高等数学综合练习（文科各专业本、专科）
一、填空题
1.设x
x
x f +-=11)(,则=))((x f f .
2. 设==+)))((ln(,)(1
2x f f e
x f x 则 .
3．设3)1(2
+-=+x x x f ，则=-)1(x f 。 4. 函数)4lg(2
-=x y 的定义域为 .
5.函数x
x
y -+=
11的定义域为 . 6．x
x
y -+=
32的定义域为 。 7. 函数x
x y 1
arcsin
+=的定义域为 . 8. =++++∞→])21(8141211[lim n
n . 9.=∞→x
x x sin lim . 10. =→x
x
x sin lim 0 .
11．=---+∞→4
252
72lim
33x x x x x 。 12．=-++∞→8
25
lim
22x x x x . 13． 当→x 时，11
sin
→x
x . 14.设函数???
??≥+<=0
30tan )(x x x x kx
x f 在0=x 处有极限，则=k 。
15.若==-++→a x b
ax x x 则,51lim
21 . 16．若43
2lim
23=-+-→x k
x x x ，则________=k . 17．设,8)2(
lim =-+∞
→x
x k
x k x 则=k 。
18.设e x
k x
x =-
∞
→2)1(lim ，则=k . 19．已知()323lim
=→x f x x ，则()__________5lim 0=→x
x f x 。
20. 设???
?
???>+=<=)
0(,11
sin )0(,)0(,sin 1
)(x x x x k x x x x f 在0=x 处连续,则=k .
21.已知1)2(='f ，则=--→h
f h f h 3)
2()2(lim
.
22.设)(x f 在0x 点可导,且1)(0='x f ,则=-+→h
x f h x f h )
()2(lim
000
.
23. 已知()10='x f ，则()()
__________lim 000
=--→h
x f h x f h 。
24. 设1)
0()2(lim
0=-→x
f x f x ，则=')0(f .
25.设()11='f ，则()()=--→1
1lim 21x f x f x ______。 26. 设x
e y 2-=,则='y .
27.设2
x e
y -=,则='y .
28. 设x y sin ln =,则='y . 29.设)sin(2
x y =,则='y . 30. 设2ln x y =,则='y . 31．若,11)11(
x
x f +=-则=')(x f 。 32. 设)12ln(+=x y ,则=dy . 33. 设)2cos(x y -=,则=dy . 34.设x
e
y cos =,则=dy .
35.设x x y cos sin +=,则=dy . 36. 设x y 2sin =,则=dy .
37. 设x y ln =
,则==e x dy | .
38．曲线2
x y =在点（2,4）处的切线方程为 。 39. 曲线x
y 1
=
在点（1,1）处的切线方程为 . 40. 曲线x x y ln =在点()e e ,处的切线方程为_______________。 41．曲线x
e y -=在点)1,0(处的切线方程是 .
42. 函数x
x
y ln =
的单调增加区间为______。 43. 设函数)(x f 的一个原函数为x +11
,则=)(x f .
44. 设函数)(x f 的一个原函数为2
11
x +,则=)(x f .
45. 设函数)(x f 的一个原函数为x ln ,则=')(x f . 46. 不定积分=?
xdx 2sin . 47.?
=dx x x 53 。
48．设
?
+=,)(2c x dx x f 则=)(x f 。
49.不定积分()()c x F dx x f +=?
，则()?
=__________________ln dx x
x f 。 50.
___________||1
1
-=?dx x .
51. 设()()dx x f x x f ?-
=10
4，则()____________1
=?dx x f 。
52.设奇函数)(x f 在闭区间],[a a -上连续,且
?=a dx x f 0
)(1,则?-=0
)(a
dx x f .
53．
=+?
-dx x
x 1
1
2
1 .
54.
___________1sin 1
1-2=++?dx x x
x .
55. 在[a ,b ]上,f (x )<0,则由曲线y =f (x )与直线x =a ,x =b 及x 轴所围成的图形的面积的积分表达式为 .
二、求下列极限
1．])
1(1321211[
lim +++?+?∞
→n n n 2．)2222(lim 284n
n ??∞
→
3．)(lim 22
x x x x x --
++∞
→
4．)2
2312(
lim 4
---+→x x x
5．)1
3
11(lim 31+-+-→x x x
6. .sin 1sin
lim
20x
x x x → 7. x x x x x sin sin lim 0+-→
8. x
x x 3arcsin 2lim 0→
9. x
x
x x sin 11lim
--+→
10. ().51lim 10
x
x x +→
11．3
2)
431(lim +-∞
→-
x x x
12. x
x x x 10211lim ??
?
??++→
13. 1
)1
232(lim +∞→++x x x x .
14．x
x x 3sin )
21ln(lim 0+→
15. ()??
?
??+-→201ln 1lim x x x x 16. .arctan 2lim ??
?
??-+∞
→x x x π 17. 3
sin lim x x
x x -→
三、求下列函数的导数和微分：
1．设()()
125
512-+-=x x y ，求y '。
2．设.,31arccos y x y '-=求 3．设.,2ln )31ln(cos y x y '++=求 4．设.,sin sin y x x y n
n
'?=求 5．设.,42
arcsin
2y x x
x y '-+=求 6.设1
1
arcsin +-=x x y ，求y ' 7.设).(,1)1(x f x
x
x f '+=求 8. 设.,)4)(3()
2)(1(y x x x x y '----=
求
9. 设()
()
5
4
142+-+=
x x x y ，求y '.
10. 设()
()5
4
142+-+=
x x x y ，求
dx
dy 。 11. 设函数()x f y =是由方程x
y
y x arctan ln 22=+所确定,求y '。
12．设x
y cos 4
=，求dy 。
13.设.,11arctan
2
2
dy x x y 求+-= 14. 设.,1dy xe y y
求+= 15. 设.),1ln(2
y x y ''-=求
16. 设21arccos x x x y --=，求y ''. 17. 设.,arctan )1(2
y x x y ''+=求 18. 设.,2
y xe y x ''=求
四、计算下列积分
1．dt e e t
t ?+-1
1
2. 2．?+dx x x x
sin cos 2cos
3． ?dx x x x
22sin cos 2cos .
4．.sin 11
dx x
?+.
5.
dt t
t ?
sin
6. dx x
x ?+2
)ln 23(. 7.
dx x ?
-24.
8．?
-3
1|2|dx x
9.
?
--1
145dx x
x .
10.
dx x
?-+1
02
32
)1(
11.
?+3
1
2
2
11
dx x
x
.
12.
dx xe x ?-2
ln 0
13.
dx e x x ?1
2 14.
?1
arctan xdx x
15.
?e
xdx x 1
ln
16.
?e
e
dx x 1|ln |.
17．
dx x
?+
8
03
11
。
18. ()
xdx x x
21
1
3sin 1?-+-
五、解答下列各题
1. 证明方程 135
=-x x 在1与2之间至少有一个实根. 2．当0>x 时，试证明：x e x
+>1。 3. 讨论函数2
3
32x x y -=的单调性与极值. 4．求函数59323
+--=x x x y 的极值。
5．试确定a 与b 的值，使11=x ，22=x 均为函数()x bx x a x f 3ln 2
++=的极值点。
6.求曲线x y x y ==与直线2
所围成的平面图形的面积. 7. 求曲线2,1
===
x x y x
y 与直线所围成的平面图形的面积. 8. 求曲线82
-=x y 及直线4,082-==++y y x 所围成的平面图形的面积。
9. 求椭圆122
22=+b
y a x 所围成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.
10．求由曲线1=xy 直线x y =和2=x 所围成的平面图形绕x 轴旋转所得的旋转体体积。
参考答案
一、填空题 1. x
2. 3
4+x e
3. 952
+-x x 4. x >2 或x <-2 5.}11|{<≤-x x 6. 32<≤-x 7. 2
1-≤x 8. 2 9. 0 10. 1
11. 52 12. 21
13. ∞
14. 3 15. 7- 16. 3- 17. 2ln 18. 2
1- 19.
25 20. 1 21. 3
1-
22. 2 23. 1-
24. 21 25. 2
1
26. x
e 22-- 27. 2
2x xe --
28. x cot 29. )cos(22
x x
30. x
2 31.2
)12(1
--
x
32.
dx x 1
22
+ 33. dx x )2sin(2- 34. xdx e
x
sin cos -
35. dx x x )sin (cos - 36. xdx 2cos 2 37.
dx e
21 38.44-=x y 39. x + y -2=0 40. e x y -=2 41． 01=-+y x 42. [
)+∞,e 43. 2
)1(1
x +-
44. 2
2)1(2x x
+-
45.21x -
46. c x +-2cos 2
1
47.
c x
+15
ln 15 48. x 2 49.
C x F +)(ln
50. 1 51. 1 52. 1-
53． 0 54. 0
55. ?-b
a
dx x f )(
二、求下列极限
1．解：])
1(1321211[
lim +++?+?∞
→n n n =)]1
1
1(
)3
1
21()211[(lim +-++-+-∞→n n n =.1)1
1
1(lim =+-∞→n n 2．解：)2222(lim 284n
n ??∞
→
=2
11)2
11(212
18141212
lim 2
lim --∞
→++++∞
→=n n x n
=.22
lim )
211(=-
∞
→n
x
3．解：)(lim 22
x x x x x --
++∞
→
x
x x x x x -++=+∞
→2
2
2lim
x
x x 1
1112lim
-++
=+∞
→
=1
4．解: )2
2312(
lim 4
---+→x x x =])312)(22)(22()22)(312)(312([
lim 4
+++---+-++-+→x x x x x x x
=)
312)(4()22)(82(lim
4
++-+--→x x x x x =)
312()22(2lim
4
+++-→x x x =
3
2
2. 5．解:
.11)1()1(2
1)1()2(lim )
1)(1()
2)(1(lim
13)1(lim )
1
311(
lim 2212132131-=+-----=+--=+-+-+=+-+-=+-+-→-→-→-→x x x x x x x x x x x x x x x x x
6. 解：x
x x x sin 1
sin
lim
20
→0011
sin sin lim
0=?=??=→x
x x x x
7. 解: x x x
x x sin sin lim 0+-→
x
x
x x x sin 1sin 1lim
0+
-
=→ 01
111=+-= 8. 解:令x u arcsin =,则u x sin =,所以
x
x
x 3arcsin 2lim
0→ u u
u sin 32lim
0→= 3
2= 9. 解：()()(
)
x
x x x
x x
x x
x
x x x -++-+
+--
+=--+→→11sin 1111lim sin 11lim
00
(
)
1212111sin lim
211sin 2lim
00
=?=-++?=-++=→→x
x x x x
x x x
x x
10. 解：().51lim 1
x
x x +→
=()
.51lim 50
551
e x x
x =+?→
11．解：32)431(lim +-∞→-
x x x
x x x 2)431(lim -∞→-=3)43
1(x
-
x x x 2)431(lim -∞
→-
=3)431(lim x
x -∞→
2
3
34)]3
41(1[lim ?-
∞→-+=x x x
3)431(lim x
x -
∞
→ 123?=e 2
3e =
12. 解：()()()
()12
2
21
010
110
1
01
21lim 1lim 211lim 211lim -→→→→===
??
????++=++=???
??++e e e
e x x x x x x x x x
x x
x
x x x 13.解:1
)1
232(
lim +∞→++x x x x
=1
)1
221(lim +∞→++x x x =2
1
212)122
1(lim ++∞→++
x x x
=2
12)1
22
1(lim +∞→++
x x x 2
1
)1
221(lim ++∞→x x ＝e e =?1 14．解：x
x x 3sin )
21ln(lim
0+→32)21(3cos 32lim 0=+?=→x x x 15. 解：()()()2
112lim 211
1lim 1ln lim 1ln 1lim 002020=+=+-
=+-=??
?
??+-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x 。
16. 解：.arctan 2lim ??
?
??-+∞
→x x x π =.1arctan 2
lim x x
x -+∞
→π
=.1
11lim 2
2x
x x -+-+∞→ =.11lim
2
2
=++∞→x x x
17. 解:30sin lim
x x
x x -→
=203cos 1lim x x x -→=x
x x 6sin lim 0→ =.6
16cos lim 0=→x x
三、求下列函数的导数和微分：
1．解: 25ln 5
2)12(5)
12(4
??+?-='-x x y
)
12(4
55ln 2)12(10-?+-=x x
2．解:)3(311
21)31(11
-?-??---
='x
x y .311
3123x
x -??=
3．解: ='y 03311
)31ln(sin +?+?
+-x
x x
x 31)
31ln(sin 3++-
=
4．解：n
n
x x y sin )(sin ?'=')(sin sin '?+n
n
x x
n n x x x n sin cos sin 1?=-1cos sin -??+n n n nx x x n n x x x n sin cos sin 1?=-n n n x x nx cos sin 1?+-
5．解: ='y )2(42121)2
(112
arcsin
2
2
x x x x x -?-+?
-?+ 2
arcsin x
=
6.解：()()
22
111112
1
111111
arcsin +--+?-+?
?
??
?
??+--='
???
? ??+-='x x x x x x x x x y 1
212
-=
x 。
7.解: 因为 11
11)1(+=+=
x
x x x
f 所以 1
1)(+=
x x f 所以 2
)
1(1
)(+-
='x x f 8.解：两边取对数,得
)]4ln()3ln()2ln()1[ln(2
1
ln -----+-=x x x x y
两边对x 求导,得
)4
1312111(211-----+-='x x x x y y 所以
)4
1
312111(21-----+-=
'x x x x y y )4)(3()2)(1(21----=
x x x x )4
1312111(-----+-x x x x
9.解：两边取对数，得： ()()()1ln 54ln 42ln 2
1
ln +--++=
x x x y ， 两边对x 求导数，得：
1
154142121+--++='x x x y y ， ()()()???
?
??+--+++-+=
'∴154422114254
x x x x x x y 。
10.解：两边取对数得 )1ln(5)4ln(4)2ln(2
1
ln +--++=x x x y 两边对x 求导得
1
54421.211+--++='x x x y y ??
????+--++='∴154421.21x x x y y
??
?
???+--+++-+=
154421.21)1()4(254x x x x x x
11.解: 在等式x
y
y x arctan ln
22=+两边对x 求导数，得：
2
2
22112221x
y
x y x y y
x y y x -'?
??
? ??+=+'+?， 整理得：y x y y y x -'='+， 所以 y
x y
x y -+=
'。 12．解：(
)()dx x dx x dx dx y dy x x
x
cos cos cos 44ln sin cos 4ln 4
4
??-='
='='=。
13.解: 222222
2)1()
1(2)1(2)11(11x x x x x x
x y +--+-?+-+='
=4
3
12x
x +- 所以
='=dx y dy 4
3
12x x +-dx
14.解: 两边对x 求导,得
y xe e y y y '?+='
所以y
y
e y xe ='-)1(
所以y
y
xe e y -='1
所以dx xe
e dx y dy y
y
-='=1 15.解：,122
x
x
y --
=' 所以 222)1(22)1(2x x x x y -?+--=''.)
1()
1(22
22x x -+-= 16.解：(
)x x
x x
x x x
x x y arccos 1221arccos 1arccos 2
2
2
=---
--
='
--='，
()2
11arccos x
x y --
='
=''。
17.解: 2
2
11
)
1(arctan 2x
x x x y +++=' 1arctan 2+=x x
所以 2
12arctan 2x x
x y ++=''
18.解：='y +2
x e
x xe x 22?2
)12(2x e x +=
所以，=''y +2
4x xe x e x x 2)12(22?+2
)64(3x e x x +=
四、计算下列积分
1．解: =+-?dt e e t
t 1
1
2dt e e e t
t t ?++-1)1)(1(dt e t ?-=)1( .c t e t +-=
2．解：?+dx x
x x
sin cos 2cos ?
+-=dx x x x x sin cos sin cos 22=?-dx x x )sin (cos .cos sin c x x ++=
3．解: ?dx x
x x
2
2sin cos 2cos ?-=dx x
x x x 2
222sin cos sin cos =?
-dx x
x )cos 1
sin 1(
2
2 =?
-dx x x )sec (csc 22
.tan cot c x x +--=
4．解:
dx x ?+sin 11
dx x x x ?-+-=)sin 1)(sin 1(sin 1
dx x
x ?
-=2cos sin 1dx x x x ?-=)tan sec (sec 2
c x x +-=sec tan 5. 解：
dt t
t ?
sin
t d t ?=sin 2
=c t +-cos 2
6.解：dx x
x ?+2
)ln 23( )ln 23()ln 23(212
x d x ++=
?
c x ++?=3)ln 23(213 c x ++=6
)ln 23(3
7.解：设2
arcsin ,sin 2x t t x ==则，所以
dx x ?-24=dt t
dt t t d t ?
??+==?-2
2cos 14cos 4)sin 2(sin 4422 =c x x x c t t +-+=++242
2arcsin 22sin 2.
8．解：?-3
1
|2|dx x +
-=?2
1
)2(dx x ?-3
2
)2(dx x
212|)2
2(x x -=+322
|)22(x x -=1
9.解：设,31,11,2
1
,45,452=-===-=-==-t x t x tdt dx t x t x 时时且则 所以
?
--1
145dx x
x
dt t t t ?-?-=1
32)21
(45
dt t ?--=1
3
2)5(81
6
1
|)35(81133=--=t t
10. 解：设t x tan =，则tdt dx 2
sec =，当1=x 时，4
π=
t ，当0=x 时，0=t ，所以有：
dx x ?-+1
2
32)1(dt t t ?=4
032sec sec π
dt t ?=4
0cos π
22|sin 4
0==π
t 11.解：设t x tan =，则tdt dx 2
sec =，当1=x 时，4
π=t ，当3=x 时，3
π=
t ，
所以：
?+3
1
2
2
11
dx x
x
dt t t t
??=3
4
22sec tan sec π
π dt t t ?=3
4
2sin cos π
π )(sin sin 13
4
2
t d t ?=π
π 3
4
|sin 1π
πt -=3322-= 12. 解：
=?-dx xe
x
2
ln 0
=-
?-2
ln 0
x
xde
dx e xe
x x ?--+-2
ln 0
2
ln 0
|
).2ln 1(2
1|2ln 212ln 0
-=--=-x e 13. 解：==
??)(1
2
1
2
x
x
e d x dx e x )(2|1
2
1
1
2
x
x
x e d x e dx e e x ??-=- .2|222|2101
1
-=+-=+-=?e e e e dx e xe e x x x
14. 解:
?1
arctan xdx x
?=1
2)(arctan 21
x xd ?+-=1
02
21
02121|arctan 21dx x x x x ?+--=1
02)111(218dx x π 10|)arctan (2
1
8x x --=
π
2
14-=
π
15. 解:
?e
xdx x 1
ln
=?e
x xd 1
2)(ln 21
?-=e
e dx x x x x 1
212)1|ln (21 )|2(21122e x e -=)1(4
12+=e 16.解：?e e
dx x 1|ln |+-=?11ln e
xdx ?e xdx 1
ln +?+-=?11111|ln e
e dx x x x x ??-e
e dx x x x x 111|ln
11|1e
x e +-=e
x e 1
|-+e 22-= 17．解：令t x =3，则3t x =，dt t dx 2
3=，00=?=t x ；28=?=t x 。从而
()
dt t t dt t t t dt t dx x
dx
???
???? ?
?++-=++-=+=+
20202
2
28
3
11131113131
()3ln 302
1ln 232=???
? ??++-=t t t 。 18. 解： x 2
sin 偶函数，
??--=+-∴1
1
2211
3sin sin )1(xdx xdx x x dx x
?
-=1
02
2cos 12
22sin 142sin 21242sin 2121
0-=??
?
???-=??????-=x x
五、解答下列各题
1.证明 令13)(5
--=x x x f 则)(x f 在[1,2]上连续,且
031131)1(5<-=-?-=f ,
0251232)2(5>=-?-=f
由根的存在性定理,知存在),2,1(∈ξ使0)(=ξf 即0135
=--ξξ 也就是 135
=-ξξ
所以方程 135
=-x x 在1与2之间至少有一个实根. 2．证明：设()x e x f x
--=1，()00=f ，()0
1>-='x
e x
f 故()x f 单调增加，所以当
0>x 时，()()00=>f x f ，即01>--x e x ，移项得x e x +>1。
3. 解:),1(6662
-=-='x x x x y 设,0='y 得.1,0==x x 列表如下：
x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞)
y ' + 0 - 0 +
y ↗ 极大 ↘ 极小 ↗
所以，函数2
3
32x x y -=在(-∞,0) 和(1,+∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，当0=x 时有极大值,0=y 当1=x 时有极小值.1-=y
4．解：()
()()3133239632
2-+=--=--='x x x x x x y 。令0='y 得驻点1-=x 和
3=x 。而66-=''x y ，()0121<-=-''f ，故()101=-f 为极大值；()0123>=f ，故
()223-=f 为极小值。
5．解：()32++=
'bx x
a
x f ，依题设条件知：()0321=++='b a f ()1 ()0342
2=++=
'b a
f ()2 联立()1和()2，解之得：2-=a ，5.0-=b 。 6.解: 曲线x y x y ==与直线2
所围成的平面图形的面积为：
dx x
x )(1
2
?-
1032|)3
2(x x -=