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第五章 定积分及其应用
5.1 定积分的概念与性质
一、 填空题：
1. 函数
)
(x f 在
[]b a ,上的定积分是积分和的极限，即
=?
b
a
dx x f )(_________________ .
2. 定积分的值只与______及_______有关，而与_________的记法无关 .
3. 定积分的几何意义是_______________________ .
4. 区间[]b a ,长度的定积分表示是_____________ .
5. 如果积分区间[]b a ,被点c 分成[][]b c c a ,,与，则定积分的可加性为
?
=b
a
dx x f )(__________；
6. 如果[]b a x f ,)(在上的最大值与最小值分别为M 与m ，则
?
a
b
dx
x f )(有如下估计式：_____________________________； 7. 当b a >时，我们规定
?
b
a
dx x f )(与
?
a
b
dx x f )(的关系是
______________________； 8. 积分中值公式
?
=b
a
dx x f )()(),)((b a a b f ≤≤-ξξ的几何意义是：
________________________________________________；
二、 按定积分定义证明：
?
-=b
a
a b k kdx ).(
三、 试用定积分表示由曲线x y cos =，直线1-=x ，2
3
=x 及x 轴围成的图形面积.
四、 利用定积分的几何意义说明下列等式.
1. 121
=?xdx
2.
?-
=π
π0sin xdx
五、 根据定积分的几何意义，判断下面定积分的正负号
1. ?
2
0sin π
xdx
2.
?-0
2
sin πxdx
3.
dx x ?
-2
1
3
六、 利用定积分的性质比较下列各对积分值的大小：
1.
?1
2
dx x
与?1
3
1dx
x
27.
2. ?-???
??0
121dx x
与?-??
? ??0131dx x
七、 设)(x f 及[]b a x g ,)(在上连续，证明：
1. 若在[]b a ,上0)(≥x f ,且
?
=b
a
dx x f 0)(，则在[]b a ,上0)(≡x f ；
2. 若在[]b a ,上，0)(≥x f ,且)(x f 不0恒等于，则
?
>b
a
dx x f 0)( ；
5.2. 微积分基本定理
一、 填空题：
1. ???
? ???-b a x dx e dx d 22
=_______ . 2.
?
=x
a
dx x f dx
d
))((
__________ . 3. =+?-223
)1ln(x
dt t t dx d . 4.
?
=2
)(dx x f ，其中???<<-≤≤=2
1,21
0,)(2x x x x x f .
5. 设?-
?=π
π
,cos cos 1nxdx mx I =
2I dx nx mx ?-
?π
πsin sin ，
(1) 当n m =时， 1I =__ ,2I =_____ ， (2)
当n m ≠时，1I =___ ,2I =_____ .
6. 设=
3I ?-
?π
πnxdx mx sin cos ，当n m =时，3
I
= ，当n
m ≠时，3I = 。 7. =+?9
4)1(dx x x _____ . 8.
=+?
33
1
2
1x
dx
_____ . 9. =?
→x
dt t x
x 0
20
cos lim
________ .
二、 求导数：
39.
1. 设函数)(x y y =由方程
0cos 0
=+??
x
y
t tdt dt e 所确定，求
dx
dy ； 2. ?x
x
dt t dx d cos sin 2)cos(π ； 3. 设?+=203
1)(x x dx
x g ，求)1(g '' .
三、 计算。
1.
?
+
2
1
2
2)1
(dx x x ; 2.
?
--212
12
1x
dx ;
3. ?-+++0
12241
1
33dx x x x ; 4.
?
π
20
sin dx x .
四、 求极限
1.
?
?+∞
→x t x
t x dt
e dt e 0
22
2
2
)(lim
;
2.
2
50
20
2
1)cos 1(lim
x
dt t x x ?
-+→.
51.
五、 设)(x f 为连续函数，证明: ?
??=-x
x t
dt du u f dt t x t f 0
))(())(( .
六、 求函数?
+-+=
x
dt t t t x f 0
21
1
3)(在区间[]1,0上的最大值与最小值 .
七、 设?????><≤≤=时，
或，当时，
当ππx x x x x f 000,sin 21)( 求?=x dt t f x 0
)()（?在),(+∞-∞内
的表达式 .
5.3. 定积分的换元积分法与分部积分法
一、 填空题：
1.
?
=+
π
ππ
3
)3
sin(dx x _______；
2. ?=-π
θθ0
3)sin 1(d ____________；
3.
=-?
2
22dx x _______；
4.
=-?
-21
2
12
2
1)(arcsin dx x
x ___________；
5. ?-=++5
524
231
2sin dx x x x
x ______； 6. =?-dx xe
x
1
_______；
7. =?
e
xdx x 1ln ___________；
8.
=?1
arctan xdx x ____________ .
二、 计算下列定积分：
1. ?
20
3cos sin π
???d ；
2.
?
+3
1
2
2
1x
x
dx ；
63.
3.
?
--1
4
31
1x dx
；
4.
?
-
-2
2
3cos cos π
π
dx x x ；
5. ?+π
02cos 1dx x ；
6. ?-++-1
12322)11(dx x x x x ；
7. ?
2
3},max {dx x x ；
8.
dx x x
?+1
021
9. ?
2
12
1dx x e
x
; 10. ?e
dx x 1
)sin(ln ；
11.
?e
e
dx x 1ln ;
12.
?
2
ln 0
32
dx
e x x
75.
13.
?
3
arctan xdx ；
14.
?
4
2
cos πdx x
15.
dx x
?+
4
11
16.
?
+8
ln 3
ln 1dx e x
三、 ???????<+≥+=时，当时，当0,110,11
)(x e x x
x f x
求?-20
)1(dx x f .
四、 设[]b a x f ,)(在上连续，证明 ?
?-+=b
a
b
a
dx x b a f dx x f )()(.
五、 证明：
??-=-1
1
`0)1()1(dx x x dx x x
m n n
m
六、 证明：
?
?--+=a
a
a
dx x f x f dx x f 0
)]()([)(,并求?-+44
sin 1π
π
x dx
.
87.
七、 设[]b a x f ,)(在上连续，证明
?
?=2
20
)cos (41)cos (π
π
dx x f dx x f 。
八、 已知x x f 2
tan )(=,求?
'''4
)()(π
dx x f x f .
九、 若
[]
π,0)(在x f ''连
续
，
,
1)(,2)0(==πf f 证明：
3sin ])()([0
=''+?
xdx x f x f π
5.5 反常积分
一、 填空题：
1.
?+∞
1p x dx
当_______时收敛；当______时发散； 2. ?10q x
dx
当_______时收敛；当_______时发散；
3. 广义积分
?
+∞
2
)
(ln k
x x dx
在______时收敛；在_______时发散； 4.
?
+∞
∞
-+dx x
x 2
1=____； =-?
1
2
1x
xdx ________；
5. 广义积分
?
∞
-x
dt t f )(的几何意义是_________________________.
二、 判断下列广义积分的收敛性，如果收敛，求其值：
1.
?
∞
+--+0
2
dt e e e
t
t pt
)1(>p ； 2.
?+∞
∞-++222x x dx
；
3.
?
+∞
-0
dx e x x n （为自然数n ）；
99.
4.
?-2
2)1(x dx
；
5.
?
-2
1
1
x xdx
； 6.
?
+∞
+0
2
2)1(ln dx x x
x ；
7.
?1
ln
xdx n
.
三、 求当k 为何值时，广义积分
?-b
a k a x dx
)( )(a b >收敛？又k 为何值时，这
广义积分发散？
四、 已知????
???<≤<≤<-∞=x
x x x x f 2,120,210,0)(，试用分段函数表示?∞
-x dt t f )(.
5.6定积分的几何应用
一、 填空题：
1. 由曲线e y e y x
==,及y 轴所围成平面区域的面积是
______________ .
2. 由曲线23x y -=及直线x y 2=所围成平面区域的面积是_____ .
3. 由曲线1,1,1,12=-==-=x x y x x y 所围成平面区域的面积是
_______ .
111.
4. 求x y 22
=与4-=x y 所围的区域面积时，选用____作变量较为简捷. 5. 由曲线x
x
e
y e y -==,与直线1=x 所围成平面区域的面积是
_________ . 6.
2x y =与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积S ，其中一条
切线与曲线相切于点A ),(2
a a ，0>a ，则当=a __时，面积S 最小 .
7. 连续曲线),(x f y =直线a x =，b x =轴及x 所围图形轴绕y 旋转
一周而成的立体的体积=v __________，轴绕y 旋转一周而成的立体的=v 体积____________； 8.
?=b
a
dx x f v )(常用来表示__________________立体的体积；
9. 抛物线ax y 42
=及直线)0(00>=x x x 所围成的图形轴绕y 旋转而
成的立体的体积______；
二、 求由下列各曲线所围成的图形的面积：
1. x
y 1
=
与直线x y =及2=x 。 2.
=y 2x 与直线x y =及x y 2=。
三、 求抛物线342
-+-=x x y 及其在点)3,0(-和)0,3(处的切线所围成的
图形的面积 .
四、 求位于曲线x
e y =下方，该曲线过原点的切线的左方以及x 轴上方之间的
图形的面积 .
123.
五、 求由抛物线ax y 42
=与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值 .
5.7 定积分在经济上的应用
1. 已知某商品每周生产q 个单位时，总成本变化率为12
4.0)('-=q q C （元/单位），固定成本500，求总成本)(q C .如果这种商品的销售单价是20元，求总利润)(q L ，并问每周生产多少单位时才能获得最大利润？
2. 已知某产品产量)(t F 的变化率是时间t 的函数c bt at t f ++=2
)(
(c b a ,,是常数)，求0)0(=F 时产量与时间的函数关系)(t F 。 3. 某企业生产x 吨产品时的边际成本为3050
1
)('+=
x x C （元/吨）且固定成本为900元，试求产量为多少时平均成本最低？
4. 假设某产品的边际收入函数为x x R -=9)('（万元/万台），边际成本
函数为4/4)('x x C +=（万元/万台），其中产量x 以万台为单位。 (1) 试求当产量由4万台增加到5万台时利润的变化量； (2) 当产量为多少时利润最大？
(3)
已知固定成本为1万元，求总成本函数和利润函数。
5. 生产某种产品的固定成本为50，边际成本和边际收益分别为
111142+-=Q Q MC ,Q MR 2100-=,试确定厂商的最大利润。
135.
6. 设某产品的总利润为15.04)(2
--=x x x L （万元），其中x （百台）
为产量。（1）求产量等于多少时总利润最大？（2）从利润最大时，再生产200台，总利润增加多少？
定积分综合训练题
一、 选择题
1.
=??
? ??++++++∞→2222221lim n n n n n n n
n ( ) （A ）0； （B ）21
；（C ）4π； （D ）2
π 2.
?+x dt t dx
d 02
)1ln(=（ ） （A ）)1ln(2
+x ； （B ）)1ln(2
+t ； （C ）)1ln(22
+x x ； （D ）
)1ln(22
+t t . 3. 3
20
sin lim
x
dt t x
x ?
→ =( )
（A ）0； （B ）1； （C ）3
1
； （D ）∞ . 4. 定积分
?
1
dx e x 的值是（ ）
（A ）e ； （B ）2
1
； （C ）21
e ； （D ）2 .
5. 下列积分中，使用变换正确的是（ ）
（A ）
,sin 10
3?
+π
x
dx 令 arctgt x =；（B ）?-303
21dx x x ，令 t x sin =； （C ）?-++2
1221)1ln(dx x
x x ，令 u x =+2
1；（D ）?--1121dx x ，令31
t x = 6. 下列积分中，值为零的是（ ）
（A ）?
-1
1
2dx x ； (B ）?
-2
1
3
dx x ；（C ）?
-1
1
dx ； （D ）?
-1
1
2
sin xdx x
7. 已知5)2(,3)2(,1)0('
===f f f ,则
?
=2
'')(dx x xf （
）
（A ）12； （B ）8；（C ）7； （D ）6.
147.
8. 设???????<+≥+=0,110,11
)(x e x x
x f x
，则定积分?=-20
)1(dx x f （ ） （A ）)11ln(1e
++； （B ）3ln )1ln(22
++-e ；
（C ）e 1
1ln(1++; （D ）)11ln(1e +-
9. 广义积分?+∞-+222
x x dx
=（ ）
（A ）4ln ； （B ）0；（C ）4ln 3
1
； （D ）发散.
10. 广义积分?=+-2023
4x x dx
（ ）
（A ）3ln 1-； （B ）3
2
ln 21（C ）3ln ； （D ）发散
二、 证明不等式： ?≤-≤21
06
121π
n x dx
三、 求下列函数的导数：
1.
?+=3
2
4
1)(x x
t
dt x F
2. 由方程
?
2
sin x dt t
t
，的为确定x y 函数，求dx dy .
四、 求下列定积分：
1.
?
+4
1
)
1(x x dx
2.
?
-+a
x
a x dx 0
2
2
3. ?
1
02
dx xe x 4.
?
---5
2
232dx
x x
159.
5. dx e x ?
-2
ln 01
6.
?+∞
∞-++942x x dx
7.
?
+∞
-1
1
1
dx x x
五、 生产某种产品的固定成本为50万元，边际成本与边际收益分别为：
10016)('2+-=Q Q Q C （万元/单位产品）， Q Q R 489)('-= （万元/
单位产品），试确定工厂应将产量定为多少个单位时，才能获得最大利润？
并求最大利润。
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。请预览后才下载，期待您的好评与关注！）
定积分的应用
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definition of defi nite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in the higher mathe matics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, through the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very convenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5] 。本文将举例介绍定积分在 的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么 ()()()1)(Λa F b F dx x f b a -=?
第五章 定积分 【考试要求】 1．理解定积分的概念和几何意义，了解可积的条件． 2．掌握定积分的基本性质． 3．理解变上限的定积分是变上限的函数，掌握变上限定积分求导数的方法． 4．掌握牛顿——莱布尼茨公式． 5．掌握定积分的换元积分法与分部积分法． 6．理解无穷区间广义积分的概念，掌握其计算方法． 7．掌握直角坐标系下用定积分计算平面图形的面积． 【考试内容】 一、定积分的相关概念 1．定积分的定义 设函数 ()f x 在[,]a b 上有界，在[,]a b 中任意插入若干个分点 0121n n a x x x x x b -=<<<<<=L ， 把区间[,]a b 分成n 个小区间01[,]x x ，12[,]x x ，L ，1[,]n n x x -， 各个小区间的长度依次为1 10x x x ?=-，221x x x ?=-，L ，1n n n x x x -?=-．在 每个小区间1[,]i i x x -上任取一点i ξ （1i i i x x ξ-≤≤） ，作函数值()i f ξ与小区间长度i x ?的乘积()i i f x ξ? （1,2,,i n =L ） ，并作出和1 ()n i i i S f x ξ==?∑． 记 12max{,,,}n x x x λ=???L ，如果不论对[,]a b 怎样划分，也不论在小区间 1[,]i i x x -上点i ξ怎样选取，只要当0λ→时，和S 总趋于确定的极限I ，那么称这个极 限I 为函数 ()f x 在区间[,]a b 上的定积分（简称积分），记作 ()b a f x dx ?，即
1 ()lim ()n b i i a i f x dx I f x λξ→===?∑? ， 其中 ()f x 叫做被积函数，()f x dx 叫做被积表达式，x 叫做积分变量，a 叫做积分下限， b 叫做积分上限，[,]a b 叫做积分区间． 说明：定积分的值只与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记法无关，也就是说 ()()()b b b a a a f x dx f t dt f u du ==? ??． 2．定积分存在的充分条件（可积的条件） （1）设 ()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上可积． （2）设 ()f x 在区间[,]a b 上有界，且只有有限个间断点，则()f x 在区间[,]a b 上可积． 说明：由以上两个充分条件可知，函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在[,]a b 上 一定可积；若 ()f x 在[,]a b 上可积，则()f x 在区间[,]a b 上不一定连续，故函数() f x 在区间[,]a b 上连续是 ()f x 在[,]a b 上可积的充分非必要条件． 3．定积分的几何意义 在区间[,]a b 上函数 ()0f x ≥时，定积分()b a f x dx ?在几何上表示由曲线 ()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴所围成的曲边梯形的面积． 在区间[,]a b 上 ()0f x ≤时，由曲线()y f x =、两条直线x a =、x b =与x 轴 所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，定积分()b a f x dx ? 在几何上表示上述曲边梯形面积的 负值． 在区间[,]a b 上 ()f x 既取得正值又取得负值时，函数()f x 的图形某些部分在x 轴 的上方，而其他部分在x 轴的下方，此时定积分 ()b a f x dx ? 表示x 轴上方图形的面积减去 x 轴下方面积所得之差． 二、定积分的性质
定积分的性质与计算方法 摘要: 定积分是微积分学中的一个重要组成部分,其计算方法和技巧非常 丰富。本文主要给出定积分的定义及讨论定积分的性质和计算方法,并通过一些很有代表性的例题说明了其计算方法在简化定积分计算中的强大功能。 关键词:定积分 性质 计算方法 定积分的定义 设函数f(x) 在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n 个子区间[x 0,x 1], (x 1,x 2], (x 2,x 3], …, (x n-1,x n ]，其中x 0=a ，x n =b 。可知各区间的长度依次是：△x 1=x 1-x 0, △x 2=x 2-x 1, …, △x n =x n -x n-1。在每个子区间(x i-1,x i ]中任取一点i ξ（1,2,...,n ），作和式1()n i i f x ι=ξ?∑。设λ=max{△x 1, △x 2, …, △x n }（即λ是 最大的区间长度），则当λ→0时，该和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x) 在区间[a,b]的定积分，记为: ()b a f x dx ?。 其中：a 叫做积分下限，b 叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积表达式，∫ 叫做积分号。 对于定积分，有这样一个重要问题：函数()f x 在[a,b]上满足怎样的条件， ()f x 在[a,b]上一定可积？下面给出两个充分条件： 定理1： 设()f x 在区间[a,b]上连续，则()f x 在[a,b]上可积。 定理2： 设()f x 在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则 ()f x 在[a,b]上可积。 例：利用定义计算定积分1 20x dx ?. 解：因为被积函数2()f x x =在积分区间[0,1]上连续，而连续函数是可积的，所以积分与区间[0,1]的分法及点i ξ的取法无关。因此，为了 便于计算，不妨把区间[0,1]分成n 等份，分点为i i x n = ，1,2,,1i n =?-;这样，
浅谈定积分的应用 **** **** （天津商业大学经济学院，中国天津 300134) 摘要：定积分在我们日常生活和学习中有很多的用处，本文阐述了定积分的定义和几何意义，并通过举例分析了定积分在高等数学、物理学、经济学等领域的应用条件及其应用场合，通过分析可以看出利用定积分求解一些实际问题是非常方便及其准确的。 关键词 定积分 定积分的应用 求旋转体体积 变力做功 The Application of Definite Integral **** **** (Tianjin University of Commerce ，Tianjin ，300134，China) Abstract:Definite integral in our daily life and learning have a lot of use, this paper expounds the definitio n of definite integral and geometric meaning, and through the example analysis of the definite integral in t he higher mathematics, physics, economics, and other fields of application condition and its applications, t hrough the analysis can be seen that the use of definite integral to solve some practical problems is very co nvenient and accurate. Keywords: definite integral, the application of definite integral, strives for the body of revolution, volume change forces work 0、前言 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。一元函数情况下，求微分实际上是求一个已知函数的导数，而积分是已知一个函数的导数，求原函数，所以，微分与积分互为逆运算。在我们日常生活当中，定积分的应用是十分广泛的。定积分作为人类智慧最伟大的成就之一，既可以作为基础学科来研究，也可以作为一个解决问题的方法来使用。 微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分渗透到我们生活中的方方面面，推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展[1-5]。本文将举例介绍定积分在的我们日常学习和生活当中的应用。 1定积分的基本定理和几何意义 1.1、定积分的定义 定积分就是求函数)(x f 在区间[]b a ,中图线下包围的面积。即由0=y ，a x =， b x =,()x f y =所围成图形的面积。 定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的容是： 如果)(x f 是[]b a ,上的连续函数，并且有())(' x f X F =，那么
第五章第五节定积分在几何学上的应用 教学目的：掌握用元素法计算平面图形的面积、计算体积、计算平面曲线的弧长、计算平面曲线的弧长。 教学重点：直角坐标系下平面图形的面积计算，体积的计算，平面曲线弧长的计算、平面曲线弧长的计算。 教学难点：面积元素的选取、体积元素的选取、弧长元素的选取 教学内容： 一、定积分的元素法 1 (1) (2) (3) 2、写出计算U的定积分表达式步骤(1) (2) ) 元素 (3) 这个方法叫做元素法
dU f x dx a x b =≤≤ ()( ) 因此，也称此法为微元法。 二、平面图形面积的计算 1．直角坐标的情形 由曲线y f x f x =≥ ()(()) 0及直线x a =与x b = ( a b < ) 与x轴所围成的曲边梯形面积A。 A f x dx a b =?()其中：f x dx ()为面积元素。 由曲线y f x =()与y g x =()及直线x a =，x b =( a b < )且f x g x ()() ≥所围成的图形面积A。 ? ? ?- = - = b a b a b a dx x g x f dx x g dx x f A]) ( ) ( [ ) ( ) ( 其中：[()()] f x g x dx -为面积元素。 例1 计算抛物线y x 22 =与直线y x =-4所围成的图形面积。
解：1、先画所围的图形简图 解方程 y x y x 224 ==-???, 得交点：(,)22- 和 (,)84。 2、选择积分变量并定区间 选取x 为积分变量，则08≤≤x 3、给出面积元素 在02≤≤x 上，dA x x dx xdx =--=[()]2222 在28≤≤x 上， dA x x dx x x dx =--=+-[()]()2442 4、列定积分表达式 2 8 2 2 8 3322 2 2 2 2[42]42 22143 3218 A xdx x x dx x x x x =++ -?? = ++-????=?? 另解：若选取 y 为积分变量，则 -≤≤24y dA y y dy =+-[()]412 2
·复习 1 原函数的定义。2 不定积分的定义。3 不定积分的性质。4 不定积分的几何意义。 ·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上，我们进一步来讨论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。 ·讲授新课 第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法 一基本积分公式 由于求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地可以得到积分的基本公式如下：
以上十五个公式是求不定积分的基础，必须熟记，不仅要记右端的结果，还要熟悉左端被积函数的的形式。 求函数的不定积分的方法叫积分法。 例1.求下列不定积分.（1）dx x ?2 1 （2） dx x x ? 解：（1） dx x ? 21 ＝2121 21x x dx C C x -+-=+=-+-+? （2）dx x x ? ＝C x dx x +=? 25 235 2 此例表明，对某些分式或根式函数求不定积分时，可先把它们化为x α 的形式，然后应用幂函 数的积分公式求积分。 二 不定积分的基本运算法则
法则1 两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即 dx x g dx x f dx x g x f ???±=±)()()]()([ 法则1对于有限多个函数的和也成立的． 法则2 被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即 dx x f k dx x kf ??=)()( （0≠k ） 例2 求3(21)x x e dx +-? 解 3(21)x x e d x +-?=23x dx ?+dx ?-x e dx ? = 4 12 x x x e C +-+。 注 其中每一项的不定积分虽然都应当有一个积分常数，但是这里并不需要在每一项后面加上一个积分常数，因为任意常数之和还是任意常数，所以这里只把它的和C 写在末尾，以后仿此。 注 检验解放的结果是否正确，只把结果求导，看它的导数是否等于被积函数就行了。如上例 由于41()2 x x x e C '+-+=321x x e +-，所以结果是正确的。 三 直接积分法 在求积分的问题中，可以直接按基本积分公式和两个基本性质求出结果（如上例）但有时，被积函数常需要经过适当的恒等变形（包括代数和三角的恒等变形）再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法。 例3 求下列不定积分. （1） 1)(x dx ? （2）dx x x ?+-1 122 解：（1）首先把被积函数 1)()x 化为和式，然后再逐项积分得 1)((1x dx x dx - =+-- ??
例3 求由曲线及轴所围图形的面积。 解画草图，曲线与的交 点是，取为积分变量， 时，， 时，， 所以， 例4求由圆与直线及曲线所围图形的面积。 解画草图，取为积分变量，
例5 求抛物线与其在点处的法线所围成图形的面积。 解先求出法线方程，画出草图，再求出法线与抛物线的两个交点 ，所以， 例6 求曲线的一条切线，使得该切线与直线及曲线所围成的图形的面积 A 为最小。 解（1）关键是找出目标函数，即所围面积与切点 坐标间的函数关系。设为曲线上 任一点，则此点处的切线方程 为 , 于是所求面积
= （2）下面求 A 的最小值： 令得。又当，时；当时，。 故当时，A 取极小值，也是最小值，从而得到切线方程 参数方程的情形 按直角坐标情形分析，参数方程相当于积分时把积分变量做了变换。不用记公式。 由连续曲线，轴及直线、 所围图形的面积为 其中 例7求摆线的一拱与轴所围成的平面图形的面积。
解如图，对应与图中摆线的一拱，的变化范围为，参数t 的变化范围为。故所求面积为
= 2. 极坐标情形 设曲线的极坐标方程为 连续，由曲线及射线 所围曲边扇形 的面积 为 （记住） 例8 求双纽线所围成的平面图形的面积。
解由于双纽线的图形和极轴与极点都对称，因此只需求出区间上部分面积再 4 倍即可 1. 平行截面面积已知的立体体积 设空间立体被垂直于轴的平面所截，截面面积为，且立体在 之间，则体积元素，立体体积 例9 一平面经过半径为的圆柱体的底圆中心，并与底面成交角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积。 解取这平面与圆柱体的底面的交线
定积分的几个简单应用 一、定积分在经济生活中的应用 在经济管理中，由边际函数求总函数，一般采用不定积分来解决，或者求一个变上限的定积分；如果求总函数在某个范围的改变量，则采用定积分来解决． 例1 某商场某品牌衬衫的需求函数是q p 15.065-=，如果价格定在每件50元，试计算消费者剩余． 解 由p 50=，q p 15.065-=，得10000=q ，于是 dq q )5015.065(10000 0--? 10000023 ) 1.015(q q -= 50000=， 所求消费者剩余为50000元． 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+='（件／天），求从第5天到第10天产品的总产量． 解 所求的总产量为 ??+='=10 5105)1240()(dt t dt t Q Q 1052) 640(t t +=650=（件）． 二、用定积分求极限 例1 求极限 ∑=∞→n k n n k 123 lim ． 解 n n n n n n n n k n k 12111123 +++=∑= )21(1n n n n n +++= ． 上式是函数[]1,0)(在x x f =的特殊积分和．它是把[]1,0分成n 等分，i ξ取?? ????-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数[]1,0)(在x x f =可积，由定积分定义，有
∑=∞→n k n n k 12 3lim ??????+++=∞→)21(1lim n n n n n n 3210==?dx x ． 例2 求极限 2213lim k n n k n k n -∑ =∞→． 解 212213)(11n k n k n k n n k n k n k -?=-∑∑==． 上式是函数[]1,01)(2在x x x f -=的特殊积分和．它是把区间[]1,0分成n 等分，i ξ取?? ????-n i n i ,1的右端点构成的积分和．因为函数21)(x x x f -=在[]1,0可积，由定积分定义，有 2213lim k n n k n k n -∑=∞→3 1)1(311102321 02=??????--=-=?x dx x x ． 三、用定积分证明不等式 定积分在不等式的证明中有着重要的应用．在不等式的证明中，可根据函数的特点，利用定积分的性质来证明． 例1 设)(x f 是闭区间[]b a ,上的连续函数，且单调增加，求证： ?? +≥b a b a dx x f b a dx x xf )(2)(． 证明 作辅助函数 dt t f x a dt t tf x x a x a ??+-=)(2)()(?， 显然0)(=a ?，且 )(2 )(21)()(x f x a dt t f x xf x x a ?+--='? )(2 ))((21)(2x f a a x f x f x ---=ξ [])()(2 ξf x f a x --=， 其中[]x a ,∈ξ．因为)(x f 在[]b a ,上单调增加，所以0)(≥'x ?，从而)(x ?在闭区间[]b a ,上单调增加，所以 0)()(=≥a x ??，
第六章 定积分的应用 （A ） 1、求由下列各曲线所围成的图形的面积 1）221x y = 与822=+y x （两部分都要计算） 2）x y 1= 与直线x y =及2=x 3）x e y =，x e y -=与直线1=x 4）θρcos 2a = 5）t a x 3cos =，t a y 3sin = １、求由摆线()t t a x sin -=，()t a y cos 1-=的一拱()π20≤≤t 与横轴所围成的图形的 面积
２、求对数螺线θρae =()πθπ≤≤-及射线πθ=所围成的图形的面积 ３、求由曲线x y sin =和它在2π =x 处的切线以及直线π=x 所围成的图形的面积和它绕 x 轴旋转而成的旋转体的体积 ４、由3x y =，2=x ，0=y 所围成的图形，分别绕x 轴及y 轴旋转，计算所得两旋转体 的体积 ５、计算底面是半径为R 的圆，而垂直于底面上一条固定直径的所有截面都是等边三角形 的立体体积 ６、计算曲线()x y -= 33 3上对应于31≤≤x 的一段弧的长度 ７、计算星形线t a x 3cos =，t a y 3sin =的全长
８、由实验知道，弹簧在拉伸过程中，需要的力→F （单位：N ）与伸长量S （单位：cm ） 成正比，即：kS =→F （k 是比例常数），如果把弹簧原长拉伸6cm ， 计算所作的功 ９、一物体按规律3ct x =作直线运动，介质的阻力与速度的平方成正比，计算物体由0 =x 移到a x =时，克服介质阻力所作的功 １０、 设一锥形储水池，深15m ，口径20m ，盛满水，将水吸尽，问要作多少功？ １１、 有一等腰梯形闸门，它的两条底边各长10cm 和6cm ，高为20cm ，较长的底边 与水面相齐，计算闸门的一侧所受的水压力 １２、 设有一长度为λ，线密度为u 的均匀的直棒，在与棒的一端垂直距离为a 单位处 有一质量为m 的质点M ，试求这细棒对质点M 的引力 (B) 1、设由抛物线()022>=p px y 与直线p y x 2 3=+ 所围成的平面图形为D 1） 求D 的面积S ;2）将D 绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积
3-4定积分应用及广 义积分
第三章一元积分学 第四节定积分的应用及广义积分 一．定积分的应用 积分有着广泛的应用。在这里我们要掌握（1）直接用公式计算（主要是面积、弧长、体积的公式）（2）用元素法计算。遇到具体问题时，如能直接用公式，我们就用公式去做，如没有现成的公式可用或公式忘了，我们可用元素法去 解。元素法同样适用于重积分的应用问题，还可以用元素法建立微分方程，所以说掌握了元素法就可以做到以不变应万变。 例１．（1）曲线?Skip Record If...?与?Skip Record If...?轴所围成的图形的面积为?Skip Record If...?． （２）曲线?Skip Record If...?的弧长为?Skip Record If...?． 解：（１）所求的面积为?Skip Record If...? 而?Skip Record If...??Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...??Skip Record If...? （２）弧长为?Skip Record If...? 例２．过点?Skip Record If...?作曲线?Skip Record If...?的切线， （１）求切线方程； （２）求由这切线与该曲线及?Skip Record If...?轴围成的图形绕?Skip Record If...?轴旋转一周所得旋转体的体积． 解：（１）?Skip Record If...? 设切点为?Skip Record If...?，则有?Skip Record If...? 解得?Skip Record If...?，那么切线的斜率为?Skip Record If...? 切线方程为?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?
不定积分计算的各种方法 广东石油化工学院高州师范学院312数学（1）班梁多彬 【摘要】本论文将要介绍常见的不定积分的各种计算方法以及某些特殊不定积分的求解方法，如：直接积分法（公式法）、分部积分法、换元积分法（第一换元积分法和第二换元积分法）、以及一些特殊函数的积分技巧与方法（有理函数的不定积分以及简单无理函数与三角函数的不定积分），并将结合例题探讨快捷方便的解题方法。 【关键词】不定积分直接积分法分部积分法换元积分法有理函数不定积分简单无理函数与三角函数有理式的不定积分 一、引言 不定积分是《数学分析》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分，瑕积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的基础，掌握不定积分的计算方法对于学习这些后续内容具有重要意义。不定积分的解法不像微分运算有一定的法则，它需要根据不同的题型特点采用不同的解法，因此积分运算比起微分运算来，方法更多样，技巧性更强。下面将不定积分的各种计算方法分类归纳，以便于更好的掌握、运用。 二、不定积分的概念 定义：函数f(x)在区间I的所有的原函数()()R F∈ x C C +称为函数f(x)的不 ? 定积分，表为
?+=C x F dx x f )()( （)()('x f x F =，C 为积分常数）, 其中∫称为积分符号，x 称为积分变量，f(x)称为被积函数，f(x)dx 称为被积表达式，C 称为积分常数。 在这里要特别注意：一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。列如： at at =??? ? ??' 221，而?+=C at atdt 221； () x x cos sin ' =,而?+=C x xdx sin cos ； 2 ' 331x x =??? ? ??，而?+=C x dx x 3231. 这也就是说： ()?)(d x f dx 和?dx x f )(' 是不相等的，即前者的结果是一个函数， 而后者是无穷多个函数，所以，在书写计算结果时一定不能忘记积分常数。 三、不定积分的计算方法 1.直接积分法 既然积分运算是微分运算的逆运算，那么自然地可以从导数公式得到相应的积分公式，并且我们把一些基本的积分公式列成一个表，这个表通常叫作基本积分表： （1）、?+=C ax adx ,其中a 是常数. ?+=C x dx . （2）、?++= +C x dx 11 1 x ααα，其中α是常数，且α≠-1. （3）、? +=C x x dx ln ,x ≠0. （4）、C a a dx a x x +=?ln 1 ,其中a>0，且a ≠1.
第五节 定积分在几何中的应用 本节先介绍运用定积分解决实际问题的一种常用方法——微元法，然后讨论定积分在几何中的应用。 一、微元法 本章第一节讨论计算曲边梯形面积的四个步骤中，关键是第二步，即确定 ()i i x f A ?≈?ξ 在实用上，为简便起见，省略下标。i 用A ?表示任一小区间[]dx x x +,上的小曲边梯形的面积，这样 ∑?=A A 取[]dx x x +,的左端点x 为i ξ，以点x 处的函数值()x f 为高，dx 为底的矩形面积为A ?的近似值（如图5-14中阴影部分所示），即 ()dx x f A ≈? 上式右端()x f dx 称为面积微元， 记为()dx x f dA =，于是面积 A 就是将这些微元在区间[]b a ,上 的“无限累加”，即a 到b 的定积分 ()dx x f dA A b a b a ??== 分通过上面的作法，我们可以把定积分——和式的极限理解成无限多个微分之和，即积分是微分的无限累加。 概括上述过程，对一般的定积分问题，所求量F 的积分表达式，可按以下步骤确定： （1） 确定积分变量x ，求出积分区间[]b a ,。 （2） 在[]b a ,上，任取一微小区间[]dx x x +,，求出部分量F ?的近似值 F ?()dx x f dF =≈（称它为所求量F 的微元）。 （3） 将dF 在[]b a ,积分，即得到所求量()dx x f dF F b a b a ??==，通常把这种方法 叫做微元法（或元素法） 下面用微元法讨论定积分在几何中的应用。 二、平面图形的面积 1. 直角坐标情形 根据定积分的几何意义，由区间 [] b a ,连续曲线 ()()()()[]()b a x x g x f x g y x f y ,,∈≥==、及直线b x a x ==、所围成的平面图形的 图 5-14
概述定积分的发展与应用 摘要：概述了定积分发展的三个历史阶段,讨论了定积分在各个学科中的具体应用. 关键词：分割近似; 定积分; 流数法; 应用 微积分创立是数学史上一个具有划时代意义的创举,也是人类文明的一个伟大成果.正如恩格斯评价的那样："在一切理论成就中,未必再有什么象17世纪下半叶微积分的发明那样被当作人类精神的最高胜利了." 它是科学技术以及自然科学的各个分支中被广泛应用的最重要的数学工具; 如数学研究, 求数列极限, 证明不等式等. 而在物理方面的应用,能够说是定积分最重要的应用之一,正是因为定积分的产生和发展,才使得物理学中精确的测量计算成为可能, 如：气象,弹道的计算,运动状态的分析等都要用的到微积分. 定积分的发展大致能够分为三个阶段：古希腊数学的准备阶段,17世纪的创立阶段以及19世纪的完成阶段. 1准备阶段 主要包括17世纪中叶以前定积分思想的萌芽和先驱者们大量的探索、积累工作.这个时期随着古希腊灿烂文化的发展,数学也开始散发出它不可抵挡的魅力.整个16世纪,积分思想一直围绕着"求积问题"发展,它包括两个方面：一个是求平面图形的面积和由曲面包围的体积,一个是静力学中计算物体重心和液体压力.德国天文学家、数学家开普勒在他的名著《测量酒桶体积的新科学》一书中,认为给定的几何图形都是由无穷多个同维数的无穷小图形构成的,用某种特定的方法把这些小图形的面积或体积相加就能得到所求的面积或体积,他是第一个在求积中使用无穷小方法的数学家.17世纪中叶,法国数学家费尔玛、帕斯卡均利用了"分割求和"及无穷小的性质的观点求积.可见,利用"分割求和"及无穷小的方法,已被当时的数学家普遍采用. 2 创立阶段 主要包括17世纪下半叶牛顿、莱布尼兹的积分概念的创立和18世纪积分概念的发展.牛顿和莱布尼兹几乎同时且互相独立地进入了微积分的大门. 牛顿从1664年开始研究微积分,早期的微积分常称为"无穷小分析",其原因在于微积分建立在无穷小的概念上.当时所谓的"无穷小"并不是我们现在说的"以零为极限的变量",而是含糊不清的,从牛顿的"流数法"中可见一斑,"流数法"的主要思想是把连续变动的量称为"流量",流量的微小改变称为"瞬"即"无穷小量",将这些变量的变化率称为"流数".用小点来
第六章定积分的应用 教学目的 1、理解元素法的基本思想； 2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、 旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。 3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均 值等）。 教学重点： 1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面 面积为已知的立体体积。 2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。 教学难点： 1、截面面积为已知的立体体积。 2、引力。 §6.1 定积分的元素法 回忆曲边梯形的面积: 设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分, ?=b a dx x f A) ( 是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数 ?=x a dt t f x A)( ) ( 就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值?A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素. 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以
[a , b ]为积分区间的定积分: ?=b a dx x f A )( . 一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得 ?=b a dx x f U )(. 用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法). §6. 2 定积分在几何上的应用 一、平面图形的面积 1．直角坐标情形 设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b a ?-=)]()([下上. 类似地, 由左右两条曲线x =?左(y )与x =?右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为 ?-=d c dy y y S )]()([左右??. 例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.
定积分在经济学中的应用 摘要：定积分是微积分中重要内容，它是解决许多实际问题的重要工具，在经济学中有着广泛的应用，而且内容十分丰富。文中通过具体事例研究了定积分在经济学中的应用，如求总量生产函数、投资决策、消费者剩余和生产者剩余等方面的应用。 关键词：定积分；原函数；边际函数；最大值最小值；总量生产函数；投资；剩余 引言 积分学是微分学和积分学的总称。由于函数概念的产生和应用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的。可以说是继欧氏几何后，全部数学中最大的一个创造。微积分是与应用联系着并发展起来的。定积分推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支的发展。并在这些学科中有越来越广泛的应用，微积分是一门历史悠久而又不断发展进步的学科，历史上许多著名的数学家把毕生的心血投入到微积分的研究中，从生产实际的角度上看，应用又是重中之重，随着数学的不断前进，微积分的应用也呈现前所未有的发展。本文将重点介绍定积分在经济学中的应用。 1 利用定积分求原经济函数问题
在经济管理中, 由边际函数求总函数( 即原函数) , 一般采用不定积分来解决,或求一个变上限的定积分。可以求总需求函数,总成本函数, 总收入函数以及总利润函数。 设经济应用函数u( x ) 的边际函数为)(x u ' ,则有 dx x u u x u x )()0()(0?'+= 例1 生产某产品的边际成本函数为100143)(2+-='x x x c , 固定成本C (0) =10000, 求出生产x 个产品的总成本函数。 解 总成本函数 dx x c c x c x ?'+='0)()0()( =dx x x x )100143(1000002+-+? =x x x x 02_3|]1007[10000++ =x x x 10071000023+-+ 2 利用定积分由变化率求总量问题 如果求总函数在某个范围的改变量, 则直接采用定积分来解决。 例2 已知某产品总产量的变化率为t t Q 1240)(+=' ( 件/天) , 求从第5 天到第10 天产品的总产量。 解 所求的总产量为 dt t Q Q ?'=0 5)( 650)150200()600400(|)640()1220(105210 5=+-+=+=+=?t t dt t (件) 3 用定积分求经济函数的最大值和最小值 例3 设生产x 个产品的边际成本C = 100+ 2x , 其固定成本为10000=c 元,产品单价规定为500元。假设生产出的产品能完全销售,
数学分析（2）：定积分计算与应用 1、4 01cos 2x dx x π +? 2 、 ln 0? 3 、 (211x dx -+? 4 、1? 5、32122dx x x -? 6、21(1)dx x x +∞+? 7、 21arctan x dx x +∞? 8 、10? 9、120ln(1)1x I dx x +=+? 10 、设1 20()3()f x x f x dx =，求()f x . 11、设21,0(),0x x x f x e x -?+<=?≥? ，求30(2)f x dx -? 12、求由曲线x y xe =与直线y ex =所围成的图形的面积. 13 、求曲线y =l ，使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成平面图形面积最小. 14 、求函数2 y = 1[2上的平均值. 15、设平面图形A 由222x y x +≤与y x ≥所确定，求图形A 绕直线2x =旋转一周所得旋转体的体积 16、求摆线1cos sin x t y t t =-?? =-?一拱()02t π≤≤的弧长.
17、设有曲线y =x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得到的旋转体的表面积. 18、设xOy 平面上有正方形{(,)01,01}D x y x y =≤≤≤≤及直线:l x y t +=.(0)t ≥ 若()s t 表示正方形D 位于直线l 左下方部分的面积，试求 0()(0)x S t dt x ≥?. 19、设()0sin x t f x dt t π=-?，计算()0f x dx π?. 20、设()f x 在[]0,a 上具有连续的导数，且(0)0f =. 证明：20()2 a Ma f x dx ≤?，其中{}'max ()a x b M f x ≤≤=. 21、设()f x 在[0,1]上有二阶连续导数，证明： 1 10011()[(0)(1)](1)()22f x dx f f x x f x dx ''=+--??
§1.7定积分的简单应用（二课时） 一：教学目标 知识与技能：初步掌握利用定积分求曲边梯形的几种常见题型及方法；让学生深刻理解定积 分的几何意义以及微积分的基本定理。 过程与方法：进一步让学生深刻体会“分割、以直代曲、求和、逼近”求曲边梯形的思想方 法 情感态度与价值观：体会定积分在物理中应用（变速直线运动的路程、变力沿直线做功）， 培养学生唯物主义思想。 二：教学重难点 重点 曲边梯形面积的求法 难点 定积分求体积以及在物理中应用 三：教学过程：（第一课时） 1、复习 1、求曲边梯形的思想方法是什么？ 2、定积分的几何意义是什么？ 3、微积分基本定理是什么？ 2、定积分的应用 （一）利用定积分求平面图形的面积 例1．计算由两条抛物线2 y x =和2 y x =所围成的图形的面积. 【分析】两条抛物线所围成的图形的面积，可以由以两条曲线所对应的曲边梯形的面积的差得到。 解：2 01y x x y x ?=?==?=??及，所以两曲线的交点为（0，0）、（1，1），面积 S=1 20 0x dx = -? ? ，所以 ?1 20S =x )dx 32 1 3023 3x x ??=-????=13 【点评】在直角坐标系下平面图形的面积的四个步骤： 1.作图象；2.求交点；3.用定积分表示所求的面积；4.微积分基本定理求定积分。 巩固练习 计算由曲线3 6y x x =-和2 y x =所围成的图形的面积. 例2．计算由直线4y x =- ，曲线y = x 轴所围图形的面积S. 分析：首先画出草图（图1.7 一2 ) ，并设法把所求图形的面积问题转化为求曲边梯形 2 x y =y x A B C D O
高等数学之不定积分的计算方法总结不定积分中有关有理函数、三角函数有理式、简单无理函数的求法,是考研中重点考察的内容，也是考研中的难点。不定积分是计算定积分和求解一阶线性微分方程的基础，所以拿握不定积分的计算方法很重要。不定积分考查的函数特点是三角函数、简单无理函数、有理函数综合考查,考查方法是换元积分法、分部积分法的综合应用。不定积分的求法的理解和应用要多做习题,尤其是综合性的习题,才能真正掌握知识点,并应用于考研。 不定积分的计算方法主要有以下三种： (1)第一换元积分法,即不定积分的凑微分求积分法; (2)第二换元积分法 (3)分部积分法常见的几种典型类型的换元法:
樂，Q? o 金J犷- / .乍治阳必厶二如皿盒.「宀丄" 名% =a仏 找.』x二a沁沁r 年”十I '九久二严詈严妬5inx八ic5兄厶 整 I—炉 叶严 山二启虫? 常见的几种典型类型的换元法 题型一:利用第一换元积分法求不定积分
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当积分j/O心(X)不好计算容易计算时［使用分部私jf(A-)Jg(.v)二f(x)g(x)- J g(x)df(x).常见能使用分部积分法的类型： ⑴卩"“dx J x n srn xdx J尢"cos皿等，方法是把。',sin-t, cosx 稽是降低X的次数 是化夫In 尢9 arcsine arctanx. 例11: J (1 + 6-r )arctanAz/.r ：解：arctan f xdx等，方法是把疋； Jx" arcsm11xdx