第五章相交线与平行线 5.1 相交线 5.1.2 垂线1.如图所示,点P到直线l的距离是线段的长度.
2.如图,BC⊥AC,AC=4,BC=3,AB=5,则点B到AC的距离是,点A 到BC的距离是,A、B间的距离为 .
3.如图,直线AB、CD交于点O,OE为射线,若∠1=30°,∠2=60°,则OE 与AB的位置关系是,记作,理由是.
4.如图,直线AB、CD相交于点O,EO⊥AB于点O,∠EOD=50°,则∠BOC的度数为 .
5.如图,因为∠AOC=,所以AB⊥CD.
6. 如图,想在河堤两岸搭建一座桥,搭建方式最短的是,理由是 .
7.如图,P为直线l外一点,A、B、C为直线l上不同的三点,PB⊥l于B,下列说法正确的是( )
A.PA>PB>PC B.PA<PB<PC
C.PA<PC D.PA、PB、PC中,PB最小
8.如图,AB⊥AC,AD⊥BC,垂足分别为A、D,则图中能表示点到直线距离的线段共有( )
A.2条B.3条 C.4条 D.5条
9.如图,已知OA⊥OB,OC⊥OD,∠AOC=27°,则∠BOD的度数是( ) A.150°B.153° C.155° D.160°
10.如图所示,直线l1与l2相交于点O,OM⊥l1,若∠α=44°,则∠β等于( ) A.50°B.48° C.46° D.40°
11. 如图,已知ON⊥a,OM⊥a,所以OM与ON重合的理由是( )
A.在同一平面内,过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B.过两点确定一条直线
C.过两点能作一条垂线
D.两点之间线段最短
12. 如图,直线EF、CD相交于点O,OA⊥OB,且OD平分∠AOF,∠BOE=2∠AOE.求∠AOD、∠BOC和∠COF的度数.
13.如图:
(1)过点A 画BC 的垂线,垂足为E ; (2)过点B 画AD 的垂线,垂足为F ; (3)过点C 画AD 的垂线,垂足为G ;
(4)线段AE 、AB 、AD 三者中最短的是哪一条,其依据是什么?
14. 如图所示,直线AB 、CD 相交于点O ,OM ⊥AB. (1)若∠1=∠2,求∠NOD 的度数; (2)若∠1=1
4
∠BOC ,求∠BOD 的度数.
15. 如图,一辆汽车在直线形的公路AB上由A向B行驶,M、N是分别位于AB 两侧的村庄.
(1)设汽车行驶到公路AB上点P的位置时,距离村庄M最近,行驶到点Q的位置时,距离村庄N最近,请在图中的公路上分别画出P、Q的位置(保留画图痕迹);
(2)当汽车从A出发向B行驶时,在公路AB的哪一段路上距离M、N两村庄都越来越近?在哪一段路上距离村庄N越来越近,而距离村庄M却越来越远?
答案; 1. PB
2. 3 4 5
3. 垂直 OE⊥AB 垂直定义
4. 140°
5. 90°
6. PN 垂线段最短
7. D
8. D
9. B 10. C 11. A
12. 解:∵OA ⊥OB ,∴∠AOB =90°,∴∠AOE +∠BOE =90°, 又∵∠BOE =2∠AOE ,∴∠AOE =90°×1
3
=30°,
∴∠AOF =180°-∠AOE =150°,又∵OD 平分∠AOF ,∴∠AOD =1
2∠AOF =75°,
∠BOC =180°-∠AOD -∠AOB =180°-75°-90°=15°,
∵∠DOE =∠AOD +∠AOE =75°+30°=105°,∴∠COF =∠DOE =105°. 13. 解:(1)(2)(3)如图
(4)三条线段中最短的是线段AE ,其依据是“垂线段最短”.
14. 解:(1)∵∠1+∠AOC =90°,而∠1=∠2,∴∠2+∠AOC =90°, ∴∠NOD =90°;
(2)设∠1的度数为x,则∠BOC的度数为4x,由∠BOC-∠1=90°得3x=90°,∴x=30°,∴∠BOD=180°-30°-90°=60°.
15. 解:(1)P、Q的位置如图所示
(2)在AP段距离M、N两村庄都越来越近,在PQ段距离村庄N越来越近,而距离村庄M却越来越远.
第五章相交线与平行线专题复习 【知识要点】 1.两直线相交 2.邻补角:有一条公共边,另一条边互为反向延长线的两个角互为邻补角。 3.对顶角 (1)定义:有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线,这样的两个角互为对顶角 (或两条直线相交形成的四个角中,不相邻的两个角叫对顶角) 。 (2)对顶角的性质:对顶角相等。 4.垂直定义:当两条直线相交所形成的四个角中,有一个角是90°那么这两条线互相垂直。 5.垂线性质:①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;②垂线段最短。 6.平行线的定义:在同一平面内,不相交的两条直线叫平行线,“平行”用符号“∥”表示,如直线a,b 是平行线,可记作“a∥b” 7.平行公理及推论 (1)平行公理:过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。 (2)推论:如果两条直线都与第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行。 注: (1)平行公理中的“有且只有”包含两层意思:一是存在性;二是唯一性。 (2)平行具有传递性,即如果a∥b,b∥c,则a∥c。 8.两条直线的位置关系:在同一平面内,两条直线的位置关系有相交和平行。 9.平行线的性质: (1)两直线平行,同位角相等(在同一平面内) (2)两直线平行,内错角相等(在同一平面内) (3)两直线平行,同旁内角互补(在同一平面内) 10.平行线的判定 (1)同位角相等,两直线平行;(在同一平面内) (2)内错角相等,两直线平行;(在同一平面内) (3)同旁内角互补,两直线平行;(在同一平面内) (4)如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行; 补充: (5)平行的定义;(在同一平面内) (6)在同一平面内 ......,垂直于同一直线的两直线平行。 11.平移的定义及特征 定义:将一个图形向某个方向平行移动,叫做图形的平移。 特征:①平移前后的两个图形形状、大小完全一样; ②平移前与平移后两个图形的对应点连线平行且相等。 【典型例题】 考点一:对相关概念的理解 对顶角的性质,垂直的定义,垂线的性质,点到直线的距离,垂线性质与平行公理的区别等 例1:判断下列说法的正误。 (1)对顶角相等; (2)相等的角是对顶角; (3)邻补角互补; (4)互补的角是邻补角; (5)同位角相等; (6)内错角相等; (7)同旁内角互补;
第一讲:相交线 教学目标: 1、了解对顶角与邻补角的概念,能从图中辨认对顶角和邻补角,掌握对顶角相等的性质。 2、了解垂线、垂线段、点到直线的距离等概念,掌握垂线的性质及垂线段的性质。 3、掌握同位角、内错角、同旁内角的概念。 知识点讲解: 知识点一:相交线 例1、下面是一把剪刀,你能联想到什么几何图形? 两条直线相交,如图。 上图中两条相交直线形成的四个角中,两两相配共能组成六对角,即: ∠1和∠2、∠1和∠3、∠1和∠4、∠2和∠3、∠2和∠4、∠3和∠4。 量一量各个角的度数,你能将上面的六对角分类吗? 可分为两类:∠1和∠2、∠1和∠4、∠2和∠3、∠3和∠4为一类,它们的和是1800 ;∠1和∠3、∠2和∠4为二类,它们相等。 第一类角有什么共同的特征? 一条边公共,另一条边互为反向延长线。 具有这种关系的两个角,互为邻补角。 讨论:邻补角与补角有什么关系? 邻补角是补角的一种特殊情况,数量上互补,位置上有一条公共边,而互补的角与位置无关。 第二类角有什么共同的特征? 有公共的顶点,两边互为反向延长线。 具有这种位置关系的角,互为对顶角。 思考:下列图形中,∠1和∠2是对顶角的是〔 〕 A B C D 注意:对顶角形成的前提条件是两条直线相交,而邻补角不一定是两条直线相交形成的;每个角的对顶角只有一个,而每个角的邻补角有两个。 例2、对顶角的性质 在用剪刀剪布片的过程中,随着两个把手之间的角逐渐变小,剪刀刃之间的角也相应变小,直到剪开布片。在这过程中,两个把手之间的角与剪刀刃之间的角有什么关系? 为了回答这个问题,我们先来研究下面的问题。 如图,直线AB 和直线CD 相交于点O ,∠1和∠3有什么关系?为什么? ∠1和∠3相等。 1 2 3 4 O B A C D 1 2 3 4 O B A C D 1 2 1 2 1 2 1 2
第五章相交线与平行线 5.1相交线 5.1.1 相交线 邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表: 注意点: (1)对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角; (2)如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角; (3)如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角; (4)两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个. 例:如图,三条直线交于一点,任意找出图中的四对对顶角. 错解:如图,对顶角为:(1)∠AOC 与∠BOD ; (2)∠AOF 与∠BOD ; (3)∠COF 与∠DOE ; (4)∠AOC 与∠BOE . 错解分析:错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角,导致(2)和(4)错误.如果对对顶角的概念没有真正理解 和掌握,在比较复杂的图形识别中会产生错误.对顶角就是:一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线. 正解:(1)∠AOC 与∠BOD ;(2)∠BOE 与∠AOF ;(3)∠COF 与∠DOE ; (4)∠COE 与∠DOF .(答案不唯一:∠ AOE 与∠BOF ,∠BOC 与∠AOD 也是对顶角) 5.1.2 垂线 1、定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足. 符号语言记作: 如图所示: AB ⊥CD ,垂足为O A B C D O
2、在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 3、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简称:垂线段最短. 4、点到直线的距离 直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离 5.1.3 同位角、内错角、同旁内角 两条直线被第三条直线所截形成八个角,它们构成了同位角、内错角与同旁内角. 如图,直线b a ,被直线l 所截 1、∠1与∠5在截线l 的同侧,同在被截直线b a ,的上方, 叫做同位角(位置相同) 2、∠5与∠3在截线l 的两旁(交错),在被截直线b a ,之间(内) 3、∠5与∠4在截线l 的同侧,在被截直线b a ,之间(内),叫做同旁内角. 例: 如图,判断下列各对角的位置关系: (1)∠1与∠2;(2)∠1与∠7;(3)∠1与∠BAD ;(4)∠2与∠6;(5)∠5与∠8. 解:我们将各对角从图形中抽出来(或者说略去与有关角无关的线),得到下列各图. 如图所示,不难看出∠1与∠2是同旁内角;∠1与∠7是同位角;∠1与∠BAD 是同旁内角;∠2与∠6是内错角;∠5与∠8对顶角. 注意:图中∠2与∠9,它们是同位角吗? 不是,∵∠2与∠9的各边分别在四条不同直线上,不是两直线被第三条直线所截而成. 5.2 平行线及其判定 5.2.1 平行线 1、平行线的概念:在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线,直线a 与直线b 互相平行,记作a ∥b . a b l 1 2 3 4 5 6 7 8 1 6 B A D 2 3 4 5 7 8 9 F E C A B F 2 1 A B C 1 7 A B C D 2 6 A D B 1 A F E 5 8 C
七年级数学下册相交线练习题 ◆回顾归纳 1.有一条公共边,另一边互为_________,这种关系的两个角称为_______. 2.有公共_______的两个角,并且一个角的两边是另一个角的两边的______,具有这种位置关系的两个角称为________. 3.对项角________. ◆课堂测控 知识点一邻补角 1.(教材变式题)如图所示,取两根木条a,b,将它们钉在一起,?就得到一个相交线的模型,其中∠1和∠2是______,且∠1+∠2=______,同理∠2 与∠4, ∠3 与______,∠1与∠3都是邻补角. 2.邻补角是() A.和为180°的两个角; B.有公共顶点且互补的两个角 C.有一条公共边相等的两个角 D.有公共顶点且有一条公共边,另一边互为反向延长线的两个角 3.(探究过程题)如图所示,已知直线AB,CD相交于点O,且OE平分∠BOC,?若∠AOC=42°.(1)∠AOC与______互为邻补角? (2)与∠EOA互为补角的角是哪些角?并说明理由. (3)求∠BOE的度数. [解答](1)∠AOC与∠AOD,_______互为邻补角 (2)∠AOE+∠EOB=180° 所以∠EOA与∠EOB________. 因为∠COE=_____. 所以∠AOE+_______=180° ∠AOE与______也互补
(3)因为∠AOC=42° 而∠AOC+∠BOC=180° 所以∠BOC=180°-42°=_____.又因为OE平分_____. 所以∠BOE=1 2 ×_____=_____. 完成上述解答过程的填空并与同伴进行交流! 知识点二对顶角 4.(经典题)如图所示,∠1和∠2是对顶角的是() 5.如图所示,l1与l2相交于O点,若∠1=30°,则∠2=______,∠3=_____. (第5题) (第6题) (第7题) 6.如图所示,AB,CD相交于点O,OB平分∠DOE,若∠DOE=60°,则∠AOC 的度数为_______.7.如图所示,AB与CD相交于O,∠AOD+∠BOC=280°,则∠AOC为() A.40° B.140° C.120° D.60° ◆课后测控 1.如图所示,直线a,b相交于点O,若∠2=2∠1,则∠1=_____. 2.如图所示, l1与l2相交于O点,图中对顶角有_____组,邻补角有______组. 3.如图所示,直线AB,CD交于点O,下列说法正确的是() A.∠AOD=∠BOD B.∠AOC=∠DOB C.∠AOD+∠BOC=361° D.以上都不对
第五章 相交线与平行线(1) 一填空题(每小题3分,共24分) 1.如图所示,(1)如果∠1= ,那么AB ∥EF ;(2)如果∠1= ,那么DF ∥AC ; (3)如果∠DEC+ =180°,那么DE ∥BC. 2. 如图所示,若AB ∥DC ,∠1=39°,∠C 和∠D 互余,则∠D= ,∠B= . 3.如图所示,直线a 、b 与直线c 相交,给出下列条件:①∠1=∠2; ② ∠3=∠6; ③∠4+∠7=180°; ④∠5+∠3=180°,其中能判断a ∥b 的是 (填序号) 4.把命题“等角的余角相等”改写成“如果……那么……”的形式是 . 5.如图,已知AB ∥CD ,直线FE 分别交AB 、CD 于点E 、F ,EG 平分∠BEF ,若∠1=50°,则∠2的度数为 . 6.如图所示,△ABC 是△DEF 经过平移得到的,若AD=4㎝,则BE= ㎝,CF= ㎝;若点M 为AB 的中点,点N 为DE 中点,则MN= ㎝;若∠B=73°,则∠E= . 7.如图所示,将△ABC 向右上角平移后得到△A ′B ′C ′,那么图中相等的线段有 ,平行的线段有 . 8.如图所示,已知AB ∥CD ∥EF ,则∠x 、∠y 、∠z 三者之间的关系是 . 二、选择题(每小题3分,共30分) 9.在同一平面内有三条直线,若有且只有两条直线平行,则它们( ) A.没有交点 只有一个交点 有两个交点 有三个交点 10.两条直线相交所构成的四个角中:①有三个角都相等; ② 有一对对顶角互补; ③有一个角是直角; ④有一对邻补角相等,其中能判定这两条直线垂直的有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 11.如图所示,已知AD ∥BC ,则下列结论:①∠1=∠2; ②∠2=∠3; ③ ∠6=∠8; ④∠5=∠8;⑤∠2=∠4,其中一定正确的是( ) A. ② B.②③⑤ C.①③④ D.②④ 12.如图所示,下列判断中错误的是( ) A.因为∠A+∠ADC=180°,所以AB ∥CD B.因为AB ∥CD ,所以∠ABC+∠C=180° F B F E C A C /B /A /C B A D B A 1题图 2题图 3题图 G 21F E D C B A 5题图 6题图 7题图 8题图
① 2121 ② 12③ 1 2 ④ 人教版相交线与平行线提高题(含答案) 一、选择题: 1.下列所示的四个图形中,1∠和2∠是同位角...的是( C ) A. ②③ B. ①②③ C. ①②④ D. ①④ 2.如右图所示,点E 在AC 的延长线上,下列条件中能判断...CD AB //( B ) A. 43∠=∠ B. 21∠=∠ C. DCE D ∠=∠ D. 180=∠+∠ACD D 3.一学员练习驾驶汽车,两次拐弯后,行驶的方向与原来的方向相同,这两次拐弯的角度可能是( A ) A. 第一次向左拐 30,第二次向右拐 30 B. 第一次向右拐 50,第二次向左拐 130 C. 第一次向右拐 50,第二次向右拐 130 D. 第一次向左拐 50,第二次向左拐 130 4.两条平行直线被第三条直线所截,下列命题中正确.. 的是( D ) A. 同位角相等,但内错角不相等 B. 同位角不相等,但同旁内角互补 C. 内错角相等,且同旁内角不互补 D. 同位角相等,且同旁内角互补 5.下列说法中错误.. 的个数是( C ) (1)过一点有且只有一条直线与已知直线平行。 (2)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 (3)在同一平面内,两条直线的位置关系只有相交、平行两种。 (4)不相交的两条直线叫做平行线。 (5)有公共顶点且有一条公共边的两个角互为邻补角。 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6.下列说法中,正确.. 的是( B ) A. 图形的平移是指把图形沿水平方向移动。 B. 平移前后图形的形状和大小都没有发生改变。 C. “相等的角是对顶角”是一个真命题。 D. “直角都相等”是一个假命题。 7.如右图,CD AB //,且 25=∠A , 45=∠C ,则E ∠的度数是( B ) A. 60 B. 70 C. 110 D. 80 E D C B A 4 3 2 1 E D C B A
相交线与平行线拔高题 1、如图,折叠宽度相等的长方形纸条,若∠1=63°,则∠2=()度 2、如图,已知射线CB∥OA,∠C=∠OAB=100°,E、F在CB上,且满足∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF (1)求∠EOB的度数. (2)若平行移动AB,那么∠OBC:∠OFC的值是否随之发生变化?若变化,?找出变化规律;若不变,求出这个比值. (3)在平行移动AB的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?若存在,求出其度数;若不存在,说明理由.
3.如图已知AB∥CD,∠ABE和∠CDE的平分线相交于F,∠BFD = 112°,求∠E的度数。
1、54 2、解:(1)因为CB∥OA,∠C=∠OAB=100°, 所以∠COA=180°-100°=80°, 又因为E、F在CB上,∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF, 所以∠EOB=∠COA=×80°=40°. (2)不变, 因为CB∥OA, 所以∠CBO=∠BOA, 又∠FOB=∠AOB, 所以∠FOB=∠OBC,而∠FOB+∠OBC=∠OFC,即∠OFC=2∠OBC, 所以∠OBC:∠OFC=1:2. (3)存在某种情况,使∠OEC=∠OBA,此时∠OEC=∠OBA=60°. 理由如下: 因为∠COE+∠CEO+∠C=180°,∠BOA+∠OAB+∠ABO=180°,且∠OEC=∠OBA,∠C=∠OAB=100°, 所以∠COE =∠BOA, 又因为∠FOB=∠AOB,OE平分∠COF, 所以∠BOA=∠BOF=∠FOE=∠EOC=∠COA=20°, 所以∠OEC=∠OBA=60°.
解:作GE∥AB,FH∥CD ∴∠ABF=∠BFH ∠HFD=∠CDF ∵FB为∠ABE 的平分线 ∴∠ABF=∠FBE=∠ABE ∵FD为∠CDE 的平分线∴∠CDF=∠EDF=∠CDE ∵∠BFD = 112° ∴∠ABE+∠CDE=2∠ABF+2∠CDF=2∠BFH+2∠HFD=2∠BFD ∴∠ABE+∠CDE=2×112°=224° ∵AB∥CD ∴EG∥CD ∴∠ABE+∠BEG=180°∠CDE+∠GED=180° ∴ABE+∠BEG+∠CDE+∠GED=360°∴∠BEG+∠GED=136°
人教版相交线与平行线单元测试卷 时间:120分钟满分:120分 一、选择题(每小题3分,共30分) 1.在如图的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( ) 2.(2016·柳州)如图,与∠1是同旁内角的是( ) A.∠2 B.∠3 C.∠4 D.∠5 第3题图第4题图, 3.如图,直线AB⊥CD,垂足为O,EF是过点O的直线,若∠1=50°,则∠2的度数为( ) A.40°B.50°C.60°D.70° 4.如图,直线a,b都与直线c相交,给出下列条件:①∠1=∠2;②∠3=∠6;③∠4+∠7=180°;④∠5+∠8=180°.其中能使a∥b成立的条件有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 5.如图,直线l1∥l2,l3⊥l4,∠1=44°,那么∠2的度数为( ) A.46°B.44°C.36°D.22° ,
第5题图第9题图,第10题图) 6.已知△ABC中,BC=6,AC=3,CP⊥AB,垂足为P,则CP的长可能是( ) A.2 B.4 C.5 D.7 7.下列语句错误的是( ) A.连接两点的线段的长度叫做两点间的距离 B.两条直线平行,同旁内角互补 C.若两个角有公共顶点且有一条公共边,和等于平角,则这两个角为邻补角 D.平移变换中,各组对应点连成的线段平行(或在同一条直线上)且相等 8.下列命题:①内错角相等;②同旁内角互补;③直角都相等;④若n<1,则n2-1<0.其中真命题的个数有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个 9.如图,AB∥EF∥CD,点G在AB上,GE∥BC,GE的延长线交DC的延长线于点H,则图中与∠AGE相等的角共有( ) A.6个B.5个C.4个D.3个 10.如图,直线l1∥l2,∠A=125°,∠B=85°,则∠1+∠2=( ) A.30°B.35°C.36°D.40° 二、填空题(每小题3分,共24分) 11.如图,若a∥b,∠1=60°,则∠2的度数为度. 12.如图,由点A观测点B的方向是__ __. 第11题图第12题图第13题图 13.如图,直线AB,CD被BC所截,若AB∥CD,∠1=45°,∠2=35°,则∠3=_ _度. 14.平移线段AB,使点A移动到点C的位置,若AB=3 cm,AC=4 cm,则点B移动的距离是__ _. 15.如图,补充一个适当的条件__ _使AE∥BC.(填一个即可)
人教版初中数学七年级下册相交线练习题附参考答案 1.在两条直线相交所成的四个角中,( )不能判定这两条直线垂直 A.对顶角互补 B.四对邻补角 C.三个角相等 D.邻补角相等 答案:B 说明:两条直线相交,已有四对邻补角,因此,选项B不足以判定这两条直线垂直;而根据垂直的定义,对顶角、邻补角的性质不难判断其它选项的说法都可以判定这两条直线垂直;所以答案为B. 2.如图,在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于D,则下列关系不成立的是( ) A.AB>AC>AD B.AB>BC>CD C.AC+BC>AB D.AC>CD>BC 答案:D 说明:由垂线段最短的性质,可知AB>AC,AB>BC,AC>AD,BC>CD都成立,即选项A、B中的关系都是正确的;再由两点之间线段最短,可知AB
2.如图,直线AB、CD交于O,OA平分∠EOC,且∠EOD = 120o,则∠BOD =_______. 答案:30o 说明:因为∠BOD =∠COA,∠EOD+∠EOC = 180o,OA平分∠EOC,所以∠EOD+2∠COA = 180o,再由∠EOD = 120o,可得∠COA = 30o,即∠BOD = 30o. 3.已知如图, ①∠1与∠2是_______被_______所截成的_______角; ②∠2与∠3是_______被_______截成的_______角; ③∠3与∠A是_______被_______截成的_______角; ④AB、AC被BE截成的同位角_______,内错角_______,同旁内角_______; ⑤DE、BC被AB截成的同位角是_______,内错角_______,同旁内角_______. 答案:①DE、BC;BE;内错角 ②AC、BC;BE;同旁内角 ③AB、BE;AC;同位角 ④不存在;∠ABE与∠3;∠ABE与∠AEB ⑤∠ADE与∠ABC;不存在;∠EDB与∠DBC 4.在三角形ABC中,AC⊥BC,CD⊥AB于D,如图,则在图中共有______对互余的角,______对互补的角,______对邻补角,点A到CD的距离是______,到BC的距离是______,到点B的距离是______,点C 到直线AB的距离是______. 答案:有4对互余的角:∠ACD与∠A;∠A与∠B;∠B与∠BCD;∠BCD与∠ACD; 有3对互补的角:∠CDA与∠CDB;∠ACB与∠CDA;∠ACB与∠CDB; 有1对邻补角:∠CDA与∠CDB; 点A到CD的距离是AD; 点A到BC的距离是AC; 点A到点B的距离是AB; 点C到直线AB的距离是CD. 解答题: 1.如图,已知直线AB、CD、EF相交于O,OG⊥AB,且∠FOG = 32o,∠COE = 38o,求∠BOD.
第五章 相交线与平行线 5.1相交线 5.1.1 相交线 邻补角与对顶角 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角,它们的概念及性质如下表: 注意点: (1)对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角; (2)如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角; (3)如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角; (4)两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个. 例:如图,三条直线交于一点,任意找出图中的四对对顶角. 错解:如图, 对顶角为:(1)∠AOC 与∠BOD ; (2)∠AOF 与∠BOD ; (3)∠COF 与∠DOE ; (4)∠AOC 与∠BOE . 错解分析:错解中把有公共顶点的角误认为是对顶角,导致(2)和(4)错误.如果对对顶角的概念没有真正理解 和掌握,在比较复杂的图形识别中会产生错误.对顶角就是:一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线 . 正解:(1)∠AOC 与∠BOD ;(2)∠BOE 与∠AOF ;(3)∠COF 与∠DOE ; (4)∠COE 与∠DOF .(答案不唯一:∠ AOE 与∠BOF ,∠BOC 与∠AOD 也是对顶角) 5.1.2 垂线 1、定义:当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足. 符号语言记作:AB ⊥CD ,垂足为O 2、在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. A B C D O
人教版七年级数学下册《相交线与平行线》单元测试题 班级:姓名:得分: 一、填空题 1.两条直线相交,有_____对对顶角,三条直线两两相交,有_____对对顶角. 2.如图1,直线AB、CD相交于点O,OB平分∠DOE,若∠DOE=60°,则∠AOC的度数是_____. 3.已知∠AOB=40°,OC平分∠AOB,则∠AOC的补角等于_____. 4.如图2,若l1∥l2,∠1=45°,则∠2=_____. 图1 图2 图3 5.如图3,已知直线a∥b,c∥d,∠1=115°,则∠2=_____,∠3=_____. 6.一个角的余角比这个角的补角小_____. 7.如图4,已知直线AB、CD、EF相交于点O,∠1=95°,∠2=32°,则∠BOE=_____. 图4 图5 8.如图5,∠1=82°,∠2=98°,∠3=80°,则∠4的度数为_____. 9.如图6,AD∥BC,AC与BD相交于O,则图中相等的角有_____对. 图6 图7 10.如图7,已知AB∥CD,∠1=100°,∠2=120°,则∠α=_____. 11.如图8,DAE是一条直线,DE∥BC,则∠BAC=_____. 12.如图9,AB∥CD,AD∥BC,则图中与∠A相等的角有_____个. 图8 图9 图10 13.如图10,标有角号的7个角中共有_____对内错角,_____对同位角,_____对同旁内角. 14.如图11,(1)∵∠A=_____(已知),
图11 ∴AC∥ED( ) (2)∵∠2=_____(已知), ∴AC∥ED( ) (3)∵∠A+_____=180°(已知), ∴AB∥FD( ) (4)∵AB∥_____(已知), ∴∠2+∠AED=180°( ) (5)∵AC∥_____(已知), ∴∠C=∠1( ) 二、选择题 15.下列语句错误的是( ) A.锐角的补角一定是钝角 B.一个锐角和一个钝角一定互补 C.互补的两角不能都是钝角 D.互余且相等的两角都是45° 16.下列命题正确的是( ) A.内错角相等 B.相等的角是对顶角 C.三条直线相交,必产生同位角、内错角、同旁内角 D.同位角相等,两直线平行 17.两平行直线被第三条直线所截,同位角的平分线( ) A.互相重合 B.互相平行 C.互相垂直 D.相交 18.如果∠1与∠2互补,∠1与∠3互余,那么 ( ) A.∠2>∠3 B.∠2=∠3 C.∠2<∠3 D.∠2≥∠3 19.如图12,已知∠1=∠B,∠2=∠C,则下列结论不成立的是( ) 图12 A.AD∥BC B.∠B=∠C C.∠2+∠B=180° D.AB∥CD 20.如图13,直线AB、CD相交于点O,EF⊥AB于O,且∠COE=50°,则∠BOD等于( ) 图13 A.40° B.45°
人教版七年级下册数学5.1相交线教学设计 [教学目标] 1.通过动手、操作、推断、交流等活动,进一步发展空间观念, 培养识图能力,推理能力和有条理表达能力 2.在具体情境中了解邻补角、对顶角,能找出图形中的一个角 的邻补角和对顶角,理解对顶角相等,并能运用它解决一些简单问题 [教学重点与难点] 重点:邻补角与对顶角的概念.对顶角性质与应用 难点:理解对顶角相等的性质的探索 [教学设计] 一.创设情境激发好奇观察剪刀剪布的过程,引入两条相交直线所成的角 在我们的生活的世界中,蕴涵着大量的相交线和平行线,本章要研究相交线所成的角和它的特征。 观察剪刀剪布的过程,引入两条相交直线所成的角。 学生观察、思考、回答问题 教师出示一块布和一把剪刀,表演剪布过程,提出问题:剪布时,用力握紧把手,两个把手之间的的角发生了什么变化?剪刀张开的口又怎么变化? 教师点评:如果把剪刀的构造看作是两条相交的直线,以上就关
系到两条直线相交所成的角的问题, 二.认识邻补角和对顶角,探索对顶角性质 1.学生画直线AB、CD相交于点O,并说出图中4 个角,两两相配 共能组成几对角?根据不同的位置怎么将它们分类? 学生思考并在小组内交流,全班交流。 当学生直观地感知角有“相邻”、“对顶”关系时,教师引导学生用 几何语言准确表达 延长线 它们的另一边互为反向 有一条公共边 与OA, AOD AOC∠ ∠; BOD AOC∠ ∠与有公共的顶点O,而且AOC ∠的两边分别是BOD ∠两边的反向延长线 2.学生用量角器分别量一量各角的度数,发现各类角的度数有什么关系? (学生得出结论:相邻关系的两个角互补,对顶的两个角相等)3学生根据观察和度量完成下表: 两条直线相交所形成的 角 分类位置关系数量关系教师提问:如果改变AOC ∠的大小,会改变它与其它角的位置关
第五章相交线与平行线 1、在平面内,不重合的两条直线的位置关系只有两种:相交与平行。 2、互为邻补角: (1)定义:如果两个角有一条公共边且有一个公共顶点,它们的另一边互为反向延长线,具有这种关系的两个角互为邻补角。 (2)性质:从位置看:互为邻角;从数量看:互为补角; 3、互为对顶角: (1)定义:如果两个角有有一个公共顶点且它们的两边互为反向延长线,具有这种关系的两个角互为对顶角。 (2)性质:对顶角相等 垂直 4、垂直: (1)定义:垂直是相交的一种特殊情形。当两条直线相交所形成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直。它们交点叫做垂足。其中的一条直线叫做另一条直线的垂线。 (2)性质:过一点有且只有一条直线和已知直线垂直。 (3)表示方法:用符号“⊥”表示垂直。 5、任何一个“定义”既可以做判定,又可以做性质。 6、垂线是一条直线,垂线段是垂线的一部分。 7、垂线段的性质:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短(简单说成:垂线段最短)。 8、区分:点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度。两点间的距离:连接两点间的线段的长度。 “两点间的距离”和“点到直线的距离”是两个不同的概念,但是“点到直线的距离”是“两点间的距离”的一种特殊情况。 同位角、内错角、同旁内角 9、内错角的定义:两个角都在截线的两侧,都在被截直线之间。这样的两个角叫做内错角。 10、同位角的定义:两个角都在截线的同侧,都在被截直线的同一方。这样的两个角叫做同位角。 11、同旁内角的定义:两个角都在截线的同侧,都在被截直线之间。这样的两个角叫做同旁内角。 相交线、平行线 12、截线与被截直线的定义:截线就是截断两条同一方向直线的直线,被截直线就是被截线所截断的两条同一方向的直线。 13、相交线的定义:在平面内有一个公共交点的两条直线,叫做相交线。
相交线与平行线单元测试题 班级姓名 一、选择题(选择填空2分一题) 1、如果一个角的补角是150°,那么这个角的度数是() A. 30° B. 60° C.90° D.120° 2、如图,已知直线a、b被直线c所截,a∥b,∠1=130°,则∠2=() A. 130° B. 50° C.40° D.60° 3、下列说法错误的是( ) A.内错角相等,两直线平行.B.两直线平行,同旁内角互补. C.相等的角是对顶角. D.等角的补角相等. 4、下列图中∠1和∠2是同位角的是() A. ⑴、⑵、⑶, B. ⑵、⑶、⑷, C. ⑶、⑷、⑸, D. ⑴、⑵、⑸ 5、已知:如图, ∠1=∠2 , 则有( ) A.AB∥CD B.AE∥DF C. AB∥CD 且AE∥DF D.以上都不对 6、如图,直线AB与CD交于点O,OE⊥AB于O,图∠1与∠2的关系是( ) A.对顶角 B.互余 C.互补 D相等 7、如图,DH∥EG∥BC,且DC∥EF,那么图中和∠1相等的角的个数是() A.2, B. 4, C. 5, D. 6 8、如图,AB//CD,BC//DE,则∠B+∠D的值为() A.90° B.150° C.180° D. 以上都不对 9、如图,直线AB与CD相交于点O,OB平分∠DOE.若∠DOE=60 o, 则∠AOE的度数是() A.90° B.150° C.180° D. 不能确定
10、一束光线垂直照射在水平地面,在地面上放一个平面镜,欲使这束光线经过平面镜反射后成水平光线,则平面镜与地面所成锐角的度数为( ) A.45o B.60o C.75o D.80o 11、下列图形中,由AB CD ∥,能得到12∠=∠的是( ) 12、如图,已知∠1=∠2,∠3=80O ,则∠4=( ) A.80O B. 70O C. 60O D. 50O 13、如图,已知AC ∥ED ,∠C =26°,∠CBE =37°,则∠BED 的度数是 ( ) A .63° B .83° C .73 ° D .53° 14 A .1∠和2∠ B .1∠和3∠ C .1∠和4∠ D .2∠和3∠ 15、如图,Rt ABC △中, 90ACB ∠=°,DE 过点C ,且D E A B ∥,若 55A C D ∠=°,则∠B 的度数( ) A .35° B.45 C .55° D.65° 16、如图,把矩形ABCD 沿EF 对折后使两部分重合,若150∠=°,则AEF ∠=( ) A .110° B .115° C .120° D .130° 二、填空 1、黎老师家在小星家的北偏东 68 度,则小星家在黎老师家的南偏西 度 。 2、如图①,如果∠ = ∠ ,可得AD ∥BC ,你的根据是 。 3、如图②,∠1 = 82o,∠2 = 98o,∠3 = 80o,则∠4 = 度。 A C B D 1 2 A C B D 1 2 A . B . 1 2 A C D C . B D C A D . 1 2 13题 A B C D E 1 2 3 4 1 A E D C B F
相交线 一.选择题(共12小题) 1.下面四个图形中,∠1与∠2是对顶角的是() A.B.C.D. 2.如图,直线AB、CD相交于点O,OE平分∠AOC,若∠AOE=35°,则∠BOD的度数是() A.40° B.50° C.60° D.70° 3.平面内有两两相交的4条直线,如果最多有m个交点,最少有n个交点,那么m﹣n=()A.3 B.4 C.5 D.6 4.如图,下列表述:①直线a与直线b、c分别相交于点A和B;②点C在直线a外;③直线b、c相交于点C;④三条直线a、b、c两两相交,交点分别是A、B、C.其中正确的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 5.如图所示,直线AB⊥CD于点O,直线EF经过点O,若∠1=26°,则∠2的度数是() A.26° B.64° C.54° D.以上答案都不对 6.如图,直线AB、CD相交于点O,射线OM平分∠AOC,ON⊥OM.若∠BOD=70°,则∠CON
的度数为() A.35° B.45° C.55° D.65° 7.如图,计划把河水l引到水池A中,先作AB⊥l,垂足为B,然后沿AB开渠,能使所开的渠道最短,这样设计的依据是() A.两点之间线段最短 B.垂线段最短 C.过一点只能作一条直线 D.平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 8.如图,点A为直线BC外一点,AC⊥BC,垂足为C,AC=3,点P是直线BC上的动点,则线段AP长不可能是() A.2 B.3 C.4 D.5 9.如图,点P是直线a外的一点,点A、B、C在直线a上,且PB⊥a,垂足是B,PA⊥PC,则下列不正确的语句是() A.线段PB的长是点P到直线a的距离 B.PA、PB、PC三条线段中,PB最短
5.1相交线 5.1.1相交线 1.理解对顶角和邻补角的概念,能在图形中辨认;(重点) 2.掌握对顶角相等的性质和它的推证过程;(重点、难点) 3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角,培养学生的识图能力. 一、情境导入 同学们,你们看这座宏伟的大桥,它的两端有很多斜拉的平行钢索,桥的侧面有许多相交钢索组成的图案;围棋棋盘的纵线相互平行,横线相互平行,纵线和横线相交.这些都给我们以相交线、平行线的形象.在我们生活中,蕴涵着大量的相交线和平行线.那么两条直线相交形成哪些角?这些角又有什么特征? 二、合作探究 探究点一:对顶角和邻补角的概念 【类型一】对顶角的识别 下列图形中∠1与∠2互为对顶角的是() 解析:观察∠1与∠2的位置特征,只有C中∠1和∠2同时满足有公共顶点,且∠1的两边是∠2的两边的反向延长线.故选C. 方法总结:判断对顶角只看两点:①有公共顶点;②一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线. 【类型二】邻补角的识别 如图所示,直线AB和CD相交所成的四个角中,∠1的邻补角是________.解析:根据邻补角的概念判断:有一个公共顶点、一条公共边,另一边互为延长线.∠1
和∠2、∠1和∠4都满足有一个公共顶点和一条公共边,另一边互为延长线,故为邻补角.故答案为∠2和∠4. 方法总结:邻补角的定义包含了两层含义:相邻且互补.但需要注意的是:互为邻补角的两个角一定互补,但互补的角不一定是邻补角. 探究点二:对顶角的性质 【类型一】利用对顶角的性质求角的度数 如图,直线AB、CD相交于点O,若∠BOD=42°,OA平分∠COE,求∠DOE 的度数. 解析:根据对顶角的性质,可得∠AOC与∠BOD的关系,根据OA平分∠COE,可得∠COE与∠AOC的关系,根据邻补角的性质,可得答案. 解:由对顶角相等得∠AOC=∠BOD=42°.∵OA平分∠COE,∴∠COE=2∠AOC=84°.由邻补角的性质得∠DOE=180°-∠COE=180°-84°=96°. 方法总结:解决此类问题的关键是在图中找出对顶角和邻补角,根据两种角的性质找出已知角和未知角之间的数量关系. 【类型二】结合方程思想求角度 如图,直线AC,EF相交于点O,OD是∠AOB的平分线,OE在∠BOC内,∠BOE= 1 2∠EOC,∠DOE=72°,求∠AOF的度数. 解析:因为已知量与未知量的关系较复杂,所以想到列方程解答,根据观察可设∠BOE =x,则∠AOF=∠EOC=2x,然后根据对顶角和邻补角找到等量关系,列方程.解:设∠BOE=x,则∠AOF=∠EOC=2x.∵∠AOB与∠BOC互为邻补角,∴∠AOB =180°-3x.∵OD平分∠AOB,∴∠DOB= 1 2∠AOB=90°- 3 2x.∵∠DOE=72°,∴90°-3 2x+x=72°,解得x=36°.∴∠AOF=2x=72°. 方法总结:在相交线中求角的度数时,就要考虑使用对顶角相等或邻补角互补.若已知关系较复杂,比如出现比例或倍分关系时,可列方程解决角度问题. 【类型三】应用对顶角的性质解决实际问题 如图,要测量两堵墙所形成的∠AOB的度数,但人不能进入围墙,如何测量?请你写出测量方法,并说明几何道理.
第五章相交线与平行线 平面内,点与直线之间的位置关系分为两种:①点在线上②点在线外 同一平面内,两条或多条不重合的直线之间的位置关系只有两种:①相交②平行 一、相交线 1、两条直线相交,有且只有一个交点。(反之,若两条直线只有一个交点,则这两条直线相交。) 两条直线相交,产生邻补角和对顶角的概念: 邻补角:两角共一边,另一边互为反向延长线。邻补角互补。要注意区分互为邻补角与互为补角的异同。 对顶角:两角共顶点,一角两边分别为另一角两边的反向延长线。对顶角相等。 注:①、同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等;等角的对顶角相等。反过来亦成立。 ②、表述邻补角、对顶角时,要注意相对性,即“互为”,要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。例如: 判断对错:因为∠ABC +∠DBC = 180°,所以∠DBC是邻补角。() 相等的两个角互为对顶角。() 2、垂直是两直线相交的特殊情况。注意:两直线垂直,是互相垂直,即:若线a垂直线b,则线b垂直线a 。 垂足:两条互相垂直的直线的交点叫垂足。垂直时,一定要用直角符号表示出来。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(注:这一点可以在已知直线上,也可以在已知直线外) 3、点到直线的距离。 垂线段:过线外一点,作已知线的垂线,这点到垂足之间的线段叫垂线段。 垂线与垂线段:垂线是一条直线,而垂线段是一条线段,是垂线的一部分。 垂线段最短:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短。(或说直角三角形中,斜边大于直角边。) 点到直线的距离:直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫这点到直线的距离。注:距离指的是垂线段的长度,而不是这条垂线段的本身。所以,如果在判断时,若没有“长度”两字,则是错误的。
人教版初中数学相交线与平行线知识点 一、选择题 1.如图,在下列四组条件中,不能判断AB∥CD的是() A.∠1=∠2 B.∠3=∠4 C.∠ABD=∠BDC D.∠ABC+∠BCD=180° 【答案】A 【解析】 【分析】 根据各选项中各角的关系,利用平行线的判定定理,分别分析判断AB、CD是否平行即可. 【详解】 A、∵∠1=∠2,∴AD∥BC(内错角相等,两直线平行),故A不能判断; B、∵∠3=∠4,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),故B能判断; C、∵∠ABD=∠BDC,∴AB∥CD(内错角相等,两直线平行),故C能判断; D、∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥CD(同旁内角互补,两直线平行),故D能判断, 故选A. 【点睛】 本题考查了平行线的判定.掌握同位角相等,两直线平行;内错角相等,两直线平行;同旁内角互补,两直线平行是解题的关键. 2.如图所示,有下列五种说法:①∠1和∠4是同位角;②∠3和∠5是内错角;③∠2和∠6旁内角;④∠5和∠2是同位角;⑤<1和∠3是同旁内角;其中正确的是() A.①②③④B.①②③④C.①②③④⑤D.①②④⑤ 【答案】D 【解析】 如图,
①∠1和∠4是直线AC 和直线BC 被直线AB 截得的同位角,所以①正确; ②∠3和∠5是直线BC 和直线AB 被直线AC 截得的内错角,所以②正确; ③∠2和∠6是直线AB 和直线AC 被直线CB 截得的内错角,所以③错误; ④∠5和∠2是直线AC 和直线BC 被直线AB 截得的同位角,所以④正确; ⑤∠1和∠3是直线BC 和直线AB 被直线AC 截得的同旁内角,所以⑤正确. 故答案选D. 点睛: (1)准确识别同位角、内错角、同旁内角的关键,是弄清两角是由哪两条直线被哪条直线截得,这其中的关键是辨别出截线,在截线的两旁的是内错角,在截线的同旁的为同位角或同旁内角; (2)辨别截线方法:先找出两角的边所在直线,公共直线即是截线. 3.下列说法中,正确的是( ) A .过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B .过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 C .垂于同一条直线的两条直线平行 D .如果两个角的两边分别平行,那么这两个角一定相等 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平行线的性质和判定,平行线公理及推论逐个判断即可. 【详解】 A 、在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直,故本选项不符合题意; B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项符合题意; C 、在同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行,故本选项不符合题意; D 、如果两个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故本选项不符合题意; 故选:B . 【点睛】 此题考查平行线的性质和判定,平行线公理及推论,能熟记知识点的内容是解题的关键. 4.如图,下列能判定AB ∥CD 的条件有几个( ) (1)12∠=∠ (2)34∠=∠(3)5B ∠=∠ (4)180B BCD ∠+∠=?.