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数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n 是以整数点n x x x ,,,10 为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(()，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/ ==k k x k 则=],,,[10n x x x f 和=∆07f 。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k k x ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
（完整版）数值线性代数答案习题1１．求下三⾓阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三⾓矩阵L的逆矩阵为T我们可以使⽤待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运⽤算法1·1·1，逐⼀求解⽅程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三⾓矩阵L的逆矩阵T，前代法）３．证明：如果是⼀个Gauss变换，则也是⼀个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下⾯我们只需证明它是Gauss 变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从⽽有４．确定⼀个Gauss变换L，使[解] ⽐较⽐较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第⼆⾏加上第⼀⾏的2倍；使向量的第三⾏加上第⼀⾏的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三⾓分解，并且是⾮奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯⼀的。
[证明]设，其中都是单位下三⾓阵，都是上三⾓阵。
因为A⾮奇异的，于是注意到，单位下三⾓阵的逆仍是单位下三⾓阵，两个单位下三⾓阵的乘积仍是单位下三⾓阵；上三⾓阵的逆仍是上三⾓阵，两个上三⾓阵的乘积仍是上三⾓阵。
因此，上述等将是⼀个单位下三⾓阵与⼀个上三⾓阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从⽽即A的LU分解是唯⼀的。
17．证明定理1·3·1中的下三⾓阵L是唯⼀的。
[证明] 因A是正定对称矩阵，故其各阶主⼦式均⾮零，因此A⾮奇异。
为证明L的唯⼀性，不妨设有和使那么注意到：和是下三⾓阵，和为上三⾓阵，故它们的逆矩阵也分别是下三⾓阵和上三⾓阵。
因此，只能是对⾓阵，即从⽽于是得知19．若是A的Cholesky分解，试证L的i阶顺序主⼦阵正好是A的i阶顺序主⼦阵的Cholesky因⼦。
[证明] 将A和L作如下分块其中：为矩阵A和L的i阶顺序主⼦阵。
数值计算试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在数值计算中，下列哪种方法用于求解线性方程组？A. 牛顿法B. 牛顿-拉弗森方法C. 高斯消元法D. 蒙特卡洛方法答案：C2. 以下哪个不是数值分析中常用的插值方法？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 多项式插值D. 傅里叶变换答案：D3. 在数值积分中，梯形规则的误差项与下列哪个因素有关？A. 积分区间的长度B. 被积函数的二阶导数C. 被积函数的一阶导数D. 被积函数的三阶导数答案：B4. 下列哪种方法不是数值微分的方法？A. 前向差分法B. 中心差分法C. 牛顿迭代法D. 后向差分法答案：C5. 以下哪个算法不是用于求解非线性方程的？A. 牛顿法B. 弦截法C. 牛顿-拉弗森方法D. 欧拉法答案：D6. 在数值分析中，下列哪个概念与误差分析无关？A. 截断误差B. 舍入误差C. 条件数D. 插值多项式的阶答案：D7. 以下哪种方法不是数值解常微分方程的方法？A. 欧拉法B. 龙格-库塔法C. 牛顿法D. 亚当斯法答案：C8. 在数值分析中，下列哪个概念与病态问题无关？A. 条件数B. 误差放大C. 稳定性D. 收敛性答案：D9. 以下哪种情况不会导致数值解的不稳定？A. 步长过大B. 初始条件不精确C. 算法本身稳定D. 计算精度过高答案：C10. 在数值计算中，下列哪种方法用于求解特征值问题？A. 高斯消元法B. 幂法C. 牛顿法D. 蒙特卡洛方法答案：B二、填空题（每题3分，共30分）1. 在数值计算中，使用______方法可以提高插值的精度。
答案：牛顿插值2. 梯形规则的误差与被积函数的______阶导数有关。
答案：二阶3. 在数值微分中，使用______差分法可以提高微分的精度。
答案：中心4. 非线性方程的求解可以通过______法来实现。
答案：牛顿5. 常微分方程的数值解法中，______法是最基本的方法之一。
答案：欧拉6. 对于线性方程组的求解，______法是最基本的方法之一。
课后习题解答第一章绪论习题一1.设x>0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(已知x*的相对误差满足，而，故即2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字，3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。
（1）（2）4.近似数x*=0.0310,是 3 位有数数字。
5.计算取，利用：式计算误差最小。
四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。
线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故2. 在-4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h 应取多少?解：用误差估计式（5.8），令因得3. 若，求和.解：由均差与导数关系于是4. 若互异，求的值，这里p≤n+1.解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得5. 求证.解：解：只要按差分定义直接展开得6. 已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式N3(x)=1.0067x+0.08367x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3) 由此可得f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得由于7. 给定f(x)=cosx的函数表用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos 0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表计算，用n=4得Newton前插公式误差估计由公式（5.17）得其中计算时用Newton后插公式（5.18)误差估计由公式（5.19）得这里仍为0.5658．求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。
数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。
[解] 设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。
为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。
这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。
[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。
于是对该问题我们有如下解题的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。
该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。
运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。
算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。
[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。
下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。
事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解] 比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2倍。
于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。
[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。
因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。
因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。
即，从而即A的LU分解是唯一的。
资料范本本资料为word版本，可以直接编辑和打印，感谢您的下载近世代数经典题与答案地点：__________________时间：__________________说明：本资料适用于约定双方经过谈判，协商而共同承认，共同遵守的责任与义务，仅供参考，文档可直接下载或修改，不需要的部分可直接删除，使用时请详细阅读内容1．设为整数加群, ,求解在 Z中的陪集有:, , ,, , 所以, .2、找出的所有子群。
解：S3显然有以下子群：本身；（（1））={（1）}；（（12））={（12），（1）}；（（13））={（13），（1）}；（（23））={（23），（1）}；（（123））={（123），（132），（1）}若S3的一个子群H包含着两个循环置换，那么H含有（12），（13）这两个2-循环置换，那么H含有（12）（13）=（123），（123）（12）=（23），因而H=S3。
同理，若是S3的一个子群含有两个循环置换（21），（23）或（31），（32）。
这个子群也必然是S3。
用完全类似的方法，可以算出，若是S3的一个子群含有一个2-循环置换和一个3-循环置换，那么这个子群也必然是S3。
7．试求高斯整环的单位。
解设 () 为的单位, 则存在 , 使得 , 于是因为 , 所以 . 从而 , , 或 . 因此可能的单位只有显然它们都是的单位. 所以恰有四个单位:5．在中, 解下列线性方程组:解: 即 , .12. 试求的所有理想.解设为的任意理想, 则为的子环，则 , , 且 .对任意的 , , 有 ,从而由理想的定义知, 为的理想. 由此知, 的全部理想为且 .13、数域上的多项式环的理想是怎样的一个主理想。
解由于，所以，于是得。
14、在中, 求的全部根. 解共有16个元素: , , , , 将它们分别代入 ,可知共有下列4个元素, , , 为的根.20.设R为偶数环.证明：问：是否成立？N是由哪个偶数生成的主理想？解：：故另外故总之有另方面，由于且而且实际上N是偶数环中由8生成的主理想，即，但是因此，.实际上是22、设,求关于的所有左陪集以及右陪集.解 , 的所有左陪集为:;;．的所有右陪集为:;;.1．在群中, 对任意 , 方程与都有唯一解.证明令 , 那么 , 故为方程的解。
数值计算方法试题一一、 填空题（每空1分，共17分）1、如果用二分法求方程043=-+x x 在区间]2,1[内的根精确到三位小数，需对分（ ）次。
2、迭代格式)2(21-+=+k k k x x x α局部收敛的充分条件是α取值在（ ）。
3、已知⎪⎩⎪⎨⎧≤≤+-+-+-≤≤=31)1()1()1(2110)(233x c x b x a x x x x S 是三次样条函数，则a =( )，b =（ ），c =（ ）。
4、)(,),(),(10x l x l x l n Λ是以整数点n x x x ,,,10Λ为节点的Lagrange 插值基函数，则∑==nk kx l0)(( )，∑==nk k jk x lx 0)(( )，当2≥n 时=++∑=)()3(204x l x xk k n k k( )。
5、设1326)(247+++=x x x x f 和节点,,2,1,0,2/Λ==k k x k 则=],,,[10n x x x f Λ 和=∆07f。
6、5个节点的牛顿-柯特斯求积公式的代数精度为 ，5个节点的求积公式最高代数精度为 。
7、{}∞=0)(k kx ϕ是区间]1,0[上权函数x x =)(ρ的最高项系数为1的正交多项式族，其中1)(0=x ϕ，则⎰=14)(dx x x ϕ 。
8、给定方程组⎩⎨⎧=+-=-221121b x ax b ax x ，a 为实数，当a 满足 ，且20<<ω时，SOR 迭代法收敛。
9、解初值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进欧拉法⎪⎩⎪⎨⎧++=+=++++)],(),([2),(]0[111]0[1n n n n n n n n n n y x f y x f h y y y x hf y y 是阶方法。
10、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=11001a a a a A ，当∈a （ ）时，必有分解式T LL A =，其中L 为下三角阵，当其对角线元素)3,2,1(=i l ii 满足（ ）条件时，这种分解是唯一的。
部分习题参考答案习题一1. 分别有3位、5位与4位有效数字2. 分别有５位、3位、4位与３位有效数字3. 有３位有效数字; 绝对误差为 －０、0012;相对误差-０、0005570514. (1) (2）(3)６、提示:注意字长为８位得计算机上得机器数系得特点与计算机对数得接收与运算处理。
7、提示:通过证明进行说明,这里 8、,不稳定 9、最好10、采用j 从10000到２得顺序相加,或通过进行化简计算。
11、本题有递推公式得出得就就就是。
算法１、2、For k=n-1,n-2,…,1,0 做12、提示：仿照例１、9做之。
习题二 2、提示:3、取迭代函数讨论之。
4、由确定k,迭代次数59、5、迭代公式及区间为,数列得极限值。
6、x 3=０、567１43 ７、，用New ｔo ｎ迭代公式及定理６做，根1、03０ 8、两个根: ;9、取,当时，取区间,用定理6做，当时,由做转换讨论。
极限为 １1提示:由可得,或由用定理2、4 １2、()()()()()()()()()()()()()()()()()222******1*22*****1*2***2*3(),()2'()2!()'()'()2'()'()'()2()'()2k k kk k k k k k k k k k k k kk k k k k k f f y x x x f y f x f x y x y x f x f x f f y x x y x y x y x y x f x f x f x y x f f x f x y x f x y x f x x f f x ξξξξξξ+'''''-=-=+-+-'''∴-=--=------''⎛⎫'=--- ⎪⎝⎭-''''=-+()()()()()2*13*121*32()2'()()()()4'()2'()k k kk k k f x x f x x xf f f f x x f x f x ξξξξξ⎛⎫''⨯- ⎪⎝⎭''-''''⎛⎫''=+- ⎪⎝⎭１3、提示:借助代入中约化。
第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1 若误差限为5105.0-⨯,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算） 解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
第一章 绪论（12）1、设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差。
[解]设0*>x 为x 的近似值，则有相对误差为δε=)(*x r ，绝对误差为**)(x x δε=，从而x ln 的误差为δδεε=='=*****1)()(ln )(ln x x x x x ， 相对误差为****ln ln )(ln )(ln x x x x rδεε==。
2、设x 的相对误差为2%，求n x 的相对误差。
[解]设*x 为x 的近似值，则有相对误差为%2)(*=x r ε，绝对误差为**%2)(x x =ε，从而nx 的误差为nn x x nxn x x n x x x **1***%2%2)()()()(ln *⋅=='=-=εε，相对误差为%2)()(ln )(ln ***n x x x nr==εε。
3、下列各数都是经过四舍五入得到的近似数，即误差不超过最后一位的半个单位，试指出它们是几位有效数字：1021.1*1=x ，031.0*2=x ，6.385*3=x ，430.56*4=x ，0.17*5⨯=x 。
[解]1021.1*1=x 有5位有效数字；0031.0*2=x 有2位有效数字；6.385*3=x 有4位有效数字；430.56*4=x 有5位有效数字；0.17*5⨯=x 有2位有效数字。
4、利用公式（3.3）求下列各近似值的误差限，其中*4*3*2*1,,,x x x x 均为第3题所给的数。
（1）*4*2*1x x x ++； [解]3334*4*2*11***4*2*1*1005.1102110211021)()()()()(----=⨯=⨯+⨯+⨯=++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=++∑x x x x x f x x x e nk k k εεεε；（2）*3*2*1x x x ；[解]52130996425.010********.2131001708255.01048488.2121059768.01021)031.01021.1(1021)6.3851021.1(1021)6.385031.0()()()()()()()()(3333334*3*2*1*2*3*1*1*3*21***3*2*1*=⨯=⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=++=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=-------=∑x x x x x x x x x x x f x x x e n k k kεεεε；（3）*4*2/x x 。
