2018 年新人教版初一数学下学期辅导讲义
第六章实数
一、知识总结
（一）平方根与立方根
1、平方根
（ 1）定义：一般地，如果一个数的平方等于 a ，那么这个数叫做 a 的平方根，也叫做二次方根。
（ 2）表示：非负数 a 的平方根记作±a，读作“正负根号 a”，（ a 叫做被开方数）
（ 3）性质：正数的平方根有两个，且互为相反数；0 的平方根为 0 ；负数的没有平方根。
（ 4）开平方：求平方根的运算叫做开平方。
Ⅰ、平方根是开平方的结果；Ⅱ、开平方与平方互为逆运算。
2、算术平方根
（1 ）定义：正数 a 的正的平方根a 叫做a的算术平方根，0的算术平方根是0。
（2 ）性质：（ 1 ）一个数 a 的算术平方根具有非负性；即：a≥ 0 恒成立。
（2 ）正数的算术平方根只有 1 个，且为正数； 0 的算术平方根是 0 ；负数
的没有算术平方根。
3、立方根：
（ 1 ）定义：一般地，如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根。
（ 2 ）表示： a 的立方根记作 3 a，读作“三次根号 a ”（ a 叫做被开方数， 3 叫根指数）
（ 3 ）性质：正数的立方根是 1 个正数；负数的立方根是 1 个负数； 0 的立方根是0 。
（二）实数
1、无理数：无限不循环的小数。（一个无理数与若干有理数之间的运算结果还是无理数）
2、实数：有理数和无理数统称为实数。
3、实数分类：（ 1 ）按定义分（略）（2 ）按正负性分（略）
4、实数与数轴上的点一一对应。
5、实数的相反数、绝对值、倒数：（与有理数的相反数、绝对值、倒数意义类似）
6、实数的运算：实数与有理数一样，可以进行加、减、乘、除、乘方运算，正数及零可以进行开平方运算，任意
一个实数可以进行开立方运算，而且有理数的运算法则和运算律对于实数仍然适用。
7 、实数大小：（ 1 ）正数 > 0 >负数；（2）两个负数相比，绝对值大的反而小；绝对值小的反而大。（3）数轴上不同的点表示的数，右边点表示的数总比左边的点表示的数大。
实数比较大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒数法、估值法······
二、解题实用
1、 2 1.41421 3 1.7325 2.236
2
、 a 2
a a 2
3
a 33 a
3
a
a
3
、 a b
ab
a
a a b
b 0
b
b
三、典题练习
1、 16 的平方根是
； - 3 2 的算术平方根是
； - 32 的立方根是
。
2 、如果一个有理数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是 ；如果一个有理数的平方根与立方根相
同，那么这个数是
。
3、一个自然数的算术平方根是 x ，则与他相邻的下一个自然数的算术平方根是
。
4、下列各数中一定为正数的是
（填序号）
① x
②
x 1
③ x 2
④
3
x 1⑤x 1
5、当 x<-1 时， x
2
， -x,
- x 3 和
1
的大小关系
。
x
6、比较下列各组数的大小
1 2 - 3与2 - 2
4 与 7 与
2 11
1 与
1
2 1
3 3 5
4 -
-
5
2
7
7、 7 - 2 的绝对值为
，相反数为
，倒数为
。
8、已知 x 3 ， y 为 4 的平方根， xy 0 ，求 x+y 的值。
9、已知
x 3 y - 2 0 ，求 x 2+y 的平方根。
10、如果一个非负数的平方根为
2a-1 和 a-5 ，则这个数是 。
11、 a 为 5 的整数部分， b 为 5 的小数部分，则
a+2b 的值为 。
12、若 2011 - a a - 2012
a ，试求 a - 2011 2 的值。（提示：找出题中的隐含条件）
第七章 一元一次不等式与不等式组
一、知识总结
（一）不等式及其性质
1、不等式：
（1）定义用“＜” ( 或“≤” ) ，“＞” ( 或“≥” ) 等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式 . 用“≠”表示不等关系的式子也是不等式 .
（2）不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（3）不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的
过程叫做解不等式。
不等式的解集与不等式的解的区别：解集是能使不等式成立的未知数的取值范围, 是所有解的集合, 而不等式的解是使不等式成立的未知数的值。
二者的关系是：解集包括解,所有的解组成了解集。
（ 4）解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。
2、不等式的基本性质
性质 1：不等式的两边都加上( 或减去 ) 同一个整式，不等号的方向不变。
即：如果 a b ，那么 a c b c .
性质 2：不等式的两边都乘上( 或除以 ) 同一个正数，不等号的方向不变。
即：如果 a b ，并且 c 0 ，那么 ac bc ；a b
.
c c
性质 3：不等式的两边都乘上( 或除以 ) 同一个负数，不等号的方向改变。
即：如果 a b ，并且 c 0 ，那么 ac bc ；a b
.
c c
性质 4：如果性质 5：如果a b ，那么 b a .（对称性）
a b , b c ,那么a c .（传递性）
（二）一元一次不等式
1、定义：含有一个未知数，未知数的次数是 1，且不等号两边都是整式的不等式，
叫做一元一次不等式。
2. 一元一次不等式的解法：
根据是不等式的基本性质；一般步骤为：(1) 去分母； (2) 去括号； (3) 移项；
(4)合并同类项；(5) 系数化为 1.
解不等式应注意：① 去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；② 移项时不要忘记变号；③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；④在不等式两边都乘( 或除以 ) 同一个负数时，不等号
的方向要改变。
3.不等式的解集在数轴上表示：
（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；（2）方向：大向右，小向左
（三）一元一次不等式组
1、定义：有几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组
2、（一元一次）不等式组的解集：这几个不等式解集的公共部分，叫做这个（一元一次）不等式组的解集。
3、解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
4、一元一次不等式组的解法
1）分别求出不等式组中各个不等式的解集
2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集。
由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集可归纳为下面四种情况：
不等式组 a b解集口诀记忆x a
x b同大取大x b
x a x a同小取小
x b
x a
a x b大小小大中间找
x b
x a无解大大小小则无解x b
（四）一元一次不等式（组）解决实际问
题解题的步骤：
⑴审题，找出不等关系→ ⑵设未知数→
⑸找出符合题意的值→ ⑹作答。
一、有解无解问题：
x a有解： a b x a
（ 1）x b无解： a b （2）
x b
（ 3）x a有解： a b
x b无解： a b
⑶列出不等式（组）→⑷求出不等式的解集→
二、解题技巧
有解： a b
无解： a b
2、特征解问题：
解题步骤：把原式中的要求的量（以下简记为m )当作已知数，去解原式——→得到原式的解（含m )——→根据解的特征列出式子（关于m 的式子)——→解出 m 的值。
例：已知 a x 2x 1 的解集为 x 1，求 a 的值。
解：解不等式 a x 2x 1······把a当作已知数，去解原式
得 x a 1······ 得到原式的解（含 a )
则 a - 1 1······ 根据解的特征列出式子
解得 a 2······解出a的值
三、典题练习
x m 1
1、若关于x的不等式x 2m 1 有解，则m的取值范围是？若无解呢？
2 x y 1 m
2、已知关于x，y的方程组x 2 y2的解满足x y0 ，求 m 的取值范围。
3 、适当选择 a 的取值范围，使
1.7 ＜ x ＜a 的整数解：
（ 1 ） x 只有一个整数解；
（ 2 ） x 一个整数解也没有。
4、解不等式（组）
2x 5 3x,
2 4x 3x 7,
3x
3 2 x 1 （ 1 ） x 2 x
x,
（ 2 ） 6x 3 5x 4,
（ 3 ）
2
3
2
3
3x 7 2x 3.
1
[ x 2( x 3)] 1.
2
（ 4 ） －5 ＜ 6 － 2x ＜3
3y 8
2(10 y)
1.
（ 5 ） y
7
3
5 、若 m 、 n 为有理数，解关于
x 的不等式 (－ m 2 － 1)x ＞ n ．
3x 2 y p 1, 6、已知关于 x ， y 的方程组
3 y
p 的解满足 x ＞ y ，求 p 的取值范围。
4x 1
x
b 0 3 个，求 b 的取值范围。
7、已知关于 x 的不等式组 2 x
4 5
的整数解共有
8、已知 A ＝ 2x 2＋ 3 x ＋ 2 ， B ＝ 2x 2－ 4x － 5 ，试比较 A 与 B 的大小。
3x 4 a,
9、已知 a 是自然数，关于
x 的不等式组
的解集是 x ＞ 2 ，求 a 的值。
x 2
10 、某种商品进价为150元，出售时标价为225元，由于销售情况不好，商品准备降价出售，但要保证利润不
低于 10 ％，那么商店最多降价多少元出售商品?
11、某零件制造车间有20 名工人，已知每名工人每天可制造甲种零件 6 个或乙种零件 5 个，且每制造一个甲种零件可获利150 元，每制造一个乙种零件可获利260 元。在这20 名工人中，车间每天安排x 名工人制造甲种零件，其余工人制造乙种零件。
（ 1）若此车间每天所获利润为y(元) ，用 x 的代数式表示y。
（ 2）若要使每天所获利润不低于24000 元，至少要派多少名工人去制造乙种零件?
12 、某学校计划组织 385 名师生租车旅游，现知道出租公司有 42 座和 60 座客车， 42 座客车的租金为每辆 320 元， 60 座客车的租金为每辆 460 元。
（1 ）若学校单独租用这两种客车各需多少钱?
（2 ）若学校同时租用这两种客车8 辆 (可以坐不满 )，而且比单独租用一种车辆节省租
金，请选择最节省的租车方案。
第八章整式乘除与因式分解
一、知识总结
（一）幂的运算：
1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。a m a n a m n
2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。a m a n a m n
3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。a m n a mn
4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。ab m a m b m
a01a0
注：（ 1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1；
（ 2）任何一个不等于零的数的 -p （ p 为正整数）指数幂，
等于这个数的 p 指数幂的倒数。a p1a0
a p
（ 3）科学记数法：ca10 n或 c a10-n1a10
绝对值小于 1 的数可记成 a 10-n的形式，其中1a10 ，n是正整数，n等于原
数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。
（二）整式乘法：
1 、单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对
于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
2 、单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相
乘，再把所得的积相加。
3 、多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一
个多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加。
（三）完全平方公式与平法差公式
1 、完全平方公式： a b2a22ab b
2 a - b 2 a 2 - 2ab b2
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的两倍。
2 、平法差公式：a2 - b2a b a - b
两个数的平方之差等于这两个数的和与这两个数的差之积。
（四）整式除法
（1 ）单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
（2 ）多项式除以单项式的除法法则：单项式与多项式相除，先把多项式的每一项除以这个
单项式再把所得的商相加。
（五）因式分解
1 、定义：把一个多项式化为几个因式的乘积的形式，叫做因式分解，也叫做把这个多
项式分解因式。
2、分解因式的基本方法：
（1）提公因式法
（2）公式法：运用完全平方公式和平法差公式
（3）对于二次三项式的因式分解的方法：
1 ）配方法， 2）十字相乘法：公式x
2 a b x ab x a x b
方法一：配方法：原式 = x24x 4 - 4 3 =x 2 2 -1=x 1 x 3
方法二：十字相乘法： x24x 3 = x1 x3
（ 4）分组分解法
3、分解因式的技巧：
(1)因式分解时，有公因式要先提公因式，然后考虑其他方法；
(2 ）因式分解时，有时项数较多时，看看分组分解法是否更简洁
(3)变形技巧：
①符号变形Ⅰ、 x - y- y - xⅡ、当 n 为奇数时，x - y n- y - x n
Ⅲ、当 n 为偶数时，x - y n y - x n
②增项变形：
例： 4x 4 1 4x 4 1 4x2 - 4 x24x44x2 1 - 4x2
③拆项变形：
例 x 32x2 - 1 x3x2x2 -1x3x2x2 -1x2 x 1x -1 x 1
二、典题练习
1、计算题
(1) a - 2b22b - a5（ 2) 2x (6)x 2 y 4- x - 2 y 3x 2 y 3
x(3) a
m- 2
3
(4) a
5
a
2m 5
21
3
(5) 3 10310 2
2、快速计算：（ 1）103 97（ 2）1022（ 3）992
3、2m 4 ，4n16 ，求22m - n的值。
4、如果2mn x2 n64 成立，那么m,n。
5、在括号内填上指数和底数
（ 1）832
（2）93
32 2
6、化简求值：已知x2- 2x 3 ，求x -1 2x 3 x - 3 x - 3 x - 1 的值。
7、已知2x5y 4 ，再求4x32y的值。
8、已知 a
b 3 ， ab -5，求代数式的值：（ 1） a 2 b 2
（ 2） a - b
2
9、因式分解： 1） x 3
2x 2 - 5x - 6 2 ） x 2 - y 2 ax ay 3 ） a 4 4b 4
10、比较 9999
9993与99962 的大小。
2 m n 6
3
11、不解不等式组
2 m- 3n 1 ，求 7n m - 3n
- 2 3n - m 的值。
第九章 分 式 一、知识总结
（一）分式及其性质
1 、分式
（ 1 ）定义：一般的，如果 a ，b 表示两个整式，并且
b 中含有字母，那么式子
a
叫做分式；其中
a 叫做分式的
b
分子， b 叫做分式的分母。
（ 2 ）有理式：整式和分式统称为有理式。 （ 3 ）分式 =0 分子 =0 ，且分母≠ 0 （分式有意义，则分母≠ 0 ）
（ 4 ）最简分式：分子和分母没有公因式的分式。
2 、分式的性质
分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变
a a m a m m
0 ）
即：
b m
b （a ， b ， m 都是整式，且
b
m
分式的性质是分式化简和运算的依据。
3 、约分： 把一个式子的分子分母的公因式约去叫做约分。
注：约分的结果应为最简分式或整式。
约分的方法 ：
1 ）若分子、分母均为单项式：先找分子、分母系数的最大公约数，
再找相同字母最低次幂；
2 ）若分子、分母有多项式：先把多项式因式分解，再找分子、分母的公因式。
（二）分式运算
1、分式的乘除
a c ac
1 ）分式乘法法则：两分式相乘，用分子的积做分子，分母的积做分母；即：
d bd
b
2 ）分式除法法则：两分式相除，将除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘；
即：
a
c a
d ad b
d b c
bc
n
a n
a n
3 ）分式乘方法则：分式的乘方就是分子分母分别乘方。即： a ，
ab 1 n
b
b
n
b
2 、分式的加减
a c a c
b 0
1 ）同分母分式加减：分母不变分子相加减；即：
b b
b
2 ）异分母分式加减：先通分，变为同分母的分式相加减，
即：
a
c a
d bc ad bc
bd 0
b
d bd bd bd
（三）分式方程
1 、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
2 、解法：
转化
1 ）基本思路 ：分式方程
整式方程
2 ）转化方法： 方程两边都乘以各个分式最简公分母，约去分母。
通过转化方法
3 ）一般步骤： 分式方程
整式方程 解整式方程 检验
注： 检验的是必不可缺的关键步骤，检验的目的是看是否有增根存在。 （四）分式应用
列分式方程解决实际问题的
一般步骤 ：审题
设未知数，找等量关系
列方程
检验（①是否有增根，②是否符合题意）
得出答案
二、分式解题中常用的数学思想和技巧
1 、已知
1
1 5 ，求
2 x - 3xy
2y
的值。
（整体思想、构造法）
x y
x 2xy
y
2 、已知
x 4
，求 3x 2 - 5xy 2 y 2
的值。 （整体思想、构造法）
y
3 2x 2 3xy - 5y 2
3 、已知 abc 1，求
a
b
c
的值。
a ab
1 b
bc 1 c ca
1
4 、已知 1
1 1 ， 1 1 1 ， 1 1 1 ，求 abc 。
a
b
6 b c 9 c a
15 ab bc
ac
（先得到
1 1 1
1 题方法做）
a b
的值，然后按第
c
5
x 2 1
4 ，求 x 2
1 x 2
1 1 、已知
x
2 的值。
（提示：
x
）
x
x
x
6 、已知
b
a c c
b a a
b
，求
a b abc 的值。 （提示：参数法）
c
b c a c
7 、已知
x
1 ，求
x 2
的值。 （倒数求值法）
x 4
x 2
x 2 - x 1
1
8
、已知 x 2
- 5 x 1 0 ，求 x 4
1 的值。
（提示：由 x 2 - 5x 1
0 得 x
1 5 ）
x 4
x
9 、已知 4x - 3y - 6z
0 ， x 2y - 7 z 0 ，求 5x 2 2 y 2 - z 2 的值。
2x 2 - 3y 2 -10 z 2
（提示：消元代入法，把其中一个未知数看成常数，用它表示其它的未知数）
10 、计算： 1 ）
20023 - 2 2002 2 1
（提示：用字母代替数）
20022 - 3 2002 - 2
20023
1 1
2 4
（提示：局部通分）
2 ）
1 x 4
1- x 1 x 1 x 2
3 ）
x
2 - x
3 - x -
4 x -
5 ( 提示：假分式可先变形
x 2
1
1 ）
x 1 x 2 x - 3 x - 4
x 1
x 1
三、典题练习
1 、如果分式
| x |
5
的值为 0 ，那么 x 的值是
。
x 2 5x
2 、在比例式 9:5=4:3x
中， x=_________________ 。
3 、计算 :
1
1 =_______________ 。
x
1
1 x
4 、当分式
x
2 与分式 x
2
3x 2
的值相等时， x 须满足
。
x 1
x 2 1
5 、把分式
2x
2 y
中的 x ， y 都扩大 2 倍，则分式的值 。（填扩大或缩小的倍数）
x y
6 、下列分式中，最简分式有
个。
a 3 x y m 2 n 2 m 1 a 2 2a
b b 2
2 ,
x 2 y 2 , m 2 n 2 , m 2 , 2 2ab b 2
3x
1 a
7 、分式方程
1
1
4 的解是
。
x 3
x 3
x
2
9
8 、若 2x+y=0 ，则
x 2 xy y 2
。
2 xy x 2
的值为
9 、当 x 为何值时，分式
x 2 1 有意义？
x
2
x
2
10 、当 x 为何值时，分式
x 2 1 的值为零？
2
x 2 x
11 、已知分式
2x 1
x 2
:当 x=
时，分式没有意义；当
x= _______ 时，分式的值为 0 ；当 x= － 2 时，分式的
值为 _______。
12 、当 a=____________ 时，关于 x 的方程
2ax
3 = 5
的解是 x=1 。
a
x 4
13 、一辆汽车往返于相距
a km 的甲、乙两地，去时每小时行m km
，返回时每小时行
n km ，则往返一次所用
的时间是 _____________ 。
14、某班 a 名同学参加植树活动，其中男生
b 名 (b 15 棵；若只由女生完成， 则每人需植树 棵。 15 、当 时，分式 6 的值与分式 x(x 1) 的值互为倒数。 x 1 x 5 16 、若方程 x 8 1 8有增根，则增根是 。 x 7 7 x 17 、若 a 2 ，则 2a b 的值是 。 b 3 b 18 、已知 a 2 3a 1 0 ，求 a a 2 的值。 4 1 19 、已知 x+ 1 =3 ，则 x 2 + 1 = ________ 。 x x 2 20、已知 1 1 =3，则分式 2x 3xy 2 y = 。 x y x 2xy y 21 、化简求值． 1 （ 1 ）（ 1+ x 1 ）÷（ 1 － 1 ），其中 x= － 1 ； x 1 2 （ 2 ） 2 1 x ( x 2 3 ) ，其中 x= 1 。 x 2 x x 2 2 22 、解方程 : （ 1 ） 10 5 =2 ； （ 2 ） 23x 3 。 2x 1 1 2 x x 1 x 1 x 2 1 2 x m 1 ，是否存在 m 的值使得方程无解？若存在，求出满 23 、已知方程 x 2 1 x 1 x x 足条件的 m 的值；若不存在，请说明理由。 24、若 x y z ，且 3x 2 y z 14 ，求 x 、 y 、 z 的值。 2 3 5 25 、小亮在购物中心用 12.5 元买了若干盒饼干，但他在一分利超市发现，同样的饼干，这里要比购物中心每盒 便宜 0.5 元．因此当他第二次买饼干时，便到一分利超市去买，如果用去 14 元，买的饼干盒数比第一次买的盒数 多 2 ，问他第一次在购物中心买了几盒饼干？ 5 第十章相交线、平行线与平移 一、知识总结 （一）相交线 1 、对顶角：两条直线相交，有公共顶点且两边互为反向延长线的角叫对顶角。 对顶角性质：对顶角相等 2 、垂直： （ 1 ）定义：两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，就说明两条直线相互垂直。记作AB CD ；垂直的两条直线其中一条直线叫做另一条直线的 垂线；它们的交点叫做垂足；连接直线外一点与垂足形成的线段叫做垂线段。 注： 1）垂直是相交的一种特殊的情况； 2 ）两条线段垂直，垂足可能在线段上，也可能在延长线上。 （2 ）性质：在同一平面内，过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。 3 、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离。 在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短。 2 、垂线的画法：略 （二）平行线 1 、定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。记作AB∥ CD。 在同一平面内，两条直线的关系不是相交就是平行，没有其他。 2、相关概念：同位角，内错角，同旁内角。 3、性质： 基本性质：经过直线外一点，有且只有一条直线平行于这条直线。 其他性质：① 两直线平行，同位角相等； 性质 ② 两直线平行，内错角相等；两直线位置关系角的关系 ③ 两直线平行，同旁内角互补。 4 、平行判定：① 同位角相等，两直线平行； 判定 ② 内错角相等，两直线平行；角的关系两直线位置关系 ③ 同旁内角互补，两直线平行。 5 、平行线的画法：略 （三）平移 1 、定义：在平面内，一个图形沿某个方向移动一定的距离，这个图形的变换叫做平移。 2 、性质： 1 ）一个图形和它经过平移后所得到的图形中，两组对应点连接的线段平行 （或在同一直线上）且相等； 2）平移只改变图形的位置，不改变图形的大小和形状。 3 、确定平移的要素： 1 ）方向； 2 ）距离。 二、典题练习 1 、如图所示，下列判断正确的是 ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A 、图⑴中∠ 1 和∠ 2 是一组对顶角 B 、图⑵中∠ 1 和∠ 2 是一组对顶角 C 、图⑶中∠ 1 和∠ 2 是一对邻补角 D 、图⑷中∠ 1 和∠ 2 互为邻补角 2、下列说法中正确的是（ ） A 、有且只有一条直线垂直于已知直线； B 、直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离； C 、互相垂直的两条直线一定相交； D 、直线 c 外一点 A 与直线 c 上各点连接而成的所有线段中，最短线段的长是 3cm ，则点 A 到直线 c 的距离是 3cm 。 3 、如图，下列说法错误的是（ ） A. ∠ A 与∠ C 是同旁内角 B. ∠ 1 与∠ 3 是同位角 C. ∠ 2 与∠ 3 是内错角 D. ∠ 3 与∠ B 是同旁内角 第 3 题图 第 6 题图 第 7 题图 4 、在如图所示的四个汽车标志图案中 , 能用平移变换来分析其形成过程的图案是( ) A ． B ． C ． D ． 5 、一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，那么两次拐弯的角度是（ ） A ．第一次右拐 50 °，第二次左拐 130 ° B ．第一次左拐 50 °，第二次右拐 50 ° C ．第一次左拐 50 °，第二次左拐 130 ° D ．第一次右拐 50 °，第二次右拐 50 ° 5 、 6 、如图，已知∠ 1=60 °，如果 CD ∥ BE ，那么∠ B 的度数为 。 7 、如图，直线 a 、b 都与直线 c 相交，给出下列条件：①∠ 1 ＝∠ 2 ；②∠ 3 ＝∠ 6 ；③∠ 4＋∠ 7 ＝180 °；④∠ 5 ＋∠ 8 ＝ 180 ° .其中能判断 a ∥ b 的条件是 。（填序号） 8 、如图，当剪刀口∠ AOB 增大 21 °时，∠ COD 增大 。 9 、吸管吸易拉罐的饮料时，如图， 1 110 ，则 2 。 10、 如图，由三角形 ABC 平移得到的三角形共有 个。 A B C 11、如图，一个宽度相等的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1________ 。 12、已知：如图， BAP APD 180 ， 12 。试说明EF 。 A B 1 E F 2 C P D 13、如图所示，一辆汽车在直线形的公路 AB 上由 A 向 B 行驶 ,M,N? 分别是位于公路 AB 两侧的村庄，设汽车行驶到 P 点位置时，离村庄 M 最近，行驶到 Q 点位置时，离村庄 N 最近，请你在 AB 上分别画出 P，Q 两点的位置。 M A B N 14、如图所示，已知AB ∥CD ，分别探索下列四个图形中∠P 与∠ A 、∠ C 之间的关系，请你从所得的四个关系中 任选一个加以说明。 A B A B P A B P P A B C D C D C D C D P (1)(2)(3)(4) 15 、如图所示，一个四边形纸片ABCD ，∠ B∠ D90o，把纸片按如图所示折叠，使点 B 落在 AD 边上的 B 点， AE 是折痕。 （1 ）试判断B E与DC的位置关系； （2 ）如果∠C 130o，求∠AEB的度 人教版七年级数学知识点归纳(上下册) 第一章 有理数 1.1 正数和负数 （1）正数：大于0的数； 负数：小于0的数； （2）0既不是正数，也不是负数； （3）在同一个问题中，分别用正数和负数表示的量具有相反的意义； （4）－a 不一定是负数，+a 也不一定是正数； （5）自然数：0和正整数统称为自然数； （6）a>0 ? a 是正数； a ≥0 ? a 是正数或0 ? a 是非负数； a ＜0 ? a 是负数； a ≤ 0 ? a 是负数或0 ? a 是非正数. 1.2 有理数 （1）正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数； （2）正整数、0、负整数统称为整数； （3）有理数的分类： ?????????????负分数负整数负有理数零 正分数正整数正有理数有理数 ???????????????负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (4)数轴：规定了原点、正方向、单位长度的一条直线；（即数轴的三要素） (5)一般地，当a 是正数时，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，距离原点a 个单位长度；表示数－a 的点在原点的左边，距离原点a 个单位长度； (6)两点关于原点对称：一般地，设a 是正数，则在数轴上与原点的距离为a 的点有两个，它们分别在原点的左右，表示－a 和a ，我们称这两个点关于原点对称； (7)相反数：只有符号不同的两个数称为互为相反数； (8)一般地，a 的相反数是－a ；特别地，0的相反数是0； (9)相反数的几何意义：数轴上表示相反数的两个点关于原点对称； (10)a 、b 互为相反数?a+b=0 ；（即相反数之和为0） (11)a 、b 互为相反数?1-=b a 或1-=a b ；（即相反数之商为－1） (12)a 、b 互为相反数?|a|=|b|；(即相反数的绝对值相等） (13)绝对值：一般地，在数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做a 的绝对值；（|a|≥0） (14)一个正数的绝对值是其本身；一个负数的绝对值是其相反数；0的绝对值是0； (15)绝对值可表示为：?????<-=>=) 0a (a )0a (0)0a (a a (16)0a 1a a >?= ; 0a 1a a Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 2018人教版七年级数学期末测试题 班级： 姓名： 座位号： 学籍号： 一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分．） 1．如果＋20%表示增加20%，那么－6%表示 ( ) A ．增加14% B ．增加6% C ．减少6% D ．减少26% 2．1 3 -的倒数是 ( ) A ．3 B ． 13 C ．-3 D ． 13 - 3、如右图是某一立方体的侧面展开图 ，则该立方体是 ( ) 4、青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2 500 000平方千米.将2 500 000用科学记数法表示为 （ ） Ａ．70.2510? Ｂ．72.510? Ｃ．6 2.510? Ｄ．5 2510? 5、已知代数式3y 2 －2y+6的值是8，那么 32 y 2 －y+1的值是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6、2、在│-2│，-│0│，（-2）5 ，-│-2│，-（-2）这5个数中负数共有 ( ) A ．1 个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 7．在解方程 5 1 13--=x x 时，去分母后正确的是 （ ） A ．5x ＝15－3(x －1) B ．x ＝1－(3 x －1) C ．5x ＝1－3(x －1) D ．5 x ＝3－3(x －1) 8．如果x y 3=，)1(2-=y z ，那么x －y ＋z 等于 （ ） A ．4x －1 B ．4x －2 C ．5x －1 D ．5x －2 9． 如图1，把一个长为m 、宽为n 的长方形（m n >）沿虚线剪开，拼接成图2，成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ． 2m n - B ．m n - C ．2 m D ． 2 n 初一数学基础知识讲义 第一讲和绝对值有关的问题 一、知识结构框图： 数 二、绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： () () () ||0 a a a a a a ? ?? =? ? - ?? 当为正数 当为0 当为负数 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 三、典型例题 例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a 分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a 、b 、c 在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++ 的值（ C ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 解：由题意，x 、y 、z 在数轴上的位置如图所示： 所以 分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x 、y 、z 三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 例3．（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x ，乙数为y 由题意得：y x 3=， （1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧： 若x 在原点左侧，y 在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x 在原点右侧，y 在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧： 若x 、y 在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x 、y 在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 例4．（整体的思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ D ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a a -=的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D 。 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()()()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++++++++L 0)()(=--+-+=--+++y x z y z x y x z y z x 2016-2017学年七年级（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．平面直角坐标中，点M（0，﹣3）在（） A．第二象限B．第四象限C．x轴上D．y轴上 2．下列计算错误的是（） A．=3 B．=﹣4 C．=3 D．=﹣2 3．已知a、b，a＞b，则下列结论不正确的是（） A．a+3＞b+3 B．a﹣3＞b﹣3 C．3a＞3b D．﹣3a＞﹣3b 4．下面说法正确的是（） A．25的平方根是5 B．（﹣3）2的平方根是﹣3 C．0.16的算术平方根是±0.4 D．的算术平方根是 5．如图，下面说法错误的是（） A．∠1与∠C是内错角 B．∠2与∠C是同位角 C．∠1与∠3是对顶角 D．∠1与∠2是邻补角 6．下列调査中，适合用全面调查方式的是（） A．了解某校七年级（1）班学生期中数学考试的成绩 B．了解一批签字笔的使用寿命 C．了解市场上酸奶的质量情况 D．了解某条河流的水质情况 7．x是不大于5的正数，则下列表示正确的是（） A．0＜x＜5 B．0＜x≤5 C．0≤x≤5 D．x≤5 8．比较下列各组数的大小，正确的是（） A．＞5 B．＜2 C．＞﹣2 D．+1＞ 9．下列命题中，真命题是（） A．两个锐角之和为钝角B．相等的两个角是对顶角 C．同位角相等 D．钝角大于它的补角 10．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF=α，下列说法①∠AOC=α﹣90°；②∠EOB=180°﹣α；③∠AOF=360°﹣2α，其中正确的是（） A．①②B．①③C．②③D．①②③ 二、填空题（本大题共6小题.每小题3分.共18分） 11．如图，直线AB、CD相交于点O，若∠1=150°，则∠2= °． 12．不等式组的解集是． 七年级数学复习班学习资料（01） 优胜教育教育培训中心 学生姓名:_________ 成绩____ 一、知识点梳理 1、相交线：在同一平面内，如果两条直线只有一个公共点，那么这两条直线就相交；这个公共点就叫做交点。 2、两直线相交，邻补角互补，对顶角相等。 3、垂线：如果两条相交线有一个夹角是直角，那么这两条直线互相垂直。 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 公理：垂线段最短。 4、三线八角：同位角、内错角、同旁内角。 二、典型例题 例1、如图 ， OC ⊥AB ，DO ⊥OE ，图中与∠COD 互余的角是 ， 若∠COD=600 ，则∠AOE= 0 。 例2、如图，直线AB 、CD 、EF 相交于点O ，则∠AOC 的对顶角是_____________， ∠AOD 的对顶角是_____________ 例3、如图∠B 与∠_____是直线______和直线_______被直线_________所截的同位角。 例4、已知：如图，AB ⊥CD ，垂足为O ，EF 经过点O ，∠２＝４∠１， 求∠２，∠３，∠ＢＯＥ的度数。 O 例1图 E D C B A O 例2图 F E D C B A 例3图 F C B A F E O D C B A 3 2 1 三、强化训练 1.如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形有( ) 1 2 1 2 1 2 2 1 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图1所示,三条直线AB,CD,EF 相交于一点O,则∠AOE+∠DOB+∠COF 等于( ? ) A.150° B.180° C.210° D.120° O F E D C B A O D C B A 60?30? 34 l 3 l 2 l 1 12 (1) (2) (3) 3.下列说法正确的有( ) ①对顶角相等;②相等的角是对顶角;③若两个角不相等,则这两个角一定不是对顶角;④ 若两个角不是对顶角,则这两个角不相等. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.如图2所示,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°,则∠AOC?的度数为 ( ) A.62° B.118° C.72° D.59° 5.如图3所示,直线L 1,L 2,L 3相交于一点,则下列答案中,全对的一组是( ) A.∠1=90°,∠2=30°,∠3=∠4=60°; B.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=30 C.∠1=∠3=90°,∠2=∠4=60°; D.∠1=∠3=90°,∠2=60°,∠4=30° 6.如图4所示,AB 与CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______,∠1的对顶角___. 123 （第三题）A B C D E (第10题) A B C D 1 23 4 （第2题）1 2345 678（第4题）a b c A B C D （第7题） 七年级数学第五章《相交线与平行线》测试卷 班级 _______ 姓名 ________ 坐号 _______ 成绩 _______ 一、选择题（每小题3分，共 30 分） 1、如图所示，∠1和∠2是对顶角的是（ ） A B C D 1 2 1 2 1 2 1 2 2、如图AB ∥CD 可以得到（ ） A 、∠1＝∠2 B、∠2＝∠3 C 、∠1＝∠4 D、∠3＝∠4 3、直线AB 、CD 、EF 相交于O ，则∠1＋∠2＋∠3＝（ ） A 、90° B 、120° C 、180° D 、140° 4、如图所示，直线a 、b 被直线c 所截，现给出下列四种条件： ①∠2＝∠6 ②∠2＝∠8 ③∠1＋∠4＝180° ④∠3＝∠8，其中能判断 是a ∥b 的条件的序号是（ ） A 、①② B、①③ C、①④ D、③④ 5、某人在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶方向与原来相 同，这两次拐弯的角度可能是（ ） A 、第一次左拐30°，第二次右拐30° B 、第一次右拐50°，第二次左拐130° C 、第一次右拐50°，第二次右拐130° D 、第一次向左拐50°，第二次向左拐130° 6、下列哪个图形是由左图平移得到的（ ） B D 7、如图，在一个有4×4个小正方形组成的正方形网格中，阴影 部分面积与正方形ABCD 面积的比是（ ） A 、3：4 B 、5：8 C 、9：16 D 、1：2 8、下列现象属于平移的是（ ） ① 打气筒活塞的轮复运动，② 电梯的上下运动，③ 钟摆的摆动，④ 转动的门，⑤ 汽车在一条笔直的马路上行走 A 、③ B、②③ C、①②④ D、①②⑤ 9、下列说法正确的是（ ） A 、有且只有一条直线与已知直线平行 B 、垂直于同一条直线的两条直线互相垂直 C 、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这 条直线的距离。 D 、在平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 10、直线AB ∥CD ，∠B ＝23°，∠D ＝42°，则∠E ＝（ ） O D C B A 3 4D C B A 123 4D C B A 12 相交线 1、如图所示,∠1和∠2是对顶角的图形是( )毛 1 2 1 2 1 2 2 1 2、如图1，AB 与CD 相交所成的四个角中,∠1的邻补角是______，∠1的对顶角___. 3、如图2所示，直线AB 和CD 相交于点O ，OE 是一条射线． （1）写出∠AOC 的邻补角：________________; （2）写出∠COE 的邻补角：_________________． （3）写出与∠BOC 的邻补角：_______________． 4、如图3所示,若∠1=25°,则∠2=_____,理由是____________ ∠3=____,理由是__________________∠4=_______.，理由是_______________ 5、如图4所示,已知直线AB,CD 相交于O,OA 平分∠ EOC, ∠EOC=70°,则∠AOC=_________，∠BOD=?______. 6、如图5所示,直线AB 和CD 相交于点O,若∠AOD 与∠BOC 的和为236°, 则∠AOD=________∠AOC?= ______________ 垂线 1、比一比，谁能更快地完成下列练习。 （1）过直线CD 上一点P 作直线CD 的垂线。 （2）过直线CD 上一点P 作直线AB 的垂线 2、如图1，AC ⊥BC ，AC=3，BC=4，AB=5，则B 到AC 的距离是_______，点A 到BC 的距离是________，A 、B 之间的距离是__________ O E D C B A 图4 图2 A B C D 图1 图3 图5 人教版初一数学下册_第五章__相交线与平行线_教学检测试题一选择题。（每题 4 分，共40 分） 1. 邻补角是（） A. 和为180°的两个角 B. 有公共顶点且互补的两个角 C. 有一条公共边且相等的两个角 D. 有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 2．下图中，∠ 1 和∠2 是同位角的是 A B C D 3. 如图4，直线AB 、CD 相交于点O，OE⊥AB 于O，若∠COE=55°，则∠BOD 的度数为） A. 40 ° B. 45 C°. 30 D°. 35 ° 4. 如图5，已知ON ⊥l , OM ⊥l , 所以OM 与ON 重合，其理由是（） A. 过两点只有一条直线 B. 经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线 C. 垂线段最短 D. 过一点只能作一条垂线 5．如图（1）所示，同位角共有（） A．1 对B．2 对C．3 对D．4 对 6. 如图6，属于内错角的是（） A. ∠1 和∠2 B. ∠2 和∠3 C. ∠1 和∠4 D. ∠3 和∠4 7．一辆汽车在笔直的公路上行驶，两次拐弯后，仍在原来的方向上平行前进，则两次拐 弯的角度可以是（） A．第一次向右拐40°，第二次向左拐140° B．第一次向左拐40°，第二次向右拐40° C．第一次向左拐40°，第二次向右拐140° D．第一次向右拐40°，第二次向右拐40° 8．如图（2）所示，∥，AB ⊥，∠ABC=130°，那么∠α的度数为（） A．60°B．50°C．40°D．30° 9．适合的△ABC 是（） A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定 A．60°B．50°C．40°D．30° 10. 在下列实例中，不属于平移过程的有（）个。 ⑴时针运转过程；⑵火箭升空过程；⑶地球自转过程；⑷飞机从起跑到离开地面的过程。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 期末考试试题 七年级数学 一. 填空题（每小题3分，共30分） 1、一个数的绝对值是4，则这个数是 数轴上与原点的距离为5 的数是 2、—2x 与3x —1互为相反数，则=x 。 3、如图3，是某一个几何体的俯视图，主视图、左视图，则这个几何体是 4、已知x=3是方程ax-6=a+10的解，则a=_____________ 5、已知0)1(32=-++b a ，则=+b a 3 。 6、买一个篮球需要m 元，买一个排球需要n 元，则买4个篮球和5个排球 共需要 元。 7、北京时间2007年10月24日，“嫦娥一号”从西昌卫星发射中心成功发射。它在离月球表面200公里高度的极月圆轨道绕月球飞行工作，它距离地球最近处有38.44万公里。用科学记数法表示38.44万公里= 公里。 8、袋中装有相同10个红球，15个白球，从中任取一球，取到白球的可能性是 9、图9是根据某市1999年至2003年工业生产总值绘制的折线统计图，观察统计图可得：．增长幅度最是 年，比它的前一年增加 亿元 10、如图10所示, ∠AOB 是平角, ∠ 图 3 100 80 60 40 20 1999 2000 2001 2002 2003 年份/年 工业生产总产值/亿元 AOC=300, ∠BOD=600, OM、ON分别是∠AOC、∠BOD的平分线, ∠MON等于_________________. 图10 二. 选择题（每小题3分，共30分） 11.下列计算结果为负值的是（） A.（-3）÷（-2） B. 0×（-7）× C. 1-9 D. -7-（-10） 12. 5的相反数和绝对值分别是（） A. -5；-5 B. -5；5 C. 5；-5 D. 5；5 13. 一款新型的太阳能热水器进价2000元，标价3000元，若商场要求以利润率不低于5%的售价打折出售，则售货员出售此商品最低可打（） A. 六折 B. 七折 C. 八折 D. 九折 14. 下列运算，结果正确的是（） A. 2ab-2ba=0 B. 3xy-4xy=-1 C. 2a2+3a2=6a2 D. 2x3+3x3=5x6 15. 小红家的冰箱冷藏室温度是3℃，冷冻室的温度是-1℃，则她家的冰箱 冷藏室比冷冻室温度高（） A. 2℃ B. -2℃ C. 4℃ D. -4℃ 16. 下列方程的变形中正确 ．．的是（） A. 由x+5=6x－7得x－6x=7－5 B. 由－2(x－1)=3得－2x－2=3 C. 由 3 1 0.7 x- =得 1030 10 7 x- = D. 由 13 93 22 x x +=--得2x=－12 17. 将下左图直角三角形ABC绕直角边A C旋转一周，所得几何体从正面是 （） 第一部分 选择题 一、选择题（本题共12小题，每小题 3分，共36分，每小题给出 4个选项，其中只有一 个是正确的） 1.在利用太阳能热水器来加热水的过程中，热水器里的水温随所晒时间的长短而变化，这个问题中因变量是（ ） A.太阳光强弱 B.水的温度 C.所晒时间 D.热水器 2．冠状病毒的一个变种是非典型肺炎的病原体，某种球形冠状病毒的直径是 120纳米，1纳米=9 10-米，则这种冠状病毒的半径用科学 记数法表示为（ ） A.7 102.1-?米 B.11 102.1-?米 C.11 106.0-?米 D.8 106-?米 3.如果一个角的余角是 60°，那么这个角的补角的度数是（ ） A.150° B.140° C.120° D.30° 4.下列运算正确的是（ ） A. 4 22743x x x =+ B. 3 33632x x x =? C. 3 2a a a =÷- D. 363 26121b a b a -=??? ??- 5.如图，下列各组条件中，不能得到c ∥d 的是（ ） 第5题 第9题 ∠2=∠ 3 B.∠1+∠2=180° C.∠2+∠4=180° D.∠2= ∠ 5 6.下面的表格列出了一个实验的统计数据，表示将皮球从高处落下时，弹跳高度 b 与下降 高度 d 的关系，下面能表示这种关系的式子是（ ） A.25-=d b B.d b 2= C.2 d b = D.d b 21= 7.在下列四组条件中，能判定△ABC ≌△'''C B A 的是（ ） A.'∠=∠''=''=A A C B BC B A AB ，， B.''=''=''=C A BC C B B A AB ，，AC C.''='∠=∠'∠=∠B A AB C B B A ，， D.'∠=∠''=''=C C C B BC C A AC ，， b 50 80 100 150 d 25 40 50 75 第一讲 和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图： 二、 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数a 的点到原点的距离叫做数a 的绝对值，记作|a|。 (2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数； ③零的绝对值是零。 也可以写成： ()()() ||0a a a a a a ??? =??-??当为正数当为0当为负数 三、 典型例题 例1．（数形结合思想）已知a 、b 、c 在数轴上位置如图： 则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） A ．-3a B ． 2c －a C ．2a －2b D ． b 例2．已知：z x <<0，0>xy ，且x z y >>， 那么y x z y z x --+++的值（ ） A ．是正数 B ．是负数 C ．是零 D ．不能确定符号 例3．（分类讨论思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 例4．（整体思想）方程x x -=-20082008 的解的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无穷多个 例5．（非负性）已知|a b －2|与|a －1|互为相互数，试求下式的值． ()()()() ()() 1111 112220072007ab a b a b a b ++++ ++++++ 说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数； （Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。 例6．（距离问题）观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与2-，3与5，2-与6-，4-与3. 并回答下列各题： （1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：___ . （2）若数轴上的点A 表示的数为x ，点B 表示的数为―1，则A 与B 两点间的距离 可以表示为 ________________. （3）结合数轴求得23x x -++的最小值为 ，取得最小值时x 的取值范围为 ___. （4） 满足341>+++x x 的x 的取值范围为 ______ . 第二讲：代数式的化简求值问题 一、知识链接 1．“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容. 2．用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3．求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题 例1．若多项式( ) x y x x x mx 5378522 2 2 +--++-的值与x 无关， 求()[] m m m m +---45222 的值. 例2．x=-2时，代数式635-++cx bx ax 的值为8，求当x=2时，代数式63 5-++cx bx ax 的值。 例3．当代数式532 ++x x 的值为7时,求代数式2932 -+x x 的值. 例4． 已知012 =-+a a ，求200722 3 ++a a 的值. 初一数学（下）应知应会的知识点 二元一次方程组 1.二元一次方程：含有两个未知数，并且含未知数项的次数是 1，这样的方程是二元一次方程.注意：一般说二元一次方程有无数个解. 2.二元一次方程组：两个二元一次方程联立在一起是二元一次方程组. 3.二元一次方程组的解：使二元一次方程组的两个方程，左右两边都相等的两个未知数的值，叫二元一次方程组的解.注意：一般说二元一次方程组只有唯一解（即公共解）. 4.二元一次方程组的解法： （1）代入消元法；（2）加减消元法； （3）注意：判断如何解简单是关键. ※5．一次方程组的应用： （1）对于一个应用题设出的未知数越多，列方程组可能容易一些，但解方程组可能比较麻烦，反之则“难列易解”； （2）对于方程组，若方程个数与未知数个数相等时，一般可求出未知数的值； （3）对于方程组，若方程个数比未知数个数少一个时，一般求不出未知数的值，但总可以求出任何两个未知数的关系. 一元一次不等式（组） 1．不等式：用不等号“＞”“＜”“≤”“≥”“≠”，把两个代数式连接起来的式子叫不等式. 2.不等式的基本性质： 不等式的基本性质 1：不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变； 不等式的基本性质 2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 不等式的基本性质 3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变. 3.不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值，叫做这个不等式的解；不等式所有解的集合，叫做这个不等式的解集. 4.一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的次数是 1，系数不等于零的不等式，叫做一元一次不等式；它的标准形式是＞0 或＜0 ，(a≠0). 5.一元一次不等式的解法：一元一次不等式的解法与解一元一次方程的 解法类似，但一定要注意不等式性质 3 的应用；注意：在数轴上表示不等式的解集时，要注意空圈和实点. 6.一元一次不等式组：含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的 不等式组，叫做一元一次不等式组；注意：＞0??或 ； ＜0 ??或； 0 ?0 或0；?. 7.一元一次不等式组的解集与解法：所有这些一元一次不等式解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；解一元一次不等式时，应分别求出这个不等式组中各个不等式的解集，再利用数轴确定这个不等式组的解集. 8.一元一次不等式组的解集的四种类型：设 a＞b 初一（下）期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共40.0分） 1.下列各点中，在第二象限的点是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A、在第二象限，符合题意； B、在第三象限，不符合题意； C、在第一象限，不符合题意； D、在第四象限，不符合题意； 故选：A． 根据点的坐标特征求解即可． 本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 2.下列各数属于无理数的是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：因为是无理数， 故选：C． 根据无理数的定义即可判断． 本题考查无理数、实数、算术平方根的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题． 3.下列调查中，适宜采用全面调查方式的是 A. 调查电视剧《人民的名义》的收视率 B. 调查重庆市民对皮影表演艺术的喜爱程度 C. 调查某市居民平均用水量 D. 调查你所在班级同学的身高情况 【答案】D 【解析】解：A、调查电视剧《人民的名义》的收视率，人数众多，应用抽样调查，故此选项错误； B、调查重庆市民对皮影表演艺术的喜爱程度，人数众多，应用抽样调查，故此选项错误； C、某市居民平均用水量，人数众多，应用抽样调查，故此选项错误； D、调查你所在班级同学的身高情况，人数较少，应用全面调查，故此选项正确． 故选：D． 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似． 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查． 4.下列方程组中，是二元一次方程组的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】解：A、是二元一次方程组，故此选项错误； B、是三元一次方程组，故此选项错误； C、是二元二次方程组，故此选项错误； D、是分式方程组，故此选项错误； 故选：A． 直接利用方程组的定义分析得出答案． 此题主要考查了方程组的定义，正确把握次数与元的确定方法是解题关键． 5.如图，，，，则的度数是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解：，， ， ， ． 故选：B． 根据直角三角形两锐角互余求出，再根据两直线平行，同位角相等解答． 本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． 6.下列命题中，假命题是 A. 垂线段最短 B. 同位角相等 C. 对顶角相等 D. 邻补角一定互补 【答案】B 【解析】解：垂线段最短，A是真命题； 两直线平行，同位角相等，B是假命题； 第1讲 与有理数有关的概念 考点·方法·破译 1．了解负数的产生过程，能够用正、负数表示具有相反意义的量. 2．会进行有理的分类，体会并运用数学中的分类思想. 3．理解数轴、相反数、绝对值、倒数的意义．会用数轴比较两个有理数的大小，会求一个数的相反数、绝对值、倒数. 经典·考题·赏析 【例1】写出下列各语句的实际意义 ⑴向前－7米⑵收人－50元⑶体重增加－3千克 【解法指导】用正、负数表示实际问题中具有相反意义的量．而相反意义的量包合两个要素：一是它们的意义相反．二是它们具有数量．而且必须是同类两，如“向前与自后、收入与支出、增加与减少等等” 解：⑴向前－7米表示向后7米⑵收入－50元表示支出50元⑶体重增加－3千克表示体重减小3千克. 【变式题组】 01．如果＋10%表示增加10%，那么减少8%可以记作（ ） A ． －18% B ． －8% C ． ＋2% D ． ＋8% 02．（金华）如果＋3吨表示运入仓库的大米吨数，那么运出5吨大米表示为( ) A ． －5吨 B ． ＋5吨 C ． －3吨 D ． ＋3吨 03．（山西）北京与纽约的时差－13（负号表示同一时刻纽约时间比北京晚）.如现在是北京时间l5：00，纽约时问是____ 【例２】在－227 ，π，0.033. 3这四个数中有理数的个数（ ) A ． 1个 B ． 2个 C ． 3个 D ． 4个 【解法指导】有理数的分类：⑴按正负性分类，有理数0 ??????????????? 正整数正有理数正分数负整数负有理数负份数；按整数、分数分类，有理数?????????????????正整数整数0负整数正分数分数负分数；其中分数包括有限小数和无限循环小数，因为π＝3.1415926… 是无限不循环小数，它不能写成分数的形式，所以π不是有理数，－227 是分数0.033.3是无限循环小数可以化成分数形式，0是整数，所以都是有理数，故选C ． 【变式题组】 参考答案： 第五章Ａ１：一、1。360，1440； 2。∠BOD，∠BOC； 3。相交、平行；4。两直线平 行，内错角相等；5。垂线段最短；6。1100；7。AB∥CD；8。90； 9。620； 10。∠FAC，AC，BC，FB；二、11B 12C 13A 14C 15A 16A 17C 18B 19C 20D 三、21。略；22 略；23。∠2=720，∠3=180，∠BOE=1620； 24。因为AB∥CD，所以∠D+∠A=1800（两直线平行，同旁内角互补）因为AD∥BC，所以∠B+∠A=1800（两直线平行，同旁内角互补） 所以∠B=∠D ；25 。AB>BC>CD 垂线段最短 第五章Ａ2：一、1A 2A 3A 4C 5C 6C 7B 二、8。同旁内角互补，两直线平行；9。∠BOC， ∠AOD；∠BOC；500，1300，；10。∥，⊥，⊥，∥；11。540，1260，540； 12。两个角是相同角，余角相等；13。∠COD，∠BOE，120； 14。略三、 15。略；16。略； 17。1150；180。 18 。①18，②平行，AB∥CD ；19。略； 20。略。 第五章Ｂ１一、BDBCBCBD 二、9。145； 10。144； 11。35，145； 12。45，135； 13。3； 14。略；15。略；四、16。60； 17。已知：a∥b,b∥c结论a∥c 已知：b∥c,a ⊥b,结论a⊥c已知：a∥b,a∥c,结论b∥c。已知：b∥c,a∥c结论a∥b。已知:b∥c,a⊥c,结论a⊥b。已知：a⊥b,a⊥c结论b⊥c。 第五章Ｂ２ 1C 2C 3C 4B 5D 6C 7C 8C 9C 10D 二、11。1150，650； 12。770； 13. (2n-1)1800 ; 14. 520; 15.略；四、17。600； 18。平行， 19 略； 20。略。 第六章平面直角坐标 A 卷：1 B，2 B，3 C，4 D，5 D，6 C，7 A )4 ( B（3）C（0）D（5）E（-2）；8略；9四、三、二、一、x轴、y轴；10（0，0），纵，横。11 A（3，3），B（7，2），③（3，1），D（12，5），E（12，9），F（8，11），G（5，11），H（4，8），I（8，7）；12 略；13（5，-5）(-5,-5),(2,8),(-2,2);14 垂直公共原点横轴、x轴，右，、纵、y、上、原点；15 A（0，6），B（-4，2），C（-2，-2） D（-2，-6） E（2，-6） F（2，2） G（4，2） 16 略 17 图略 A1（0，1） B1（-3，-5） C1（5，0）附加题：这些点在同一直线上，在二四象限的角平分线上，举例略。 B卷：1 B 2D 3B 4A 5 B 6A 7。坐标（或有序数对），3，-4; 8。 4，2；9。 >、>、>、<；10。（3，2）（3，-2）（-3，2）（-3，-2） 11。⑴ y轴的正半轴上⑵在x轴或y轴上⑶原点⑷y轴的左侧，距离y轴3单位且平行y轴的直线上，⑸在第一、三象限的角平分线上；12。⑴27 31 ⑵37 15 23 3 ⑶37～２３，12 ⑷ 3时到15时，0时至3时及15时刻24日，⑸ 21时温度为31度，0时温度为26度⑹ 24度左右。13。图略，图形象小房子 14 。图略平移后五个顶点的相应坐标分别为（0，-1）（4，-1）（5， 初一(七年级)上册数学知识点：一元一次方程 1.一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。 2.一元一次方程的标准形式：ax+b=0(x是未知数，a、b是已知数，且a≠0)。 3.条件：一元一次方程必须同时满足4个条件： (1)它是等式; (2)分母中不含有未知数; (3)未知数最高次项为1; (4)含未知数的项的系数不为0. 4.等式的性质： 等式的性质一：等式两边同时加一个数或减去同一个数或同一个整式，等式仍然成立。 等式的性质二：等式两边同时扩大或缩小相同的倍数(0除外)，等式仍然成立。 等式的性质三：等式两边同时乘方(或开方)，等式仍然成立。 解方程都是依据等式的这三个性质等式的性质一：等式两边同时加一个数或减同一个数，等式仍然成立。 5.合并同类项 (1)依据：乘法分配律 (2)把未知数相同且其次数也相同的相合并成一项;常数计算后合并成一项 (3)合并时次数不变，只是系数相加减。 6.移项 (1)含有未知数的项变号后都移到方程左边，把不含未知数的项移到右边。 (2)依据：等式的性质 (3)把方程一边某项移到另一边时，一定要变号。 7.一元一次方程解法的一般步骤： 使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。 一般解法： (1)去分母：在方程两边都乘以各分母的最小公倍数; (2)去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号;(记住如括号外有减号的话一定要变号) (3)移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边;移项要变号 (4)合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式; (5)系数化成1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a. 8.同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程。 9.方程的同解原理： (1)方程的两边都加或减同一个数或同一个等式所得的方程与原方程是同解方程。 (2)方程的两边同乘或同除同一个不为0的数所得的方程与原方程是同解方程。 10.列一元一次方程解应用题： 1 2017——2018学年度下学期 七 年 级 数 学 期 末 试 题 数学试题共6页，包括六道大题，共26道小题。全卷满分120分。考试时间为120分钟。考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在 条形码区域内。 2.答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试题上答 题无效。 一、单项选择题（每小题2分，共12分) 1.在数2，π，3 8-，0.3333…中，其中无理数有( ） (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个 2.已知：点P （x ，y ）且xy=0，则点P 的位置在( ） (A) 原点 (B) x 轴上 (C) y 轴上 (D) x 轴上或y 轴上 3.不等式组211420x x ->??-? ， ≤的解集在数轴上表示为（ ） 4.下列 说法中，正确的．．． 是( ) （Ａ）图形的平移是指把图形沿水平方向移动 （Ｂ）“相等的角是对顶角”是一个真命题 （Ｃ）平移前后图形的形状和大小都没有发生改变 （Ｄ）“直角都相等”是一个假命题 5.某市将大、中、小学生的视力进行抽样分析，其中大、中、小学生的人数比为2:3:5，若已 知中学生被抽到的人数为150人，则应抽取的样本容量等于（ ） (A) 1500 (B) 1000 (C) 150 (D) 500 6.如图，点E 在AC 的延长线上，下列条件能判断AB ∥CD 的是（ ） ①∠1=∠2 ②∠3＝∠4 ③∠A=∠DCE ④∠D+∠ABD=180° (A) ①③④ (B) ①②③ (C) ①②④ (D) ②③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 7.请写出一个在第三象限内且到两坐标轴的距离都相等的点的坐标 ． 8.－364的绝对值等于 . 9.不等式组20 210 x x -≤?? ->?的整数解是 . 10.如图，a ∥b ，∠1=55°，∠2=40°， 则∠3的度数是 °． 11.五女峰森林公园门票价格：成人票每张50元，学生票每张25元.某旅游团买30张门票花 了1250元，设其中有x 张成人票，y 张学生票，根据题意列方程组是 ． 12.数学活动中，张明和王丽向老师说明他们的位置（单位：m ）: 张明：我这里的坐标是（-200，300）； 王丽：我这里的坐标是（300，300）. 则老师知道张明与王丽之间的距离是 m . 13.比较大小: 2 1 5- 1（填“＜”或“＞”或“＝” ）. 14.在某个频数分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的高等于其 它10个小长方形高之和的 4 1，且样本容量是60，则中间一组的频数是 ． 学校 年 班 姓名： 考号： 2 1 3 4 A B C D E （第6题） （第10题） 2014年最新版人教版七年级数学下册知识点 第五章 相交线与平行线 一、知识网络结构 二、知识要点 1、在同一平面内，两条直线的位置关系有 两 种： 相交 和 平行 ， 垂直 是相交的一种特殊情况。 2、在同一平面内，不相交的两条直线叫 平行线 。如果两条直线只有 一个 公共点，称这两条直线相交；如果两条直线 没有 公共点，称这两条直线平行。 3、两条直线相交所构成的四个角中，有 公共顶点 且有 一条公共边 的两个角是 邻补角。邻补角的性质： 邻补角互补 。如图1所示，∠1与∠2互为邻补角，∠2 与 ∠3互为邻补角，∠3 与 ∠4互为邻补角，∠4与∠1互为邻补角。∠1+∠2= 180°；∠2+ ∠3= 180°；∠3+∠4 = 180°；∠4+∠1 = 180°。 4、两条直线相交所构成的四个角中，一个角的两边分别是另一个角的两边的 反向延长线 ，这样的两个角互为 对顶角 。对顶角的性质：对顶角相等。如图1所示，∠1与 ???????????????????????????????????????????????????????????平移 命题、定理 的两直线平行：平行于同一条直线性质角互补：两直线平行，同旁内性质相等：两直线平行，内错角性质相等：两直线平行，同位角性质平行线的性质的两直线平行 ：平行于同一条直线判定直线平行 ：同旁内角互补，两判定线平行 ：内错角相等，两直判定线平行 ：同位角相等，两直判定定义平行线的判定平行线，不相交的两条直线叫平行线：在同一平面内平行线及其判定内角同位角、内错角、同旁垂线相交线相交线相交线与平行线 4321 4321____________________________:图1 1 3 4 2 a人教版七年级数学知识点归纳(上下册)
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