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【考点20】基本不等式
2009年考题
1.（2009天津高考）设0,0.a b >>11
33a b a b
+与的等比中项，则的最小值为
（ ）
A 8
B 4
C 1
D 14
【解析】选B. 因为333=?b a ，所以1=+b a ，
1111()()224b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当b a a b
=即2
1==b a 时“=”成立，故选择B. 2.（2009天津高考）设y
x b a b a b a R y x y x 1
1,32,3,1,1,,+=+==>>∈则若的最大值
为（ ）
A.2
B.2
3 C.1 D.2
1【解析】选C. 因为3log ,3log ,3b a y x y x b a ====，
1)2
(log log 11233=+≤=+b a ab y x
.
3.（2009重庆高考）已知
0,0a b >>，则11a
b
++ ）
A ．2
B ．
C ．4
D ．5
【解析】选C. 因为11112222()4ab ab ab a b ab ab
++≥+=+≥当且仅当11
a b =， 且
1
ab ab
=，即a b =时，取“=”号。.5 4.（2009湖南高考）若x∈(0, 2
π)则2(2
π)的最小值为 .【解析】由(0,)2
x π∈，知1
tan 0,tan()cot 0,2
tan παααα
>-==
>所以1
2tan tan()2tan 22,2tan παααα
+-=+≥当且仅当2tan α=
时取等号，即最小值是
22。
答案：22
5.（2009湖南高考）若0x >，则2x x
+的最小值为 . .5
【解析】 0x >22
2x x
?+≥2
2x x x
=
?=时取等号. 答案：2
2
6.（2009湖南高考）若0x >，则2x x
+的最小值为 . 【解析】选0x >222x x ?+≥22x x x
=?=. 答案：227.（2009江苏高考）按照某学者的理论，假设一个人生产某产品单件成本为a 元，如果他卖出该产品的单价为m 元，则他的满意度为m m a
+；如果他
买进该产品的单价为n 元，则他的满意度为
n n a
+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ，则他对这两种交易的综合满意度为
12h h 现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元，乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元，设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元，甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲，乙卖出A 与买进B 的综合
满意度为h
乙
(1)求h
甲和h
乙
关于
A
m、
B
m的表达式；当
3
5
A B
m m
=时，求证：h
甲
=h
乙
；
(2)设
3
5
A B
m m
=，当
A
m、
B
m分别为多少时，甲、乙两人的综合满意度均最大？最大的综合满意度为多少？
(3)记(2)中最大的综合满意度为
h，试问能否适当选取
A
m、
B
m的值，
使得
h h
≥
甲
和
h h
≥
乙
同时成立，但等号不同时成立？试说明理由。
【解析】(1)
当3
5
A B
m m
=时，
2
3
5
35(20)(5)
12
5
B
B B
B B B
B
m m m
h
m m m
m
=?=
+++
+
甲
2
3
5
320(5)(20)
3
5
B
B B
B B B
B
m m m
h
m m m
m
=?=
+++
+
乙
h
甲
=h
乙
（2）当
3
5
A B
m m
=时，
2
2
11
=,
20511
(20)(5)(1)(1)100()251
B
B B
B B B B
m
h
m m
m m m m
==
++++++
甲
由111
[5,20][,]
205
B
B
m
m
∈∈
得，故当
11
20
B
m
=即20,12
B A
m m
==时，
甲乙两人同时取到最大的综合满意度为10
5
。
（3）由（2）知：
h=10
5
由010
=125A B A B m m h h m m ?≥=
++甲得：12552
A B A
B
m m m m ++?≤，
令
35,,A B x y m m ==则1[,1]4x y ∈、，即：5(14)(1)2
x y ++≤。 同理，由010
5
h h ≥=
乙得：5(1)(14)2
x y ++≤
另一方面，1[,1]4
x y ∈、141x x +∈+∈5
、1+4y [2,5],、1+y [,2],2
55(14)(1),(1)(14),22
y x y ++≤++≤当且仅当1
4x y ==，
即A m =35B m 时，取等号。由（1）知A m =35
B m 时h 甲乙
所以不能否适当选取A m 、B m 的值，使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立，但等号不同时成立。
8.（2009湖北高考）围建一个面积为360m 2
的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙需维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元,新墙的造价为180元,设利用的旧墙的长度为x(单位：米)，修建此矩形场地围墙的总费用为y （单位：元）。
（Ⅰ）将y 表示为x 的函数：.5
（Ⅱ）试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用。
【解析】（1）如图，设矩形的另一边长为a m,则
2y =45180(2)+180·2225360360
由已知360,得x
360,
所以2252
360360(0)x x
-> .5 ()
2
23600,225222536010800x x x
>∴+≥?=
104403603602252
≥-+=∴x
x y .当且仅当
225
x
2
360时，等号成立.
即当24m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10440元.
2008年考题
1、（2008四川高考）已知等比数列{}n a 中2
1a =，则其前3项的和3
S 的取值范
围是( )
（A ）(,1]-∞- （B ）(,0)
(1,)-∞+∞
（C ）[3,)+∞ （D ）(,1]
[3,)-∞-+∞ 【解析】选D.方法1：∵等比数列{}n
a 中2
1a
=∴当公比为1时，1
231a
a a ===，
33S =；
当公比为1-时，1
231,1,1a
a a =-==-，31S =-从而淘汰（A ）
（B ）（C ）故选D ；
方法2：∵等比数列{}n a 中2
1a
=∴3123211
(1)1S a a a a q q q q
=++=++=++∴当公比0
q >时，31
11123S q q q
q
=+++?；当公比0q <时，3111()12()1S q q q q
=-----?--∴3(,1][3,)S ∈-∞-+∞故选D ；
方法3：3
11S
x x =++(0)x ≠．由双勾函数1y x x
=+的图象知，1
2x x +或1
2x x
+-，
故选D ．
2、（2008重庆高考）函数()x f x =的最大值为（ ） A ．25
B ．12
C 2
D ．1
【解析】选B.1
1()1
2x f x x x
==
（当且仅1x x
=，即1x =时取等号）。故选
B 。
3、（2008浙江高考）已知0,0,2,a b
a b +=且则（ ）
A.12
ab
B. 12
ab
C.2
2
2a
b + D. 2
2
3a
b +
【解析】选C.由0,0a b
,且2a b +=∴222
224()22()a b a b ab a b =+=+++，当且仅当
1时等号成立∴2
2
2a
b +。
4、（2008陕西高考）“18a =”是“对任意的正数x ，21a x x
+”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】选A.1
8
a =12222188a x x x x x ?+=+?=，另一方面对任意正数x ，21a x x +
只要22221a
a x x a
x x
+?=218
a
?，所以选
A.
5、（2008江西高考）若1
21212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值
最大的是（ ）
A ．11
22
a b a b + B ．12
12a a
b b + C ．1221a b a b + D ．1
2
【解析】选A.2212121212
1
(
)()222
a a
b b a a b b ++++= 112212************()()()()()
0a b a b a b a b a a b a a b a a b b +-+=-+-=--
1122
1221()a b a b a b a b ++
121211221121
11221()()2()a a b b a b a b a b a b a b a b =++=++++∴1122
12
a b a b +
6、（２００８年安徽高考）设函数1()21(0),f x x x x
=+-< 则()f x （ ） A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函
数
【解析】选A .1
020,0x x x
<->->∵∴，11()21[(2)()]1f x x x x x =+-=--+--，由基本不等式1
()[(2)()]12(211f x x x x =--+----=-有最大值. 7、（2008
江苏高考）2
,,,230,
y x y z R x y z xz
*
∈-+=的最小值为 。
【解析】本小题考查二元基本不等式的运用。由230x y z -+=得32
x z y +=，代
入
2y xz 得
229666344x z xz xz xz
xz xz
+++≥=，当且仅当3x z =时取“=”。 答案:3
8、 (2008湖北高考).如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为180002,
四周空白的宽度为10，两栏之间的中缝空白的宽度为5，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：），能使矩形广告面积最小？【解析】方法1：设矩形栏目的高为a ，宽为b ，则9000. ①
广告的高为20，宽为225，其中a ＞0，b ＞0. 广告的面积S ＝(20)(225)＝24025500＝18500+2540b
≥18500+2
b a 4025?=18500+.245001000=ab
当且仅当25a ＝40b 时等号成立，此时a 8
5,代入①式得120，从而75.
即当120，75时取得最小值24500.
故广告的高为140 ,宽为175 时，可使广告的面积最小.
方法2：设广告的高为宽分别为x ，y ，则每栏的高和宽分别为x －20，
,2
25
-y 其中x ＞20，y ＞25两栏面积之和为2(x －20)180002
25=-y ,由此得,2520
18000+-x
广告的面积(252018000+-x )＝2520
18000+-x x ,
整理得.18500)20(2520
360000+-+-x x
因为x －20＞0，所以S ≥2
.2450018500)20(2520
360000
=+-?-x x 当且仅当)20(2520
360000-=-x x 时等号成立，
此时有(x －20)2
＝14400(x ＞20)，解得140，代入20
18000-x 25,得y ＝175，
即当140，y ＝175时，S 取得最小值24500，
故当广告的高为140 ，宽为175 时，可使广告的面积最小. 2007年考题
1.（2007上海高考）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）
A 、22a b <
B 、22ab a b <
C 、
2211ab a b
< D 、b a
a b <
【解析】选C. 若0a b < ,ab a b ab a b >?? 则12,2 b a b a a b a b ==?>,所以D 不成立 ,故选C. 2.（2007重庆高考）若a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则| |2||2b a ab +的最大值 为（ ） A. 15 52 B. 4 2 C. 5 5 D. 2 2 【解析】选B.a 是1+2b 与1-2b 的等比中项，则222214414||.a b a b ab =-?+=≥ 1 ||. 4 ab ∴≤2224(||2||)4|| 1.a b a b ab +=+-= 2||2||ab a b ∴=≤=+ = = 11||4,4|| ab ab ≤∴≥ 4 = 3.（2007山东高考）函数1(01)x y a a a -=>≠，的图象恒过定点A ，若点A 在直线 10(0)mx ny mn +-=>上，则 11 m n +的最小值为 ． 【解析】函数1(01)x y a a a -=>≠,的图象恒过定点(1,1)A ， 1110m n ?+?-=，1m n +=，,0m n >， （方法一）： 2m n +≥? ≥， 11224m n +≥≥?=（当且仅当1 2 时等 号成立）.（方法二）：1111()()224n m m n m n m n m n +=+?+=++≥+=（当且仅当12 时等号成立）. 答案：4. 4.（2007山东高考）函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ,若点A 在直线10mx ny ++=上,其中0mn >,则12m n +的最小值为. 【解析】函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点(2,1)A --， (2)(1)10m n -?+-?+=，21m n +=，,0m n >， 12124()(2)448.n m m n m n m n m n +=+?+=++≥+= 答案：8. 5.（2007上海高考）已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为_____ 【解析】21141 4()4 4 2 16 x y xy x y +=?≤= ，当且仅当41 2时取等号. 答案:16 1 最新文件 仅供参考 已改成word 文本 。 方便更改
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