A 在第二象限，则y ＞0，∴y＝2． 把y ＝2代入y ＝24 33 x - +，解得x ＝－1． ∴点A 的坐标是(－1，2)． ∴n+7＝－132，n ＝－9． 3． 如图，正比例函数y 1=k 1x 与反比例函数y 2= x k 2 交与A 、B 两点，已知点A 的坐标为（4，n ）,BD ⊥x 轴于D ，且S △BDO =4．过点A 的一次函数y 3=k 3x+b 与反比例函数交与另一点C ，且 与x 轴交与点E （5,0）． （1）求正比例函数y 1、反比例函数y 2和一次函数y 3的解析式； （2）结合图像，求出当k 3x +b ＞ x k 2 ＞k 1x 时x 的取值范围． 【思路分析】（1）有三角形面积可确定反比例函数解析式，将A （4，n ）代入反比例函数表达式可求点A 坐标，将点A 坐标代入y 1=k 1x 可求正比例函数解析式，由点 A 、E 可确定一次函数y 3=k 3x +b 的解析式；（2）由反比例函数和正比例函数解析式 组成方程组可解得点C 的坐标，根据双曲线和正比例函数交点特点可确定点B 的坐标，结合图像从x ＜-2、-2＜x ＜0、0＜x ＜1、1＜x ＜4和x ＞4五个范围来确定k 3x +b ＞ x k 2 ＞k 1x 时x 的取值范围． 【答案】解：（1）∵S △BDO =4，∴k 2=8，∴y 2= x 8，将A （4，n ）代入y 2=x 8 ，得n =2．把A （4，2）代入y 1=k 1x 得k 1= 21，∴y 1=2 1 x ．又∵点A 、B 关于原点对称，∴B （-4，-2）．把A （4，2）、点E （5,0）分别代入y 3=k 3x +b 得? ??+=+=b k b k 335042，解得k 3= -2， b=10,∴y 3=-2x +10； （2）?? ? ??=+-=x y x y 8 10 223解得???==81y x 或???==24y x ，即C （1,8） 由图像知当k 3x+b ＞ x k 2 ＞k 1x 时x ＜-2或1＜x ＜4． 4．如图，一次函数112y k x =+与反比例函数2 2k y x = 的图象交于点(4,)A m 和(8,2)B --，与y 轴交于点C . （1）1k ＝ ，2k ＝ ； （2）根据函数图象可知，当1y ＞2y 时，x 的取值范围是 ； （3）过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，点P 是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP 与线段AD 交于点E ，当ODAC S 四边形：ODE S △＝3：1时，求点P 的坐标 . 【解题思路】（1）本题须把B 点的坐标分别代入一次函数y 1=k 1x+2与反比例函数 的解析式即可求出K 2、k 1的值． （2）本题须先求出一次函数y 1=k 1x+2与反比例函数 的图象的交点坐标，即可 求出当y 1＞y 2时，x 的取值范围． （3）本题须先求出四边形OADC 的面积，从而求出DE 的长，然后得出点E 的坐标，最 后求出直线OP 的解析式即可得出点P 的坐标． 【解】（1） 1 2 ，16； （2）－8＜x ＜0或x ＞4； （3）由（1）知，121162,.2y x y x = += ∴m ＝4，点C 的坐标是（0，2）点A 的坐标是（4，4）. ∴CO ＝2，AD ＝OD ＝4. ∴24412.22 ODAC CO AD S OD ++= ?=?=梯形 ∵:3:1,ODE ODAC S S = 梯形 ∴11 1243 3 ODE ODAC S S =?=?= 梯形 即 1 2 OD 2DE ＝4，∴DE ＝2. ∴点E 的坐标为（4，2）. 又点E 在直线OP 上，∴直线OP 的解析式是12 y x =. ∴直线OP 与216 y x = 的图象在第一象限内的交点P 的坐标为（）. 5．（2011年内蒙古呼和浩特）在同一直角坐标系中反比例函数m y x =的图象与一次函数y kx b =+的图象相交,且其中一个交点A 的坐标为(–2,3),若一次函数的图象又与x 轴相交 于点B ,且△AOB 的面积为6(点O 为坐标原点). 求一次函数与反比例函数的解析式. 【答案】解:将点A (-2,3)代入m y x =中得 32 m =- ∴6m =- ∴6y x =- ………………………………………………………(2分) 又∵△AOB 的面积为6 ∴1||||62A OB y ?= ∴1||362OB ?= ∴|OB |=4 ∴B 点坐标为(4,0)或(-4,0) ………………(4分) ①当B (4,0)时, 又∵点A (-2,3)是两函数的交点 ∴代入y kx b =+中得 40 23k b k b +=?? -+=? ∴122 k b ?=-???=? ∴122y x =-+ …………………………………(6分) ②当B (-4,0)时,又∵点A (-2,3)是两函数的交点 ∴代入y kx b =+中得 40 23k b k b -+=?? -+=? ∴326 k b ?=???=? ∴362 y x =+ …………………………………………………(8分) 6．（2011年湖南衡阳）（本小题满分8分）如图，已知A ，B 两点的坐标分别为A （0 ，），B （2，0），直线AB 与反比例函数m y x = 的图象交于点C 和点D （-1，a ）． （1）求直线AB 和反比例函数的解析式； （2）求∠ACO 的度数； （3）将△OBC 绕点O 逆时针方向旋转a 角（a 为锐角），得到△OB′C′，当a 为多少度时，OC′⊥AB，并求此时线段AB′的长． 【解题思路】第（1）问设直线AB 的解析式为y=kx+b ，直接代入点A 、B 的坐标到解析式即 可求出直线的解析式；因为直线与双曲线交于点D ，所以D 点的坐标既满足一次函数的解析式，也满足反比例函数的解析式，所以将点D （-1，a ）代入直线解析式可求出a 的值，然后将D 点坐标代入反比例函数m y x =，便可得反比例函数的解析式．（2）在直角△AOB 中，因为tan ∠ OAB= OB OA =，所以∠OAB=300 ．因为C 是直线与双曲线的交点，所以将两个函数的解析式的右边相等可得C （3 ，，过C 作CM ⊥X 轴于点M ，则OM=3， =∠OAB =300 ．（3）设OC′与AB 交于点N ，由OC′⊥AB 可得∠ONC=900 ，根据三角形内角和定理可得旋转角a =600 ．在Rt △BCM 中，因∠CBM=∠ABO=600 ， BC=2．由△OB′C′是△OBC 绕点O 逆时针方向旋转600 角得到的，所以可得△AB′O≌△CBO ，故AB′=BC=2． 【答案】解（1）设直线AB 的解析式为y=kx+b ，则有20b k b ?=? ?+=?? ，解得k b ?=??=?? ∴直线AB 的解析式为y =+ 把点D （-1，a ）代入y =+得a =， ∴点D （-1， ） 把点D （-1， ）代入m y x = 中得m= － ∴反比例函数的解析式为：y =． （2 ）由y y ?=+??=?? 得111x y =-???=?? 223 x y =???=?? ∴C 的坐标为（3 ，， 过C 作CM ⊥x 轴于点M ，则OM=3， ∵A （0 ，） ∴ OA= OC=， ∴∠ACO =∠OAB． 第21题图 在Rt △AOB 中，∵ta n∠OAB=OB OA = ∴∠OAB=300 ． ∴∠ACO=∠OAB=300 ． （3）设OC′与AB 相交于点N ，∵OC′⊥AB，∴∠ONC=900 ， ∵∠ACO =300 ，∴∠COC′=600 ． 故当a 为60度时，OC′⊥AB． 在Rt △AOB 中，∵∠OAB=300 ，∴∠CBM=∠ABO=600 ． 在Rt △BCM 中，∵ CBM=600 ，∴BC=2． ∵OB=2 ∴OB=BC ∴∠BOC=300 ， ∵∠AOB=900 ，∠BOB ′=600 ，∴∠AOB ′=300 ， 在△AO B ′和△COB 中， OA OC AOB COB OB OB =?? '∠=∠??'=? ∴△AO B ′≌△COB ∴AB′=BC=2． 课后作业练习 1. （2011安徽）如图，函数y 1＝k 1x ＋b 的图象与函数y 2＝ k 2 x (x ＞0)的图象交于点A 、B 两点，与y 轴交于点C ，已知点A 坐标为(2，1)，点C 坐标为(0，3)． （1）求函数1y 的表达式和B 点坐标； （2）观察图象，比较当x ＞0时，1y 和2y 的大小. 【解题思路】（1）由待定系数法,将A 、C 两点坐标代入y 1＝k 1x ＋b 便可求出函数1y 的表达式， 将点C 坐标代入y 2＝ k 2 x 便可求出y 2的解 析式，解由两个解析式构成的方程组便可得点B 的坐标. （2）直接看图像位置高低就能比较1y 和2y 的大小. 【答案】解：(1)由题意，得???==+.3,121b b k 解得? ??=-=.3, 11b k ∴ 31+-=x y 又A 点在函数x k y 22= 上，所以 2 12k =，解得22=k 所以x y 22= 解方程组?? ? ??=+-=x y x y 2 , 3 得???==.2,111y x ???==.1,222y x 所以点B 的坐标为（1, 2） （2）当0＜x ＜1或x ＞2时，y 1＜y 2; 当1＜x ＜2时，y 1＞y 2; 当x=1或x=2时，y 1=y 2. 2. （2011甘肃兰州）如图，一次函数3y kx =+的图像与反比例函数m y x =（x ＞0）的图像交与点P ，PA ⊥x 轴于点A ，PB ⊥y 轴于点B.一次函数的图像分别交x 轴、y 轴于点C 、 点D ，且DBP S ?=27，OC CA =1 2 . (1)求点D 的坐标； （2）求一次函数与反比例函数的表达式； （3）根据图像写出当x 取何值时，一次函数的值小于反比例函数的值？ 【解题思路】（1）本题需先根据题意一次函数与y 轴的交点，从而得出D 点的坐标．（2）本题需先根据在Rt △COD 和Rt △CAP 中， ，OD=3，再根据S △DBP=27，从而得出BP 得长和P 点的坐标，即可求出结果．（3）根据图形从而得出x 的取值范围即可． 【答案】：（1）∵一次函数y=kx+3与y 轴相交，∴根据题意，得：D （0，3）. （2）在Rt △COD 和Rt △CAP 中， ，OD=3，∴AP=6，OB=6∴DB=9Rt △DBP 中， ∴ ，∴BP=6，P （6，-6），一次函数的解析式为： ，反比例函 数解析式为： （3）根据图象可得：当x ＞6时，一次函数的值小于反比例函数的值． 3. (2011广东河源)如图7,反比例函数1 (0)m x x y = >的图像与一次函数2x b y =-+的图 象交于点A 、B,其中A(1,2)． (1)求m ，b 的值； (2)求点B 的坐标,并写出2y ＞1y 时，x 的取值范围． 【解题思路】（1）将点A 的坐标分别代入反比例函数和一次函数解析式，求得m ，b 的值；联列方程组求得点B 的坐标，（2）由一次函数的图象在反比例函数图象上方，即在A 、B 两点之间，可得2y ＞1y 时，x 的取值范围. 【答案】（1）∵反比例函数1 (0)m x x y = >的图像过点A(1,2)，∴2=1m ，m=2; ∵一次函数 2 x b y =-+的图象过点A(1,2)，∴2=-1+b,b=3. （2）∵?? ? ?? +-==32x y x y ，解得?? ?==2111y x ，???==1222y x ，∴点B （2,1）， 根据图像可得，当1＜x ＜2时，2y ＞1y 4. （2011贵州安顺）如图，已知反比例函数x k y = 的图像经过第二象限内的点A （－1，m ），AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2．若直线y =ax +b 经过点A ，并且经过反比例函数x k y = 的图象上另一点C （n ，一2）． ⑴求直线y =ax +b 的解析式； ⑵设直线y =ax +b 与x 轴交于点M ，求AM 的长． 【解题思路】根据题意，结合图形，由△AOB 的面积为2，可求出k=﹣4，进而求出点A （－1，4），点C （2，一2），直线y=ax+b 经过A 、C ，可求出求直线y =ax +b 的解析式为22+-=x y ，容易求出点M （1，0），所以AM =52。 【答案】（1）∵点A （-1，m ）在第二象限内，∴AB = m ，OB = 1，∴22 1 =?=?BO AB S ABO 即： 212 1 =?m ，解得4=m ，∴A (-1,4)， ∵点A (-1,4)，在反比例函数x k y =的图像上，∴4 =1 -k ，解得4-=k ， ∵反比例函数为x y 4-=，又∵反比例函数x y 4 -=的图像经过C （n ，2-） ∴n 4 2-= -，解得2=n ，∴C (2,-2)， ∵直线b ax y +=过点A (-1,4)，C (2,-2) ∴???+=-+-=b a b a 224 解方程组得 ? ??=-=22b a ∴直线b ax y +=的解析式为22+-=x y ； （2）当y = 0时，即022=+-x 解得1=x ，即点M （1，0） 在ABM Rt ?中，∵AB = 4，BM = BO +OM = 1+1 = 2， 由勾股定理得AM =52． 5. （2011福建泉州）如图，在方格纸中建立直角坐标系，已知一次函数b x y +-=1的图 象与反比例函数x k y = 2的图象相交于点A （5，1）和1A . （1）求这两个函数的关系式；（2）由反比例函数x k y =2的图象的特征可知：点A 和1A 关 于直线x y =对称.请你根据图象，填写点1A 的坐标及21y y <时x 的取值范围. 【解题思路】（1）由于点A （5，1）是一次函数b x y +-=1图象与反比例函数x k y =2图象的交点，所以A 点即在一次函数b x y +-=1图象上，也在反比例函数x k y = 2图象上，代入即可求出一次函数与反比例函数的解析式。（2）由图象可知当21y y <时，x 的取值范围是： 10< 【答案】解：（1）点A （5，1）是一次函数b x y +-=1图象与反比例函数x k y =2图象的交点，∴,15, 15==+-k b ∴5,6==k b ，∴61+-=x y ，x y 52=. （2）由函数图象可知：1A （1，5）；当10< 【点评】从代数的角度讲，本题应该是一个含有分式的不等式，对于初中学生来讲有些超纲，但从几何角度来讲，本题可以通过图象清晰地判定当10< 6. （2011年怀化）在矩形AOBC 中，OB=6，OA=4，分别以OB ，OA 所在直线为x 轴和y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，F 是边BC 上的一个动点（不与B ，C 重合），过F 点的反比例函数)0(>= k x k y 的图像与AC 边交于点E. （1） 求证：AE3AO=BF3BO； （2） 若点E 的坐标为（2，4），求经过O 、E 、F 三点的抛物线的解析式； （3） 是否存在这样的点F ，使得将△CEF 沿EF 对折后，C 点恰好落在OB 上？若存在，求 出此时的OF 长；若不存在，请说明理由 . 【解题思路】(1)本题主要考查的是反比例函数系数k 的几何意义,由点E 、F 都在反比例函数图像上可求解. (2)给点E 的坐标后能够求出反比例函数的表达式，从而求出点F 的坐标，得到抛物线的解析式. (3)由（1）得到CE=1.5CF ，在利用轴对称的性质可以得到CF=C′F ，CE=C′E ，∠EC′F=∠C=90°，过点E 作EH⊥OB 于点H ，构造相似三角形，利用相似三角形的性质得出边BC′的长度，在Rt△BC′F 中，结合勾股定理求出BF 的长，从而可求出OF 的长度. 【答案】 (1)证明：由题意知，点E 、F 均在反比例函数)0(>=k x k y 图像上，且在第一象限，所以AE3AO=k，BF3BO=k，从而AE3AO=BF3BO. (2)将点E 的坐标为（2，4）代入反比例函数)0(>=k x k y 得k=8， 所以反比例函数的解析式为x y 8=. ∵OB=6，∴当x=6时，y= 34，点F 的坐标为（6，3 4 ）. 设过点O 、E 、F 三点的二次函数表达式为)0(2 ≠++=a c bx ax y ，将点O （0，0），E （2、4），F （6， 3 4 ）三点的坐标代入表达式得： ???????= ++=++=34 6364240c b a c b a c 解得? ??? ? ? ???==-=092694c b a 2013中考一次函数应用题 1、（2013?十堰）张师傅驾车从甲地到乙地，两地相距500千米，汽车出发前油箱有油25升，途中加油若干升，加油前、后汽车都以100千米/小时的速度匀速行驶，已知油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）之间的关系如图所示．以下说法错误的是（） 2、（2013哈尔滨）梅凯种子公司以一定价格销售“黄金1号”玉米种子,如果一次购买10千克以上(不含l0千克)的种子，超过l0千克的那部分种子的价格将打折，并依此得到付款金额y(单位：元)与一次购买种子数量x（单位：千克)之间的函数关系如图所示．下列四种说法： ①一次购买种子数量不超过l0千克时，销售价格为5元/千克； ②一次购买30千克种子时，付款金额为100元； ③一次购买10千克以上种子时，超过l0千克的那部分种子的价格 打五折： ④一次购买40千克种子比分两次购买且每次购买20千克种子少花 25元钱． 其中正确的个数是( )． (A)1个 (B)2个 (C)3个 (D) 4个 3、（2013?孝感）如图，一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻 开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水 管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水 量y（单位：升）与时间x（单位：分）之间的部分关系．那么，从关闭进水管起 分钟该容器内的水恰好放完． 4、（2013?黄冈）钓鱼岛自古就是中国领土，中国政府已对钓鱼岛开展常态化巡 逻．某天，为按计划准点到达指定海域，某巡逻艇凌晨1：00出发，匀速行驶一 段时间后，因中途出现故障耽搁了一段时间，故障排除后，该艇加快速度仍匀速 前进，结果恰好准点到达．如图是该艇行驶的路程y（海里）与所用时间t（小时） 的函数图象，则该巡逻艇原计划准点到达的时刻是． 5、（2013?十堰）某商场计划购进A，B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的 （2）若商场规定B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的3倍，应怎样进货才能使商场在销售完这批台灯时获利最多？此时利润为多少元？ 精品文档 反比例函数练习题 一、填空题（每空3分，共42分） 1．已知反比例函数()0≠= k x k y 的图象经过点（2，－3），则k 的值是_______,图象在__________象限，当x>0时，y 随x 的减小而__________. 2.已知变量y 与x 成反比，当x =1时，y =－6,则当y = 3时，x=________。 3．若反比例函数y=(2m-1)2 2 m x -的图象在第一、三象限,则函数的解析式为___________. 4．已知反比例函数x m y )23(1 -= ，当m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内；当m 时，其图象在每个象限内y 随x 的增大而增大； 5.在函数（为常数）的图象上有三个点（-2，），(-1，)，（，）， 函数值，，的大小为； 6．已知111222(,),(,)P x y P x y 是反比例函数x k y = (k≠0)图象上的两点,且12x x <<0时,12y y < ,则k________。 7．已知正比例函数y=kx(k≠0),y 随x 的增大而减小,那么反比例函数y= k x ,当x< 0时,y 随x 的增大而_______. 8.已知y 1与x 成正比例(比例系数为k 1),y 2与x 成反比例(比例系数为k 2),若函数y=y 1+y 2 的图象经过点(1,2),(2, 1 2 ),则8k 1+5k 2的值为________. 9. 若m ＜－1，则下列函数：①()0 x x m y = ;② y =－mx+1; ③ y = mx; ④ y =(m + 1)x 中，y 随x 增大而增大的是___________。 10．当＞0,＜0时，反比例函数的图象在__________象限。 11．老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质，甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：y 随x 的增大而减小；丁：当2 二次函数综合题型精讲精练 主讲：姜老师 题型一：二次函数中的最值问题 例1：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点． （1）求抛物线y=ax 2+bx+c 的解析式； （2）若点M 是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM 的最小值． 解析：（1）把A （﹣2，﹣4），O （0，0），B （2，0）三点的坐标代入y=ax 2+bx+c 中，得 解这个方程组，得a=﹣，b=1，c=0 所以解析式为y=﹣x 2+x ． （2）由y=﹣x 2+x=﹣（x ﹣1）2+，可得 抛物线的对称轴为x=1，并且对称轴垂直平分线段OB ∴OM=BM ∴OM+AM=BM+AM 连接AB 交直线x=1于M 点，则此时OM+AM 最小 过点A 作AN ⊥x 轴于点N ， 在Rt △ABN 中，AB== =4 ， 因此OM+AM 最小值为 ． 方法提炼：已知一条直线上一动点M 和直线同侧两个固定点A 、B ，求AM+BM 最小值的问题，我们只需做出点A 关于这条直线的对称点A ’，将点B 与A ’连接起来交直线与点M ，那么A ’B 就是AM+BM 的最小值。同理，我们也可以做出点B 关于这条直线的对称点B ’，将点A 与B ’连接起来交直线与点M ，那么AB ’就是AM+BM 的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。 A A B B M 或者 M A ’ B ’ 例2：已知抛物线1C 的函数解析式为2 3(0)y ax bx a b =+-<，若抛物线1C 经过点(0,3)-，方程 230ax bx a +-=的两根为1x ，2x ，且124x x -=。 （1）求抛物线1C 的顶点坐标. （2）已知实数0x >，请证明：1x x + ≥2,并说明x 为何值时才会有1 2x x +=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线2C ，设1(,)A m y ，2(,)B n y 是2 C 上的两个不同点，且满足：0 90AOB ∠=，0m >，0n <.请你用含有m 的表达式表示出△AOB 的面积S ， 三、解答题 1．（2010浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形, 叫做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的图象与 x ,y 轴分别交于点A ,B ,则△OAB 为此函数的坐标三角形. （1）求函数y ＝43 -x ＋3的坐标三角形的三条边长； （2）若函数y ＝4 3 -x ＋b （b 为常数）的坐标三角形周长为16, 求此三角形面积. 【答案】 解：(1) ∵ 直线y ＝43 - x ＋3与x 轴的交点坐标为（4,0），与y 轴交点坐标为（0,3）， ∴函数y ＝4 3 -x ＋3的坐标三角形的三条边长分别为3,4,5. (2) 直线y ＝4 3 -x ＋b 与x 轴的交点坐标为（b 34,0），与y 轴交点坐标为（0,b ）， 当b >0时,163 534=++b b b ，得b =4，此时,坐标三角形面积为332 ； 当b <0时，163 534=---b b b ，得b =－4，此时,坐标三角形面积为332 . 综上,当函数y ＝43 -x ＋b 的坐标三角形周长为16时,面积为3 32． 2．（2010江西）已知直线经过点（1，2）和点（3，0），求这条直线的解读式. 【答案】解：设这直线的解读式是(0)y kx b k =+≠，将这两点的坐标（１，２）和（３， ０）代入，得2,30,k b k b +=?? +=?，解得1, 3, k b =-??=? 所以，这条直线的解读式为3y x =-+． 3．（2010北京）如图，直线y =2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B . ⑴ 求A ，B 两点的坐标； ⑵ 过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP =2OA ， 求ΔABP 的面积. A y O B x 第21题图 反比例函数 经典结论： 如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 1 2 AOB AOC S S k ??== ； (II ) OBAC S k =矩形。 下面两个结论是上述结论的拓展. (1) 如图①， OPA OCD S S ??=，OPC PADC S S ?=梯形。 (2)如图②， O A P B O B C S S =梯形梯形，BPE ACE S S ??=。 1.如图，已知双曲线(0)k y x x = >经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = ； 2.如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行线交双曲线 1 (0)y x x =>于C D 、两点，若2BD AC =，则224OC OD -= . 3.如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x y 6 =的图象交),(),,(2211y x B y x A ，那么 ))((1212y y x x --值为 . 4. 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x m y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ． (1) 求反比例函数x m y = 和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积． 5.如图，已知直线12y x =与双曲线(0)k y k x =>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4． （1）求k 的值； （2）若双曲线(0)k y k x = >上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k y k x =>于P Q ，两点（P 点在第一象限）， 若由点A B P Q ，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 反比例函数专题训练 专题一 1. 下列四个点，在反比例函数6 y x =图象上的是（ ） A ．(1，6-) B ．（2，4） C ．（3，2-） D ．（6-，1-) 2. 反比例函数6 y x =-的图象位于（ ） A ．第一、三象限 B ．第一、二象限 C ．第二、三象限 D ．第二、四象限 3. 函数的图象经过点(1，2)，则k 的值为 ____________ ． 4. 若x k y = 的图象分别位于第二、第四象限，则k 的取值范围是 . 5. 已知反比例函数x m y 2 3-=，当______m 时，其图象的两个分支在第一、三象限内； 6. 如果反比例函数x k y =的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（ ） A 第一、三象限 B 第一、二象限 C 第二、四象限 D 7. 正方形ABOC 的边长为2，反比例函数 k y x =过点A ，则k 的值是（ ） A ．2 B ．2- C ．4 D ．4- 8. 若反比例函数2 2 )12(--=m x m y 的图像在第二、四象限，则m 的值是（ A 、－1或1 B 、小于 2 1 的任意实数 C 、－1 Ｄ、不能确定 9. 下列函数中，图象位于第一、三象限的有 . （填序号） ①x y 21= ②x y 1.0= ③x y 2-= ④x y 1007-= 10.已知反比例函数x k y =的图象经过点P(一l ，2)，则这个函数的图象位于（ ） A ．第二、三象限 B ．第一、三象限 C ．第三、四象限 D ．第二、四象限 11.在一个可以改变体积的密闭容器内装有一定质量的 二氧化碳，当改变容器的体积时，气体的密度也会随之改变，密度 ρ（单位：kg/m 3）是体积V （单位：m 3）的反比例函数，它的图象 如图所示，当3 10m V =时，气体的密度是（ ） A ．5kg/m 3 B ．2kg/m 3 C ．1kg/m 3 D. 100kg/m 3 12.反比例函数 的图象经过点（2，1），则的值是 . 13. 若反比例函数x k y 3 -=的图象位于一、三象限内，正比例函数x k y )92(-=过二、四 x k y =x m y 1 += m 课时21．函数的综合应用（1） 【课前热身】 1．抛物线322--=x x y 与x 轴分别交于A 、B 两点，则AB 的长为________． 2．已知函数：（1）图象不经过第二象限；（2）图象经过（2，-5），请你写出一个同时满足（1）和（2）的函数_________________ 3．如图，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的 长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则 菜园的面积y （单位：米2）与x （单位：米）的函数关 系式为 ．（不要求写出自变量x 的取值范围） 4．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ） A ．正比例函数 B ．反比例函数 C ．一次函数 D ．二次函数 5．函数2y kx =-与k y x = （k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ） 【考点链接】 1．点A ()o y x ,0在函数c bx ax y ++=2的图像上.则有 . 2. 求函数b kx y +=与x 轴的交点横坐标，即令 ，解方程 ； 与y 轴的交点纵坐标，即令 ，求y 值 3. 求一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像的交点，解方程组 . 【典例精析】 例1如图（单位：m ），等腰三角形ABC 以2米/秒的速度沿直线L 向正方形移动， 直到AB 与CD 重合．设x 秒时，三角形与正方形重叠部分的面积为ym 2． ⑴ 写出y 与x 的关系式； ⑵ 当x=2，3.5时，y 分别是多少？ ⑶ 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时，三角形移动了多长时间？求 抛物线顶点坐标、对称轴. 例2 如右图，抛物线n x x y ++-=52经过点)0,1(A ，与y 轴交于点B. （1）求抛物线的解析式； （2）P 是y 轴正半轴上一点，且△PAB 是等腰三角形，试求点P 的坐标. A B C D （第3题） 菜园 墙 反比例函数压轴题类型 一、反比例函数与几何图形的综合 1、反比例函数与求四边形面积、存在性问题（正方形） 26. (历下区一模、本题满分9分) 如图，正比例函数y ＝ax 与反比例函数＞0)的图象交于点M （6，6）． (1)求这两个函数的表达式；(2)如图1，若∠AMB ＝90°，且其两边分别于两坐标轴的正半轴交于点A 、B ．求四边形OAMB 的面积．(3)如图2，点P 是反比例函数y ＝k x (x ＞0)的图象上一点，过点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，PF 交直线OM 于点H ，过作x 轴的垂线，垂足为G ．设点P 的横坐标为m ，当m ＞6时，是否存在点P ，使得四边形PEGH 为正方形？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． 26．解：（1）将点 分 解得：a ＝1 ，k ＝6 2分 ∴这两个函数的表达式分别为：y ＝x 3分（2）过点M 分别做x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为C 、D . 则∠MCA ＝∠MDB ＝90°，∠AMC ＝∠BMD ＝90°－∠AMD ，MC ＝MD ＝6， ∴△AMC ≌△BMD ，…5分∴S 四边形OCMD ＝S 四边形OAMB ＝6，…6分 ∵∠MOE ＝45°，∴OG ＝GH ， ∴OE ＝ OG ＋GH ∴2x 8分 P 3）. …9分 2、反比例函数与判断平行四边形、存在性问题（矩形） 26. (市中区一模、本题满分9分)如图1，已知双曲线y ＝k x （k ＞0）与直线y ＝k ′x 交于A 、B 两点，点A 在第一象限，试回答下列问题：（1）若点A 的坐标为（3，1），则点B 的坐标 反比例函数专题训练（含答案） 一、填空题 1.图象经过点（-2，5）的反比例函数的解析式是 . 2.已知函数3 22 )2(---=m m x m y 是反比例函数，且图象在第一、三象限内，则=m . 3.反比例函数)0(≠= k x k y 的图象叫做 .当k >0时，图象分居第 象限，在每个象限内y 随x 的增大而 ；当k <0时，图象分居第 象限，在每个象限内y 随x 的增大而 . 4.反比例函数x y 5= ，图象在第 象限内，函数值都是随x 的增大而 . 5.若变量y 与x 成反比例，且x=2时，y=-3，则y 与x 之间的函数关系式是 ，在每个象限内函数值y 随x 的增大而 . 6.已知函数x m y = ，当2 1 -=x 时，6=y ，则函数的解析式是 . 7.在函数x k y 22--=（k 为常数）的图象上有三个点（-2，y 1），(-1，y 2)，（2 1 ，y 3）， 函数值y 1，y 2，y 3的大小为 . 8．如图，面积为3的矩形OABC 的一个顶点B 在反比例函数x k y =的图象上，另三点在坐标轴上，则k= . 9.反比例函数x k y = 与一次函数y=kx+m 的图象有一个交点是（-2，1），则它们的另一个交点的坐标是 . 10.已知反比例函数x k y 2= 的图象位于第二、四象限，且经过点（k-1,k+2），则k= . 二、选择题 11.平行四边形的面积不变，那么它的底与高的函数关系是（ ） A.正比例函数 B.反比例函数 C.一次函数 D.二次函数 12.下列函数中，反比例函数是（ ） A.2x y - = B.x y 2-= 10 y(元) x(千克) 40 30 30 20 (4)y=5x-3 (3)y=x-3 (2)y=4x (1)y=-3x+1 一次函数复习 考点1：一次函数的概念 1、下列函数中，不是一次函数的是 ( ) A、 6 x y= B、x y- =1 C、 x y 10 = D、()1 2- =x y 2、若函数是一次函数，则 m= 。 3、若函数是正比例函数，则n= 。 4、若一次函数的图象经过一、二、三象限，则 m的取值范围 是。 5、思考：一次函数图象是什么？图象有什么性质？ 考点 1 2 其中过原点的直线是________； 函数y随x的增大而增大的是__________； 函数y随x的增大而减小的是___________ 图象在第一、二、三象限的是________ 3、根据下列一次函数y=kx+b(k≠0)的草图回答出各图中k、b的符号： 考点3：用待定系数法求函数解析式 1、已知一次函数y = k x+b，当x=2时, y=－１，当x=０时, y=３，求这个一次函数的解 析式. 2、如图,求直线的解析式?。 考点4：一次函数的应用 1、（2007年成都）火车站托运行李费用与托运行李的重量关系如图所示。 （1）当x=30时，y=_______; 当x=_______,y=30。 （2）你能确定该关系所在直线的函数解析式吗？ （3）当货物不超过千克，可免费托运。 1 23- =+m x y ()1 3- + - =n x y ()3 1+ + =x m y 会员卡租书卡y(元)x(天)50201000 )2、（2007南京）某图书馆开展两种方式的租书业务：一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡。使用这两种卡租书，租书金额y （元）与租书时间x （天）之间的关系如图所示。 （1）分别求租书卡和会员卡租书的金额y （元）与租书时间x （天）之间的函数关系式； （2）两种租书方式每天租书的收费分别是多少元？ 拓展延伸： 1、我国很多城市水资源缺乏，为了加强居民的节水意识，雉城镇制定了每月用水4吨以内（包括4吨）和用水4吨以上两种收费标准（收费标准：指每吨水的价格），用户每月应交水费y （元）是用水量x （吨）的函数，其函数图象如图所示。 （1）观察图象，求出函数在不同范围内的解析式； 说出自来水公司在这两个用水范围内的收费标准； （2）若一用户5月份交水费12.8元，求他用了多少吨水？ 2、（2006南平）近期，海峡两岸关系的气氛大为改善。大陆相关部门于2005年8月1日起对原产台湾地区的15种水果实施进口零关税措施,扩大了台湾水果在大陆的销售。 : ①写出y 与x 间的函数关系式； ②如果凤梨的进价是20元/千克，某天的销售价定为30元/千克，问这天的销售利润是多少？ ③目前两岸还未直接通航,运输要绕行,需耗时一周(七天),凤梨最长的保存期为一个月(30天),若每天售价不低于30元/千克,问一次进货最多只能是多少千克? 中考数学函数之一次函数和反比例函数综 合问题压轴题专题Revised on November 25, 2020 《中考压轴题全揭秘》三年经典中考压轴题 函数之一次函数和反比例函数综合问题 1.（2014年福建泉州14分）如图，直线y =﹣x +3与x ，y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数的图象交于点P （2，1）． （1）求该反比例函数的关系式； （2）设PC ⊥y 轴于点C ，点A 关于y 轴的对称点为A ′； ①求△A ′BC 的周长和sin ∠BA ′C 的值； ②对大于1的常数m ，求x 轴上的点M 的坐标，使得sin ∠BMC = 1m ． 2.（2014年黑龙江牡丹江10分）如图，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，直线CD 与x 轴、y 轴分别交于点C ，D ，AB 与CD 相交于点E ，线段OA ，OC 的长是一元二次方程x 2﹣18x +72=0的两根（OA ＞OC ），BE =5，tan ∠ABO =4 3． （1）求点A ，C 的坐标； （2）若反比例函数y = k x 的图象经过点E ，求k 的值； （3）若点P 在坐标轴上，在平面内是否存在一点Q ，使以点C ，E ，P ，Q 为顶点的四边形是矩形若存在，请写出满足条件的点Q 的个数，并直接写出位于x 轴下方的点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 3.（2014年江苏淮安12分）如图，点A （1，6）和点M （m ，n ）都在反比例函数k y x =（x ＞0）的图象上， （1）k 的值为 ； （2）当m =3，求直线AM 的解析式； （3）当m ＞1时，过点M 作MP ⊥x 轴，垂足为P ，过点A 作AB ⊥y 轴，垂足为B ，试判断直线BP 与直线AM 的位置关系，并说明理由． 4.（2014年山东枣庄10分）如图，一次函数y =ax +b 与反比例函数k y x =的图象交于A 、B 两点，点A 坐标为（m ，2），点B 坐标为（﹣4，n ），OA 与x 轴正半轴夹角的正切值为1 3 ，直线AB 交y 轴于点C ，过C 作y 轴 的垂线，交反比例函数图象于点D ，连接OD 、B D ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求四边形OCBD 的面积． 5. （2014年四川巴中10分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形DOBC 是矩形，且D （0，4），B （6，0）．若反比例函数1 k y x = （x ＞0）的图象经过线段OC 的中点A ，交DC 于点E ，交BC 于点F ．设直线EF 的解析式为2y k x b =+．（1）求反比例函数和直线EF 的解析式； （2）求△OEF 的面积； （3）请结合图象直接写出不等式1 2k k x b >0x +- 的解集． 一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图．一次函数y=x+b的图象经过点B（﹣1，0），且与反比例函数（k为不等 于0的常数）的图象在第一象限交于点A（1，n）．求： （1）一次函数和反比例函数的解析式； （2）当1≤x≤6时，反比例函数y的取值范围． 【答案】（1）解：把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b得： 0=﹣1+b， ∴b=1， ∴一次函数解析式为：y=x+1， ∵点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上， ∴n=1+1， ∴n=2， ∴点A的坐标是（1，2）． ∵反比例函数的图象过点A（1，2）． ∴k=1×2=2， ∴反比例函数关系式是：y= （2）解：反比例函数y= ，当x＞0时，y随x的增大而减少，而当x=1时，y=2，当x=6时，y= ， ∴当1≤x≤6时，反比例函数y的值：≤y≤2 【解析】【分析】（1）根据题意首先把点B（﹣1，0）代入一次函数y=x+b求出一次函数解析式，又点A（1，n）在一次函数y=x+b的图象上，再利用一次函数解析式求出点A的坐标，然后利用代入系数法求出反比例函数解析式，（2）根据反比例函数的性质分别求出当x=1，x=6时的y值，即可得到答案． 2．如图，反比例函数y= 的图象与一次函数y= x的图象交于点A、B，点B的横坐标是 4．点P是第一象限内反比例函数图象上的动点，且在直线AB的上方． （1）若点P的坐标是（1，4），直接写出k的值和△PAB的面积； （2）设直线PA、PB与x轴分别交于点M、N，求证：△PMN是等腰三角形； （3）设点Q是反比例函数图象上位于P、B之间的动点（与点P、B不重合），连接AQ、BQ，比较∠PAQ与∠PBQ的大小，并说明理由． 【答案】（1）解：k=4，S△PAB=15． 提示：过点A作AR⊥y轴于R，过点P作PS⊥y轴于S，连接PO， 设AP与y轴交于点C，如图1， 把x=4代入y= x，得到点B的坐标为（4，1）， 把点B（4，1）代入y= ，得k=4． 解方程组，得到点A的坐标为（﹣4，﹣1）， 则点A与点B关于原点对称， ∴OA=OB， ∴S△AOP=S△BOP， ∴S△PAB=2S△AOP． 设直线AP的解析式为y=mx+n， 把点A（﹣4，﹣1）、P（1，4）代入y=mx+n， 求得直线AP的解析式为y=x+3， 则点C的坐标（0，3），OC=3， ∴S△AOP=S△AOC+S△POC = OC?AR+ OC?PS = ×3×4+ ×3×1= ， ∴S△PAB=2S△AOP=15； 初三中考函数综合题汇总 抛物线bx ax y +=2 （0≠a ）经过点)4 91(，A ，对称轴是直线2=x ，顶点是D ，与x 轴正半轴的交点为点B ． 【2013徐汇】 （1）求抛物线bx ax y +=2 （0≠a ）的解析式和顶点D 的坐标； （6分） （2）过点D 作y 轴的垂线交y 轴于点C ，点M 在射线BO 上，当以DC 为直径的⊙N 和 以MB 为半径的⊙M 相切时，求点M 的坐标． （6分） 【2013奉贤】如图，已知二次函数mx x y 22 +-=的图像经过点B （1,2），与x 轴的另一个交点为A ，点B 关于抛物线对称轴的对称点为C ，过点B 作直线BM ⊥x 轴垂足为点M ． （1）求二次函数的解析式； （2）在直线BM 上有点P （1， 2 3），联结CP 和CA ，判断直线CP 与直线CA 的位置关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E ，使得以A 、C 、P 、E 为 顶点的四边形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E 的坐标； 若不存在，请说明理由。 第24题 【2013长宁】如图，直线AB 交x 轴于点A ，交y sin ∠ABO= 5 3 ，抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 、B 、C （1）求直线AB 和抛物线的解析式； （2）若点D （2，0），在直线AB 上有点P △ADP 相似，求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，以A 为圆心，AP 再以D 为圆心，DO 长为半径画⊙D ，判断⊙A 置关系，并说明理由. 【2013嘉定】已知平面直角坐标系xOy （如图7），抛物线c bx x y ++= 2 2 1经过点)0,3(-A 、)2 3,0(-C . （1）求该抛物线顶点P 的坐标； （2）求CAP ∠tan 的值； （3）设Q 是（1）中所求出的抛物线的一个动点， 点Q 的横坐标为t ， 当点Q 在第四象限时，用含t 的代数式表示 △QAC 的面积. 【2013金山】以点P 为圆心PO 长为半径作圆交 x 轴交于点A 、O 两点，过点A 作直线AC 交 y 轴于点C ,与圆P 交于点B ， 5 3 sin = ∠CAO (1) 求点C 的坐标； (2) 若点D 是弧AB 的中点，求经过A 、D 、 O 三点的抛物线)0(2≠++=a c bx ax y 的解析 式； (3) 若直线)0(≠+=k b kx y 经过点 )0,2(M ，当直线)0(≠+=k b kx y 与圆P 相交时，求b 的取值范围． 图7 §3.2一次函数 A组2015年全国中考题组 一、选择题 1．(2015·四川泸州，10，3分)若关于x的一元二次方程x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根，则一次函数y＝kx＋b的大致图象可能是() 解析∵x2－2x＋kb＋1＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4－4(kb＋1)＞0，解得kb＜0， A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确； B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确； C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确； D．k<0，b＝0，即kb＝0，故D不正确． 答案B 2．(2015·山东潍坊，5，3分)若式子k－1＋(k－1)0有意义，则一次函数y＝(k －1)x＋1－k的图象可能是() k －1＋(k －1)0 有意义，∴? 的汽油大约消耗了1，可得：1 ×60÷100＝0.12(L/km)，60÷0.12＝500(km)，所 解析 ∵式子 ??k －1≥0， ??k －1≠0， 解得 k >1，∴k －1>0，1－k <0，∴一次函数 y ＝(k －1)x ＋1－k 的图象可能是 A. 答案 A 3．(2015· 山东济南，6，3 分)如图，一次函数 y 1＝x ＋b 与一次函数 y 2＝kx ＋4 的图象交于点 P(1，3)， 则关于 x 的不等式 x ＋b >kx ＋4 的解集是 ( ) A ．x >－2 C ．x >1 B ．x >0 D ．x <1 解析 当 x >1 时，x ＋b >kx ＋4，即不等式 x ＋b >kx ＋4 的解集为 x>1. 答案 C 4．(2015· 四川广安，9，3 分)某油箱容量为 60 L 的汽车，加满汽油后行驶了 100 1 km 时，油箱中的汽油大约消耗了5，如果加满汽油后汽车行驶的路程为 x km ， 油箱中剩油量为 y L ，则 y 与 x 之间的函数解析式和自变量 x 的取值范围分别 是 ( ) A ．y ＝0.12x ，x ＞0 B ．y ＝60－0.12x ，x ＞0 C ．y ＝0.12x ，0≤x ≤500 D ．y ＝60－0.12x ，0≤x ≤500 解析 因为油箱容量为 60 L 的汽车，加满汽油后行驶了 100 km 时，油箱中 5 5 以 y 与 x 之 间 的 函 数 解 析 式 和 自 变 量 x 的 取 值 范 围 是 ： y ＝ 60 － 1.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线224y mx m m x -++=与y 轴交于点A （0,3），与x 轴交于点B ，C （点 B 在点 C 左侧）. （1）求该抛物线的表达式及点B ，C 的坐标； （2）抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，若直线y kx b =+经过点D 和点E (1,2)--，求直线DE 的表达式； （3）在（2）的条件下，已知点P （t ，0），过点P 作垂直于x 轴的直线交抛物线于点M ，交直线DE 于点N ，若点M 和点N 中至少有一个点在x 轴下方，直接写出t 的取值范围． 2.已知一次函数1y kx b =+（k ≠0）的图象经过(2,0)，(4,1)两点，二次函数2 224y x ax =-+（其中a ＞2）． （1）求一次函数的表达式及二次函数图象的顶点坐标（用含a 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题： ①若2 5 = a ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时的自变量x 的取值范围内恰有一个整数，直接写出a 的取值范围． 3.在平面直角坐标系中，抛物线2+3 y ax bx =+与x 轴交于点A （-3,0）、B （1,0）两点， D 是抛 物线顶点，E 是对称轴与x 轴的交点. (1)求抛物线的解析式; (2)若点F 和点D 关于x 轴对称, 点P 是x 轴上的一个动点，过点P 作PQ ∥OF 交抛物线于点Q ，是否存在以点O ,F ,P ,Q 为顶点的平行四边形？若存在，求出点P 坐标;若不存在，请说明理由. 4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 经过 ， 两点. （1）求抛物线及直线AB 的解析式； （2）点C 在抛物线上，且点C 的横坐标为3．将抛物线在 点A ，C 之间的部分（包含点A ，C ）记为图象G ，如果图象G 沿y 轴向上平移（）个单位后与直线 AB 只有一个公共点，求的取值范围． 5.已知关于x 的方程()2 31220mx m x m --+-=． （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根； （2）若关于x 的二次函数()2 3122y mx m x m =--+-的图象经过坐标原点，得到抛物线1C ．将抛物线 1C 向下平移后经过点()0,2A -进而得到新的抛物线2C ,直线l 经过点A 和点()2,0B ，求直线l 和抛物线 2C 的解析式； （3）在直线l 下方的抛物线2C 上有一点C ，求点C 到直线l 的距离的最大值． 中考数学一次函数有关的试题精选 1．（2010山东德州）某游泳池的横截面如图所示，用一水管向池内持续注水，若单位时间内注入的水量保持不变，则在注水过程中，下列图象能反映深水区水深h与注水时间t关系的是 （Ａ）（Ｂ）（Ｃ）（Ｄ） 【答案】A 2( 2010重庆市)小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家。下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（） 答案：B 3（2010年浙江省东阳县）汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是（） 【答案】A 4（2010年四川省眉山）某洗衣机在洗涤衣服时经历了注水、清洗、排水三个连续过程（工作前洗衣机内无水），在这三个过程中洗衣机内水量y（升）与时间x（分）之间的函数关系对应的图象大致为 【答案】D (A) (B) (C) (D) t h O t h O t h O h t O 深 水 区 浅水区O y x O x y O y x O x y 5．(2010年安徽省芜湖市)要使式子 a＋2 a 有意义，a的取值范围是（） A．a≠0 B．a＞－2且a≠0 C．a＞－2或a≠0 D．a≥－2且a≠0 【答案】D 6 (2010重庆市潼南县)已知函数y= 1 1 - x 的自变量x取值范围是（）A．x﹥1 B．x﹤-1 C. x≠-1 D. x≠1 答案：C 7．(2010重庆市)小华的爷爷每天坚持体育锻炼，某天他慢步到离家较远的绿岛公园，打了一会儿太极拳后跑步回家。下面能反映当天小华的爷爷离家的距离y与时间x的函数关系的大致图象是（） 答案：B 8．（2010年浙江台州市）函数 x y 1 - =的自变量x的取值范围是▲ ． 【答案】0 ≠ x 9．（2010年益阳市）如图2，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是 Ａ． B． C． D．【答案】A 10．（2010江苏泰州，13，3分）一次函数b kx y+ =（k为常数且0 ≠ k）的图象如图所示，则使0 > y成立的x的取值范围为． 火车隧道 o y x o y x o y x o y x 2 图 2014中考数学一次函数图像与应用题汇总 （鄂州）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，如图，线段OA 表示货车离甲地距离y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系；折线BCD 表示轿车离甲地距离y （千米）与x （小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题： （1）轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？ （2）求线段CD 对应的函数解析式． （3）轿车到达乙地后，马上沿原路以CD 段速度返回，求轿车从甲地出发后多长时间再与货车相遇（结果精确到0.01）． （?黄石）一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车 从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离 甲地的距离为 1y 千米，出租车离甲地的距离为2y 千米，两车行驶的时间为x 小时，1y 、 2y 关于x 的函数图像如右图所示： （1）根据图像，直接写出 1y 、2y 关于x 的函数关系式； （2）若两车之间的距离为S 千米，请写出S 关于x 的函数关系式； （3）甲、乙两地间有A 、B 两个加油站，相距200千米，若客车进入A 加油站时，出租车恰好进入 B 加油站，求A 加油站离甲地的距离. （长春）甲、乙两工程队维修同一段路面，甲队先清理路面，乙队在甲队清理后铺设路面．乙队在中途停 工了一段时间，然后按停工前的工作效率继续工作．在整个工作过程中，甲队清理完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为线段OA ，乙队铺设完的路面长y （米）与时间x （时）的函数图象为折线BC -CD -DE ，如图所示，从甲队开始工作时计时． （1）分别求线段BC 、DE 所在直线对应的函数关系式． （2）当甲队清理完路面时，求乙队铺设完的路面长． ) 1. 如图已知一次函数Y ＝kX ＋b 的函数图象与反比例函数Y ＝－ 8 x 的图象相交于A ，B 两点，其中A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为2。①求一次函数的解析式；②求三角形△AOB 的面积；③在y 轴上是否存在点P 使△OAP 为等腰三角形，若存在，请求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 2.如图，直线y ＝kx +2k (k ≠0)与x 轴交于点B ，与双曲线y ＝(m +5)x 2m +1交于点A 、C ，其中点A 在第一象限，点C 在第三象限.（1）求双曲线的解析式；（2）求B 点的坐标；（3）若S △AOB ＝2，求A 点的坐标；（4）在（3）的条件下，在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 是等腰三角形？若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由. 3. 一次函数的图象与反比例函数的图象交于A ，B 两点，与x 轴交于点C ，过A 作AD ⊥x 轴于D ，若OA ＝ 5，AD ＝21OD ，点B 的横坐标为2 1 （1）求A 点的坐标及反比例函数 的解析式：（2）求一次函数的解析式及△AOB 的面积（3）在反比例函数的图象上是否存在 点P 使△OAP 为等腰三角形，若存在，请写出P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 4. 如图，正比例函数 x y 21= 与反比例函数x k y =的图象相交于A 、B 两点，过B 作x BC ⊥轴，垂足为C ，且△BOC 的面积等于4.（1）求k 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）在x 轴的正半轴上是否存在一点P ，使得△POA 为直角三角形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由 642 -2-4 -5 5 B A O Y X f x () = -8x x A y O D C B 中考数学复习函数的综合应用练习【回忆与摸索】 函数应用 1.: 2.: 3.: 4. ? ? ? ? ? ?? 一次函数图像及性质 二次函数图像及性质 反比例函数图像及性质 综合应用 【例题经典】 一次函数与反比例函数的综合应用 例1（2006年南充市）已知点A（0，-6），B（-3，0），C（m，2）三点在同一直线上，试求出图象通过其中一点的反比例函数的解析式并画出其图象．（要求标出必要的点，?可不写画法）． 【点评】本题是一道一次函数和反比例函数图象和性质的小综合题，题目设计新颖、巧妙、难度不大，但能专门好地考查学生的差不多功． 一次函数与二次函数的综合应用 例2（2005年海门市）某校八年级（1）班共有学生50人，据统计原先每人每年用于购买饮料的平均支出是a元．经测算和市场调查，?若该班学生集体改饮某品牌的桶装纯洁水，则年总费用由两部分组成，一部分是购买纯洁水的费用，另一部分是其他费用780元，其中，纯洁水的销售价（元/桶）与年购买总量y（桶）之间满足如图所示关系．（1）求y与x的函数关系式； （2）若该班每年需要纯洁水380桶，且a为120时，请你依照提供的信息分析一下：?该班学生集体改饮桶装纯洁水与个人买材料，哪一种花钱更少？ （3）当a至少为多少时，该班学生集体改饮桶装纯洁水一定合算？从运算结果看，?你有何感想（不超过30字）？ 【点评】这是一道与学生生活实际紧密联系的试题，由图象可知，一次函数图象通过点（4，400）、（5，320）可确定y与x关系式，同时这也是一道确定最优方案题，可利用 函数知识分别比较学生个人购买饮料与改饮桶装纯洁水的费用，分析优劣． 二次函数与图象信息类有关的实际应用问题 例3一蔬菜基地种植的某种绿色蔬菜，依照今年的市场行情，估量从5月1?日起的50天内，它的市场售价y1与上市时刻x的关系可用图（a）的一条线段表示；?它的种植成本y2与上市时刻x的关系可用图（b）中的抛物线的一部分来表示． （1）求出图（a）中表示的市场售价y1与上市时刻x的函数关系式． （2）求出图（b）中表示的种植成本y2与上市时刻x的函数关系式． （3）假定市场售价减去种植成本为纯利润，问哪天上市的这种绿色蔬菜既不赔本也不赚钱？ （市场售价和种植成本的单位：元/千克，时刻单位：天） 【点评】本题是一道函数与图象信息有关的综合题．学生通过读题、读图．从题目已知和图象中猎取有价值的信息，是问题求解的关键． 【考点精练】 基础训练 1．在函数y=2 x ，y=x+5，y=x2的图象中是中心对称图形，且对称中心是原点的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个2．下列四个函数中，y随x的增大而减少的是（） A．y=2x B．y=-2x+5 C．y=-3 x D．y=-x2-2x-1 3．函数y=ax2-a与y=a x （a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（） 4．函数y=kx-2与y=k x （k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（）最新中考数学一次函数应用题
最新中考之反比例函数填空选择压轴题
中考之反比例函数填空选择压轴题
1、（2011?宁波）正方形的 A1B1P1P2 顶点 P1、P2 在反比例函数 y= 2 （x＞0）的图象上，顶 x
点 A1、B1 分别在 x 轴、y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形 P2P3A2B2，顶点 P3 在反比例函
数 y= 2 （x＞0）的图象上，顶点 A2 在 x 轴的正半轴上，则 P2 点的坐标为___________，则 x
点 P3 的坐标为__________。 2、已知关于 x 的方程 x2+3x+a=0 的两个实数根的倒数和等于 3，且关于 x 的方程（k-1）
x2+3x-2a=0
有实根，且
k
为正整数，正方形
ABP1P2
的顶点
P1、P2
在反比例函数
y=
k
? 1（x x
＞0）图象上，顶点 A、B 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，求点 P2 的坐标．
3、如图，正方形 OABC 和正方形 AEDF 各有一个顶点在一反比例函数图象上，且正方形
OABC 的边长为 2．（1）求反比例函数的解析式；（2）求点 D 的坐标．
4、两个反比例函数
y=
3 x
，y=
6 x
在第一象限内的图象如图所示，点
P1、P2
在反比例函数图象
上，过点 P1 作 x 轴的平行线与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N，若点 N（m，n）恰好在
y=
3 x
的图象上，则
NP1
与
NP2
的乘积是______。
4、两个反比例函数
y=
3 x
，y=
6 x
在第一象限内的图象如图所示，点
P1、P2
在反比例函数图
象上，过点 P1 作 x 轴的平行线与过点 P2 作 y 轴的平行线相交于点 N，若点 N（m，n）恰好
在
y=
3 x
的图象上，则
NP1
与
NP2
的乘积是______。
5、2007?泰安）已知三点
P1（x1，y1），P2（x2，y2），P3（1，-2）都在反比例函数
y=
k x
的
图象上，若 x1＜0，x2＞0，则下列式子正确的是（ ）
A．y1＜y2＜0
B．y1＜0＜y2
C．y1＞y2＞0
D．y1＞0＞y2
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